数学(六)-【步步为赢】2025-2026学年高二上学期数学期末综合冲刺卷

高二第一学期期末综合冲刺卷·数学（六） 6.设e是椭圆+=1的离心率，且e∈（侵，1，则实数 三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分》 12.已知点A(1,2),若在坐标轴上有一点P,使直线PA的 (时间：120分钟满分：150分) 的取值范围是 倾斜角为135°，则点P的坐标为 一，选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题 A.(0,3) 3,9 13.已知|a=2,b=1,(a,b》=60°，则使向量a+b与 给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的) Aa一2b的夹角为钝角的实数入的取值范围是 Co,3u(+∞】 D.(0.2) 14.已知数列{a.}的通项公式为a.=2n一1，保持数列{a, 1.如图，在正方体ABCD-A,B,C,D 中各项先后顺序不变，在a与a+1(k=1,2,…)之间插 中，以D为原点建立空间直角坐标 7.在数列{a.}中，a,=2,a+1=1-1（n∈)，则amt= 入2个1，使它们和原数列的项构成一个新的数列 系，E为BB1的中点，F为A1D,的 {b,,记{b)的前n项和为T.,则T的值为 中点，则下列向量中，能作为平面 四、解答题（本大题共5小题，共77分） A.-1 C.2 D.1 15.(本小题满分13分)已知在正三棱 AEF的法向量的是 8.设S。为等比数列{a。的前n项和，若a:一a2=12,a一 柱ABCA,B,C中，底面边长AB= A.(1,-2.4) B.(-4,1,-2) 新 C.(2,-2,1) D.(1,2,-2) 4=6.期 2,AB⊥BC·点O,O分别是边 AC,A,C,的中点，建立如图所示的 2.在平行六面体ABCDA,B,CD中，M是上底面对角线AC 空间直角坐标系。 B.2 C.9 (1)求正三棱柱的侧棱长： 与BD的交点，若AB=a.A,D=b,A1A=c,则B,M可表 二、选择题（本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题 示为 () 给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分， A.ga+gote B.za-zb+e 部分选对的得部分分，有选错的得0分) 9.在以下命题中，不正确的命题是 ( c-2a-2be D.-za+zb+e A.a一b=|a+b是a,b共线的充要条件 超 3.在平面直角坐标系中，点A(1,2),点B(3,1)到直线1的 B.若a∥b,则存在唯一的实数a,使a=b C.对空间任意一点O和不共线的三点A,B,C,若OP 距离分别为1和2，则符合条件的直线条数为() 2OA-2OB-OC,则P,A,B,C四点共面 A.3条 B.2条 C.4条 D.1条 D.若{a,b,c}为空间的一个基底，则{a+b,b+c,c+a构 4.若过点(1,2)总可以作两条直线与圆x2+y+kx十2y十2- (2)求异面直线AB,与BC所成角的余弦值. 成空间的另一个基底 数 15=0相切，则实数k的取值范围是 () 10.两条平行线分别经过点A(6,2),B(一3，一1)，下列可能 A.>2 B.-3<k<2 是这两条平行线间的距离的是 ( ) C.k<一3或k>2 D.以上都不对 A.4 B.7 C.9 D.11 5.直线1：mx十(2m一1)y一6=0与两坐标轴所围成的三角 11.下列过(2,2)的直线1中，到两点A(0,一2)，B(8,2)的 形的面积为3，则m的值为 () 距离相等的是 () A.x+y-4=0 B.x=2 A.2 C.3 D2或-昌 C.2.x+y-6=0 D.x-2y+2=0 6-1 16.(本小题满分15分)如图，边长为2的 17.(本小题满分15分)已知一束光线经过直线41：3x一y十 (2)已知点M35,45,F(5,0),且P为L上动点. 等边△PCD所在的平面垂直于矩形 7=0和2：2x十y十3=0的交点M,且射到x轴上一点 55 ABCD所在的平面，BC=2√2，M为 N(1,0)后被x轴反射. 求|MP-|FPII的最大值. BC的中点. (1)求点M关于x轴的对称点P的坐标： (1)证明：AM⊥PM: (2)求反射光线所在的直线1：的方程： 19.(本小题满分17分)已知{a.}是等差数列，其中a2=22, 08=4. (2)求平面PAM与平面DAM的夹角的大小： (1)求{a.}的通项公式： (3)求与直线1的距离为√10的直线方程. (2)设数列{a.}的前n项和为S,求S.的最大值. (3)求点D到平面AMP的距离. 18.(本小题满分17分)设圆C与两圆(x十√5)+y=4,(.x 一√5)2+y2=4中的一个内切，另一个外切. (1)求C的圆心轨迹L的方程： 6-2由/=2x+ 2+22=2消去x 4.D[由题意知2十4一4(k2-15)>0,且点在圆外，故 得9y2-2ty+t2-8=0, 1P+22+6+2X2+-15>0,解得-号3<<-3 2t 六1+2=号，且4=42-362-8)>0， 或2<k<83.故选D.] 故测=支”=号且-33， 5.D[在m.x+(2m-1)y-6=0中，令x=0,得y 2 2令)=0，得=只即交点分别为（月0小 6 由PM=NQ,知四边形PMQN为平行四边形， 而D为线段MN的中点，因此D为线段PQ (03m）根题意：×品×2n=3 的中点， 5 解得m=2或m=-子故选D.] 0=32-台得=2.15.又-313，可 3十41 9 C[当0<4时e=后-e(合1)， 2 得-子<<-1 即}<<1→1<4-4，即0<<3. 2 ∴点Q不在椭圆上，故不存在满足题意的直线 19.解：(1)设{am}的公比为q,因为S5-S3=-27S2, 当>4时-后=e(位1) 所以a5十a4=一27(a2+a1), 又因为a1,一1，a2成等差数列，所以a1十a2=一2， 是1<41→<1-1 所以5十a4=g2=-27,解得q=-3. `a2十a1 31 由a1(1十q)=-2a1=-2,解得a1=1. 所以an=(-3)”=1. 综上，实数k的取值范围为(0,3U(9,十∞）故选C] (2)当n为奇数时，am-1=3"-1-1≥0， 当n为偶数时，an-1=-3”-1-1<0, 7.A[:a1=2,a+1=1-(m∈N*) 所以T2m=(a1-1)-(a2-1)+(a3-1)-(a4-1) +…+(a2m-1-1)-(a2m-1), =1-=1-1=-1a=1--2 1 2 化简得T2m=a一a2十a3一a4十.十a2m-1一a2n: 所以T2m=1十3十32+十32m-1= 2m-1(或 所以数列{an}是以3为周期的周期数列， 2 a2022=a673×4=a3=-1,故选A.] 2 8.C[设等比数列{auw}的公比为q, 高二第一学期期未综合冲刺卷·数学（六） 则：0，=a19-a19=12 a3-a1=a1q2-a1=6 解得0,2 q=2 1.B[设正方体棱长为2，则A(2,0,0),E(2,2, 1),F(1,0,2), 则56=2X0,29)-126.5,=2x0,29-14, 1-2 1-2 AE=(0,2,1),AF=(-1,0,2), 6=126=9.故选C.] 设向量n=(x,y,z)是平面AEF的一个法向量， 所以53=14 n·AE=2y十x=0 9.ABC[A.a-|b=a十b→a与b共线，但a与b共 则 线时.a一b=a十b不一定成立，故错误；B.b需为非 n·AF=-x+2z=0 零向量，故错误；C.因为2一2-1≠1，由共面向量定理知， 取y=1, 故错误：D.由基底的定义知正确.故选ABC.] 得x=-4,x=-2, 10.ABC[当两直线的斜率不存在时，两直线方程分别 .n=(-4,1,-2)是平面AEF的一个法向量. 为x=6,x=一3，则d=9. 因此只有B选项的向量是平面AEF的法向量，故 当两直线的斜率存在时，设两直线方程分别为y一2 选B.] =k(x-6)与y十1=k(.x+3), 2.D[由于BM=B1B+BM-B1B+?(BA+BC) 即k.x-y十2-6k=0,k.x-y+3k-1=0, d=12-6k-3k+1L=19k-3 =一 a+2b十c,故选D.] √k2+1√k2+1 由此可得(81-d2)k2-54k十9-d2=0. 3.B[由点A(1,2),点B(3,1)可 得|AB引=√4+I=√5<1+2， 当81-=0，即d=9时，k=-合d=9成主 所以不存在与线段AB相交的符 当d≠9时，由k∈R,可得△=(-54)2-4(81-d2) 合题意的直线，故存在两条符合 (9-d2)≥0， 题意的直线，这两条直线在线段 即d4-90d2≤0，∴.0<d≤3√10且d≠9. AB的两侧，如图，故选B.] 综上所述，d∈(0,3√10].故应选ABC.] 11.AD[显然斜率不存在时x=2不合适，设1：y一2= (2)解：设n=(x,y,)为平面PAM的一个法向量， k(x-2)即x-y+2-2k=0,由条件可知4-2k n·PM=0, √k2+1 则 6,解得及=合或-1. n·AM=0, WR2+1 即 |W2.x+y-√3x=0, 当A=号时，1/AB,方程为一2y十2=0，音=-1 -√2x+2y=0, 取y=1,得n=(W2,1,W3). 时，l过AB中点，方程为x十y一4=0.故选AD.] 取p=(0,0,1),显然p为平面ABCD的一个法 12.(3,0)或(0,3)[由题意知kP4=-1,若P点在x轴 向量， 上，则设P(m,0),则0-2=一1，解得m=3:若P点 n-1 n·p=3_2 在轴上，则强P0,),则合 =-1,解得n=3,故 cosm,p)-Ip62 结合图形可知，平面PAM与平面DAM的夹角为45. P点的坐标为(3,0)或(0,3).] (3)解：设点D到平面AMP的距离为d,由(2)可知 13.(-1-√3，-1十√3)[由题意知： n=(W2,1,V3)与平面PAM垂直，则 (a+b)·(a-2b)<0, cos(a+Ab,aa-2b)≠-1. d=DA·n=1(22,0.0)·(2,1③)1-26 n V√(w2)2+12+(3)2 3 即8☆：80”a6a2 即点D到平面AMP的距离为 得2+2λ-2<0.∴.-1-√3<入<-1十3.] 14.130[因为a6与a+1(k=1,2,…)之间插入2 个1， 17.解：1)由/3xy+7=0, 12x+y+3=0, 所以ak在{b}中对应的项数为 解得/一2， 1y=1, n三k+2+22+20+…+2=k士222+五 .M(-2,1). -2, .点M关于x轴的对称，点P的坐标为（一2，一1） 当k=6时，2+k一2=68，当k=7时，2+k一2 (2)易知l3经过点P与点N, =133, 所以a6=b68,a7=b133,且b69=b70=…=b100=1. 的方载为。=品 S6为{an}前6项和， 即x-3y-1=0. 因此T100=S6+(2×1+22×1+23×1+…+25 1 ×1)+32×1 (3)设与台平行的直线为y=3x+6 =9×1+1D+号二警+32=13m,] 根据两平行线之间的距离公式， 15.解：(1)设正三棱柱的侧棱长为h, 6+ 3 由题意得A(0,-1,0),B(3,0,0),C(0,1,0), 10, B1(3,0,h),C1(0,1,h), 1十g 则AB1=(W3,1,h),BC1=(-√3,1，h) 11 解得b=3或b=一 3 :AB1⊥BC1,.AB1·BC1=-3+1+h2=0, 解得h=√2. “.与直线⅓的距离为V10的直线方程为y=3x (2)由(1)可知AB1=(W3,1W2),BC=(-√3,1,0)， .AB1·BC=-3+1=-2. 号y+3 即x-3y-11=0或x-3y+9=0. AB=6,|BCI=2,..coS(AB,BC)=-2 6 √6 6 18.解：(1)两圆的圆心分别为A(-√5,0)，B(√5,0)，半 径为2，设圆C的半径为r.由题意得|CA|=r一2， 所以手面直线AB与BC所成角的余孩值为写 1CB引=r十2或|CA|=r十2，|CB引=r-2,两式相减 16.(1)证明：以D为原点，分别以 得CA-|CB|=-4或|CA|-|CB|=4,即|ICA DA,DC的方向为x轴、y轴的正 -|CB1I=4. 半轴，建立如图所示的空间直角 则圆C的圆心轨迹为双曲线，其中2a=4,c= 坐标系，由题意，可得D(0,0,0), √5，b2=1, P(0,1,3),C(0,2,0),A(22, “国C的国心轨选L的方程为 -y2=1. 0,0),M(2,2,0). (2)由(1)知F为双曲线L的一个焦 PM=(W2,1,-√3)，AM=(-√2,2,0)， 点，如图，连接MF并延长交双曲线 .PM·AM=(W2,1,-3)·(-√2,2,0)=0， 于一点P,此时PM|一|PF|= 即PM⊥AM,.AM⊥PM. MF为|PM-FPII的最大值. 10 +EQ+PQ,取得最小值为NE=√(3+1)2+4= 25.故选C.] .|MP|-|FP|的最大值为2. 6.A[设椭圆右焦点为F(图略)，由椭圆的对称性，知 19.解：(1)设等差数列{am》的公差为d, PF=P7F',P2F=P6F',P3F=P5F'. 因为a8=a2十6d,a2=22,a8=4, 所以原式=(|P,F|+P,F|)+(PF|+|P6F'I) 所以4=22+6d, +(|P6F1+|P6F'1)+PF|=7a=35.故选A.] 所以d=-3,a1=25, 所以an=28-3. (2)因为an=28-3,令28-3n<0,得n>93, 1 一6，…，从而可知分子的规律为，分母的规律为n 4 所以当n≤9时，an>0;当n≥10时，an<0, 十2，再结合正负的调节，可知其通项为an=(一1)”-1 故当1=9时，5。最大，且最大值为S=25×9十2 n十2故选D.] ×9×8×(-3)=117. 8.C[由题意可得，an+1=am十4，即am+1一an=4, 高二第一学期期末综合冲刺卷·数学（七） 故数列{am}为等差数列，则am=2+4(n-1)=4n-2, 1.D[由oi=号0i+3o成+0心， 故令4n-2=2022,n=506,故选C.] 3 9.ACD[建立如图所示的空间直角 可得3OM=OA+OB+0C>OM-OA+OM-OB+ 坐标系.设正方体的棱长为1. OM-OC=0, 则A(1,0,0),B1,1,0),C(0,1,0), D(0,0,0),A1(1,0,1),C(0,1, 即AM=-BM-CM, 所以AM与BM,CM在一个平面上，即，点M与点A,B, DE(32 C一定共面.故选D.] 2.D[如图，设AC与BD交于点 成=（合- O,连接OF.以O为坐标原点， AC=(-1,1,0),BD=(-1,-1,0), OB,OC,OF的方向分别为x轴， A1D=(-1,0,-1),A1A=(0,0,-1) y轴，之轴的正半轴，建立空间直 角坐标系Oxyz. Ga日号+0=-10， 设PA=AD=AC=1,则BD= C正.i=+号+0=0， 5.所以00.0,0，B(号0.0)小F(0.0,号）C Gi.Ai=-+0-1=-是≠0， (0,2,0）.O元-(0，g0）,易知0元为平面BDF的 CE.A1A=0+0-1=-1≠0. 一个法向量，由元-(0小F ∴.与CE不垂直的有AC、A1D、A1A,故选ACD.] 10.ACD[因为三条直线2.x-3y十1=0,4x十3y十5=0， m.x一y1=0不能构成三角形，所以直线m.x一y (停0，-)可得平面BCF的一个法向量为n 1=0与2.x-3y+1=0,4x+3y+5=0平行，或直线 m.x-y-1=0过2.x-3y+1=0与4x+3y十5=0的 1,w3v5.所以cos(m.0d)=Y,sinm.0C) 交点，当直线m.x-y-1=0与2x-3y十1=0， 29,所以tanm,0d)=2故二面角CBFD的正 4红+3)+5=0分别平行时，m=号或一青：当直线 初值为故选D] m.x-y-1=0过2x-3y+1=0与4x十3y十5=0的 交点时，m=一 ，所以实数m的取值集合为 2 3.B[圆的半径r=2.圆心(3，-1)到直线x=-3的距 离为6，∴.PQ的最小值为6-r=6-2=4,故选B.] (-告，号，}故道ACD] 4.A[由已知可得2m-m2-1=0→m=1→k=1→y-1= -1(x一2)→x十y一3=0，这就是所求直线方程，故 1.CD[A错溪，当1=号时，曲线C表示国：B正商， 选A.] 若C为双曲线，则(4-t)(t-1)<0,∴.t<1或t>4: 5.C[过A(3,0),B(0,3)两点的直线方程为x十y-3 C正确，若曲线C为焦点在x轴上的椭圆，则4一t> =0, t-1>0, 设M(1,0)关于直线x十y-3=0对称的点N(x,y), =1 1<<号D三确，若向线C为焦点在y轴上的双 则 ,解得Z3即N(3,2), x+141 2+2y-3= y=2, 由线，则仁8>4北选D] 12.一2[根据三角形的中位线定理，得EF∥AB, 同理可求M(1,0)关于O对称的点E(一1,0)，当N, P,Q,E共线时，△MPQ的周长MQ+PQ+PM=NP k=B=3C二D=-2.] 0-2 11