数学(三)-【步步为赢】2025-2026学年高二上学期数学期末综合冲刺卷

(2)由(1)得a十c=(5,2,3),b+c=(1,-6,1), 19.解：1)因为在等差数列{am}中，a2=5,a4十a6=22, 设a十c与b+c夹角为0， |a1+d=5 因此cos0= 5-12+3 2 所以，2a1十8d=2解得d=2a1=3 √38·w38 =-1 所以，{an}的通项公式为an=2n十1 16.(1)证明：以D为原点，DA、D亡、 (2)由(1)知(a}的前n项和为Sm=n(3+2n十1= 2 DD1的方向分别为x轴、y轴、轴 n2+2m 的正半轴，建立如图所示空间直角 所以，Sm=n2十2n=143,即n2十2n-143=0,解得 坐标系，则D(0,0,0)、A(2,0,0)、 n=11或n=-13(舍) B(2,2,0)、C(0,2,0)、D1(0,0,5) 所以，Sm=143成立的n的值为11. E(0,0,1)、F(2,2,4) 高二第一学期期末综合冲刺卷·数学（三） ∴.AC(-2,2,0),AF=(0,2,4),BE=(-2,-2,1), AE=(-2,0,1). 1B[由于+g十g=1PA,B.C四点共面，故 选B.] :BE·AC=0,BE·AF=0, 2.A[空间直角坐标系中， .BE⊥AC,BE⊥AF, A(1,2,3),B(-1,0,5),C(3,0,4),D(4,1,3), 且AC∩AF=A. .BE⊥平面ACF .AB=(-2,-2,2),CD=(1,1,-1), (2)解：由(1)知，BE为平面ACF的一个法向量， AB=-2CD,直线AB与CD平行.故选A.] 3.D[由条件知，直线AO与AB的倾斜角互补，斜率互为 一点E到平西ACF的距离4=AE:B它-5 相反数，∴.k0=3,kB=一3，由，点斜式方程得y一3= BEI -3(x-1).故选D.] 故点E到平面ACF的距离为受 17.解：(1)由AF=3|F1B,AB=4, C[由遁湾得，直线方程为停，一1D。 即x-5y-1=0. 得AF1=3,1F1B|=1. 因为△ABF2的周长为16， 圆心(2,0)到直线的距离为d=2山=1 2=2 所以由椭圆定义可得4a=16,AF|十|AF2=2a=8. 故|AF2|=8-3=5. 故所求弦长为1=2P-=2√1-(2)=.故 (2)设|F1B引=k,则k>0且|AF1=3k,AB|=4k. 选C.] 由椭圆定义可得，|AF2=2a-3k,|BF2|=2a-k. 5.B[不妨设向量为b=(x,y,z), 在△ABF2中，由余弦定理可得，AB|2=|AF2|2+ a·b |BF22-2|AF2|·|BF2|·cos∠AF2B, A.若b=(-1,l,0),则cos8=a·b-2X2 即(42=(2a-32+2a-k2-号2-3)2a-k, 号千，不满足条件 1 化简可得(a十k)(a-3k)=0,而a十k>0,故a=3k. a·b 于是有|AF2=3k=AF1|,|BF2|=5k. B.若b=(1,-1,0),则cos0=a·1b2X2 因此BF212=|F2A12+AB2,可得F1A⊥F2A, 故△AFF2为等腰直角三角形. 满足条件。 C.若b=(0,-1,1),则cos9=a1b2X2 a·b -1 所以椭圆E的离心率e=C=2 a -2 日≠日不满足条件。 18.解：D1PF·PF≤(PF十IPF a·b -2 =100 2 D.若b=(-1,0,1),则cos0=1a·b-2×2 (当且仅当|PF1=PF2时，等号成立)， .PF1·|PF2的最大值为100. 1≠2，不满足条件，故选B] (IPFa lain 60 6B[由观意得P:=,P点满足号芳-1， 3 PF·1PF2=256, ① y=bve-a, 3· a 由题意知： 2c=么√2-a2,由于c=Va2+b,即2ac=b2- PF1I2+|PF2|2+21PF1|·|PF2|=4a2, I|PF112+|PF212-4c2=2|PF1|·|PF2cos60°， c2-a2,2=0-又e>0,故e=1+区故选B] .3|PF1|·|PF2|=400-4c2.② 7.C[由aw=n2+1=122得n=11(-11舍去).故 由①②得c=6,∴.b=8. 选C.] 8.D[在等差教列a中，0s=9,5=X5=25, 由(1)得CA=a+b+c,则1CAi2=CA2=(a+b+ c)2=a2+b2+c2+2a·b+2b·c+2a·c=22+22+ 解得a1=1,所以教列{am}的公差为d=a二4=2.故 32+0+2X2X3Xcos60°+2×2×3×c0s60°=29. 5-1 选D.] 所以AC的长为V西，所以C0的长为四 9.ABC[由于AP·AB=-1×2+(-1)×2+(-4)× 17.解：解方程组 (-1)=0,AP·AD=4X(-1)+2×2+0×(-1)=0, 2x十y-3=0·得交点P(1,1), x-y=0, 所以A、B、C正确，又BD=AD-AB=(2,3,4). (1)若直线与l1平行， ,k1=2,∴.斜率k=2,.所求直线方程为y一1= AP=(-1,2,-1),不满足AP=ABD, 2(x-1),即2x-y-1=0. .D不正确，故选ABC.门 10.BC[,点M到各直线的最小距离：对于A,d山1= (②)若直线与归妻直，好=号斜率0= k2 15-0+1山=32>4；对于B,d2=2<4;对于C, √2 号所家克线的方袋为y一1=一号一1D.即 d,=l5x4-3X0=4:对于D,4,=l5×2-0+山 2x+3y-5=0. 5 √5 18.解：(1)由题意，知c2=1,又c2=a2-b2,且3a2=4b2, =1>4,所以符合条件的有BC.] 所以02-是2=1，即02=1，所以02=4，=3 5 11.CD[,半径长为6的圆与x轴相切，设圆心坐标为 故横国的标准方崔为学+雪-1 (a,b),则b=6.再由/a3+32=5.可以解得a=士4， (2)由于点P在椭图上，所以|PF|十PF2|=2a= 故所求圆的方程为(x士4)2+(y-6)2=36.故 选CD.] 2X2=又PF-PF=1.所以PF=8 12.a+b叶字c[周为在回面体0ABC中，Oi=a, PF=是.又Fr=2=2,所以由余孩定理得 OB=b,OC=C,D为BC的中点，E为AD的中点，所 coS∠F1PF2 )+()- 3 以0成-}oi+0i)=oi+号oi-a+号× 2x号×号 6 故∠F,PF:的会孩值等于是 13.121[设等比数列{am}的首项为a1,公比为q, 19.解：(1)证明：因为数列{an}满足a1=2,am+1=am十 2n+3, 由a3=9,a=729可得：0，=729' 所以[am+1-(n+1)2]-(an-n2)=an+1-n2-2n 因为{an}为递增的等比数列，解得q=3,a1=1, 1-am+n2=2n+3-2n-1=2, s,=1X3）_242-121.] 因为a1=2,所以a1-12=1 1-3 2 所以，数列{am一n2}为等差数列，公差为2，首项为1. 14.1十√2[V(.x-1)2+(y-1)2的几何意义是圆上的 (2)由(1)知aw-n2=2-1, 点P(x,y)到点(1,1)的距离，因此最大值为√2+1.] 所以(am-n2)×2”=(2-1)·2", 15.解：(1)设，点D坐标为(a,b),因为四边形ABCD为平 所以，Sm=1×2+3×22+5×23+…十(2-3)X 行四边形，所以kAB=kCD,kAD=kC, 2m-1+(2m-1)×2", (0-2_b-4 2S,m=1×22+3×23+5×24+…+(2m-3)×2m+ 5-1a-3' 解得a。-1·所以D-1,6. (2n-1)X2n+1, 所以 1b-2_4-0 1b=6, 所以，-Sm=1×2+2×22+2X23十…十2×2m-(2n a-13-5 -1)×2m+1=2+2×20-2)-(2m-1）X2+1 （2)因为c=专月1km=595 1-2 =-6+(3-2)X2"+1, kAC·kBD=一1，所以AC⊥BD,所以□ABCD为 所以，Sm=(2n-3)X2m+1+6, 菱形 16.解：(1)由Ci=a,CB=b,CC=c, 所以S6 以2m-320+1≤100，解得≤5，n∈N. 得CA1=a十b十c, 所以，满足。号10的刀的报大位为5 所以A1C=-a-b-c. 高二第一学期期未综合冲刺卷·数学（四） (2)O为四棱柱ABCD-A1B1C1D1的中心，即O为线 1.C[(DA,DC,DD1}为单位正交向量，BE=BB1十 段A1C的中点. 由已知条件得a=|b|=2,cl=3,a·b=0,a,c》 B1E=- }D心+DD.成=(o,-子 =60°，b,c〉=60°. 故选C.]7.已知数列{a,}的通项公式是a.=n+1,则122是该数列的 四、解答题（本大题共5小题，共77分） 高二第一学期期末综合冲刺卷·数学（三） () 15.(本小题满分13分)已知在□ABCD中，A(1,2),B(5, (时间：120分钟满分：150分) A.第9项B.第10项 C.第11项D.第12项 0),C(3,4). 一、选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题 8.已知等差数列{an}的前n和为S。,且a=9,S,=25,则数 (1)求点D的坐标： 给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)》 列{a.的公差为 () 1,A,B,C不共线，对空间内任意一点0，若O币-3Oi+ A.0 C.1 D.2 日Oi+0父.则卫，AB.C四点 二、选择题（本题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题 给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分， A.不共面 B.共面 部分选对的得部分分，有选错的得0分》 C.不一定共面 D.无法判断是否共面 9.已知点P是平行四边形ABCD所在的平面外一点，如果 2.在空间直角坐标系中，A(1,2,3),B(一1,0,5)，C(3,0,4), AB=(2,-1,-4),AD=(4,2,0),AP=(-1,2,-1). D(4,1,3),则直线AB与CD的位置关系是 () 对于下列结论正确的是 (2)试判定□ABCD是否为菱形？ A.平行 B.垂直 A.AP⊥AB C.相交但不垂直 D.无法确定 B.AP⊥AD 3.在等腰三角形A(OB中，AO=AB,点O0,0),A(1,3),点 C.AP是平面ABCD的法向量 B在x轴的正半轴上，则直线AB的方程为 () D.AP∥BD A.y-1=3(.x-3) B.y-1=-3(x-3) 10.已知平面上一点M(5,0),若直线上存在点P,使 C.y-3=3(x-1) D.y-3=-3(.x-1) PM=4,则称该直线为“切割型直线”.下列直线中是 4.过点(1,0)且倾斜角为30°的直线被圆(.x一2)+y=1所 “切割型直线”的是 () 截得的弦长为 () A.y=r+1 B.y=2 超 A号 B.1 4 C.y-3x D.y=2x+1 C.3 D.23 11.半径长为6的圆与x轴相切，且与圆x+(y一3)=1 5.已知向量a=(1,0,一1)，则下列向量中与a成60夹角的 内切，则此圆的方程为 () 是 ( ) A.(x-4)2+(y-6)2=6 B.(x+4)2+(y-6)=6 A.(-1,1,0) B.(1,-1,0) C.(x-4)2+(y-6)2=36D.(x+4)2+(y-6)=36 C.(0.-1,1) D.(-1.0.1) 三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分）》 6过双尚线号一芳-1的右焦点乃作垂直于实轴的弦 y 12.在四面体OABC中，OA=a,OB=b,OC=c,D为BC的中 点，E为AD的中点，则OE ,(用a,b,c表示) PQ,F是左焦点，若∠PF,Q=90°，则双曲线的离心率是 13.已知递增的等比数列{a.}的前n项和为S,若a,=9, a,=729,则S= A.2 B.1+2 14.已知点P(x,y)在圆x+y=1上，则V(x-1)+(y-1) C.2+√2 D.3-√2 的最大值为 3-1 16.（本小题满分15分)如图，一块矿石 (2)垂直于直线l.:3x-2y十4=0. 19.(本小题满分17分)已知数列{a.)满足a1=2,a.+1= 晶体的形状为四棱柱ABCD am+2n+3. A,B,CD,底面ABCD是正方形， (1)证明：数列{a。一n)为等差数列. CC=3,CD=2,且∠CCB= ∠C,CD=60°. (1)设CD=a,Ci=b,CC=c,试用a,b,c表示A,C; 18,(体小题满分17分已知椭圆影+若=1。>6>0)的焦点分 (2)设数列{(a.一n)×2"}的前n项和为S。,求S,并求 别是F(0.一1).F(0,1)且3a=4b. (2)已知O为四棱柱ABCD A,BCD的中心，求CO的长 (1)求椭圆的标准方程： 满足S二6 是2n-3≤100的n的最大值. 17.(本小题满分15分)分别求经过两条直线2x十y一3一0 和x一y=0的交点，且符合下列条件的直线方程。 (2)设点P在这个椭圆上，且|PF,|一|PF:」=1，求 (1)平行于直线(1：4x一2y一7=0： ∠F,PF的余弦值. 3-2