数学(四)-【步步为赢】2025-2026学年高二上学期数学期末综合冲刺卷

5.已知平面a内有一个点A(2,一1,2)，平面a的一个法向 11.已知方程mx2+y2=1(m,n∈R),则 高二第一学期期末综合冲刺卷·数学（四） 量为n=(3,1,2),则下列点P在平面a内的是() A.当mn>0时，方程表示椭圆 (时间：120分钟满分：150分) A.(1,-1,1) B13, B.当mn<0时，方程表示双曲线 一、选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题 C.当m=0时，方程表示两条直线 给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的) C(1.-3引 D(-1.3,-引 D.方程表示的曲线不可能为抛物线 1,如图，在空间直角坐标系中，正方体ABCD-A,B,CD1的 三，填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分） 6,双曲线号号=1上的点P到一个焦点的距离为12，则 12.已知向量e,e,e是三个不共面的非零向量，且a= 棱长为1，B,E=A,B,则B等于 到另一个焦点的距离为 ) 2e,-e+ea,b=-e1+4e-2e,c=11e,+5e+e,若 A.22或2B.7 C.22 D.2 向量a,b,c共面，则A= 7.已知正项等比数列a,中，公比g=之aa,=16,则a, 13.已知椭圆的中心在原点，焦点在x轴上，离心率为号，且 如 () 过P(一5,4)，则椭圆的标准方程为 A.1 B.2 C.3 D.4 8.设S是等差数列{a}的前n项和，若a1=8,S=13,则 1已知数列a,的递推公式aa且首项a=1, 多飘 A.(0-1 B.(-01 则a= 4,= c(o.-子 D.(}0,- 四、解答题（本大题共5小题，共77分） A.26 B.-7 C.-10 D.-13 15.(本小题满分13分)已知△ABC的顶点A(一2,1)， 2.在长方体ABCDA E,CD中，AB=AM 二、选择题（本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题 B(4,3),C(2,-2),试求： 2,AD=1,E为CC,的中点，则异面直线BC 给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分， (1)AB边的中线所在直线的方程： 与AE所成角的余弦值为 ( 部分选对的得部分分，有选错的得0分) 即 细 9.在如图所示的空间直角坐标系中，ABCD-A,B,C,D1是 取骨 棱长为1的正方体，给出下列结论中，正确的是() 超 C.215 10 D.3/10 10 3.已知直线a.x十by十c一0的图象如图所示，则 (2)AC边上的高所在直线的方程. A.平面ABB,A,的一个法向量为(0,1,0》 B.平面B,CD的一个法向量为(1,1,1) C.平面B,CD1的一个法向量为(1,1,1) A.若c>0,则a>0,b>0 B.若c>0,则a<0,b>0 D.平面ABCD1的一个法向量为(0,1,1) C.若c<0,则a>0,b<0 D.若c<0,则a>0,b>0 10.若圆C:x2+y-4z-4y-10=0上至少有三个不同的 4.圆(x-3)”+(y-3)°=9上到直线3.x+4y-11=0的距 点到直线1：x一y十c=0的距离为2，√2，则c的取值可能是 离等于2的点有 () () A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 A.-2 B.0 C.1 D.3 4-1 16.(本小题满分15分)如图，已知四边 (2)若M为圆C上任一点，求MQ的最大值和最小值. 19.(本小题满分17分)已知f(x)=x2-2x一3，等差数列 形ABCD是平行四边形，点P是 {a,)中a1=fx-1)a:=-2a=fx),求： ABCD所在平面外的一点，连接PA, PB,PC,PD.设点E,F,G,H分别为 (1)x的值： △PAB,△PBC,△PCD,△PDA的重心. (1)试用向量方法证明E,F,G,H四点共面： 18.(本小题满分17分)设椭圆号+兰=1(a>b6>0)的右顶点为 A,上顶点为及已知椭圆的离心率为气，AB=B. (2)数列{a.}的通项公式. (2)试判断平面EFGH与平面ABCD的位置关系，并 (1)求椭圆的方程. 用向量方法证明你的判断. (2)设直线1：y=kx(k<0)与椭圆交于P,Q两点，1与直 17.(本小题满分15分)已知圆C:x十y一4.x一14y十45=0 线AB交于点M,且点P,M均在第四象限.若△BPM 及点Q(-2,3). 的面积是△BPQ面积的2倍，求k的值. (1)P(a,a十1)在圆上，求线段PQ的长及直线PQ的斜率： 4-28.D[在等差教列a中，0s=9,5=X5=25, 由(1)得CA=a+b+c,则1CAi2=CA2=(a+b+ c)2=a2+b2+c2+2a·b+2b·c+2a·c=22+22+ 解得a1=1,所以教列{am}的公差为d=a二4=2.故 32+0+2X2X3Xcos60°+2×2×3×c0s60°=29. 5-1 选D.] 所以AC的长为V西，所以C0的长为四 9.ABC[由于AP·AB=-1×2+(-1)×2+(-4)× 17.解：解方程组 (-1)=0,AP·AD=4X(-1)+2×2+0×(-1)=0, 2x十y-3=0·得交点P(1,1), x-y=0, 所以A、B、C正确，又BD=AD-AB=(2,3,4). (1)若直线与l1平行， ,k1=2,∴.斜率k=2,.所求直线方程为y一1= AP=(-1,2,-1),不满足AP=ABD, 2(x-1),即2x-y-1=0. .D不正确，故选ABC.门 10.BC[,点M到各直线的最小距离：对于A,d山1= (②)若直线与归妻直，好=号斜率0= k2 15-0+1山=32>4；对于B,d2=2<4;对于C, √2 号所家克线的方袋为y一1=一号一1D.即 d,=l5x4-3X0=4:对于D,4,=l5×2-0+山 2x+3y-5=0. 5 √5 18.解：(1)由题意，知c2=1,又c2=a2-b2,且3a2=4b2, =1>4,所以符合条件的有BC.] 所以02-是2=1，即02=1，所以02=4，=3 5 11.CD[,半径长为6的圆与x轴相切，设圆心坐标为 故横国的标准方崔为学+雪-1 (a,b),则b=6.再由/a3+32=5.可以解得a=士4， (2)由于点P在椭图上，所以|PF|十PF2|=2a= 故所求圆的方程为(x士4)2+(y-6)2=36.故 选CD.] 2X2=又PF-PF=1.所以PF=8 12.a+b叶字c[周为在回面体0ABC中，Oi=a, PF=是.又Fr=2=2,所以由余孩定理得 OB=b,OC=C,D为BC的中点，E为AD的中点，所 coS∠F1PF2 )+()- 3 以0成-}oi+0i)=oi+号oi-a+号× 2x号×号 6 故∠F,PF:的会孩值等于是 13.121[设等比数列{am}的首项为a1,公比为q, 19.解：(1)证明：因为数列{an}满足a1=2,am+1=am十 2n+3, 由a3=9,a=729可得：0，=729' 所以[am+1-(n+1)2]-(an-n2)=an+1-n2-2n 因为{an}为递增的等比数列，解得q=3,a1=1, 1-am+n2=2n+3-2n-1=2, s,=1X3）_242-121.] 因为a1=2,所以a1-12=1 1-3 2 所以，数列{am一n2}为等差数列，公差为2，首项为1. 14.1十√2[V(.x-1)2+(y-1)2的几何意义是圆上的 (2)由(1)知aw-n2=2-1, 点P(x,y)到点(1,1)的距离，因此最大值为√2+1.] 所以(am-n2)×2”=(2-1)·2", 15.解：(1)设，点D坐标为(a,b),因为四边形ABCD为平 所以，Sm=1×2+3×22+5×23+…十(2-3)X 行四边形，所以kAB=kCD,kAD=kC, 2m-1+(2m-1)×2", (0-2_b-4 2S,m=1×22+3×23+5×24+…+(2m-3)×2m+ 5-1a-3' 解得a。-1·所以D-1,6. (2n-1)X2n+1, 所以 1b-2_4-0 1b=6, 所以，-Sm=1×2+2×22+2X23十…十2×2m-(2n a-13-5 -1)×2m+1=2+2×20-2)-(2m-1）X2+1 （2)因为c=专月1km=595 1-2 =-6+(3-2)X2"+1, kAC·kBD=一1，所以AC⊥BD,所以□ABCD为 所以，Sm=(2n-3)X2m+1+6, 菱形 16.解：(1)由Ci=a,CB=b,CC=c, 所以S6 以2m-320+1≤100，解得≤5，n∈N. 得CA1=a十b十c, 所以，满足。号10的刀的报大位为5 所以A1C=-a-b-c. 高二第一学期期未综合冲刺卷·数学（四） (2)O为四棱柱ABCD-A1B1C1D1的中心，即O为线 1.C[(DA,DC,DD1}为单位正交向量，BE=BB1十 段A1C的中点. 由已知条件得a=|b|=2,cl=3,a·b=0,a,c》 B1E=- }D心+DD.成=(o,-子 =60°，b,c〉=60°. 故选C.] 2.B[建立坐标系如图所示 C项，当m=0,n=0时，方程不成立，错误； 则A(1,0,0),E(0,2,1),B(1,2,0), D项，方程表示的曲线不含有一次项，故不可能为抛 C(0,2,2),BC=(-1,0,2) 物线，正确.故选BD.] AE=(-1,2,1). 12.1[因为a,b,c共面，所以存在实数m,n,使得c AE·BC ma十nb,则11e1+5e2+ae3=(2m-n)e1+(-m+ cos<BCI,AE)= |AE1·IBC11 4n)e2+(m-2n)e3, (2m-n=11 y所以异面直线BC,与AE所成角的余弦值为 (m=7 10 则{一m十4n=5,解得n=3.] 选B] (m-2n=入 入=1 若1[- =a=5“a a? 5, 3.D[由ar十b十c=0,得斜率=一分，直线在y轴 .5a2-5b2=a2,即4a2=5b2 上的截距分别为一二 分由题因<0，即-分<0， 设精圆的标准方程为+5 a2402-1(a>0), a0>0,-6>0iac<0.<0若c<0. 则a>0,b>0;若c>0,则a<0,b<0.故选D.] 满网过点P(-5小得+5-1 4.B[圆心(3,3)到直线3.x十4y-11=0的距离d= 3×3十3×4-11山=2，而圆的半径为3，故符合题意 解得。2=6旅国的标准方程为后+需-1.门 5 14.十或0.25[因为数列(am的递推公式a+1= 的点有2个.故选B.] 5.B[对于B,A护-(-1,4，-) an十1，且首项a1=1, an 则n…A2=(3,1,2)…(-1,4,-2)=0, 则=4-含a,年7=守aa中7- 1 a2=1 nLA户，则点P(13,)在平面a内.故选B] 故答案为子] 6.A[根据双曲线的方程得2a=2X5=10,由定义知 15.解：(1)线段AB的中点坐标为(1,2)， 川PF-12=10,可解得PF=22或2，故选A.] 7.A[因为g=2a3a5=16。 所以AB边上的中线所在直线的方程是2是 所以a(合）°·a1(合）广=16，所以a=4x16x16. 号即4红+-6=0. 因为am>0,所以a1=32, (2)南已知C-1-二号=一子，则AC边上高的 -2-2 所以=a(）-32 =1,故选A.] 斜率是号，AC边上的高所在直线方程是y-3 8.C[由题， /a1=8 S2=2a1+d=13所以d=-3, 3(x-4),即4x-3y-7=0. 所以an=8-3(n-1)=-31+11, 所以a1=-3×7十11=-10，故选C.] 16.(1)证明：分别连接PE,PF,PG, PH并延长，交对边于点M,N, 9.AC[AD=(0,1,0),AB⊥AD,AA1⊥AD,又 Q,R,连接MN,NQ,QR,RM, AB∩AA=A,∴.AD⊥平面ABB1A,.A正确； 如图. CD=(-1,0,0),而(1,1,1)·CD=-1≠0， ∴(1,1,1)不是平面B1CD的法向量，.B错误；C中 E,F,G,H分别是所在三角形的重心， 易证AC⊥平面B1CD1且AC=(1,1,1),.C正确， M,N,Q.R是所在边的中点，且P正=号Pi,P示= D中，因AB=(1,0,0),.AB·(0,1,1)=0,又AD1=(0, 1,1),且(0,1,1)·(0,1,1)≠0，∴.D错误.故选AC.] 号P.心-号pa,pi-号 10.ABC[圆方程为(x-2)2+(y-2)2=18,圆心为 由题意知四边形MNQR是平行四边形， (2,2),半径为3√2，要使条件成立，设圆心到直线的 :.MQ-MN+MR=(PN-PM)+(PR-PM)= 距离为d,只需要d=≤3V2-2V2,即-2≤c≤2， √2 昌(P-P它+子Pi-pi=是(E+Ei. 所以ABC均符合条件.] 11.BD[A项，取m=n=1,此时表示圆，错误； 又Ma-PdPi=PG-Pi-成.BG= B项，当mn<0时，方程表示焦，点在x轴或y轴的双 曲线，正确： EF+Ei,由共面向量定理知，E,F,G,H四点共面. 6 (2)解：平面EFGH与平面ABCD平行.证明如下： 高二第一学期期未综合冲刺卷·数学（五） 由1)得=号成，Md/底， 1.D[AB=(-2,-6,-2),AC=(-1,6,A-3), .EG∥平面ABCD :AB⊥AC,.AB·AC=-2×(-1)-6×6- 2(入-3)=0，解得A=-14.故选D.] 又M-P爪-Pi=P序-多P店 2.B[y轴的一个方向向量s=(0,1,0),cos(n,s〉= 多成不形成 :、一，即y轴与平面所成角的正孩值是 n·s 即EF∥平面ABCD. 又，EG∩EF=E, ,数共所成的商的大小足票故选B] .平面EFGH与平面ABCD平行. 3.B[原点在直线1上的射影为点(2,1)， 17.解：(1)，点P(a,a十1)在圆上， .a2+(a+1)2-4a-14(a+1)+45=0, 直线1的斜奉为长=-是=-2.又点(2,1)在直线 ∴.a=4,故P(4,5), l上， ∴.PQ=√(4+2)2+(5-3)z=2√10， .所求的直线方程为y一1=一2(x-2), 如=3 即2x十y-5=0.故选B.] 4.A[①当m=一1时，两直线分别为x一2=0和x (2):圆心C的坐标为(2,7)， 2y4=0,此时两直线相交，不合题意. .1QC1=V√(2+2)2+(7-3)2=4V2, ②当m≠一1时，两直线的斜率都存在，由直线平行可 圆的半径是2V2,点Q在圆外， 1=-m, 2 .lMQ1max=4V2+2V2=6√2， 得 1+m 2≠一2， 解得m=1.综上可得m=1. |MQl min=4√2-2√2=2√2. 1+n 1区解，1说描周的兔是为2，由巴知降号=号又由 故选A.] 5.B[先画出四边形ABCD的大致 a2=b2+c2,可得2a=3b.由AB1=√a2+b2=√13， 图形，如图所示，由斜率公式得kBC 得。=3，=2.所以指国的方程为号+兰-1。 =kAD=0,kAB=kCD=- 所以 (2)设点P的坐标为(x1,y1),点M的坐标为 四边形ABCD为平行四边形.故 (2,2）.由题意，2>1>0，点Q的坐标为(-x1,一y1). 选B.] 由△BPM的面积是△BPQ面积的2倍，可得 6.C[如图所示，△F2PF1是底角为30°的等腰三角形， |PM|=2|PQ,从而x2-x1=2[x1-(-x1)],即 则有FF2=|PF2, x2=5.x1.易知直线AB的方程为2x十3y=6,由方程 ∠PF1F2=∠F2PF1=30 2x士3)=6·消去，可得9=32由方程组 组 6 所以∠PF2A=60°， y=kz ∠F2PA=30°，所以PF2|= 、6 由x2= 2AF=2(ga-c）=3a-2. y=kx, √/9k2+4 又因为F1F2=2c,所以，2c=3a-2c,所以e=C 5.x1,可得√9k2十4=5(3k十2)，两边平方，整理得 18股2+25十8=0，解得及=-8或6=-分当及= 递C] 时2=一9<0，不合道意，合去：当=一之时， 8 7.B[因为a1=3,am=2-1(m≥2)，所以a2=2 a-1 =121=号特合题意.所以长的值为一 1 19.解：(1)由f(x)=x2-2x-3, a-2d-2-a- 1=2- a? a3 得a1=f(x-1)=(x-1)2-2(x-1)-3=x2-4x, 选B.] a3=x2-2x一3.又因为a1,a2,a3成等差数列， 所以2a2=a1十a3, 8.B[:等差数列前n项和5。-（a1十a)n, 2 即-3=x2-4x+x2-2x-3, 由S15>0,S16<0,得a1+a15=2a8>0,a1+a16= 解得x=0或x=3. 48十ag<0, (2)当x=0时，a1=0,d=a2-a1=-3, ∴.a8>0,ag0,d<0, 2 故{am}为递减数列，当n≤8时，am>0;当n>8时， 此时a,=a1十(m一1Dd=一是(a-1D: am<0,所以Sn最大值是S8, 当x=3时，a1=-3,d=a2-a1=2' 3 则当n≤8时，S>0且单调递增，当8<n≤15时， 3 此时an=a1+(n-1)d=2(n-3). S<0:最大故选B.] a a8