3.1空间向量及其运算（题型专练）数学沪教版2020选择性必修第一册

3.1空间向量及其运算 题型一 空间向量的基本概念 1．在平行六面体中，与向量相等的向量共有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【分析】由图形及相等空间向量定义可得答案. 【详解】由图，与向量大小相等，方向相同的向量有共3个. 故选：C 2．给出以下结论：①两个空间向量相等，则它们的起点和终点分别相同；②若空间向量、满足，则；③在正方体中，必有；④若空间向量、、满足，，则．其中不正确的命题的序号为 ． 【答案】①② 【分析】由相等向量的定义依次判断各个选项即可得到结果. 【详解】对于①，当两个空间向量起点相同，终点也相同时，这两个向量必相等；但两个向量相等，它们的起点和终点都不一定相同，①错误； 对于②，根据向量相等的定义，要保证两个向量相等，不仅模要相等，而且方向还要相同，但②中向量与的方向不一定相同，②错误； 对于③，根据正方体的性质，在正方体中，向量与向量的方向相同，模也相等，则，③正确； 对于④，由向量相等关系可知，④正确． 故答案为：①②. 3．在长方体中，，，，写出： (1)与模相等的向量； (2)与相等的向量； (3)与垂直的向量． 【答案】(1)答案见解析 (2)答案见解析 (3)答案见解析 【分析】（1）由体对角线相等，得到与模相等的向量； （2）相等向量，需方向相同，模长相等，得到答案； （3）根据长方体特征写出与垂直的向量. 【详解】（1）与模相等的向量有； （2）与相等的向量有； （3）与垂直的向量有， ， 题型二 空间向量的加减数乘运算 1．在空间四边形中，（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据空间向量的加法与减法运算法则可得结果. 【详解】由题意得，. 故选：B. 2．已知正方体的中心为，则在下列各结论中正确的共有（ ） ①与是一对相反向量； ②与是一对相反向量； ③与是一对相反向量； ④与是一对相反向量． A．个 B．个 C．个 D．个 【答案】C 【分析】根据向量线性运算、相等向量和相反向量定义依次判断各个选项即可. 【详解】对于①，，， ， 与是一对相反向量，①正确；    对于②，，，又， 与不是相反向量，②错误； 对于③，，，，， ， 与是一对相反向量，③正确； 对于④，，，又， 与是一对相反向量，④正确. 故选：C. 3．已知四面体ABCD，G是CD的中点，连接AG，则 ． 【答案】/ 【分析】根据已知条件作出图形，利用空间向量的加法法则即可求解. 【详解】四面体，是的中点，如图，    则，所以. 故答案为： 4．已知长方体，若为与的交点，则 . 【答案】 【分析】由题知，进而计算即可得答案. 【详解】解：如图，因为为与的交点，所以为的中点， 所以， 所以，. 故答案为： 5．化简下列算式： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据向量数乘运算即可求得答案； （2）根据向量的线性运算，即可求得答案. 【详解】（1） . （2） . 题型三 空间向量的线性表示 1．在平行六面体中，点E满足，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用向量的线性运算全部转化为用作为起点的向量来表示，然后整理即可. 【详解】由得， 整理得. 故选：A. 2．(24-25高二下·上海行知中学·期中)空间四边形中，，，，且，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据空间向量的线性运算解决即可. 【详解】由题知，空间四边形中，，，，且，， 如图， 所以， 所以， 故选：D 3．在四面体中，设，为的中点，为的中点，则（    ）    A． B． C． D． 【答案】A 【分析】结合图形，利用空间向量的线性运算即可得解. 【详解】因为为的中点，为的中点， 所以 . 故选：A. 4．在正四面体ABCD中，F是AC的中点，E是DF的中点，若，，，则（    ）． A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由三角形法则和平行四边形法则、数乘运算求解即可. 【详解】 故选：A 5．(24-25高二上·上海松江二中·期中)已知空间四边形中向量，，，点E，F分别是，的中点，则向量 .（用、、表示） 【答案】 【分析】画出示意图，根据空间向量的加法运算即可. 【详解】如图所示， . 故答案为：. 6．如图，在四面体OABC中，M是棱OA上靠近点A的三等分点，N，P分别是BC，MN的中点．设，，，用，，表示 ． 【答案】， 【分析】根据向量的拆分即可求解. 【详解】. 故答案为：. 题型四 空间向量的线性表示的含参运算 1．(24-25高二上·上海位育中学·期末)在四棱锥中，若，则实数组可能是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用底面是平行四边形判断B，根据向量的线性运算与向量的共线与共面性质判断A,C,D． 【详解】 对于选项A，取的中点,连接,取的中点，连接,若，则，故A错误； 对于选项B，若底面是平行四边形，设，则， 因此，即，故B正确； 对于选项C，若，则，故C错误； 对于选项D，若，则， 但平面，即不共面，因此不可能成立，故D错误． 故选：B． 2．(24-25高二上·上海宝山区海滨中学·期中)如图，已知正方体中，点为上底面的中心，若，则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据和可求关于的线性表示，由此可求结果. 【详解】因为， 所以， 所以， 故选：B. 3．在平行六面体中，点在上，且，若，则（    ） A． B．1 C． D． 【答案】C 【分析】根据空间向量的加法、减法、数乘运算即可求解. 【详解】 如图， , 所以， 所以， 故选:C. 4．(24-25高二上·上海音乐学院虹口区北虹高级中学·期中)正方体中，点E是上底面的中心，若，则 . 【答案】 【分析】由图结合空间向量加法可得答案. 【详解】如图，连接，，则其交点为E.又连接AC. 如图，可得，又. 则，，则. 故答案为： 题型五 空间向量共线判断 1．已知空间四边形ABCD，点E､F分别是AB与AD边上的点，M､N分别是BC与CD边上的点，若，，，，则向量与满足的关系为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由空间向量减法运算法则，得共线、共线，所以共线，继而得解. 【详解】由，，得，所以共线，同理，由，，得，所以共线，所以共线，即. 故选：B. 2．如图所示，在正方体中，点在上，且，点在体对角线上，且．求证：，，三点共线．    【答案】证明见解析 【分析】把用基底表示后证明它们共线，再由共顶点可得三点共线． 【详解】连接，， ∵ ， ， ∴，∴， 又，∴，，三点共线．    3．如图，已知空间四边形，点，分别是，的中点，点，分别是，上的点，且，.用向量法求证：四边形是梯形. 【答案】证明见解析. 【分析】根据题意得出，利用空间向量共线定理证明即可. 【详解】证明：连接. 点E，H分别是边，的中点，且，， ， 且. 又不在上，四边形是梯形. 4．如图，在四面体中，点、、分别是棱、、的中点，点、、分别是棱、、的中点，点是线段的中点．试判断下列各组中的三点是否共线：    (1)、、； (2)、、． 【答案】(1)、、三点共线，证明见解析； (2)、、三点共线，证明见解析. 【分析】（1）用分别表示即可求解； （2）用分别表示即可求解. 【详解】（1） , , 所以，所以、、三点共线. （2） , , 所以，所以、、三点共线. 题型六 空间向量共线求参数 1．设，是空间两个不共线的非零向量，已知，，，且、、三点共线，则实数的值为（    ） A． B． C． D．8 【答案】C 【分析】利用向量的线性运算表示，根据、、三点共线可得，建立等量关系可得的值. 【详解】∵，，， ∴， ∵、、三点共线， ∴，使得， 即 ， ∴，，解得． 故选：C． 2．已知、、为不共面的三个空间向量，若与共线，则的值为 . 【答案】0 【分析】由于共线，则，可得，即可求得的值. 【详解】因为于共线，则，即， 所以，则. 故答案为：. 3．已知，，三点共线，则 . 【答案】1 【分析】，，三点共线,即，根据空间向量平行列式即可得出答案. 【详解】,, 由题得，所以，解得1， 故答案为：1. 4．已知A，B，C三点共线，则对空间任一点O，存在三个不为0的实数λ，m，n，使λ+m+n=，那么λ+m+n的值为 . 【答案】0 【分析】利用共线向量定理列出向量等式，再借助向量减法用表示即可得解. 【详解】因A，B，C三点共线，则存在唯一实数k使，显然且，否则点A，B重合或点B，C重合， 则，整理得：，令λ=k-1，m=1，n=-k，显然实数λ，m，n不为0， 因此，存在三个不为0的实数λ，m，n，使λ+m+n=，此时λ+m+n= k-1+1+(-k)=0， 所以λ+m+n的值为0. 故答案为：0 题型七 空间向量数量积的概念 1．(23-24高二下·上海进才中学·月考)由四个棱长为1的正方体组合成的正四棱柱（如图所示），点是正方形的中心，则向量（    ）    A．1 B．2 C．4 D．8 【答案】A 【分析】根据数量积的几何意义即可求解. 【详解】由正四棱柱性质可知，向量在上的投影向量为， 由数量积的几何意义可知，. 故选：A 2．已知非零空间向量和，则下列说法正确的是（   ） A．若，则 B．若则 C．若，则 D．若，则 【答案】D 【分析】根据空间向量平行与垂直的定义判断即可. 【详解】若，则或与不共线，故选项A与B错误； 若，则，故选项C错误，选项D正确. 故选：D. 题型八 空间向量数量积的运算 1．(24-25高二下·上海浦东新区·期末)设正四面体的棱长为，为的中点，为的中点，则 ． 【答案】 【分析】根据向量的线性运算和数量积的定义与运算法则求解. 【详解】如图所示，    . 故答案为： 2．(24-25高二下·上海宝山区·期末)在平面上有如下命题：“若为直线外一点，则点在直线上的充要条件是：存在实数，满足，且.”将该命题类比到空间中，并解决以下问题：正四面体的棱长为1，为底面内一点，且满足，其中为实数，则 .    【答案】 【分析】将该命题类比到空间中，有“若为平面外一点，则点在平面上的充要条件是：存在实数，满足，且.”，故只需求出，再结合数量积的运算律. 【详解】将该命题类比到空间中，有“若为平面外一点，则点在平面上的充要条件是：存在实数，满足，且.” 正四面体的棱长为1，为底面内一点，且满足，其中为实数，则，解得， 则. 故答案为：. 3．(24-25高二下·上海建平中学·)如图，已知正三角形和正方形的边长均为4，且二面角的大小为，则 . 【答案】 【分析】设分别为的中点，连接，分析可得为二面角的平面角，进而结合空间向量的线性运算及数量积求解即可. 【详解】设分别为的中点，连接， 在正三角形中，，， 在正方形中，，，， 所以为二面角的平面角，即， 所以 . 故答案为：. 4．(24-25高二上·上海进才中学·期末)在棱长为4的正四面体ABCD中，E是BC的中点，则＝ . 【答案】8. 【分析】直接利用向量的线性运算和数量积运算求出结果. 【详解】如图所示： ＝＝8. 故答案为：8. 5．(23-24高二下·上海大学附属中学·月考)已知正四面体，底面边长为2，侧棱中点为E，则 ． 【答案】 【分析】根据向量的线性运算、数量积的运算即可求解. 【详解】因为正四面体，底面边长为2，侧棱PB中点为E， 所以 . 故答案为：. 题型九 空间向量的模长 1．(24-25高二上·上海吴淞中学·月考)已知空间单位向量，，两两垂直，则（    ） A． B． C．3 D．6 【答案】A 【分析】先根据单位向量得出模长，再根据垂直得出数量积，最后应用运算律求解模长即可. 【详解】因为空间单位向量两两垂直, 所以， 所以 . 故选：A. 2．(24-25高二上·上海北中学·期中)如图，在一个的二面角的棱上，有两个点，分别是在这个二面角的两个半平面内垂直于AB的线段，且，则CD的长为 ． 【答案】 【分析】由题设，应用向量数量积定义、运算律求线段长． 【详解】由题设，，， 所以 ， 所以. 故答案为： 3．(24-25高一下·上海复旦大学附属中学·期末)如图，甲站在水库底面上的点D处，乙站在水坝斜面上的点处．已知水库底面与水坝斜面所成的二面角的大小为，测得从、两点到水库底面与水坝斜面的交线的距离分别为m、m，且m，则甲乙两人相距 m． 【答案】 【分析】根据题意可得，再由空间向量的模长的计算，即可求得答案. 【详解】由题意可得， 故， 而m、m，且m，水库底面与水坝斜面所成的二面角的大小为， 可知，又， 故， 故（m）, 故答案为： 4．(24-25高二下·上海闵行区五校联考·调研)、、是空间向量，其中，与、的夹角都是，且，，．则 ． 【答案】 【分析】根据条件，利用数量积的定义及运算，即可求解. 【详解】因为，与、的夹角都是，且，，， 则，，， 则， 所以， 故答案为：. 5．(24-25高二上·上海行知中学·期中)平行六面体 中， 且AB=3，AD=2， AA₁=1， 则线段AC₁的长为 . 【答案】5 【分析】根据空间向量的线性运算可得 ，等式两边同时平方，利用空间向量数量积的定义计算即可. 【详解】如图， 由题意知，设， 则 ， 所以， 又， 所以， 即，所以. 故答案为：5. 6．(24-25高二上·上海中学·期中)在平行六面体中，，，是的中点. (1)求的长； (2)求. 【答案】(1) (2)4 【分析】（1）利用向量的运算得，然后由向量数量积的运算求解； （2）利用向量的运算得，然后利用向量数量积的运算求解. 【详解】（1）连接， ， ， ， ， ， ∴，即的长为. （2）， ∴ . 题型十 空间向量的夹角 1．已知空间向量，，满足，，，，则与的夹角为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】将变式成，两边同时平方，结合向量数量积公式化简，即可得到结果 【详解】由得，， 所以，得，故与的夹角为. 故选：D 2．(23-24高二上·河北张家口·期末)已知平行六面体的所有棱长都相等，且，则直线与直线所成角的余弦值为 . 【答案】0 【分析】根据空间向量的线性运算及空间向量数量积计算即可得到答案. 【详解】因为，所以四边形为平行四边形， 所以，所以直线与直线所成角和直线与直线所成的角相等， 又因为，所以 ， 所以直线与直线垂直，即直线与直线所成角的余弦值为0. 故答案为：0.    3．(22-23高二上·上海交通大学附属中学·期中)平行六面体，，，若，则 . 【答案】 【分析】由几何体中线段对应向量的数量关系有，应用向量数量积的运算律、定义列方程即可求. 【详解】 如上图知：， 所以 ， 故. 故答案为： 4．(24-25高二上·浙江台州温岭新河中学·)如图，在三棱锥中，若，，，点为棱上一点，且，点为线段的中点 (1)求的长度； (2)求异面直线与所成角的余弦值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据向量的四则运算，用，，表示，结合向量数量积的运算律求解即可； （2）根据向量数量积公式和运算律求解即可. 【详解】（1）因为为线段的中点，，所以，， 所以 ， 又因为，， 所以. （2）由（1）得 ， 所以， 即异面直线与所成角的余弦值为. 5．(23-24高二上·陕西榆林府谷中学·月考)如图，在四面体中，，，，，点，分别在棱，上，且，.    (1)用，，表示，； (2)求异面直线，所成角的余弦值. 【答案】(1)， (2) 【分析】（1）根据向量的线性运算直接表示各向量； （2）利用转化法求向量数量积及夹角. 【详解】（1）因为点，分别在棱，上，且，， 所以，， 所以， ； （2）因为，，，， 所以，， 所以， ， ， 所以， 即异面直线，所成角的余弦值为. 题型十一 投影向量 1．已知，空间向量为单位向量，，则空间向量在向量方向上投影的模为 ． 【答案】2 【分析】利用投影的定义计算然后求模即可． 【详解】空间向量在向量方向上的投影为， 所以投影的模为． 故答案为：． 题型一 空间向量中的动点问题 1．(24-25高二下·上海嘉定区·期末)如图，在棱长为1的正方体中，点P是对角线上的动点（点P与点A、不重合），则直线与所成角的取值范围是 ． 【答案】 【分析】根据，得到数量积及模长，再根据夹角公式结合值域计算，最后应用角的范围求解即可. 【详解】因为点P是对角线上的动点，所以， 所以， 所以 设直线与所成角为， ， 设，单调递增，所以，所以， 所以，所以， 故答案为：. 2．(24-25高二上·上海格致中学·月考)已知是棱长为2的正方体内（含正方体表面）任意一点，则的最大值为 . 【答案】4 【分析】根据向量的线性运算及数量积运算可得，由正方体的性质可得当时取得最大值为4. 【详解】取的中点为，连接，如下图所示：    因此可得，且 可得； 因此当的长度最大时，取得最大值， 显然当点与重合时，，因此取得最大值为4. 故答案为：4 3．(24-25高二上·上海宜川中学·期末)已知正三棱锥，侧棱长为5，底面边长为8，若空间中的一个动点M满足，则的取值范围是 ． 【答案】 【分析】设O为中点，先由题设得和，进而得点M在以O为球心，半径为的球上，接着设 ，再将转化成即可计算求解. 【详解】如图，O为中点，则由题意且， 所以. 因为，则即， 所以点M在以O为球心，半径为的球上， 设，则， 所以. 故答案为：. 4．(24-25高二上·上海黄浦区·调研)已知正四面体ABCD的棱长为6，P是空间一点，若，则点P到平面BCD的距离的最大值为 . 【答案】 【分析】若的中点分别为，且的中点为，应用向量加法的几何意义可得，进而确定的轨迹及的位置，结合已知求点P到平面BCD的距离的最大值. 【详解】由，即， 若的中点分别为，且的中点为，则， 所以，即在以为球心，为半径的球面上， 由题设，易知都在面内，则面， 又面，即面，即，同理， 而，，易知，故为正四面体外接球球心， 到面BCD的距离， 到面BCD的距离，则，所以， 综上，点P到平面BCD的距离的最大值为. 故答案为： 题型二 空间向量与球结合 1．(22-23高二下·浙江杭州·期末)设，，，是半径为1的球的球面上的四个点．设，则不可能等于（    ） A．3 B． C．4 D． 【答案】A 【分析】根据条件，得到，利用判断等号成立条件，确定不可能取的值. 【详解】因为， 且，所以， 而，当且仅当同向时，等号成立， 而A，，，在球面上，不可能共线，即不同向， 所以 且均小于直径长2，即， 综上，. 根据选项可知A不符合. 故选：A 2．(24-25高二上·辽宁大连滨城高中联盟·月考)已知正三棱柱的底面边长为，高为2，点是其表面上的动点，该棱柱内切球的一条直径是，则的取值范围是 . 【答案】 【分析】根据条件得出棱柱的内切球的半径为，利用数量积的运算得，再求出范围，即可求出结果. 【详解】正三棱柱的高为，所以棱柱的内切球的半径为， 设棱柱内切球与上下底面的两个切点为，且切点为上下底面的中心， 设棱柱内切球的球心为，又是该棱柱内切球的一条直径，则， 则 ， 又点是正三棱柱表面上的动点， 当为内切球与正三棱柱的各面的切点时，的值最小，此时， 由对称性知，当为正三棱柱的顶点时，的值最大， 连接，并延长交于， 因为正三棱柱的底边长为， 则， 此时， 得到，则的取值范围是. 故答案为：. 3．(21-22高二上·广东广州六十五中·期中)已知是正方体内切球的一条直径，点P在正方体表面上运动，正方体的棱长是2，则的取值范围为 . 【答案】 【分析】利用空间向量的数量积的运算律及正方体的几何特征求解即可. 【详解】如图所示，设正方体内切球球心为S，MN是该内切球的任意一条直径，则内切球的半径为1， 所以当点P在与正方体的面的中心时，PS取得最小值1，当点P顶点时，PS取得最大值，所以， ， 所以的取值范围为. 故答案为：. 4．(23-24高二上·上海师大附属宝山罗店中学·期末)体积为的正四面体内有一个球，球与该正四面体的各面均有且只有一个公共点，，是球的表面上的两动点，点在该正四面体的表面上运动，当最大时，的最大值是 . 【答案】 【分析】记该正四面体为，题意得出球是该正四面体的内切球，球心也是外接球的球心，在高上，由体积求得正四面体的棱长，并求出内切球半径，最大时，是球的直径，由数量积的运算得出取最大时，只要最大即可得． 【详解】记该正四面体为，如图，由题意球是该正四面体的内切球， 显然在其高上，是底面正的中心，设，则，， ，所以， 是内切球球心也是其外接球球心，设内切球半径为，即，又， 由得，， 最大时，是球的直径， ， 点在该正四面体的表面，当是正四面体的顶点时，取得最大值为， 所以的最大值是． 故答案为：． 题型三 个数问题 1．(24-25高二下·上海大学附属嘉定高级中学·期中)正方体的棱长为2，点是棱上一点，且，则符合要求的点的个数为 . 【答案】3 【分析】建立空间直角坐标系，根据两点距离公式，分类讨论求解方程的根即可求解. 【详解】建立如图所示的空间直角坐标系，则 当在上，则，，此时，无解，此时不存在， 当在上，则，，此时，解得，故此时， 当在上，则，，此时，无解，此时不存在， 当在上，则，，此时，无解，此时不存在， 当在上，则，，此时，无解，此时不存在， 当在上，则，，此时，无解，此时不存在， 当在上，则，，此时，无解，此时不存在， 当在上，则，，此时，解得，此时存在， 当在上，则，，此时，无解，此时不存在， 当在上，则，，此时，，此时存在， 当在上，则，，此时，无解，此时不存在， 当在上，则，，此时，无解，此时不存在， 综上可得：符合条件的有3个， 故答案为：3 2．(24-25高二下·上海青浦高级中学·)如图，已知正四面体，点，，，，，分别是所在棱中点，点满足且，记，则当，且时，数量积的不同取值的个数是 个. 【答案】5 【分析】由已知可得点在平面上，且平面，再利用数量积的几何意义可求出的不同取值的个数. 【详解】因为点满足且， 所以点在平面上， 因为， 所以为平面的中心，此时平面， 由数量积的几何意义可知在的投影有5种情况：0，，， 所以数量积的不同取值的个数是5. 故答案为：5 3．(22-23高二下·上海控江中学·期中)在空间中，是一个定点，给定的三个不共面的向量，且它们两两之间的夹角都是锐角.若向量满足，，，则满足题意的点的个数为 . 【答案】 【分析】确定点在与垂直，且到的距离为的平面上，在与垂直，且到的距离为的平面上，在与垂直，且到的距离为的平面上，计算得到答案. 【详解】，故，，， 故点在与垂直，且到的距离为的平面上，共两个平面； 同理得到： 故点在与垂直，且到的距离为的平面上，共两个平面； 故点在与垂直，且到的距离为的平面上，共两个平面. 个两两平行的平面共有个交点，故满足条件的共有个. 故答案为： 4．长方体的底面为边长为1的正方形，高为2，则集合中元素的个数为 个. 【答案】1 【分析】以为坐标原点，建立空间直角坐标系，利用向量的数量积可得，即可得答案. 【详解】解：以为坐标原点，建立空间直角坐标系，如图所示： 则，，，，，，，， 因为， 则对任意，， 均有， 所以集合，只有一个元素. 故答案为：1 5．如图所示，在正方体中，棱长为2，、、、、、、、、、、、分别为各棱的中点，则的不同值有 个． 【答案】3 【分析】建立空间直角坐标系，然后得到各点坐标，算出和，利用数量积即可得到答案 【详解】解：以点为坐标原点，为轴，为轴，为轴建立空间直角坐标系， 则，，，，，，，，，，，，，， 所以，，，，，，，，，，，，， 所以 则有3个不同的值，故答案为3 1．(23-24高二下·上海嘉定区·期末)空间直角坐标系中，从原点出发的两个向量、；满足：，，且存在实数，使得成立，则向量确定时，由构成的空间几何体的侧面积是（    ） ． A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由不等式有解，结合数量积运算，求得，又且，可得围成的空间几何体是以原点为顶点，高为2，母线长为的圆锥，从而根据锥体侧面积公式求得结论. 【详解】由已知得，所以， 即存在实数，使得不等式有解， 则有，解得， 又因为且，所以在方向上的数量投影是， 所以围成的空间几何体是以原点为顶点，高为，母线长为的圆锥， 则其底面半径为， 故由构成的空间几何体的侧面积为. 故选：C. 2．(23-24高二上·上海崇明中学·期中)正方形的边长为12，其内有两点、，点到边、的距离分别为3，2，点到边、的距离也是3和2．现将正方形卷成一个圆柱，使得和重合（如图）．则此时、两点间的距离为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】过点分别作底面的平行圆，利用空间向量数量积的运算律求解即得. 【详解】过点作平行于底面的截面圆，过点作平行于底面的截面圆，， 设圆柱的底面圆半径为，则，解得 ，于是， 由，得 ， 所以、两点间的距离为. 故选：C    【点睛】关键点睛：求出空间两点的距离，借助空间向量表示及空间向量数量积是解决问题的关键. 3．(24-25高二上·上海洋泾中学·)已知正三棱锥，侧棱长为5，底面边长为8，若空间中的一个动点满足 ，则 的取值范围是 . 【答案】 【分析】设O为中点，先由题设得和，进而得点M在以O为球心，半径为的球上，接着设 ，再将转化成即可计算求解. 【详解】如图，O为中点，则由题意且， 所以. 因为，则即， 所以点M在以O为球心，半径为的球上， 设，则， 所以. 故答案为：. 4．(24-25高二上·上海格致中学·月考)已知、是空间单位向量，，若空间向量满足，，且对任意，，（），则 . 【答案】 【分析】根据题意当，时，有最小值1，平方后结合空间向量数量积运算性质，根据最小值为1列方程进行求解即可. 【详解】由可知： 当，时，有最小值1， 因为，是空间单位向量，，空间向量满足，， 两边平方可得： 显然当时，有最小值，最小值为1，所以， 解得：，即当时成立，因此， 故答案为： 5．(24-25高二下·上海大学附属中学·期中)已知空间向量，，两两之间的夹角均为，且，，，若向量，分别满足与，则的最小值为 ． 【答案】/ 【分析】由题意可得，令，可得且，利用数量积的性质得出，最后由模的三角不等式可得结论． 【详解】依题意，，， 因为，所以， 所以，所以， 令，则，且， 由，得，所以， 所以， 当且仅当，共线同向且，共线时等号成立. 故答案为：． 【点睛】关键点睛：解题关键是把已知条件由结合已知变形得出，引入向量，可得，从而得到的最小值，从而由向量模的三角不等式得出结论． 6．正多面体也称柏拉图立体，被誉为最有规律的立体结构，是所有面都只由一种正多边形构成的多面体（各面都是全等的正多边形），即正四面体、正六面体、正八面体、正十二面体、正二十面体．已知球O是棱长为2的正八面体的内切球，为球O的一条直径，则的取值范围是 . 【答案】 【分析】利用等体积的方法得到正八面体的内切球半径，然后将转化为，最后求范围即可. 【详解】由题意得为正方形的中心，取中点，连接，， 因为为正八面体，所以平面， ，，， 设正八面体的内切球半径为， 则, 所以，解得， ， 由图可知，当点在正八面体的顶点时，最大，此时， 当点在切点，最小，， 所以，即. 故答案为:． 【点睛】关键点睛：本题的关键是先利用体积法求出内切球半径为，然后再对向量化简为，最后再根据的范围即可求出答案. 7．(24-25高二下·上海闵行区五校联考·调研)已知正四面体的棱长为，空间中的动点满足，则的取值范围是 ． 【答案】 【分析】根据向量的线性运算可得，即可得，再利用转化法可得向量数量积. 【详解】 如图所示，设中心为，则平面， 则， 即，即， 所以点在以为球心，为半径的球上， 由已知正四面体的棱长为， 则，， 则 ， 故答案为：. 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 3.1空间向量及其运算 题型一空间向量的基本概念 题型二空间向量的加减数乘运算 题型三空间向量的线性表示 题型四空间向量的线性表示的含参运算 题型五空间向量共线判断 基础达标题 题型六空间向量共线求参数 题型七空间向量数量积的概念 空间向量及其运算 题型八空间向量数量积的运算 题型九空间向量的模长 题型十空间向量的夹角 题型十一投影向量 题型一空间向量中的动点问题 能力提升题 题型二空间向量与球结合 题型三个数问题 拓展培优题 基础达标题 题型一空间向量的基本概念 1.在平行六面体ABCD-A1B1C1D1中，与向量A相等的向量共有() A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 2.给出以下结论：①两个空间向量相等，则它们的起点和终点分别相同；②若空间向量、乃满足 |引=，则言=b:③在正方体ABCD-AB1C1D1中，必有AC=A1C1:④若空间向量元、i、币满足 1/12 命学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 品=，i=币，则后=方.其中不正确的命题的序号为 3.在长方体ABCD-ABCD中，|AB|=4,BC=3,AA=5,写出： (1)与AC模相等的向量； (2)与AB相等的向量： 3)与AA垂直的向量， 题型二空间向量的加减数乘运算 1.在空间四边形PABC中，PB-A正.CA=() A.AP B.PC C.AB D.AC 2.己知正方体ABCD-ABCD的中心为O,则在下列各结论中正确的共有() ①0A+0方与0B+0C是一对相反向量； ②0成-0元与0A.0D是一对相反向量； ③可A+0+O元+Oi与0A+0B+0C+0D是一对相反向量： ④0A0A与0元-0c是一对相反向量. A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 3.已知四面体ABCD,G是CD的中点，连接AG,则AB+(BD+BC)= 4.已知长方体ABCD-A1B1C1D1,若0为AC1与A1C的交点，则(AB+AD+AA1)= A0. 5.化简下列算式： (13(2a-6-4)-4(a-26+3): 20A-[oB-(A-AC)]. 题型三空间向量的线性表示 1.在平行六面体ABCD-ABC1D1中，点E满足A正=-AA+AB1+AD1,则() A.3BE=BC1 B.3BE=2B1C1 C.BE=3B1C1 D.2BE=3BC1 2.(24-25高二下.上海行知中学期中)空间四边形0ABC中，OA=京，O克=i,0元=亡，且0M=号0A ,BN=N元，则M=() 2/12 函学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 A.a-郭+B.+B-c.-a+6+:D.-a+6+托 3.在四面体0-ABC中，设OA=a,OB=石，O元=，D为BC的中点，E为AD的中点，则O正=() B A.b B.b c.a+6+是c D.a-拓+ 4.在正四面体ABCD中，F是AC的中点，E是DF的中点，若DA=,DB=石，D元=，则B它=(). D B A.-b+B.a-6+ c.a+6+ D.+b+c 5.(24-25高二上上海松江二中期中)已知空间四边形ABCD中向量AB=,AC=,A=,点E,F 分别是AB,CD的中点，则向量E录=一，（用a、b、表示） 6.如图，在四面体OABC中，M是棱OA上靠近点A的三等分点，N,P分别是BC,MN的中点.设 0A=a,0B=b,0元=飞，用a,b,表示0= 题型四空间向量的线性表示的含参运算 1.(24-25高二上.上海位育中学.期末)在四棱锥S-ABCD中，若SA=xS+yS元+zSi,则实数组 3/12 品学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 (x,y,z)可能是() A.(1,1,1) B.(1,-1,1) c.(1,0,-1) D.(1,-1,-1) 2.(24-25高二上.上海宝山区海滨中学期中)如图，己知正方体ABCD-A1B1C1D1中，点E为上底面A1C1的 中心，若A正=AA1+xA店+yA而，则x:y=() D B D B A.吉 B.1 C. D.2 3.在平行六面体ABCD-A1B1C1D1中，点P在A1C,且AP=A1C,若A=xAA+yA店+zA, 则x+y十z=() A. B.1 C. D.子 4.(24-25高二上上海音乐学院虹口区北虹高级中学.期中)正方体ABCD-A1B1C1D1中，点E是上底面的 中心，若A它=xA庙+yA而+zAA1,则x+y+z=一 题型五空间向量共线判断 1.己知空间四边形ABCD,点E、F分别是AB与AD边上的点，M、N分别是BC与CD边上的点，若 AE=AB,AF=AD,CM=uCB,CN=uCD,则向量EP与MN满足的关系为() A.EF=MN B.EFMN c.|EF=|MND.|EF≠|MNI 2.如图所示，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，点E在A1D1上，且A1E=2ED1,点F在体对角线A1C上， 且A中=F元.求证：B,F,B三点共线. D ! A B D 4/12 品学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 3.如图，己知空间四边形ABCD,点E,H分别是AB,AD的中点，点F,G分别是CB,CD上的点，且 C京=C,CG=CD.用向量法求证：四边形EFGH是梯形. B 4.如图，在四面体ABCD中，点E、M、N分别是棱AB、AC、AD的中点，点E1、M1、N1分别是棱CD 、BD、BC的中点，点G是线段EE1的中点.试判断下列各组中的三点是否共线： GM (1)G、M、M1: (2)G、N、N1 题型六空间向量共线求参数 1.设e1,e2是空间两个不共线的非零向量，已知A丽=2日+k2,B元C=可+3已2，D元=2E-E2,且A、 B、D三点共线，则实数k的值为() A.-2 B.-4 C.-8 D.8 2.己知、b、c为不共面的三个空间向量，若而=a-b+与i=x+yb+C共线，则x+y的值为 3.己知A1,1,0),B(1,0,-1),C1,x+2,2x)三点共线，则x= 4.已知A,B,C三点共线，则对空间任一点O,存在三个不为0的实数，m,n,使10A+m0B+n0C=0, 那么1+m+n的值为 题型七空间向量数量积的概念 1.(23-24高二下.上海进才中学.月考)由四个棱长为1的正方体组合成的正四棱柱ABCD-AB1C1D1(如图 5/12 命学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 所示)，点P是正方形A1B1CD1的中心，则向量AA·AP=() D A D B A.1 B.2 C.4 D.8 2.己知非零空间向量三，b和它，则下列说法正确的是() A.若a⊥b,a⊥c,则b‖ B.若a上b,a1飞，则奶⊥ c.若a1石，ac,则6川 D.若a1石，川c,则61 题型八空间向量数量积的运算 1.(24-25高二下.上海浦东新区·期末)设正四面体ABCD的棱长为a,E为BC的中点，F为CD的中点，则 B.A应=一 2.(24-25高二下·上海宝山区期末)在平面上有如下命题：“若0为直线AB外一点，则点P在直线AB上的充要 条件是：存在实数入，4，满足O市=OA+uO,且入+4=1."将该命题类比到空间中，并解决以下问题： 正四面体0ABC的棱长为1，P为底面ABC内一点，且满足O下=λOA+专OB+OC,其中7为实数，则 0币.0A= B 3.(24-25高二下.上海建平中学)如图，已知正三角形ABC和正方形BCDE的边长均为4，且二面角 A-BC-D的大小为若，则A记.BD=一 6/12 品学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 4.(24-25高二上上海进才中学.期末在棱长为4的正四面体ABCD中，E是BC的中点，则A立·A而=一 5.(23-24高二下.上海大学附属中学.月考)已知正四面体P-ABC,底面边长为2，侧棱PB中点为E,则 PA.CE= 题型九空间向量的模长 1.24-25高二上上海吴淞中学月考)已知空间单位向量，6，两两垂直，则-b十=（） A.V3 B./6 C.3 D.6 2.(24-25高二上·上海北中学期中)如图，在一个60°的二面角的棱上，有两个点AB,AC,BD分别是在 这个二面角的两个半平面内垂直于AB的线段，且AB=4cm,AC=6cm,BD=8cm,则CD的长 为 0 3.(24-25高一下.上海复旦大学附属中学.期末)如图，甲站在水库底面上的点D处，乙站在水坝斜面上的点 C处.已知水库底面与水坝斜面所成的二面角的大小为150·，测得从D、C两点到水库底面与水坝斜面的 交线的距离分别为DA=20W3m、CB=40m,且AB=20m,则甲乙两人相距 m. C B/ D 4.(24-25高二下.上海闵行区五校联考调研)a、b、飞是空间向量，其中316，飞与a、b的夹角都是60°， 且=1，=2，=3.则+6-= 5.(24-25高二上.上海行知中学期中)平行六面体ABCD-A1B1C1D1中， ∠BAD=∠BAA1=∠DAA1=号，且AB=3,AD=2,AA1=1,则线段AC的长为」 6.(24-25高二上上海中学期中)在平行六面体ABCD-A1B1C1D1中，AB=AD=1,AA1=2, ∠BAD=∠BAA1=∠DAA1=号，M是CC1的中点. 7/12 学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 D B D… (1)求BD1的长： 2)求BD1·AM 题型十空间向量的夹角 1.已知空间向量a,b,c满足a+b+c=0,|a=2,b=3,=4,则a与b的夹角为() A.30 B.45 C.60° D.arccos号 2.(23-24高二上河北张家口·期末)已知平行六面体ABCD-A1B1C1D1的所有棱长都相等，且 ∠BAD=∠A1AB=∠A1AD=45°，则直线CD1与直线AD所成角的余弦值为. 3.22-23高二上上海交通大学附属中学期中)平行六面体ABCD-A1B1C1D1, ∠BAD=∠BAA1=∠A1AD=6,AB=AD=AA1=1,若AC1=2,则cOs6= 4.(24-25高二上·浙江台州温岭新河中学.)如图，在三棱锥P-ABC中，若AB=AC=3,AP=4, ∠BAC=∠PAC=∠BAP=60°，点D为棱BC上一点，且CD=2BD,点M为线段AD的中点 A M D B (1)求PM的长度； (2)求异面直线PM与AC所成角的余弦值. 5.(23-24高二上陕西榆林府谷中学月考)如图，在四面体ABCD中，AB=3,AC=AD=2, ∠BAD=∠CAD=等，∠BAC=受，点M,N分别在棱AB,BC上，且AM=BM,CN=2BN. 8/12 高学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 D B (1)用AB,AC,AD表示AN,DM: (2)求异面直线AN,DM所成角的余弦值， 题型十一投影向量 1.已知引=4，空间向量为单位向量，(，)=琴，则空间向量在向量方向上投影的模为. B 能力提升题 题型一空间向量中的动点问题 1.(24-25高二下.上海嘉定区期末)如图，在棱长为1的正方体ABCD-A1B1C1D1中，点P是对角线AC1上 的动点（点P与点A、C1不重合)，则直线AA1与BP所成角的取值范围是一· B B 2.(24-25高二上.上海格致中学.月考)已知P是棱长为2的正方体ABCD-A1B1C1D1内（含正方体表面）任 意一点，则PA.PC的最大值为一 3.(24-25高二上·上海宜川中学期末)己知正三棱锥P-ABC,侧棱长为5，底面边长为8，若空间中的一个 动点M满足MB+Md=2,则P立.P元的取值范围是 4.(24-25高二上·上海黄浦区·调研)已知正四面体ABCD的棱长为6，P是空间一点，若 (4PA+A店+AC+A而)=24，则点P到平面BCD的距离的最大值为 题型二空间向量与球结合 1.(22-23高二下浙江杭州期末)设A,B,C,D是半径为1的球0的球面上的四个点.设 OA+OB+OC=0,则AD|+|BD|+|CD|不可能等于() 9/12 命学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 A.3 8.号 C.4 D.3V2 2.(24-25高二上辽宁大连滨城高中联盟·月考)已知正三棱柱ABC-ABC的底面边长为2W5,高为2，点P 是其表面上的动点，该棱柱内切球的一条直径是MN,则P应.P的取值范围是 3.(21-22高二上广东广州六十五中，期中)已知MN是正方体内切球的一条直径，点P在正方体表面上运动， 正方体的棱长是2，则PM·PN的取值范围为 4.(23-24高二上：上海师大附属宝山罗店中学期末体积为竖a3的正四面体内有一个球0，球0与该正四面 体的各面均有且只有一个公共点，M,N是球0的表面上的两动点，点P在该正四面体的表面上运动，当 |M材最大时，P方.P的最大值是一 题型三个数问题 1.(24-25高二下.上海大学附属嘉定高级中学.期中)正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为2，点P是棱上一点， 且PA-|PC1=2,则符合要求的点P的个数为」 2.(24-25高二下.上海青浦高级中学)如图，己知正四面体A1AA3A4,点A5,A6,A7,A8,Ag,A10分别 是所在棱中点，点P满足A4P=xA4A1+yA4A2+zAA且x+y+z=1,记=|A'则当 1≤i,j≤10且i≠时，数量积A4Q·AA;的不同取值的个数是个. A10 且9 A 3.(22-23高二下.上海控江中学期中)在空间中，0是一个定点，0A,0B,0元给定的三个不共面的向量，且 它们两两之间的夹角都是锐角.若向量0币满足可A·0=|A,|o.0=2可， ]O元.O=3Od,则满足题意的点P的个数为 4.长方体A1A2A3A~B1B2BB4的底面A1A2A3A4为边长为1的正方形，高为2，则集合 {k=A1B1·AB,i,je{1,2,3,4}}中元素的个数为 _个 5.如图所示，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，棱长为2，P1、P2、P3、P4、P5、P6、P7、P8、Pg 10/12