数学(五)-【步步为赢】2025-2026学年高二上学期数学期末综合冲刺卷

8.在等差数列{a)中，前n项和为S。,若S15>0,S1<0,则 四、解答题（本大题共5小题，共77分） 高二第一学期期末综合冲刺卷·数学（五） 在 15.(本小题满分13分)已知直线1过点(1,0)，且与直线 (时间：120分钟满分：150分) 'a1a2 ,S中最大的是 y=3(x-1)的夹角为30°，求直线1的方程. 一，选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题 a D S. ap 41 给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的》 二、选择题（本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题 1.已知A,B,C三点的坐标分别为A(4,1,3),B(2,-5,1), 给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分， C(3,7,A),若AB⊥AC.则1等于 部分选对的得部分分，有选错的得0分) A.28 B.-28 C.14 D.-14 9.已知正方体ABCD-A,B,C,D,的中心为O,则下列结论 2.已知平面a的一个法向量为n=(1,一1,0)，则y轴与平 中正确的有 r 面：所成的角的大小为 () A.OA+Oj与OB,+OC是一对相反向量 A日 B开 c.5 D B.OB-OC与OA-OD是一对相反向量 3.坐标原点在直线1上的射影为点(2,1)，直线的方程是 C.OA+OB+O心+OD与0A+OB,+OC+OD是一对 ( ) 案飘 相反向量 16.(本小题满分15分)如图，在四棱锥 A.x+2y-5=0 B.2.x+y-5=0 D.OA-OA与OC-OC是一对相反向量 P-ABCD中，PA⊥平面ABCD,PB C.2x+3y-7=0 D.3x+2y-8=0 10.若A(-4,2),B(6,-4),C(12,6),D(2,12),下面结论 与底面所成的角为45°，底面ABCD 4.若直线x+(1+m)y-2=0与直线mx十2y+4=0平行， 中正确的是 () 为直角梯形，∠ABC=∠BAD=90°， 则m的值是 ( A.AB∥CD B.AB⊥AD PA=BC=2AD=1.问在棱PD上 A.1 B.-2 C1或-2D-号 C.AC=BD D.ACI BD 11.经过点P(4,一2)的抛物线的标准方程为 是否存在一点E,使得CE∥平面PAB?若存在，求出E 5.已知点A(2,3),B(-2,6),C(6,6),D(10,3),则以A,B, 点的位置：若不存在，请说明理由。 A.y=x B.y2=8.x C,D为顶点的四边形是 ( C.y2=-8.x D.x2=-8y A.梯形 B.平行四边形 三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分）》 C.菱形 D.矩形 12.如图，在长方体ABCDA,B,CD中， 8设R,5是板圆E号+ =1(a>b>0)的左、右焦点，P AB=BC=2,AA1=√2，E,F分别是面 为直线x=受上一点，△R,PR,是底角为30的等腰三角 ABCD、面BCCB的中心，则E,F 数 两点间的距离为 形，则E的离心率为 13.已知在正四棱台ABCD-A B,CD1中，上底面 A号 R号 3 C.4 D. AB,CD,的边长为1，下底面ABCD的边长为2，侧棱 7.已知数列{an}满足a=3,an=2- 1(n≥2).则a, 与底面所成的角为60°，则异面直线AD,与B,C所成角 的余弦值为 14.已知{an)是周期为5的周期数列，其中a1,agdsaas A B号 c n号 是等差数列，且a2=4,a=13,则a104= 5-1 17.(本小题满分15分)设△ABC的顶点坐标A(0,a), 18.(本小题满分17分)已知椭圆C,号+ +方=1(a>6>0) 19.(木小题满分17分)记S。为等比数列{a。}的前n项和. B(一√3a,0),C(3a,0),其中a>0,圆M为△ABC的外 已知S一S=一27S2,且41，一1，a:成等差数列. 接圆. 的左，右焦点分别为F(一1.0.R1.0,点A1,号在 (1)求{4.}的通项公式： (1)求圆M的方程 椭圆C上， (1)求椭圆C的标准方程. (2)设bn=a.一1，求数列{b.}的前2n项和T (2)是否存在斜率为2的直线1，使得当直线（与椭圆C (2)当a变化时，圆M是否过某一定点？请说明理由. 有两个不同交点M,N时，能在直线y=号上找到一点 P,在椭圆C上找到一点Q,满足PM-=NQ?若存在，求 出直线（的方程：若不存在，说明理由 5-2(2)解：平面EFGH与平面ABCD平行.证明如下： 高二第一学期期未综合冲刺卷·数学（五） 由1)得=号成，Md/底， 1.D[AB=(-2,-6,-2),AC=(-1,6,A-3), .EG∥平面ABCD :AB⊥AC,.AB·AC=-2×(-1)-6×6- 2(入-3)=0，解得A=-14.故选D.] 又M-P爪-Pi=P序-多P店 2.B[y轴的一个方向向量s=(0,1,0),cos(n,s〉= 多成不形成 :、一，即y轴与平面所成角的正孩值是 n·s 即EF∥平面ABCD. 又，EG∩EF=E, ,数共所成的商的大小足票故选B] .平面EFGH与平面ABCD平行. 3.B[原点在直线1上的射影为点(2,1)， 17.解：(1)，点P(a,a十1)在圆上， .a2+(a+1)2-4a-14(a+1)+45=0, 直线1的斜奉为长=-是=-2.又点(2,1)在直线 ∴.a=4,故P(4,5), l上， ∴.PQ=√(4+2)2+(5-3)z=2√10， .所求的直线方程为y一1=一2(x-2), 如=3 即2x十y-5=0.故选B.] 4.A[①当m=一1时，两直线分别为x一2=0和x (2):圆心C的坐标为(2,7)， 2y4=0,此时两直线相交，不合题意. .1QC1=V√(2+2)2+(7-3)2=4V2, ②当m≠一1时，两直线的斜率都存在，由直线平行可 圆的半径是2V2,点Q在圆外， 1=-m, 2 .lMQ1max=4V2+2V2=6√2， 得 1+m 2≠一2， 解得m=1.综上可得m=1. |MQl min=4√2-2√2=2√2. 1+n 1区解，1说描周的兔是为2，由巴知降号=号又由 故选A.] 5.B[先画出四边形ABCD的大致 a2=b2+c2,可得2a=3b.由AB1=√a2+b2=√13， 图形，如图所示，由斜率公式得kBC 得。=3，=2.所以指国的方程为号+兰-1。 =kAD=0,kAB=kCD=- 所以 (2)设点P的坐标为(x1,y1),点M的坐标为 四边形ABCD为平行四边形.故 (2,2）.由题意，2>1>0，点Q的坐标为(-x1,一y1). 选B.] 由△BPM的面积是△BPQ面积的2倍，可得 6.C[如图所示，△F2PF1是底角为30°的等腰三角形， |PM|=2|PQ,从而x2-x1=2[x1-(-x1)],即 则有FF2=|PF2, x2=5.x1.易知直线AB的方程为2x十3y=6,由方程 ∠PF1F2=∠F2PF1=30 2x士3)=6·消去，可得9=32由方程组 组 6 所以∠PF2A=60°， y=kz ∠F2PA=30°，所以PF2|= 、6 由x2= 2AF=2(ga-c）=3a-2. y=kx, √/9k2+4 又因为F1F2=2c,所以，2c=3a-2c,所以e=C 5.x1,可得√9k2十4=5(3k十2)，两边平方，整理得 18股2+25十8=0，解得及=-8或6=-分当及= 递C] 时2=一9<0，不合道意，合去：当=一之时， 8 7.B[因为a1=3,am=2-1(m≥2)，所以a2=2 a-1 =121=号特合题意.所以长的值为一 1 19.解：(1)由f(x)=x2-2x-3, a-2d-2-a- 1=2- a? a3 得a1=f(x-1)=(x-1)2-2(x-1)-3=x2-4x, 选B.] a3=x2-2x一3.又因为a1,a2,a3成等差数列， 所以2a2=a1十a3, 8.B[:等差数列前n项和5。-（a1十a)n, 2 即-3=x2-4x+x2-2x-3, 由S15>0,S16<0,得a1+a15=2a8>0,a1+a16= 解得x=0或x=3. 48十ag<0, (2)当x=0时，a1=0,d=a2-a1=-3, ∴.a8>0,ag0,d<0, 2 故{am}为递减数列，当n≤8时，am>0;当n>8时， 此时a,=a1十(m一1Dd=一是(a-1D: am<0,所以Sn最大值是S8, 当x=3时，a1=-3,d=a2-a1=2' 3 则当n≤8时，S>0且单调递增，当8<n≤15时， 3 此时an=a1+(n-1)d=2(n-3). S<0:最大故选B.] a a8 9.ACD[0为正方体的中心，OA=-0C,OD ∴di=(号29)Bd-(92,-9） -OBi,故OA+OD=-(OBi+OC),同理可得OB+ OC=-(0A +OD).*0A OB+OC+OD AD1·B1C “cs(ADi·B1C=AD·B1C-4' =-(0A1+0B+OC1+OD1), A.C正确，：OB-0C=CB,OA-OD=DAi, 故异面直线AD1与B1C所成角的余孩值为.] ∴.OB-OC与OA1-OD是两个相等的向量，.B错 14.10[因为a2=4,a5=13,所以d=a5。a2=3, 3 误；'OAi-OA=AAi,OC-OC=CC=-AAi, 所以am=3n-2(1≤n≤5，n∈N*), ∴.OA1-OA=-(OC-OC1),.D正确.故选ACD.] 则a1o4=a4=10,故答案为10.] 1 .ACD-6号2-号mg是8-是 =12-6=-3 15.解：，直线y=√3(x-1)的斜率 厚-) 为√3，其倾斜角为60°，且过点 且C不在直线AB上，∴.AB∥CD,故A正确；又因 (1,0). 30 为k如-号子-景taku=-1 30 又直线l与直线y=√3(x一1)的 ∴.AB⊥AD,故B正确； 夹角为30°，且过，点(1,0)，由图 :1AC1=√(6-2)2+(12+4)=417， 可知，直线1的倾斜角为30°或90°. |BD1=√(2-6)2+(12+4)2=417， 散直线的方程为x=1或y一〔红 ∴.|AC=BD.故C正确； 16.解：AB,AD,AP的方向为x轴， 又x6品-m-号告若-4 2-6 y轴，之轴的正半轴，建立空间直 .kAC·kBD=-1, 角坐标系，如图，则P(0,0,1), ∴.AC⊥BD,故D正确.故选ABCD.] C(1,1,0),D0,2,0),设E0,y,2), 11.AD[当开口向右时，设抛物线方程为y2=2px(p1 则PE=(0,y,之-1)，PD >0),则（一2）2=81，所以p1=2,所以抛物线方程 =(0,2,-1), PE∥PD,y(-1)-2(x-1)=0,① 为y=x,当开口向下时，设抛物线方程为x2= 一2p2y(p2>0),则42=42,2=4，所以抛物线方程 :AD=(0,2,0)是平面PAB的法向量， 为x2=-8y.故选AD.] CE=(-1,y-1,z), 12.[以D为坐标原点，分别以Di.D心.DD所在方 ·由CE∥平面PAB,可得CE⊥AD, .(-1,y-1,x)·(0,2,0)=2(y-1)=0, 向为x轴、y轴、心轴的正半轴，建立空间直角坐标系 y=1,代入①式得=之E是PD的中点， （因$)，由条件知E1,1w②，F(2号》 即存在点E为PD中点时，CE∥平面PAB. 17.解：(1)设圆M的方程为x2+y2+Dx十Ey十F=0. 圆M过点A(0,a),B(-√3a,0),C(3a,0), :E,F两，点间的距离为E√0+1+2 (a2+aE+F=0, ∴.{3a-√3aD+F=0,解得D=0,E=3-a, 13.[设上，下底面中心分别为 3a+√3aD+F=0, F=-3a..圆M的方程为x2+y2+(3-a)y-3a=0. O1、O,则OO1⊥平面ABCD,以 (2)圆M的方程可化为(3十y)a-(x2+y2十3y)=0. O为原点，BD、AC、OO1的方向 (3+y=0, 分别为x轴、y轴、：轴的正半 由x2+y2+3)-0 轴，建立空间直角坐标系，如图」 解得x=0,y=一3..圆M过定点(0，一3). :AB=2,A B=1,..AC=BD=22,ACI= 18.解：(1)设椭圆C的焦距为2c,则c=1, B1D1=√2， :平面BDD1B1⊥平面ABCD,∴∠B1BO为侧棱与 :A(1.号)在横国C上. 底面所成的角， ∠B1BO=60°，设棱台高为h, 2a=1+√+12+(） 则tan60°= h .=6 ∴.a=√2，b2=a2-c2=1, ②② 故指国C的方程为写+2=1。 A0,E.0.D(-罗0）-B(停o,9）) (2)假设这样的直线存在，设直线l的方程为y=2.x十t, 设MN(g.P(es号），Q( C(0,√2,0)， MN的中点为D(xoyo), 由/=2x+ 2+22=2消去x 4.D[由题意知2十4一4(k2-15)>0,且点在圆外，故 得9y2-2ty+t2-8=0, 1P+22+6+2X2+-15>0,解得-号3<<-3 2t 六1+2=号，且4=42-362-8)>0， 或2<k<83.故选D.] 故测=支”=号且-33， 5.D[在m.x+(2m-1)y-6=0中，令x=0,得y 2 2令)=0，得=只即交点分别为（月0小 6 由PM=NQ,知四边形PMQN为平行四边形， 而D为线段MN的中点，因此D为线段PQ (03m）根题意：×品×2n=3 的中点， 5 解得m=2或m=-子故选D.] 0=32-台得=2.15.又-313，可 3十41 9 C[当0<4时e=后-e(合1)， 2 得-子<<-1 即}<<1→1<4-4，即0<<3. 2 ∴点Q不在椭圆上，故不存在满足题意的直线 19.解：(1)设{am}的公比为q,因为S5-S3=-27S2, 当>4时-后=e(位1) 所以a5十a4=一27(a2+a1), 又因为a1,一1，a2成等差数列，所以a1十a2=一2， 是1<41→<1-1 所以5十a4=g2=-27,解得q=-3. `a2十a1 31 由a1(1十q)=-2a1=-2,解得a1=1. 所以an=(-3)”=1. 综上，实数k的取值范围为(0,3U(9,十∞）故选C] (2)当n为奇数时，am-1=3"-1-1≥0， 当n为偶数时，an-1=-3”-1-1<0, 7.A[:a1=2,a+1=1-(m∈N*) 所以T2m=(a1-1)-(a2-1)+(a3-1)-(a4-1) +…+(a2m-1-1)-(a2m-1), =1-=1-1=-1a=1--2 1 2 化简得T2m=a一a2十a3一a4十.十a2m-1一a2n: 所以T2m=1十3十32+十32m-1= 2m-1(或 所以数列{an}是以3为周期的周期数列， 2 a2022=a673×4=a3=-1,故选A.] 2 8.C[设等比数列{auw}的公比为q, 高二第一学期期未综合冲刺卷·数学（六） 则：0，=a19-a19=12 a3-a1=a1q2-a1=6 解得0,2 q=2 1.B[设正方体棱长为2，则A(2,0,0),E(2,2, 1),F(1,0,2), 则56=2X0,29)-126.5,=2x0,29-14, 1-2 1-2 AE=(0,2,1),AF=(-1,0,2), 6=126=9.故选C.] 设向量n=(x,y,z)是平面AEF的一个法向量， 所以53=14 n·AE=2y十x=0 9.ABC[A.a-|b=a十b→a与b共线，但a与b共 则 线时.a一b=a十b不一定成立，故错误；B.b需为非 n·AF=-x+2z=0 零向量，故错误；C.因为2一2-1≠1，由共面向量定理知， 取y=1, 故错误：D.由基底的定义知正确.故选ABC.] 得x=-4,x=-2, 10.ABC[当两直线的斜率不存在时，两直线方程分别 .n=(-4,1,-2)是平面AEF的一个法向量. 为x=6,x=一3，则d=9. 因此只有B选项的向量是平面AEF的法向量，故 当两直线的斜率存在时，设两直线方程分别为y一2 选B.] =k(x-6)与y十1=k(.x+3), 2.D[由于BM=B1B+BM-B1B+?(BA+BC) 即k.x-y十2-6k=0,k.x-y+3k-1=0, d=12-6k-3k+1L=19k-3 =一 a+2b十c,故选D.] √k2+1√k2+1 由此可得(81-d2)k2-54k十9-d2=0. 3.B[由点A(1,2),点B(3,1)可 得|AB引=√4+I=√5<1+2， 当81-=0，即d=9时，k=-合d=9成主 所以不存在与线段AB相交的符 当d≠9时，由k∈R,可得△=(-54)2-4(81-d2) 合题意的直线，故存在两条符合 (9-d2)≥0， 题意的直线，这两条直线在线段 即d4-90d2≤0，∴.0<d≤3√10且d≠9. AB的两侧，如图，故选B.] 综上所述，d∈(0,3√10].故应选ABC.]