精品解析：江苏省南京外国语学校2025-2026学年高一上学期期中数学试题

南京外国语学校2025-2026学年度第一学期期中 高一年级数学试题（A卷） 注意事项： 本试卷考试时间为120分钟，试卷满分150分，考试形式闭卷． 本试卷中所有试题必须作答在答题卡上规定的位置，否则不给分． 答题前，务必将自己的姓名、准考证号用0.5毫米黑色墨水签字笔填写在试卷及答题卡上． 一、单项选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．） 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 2. 下列说法正确的是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 3. 已知函数是幂函数，且为奇函数，则实数（ ） A. 或 B. C. D. 4. 已知，，则（ ） A. B. C. D. 5. 已知函数的定义域为，则函数的定义域为（ ） A. B. C. D. 6. “”是“一元二次方程有两个根”的（　　） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 7. 已知函数是定义在上的偶函数，且是奇函数，当时，，则（　　） A. B. C. D. 8. 已知函数，若仅存在一个整数，使得方程有4个不同的实根，则实数的取值范围是（　　） A. B. C. D. 二、多项选择题（本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．） 9. 下列命题正确的有（　　） A. 函数与是同一个函数 B. 函数值域为 C. 命题“”的否定为“，有” D. 若函数的定义域为，则 10. 若，，且，则下列结论正确的是（ ） A. 的最大值为1 B. 的最大值为2 C. 的最小值是 D. 的最小值为 11. 已知集合，，其中，，且满足：，，若对于中的元素，在A中至少存在两个不同元素，使得，则称集合A具有性质，下列选项正确的有（ ） A. 若集合A是由所有正奇数组成的集合，则集合A具有性质 B. 若集合A是由所有正偶数组成的集合，则集合A具有性质 C. 若，，则集合A具有性质 D. 若，且为奇数，则集合A具有性质和，但不具有性质 三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分．） 12. 已知集合，集合，若，则实数的值为___________． 13. 已知函数是上的减函数，则实数的取值范围是___________ 14. 已知函数，的定义域均为R，其中是奇函数，是偶函数，且，若对于任意，都有，则实数a的取值范围是______． 四、解答题（本题共5小题，共77分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．） 15. 计算下列各题： （1）； （2）； （3）已知，求的值． 16. 已知函数是定义在上的奇函数，且． （1）求函数的解析式； （2）判断的单调性，并利用定义证明． 17. 对于函数，若在定义域内存在实数，满足，则称为“弱奇函数”． （1）判断函数是否为“弱奇函数”，若是，求出所有满足的的值；若不是，请说明理由； （2）若定义在上的函数为“弱奇函数”，求实数的取值范围． 18. 已知函数． （1）若关于的不等式的解集为，求，的值； （2）已知，当时，恒成立，求实数的取值范围； （3）定义：闭区间的长度为，若对于任意长度为1的闭区间，存在，，求实数的最小值． 19. 已知定义在的函数满足以下条件： ①对任意实数，恒有； ②当时，；③ （1）求，的值； （2）若对任意恒成立，求的取值范围； （3）求不等式的解集. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 南京外国语学校2025-2026学年度第一学期期中 高一年级数学试题（A卷） 注意事项： 本试卷考试时间为120分钟，试卷满分150分，考试形式闭卷． 本试卷中所有试题必须作答在答题卡上规定的位置，否则不给分． 答题前，务必将自己的姓名、准考证号用0.5毫米黑色墨水签字笔填写在试卷及答题卡上． 一、单项选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．） 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】方法一：由一元二次不等式的解法求出集合，即可根据交集的运算解出． 方法二：将集合中的元素逐个代入不等式验证，即可解出． 【详解】方法一：因为，而， 所以． 故选：C． 方法二：因为，将代入不等式，只有使不等式成立，所以． 故选：C． 2. 下列说法正确的是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 【答案】C 【解析】 【分析】对于A，取判断A；对于B，D取特殊值进行验证判断BD；对于C，利用不等式性质进行判断. 【详解】对于A，若，当时，，此时，故A错误； 对于B，若，取，此时，则，故B错误； 对于C，若，不等式两边同时乘以，则， 对，不等式两边同时乘以，则，所以，故C正确； 对于D，若，取，此时，则，故D错误， 故选：C. 3. 已知函数是幂函数，且为奇函数，则实数（ ） A. 或 B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】利用幂函数的定义及奇函数的概念即可求解. 【详解】由题意得，所以，所以， 解得或， 当时，，为偶函数，故不符合题意， 当时，，为奇函数，故符合题意. 综上所述：. 故选：B. 4. 已知，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】先将化为，然后利用换底公式和对数的运算性质对化简变形即可得答案. 【详解】由，得，且， 所以， 故选：C 5. 已知函数的定义域为，则函数的定义域为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据具体函数和抽象函数的定义域，即可求解. 【详解】由题意可知，，解得：， 所以函数的定义域为. 故选：D 6. “”是“一元二次方程有两个根”的（　　） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】B 【解析】 【分析】根据一元二次方程根的分布，结合二次函数的性质即可求解. 【详解】若一元二次方程有两个根， 记,则，解得， 由于，故“”是“一元二次方程有两个根”的必要不充分条件， 故选：B 7. 已知函数是定义在上的偶函数，且是奇函数，当时，，则（　　） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据函数的奇偶性以及对称性，即可求解. 【详解】由于为偶函数，故， 又是奇函数，故，所以， 故选：A 8. 已知函数，若仅存在一个整数，使得方程有4个不同的实根，则实数的取值范围是（　　） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】先利用二次函数性质并结合题意得到每一部分根的个数，再转化为交点问题求解参数范围即可. 【详解】若方程有4个不同的实根，如图，作出符合题意的图像， 当时，， 则由二次函数性质得此时最多有两个不同的实根， 而当时，，此时一定有两个不同的实根， 即与有两个不同的交点，得到， 当时，结合题意得有两个不同的实根， 此时与有两个不同的交点， 且此时，， 可得，即， 因为仅存在一个整数，所以，解得， 而，得到，故A正确. 故选：A 二、多项选择题（本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．） 9. 下列命题正确的有（　　） A. 函数与是同一个函数 B. 函数值域为 C. 命题“”的否定为“，有” D. 若函数的定义域为，则 【答案】BD 【解析】 【分析】利用同一函数的判断法则判断A，利用换元法求解值域判断B，利用命题的否定规则判断C，将原问题转化为恒成立问题，对二次项系数进行讨论，进而求解参数范围判断D即可. 【详解】对于A，因为，， 所以函数与不是同一个函数，故A错误， 对于B，令，解得， 可得，即，原函数化为， 由二次函数性质得在上单调递增，且， 则函数值域为，故B正确， 对于C，由命题的否定规则得，原命题的否定为“，有”，故C错误， 对于D，若函数的定义域为， 则在上恒成立，当时，得到，符合题意， 当时，可得，解得， 综上可得，故D正确. 故选：BD 10. 若，，且，则下列结论正确的是（ ） A. 的最大值为1 B. 的最大值为2 C. 的最小值是 D. 的最小值为 【答案】ACD 【解析】 【分析】对于ABC，根据基本不等式及“1”的妙用求解判断即可；对于D，化简得，进而结合二次函数的性质求解即可. 【详解】对于A，由，，则， 即，当且仅当时等号成立， 则的最大值为1，故A正确； 对于B，， 当且仅当，即时等号成立， 所以的最小值为2，故B错误； 对于C，由，得， ， 当且仅当，即时等号成立， 所以的最小值是，故C正确. 对于D，由，得， 则， 当时，取得最小值，故D正确； 故选：ACD. 11. 已知集合，，其中，，且满足：，，若对于中的元素，在A中至少存在两个不同元素，使得，则称集合A具有性质，下列选项正确的有（ ） A. 若集合A是由所有正奇数组成的集合，则集合A具有性质 B. 若集合A是由所有正偶数组成的集合，则集合A具有性质 C. 若，，则集合A具有性质 D. 若，且为奇数，则集合A具有性质和，但不具有性质 【答案】ACD 【解析】 【分析】对于ABC：根据性质的定义直接判断即可；对于D：结合选项C判断性质，分和两种情况，判断；分和两种情况，判断. 【详解】A选项，显然，，且，所以A正确； B选项，，，但A中没有两个或两个以上元素和为3，所以B错误； C选项，因为，，是中元素的最小者， 可知集合中一定有这些元素， 且，则集合A具有性质，所以C正确； D选项，因为，且为奇数，是中元素的最小者， 可知集合A中一定有这些元素， 且，则集合A具有性质， 是中元素的第二小者， 1.若，因为，则，所以集合A具有性质； 2.若，则A集合中一定有这些元素， 且，则集合A具有性质； 综上所述：集合A具有性质. 因为为奇数，则 ①若，则，此时； ②若，则，此时； 综上：集合不具有性质，所以D正确； 故选：ACD. 【点睛】方法点睛：遇到新定义问题，应耐心读题，分析新定义的特点，弄清新定义的性质，按新定义的要求，“照章办事”，逐条分析、运算、验证，使得问题得以解决. 三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分．） 12. 已知集合，集合，若，则实数的值为___________． 【答案】 【解析】 【分析】结合题意得到，进而建立方程并合理取舍，最后得到参数值即可. 【详解】因为，所以， 而，则讨论即可， 当时，可得，解得或， 当时，不满足互异性，故排除， 当时，，满足条件，所以. 故答案为： 13. 已知函数是上的减函数，则实数的取值范围是___________ 【答案】 【解析】 【分析】根据各段函数的单调性结合分段点的高低可求参数的取值范围. 【详解】因为为上的减函数，故，故， 故答案为： 14. 已知函数，的定义域均为R，其中是奇函数，是偶函数，且，若对于任意，都有，则实数a的取值范围是______． 【答案】 【解析】 【分析】由题意有和，又得，令，利用函数的单调性即可求解. 【详解】∵是奇函数，是偶函数，在中， 用去代换x，得， ∴，，∵， ∴由，可得， 令，则在上单调递增． 若，则的图象的对称轴为直线，图象开口向上，符合题意； 若，则的图象的对称轴为直线，图象开口向下， 则需，即；若，则在上单调递增，符合题意． 综上，． 故答案为：. 四、解答题（本题共5小题，共77分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．） 15. 计算下列各题： （1）； （2）； （3）已知，求的值． 【答案】（1） （2）8 （3） 【解析】 【分析】（1）根据根式和幂的运算法则即可求解， （2）根据对数的运算性质即可求解， （3）根据平方公式即可求解. 【小问1详解】 【小问2详解】 ， 【小问3详解】 由可得， 所以，进而，故， 16. 已知函数是定义在上的奇函数，且． （1）求函数的解析式； （2）判断的单调性，并利用定义证明． 【答案】（1） （2） 函数在上为单调递增函数，证明如下： 任取， 则 ， ，，， ，即， 故在上为单调递增函数. 【解析】 【分析】（1）由奇函数的性质求得，再由求得，从而得解； （2）利用函数单调性的定义，即可得证； 【小问1详解】 由题意，函数是定义在上的奇函数，所以， 所以，则，， 又，所以，则，经检验，符合题意， 综上，； 【小问2详解】 略 17. 对于函数，若在定义域内存在实数，满足，则称为“弱奇函数”． （1）判断函数是否为“弱奇函数”，若是，求出所有满足的的值；若不是，请说明理由； （2）若定义在上的函数为“弱奇函数”，求实数的取值范围． 【答案】（1）不是“弱奇函数”. （2） 【解析】 【分析】（1）根据弱奇函数的定义，分类讨论即可求解. （2）首先由在上恒成立，求出的取值范围，依题意存在实数使得，分、、三种情况讨论，分别结合方程有解求出的取值范围，即可得解. 【小问1详解】 当时，，则， 故，解得，不符合题意，舍去， 当时，，则， 故，解得，不符合题意，舍去， 因此不存在，使得，故不是“弱奇函数”. 【小问2详解】 由在上恒成立， 转化为在上恒成立，即. 因为为其定义域上的“弱奇函数”， 所以存在实数使得， 当时，则，所以，即， 所以，， 即在有解可保证是“弱奇函数"，所以， 又因为，所以； 当时，，此时，不成立； 当时，则，所以，则， 即，即在有解可保证是“弱奇函数”， 所以，由可知； 综上所述，实数的取值范围为. 18. 已知函数． （1）若关于的不等式的解集为，求，的值； （2）已知，当时，恒成立，求实数的取值范围； （3）定义：闭区间的长度为，若对于任意长度为1的闭区间，存在，，求实数的最小值． 【答案】（1） （2） （3）4 【解析】 【分析】（1）由二次不等式的解集，得到对应二次方程的两根，利用韦达定理求，的值； （2）利用分离参数法得到，再结合换元法和二次函数性质求解参数范围即可. （3）分类讨论时需要的条件，进而求得正数的最小值即可. 【小问1详解】 由题意得不等式的解集为， 则方程的根为，且， 得到，解得，故； 【小问2详解】 因为当时，恒成立， 所以恒成立，此时， 化简得，令， 令，函数化为， 由二次函数性质得在上单调递增，则， 则，而，可得. 【小问3详解】 对于， 函数图像抛物线开口向上，对称轴为， ∵，根据二次函数的对称性不妨设，则有： ①当时，在上单调递增， 可得 ， ∴，得 ②当时， 在上单调递减，在上单调递增， 结合，可得函数在区间上的最大值为 ，最小值为 ， 可得， ∵，有，，∴，. 综上可得，正数最小值为4. 19. 已知定义在的函数满足以下条件： ①对任意实数，恒有； ②当时，；③ （1）求，的值； （2）若对任意恒成立，求的取值范围； （3）求不等式的解集. 【答案】（1），； （2） （3） 【解析】 【分析】（1）令，则，解得；令，可得，解得； （2）对任意x恒成立对任意恒成立， 先探讨的取值范围，原不等式等价于：在恒成立， （3）再证明函数 在上单调递增，原不等式转化为令，在上单调递增， 【小问1详解】 令，则， 由于当时，，所以， 令，可得，即； 【小问2详解】 对任意恒成立对任意x恒成立， 令，以下探讨的取值范围． 令可得， 当时，，则， 时， 原不等式等价于：在恒成立， 即 ，当时取等号． 【小问3详解】 由（2）可得，， 下面证明的单调性： 任取，，且，， 则， 所以函数 在上单调递增， ， 令，在上单调递增，且 ， 所以原不等式解集为： 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $