数学(十)-【步步为赢】2025-2026学年高二上学期数学期末综合冲刺卷

8.若数列{an}各项均为正数，且对n∈N',都有(a1+a十… 高二第一学期期末综合冲刺卷·数学（十） 1山.过双曲线E:乙-=1(@>0，b>0)的右焦点F作渐近 十a.)=a十a十…十u,则称数列{an}其有“P性质”，则 (时间：120分钟满分：150分) 线的垂线交y轴于点P,垂足为点M,若M疗=2PM,则 一、单项选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小 A.数列a.=3n一2具有“P性质” 题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的) A.直线FP与圆x+y=a相切 B.数列a.=2"-具有“P性质” 1.已知向量a=(2,1,3),b=(x,2,1一x),若a⊥b,则x= C.具有“P性质”的数列{a,的前n项和为”m+) +-1有相同的焦点 BE与x ) 2 A.-5 B.5 C.4 D.-1 D.具有“P性质”的数列{4.}的前n项和为3”-1 CE的渐近线方程为y=士号： 2.在正三棱锥ABCD中，∠BAC=∠BAD=∠CAD=90°， 二、选择题（本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给 D.E的离心率为v3 且AB=AC=AD=1,M,N分别为BC,AD的中点，则直 出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分 三，填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分） 线AM和CV夹角的余弦值为 选对的得部分分，有选错的得0分) 12.已知圆C:x2+y-2x十2y=0,则过M(2,-4)且被圆C 入写 B四 c.-V1 n-9 9.在棱长为1的正方体ABCD-A,B,C,D,中，E为侧面 截得的弦最长的直线（的一般式方程为 3.直线1经过两条直线x一y十1=0和2x十3y十2=0的交 BCC1B,的中心，F是棱C,D,的中点，若点P为线段BD, 13,地物线的聚焦特点：从抛物线的焦点发出的光经过抛物线 点，且平行于直线x一2y十4=0，则直线1的方程为() 上的动点，则下列说法正确的是 反射后，光线都平行于抛物线的对称轴.另一方面，根据光 路的可逆性，平行于抛物线对称轴的光线射向抛物线后的 A.x-2y-1=0 B.x-2y十1=0 反射光线都会汇聚到抛物线的焦点处，已知抛物线y= C.2x-y+2=0 D.2x+y-2=0 2px(p>0),一条平行于抛物线对称轴的光线从点A(3, 4.已知直线1：x十y一m=0与圆x+y=4交于A,B两点， 1)向左发出，先经抛物线反射，再经直线y=x一3反射后， O为原点，且OA·OB=2,则实数m等于 () 恰好经过点A,则该抛物线的标准方程为 A.士6 B.士2 C.士3 D.士√2 14.数列{a。}满足a1+2a2十3a十…十4.=n(n十1)(n十2)， 5,已知抛物线y=2px(p>0),O为坐标原点，以O为圆心的 APE的长最小值为司 则a。= 超 圆交抛物线于A,B两点，交准线于M,N两点，若|AB引= 四、解答题（本大题共5小题，共77分） 42,MN1=25,则抛物线方程为 () B.P它.P的最小值为一8 15.(本小题满分13分)如图，四棱锥P A.y=2r B.y=4r C.y=8.r D.y=10r C.若BP=2PD,则平面PAC截正方体所得截面的面积为号 ABCD中，PD⊥平面ABCD,底面 6.已知椭圆号+号-1与用圆，千6+六。-1(<)，则下列 ABCD是正方形，PD=AB=2, D.若正方体绕BD旋转0角度后与其自身重合，则0的值 E为PC中点 结论正确的是 可以是号 (I)求证：DE⊥平面PCB: A.长轴长相等 B.短轴长相等 C.焦距相等 D.离心率相等 10.已知直线(：3x+2y-m=0,:rsin a-y+1=0,则 7数列a.满足，=反，4-22。（=l,2,3,.则 ( A.当m变化时，山，的倾斜角不变 a1十a2十ag十a:十…+ag1十a2= B.当a变化时，2过定点 A.2022 B.2020 C.1,与l2可能平行 C.2022+2√2 D.2020+2② D.1与不可能垂直 10-1 (2)求二面角EBDP的余弦值. (2)若过点F,作直线1，交椭圆C于M,N两点(1与x轴 (3)若数列{an}的通项公式为a,="(m∈N),写出数列 不重合)，在x轴上是否存在一点T,使得直线TM与TN {a}的m阶差数列的通项公式，并说明理由. 的斜率之积为定值？若存在，请求出所有满足条件的点T 的坐标：若不存在，请说明理由. 16.(本小题满分15分)已知圆C与x轴相切，圆心在直线y一 53x上，且到直线y=2x的距离为 (1)求圆C的方程： 19.(本小题满分17分)如图，已知菱形 18.(本小题满分17分)已知数列{a,}是无穷数列.若h,=a+1一 ABCD的边长为3，对角线BD=2, an,则称{bn)为数列{an}的1阶差数列：若cn=b+1一b.,则 将△BCD沿着对角线BD翻折至 称数列{c.}为数列{a.的2阶差数列：以此类推，可得出数 △BDE的位置，使得AE=4,在平 列{a,的p阶差数列，其中p∈N', 面ABCD上方存在一点M,且MA⊥平面ABCD, (1)若数列{an}的通项公式为a。=n,求数列{an}的2阶 MA=√10. (2)若圆C的圆心在第一象限，过点(1,0)的直线1与C 差数列的通项公式： (1)求证：平面EBD⊥平面ABD: 相交于A、B两点，且AB1=32,求直线1的方程 (2)求点M到平面ABE的距离： 17.(本小题满分15分)已知O为坐标原点，F,、F2为椭圆C 的左、右焦点，|F,F,|=2,P为椭圆C的上顶点，以P为 (2)若数列(a.}的首项为1，其一阶差数列{6.}的通项公式 圆心且过F1,F的圆与直线x=一√2相切. 为b.=2n,求数列{a.}的通项公式： (1)求椭圆C的标准方程： (3)求二面角EAB-M的正弦值. 10-2解得q=2或g=(含去).所以a,=2"(n∈N*),当 =(o,-1,2),设直线AM和CV所成的角为0， n=1时，b1=S1=1, 则cos0=|cos(AM,Cl= AM.CN 当n≥2时，6=S。-S-1=(分2+2 AMCN] [2-12+2(m-D]=m. w1 5 ,所以直线AM和CN夹角的余 经检验，n=1时，b1=1适合上式， 故bn=n(n∈N*). 综上可得：an=2”,bn=n 孩值为，故选R] (卫，n为奇数 3.B[联立已知两条直线方程求出交点，再根据两直线 an (2)由(1)可知，cm= n2-4(n-2)2 n为偶数 学行纤学相门水出的率即可，由经20解 an 得两直线交点为(-1,0)，直线1斜率与x一2y十4=0 当n为奇数时，G,=” , 相同，为，则直线1方程为y一0=之(x十1D,即x 当口为数时6-号， 22 2y+1=0.故选B.] 由题高，有T=6十，十6+…叶1=+ 3 4.A[圆x2+y2=4的圆心0，半径r=2,因0A.OB =2,则cos∠AOB= OA·OB1 25+…+2n-1 5 1OA11OB=2,而0≤∠AOB 22m-1 ① ≤，则∠AOB=号，即△AOB是正三角形，点0到直线/ T22-千22+ ② 的距离d=5,因此，d=m=3,解得m=士√6，所以实 2 √2 22m7 数m等于士√6.故选A.] 11 5.C[设圆O的半径为r,抛物线的准线方程为x= 2n-1=1+44_2m-1 22m+T2 1- 22m+7 一号，由勾版定理可得r=√+5，因为AB= 4V2,将y=士2√2代入抛物线方程得2px=8,可得 5 4 2n-1_56n+5 63×42×4”6 6×4n =合，不的设点A(合，22)则=0A1 6n+5 则有：T奇三9一18X·】 2202 V8所风，4T十8解得=，因此，8 T偶=c2十C4十C6十…十C2m (2220）+ (p>0 (货)(g-+ (2)2 (2n-2)27 物线的方程为y2=8x.故选C.] 22m 22m-2 6.C[利用k<4,可得9-k>4-k>0且9-k-(4-k) (2m)2_02_422 =9-4,即可得出结论.，k<4,.9-k>4-k>0且 22m 204”4"- 9-女-(4-)=9-4满周号+号=1与稀周g n2_10+18n2-6n-5 故T2号-8X品十4Pg18X +-1(<)的关系是有相等的悬更发这C] 高二第一学期期未综合冲刺卷·数学（十） 1.B[根据向量垂直列方程，化简求得x.由于a⊥b,所 2(2+√2) C[由题意a1V2,a,22(22)2十2 以a·b=2x+2十3-3.x=5-x=0,x=5.故选B.] 2.B[由题意可得AB,AC,AD 2 2 两两垂直，所以以A为原，点， =2+vBa,2-(2+2-5,a2-- AB,AC,AD所在的直线分别 2(2-√2) 2 =2-W2,0,=2-(2-2) =2 为x,y,之轴，建立空间直角坐 (2+√2)(2-√2) 标系，利用空间向量求解因为 a1,故{an}的周期为4.又a1十a2十a3十a4=V2+2十 ∠BAC=∠BAD=∠CAD= 90°，所以AB,AC,AD两两垂 V2-√2+2-V2=4,故a1+a2十a3十a4十…+42021+ 直，所以以A为原点，AB,AC,AD所在的直线分别为x, a2022=505(a1+a2十a3十a4)+a1+a2=2022+2√2 y,之轴，建立空间直角坐标系，如图所示，因为AB=AC= 故选C.] AD=1,所以A(0,0,0),B1,0,0),C(0,1,0),D(0,0, 8.C[令a1+a2十…十an=Sn,则a+a2+…十a 1),因为M,N分别为BC,AD的中点，所以M S员，令n=1,求得数列的首项，令n=2,可得a2,将n换 (220,N(0,0,2）所以a=(22,0）.d 为n一1，两式相减，结合数列的递推式，再将n换为 n一1，两式相减，结合等差数列的定义，即可求出数列 17 的通项公式，再根据等差数列求和公式计算可得：解： 由题意可得am>0,对Vn∈N*,都有(a1十a2十…十 4号)×32-8，C正确：A1,0,0,CC0.1,0 2 an)2=a十a+…十ai,令a1十a2+…十an=Sn,即 B1(1,1,1),AC=(-1,1,0),BD1=(-1,-1,1), a3+a3+…+a=S%,当n=1时，a3=S=a,解得 AC.BD1=1-1+0=0,AC⊥BD1,同理AB1⊥BD1, a1=1,当n≥2时，a3十a十…十a-1=S%-1,两式相 减可得a=S%-S-1=(Sn-Sm-1)(Sm+S-1)= 所以BD1是平面ACB1的一个法向量，即BD1⊥平面 an(Sn十Sm-1),即为a品=Sn十Sm-1,可得a7-1=Si-1 ACB1,设垂足为O1,则∠AO1C=∠CO1B1=∠B1OA +Su-2,n≥3，两式相减可得a7-a元-1=Sm一Sm-1+ 答，BD是正方体的外接球的直径，因此正方体绕 Sm-1一Sm-2=am十am-1,由于an+an-1>0,所以 am一au-1=1,令n=2可得a2-a2-2=0,解得a2=2或 BD1花转0角度后与其自身重合，至少旋转D正 a2=一1（舍去），所以am=2十(n-2)=n,当n=1时am= 确.故选BCD.] n也成立，所以a,=,则S。=mn,故选C] 10.AB[对于A:当m变化时，直线l1:3x十2y-m=0 2 9.BCD[建立如图所示的空 的斜幸为=一多，所以山的领针角不变，故A正 间直角坐标系，设BP= D N:- 确；对于B:直线l2:xsin a-y十1=0恒过定点(0， ABD1=(-A,-A,A),(0≤入 1).故B正确；对于C:假设1与2平行，则一3 ≤1)，得P(1-1,1-入，)， 然后用空间向量法求得PE, 2sima,即sina=一号，这与sina∈[-1,1门湘矛盾， 判断A,求得数量积PE· 所以1与2不可能平行.故C不正确；对于D:假设 PF计算最小值判断B,由线 山与垂直，则3imB一2=0，即sma=号，所以4 面平行得线线平行，确定截面的形状、位置，从而可计 与l2可能垂直.故D不正确.故选AB.] 算出截面面积，判断C,结合正方体的对称性，利用 11.ABD[过双曲线的右顶 BD1是正方体的外接球直径判断D.建立如图所示的 空间直角坐桥系，正方体陵长为1，则E(日，1，， 点A(a,0)作x轴的垂线 文斯近线)=合x于点 B1,1,0).D1(00.1.F(0,号，1)，BD=(-1, B(a,b),则|OB|=c= -1,1),设BP=入BD1=(-入，-A,A),(0≤A≤1)，所以 |OF|,不妨设M,P在x p1-,1-aA0,丽-=a-合A号 1 轴上方，则|OB引=|OF1, ∠AOB=∠MOF,∠OAB P=√a-22++(2-02 =∠OMF=90°， .Rt△OAB≌RT△OMF,∴.|FM=|AB1=b, V以-+所以=时.Pi,A 1OM1=OA=a,由已知M萨=2PM得PM=2, b 错：P庐=a-1,-分，1-.P它.P元=以-号 由OM2=1FM1·MP,得a2=分b=v2a a-10+以-2+（号-01-0=3以-02- 2=区，双曲线的渐近线为y=士V2,故C错 得所以A=时，(P匠.P成m=一衣B正确：BP 误：c2=a2+b2=3a2,e=C=3,故D正确；0M =2PD1,则P是BD1上靠近D1的三等分点， a P号号号，取AC上套近C的三等分点G,则G分 ⊥直线FP,且|OM=a,.直线FP与圆x2十y2 a2相切，故A正确；双曲线的焦，点为F(士c,0),c 号，0，店=0，日，号.显然店与年面CD0G的 品+学=1，即后+学-1，为中心在原点集点 法向量(1,0,0)垂直，因此PG/平面CDDC,所以裁 面PAC与平面CDD1C的交线与PG平行，作CM/PG 在x轴上的椭圆，半焦距c1=√4a2-a2=√3a,焦点 交CD1于点M,设M(0,k,1),则CM=(0,k-1,1),由 坐标为士0=E与元+号-1有 P心得-号(-D=专，解得=，则M与F 相同的焦点，故B正确.故选ABD.] 重合，因此取A1D1中点N,易得NF/AC,截面为 12.3x十y一2=0[首先判断出直线1过圆心时，被圆 ACFN,它是等腰梯形， C截得的弦最长，从而可求出直线1的一般式方程. AC=E,NF=号AN=CF=,形的高为 由C:x2+y2-2.x+2y=0,得(.x-1)2+(y+1)2 2,所以圆C的圆心坐标为(1，一1)，因为点M(2, 4)在圆外，所以过M(2,一4)且被圆C截得的弦最长 32 我面西积为S=号( 的直线1进国心，所以=告=一3，所以直线 1的方程为y十4=一3(.x-2),即直线1的一般式方 则DB=(2,2,0),DE=(0,1,1), 程为3x十y-2=0.故答案为3x十y-2=0.] 设平面BDE的法向量为n=(x,y,z), 13.y2=16.x[设光线与抛物线的交点为B,抛物线的焦点 为F,则可得B)抛物线的焦点为：F(台0)小，则 n·DB=012.x+2y=0 则 n.DE=0 y+=0 直线BF的方程为：y 1-卫 (-),设直线 令=1，得到y=-1,x=1, 2p2 ∴.n=(1,-1,1) BF与直线y=x-3的交，点为M, 又C(0,2,0),A(2,0,0),则AC=(-2,2,0), y= 则有： (x-) 且AC⊥平面PDB, 2p2 .平面PDB的一个法向量为m=(-1,1,0), y=x-3 设二面角EBDP的平面角为a, 尔得：)2》图建点M且直于 cos a=l cos(n,m)=11+1+01_6 √2X3 1 y=x一3的直线的方程为：y=一x十 4p2-3十 p2+2p-1 所以二面角EBD-P的余弦值为 ,6p=一+5p6p3,根据题意可知：点 16.解：(1)设圆心C的坐标为(a,3a),则该圆的半径长 p2+2p-1 p2+2p-1 为3a, A(3,1D关于直线y=一x+5D5力3的对称点A p2+2p-1 因为圆心C到直线y=2z的距离为2=白，解 在直线BF上，设，点A1(x2,y2),AA1的中点为C, 5 得a=±1， 则有：C(,12）直线AA1垂直于y=-计 所以圆心C的坐标为(1,3)或（一1，一3），半径为3， 梁寻有六}1点C在金我= 因此，圆C的标准方程为(x-1)2+(y一3)2=9或 (x+1)2+(y+3)2=9. 5p2-6p-3 上.则有：” 3+x2 (2)若圆C的圆心在第一象限，则圆C的标准方程为 p2+2p-1 = 2 (x-1)2+(y-3)2=9. +2B,点A在直线BF上，则有：2 5p2-6p-3 因为AB|=3√2，所以圆心到直线l的距离d= 2 ,9=32 1 1-卫 (2-号)化简得：p(p-8)=0又p>0 2p2 若直线1的斜率不存在，则直线1的方程为x=1,此 故p=8,故答案为y2=16.x.] 时圆心C到直线1的距离为2，不合乎题意； 所以，直线【的斜率存在，可设直线1的方程为y= 14.3(n+1)[.a1+2a2+3a3+…+nam=n(n+1)(n +2)①∴.n≥2时，a1十2a2十3a3+…+(n-1)an-1 k(x-1),即kx-y-k=0, =(n-1)n(n+1)②，①-②得an=3n(n+1),∴.am 由题意可得d= 3_3V ,解得k=士1， =3(n十1)，，n=1时，a1=1×2×3=6,满足上式， √R2+1 2 .au=3(n十1).故答案为3(n十1).] 所以，直线1的方程为y=x一1或y=1一x,即x一y 15.解：(1)证明：PD⊥平面ABCD, -1=0或x十y-1=0. .PD⊥BC, 17.(2)存在：T(±√2,0). 又，正方形ABCD中，CD⊥BC,PD∩CD=D, 解：(1)依题意，F(-1,0),F2(1,0),|PF1=|PF2 .BC⊥平面PCD, =√2， 又，DEC平面PCD, 由椭圆定义知：椭圆长轴长2a=|PF1|+|PF2|= .BC⊥DE, 2√2， ,PD=CD,E是PC的中点，DE⊥PC,PC∩BC =C, 即a=√2，而半焦距c=1,即有短半轴长b=1, 且PCC面PCB,BCC面PCB 所以精圆C的标准方程为：号+y2-1. .DE⊥平面PCB (2)依题意，设直线1方程为x=y十1，由 (2)以点D为坐标原点，分别 x2+2y2=2消去x并整理得(m2+2)y2+2my-1 (x=my+1 以直线DA,DC,DP为x轴， y轴，之轴， =0, 建立如图所示的空间直角坐 设M(x1,y1),N(x2,y2),则y1十y2= 2m 标系， m2+21 由题意知： D(0,0,0),P(0,0,2),B(2,2,0),E(0,1,1), y1y2= m2+2假定存在点T红，0)， 19 直线TM与TN的斜率分别为kM=” 因为入an十ubm的1阶差数列为 xI-t (aan+bn）-(Aan-1+bm-1)=入(am一am-1） y1 my1+1-ikTN= y2 y2 +(bm-bm-1), x2-t my2+1-t' 所以an十bn的1阶差数列为am的1阶差数列与bn yl.y2 kM·kN(omy+1-)(m2十1-D 的1阶差数列的和， 进而有am十bm的k阶差数列为am的k阶差数列与 y12 bm的k阶差数列的和. m2y132+m(1-t)(y1+y2)+(1-t)2 所以，数列{am}的m阶差数列的通项公式为 1 m2+2 △"am=. 19.解：(1)过E作EO垂直于BD于O,连接AO, m2(- 2+2)+m(1-D(m)+(0)3 m2+21 因为OD=1,ED=3,故EO=2√2，同理AO=2√2， -1 又AE=4, [-1-2(1-t)+(1-t)2]m2+2(1-t)2 所以EO2+AO2=AE2,即EO⊥AO, 要使kM·kN为定值，必有一1-2(1一t)+(1-t)2=0, 因为ABCD为菱形，所以EO⊥BD,又BD∩ 即t=土√2， A0=O, -1 当t=√2时，Vm∈R,kM·kN 所以EO⊥平面ABD,又EOC平面EBD, 2(1-2)2 所以平面EBD⊥平面ABD. 当t=-√2时，Hn∈R,kM·kN= -1 (2)以O为坐标原，点，以OD,OA,OE分别为x轴，y 2(1+2)1 轴，之轴的正方向，如图建立空间直角坐标系 所以存在，点T(士√2,0)，使得直线TM与TN的斜 率之积为定值. 18.解：(1)因为am=n2,所以bn=an+1-am=(n十1)2 n2=2n+1, cm=bn+1-bm=2(n+1)+1-(2n+1)=2; (2)因为bn=am+1一an,且bm=2n,所以am+1一 an=21, 则O(0,0,0),M(0,2√2，√10)，A(0,2√2,0) 所以a2-a1=2,a3一a2=4,a4一a3=6,…,am一an-1 B(-1,0,0),D(1,0,0),E(0,0,22). =2(n-1), 所以AB=(-1,-22,0),AE=(0,-22,22), 把上面n一1个等式左右两边分别依次相加，得 到an-a1=2+4+6+…+2(n-1), MA=(0,0,-√/10). 于是an-a1=n2-n, 面ABE的法向量为n=(x,y,z), 又因为a1=1,所以am=n2-n十1. 所以 n·AB=-x-22y=0 (3)数列{an}的m阶差数列的通项公式为△am=m! n·AE=-2V2y+2√2x=0 理由如下：当m=1时，an=n, 令x=2V2,则n=(2√2，-1，-1) 其1阶差数列的通过项公式b,=n十1-n=1,t(t>1)阶 又MA=(0,0,-√10)， 差数列各项均为0. 当m=2时，am=n2, 则，点M到面ABE的距离为n,Mi=四=1. n W/10 其1阶差数列的通过项公式b,=(n十1)2-n2=2十1， (3)由(2)得： 2阶差数列的通项公式为cn=2,(1>2)阶差数列各 面ABE的一个法向量为n=(2√2，-1，-1)， 项均为0. 假设m≤k时，an=n(i∈N,0<i≤k)的i阶差数列 且BA=(1,2√2,0)，BM=(1,2√2，√10)： 为常数k!,t(t>i)阶差数列各项均为0. 若面MBA的法向量为n1=(x1,y1,1), 当m=k十1时，an=n+1的1阶差数列为 n1·BA=.1+2V2y=0 则 bn=(n十1)+1-n+1=Ck+1n+C+1n-1+…+ n1·BM=x1+2√2y1+/10x1=0 C+1n十1 令x=2√2，则n1=(2√2，-1,0). 因为an=n+1的k十1阶差数列就是bn=C+1n十 C晚+1n-1十…十C+1n+1的k阶差数列， 所以cos,n1)1=8+1=3西 √10· 10 由假设知b的k阶差数列各项均为常数C+1k!= (k+1)!. 女二面角MBEA的正弦值为0 20