第十三章 勾股定理单元复习（全章知识点总结+18大题型 ）2025-2026学年 华东师大版数学八年级上册重难点培优专题复习

第十三章 勾股定理全章复习 第1部分 全章知识点、重难点与易错点总结 一、核心知识点梳理 模块 具体内容 公式/定理表达式 备注 基本概念 直角三角形三要素 直角边（a、b）、斜边（c）、直角（∠C=90°） 斜边为最长边 勾股定理 直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方 （为斜边） 仅适用于直角三角形 勾股定理逆定理 若三角形三边满足，则该三角形为直角三角形 若，则∠C=90° 直角三角形的判定依据 勾股数 满足的正整数组 （3,4,5）、（5,12,13）、（7,24,25）等 倍数仍为勾股数（如6,8,10） 核心思想方法 1.数形结合；2.转化思想（立体→平面）；3.分类讨论；4.建模思想 - 解决实际问题的关键 二、重难点突破 重点内容 突破策略 勾股定理的灵活应用 1.明确直角边与斜边的判定； 2.结合图形标注已知条件； 3.熟练进行公式变形（等） 勾股定理逆定理的应用 1.先确定最长边； 2.验证最长边的平方是否等于另外两边平方和； 3.规范书写判定步骤 立体图形表面最短路径 1.按“展开→定点→连线”步骤转化为平面图形； 2.分类讨论不同展开方式； 3.构造直角三角形求解 折叠/旋转问题中的边长转化 1.利用折叠/旋转的性质找相等线段； 2.设未知数建立勾股方程； 3.检验解的合理性 三、高频易错点警示 易错点 错误示例 规避方法 混淆定理与逆定理的适用场景 用勾股定理判定直角三角形（应为逆定理） 牢记：定理→已知直角求边长；逆定理→已知边长判直角 忽略直角三角形前提应用定理 对任意三角形直接套用 先判断三角形是否为直角三角形，标注直角符号 立体图形展开不全面 求长方体表面最短路径时漏算一种展开方式 按“前+右”“前+上”“左+上”三种情况分类计算，比较得出最小值 勾股数判断错误 认为（2,3,4）是勾股数（） 严格验证：最长边的平方是否等于另外两边平方和 折叠问题中对应边找错 折叠后误将非对应边当作相等线段 折叠前后重合的线段相等，画图标注对应顶点，用虚线表示折痕 第2部分 常考题型分析及题型举一反三 【基础巩固篇】 【题型1】直接运用勾股定理求边长 1.核心知识点总结 勾股定理基本表达式（为斜边） 公式变形：，， 2.高频考点梳理 已知直角三角形两条边，求第三条边 含特殊角度（30°、60°）的直角三角形边长计算 3.易错点警示 混淆直角边与斜边，代入公式时出错 计算平方根时忽略非负性（边长为正数） 4.解题技巧拆解 第一步：标注直角边、斜边（最长边为斜边） 第二步：根据已知条件选择对应公式变形 第三步：精确计算，结果需化简（如） 【例题1】．（25-26八年级上·浙江嘉兴·期中）在直角三角形中，两条直角边的长分别为2和3，则斜边长为 ． 【变式题1-1】．（25-26八年级上·广东河源·期中）如图，在中，，，垂足为，已知，．求的面积及的长． 【变式题1-2】．（25-26八年级上·山西运城·期中）如图，将长为的橡皮筋放置在水平面上，固定两端和，然后从中点垂直向上拉伸至点，则橡皮筋被拉长了（    ） A． B． C． D． 【变式题1-3】．（23-24八年级下·陕西西安·阶段练习）如图，在中，，，，求的长． 【题型2】运用勾股定理逆定理判定直角三角形 1.核心知识点总结 逆定理判定条件：三角形三边满足（为最长边） 直角三角形的判定流程：找最长边→验证平方关系→得出结论 2.高频考点梳理 已知三角形三边长，判定是否为直角三角形 结合三角形三边关系（两边之和大于第三边）综合考查 3.易错点警示 未找最长边直接验证，导致判定错误 验证后忘记下结论（如“∴该三角形是直角三角形”） 4.解题技巧拆解 第一步：排序确定最长边 第二步：计算与的值 第三步：比较两者是否相等，得出判定结果 【例题2】．（江苏省扬州市扬州中学树人教育集团2025-2026学年八年级上学期数学期中试卷）以下列各组数为边长，能够组成直角三角形的是（   ） A．，， B．8，， C．2，3，4 D．9，， 【变式题2-1】．（25-26八年级上·江苏苏州·期中）下列条件中，不能判断是直角三角形的是（ ） A．：：：： B．：：：： C． D．：：：： 【变式题2-2】．（25-26八年级上·浙江湖州·期中）如图，已知中，，，是上一点，连结，且，． (1)求证：． (2)求的度数． 【变式题2-3】．（25-26八年级上·福建漳州·期中）如图，在四边形中，，，，，于点B．求四边形的面积． 【题型3】勾股数的识别与应用 1.核心知识点总结 勾股数定义：满足的正整数组 常见勾股数：（3,4,5）、（5,12,13）、（7,24,25）及其倍数 2.高频考点梳理 判断一组数是否为勾股数 补全勾股数（已知两个数，求第三个数） 3.易错点警示 把非正整数组当作勾股数（如（0.3,0.4,0.5）） 忽略勾股数的倍数性质（如（6,8,10）是勾股数） 4.解题技巧拆解 识别技巧：先看是否为正整数，再验证平方关系 补全技巧：分情况讨论（已知数为直角边或斜边） 【例题3】．（25-26八年级上·江苏扬州·期中）下列各组数中，是勾股数的是（    ） A．，， B．，， C．，， D．，， 【变式题3-1】．（25-26八年级上·全国·单元测试）若为勾股数，则a的相反数的值为（   ） A． B．5 C．或 D．5或7 【变式题3-2】．（24-25八年级下·陕西安康·期末）有一组勾股数，知道其中的两个数分别是5和12，则第三个数是 ． 【变式题3-3】．（25-26八年级上·陕西咸阳·期中）观察以下的等式，等式左边为直角三角形两直角边长的平方和，等式右边为直角三角形斜边长的平方，现有一个一条直角边为14的直角三角形，它的三边长为勾股数（满足图中等式关系），则这个直角三角形的周长为（    ） A．56 B．82 C．112 D．144 【题型4】勾股定理与无理数的表示与大小 1.核心知识点总结 无理数表示：利用勾股定理构造直角三角形，斜边长度即为无理数(如、)； 核心应用：在数轴上表示无理数、比较无理数大小。 2.高频考点梳理 在数轴上画出表示、的点； 利用勾股定理比较与的大小(平方后比较)。 3.易错点警示 构造直角三角形时，直角边长度选择错误(如表示需直角边为和，非和）； 数轴上表示负无理数时，方向错误（应在原点左侧）。 4.解题技巧拆解 数轴表示：①构造直角三角形（直角边为正整数，斜边为目标无理数）；②以原点为圆心、斜边为半径画弧，交数轴于目标点； 无理数比较：①两边平方（均为正数）；②利用勾股定理计算平方值，再比较大小。 【例题4】．（25-26八年级上·广东清远·期中）如图，在数轴上点表示的实数是 ． 【变式题4-1】．（25-26八年级上·浙江湖州·期中）如图，，，，，数轴上点表示的数是 ． 【变式题4-2】．（24-25八年级上·甘肃兰州·期中）如图所示，已知． (1)说出数轴上点A所表示的数为______； (2)比较点A所表示的数与的大小：______； (3)在数轴上找出对应的点．（保留作图痕迹） 【变式题4-3】．（24-25八年级下·山东济宁·期中） “数形结合”是一种重要的数学思想，通过数和形之间的对应关系和相互转化可以解决很多抽象的数学问题．为了比较与的大小，我们可以构造如图所示的图形进行推算：在中，，，点在上，且，这样就可以得出与的大小关系． 请写出与的大小关系并结合图形通过计算说明理由． 【题型5】已知两边求第三边（分类讨论） 1.核心知识点总结 直角三角形中，已知两边可能有两种情况（已知两边为直角边/一斜一直角边） 分类讨论思想的应用 2.高频考点梳理 已知直角三角形两条边长（未明确直角边/斜边），求第三边 结合绝对值、平方根的非负性求边长 3.易错点警示 漏分情况讨论，只计算一种可能性 计算后未检验边长是否满足三角形三边关系 4.解题技巧拆解 第一步：明确已知边的不确定性，分情况： 情况1：已知两边为直角边，求斜边（） 情况2：已知一边为直角边、一边为斜边，求另一直角边（） 第二步：检验每种情况的边长是否为正数 【例题5】．（24-25八年级下·山东临沂·期中）已知一个直角三角形的两边长分别为3和4，那么第三边是（   ） A．25 B．5 C．5或 D．7或25 【变式题5-1】．（20-21八年级下·黑龙江·期中）直角三角形两边分别为和，则第三边为（    ） A．3 B．4 C． D．4或 【变式题5-2】．（24-25八年级下·全国·阶段练习）有一个直角三角形的两边为4、5，则第三边等于 ． 【变式题5-3】．（24-25八年级上·江苏南京·期末）若直角三角形有两边长的差为2，且这两条边中有一条边长为10，求这个三角形的三条边的长． 【题型6】折叠问题求边长 1.核心知识点总结 折叠的性质：折叠前后对应边相等、对应角相等 勾股定理与方程思想的结合 2.高频考点梳理 长方形、直角三角形折叠后求未知边长 折叠后形成的直角三角形边长计算 3.易错点警示 找不到折叠后的对应边，无法建立等量关系 设未知数后列方程出错，计算失误 4.解题技巧拆解 第一步：画图标注折叠前后的对应顶点和对应边 第二步：设未知边长为，用含的式子表示其他相关边长 第三步：在折叠形成的直角三角形中套用勾股定理列方程 第四步：解方程并检验解的合理性 【例题6】．（25-26八年级上·山东青岛·期中）如图1，在中，，将按如图2所示方式折叠，使点与点重合，折痕为，若，，则的长是（　　） A． B． C． D． 【变式题6-1】．（25-26八年级上·四川成都·期中）如图，在中，，，，为边上一点，连接，将沿进行折叠，使得点落在边延长线上的点处，则的长为（    ） A．3 B．4 C．5 D．6 【变式题6-2】．（25-26八年级上·广东·阶段练习）如图，将长为宽为的长方形纸片折叠，若使点B落在边上的中点E处，压平后得到折痕，则线段的长度为 ． 【变式题6-3】．（25-26八年级上·四川达州·期中）如图，将三角形纸片沿折叠，使点C落在上的点E处，若,则的值为 ． 【能力提升篇】 【题型7】航海问题（提升） 1.核心知识点总结 方位角的识别与直角三角形的构造 勾股定理在实际情境中的建模应用 2.高频考点梳理 已知两个物体的方位和距离，判断是否相撞（是否构成直角三角形） 求航海中的最短距离、相遇时间等 3.易错点警示 方位角识别错误，无法正确构造直角三角形 单位不统一，计算前未转化单位（如千米→米） 4.解题技巧拆解 第一步：根据方位角画出示意图，标注已知条件 第二步：构造直角三角形（作垂线），明确直角边和斜边 第三步：套用勾股定理计算，结合实际情境作答 【例题7】．（25-26八年级上·山西运城·阶段练习）如图，在一次户外探险活动中，小亮从营地点出发沿北偏东方向行到达点，然后再沿北偏西方向行到达到目的地点，求出两点之间的距离． 【变式题7-1】．（25-26八年级上·山西太原·阶段练习）一艘轮船从港向南偏西方向航行到达岛，再从岛沿方向航行到达岛，港到航线的距离是，岛在港的什么方向？ 【变式题7-2】．（江苏省扬州市扬州中学树人教育集团2025-2026学年八年级上学期数学期中试卷）某港口位于东西方向的海岸线上，甲、乙两船同时离开港口，各自沿一固定方向航行．已知甲船沿北偏东方向航行，甲船每小时航行40海里，乙船每小时航行30海里．它们离开港口2小时后分别位于点，处，且相距100海里． (1)求乙船沿哪个方向航行？ (2)若在港口处有一灯塔，灯塔的信号有效覆盖半径为50海里，此时在点处的乙船沿直线向点处航行．乙船在驶向处的过程中，有多少小时可以接收到信号？ 【变式题7-3】．（25-26八年级上·甘肃酒泉·阶段练习）如图，南北向为我国的领海线，即以西为我国领海，以东为公海上午时分，我国反走私艇发现正东方有一走私艇以每小时海里的速度偷偷向我领海开来，便立即通知正在线上巡逻的我国反走私艇密切注意反走私艇通知反走私艇：和两艇的距离是海里，两艇的距离是海里反走私艇测得距离艇是海里，若走私艇的速度不变，最早会在什么时间进入我国领海？ 【题型8】网格中求线段长度（提升） 1.核心知识点总结 网格的性质：每个小正方形的边长为1，相邻格点的水平/垂直距离为1 勾股定理在平面直角坐标系中的应用 2.高频考点梳理 求网格中两点间的距离（无直接连线时） 网格中直角三角形的判定与边长计算 3.易错点警示 数错格点间的水平/垂直距离 未构造直角三角形直接测量估算 4.解题技巧拆解 第一步：过两点分别作水平、垂直于坐标轴的垂线，构造直角三角形 第二步：计算直角边长度（格点数之差的绝对值） 第三步：套用勾股定理求斜边（两点间距离） 【例题8】．（25-26八年级上·河南郑州·期中）画图题，请你在方格纸上按照如下要求设计图形，每个单元格的边长为． (1)请在图中设计一个直角三角形，使它三边中有两边边长是无理数； (2)请在图中设计一个直角三角形，使它的三边边长都是无理数． 【变式题8-1】．（25-26八年级上·浙江杭州·期中）如图，正方形网格中的每个小正方形边长都是1，每个小格的顶点叫做格点． (1)在图中，画一个面积为8的正方形，使它的每个顶点都是格点； (2)在图中，画一个面积为5的等腰三角形，使它的每个顶点都是格点； (3)若一个腰为的等腰三角形的每个顶点都是格点，直接写出符合条件的三角形的面积． 【变式题8-2】．（25-26七年级上·浙江杭州·期中）如图，每个小正方形的边长均为1． (1)图中阴影部分正方形的面积是______，它的边长a是______； (2)我们知道是无理数，而无理数是无限不循环小数，因此的小数部分我们不可能全部写出来，我们可以用1来表示它的整数部分，用表示它的小数部分．设边长a的整数部分为x，小数部分为y，求的值． 【变式题8-3】．（25-26八年级上·湖北武汉·期中）下图是由小正方形组成的的网格，每个小正方形的顶点叫做格点，、三点均为格点，仅用无刻度的直尺在给定网格中完成画图（每一小问的辅助线不能超过五条）． (1)如图1，画的中线； (2)如图1，在上画一点，使得； (3)如图2，已知，画的角平分线； (4)如图2，在（3）的条件下，是上的一点，在上画一点，使的值最小． 【题型9】梯子滑落问题（提升） 1.核心知识点总结 梯子滑落过程中，梯子长度不变（始终为斜边） 地面与墙面垂直，构成直角三角形 2.高频考点梳理 已知梯子滑落前后的高度/水平距离，求滑落距离 结合不等式判断梯子是否会滑落到底 3.易错点警示 混淆梯子滑落前后的直角边长度变化 忽略梯子长度为定值这一隐含条件 4.解题技巧拆解 第一步：明确梯子长度为直角三角形的斜边（始终不变） 第二步：分别计算滑落前后的直角边长度 第三步：根据题意求长度变化量（滑落距离） 【例题9】．（25-26八年级上·全国·期中）如图，一个梯子长米，顶端靠在墙上，这时梯子下端与墙角距离为米，梯子滑动后停在的位置上，测得长为米，则梯子顶端下落了 米． 【变式题9-1】．（25-26八年级上·河南焦作·阶段练习）如图，鱼竿长，露在水面上的鱼线长为．钓鱼者想看看鱼钩上的情况，把鱼竿提起到的位置（图中所有点均在同一平面内），此时露在水面上的鱼线长为，鱼线水平方向移动的距离是（    ） A． B． C． D． 【变式题9-2】．（25-26八年级上·山西晋中·阶段练习）消防员是城市的守护者．图1是消防员某次消防救援时的工作图，图2是其几何示意图，已知云梯长，云梯底部（点）距离地面，消防车从距离地面高的点处完成救援后，还要从距离地面高的点处进行救援，这时云梯底部需要向楼房靠近多少米？（点在同一水平线上，所有点在同一竖直平面内） 【变式题9-3】．（25-26八年级上·辽宁丹东·期中）物理课上，老师带着科技小组进行物理实验．同学们将一根不可拉伸的绳子绕过定滑轮A，一端拴在滑块B上，另一端拴在物体C上，滑块B放置在水平地面的直轨道上，通过滑块B的左右滑动来调节物体C的升降．实验初始状态如图1所示，物体C静止在直轨道上，物体C到滑块B的水平距离是，物体C到定滑轮A的垂直距离是．（实验过程中，绳子始终保持绷紧状态，定滑轮、滑块和物体的大小忽略不计） (1)求绳子的总长度； (2)如图2，向左滑动滑块B，物体C升高．滑块B移动距离比物体C升高高度多，求此时物体C升高了多少？ 【题型10】立体图形表面最短路径（提升） 1.核心知识点总结 立体图形→平面图形的转化（展开思想） 两点之间线段最短的性质与勾股定理的结合 2.高频考点梳理 长方体、正方体表面蚂蚁爬行最短路径 圆柱侧面最短路径（侧面展开为长方形） 3.易错点警示 展开方式不全面，漏算最短路径 圆柱展开后底面周长计算错误（半圆周长/全周长） 4.解题技巧拆解 类型1：长方体/正方体 展开方式：分“前+右”“前+上”“左+上”三种 计算每种展开方式的路径长度（），取最小值 类型2：圆柱 展开侧面为长方形（长=底面周长，宽=圆柱高） 最短路径为长方形对角线段（或） 【例题】．（25-26八年级上·宁夏银川·期中）一个三级台阶如图所示，和是这个台阶两个相对的端点，点处有一只蚂蚁想到点处去吃可口的食物．若这个台阶的每一级的长、宽和高分别为9，2和2，则这只蚂蚁沿着台阶面爬行的最短路程为 ． 【变式题10-1】．（25-26八年级上·贵州贵阳·期中）如图，这是一个供滑板爱好者使用的形池，该形池可以看作是一个长方体去掉一个“半圆柱”而成，截面中可供滑行部分的半圆弧长为，边缘（边缘的宽度忽略不计），点在上，．一滑板爱好者从点滑到点，请画出形池滑行面的展开图，并求出他滑行的最短距离． 【变式题】10-2．（25-26八年级上·江西鹰潭·阶段练习）如图，有一个长方体盒子，它的长和宽都是，高是． (1)小明在长方体盒子里插入一根细木棒，细木棒经过，两点，求该长方体盒子中放入细木棒（）的长度； (2)在长方体盒子外表面的点处有一只蚂蚁，若它想吃到点处的食物，那么它沿盒子表面爬行的最短路程是多少？ 【变式题10-3】．（25-26八年级上·河南平顶山·阶段练习）（1）如图1，长方体的长为，宽为，高为．求该长方体中能放入木棒的最大长度； （2）如图1，现有一只蚂蚁从点处沿长方体的表面爬到点处，求它爬行的最短路程．小明沿长方体的棱剪开（如图2），求得最短距离为，请你判断是否正确，并说明理由； （3）如图3，若将题中的长方体换成透明圆柱形容器（容器厚度忽略不计），容器的高为，底面周长为，在容器内壁离底部的点处有一饭粒，此时一只蚂蚁正好在容器外壁且离容器上沿与饭粒相对的点处．此时蚂蚁吃到饭粒需要爬行的最短路程是___________． 【题型11】垂美四边形问题（提升） 1.核心知识点总结 垂美四边形定义：对角线互相垂直的四边形 核心结论：（对角线垂直） 2.高频考点梳理 利用垂美四边形结论求边长 证明垂美四边形的边长关系 3.易错点警示 未验证对角线垂直，直接套用结论 混淆四边形的边长与对角线的关系 4.解题技巧拆解 第一步：证明四边形对角线垂直（判定垂美四边形） 第二步：套用结论 第三步：代入已知边长，计算未知边长 【例题11】．（24-25八年级下·黑龙江齐齐哈尔·期中）对角线互相垂直的四边形叫作“垂美”四边形，现有如图所示的“垂美”四边形，对角线相交于点O．若，则的值为（    ） A．20 B．16 C．18 D．25 【变式题11-1】．（25-26八年级上·全国·课后作业）（1）定义：我们把对角线互相垂直的四边形称为垂美四边形．性质：垂美四边形对边的平方和相等，即，请结合图①（四边形为垂美四边形）证明这个性质； （2）如图②，在长方形中，是边上一点，且，求的长． 【变式题11-2】．（25-26八年级上·安徽宿州·阶段练习）我们把对角线互相垂直的四边形定义为垂美四边形．     (1)如图1，四边形为垂美四边形，若，，，，求证：． (2)如图2，在长方形中，，分别交，于点F，E，，求的长． (3)在（2）的条件下，求的长． 【变式题11-3】．（2025八年级上·全国·专题练习）我们把对角线互相垂直的四边形叫做垂美四边形． (1)如图①，已知四边形是垂美四边形，请探究两组对边与之间的数量关系，并说明理由； (2)如图②，分别以的直角边和斜边为边向外作正方形和正方形，连接，已知，求． 【题型12】含参数的直角三角形问题（提升） 1.核心知识点总结 参数思想与勾股定理的结合 分类讨论参数的取值范围 2.高频考点梳理 已知直角三角形边长含参数，求参数值 含参数的勾股数探究 3.易错点警示 未考虑参数的取值范围（边长为正数） 漏分参数对应的直角边/斜边情况 4.解题技巧拆解 第一步：设参数为，明确边长表达式 第二步：分情况讨论参数对应的边（直角边/斜边） 第三步：列勾股方程，求解并检验参数的正数值 【例题12】．（25-26八年级上·浙江杭州·期中）如图，在中，，，，记长为，长为．当，的值发生变化时，下列代数式的值不变的是（    ） A． B． C． D． 【变式题12-1】．（24-25八年级下·河南安阳·阶段练习）项目式学习：利用勾股定理求不规则三角形的面积 课题 利用勾股定理求不规则三角形的面积 人员 八（2）班学习小组2025年xxx月xxx日 题干 在中，，，求的面积． 思路 作于，设，用含的代数式表示根据勾股定理，利用作为“桥梁”，建立方程模型求出利用勾股定理求出的长，再计算三角形的面积． 解答 【变式题12-2】．（25-26八年级上·吉林·阶段练习）如图，在中，，，，M是边的中点，动点P从点A出发沿折线向终点B运动，点P到边所在直线的距离为，连结，将绕点M逆时针旋转，点P的对应点为点Q，连接、、． (1)求点Q到边所在直线的距离；（用含x的代数式表示） (2)点P在边上运动中； ①的度数为______； ②当点Q在的角平分线上时，______； (3)在点P运动的过程中，直接写出是锐角三角形时x的取值范围． 【变式题12-3】．（25-26八年级上·甘肃白银·期中）【问题背景】 勾股定理是人类最伟大的十个科学发现之一，西方国家称之为毕达哥拉斯定理．在我国古书《周髀算经》中就有“若勾三，股四，则弦五”的记载，我国汉代数学家赵爽为了证明勾股定理，创制了一幅“弦图”（如图①），后人称之为“赵爽弦图”，流传至今． 【探索求证】 （1）图②为美国第二十任总统加菲尔德的“总统证法”的示意图，与按如图所示位置放置，连接，其中，请你利用图②推导勾股定理． 【问题解决】 （2）如图③，在一条东西走向河流的一侧有一村庄，河边原有两个取水点，，其中，由于某种原因，由到的路现在已经不通，该村为方便村民取水决定在河边新建一个取水点（A，H，B在同一条直线上），并新修一条路，且．测得千米，千米，问新路比原路少多少千米？ 【延伸扩展】 （3）如图④，已知，，，，设，求的值． 【题型13】动态几何中的勾股定理应用（提升） 1.核心知识点总结 动态问题中不变的边长与角度关系 勾股定理与函数思想的结合 2.高频考点梳理 动点在直线/图形上运动，求特定位置的边长 动态过程中直角三角形的存在性问题 3.易错点警示 无法确定动点运动过程中的直角三角形构造 忽略动点的运动范围，导致解的范围错误 4.解题技巧拆解 第一步：分析动点的运动轨迹，确定关键位置 第二步：在关键位置构造直角三角形，标注已知量和未知量 第三步：设运动距离为，列勾股方程求解 第四步：结合运动范围检验解的有效性 【例题13】．（24-25八年级上·江苏无锡·期中）如图，在中，，，，若点P从点A出发，以每秒的速度沿射线运动，设运动时间为t秒． (1)是否存在t值，使得为等腰三角形？若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由； (2)现把沿着直线翻折，当t为何值时，点 C翻折后的对应点恰好落在直线上． 【变式题13-1】．（25-26八年级上·山西太原·阶段练习）如图1，中，，直角边在射线上，直角顶点与射线端点重合，，，且满足． (1)_____，______． (2)如图2，向右匀速移动，在移动的过程中的直角边在射线上匀速向右移动，移动的速度为个单位/秒，移动的时间为秒，连接． ①在移动的过程中，能否使为直角三角形？若能，求出的值；若不能，说明理由． ②若为等腰三角形，直接写出的值_______． 【变式题13-2】．（25-26八年级上·吉林松原·期中）如图，在中，，，，，点在的延长线上，，作射线（点在点的下方），点从点出发，沿射线方向以每秒3个单位长度的速度运动，点从点出发，沿射线方向以每秒个单位长度的速度运动，已知、两点同时出发，运动时间为秒． (1)当时，若是等腰三角形，求的值； (2)求为何值时，是以为腰的等腰三角形； (3)在运动过程中，是否存在的值，使得与全等，若存在，请直接写出的值；若不存在，请说明理由． 【变式题13-3】．（25-26八年级上·陕西·期中）【问题探究】 （1）在中，，点从点出发，以每秒的速度沿的方向运动，设运动时间为秒． ①如图1，为斜边上的高，求的长度； ②如图2，点为边的中点，过点作的垂直平分线交于点，连接，在点运动的过程中，当点运动到线段的垂直平分线上时，求出此时的值，并求出的长度； 【问题解决】 （2）如图3为某社区的直角三角形花园，其中，可移动喷头从点出发，以每秒的速度沿的路线巡视，设巡视时间为秒，为了覆盖整个草坪，在直角顶点处安装了一根垂直于斜边的供水管，当喷头移动到上时，连接，若是以为腰的等腰三角形时，喷头会暂停并切换为全功率洒水模式，已知，，则喷头从点出发后，当为何值时，会触发全功率洒水模式？ 【拓展培优篇】 【题型14】勾股定理与图形面积综合(培优) 1.核心知识点总结 常见模型：以直角三角形三边为边长的正方形/半圆/等边三角形面积关系； 关键结论：直角三角形三边对应的正方形面积满足“两小面积和等于大面积”(即勾股定理的面积表达)。 2.高频考点梳理 求直角三角形周边图形的面积(如“勾股树”中正方形面积)； 利用“等面积法”求直角三角形斜边上的高()。 3.易错点警示 混淆图形的边长与直角三角形三边的关系； 等面积法应用时，误将斜边当作直角边计算。 4.解题技巧拆解 面积关系：若图形边长与直角三角形三边一致，则面积满足(为斜边对应图形面积)； 斜边上的高：记住公式，直接代入直角边、和斜边计算。 【例题14】．（24-25八年级上·浙江金华·阶段练习）如图，正方形的边长为1，其面积标记为，以为斜边作等腰直角三角形，以该等腰直角三角形的一条直角边为边向外作正方形，其面积标记为，……按照此规律继续下去，则的值为（    ） A． B． C． D． 【变式题14-1】．（25-26八年级上·浙江温州·期中）如图，在四边形中，，分别以四边形的四条边为直径，向外作四个半圆，记四个半圆面积分别为，，和，若，，，则的值是 ． 【变式题14-2】．（25-26八年级上·全国·期中）综合与实践 【背景介绍】勾股定理是几何学中的明珠，充满着魅力 ．如图1是著名的赵爽弦图，由四个全 等的直角三角形拼成，用它可以证明勾股定理，思路是大正方形的面积有两种求法，一种是等于，另一种是等于四个直角三角形与一个小正方形的面积之和，即，从而得 到等式 ，化简便得到结论．这里用两种求法来表示同一个量 从而得到等式或方程的方法，我们称之为“双求法” 【方法运用】千百年来，人们对勾股定理的证明趋之若鹜，其中有著名的数学家，也有业余数 学爱好者．向常春在2010年构造发现了一个新的证法：把两个全等的直角三角形和如图2放置，其三边长分别为a，b，c，，显然． (1)请 用a，b，c分别表示出四边形，梯形，的面积，再探究这三个图 形面积之间的关系，证明勾股定理． (2)【方法迁移】请利用“双求法”解决下面的问题：如图3，小正方形边长为1，连接小正方形的三个顶点，可得，  则边上的高为_______； (3)如图4，在中，是边上的高，，求的长． 【变式题14-3】．（25-26八年级上·江西景德镇·期中）在中，分别为5，10，13，求这个三角形的面积． 小余是这样解决问题的：先建立一个正方形网格（每个小正方形的边长为1），再在网格中画出格点三角形（即三个顶点都在小正方形顶点处），如图1所示，这样就可以不用求的高，借助网格就能计算出它的面积，我们称上述方法为构图法． 请你解决以下问题： （1）图1中的面积为__________． 请你参考小余的方法，完成下列问题： （2）如图2所示为一个的长方形网格（每个小正方形的边长为1）． ①利用构图法在图2中画出三边长的格点三角形． ②求出的面积； 【拓展提升】 （3）如图3所示，在（2）的条件下，已知，分别以，为边向外作正方形，正方形，连接，求六边形的面积，请你直接写出答案． 【题型15】赵爽弦图综合应用(培优) 1.核心知识点总结 赵爽弦图构成：四个全等直角三角形+一个小正方形拼成大正方形； 核心关系：大正方形面积=4个直角三角形面积+小正方形面积()。 2.高频考点梳理 已知大/小正方形面积，求直角三角形的边长或、的值； 赵爽弦图变形(如“数学风车”“八全等直角三角形拼接”)求周长或面积。 3.易错点警示 混淆小正方形边长(应为，非)； 变形图形中未识别出全等直角三角形，无法建立面积关系。 4.解题技巧拆解 基础模型：①由大正方形面积得，小正方形面积得；②结合，可求、； 变形模型：①先找出全等直角三角形的直角边和斜边；②利用勾股定理求未知边，再计算周长或面积。 【例题15】．（25-26八年级上·黑龙江大庆·阶段练习）我国汉代数学家赵爽为了证明勾股定理，创制了一幅“弦图”，后人称其为“赵爽弦图”．如图是由八个全等的直角三角形拼接而成的，记正方形，正方形，正方形的面积分别为．若正方形的边长为3，则的值为（   ） A．9 B．18 C．27 D．36 【变式题15-1】．（25-26八年级上·陕西西安·月考）综合与实践． 【背景介绍】勾股定理是几何学中的明珠，充满着魅力．如图1是著名的赵爽弦图，由四个全等的直角三角形拼成，用它可以证明勾股定理，思路是大正方形的面积有两种求法，一种是等于，另一种是等于四个直角三角形与一个小正方形的面积之和，即，从而得到等式，化简便得结论这里用两种求法来表示同一个量从而得到等式或方程的方法，我们称之为“双求法”． 【方法运用】将两个这样的直角按照图②所示摆放，使和在一条直线上，连接 (1)请用a，b，c分别表示出梯形，，，的面积，再探究这四个图形面积之间的关系，证明：勾股定理 (2)【方法迁移】请利用“双求法”解决下面的问题：如图③，小正方形边长为1，连接小正方形的三个顶点，可得，则边上的高为______． (3)如图④，在中，是边上的高，，，，设，求x的值． 【变式题15-2】．（23-24八年级上·四川内江·期末）著名的赵爽弦图（如图①，其中四个直角三角形较大的直角边长都为，较小的直角边长都为，斜边长都为），大正方形的面积可以表示为，也可以表示为，由此推导出重要的勾股定理：如果直角三角形两条直角边长为，斜边长为，则． 【结论探究】 （1）图②为美国第二十任总统伽菲尔德的“总统证法”，请你利用图②推导勾股定理； 【结论应用】 （2）如图③，在一条东西走向河流的一侧有一村庄，河边原有两个取水点，，由于某种原因，由到的路现在已经不通，该村为方便村民取水决定在河边新建一个取水点在同一条直线上），并新修一条路，且．测得千米，千米，求新路比原路少多少千米？ 【问题拓展】 （3）中，，垂足为，请求出的值． 【变式题15-3】．（24-25七年级下·江苏淮安·阶段练习）在学习“第8章整式乘法”这一章内容时，我们通过用不同的方法计算同一个图形面积，发现了整式乘法的法则及乘法公式，这种解决问题的方法称之为“等面积法”．而这种“数形结合”的方式是人们研究数学问题的常用思想方法． （1）如图1，已知长方形纸片的长为b，宽为a，由四个这样的长方形拼成一个大正方形，中间留白部分也是正方形（拼接时每两个长方形无重叠部分），利用“等面积法”可得到一个和乘法公式有关的等式，写出这个等式__________． 【类比探究】 （2）连接每个长方形的一条对角线（如图2），得到一个重要的几何图形“赵爽弦图”．如图3，“赵爽弦图”是由四个形状大小都相同的直角三角形（较短直角边为a，较长直角边为b，斜边为c）拼成一个大正方形，中间留白部分也是正方形（拼接时每两个直角三角形无重叠部分）．你能根据图3，应用“等面积法”得出与直角三角形两直角边a、b和斜边c有关的等式吗？请你化简后，写出这个等式__________． 【迁移应用】 （3）在中，a、b为直角边，c为斜边，已知，，求的面积； （4）如图4，四边形中，线段，，在中，，，其周长为n，当n为何值时， 的面积为定值，并说明理由． 【题型16】勾股定理与最值问题(培优) 1.核心知识点总结 常见模型：将军饮马模型(两定一动)、直角三角形内定点到两顶点距离和最小； 核心思想：利用对称转化，将折线转化为直线(两点之间线段最短)，再用勾股定理求解。 2.高频考点梳理 等腰直角三角形中，定点到两动点距离和的最小值； 平面内，求的最小值(构造直角三角形)。 3.易错点警示 对称点找错(如将军饮马中，误对称动点而非定点)； 转化后未构造直角三角形，无法用勾股定理计算。 4.解题技巧拆解 将军饮马模型：①作其中一个定点关于直线的对称点；②连接对称点与另一定点，线段长度即为最小值(与直线交点为动点位置)；③构造直角三角形求线段长度； 代数最值转化：①将看作直角边为、的斜边；②构造平面图形，转化为两点间线段最短问题。 【例题16】．（25-26八年级上·河北保定·期中）我国著名数学家华罗庚曾说过：“数缺形时少直观，形少数时难入微；数形结合百般好，隔离分家万事休”．数学中，数和形是两个最主要的研究对象，它们之间有着十分密切的联系，在一定条件下，数和形之间可以相互转化，相互渗透．某校数学兴趣小组，在学习完勾股定理和实数后，进行了如下的问题探索与分析： 【提出问题】已知，求的最小值． 【分析问题】由勾股定理，可以通过构造直角三角形的方法，来分别表示长度为和的线段，将代数求和转化为线段求和问题． 【解决问题】 （1）①如图，我们可以构造边长为1的正方形，P为边上的动点．设，则．则 线段 线段 ； ②在①的条件下，已知，求的最小值； 【模型应用】 （2）应用数形结合思想，已知，求的最小值为 ； 【拓展应用】 （3）应用数形结合思想，已知正数m满足，则m的值为 ． 【变式题16-1】．（25-26八年级上·山东青岛·阶段练习）几何模型： 条件：如图，A、B是直线l同旁的两个定点． 问题：在直线l上确定一点P，使的值最小． 方法：作点A关于直线l的对称点，连接交l于点P，则的值最小（不必证明）． 模型应用： (1)如图1，正方形的边长为2，E为的中点，P是上一动点．连接，由正方形对称性可知，B与D关于直线对称．连接交于P，则的最小值是 ； (2)在等边三角形中，，点E是的中点，是高，在AD上找一点P，使的最小值为 (3)如图2，，P是内一点，，Q、R分别是上的动点，求周长的最小值． （提示：分别作点P关于和的对称点，连接） 【变式题16-2】．（25-26八年级上·广东·阶段练习）【模型建立】“数形结合”和“建模思想”是数学中的两个重要的思想方法，先阅读以下材料，然后解答后面的问题．例：求代数式的最小值． 分析：和是勾股定理的形式，是直角边分别是x和3的直角三角形的斜边，是直角边分别是和2的直角三角形的斜边，因此，我们构造两个直角和，并使直角边和在同一直线上（图1），向右平移直角使点B和点E重合（图2），这时，，，问题就变成“点B在线段的何处时，最短？”根据两点间线段最短，得到线段就是它们的最小值． 【模型应用】 （1）如果利用图3来求代数式的最小值，那么图3中的线段_________，_________． （2）求代数式的最小值； 【变式训练】 利用图3，求代数式的最小值． 【变式题16-3】．（25-26八年级上·广东深圳·期中）“数形结合”和“建模思想”是数学中的两个很重要的思想方法，阅读以下素材并解决问题． 几何模型在最短路径问题中的应用 素材一 提出问题：求代数式的最小值． 素材二 建立模型：可看作直角边分别是和3的直角三角形的斜边，是直角边分别是和2的直角三角形的斜边．因此，构造两个直角三角形，使它们的一个顶点重合、各有一条直角边在同一直线上（如图1所示），这时，．原问题就变成“点在线段的何处时，的值最小？” 素材三 解答过程：如图2连接，交于点，此时的值最小，将延长至使得，连接，则．，在中，，，的最小值是13． 问题解决 任务一 根据以上学习：代数式的最小值为___________． 任务二 知识运用：如图，一条河的两岸平行，河宽，村庄到河岸的垂直距离为村庄到河岸的垂直距离为，且、到河岸的垂足之间的水平距离为．现计划在河上建一座垂直于河岸的桥，使得从到，过桥，再从到的路程最短，则最短路程为___________km． 任务三 思维拓展：已知正数满足，求的值． 【题型17】勾股定理跨学科应用(培优) 1.核心知识点总结 跨学科场景：物理(滑轮、斜面)、航海(方位角)、建筑(梯子滑动、门框尺寸)； 核心步骤：将实际问题抽象为直角三角形模型，提取已知条件(直角边、斜边)。 2.高频考点梳理 航海问题：已知方位角和距离，求两船之间的距离(构造直角三角形)； 物理滑轮问题：已知水平距离和垂直高度，求绳子长度或滑块移动距离。 3.易错点警示 方位角识别错误(如“南偏东”与“东偏南”混淆)； 未统一单位(如米与厘米、海里与千米)。 4.解题技巧拆解 第一步：画示意图，标注方位角、距离、高度等已知条件； 第二步：识别直角三角形(直角由方位角或垂直关系确定)； 第三步：代入勾股定理求解，验证结果符合实际场景(如距离为正、长度合理)。 【例题17】．（24-25八年级下·湖南常德·期末）物理课上，老师带着科技小组进行物理实验．同学们将一根不可拉伸的绳子绕过定滑轮A，一端拴在滑块B上，另一端拴在物体C上，滑块B放置在水平地面的直轨道上，通过滑块B的左右滑动来调节物体C的升降．实验初始状态如图1所示，物体C静止在直轨道上，物体C到定滑轮A的垂直距离是，．（实验过程中，绳子始终保持绷紧状态，定滑轮、滑块和物体的大小忽略不计） (1)求的长； (2)如图2，若物体C升高，求滑块B向左滑动的距离． 【变式题17-1】．（24-25八年级下·广西来宾·期中）【综合与实践】 【问题探究】 （1）如图1，为四边形的对角线，，若，，，，试求四边形的面积； 【问题解决】 （2）如图2，四边形是某县一座全民健身中心的平面示意图，、、为三条走廊（点和点分别在边和上），米，米，米，米，，．求的长； （3）随着民众健康意识的不断增强，对科学健身也有了更多的需求，为满足民众不断增长的健身需求，该县计划对这座全民健身中心进行重新规划，在上取点，并将区域修建为功能训练区，根据设计要求，应为等腰三角形，请你帮助设计人员计算出所有符合条件的的长． 【变式题17-2】．（24-25八年级下·广东佛山·阶段练习）（跨学科融合、运算能力）综合与实践． 【实践主题】探究车辆通过直角弯道的条件． 【查阅资料】车辆转弯时，能否顺利通过直角弯道的标准是：车辆是否可以行驶到和路的边界夹角为的位置（如图1中②的位置），（取） 【案例展示】例如，图2是某巷子的平面图，巷子路面宽4米，转弯处为直角，车辆的车身为长方形，与，的夹角都是，连接，交于点，若的长度至少能达到车身宽度，则车辆就能通过． 【解决问题】（1）长8米，宽3米的消防车____________通过该直角弯道；（填“能”或者“不能”） 【深入探究】（2）在（1）的条件下求出的长度． 【路径优化】（3）为了能使长10米，宽3米的消防车通过该弯道，可以将转弯处改为圆弧（以点为圆心，分别以和为半径的弧），具体方案如图3，其中，请帮助设计者算一算，直接写出的最小值为____________． 【变式题17-3】．（24-25八年级下·湖北黄冈·期中）数学兴趣小组和物理兴趣小组的同学一起进行了如下的实践活动： 【实践主题】 从数学角度探究钟摆过程中的规律． 【素材准备】 实验支架，细绳，小球，卷尺等． 【实践操作】 在支架的横杆点处用一根细绳悬挂一个小球，小球可以自由摆动．如图1，点表示小球静止时的位置．小明将小球从摆到的位置，并向右推动小球，是小球在摆动过程中某一瞬间的位置，，，，在同一平面上．          【数学建模】 如图2是小球摆动过程的示意图，过点作于点，过点作于点．    【数据测量】 ，，． 【问题解决】请根据以上条件，求的长． 【题型18】新定义“类勾股三角形”问题(培优) 1.核心知识点总结 新定义本质：勾股定理的拓展(如“类勾股三角形”：)； 解题关键：理解新定义的条件，结合勾股定理变形求解。 2.高频考点梳理 判定给定三角形是否为“类勾股三角形”； 已知“类勾股三角形”的两边，求第三边或面积。 3.易错点警示 混淆新定义公式与勾股定理(如误将写成)； 未验证三角形三边关系，导致无效解。 4.解题技巧拆解 第一步：明确新定义的数学表达式(如“类勾股三角形”：)； 第二步：代入已知条件，列方程求解第三边(注意分类讨论哪条边对应)； 第三步：验证三边关系，计算面积(用勾股定理或海伦公式)。 【例题18】．（25-26八年级上·江苏常州·期中）定义：如果一个三角形中有两个内角、满足，那我们称这个三角形为“近直角三角形”． (1)关于“近直角三角形”，下列说法： ①在中，若，，则是“近直角三角形”；②若是“近直角三角形”，，，则．③“近直角三角形”一定是钝角三角形．其中，正确的是___________．（填写所有正确结论的序号） (2)如图，在中，，是的平分线． (3) (4)①求证：为“近直角三角形”； ②若，，求的长． 【变式题18-1】．（24-25八年级下·广东中山·期末）定义：在中，，，，若，则称为“类直角三角形”．请根据以上定义解决下列问题： (1)如1图，为等边三角形，请判断该三角形是否为“类直角三角形”，并说明理由； (2)如2图，等腰三角形为“类直角三角形”，其中，，请求出的大小． 【变式题18-2】．（2025·河南安阳·模拟预测）我们给出如下定义：若一个四边形中存在相邻两边的平方和等于一条对角线的平方，则称这个四边形为勾股四边形，这两条相邻的边称为这个四边形的勾股边 【操作探究】 （1）下列四边形是勾股四边形的有_________（填序号） ①长方形；②平行四边形；③正方形 （2）下面图1，图2均为的正方形网格，点A，B，C均在格点上，请在图中标出格点D，并连接、，使得四边形符合下列要求：图1中的四边形是勾股四边形，并且是中心对称图形；图2中的四边形是勾股四边形且对角线相等，但不是中心对称图形． 【理解应用】 （3）如图3，将绕顶点B按顺时针方向旋转，得到，连接、，，求证：四边形是勾股四边形； 【拓展应用】 （4）如图4，在四边形中，为等边三角形，，，，直接写出的长． 【变式题18-3】．（25-26八年级上·广东深圳·月考）定义：如图1，平面内有一点到的三个顶点的距离分别为、、，若有，则称点为关于点的勾股点． 【知识感知】 （1）如图2，在的方格纸中，每个小正方形的边长均为1，的顶点在格点上，则这个点是不是关于点的勾股点______（填“是”或“不是”）； （2）如图3，在等腰三角形中，，，作边上的中线．点是外一点，且点是关于点的勾股点，，求的长； 【知识应用】 （3）如图4，为等腰直角三角形，是斜边延长线上一点，连接，以为直角边作等腰直角（点、、顺时针排列），，连接，求证：点为关于点的勾股点； 【知识拓展】 （4）如图5，是等边三角形，点为内一点（不与点、、重合），当点是关于点的勾股点时，请直接写出此时的度数． 同步练习 一、单选题 1．（25-26八年级上·广东深圳·期中）下列能作为直角三角形三边长的是（） A．1，2，3 B．2，3，4 C．3，4，5 D．4，5，7 2．（25-26八年级上·广东茂名·期中）下列各组数据中是勾股数的是（   ） A．，，1 B．1，2， C．4，5，7 D．7，24，25 3．（25-26八年级上·吉林长春·期中）如图，小华在公园里荡秋千，在起始位置A处摆绳与地面垂直，摆绳长，A处距离地面的高度是，小华先向后摆到点C处，然后向前荡起到最高点B处，此时与摆绳起始位置的水平距离BD为．若前后摆动过程中摆绳始终拉直，与夹角为，则小华在C处时距离地面的高度是（    ） A． B． C． D． 4．（25-26八年级上·甘肃酒泉·期中）如图所示，在水塔的东北方向处有一抽水站，在水塔的东南方向处有一建筑工地，在间建一条直水管，则水管的长为（   ） A． B． C． D． 5．（25-26八年级上·浙江湖州·期中）我国汉代数学家赵爽证明勾股定理时创制了一幅“勾股圆方图”，后人称之为“赵爽弦图”，它是由4个全等的直角三角形和1个小正方形组成．如图，直角三角形的两直角边长分别为，，斜边长为．若，，则每个直角三角形的面积为（   ） A．64 B．60 C．120 D．128 二、填空题 6．（25-26八年级上·重庆·月考）如图，小张为测量校园内池塘A、B两点的距离，他在池塘边选定一点C，使，并测得长，长，则A、B两点间的距离为 ．    7．（25-26八年级上·甘肃兰州·期中）如图，在数轴上点表示的实数是 ． 8．（25-26八年级上·北京朝阳·期中）如图，在三角形纸片中，，如果在边上取一点，以为折痕，使三点共线（是对称点），那么的周长为 ．    9．（25-26八年级上·广东深圳·期中）小明想研究某品牌笔记本电脑（屏幕可开合）的屏幕开合情况，如图2，他先将屏幕完全打开平放在桌面上，即电脑键盘面的侧边在处，电脑屏幕面的侧边在处，，再将屏幕面的侧边从处绕着O点逆时针旋转至处（即为图1所示状态），此时点相对于点A水平方向移动的距离，点到桌面的高度，则该电脑屏幕面的侧边长度 ． 10．（24-25八年级上·浙江金华·月考）已知中，射线是的角平分线，点是上的一点． （1）若，，，且点在边上，则点到的距离为 ． （2）当点在内，，连接，若，则 ． 三、解答题 11．（25-26八年级上·河南郑州·期中）如图，孙师傅在三角形铁片中剪下，且，，． (1)求的长； (2)若，，求图中阴影部分的面积． 12．（25-26八年级上·广东深圳·期中）小明周末去莲花山公园放风筝，为了用刚学会的勾股定理解决一些问题，他进行了如下操作：测得牵线放风筝的手与风筝的水平距离为15米；根据手中余线长度计算出为17米，牵线放风筝的手到地面的垂直距离为米． (1)求风筝离地面的垂直高度； (2)如果小明想让风筝沿方向再上升12米，长度不变，则他应该再放出多少米的线？ 13．（25-26八年级上·江苏连云港·期中）已知某开发区有一块四边形的空地，如图所示，现计划在空地上种植草皮，经测量，，，，，若每平方米草皮需要200元，问要多少投入？ 14．（23-24八年级下·河南洛阳·月考）2022年是第七届全国文明城市创建周期的第二年，某小区在创城工作过程中，在临街的拐角清理出了一块可以绿化的空地．如图，已知，，，，． (1)求的长度； (2)若平均每平方米空地的绿化费用为50元，试计算绿化这片空地共需花费多少元？ 15．（25-26八年级上·广东深圳·期中）2025年9月，台风“桦加沙”在广东珠江口附近登陆，中心附近最大风力达14级（强台风级别）到达深圳附近时，风力减小为七级．已知七级风圈半径约（即以台风中心为圆心，为半径的圆形区域都会受到台风影响）．如图，线段表示台风中心在深圳附近从地向西北方向移动到地的路径，是深圳市某观测点，且．已知之间相距之间相距． (1)判断观测点是否会受到台风“桦加沙”的影响，并说明理由． (2)若台风中心的移动速度为，则观测点受台风影响的时间有多长？ 16．（25-26八年级上·浙江湖州·期中）如图，在中，，，，点从点出发，以每秒2个单位长度的速度沿折线运动，设点的运动时间为． (1)若点在上，则_____，_____（用含的代数式表示）． (2)若点在的平分线上（不与点重合），求的值． (3)在整个运动过程中，直接写出当是等腰三角形时的值． 17．（湖北省荆楚联盟2025-2026学年上学期期中考试八年级数学试题）（1）如图1，在中，，，直线经过点，过点分别向直线作垂线，垂足分别为，求证：； （2）如图2，若为等腰三角形，，点，，在直线上，满足，猜想，，有何数量关系，并说明理由； （3）如图3，以的边为一边向外作和，其中，，，是边上的高，延长交于点．若，求的面积． 18．（山西省太原市2025-2026学年上学期期中八年级数学试卷）综合与实践 学校花园有一个不规则的池塘，A，B两点分别位于池塘两端，利用现有皮尺无法直接测量A，B间的距离．求真小组利用所学数学知识解决这一问题，实践报告如下： 实践任务 测量池塘两端A，B间的距离 成员 组长：×××  组员：×××，×××，××× 测量工具 皮尺、测角仪 测量方案 如图，第一步：在地面上取一点C，使点C能直接到达A，B两点； 第二步：在的延长线上确定点D，使，交的延长线于点D． 说明：图中各点均在同一水平地面内 测量数据 米，米，米． 问题解决 根据测量方案与数据，计算池塘两端A，B间的距离如下： …… 回顾反思 …… (1)请补充完整实践报告中“问题解决”部分空缺的内容； (2)请回顾解决这一问题的过程，写出你的一条反思． 学科网（北京）股份有限公司 $ 第十三章 勾股定理全章复习 第1部分 全章知识点、重难点与易错点总结 一、核心知识点梳理 模块 具体内容 公式/定理表达式 备注 基本概念 直角三角形三要素 直角边（a、b）、斜边（c）、直角（∠C=90°） 斜边为最长边 勾股定理 直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方 （为斜边） 仅适用于直角三角形 勾股定理逆定理 若三角形三边满足，则该三角形为直角三角形 若，则∠C=90° 直角三角形的判定依据 勾股数 满足的正整数组 （3,4,5）、（5,12,13）、（7,24,25）等 倍数仍为勾股数（如6,8,10） 核心思想方法 1.数形结合；2.转化思想（立体→平面）；3.分类讨论；4.建模思想 - 解决实际问题的关键 二、重难点突破 重点内容 突破策略 勾股定理的灵活应用 1.明确直角边与斜边的判定； 2.结合图形标注已知条件； 3.熟练进行公式变形（等） 勾股定理逆定理的应用 1.先确定最长边； 2.验证最长边的平方是否等于另外两边平方和； 3.规范书写判定步骤 立体图形表面最短路径 1.按“展开→定点→连线”步骤转化为平面图形； 2.分类讨论不同展开方式； 3.构造直角三角形求解 折叠/旋转问题中的边长转化 1.利用折叠/旋转的性质找相等线段； 2.设未知数建立勾股方程； 3.检验解的合理性 三、高频易错点警示 易错点 错误示例 规避方法 混淆定理与逆定理的适用场景 用勾股定理判定直角三角形（应为逆定理） 牢记：定理→已知直角求边长；逆定理→已知边长判直角 忽略直角三角形前提应用定理 对任意三角形直接套用 先判断三角形是否为直角三角形，标注直角符号 立体图形展开不全面 求长方体表面最短路径时漏算一种展开方式 按“前+右”“前+上”“左+上”三种情况分类计算，比较得出最小值 勾股数判断错误 认为（2,3,4）是勾股数（） 严格验证：最长边的平方是否等于另外两边平方和 折叠问题中对应边找错 折叠后误将非对应边当作相等线段 折叠前后重合的线段相等，画图标注对应顶点，用虚线表示折痕 第2部分 常考题型分析及题型举一反三 【基础巩固篇】 【题型1】直接运用勾股定理求边长 1.核心知识点总结 勾股定理基本表达式（为斜边） 公式变形：，， 2.高频考点梳理 已知直角三角形两条边，求第三条边 含特殊角度（30°、60°）的直角三角形边长计算 3.易错点警示 混淆直角边与斜边，代入公式时出错 计算平方根时忽略非负性（边长为正数） 4.解题技巧拆解 第一步：标注直角边、斜边（最长边为斜边） 第二步：根据已知条件选择对应公式变形 第三步：精确计算，结果需化简（如） 【例题1】．（25-26八年级上·浙江嘉兴·期中）在直角三角形中，两条直角边的长分别为2和3，则斜边长为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查勾股定理；在直角三角形中，两直角边的平方和等于斜边的平方，据此解答即可． 【详解】解：由勾股定理，斜边长为 ； 故答案为 ． 【变式题1-1】．（25-26八年级上·广东河源·期中）如图，在中，，，垂足为，已知，．求的面积及的长． 【答案】 【分析】本题主要考查了勾股定理，利用勾股定理求出线段的长，则可根据三角形面积公式求出的面积，再利用等面积法求出的长，则可利用勾股定理求出的长． 【详解】解：∵在中，，，， ∴， ∴； ∵， ∴，， ∴， ∴， ∴． 【变式题1-2】．（25-26八年级上·山西运城·期中）如图，将长为的橡皮筋放置在水平面上，固定两端和，然后从中点垂直向上拉伸至点，则橡皮筋被拉长了（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查勾股定理的应用，运用几何计算思想，解题关键是准确应用勾股定理，易错点是忽略对称性质导致边长计算失误；解题思路是通过勾股定理求出拉后伸橡皮筋的边长，进而计算拉长的长度． 【详解】解：已知橡皮筋原长，是的中点，所以； 又因为是垂直向上拉伸得到的点，所以，且； 在中，由勾股定理，所以； 因为（对称性质），所以拉伸后橡皮筋的长度为，原长度为因，此拉长的长度为； 故选：B． 【变式题1-3】．（23-24八年级下·陕西西安·阶段练习）如图，在中，，，，求的长． 【答案】 【分析】本题考查勾股定理，掌握相关知识是解决问题的关键．直角三角形中，两直角边的平方和等于斜边的平方，据此解答即可． 【详解】解：在中，，，， ． 答：的长为． 【题型2】运用勾股定理逆定理判定直角三角形 1.核心知识点总结 逆定理判定条件：三角形三边满足（为最长边） 直角三角形的判定流程：找最长边→验证平方关系→得出结论 2.高频考点梳理 已知三角形三边长，判定是否为直角三角形 结合三角形三边关系（两边之和大于第三边）综合考查 3.易错点警示 未找最长边直接验证，导致判定错误 验证后忘记下结论（如“∴该三角形是直角三角形”） 4.解题技巧拆解 第一步：排序确定最长边 第二步：计算与的值 第三步：比较两者是否相等，得出判定结果 【例题2】．（江苏省扬州市扬州中学树人教育集团2025-2026学年八年级上学期数学期中试卷）以下列各组数为边长，能够组成直角三角形的是（   ） A．，， B．8，， C．2，3，4 D．9，， 【答案】B 【分析】本题考查了勾股定理的逆定理．熟练掌握勾股定理的逆定理是解题的关键． 根据勾股定理的逆定理，若三角形两小边的平方和等于最大边的平方，则该三角形为直角三角形．依次计算各选项即可判断． 【详解】解：选项A：边长、（即2）、，最大边为． ，， ，故不能组成直角三角形． -选项B：边长8、，，最大边为． ，， ∴，故能组成直角三角形． 选项C：边长2、3、4，最大边为4． ，， ，故不能组成直角三角形． 选项D：边长9、，，最大边为． ，， ，故不能组成直角三角形． 故选B． 【变式题2-1】．（25-26八年级上·江苏苏州·期中）下列条件中，不能判断是直角三角形的是（ ） A．：：：： B．：：：： C． D．：：：： 【答案】B 【分析】本题主要考查了三角形内角和定理，勾股定理的逆定理， 根据三角形内角和定理和勾股定理逆定理，判断各选项是否能推出直角三角形． 【详解】解： A.设，则，∴是直角三角形； B.设，则，∴不能判断为直角三角形； C.∵ ， ∴是直角三角形； D.设，则，∴是直角三角形． 故选：B． 【变式题2-2】．（25-26八年级上·浙江湖州·期中）如图，已知中，，，是上一点，连结，且，． (1)求证：． (2)求的度数． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查了勾股定理的逆定理，等腰直角三角形的判定和性质，熟练掌握知识点是解题的关键． （1）直接利用勾股定理逆定理求解即可； （2）证明是等腰直角三角形即可求解． 【详解】（1）证明：，， 是直角三角形，且， ； （2）解：，， ， ，， 是等腰直角三角形， ． 【变式题2-3】．（25-26八年级上·福建漳州·期中）如图，在四边形中，，，，，于点B．求四边形的面积． 【答案】144 【分析】本题主要考查了面积的计算、勾股定理、勾股定理逆定理等知识点，灵活运用割补法求面积是解题的关键. 如图：连接，运用勾股定理求出的长度，根据，即可判断是直角三角形,再根据求解即可. 【详解】解：如图：连接， ∵， ∴是直角三角形， ∴，即, ∵ ∴， ∴是直角三角形， ∴. 【题型3】勾股数的识别与应用 1.核心知识点总结 勾股数定义：满足的正整数组 常见勾股数：（3,4,5）、（5,12,13）、（7,24,25）及其倍数 2.高频考点梳理 判断一组数是否为勾股数 补全勾股数（已知两个数，求第三个数） 3.易错点警示 把非正整数组当作勾股数（如（0.3,0.4,0.5）） 忽略勾股数的倍数性质（如（6,8,10）是勾股数） 4.解题技巧拆解 识别技巧：先看是否为正整数，再验证平方关系 补全技巧：分情况讨论（已知数为直角边或斜边） 【例题3】．（25-26八年级上·江苏扬州·期中）下列各组数中，是勾股数的是（    ） A．，， B．，， C．，， D．，， 【答案】D 【分析】本题主要考查勾股数，熟练掌握满足的三个正整数，称为勾股数是解题的关键．根据勾股定理逆定理及勾股数的定义逐个判断即可． 【详解】解：A、，不是勾股数，故选项A不符合题意； B、，，不是正整数，不满足勾股数的定义，故选项B不符合题意； C、，不是正整数，不满足勾股数的定义，故选项C不符合题意； D、，且都是正整数，是勾股数，故选项D符合题意． 故选：D． 【变式题3-1】．（25-26八年级上·全国·单元测试）若为勾股数，则a的相反数的值为（   ） A． B．5 C．或 D．5或7 【答案】A 【分析】本题主要考查了勾股数，相反数， 先根据勾股定理可得或，求出解，再根据相反数的定义解答. 【详解】解：根据题意，得 或， 解得或（不符合题意，舍去）， 5的相反数是. 故选：A. 【变式题3-2】．（24-25八年级下·陕西安康·期末）有一组勾股数，知道其中的两个数分别是5和12，则第三个数是 ． 【答案】13 【分析】本题考查了勾股数，勾股定理，分第三个数是直角边和斜边两种情况解答求出第三个数，再根据勾股数判定即可求解，运用分类讨论思想解答是解题的关键． 【详解】解：当第三个数是直角边时，第三个数； 当第三个数是斜边时，第三个数； ∵三个数是一组勾股数， ∴当第三个数为时，不合题意，舍去， ∴第三个数是13， 故答案为：13． 【变式题3-3】．（25-26八年级上·陕西咸阳·期中）观察以下的等式，等式左边为直角三角形两直角边长的平方和，等式右边为直角三角形斜边长的平方，现有一个一条直角边为14的直角三角形，它的三边长为勾股数（满足图中等式关系），则这个直角三角形的周长为（    ） A．56 B．82 C．112 D．144 【答案】C 【分析】本题考查勾股定理，勾股数，根据题干等式得到其规律是解题的关键． 根据给定的等式模式，直角三角形三边可表示为 、 和 ，其中 为整数．已知一条直角边为 14，分别令 和 求解 ，从而得到直角三角形三边长度，进而计算周长，即可解题． 【详解】解：∵ 等式模式为 （的整数）， 且一条直角边为 14， 情况一：令 ， 解得 ， 则另一条直角边为 ，斜边为 ， 三边为 14， 48， 50，满足勾股定理， 周长为 ． 情况二：令 ， 解得 ， 非整数，不符合勾股数为整数的要求． 综上所述，这个直角三角形的周长为 112， 故选：C． 【题型4】勾股定理与无理数的表示与大小 1.核心知识点总结 无理数表示：利用勾股定理构造直角三角形，斜边长度即为无理数(如、)； 核心应用：在数轴上表示无理数、比较无理数大小。 2.高频考点梳理 在数轴上画出表示、的点； 利用勾股定理比较与的大小(平方后比较)。 3.易错点警示 构造直角三角形时，直角边长度选择错误(如表示需直角边为和，非和）； 数轴上表示负无理数时，方向错误（应在原点左侧）。 4.解题技巧拆解 数轴表示：①构造直角三角形（直角边为正整数，斜边为目标无理数）；②以原点为圆心、斜边为半径画弧，交数轴于目标点； 无理数比较：①两边平方（均为正数）；②利用勾股定理计算平方值，再比较大小。 【例题4】．（25-26八年级上·广东清远·期中）如图，在数轴上点表示的实数是 ． 【答案】 【分析】本题考查了勾股定理，实数与数轴的关系，根据勾股定理求出斜边的长是解答本题的关键． 在直角三角形中，求得斜边的长，即可求解． 【详解】解：在直角三角形中，由勾股定理可得：斜边长， ∴点A表示的实数是， 故答案为：． 【变式题4-1】．（25-26八年级上·浙江湖州·期中）如图，，，，，数轴上点表示的数是 ． 【答案】 【分析】本题考查了勾股定理和用数轴上的点表示无理数，熟练掌握知识点是解题的关键．先由勾股定理算出，再根据点A在数轴负半轴进行求解即可． 【详解】解：∵，，， ∴， ∴， ∴数轴上点表示的数是， 故答案为：． 【变式题4-2】．（24-25八年级上·甘肃兰州·期中）如图所示，已知． (1)说出数轴上点A所表示的数为______； (2)比较点A所表示的数与的大小：______； (3)在数轴上找出对应的点．（保留作图痕迹） 【答案】(1) (2) (3)见解析 【分析】本题为考查勾股定理、实数与数轴，实数大小比较，体现了“数形结合”的思想，解题的关键是构造恰当的直角三角形． （1）根据勾股定理即可求得的长度，从而得出的长度，再考虑点A位于原点的左侧，为负数，即可得解； （2）先比较两数的绝对值的平方值大小，然后再比较两数的大小，考虑到绝对值越大的负数，实际值越小，即可得出结果； （3）过表示数2的点作数轴的垂线，截取，以为圆心，为半径画弧与正半轴相交于点，则点G就是表示的点． 【详解】（1）解：在中，根据勾股定理得： ， ∴， ∴点A所表示的数为； （2）解：∵，， 又∵， ∴ （3）解：如图，点G表示的数为． 【变式题4-3】．（24-25八年级下·山东济宁·期中） “数形结合”是一种重要的数学思想，通过数和形之间的对应关系和相互转化可以解决很多抽象的数学问题．为了比较与的大小，我们可以构造如图所示的图形进行推算：在中，，，点在上，且，这样就可以得出与的大小关系． 请写出与的大小关系并结合图形通过计算说明理由． 【答案】，理由见解析 【分析】本题考查了勾股定理，三角形三边关系，由勾股定理得，，进而由三角形三边关系得到，即可求证，掌握以上知识点是解题的关键． 【详解】解：，理由如下： 在中，，，， ∴， ∵，， ∴， ∴在中，， 在中，由三角形三边关系可得，， ∴． 【题型5】已知两边求第三边（分类讨论） 1.核心知识点总结 直角三角形中，已知两边可能有两种情况（已知两边为直角边/一斜一直角边） 分类讨论思想的应用 2.高频考点梳理 已知直角三角形两条边长（未明确直角边/斜边），求第三边 结合绝对值、平方根的非负性求边长 3.易错点警示 漏分情况讨论，只计算一种可能性 计算后未检验边长是否满足三角形三边关系 4.解题技巧拆解 第一步：明确已知边的不确定性，分情况： 情况1：已知两边为直角边，求斜边（） 情况2：已知一边为直角边、一边为斜边，求另一直角边（） 第二步：检验每种情况的边长是否为正数 【例题5】．（24-25八年级下·山东临沂·期中）已知一个直角三角形的两边长分别为3和4，那么第三边是（   ） A．25 B．5 C．5或 D．7或25 【答案】C 【分析】本题主要考查了勾股定理，已知直角三角形的两边长分别为3和4，需分两种情况讨论：当4为直角边时，第三边为斜边；当4为斜边时，第三边为另一条直角边． 【详解】解：当长为4的边为直角边时，由勾股定理得：第三边的长， 当长为4的边为斜边时，由勾股定理得：第三边的长； 综上所述，第三边的长为5或， 故选：C． 【变式题5-1】．（20-21八年级下·黑龙江·期中）直角三角形两边分别为和，则第三边为（    ） A．3 B．4 C． D．4或 【答案】D 【分析】本题考查了勾股定理的计算，掌握勾股定理的计算是关键．根据勾股定理分类讨论即可求解． 【详解】解：当直角三角形两直角边分别为和时，斜边，即第三边为； 当直角三角形斜边长为5，一直角边为3，则第三边长为， 综上所述，第三边长为或， 故选：D ． 【变式题5-2】．（24-25八年级下·全国·阶段练习）有一个直角三角形的两边为4、5，则第三边等于 ． 【答案】3或 【分析】本题考查了勾股定理，解题的关键是注意分情况讨论．分两种情况讨论：①若4是直角边，5是斜边，②若4和5都是直角边，再利用勾股定理求出第三边． 【详解】解：①若4是直角边，5是斜边，那么第三边； ②若4和5都是直角边，那么第三边． 故答案为：3或． 【变式题5-3】．（24-25八年级上·江苏南京·期末）若直角三角形有两边长的差为2，且这两条边中有一条边长为10，求这个三角形的三条边的长． 【答案】10，12，或10，12，或10，8，或10，8，6 【分析】本题考查了勾股定理以及分类讨论；分情况讨论，（1）当直角三角形的两边长为10，12，设第三条边长为x，①若x为斜边长，②若12为斜边长；（2）当直角三角形的两边长为10，8，设第三条边长为y，①若y为斜边长，②若10为斜边长；分别由勾股定理进行计算即可． 【详解】解：∵直角三角形有两边长的差为2，且这两条边中有一条边长为10， ∴另一条边长为或， （1）当直角三角形的两边长为10，12， 设第三条边长为x， ①若x为斜边长，由勾股定理得：； ②若12为斜边长，由勾股定理得：； （2）当直角三角形的两边长为10，8， 设第三条边长为y， ①若y为斜边长，由勾股定理得：； ②若10为斜边长，由勾股定理得：； 综上所述，这个直角三角形的三条边的长为10，12，或10，12，或10，8，或10，8，6． 【题型6】折叠问题求边长（提升） 1.核心知识点总结 折叠的性质：折叠前后对应边相等、对应角相等 勾股定理与方程思想的结合 2.高频考点梳理 长方形、直角三角形折叠后求未知边长 折叠后形成的直角三角形边长计算 3.易错点警示 找不到折叠后的对应边，无法建立等量关系 设未知数后列方程出错，计算失误 4.解题技巧拆解 第一步：画图标注折叠前后的对应顶点和对应边 第二步：设未知边长为，用含的式子表示其他相关边长 第三步：在折叠形成的直角三角形中套用勾股定理列方程 第四步：解方程并检验解的合理性 【例题6】．（25-26八年级上·山东青岛·期中）如图1，在中，，将按如图2所示方式折叠，使点与点重合，折痕为，若，，则的长是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查折叠变换的性质、勾股定理，熟练掌握勾股定理是解题的关键． 根据折叠的性质折叠，从而得到，，根据勾股定理求得，假设，则，在中，由勾股定理列式求解即可． 【详解】解：根据折叠的性质得： ， 在中，设，则 即 解得 故选：C． 【变式题6-1】．（25-26八年级上·四川成都·期中）如图，在中，，，，为边上一点，连接，将沿进行折叠，使得点落在边延长线上的点处，则的长为（    ） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】C 【分析】本题考查了勾股定理与折叠问题，掌握勾股定理是解题的关键． 由题意得是直角三角形，，可知，在中，，代入求值即可. 【详解】解：∵在中，，， ∴即 ∴是直角三角形， ∵为边上一点，连接，将沿进行折叠，使得点落在边延长线上的点处， ∴ ∴ ∴   设，则 在中， ∴，解得 故选：C. 【变式题6-2】．（25-26八年级上·广东·阶段练习）如图，将长为宽为的长方形纸片折叠，若使点B落在边上的中点E处，压平后得到折痕，则线段的长度为 ． 【答案】1 【分析】本题考查勾股定理与折叠问题，连接，，，折叠得到，设，则， 在和中，，进而得到，列出方程进行求解即可． 【详解】解：如图①，连接，，， ∵将长为，宽为的长方形纸片折叠，使点B落在边的中点E处，压平后得到折痕， ∴垂直平分，，， ∴，， 设，则， 在和中， ∴， 即， 解得． 故线段的长为． 故答案为：． 【变式题6-3】．（25-26八年级上·四川达州·期中）如图，将三角形纸片沿折叠，使点C落在上的点E处，若,则的值为 ． 【答案】16 【分析】本题考查了翻折变换，勾股定理，由折叠的性质可得，，可得，，根据勾股定理可求的值． 【详解】解：将三角形纸片沿折叠，使点落在边上的点处， ，， ， ，     ， ∴， 在中，， 在中，， ， 故答案为：16． 【能力提升篇】 【题型7】航海问题（提升） 1.核心知识点总结 方位角的识别与直角三角形的构造 勾股定理在实际情境中的建模应用 2.高频考点梳理 已知两个物体的方位和距离，判断是否相撞（是否构成直角三角形） 求航海中的最短距离、相遇时间等 3.易错点警示 方位角识别错误，无法正确构造直角三角形 单位不统一，计算前未转化单位（如千米→米） 4.解题技巧拆解 第一步：根据方位角画出示意图，标注已知条件 第二步：构造直角三角形（作垂线），明确直角边和斜边 第三步：套用勾股定理计算，结合实际情境作答 【例题7】．（25-26八年级上·山西运城·阶段练习）如图，在一次户外探险活动中，小亮从营地点出发沿北偏东方向行到达点，然后再沿北偏西方向行到达到目的地点，求出两点之间的距离． 【答案】 【分析】本题考查勾股定理的应用．根据所走的方向可判断出是直角三角形，根据勾股定理可求出解． 【详解】解：根据题意得：， ， 在中，，， ， 、C两点之间的距离为． 【变式题7-1】．（25-26八年级上·山西太原·阶段练习）一艘轮船从港向南偏西方向航行到达岛，再从岛沿方向航行到达岛，港到航线的距离是，岛在港的什么方向？ 【答案】岛在港的北偏西． 【分析】本题考查了勾股定理及逆定理的应用，方向角问题，由题意得，，，，，，则，由勾股定理得，所以，由勾股定理的逆定理推知，然后由方向角的定义作答即可，熟练掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】解：如图， 由题意得，，，，，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴岛在港的北偏西． 【变式题7-2】．（江苏省扬州市扬州中学树人教育集团2025-2026学年八年级上学期数学期中试卷）某港口位于东西方向的海岸线上，甲、乙两船同时离开港口，各自沿一固定方向航行．已知甲船沿北偏东方向航行，甲船每小时航行40海里，乙船每小时航行30海里．它们离开港口2小时后分别位于点，处，且相距100海里． (1)求乙船沿哪个方向航行？ (2)若在港口处有一灯塔，灯塔的信号有效覆盖半径为50海里，此时在点处的乙船沿直线向点处航行．乙船在驶向处的过程中，有多少小时可以接收到信号？ 【答案】(1)乙船沿北偏西方向航行 (2)有小时可以接收到信号 【分析】本题考查了勾股定理的应用航海问题，方向角的应用，等腰三角形三线合一的性质，路程、速度、时间的关系，熟练掌握勾股定理是解答本题的关键． （1）利用勾股定理逆定理得出，再根据角的和差关系即可得出，进而可求解． （2）过点O作交于点，在上取点，，使得海里，分别求得、的长，可求得此时轮船过时的时间，从而可求得最多能收到的信号次数． 【详解】（1）解：根据题意可知：，（海里） ∵（海里），（海里）， ∴， ∴， ∴， 故乙船沿北偏西方向航行． （2）解：过点O作交于点，在上取点，，使得海里． ； ； ； 海里； 海里； 海里； 行驶时间为（小时）． 答：有小时可以接收到信号． 【变式题7-3】．（25-26八年级上·甘肃酒泉·阶段练习）如图，南北向为我国的领海线，即以西为我国领海，以东为公海上午时分，我国反走私艇发现正东方有一走私艇以每小时海里的速度偷偷向我领海开来，便立即通知正在线上巡逻的我国反走私艇密切注意反走私艇通知反走私艇：和两艇的距离是海里，两艇的距离是海里反走私艇测得距离艇是海里，若走私艇的速度不变，最早会在什么时间进入我国领海？ 【答案】走私艇最早在时分进入我国领海 【分析】先通过三边关系判断三角形形状，再利用三角形面积公式和勾股定理求出走私艇到领海线的最短距离，结合速度算出时间，进而确定最早进入我国领海的时间．本题主要考查了勾股定理及其逆定理的应用，熟练掌握从实际问题中整理出几何图形并运用勾股定理相关知识求解是解题的关键． 【详解】解：设与相交于，则， ， 为直角三角形，且， ∵， ∴走私艇进入我国领海的最短距离是， 由，得海里， 由，得海里， （分）， 时分分时分． 答：走私艇最早在时分进入我国领海． 【题型8】网格中求线段长度（提升） 1.核心知识点总结 网格的性质：每个小正方形的边长为1，相邻格点的水平/垂直距离为1 勾股定理在平面直角坐标系中的应用 2.高频考点梳理 求网格中两点间的距离（无直接连线时） 网格中直角三角形的判定与边长计算 3.易错点警示 数错格点间的水平/垂直距离 未构造直角三角形直接测量估算 4.解题技巧拆解 第一步：过两点分别作水平、垂直于坐标轴的垂线，构造直角三角形 第二步：计算直角边长度（格点数之差的绝对值） 第三步：套用勾股定理求斜边（两点间距离） 【例题8】．（25-26八年级上·河南郑州·期中）画图题，请你在方格纸上按照如下要求设计图形，每个单元格的边长为． (1)请在图中设计一个直角三角形，使它三边中有两边边长是无理数； (2)请在图中设计一个直角三角形，使它的三边边长都是无理数． 【答案】(1)画图见解析（答案不唯一）； (2)画图见解析（答案不唯一）． 【分析】此题考查了勾股定理与无理数，勾股定理逆定理，掌握知识点的应用是解题的关键． （）根据网格与勾股定理即可画图； （）根据网格与勾股定理即可画图． 【详解】（1）解：如图，即为所求； 理由：，， ∴， ∴为直角三角形， ∴满足条件； （2）解：如图，即为所求； 理由：，， ∴， ∴为直角三角形， ∴即为所求． 【变式题8-1】．（25-26八年级上·浙江杭州·期中）如图，正方形网格中的每个小正方形边长都是1，每个小格的顶点叫做格点． (1)在图中，画一个面积为8的正方形，使它的每个顶点都是格点； (2)在图中，画一个面积为5的等腰三角形，使它的每个顶点都是格点； (3)若一个腰为的等腰三角形的每个顶点都是格点，直接写出符合条件的三角形的面积． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3)3或4或5 【分析】本题考查勾股定理与网格问题,等腰三角形． （1）根据网格的特点作边长为的正方形，即可求解； （2）根据网格的特点作底边长为2，高为5的等腰三角形，即可求解； （3）根据网格特点作出符合要求的等腰三角形，再求出面积． 【详解】（1）解：所求图形如图所示． 该正方形的边长为， 则面积为，即为所求． （2）解：如图，为所求． ∵的底边长为2，高为5， ∴， 则即为所求． （3）解：∵ ∴如图，，，，，都是腰长为的等腰三角形． ∵的底边长为2，高为3， ∴． ∵的底边长为6，高为1， ∴． ∵，， ∴， ∴是直角三角形，， ∴． ∵在中，，， ∴． ∵在中，，， ∴． 综上所述，符合要求的等腰三角形的面积为3或4或5． 【变式题8-2】．（25-26七年级上·浙江杭州·期中）如图，每个小正方形的边长均为1． (1)图中阴影部分正方形的面积是______，它的边长a是______； (2)我们知道是无理数，而无理数是无限不循环小数，因此的小数部分我们不可能全部写出来，我们可以用1来表示它的整数部分，用表示它的小数部分．设边长a的整数部分为x，小数部分为y，求的值． 【答案】(1)17， (2) 【分析】本题考查勾股定理，算术平方根的实际应用，无理数的估算，熟练掌握相关知识点，是解题的关键： （1）勾股定理求出正方形的面积，求出算术平方根，即可得到边长； （2）夹逼法求出整数部分和小数部分，进行计算即可． 【详解】（1）解：由勾股定理，得：； 正方形的面积； （2）∵， ∴， ∴， ∴． 【变式题8-3】．（25-26八年级上·湖北武汉·期中）下图是由小正方形组成的的网格，每个小正方形的顶点叫做格点，、三点均为格点，仅用无刻度的直尺在给定网格中完成画图（每一小问的辅助线不能超过五条）． (1)如图1，画的中线； (2)如图1，在上画一点，使得； (3)如图2，已知，画的角平分线； (4)如图2，在（3）的条件下，是上的一点，在上画一点，使的值最小． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3)见解析 (4)见解析 【分析】本题考查等腰直角三角形的性质，角平分线的性质，熟练掌握三角形的性质是解题的关键． （1）观察图形发现，线段的长为个小正方形的边长，找到的中点，连接即可； （2）观察图形发现，根据等腰直角三角形的性质，过点作，连接交于点即可； （3）将延长至，使，连接以点、点为顶点的的小长方形的两条对角线，连接点与两条对角线的交点，交于点即可； （4）作点关于线段的对角线，连接，线段于的交点为所求的点． 【详解】（1）解：观察图形发现，线段的长为个小正方形的边长，连接中点所在的由两个小正方形构成的的长方形的对角线，该对角线与的交点即为所求的点，连接，如图： （2）解：观察图形发现，过点作，连接交于点，如图： （3）解：将延长至，使，连接以点、点为顶点的的小长方形的两条对角线，连接点与两条对角线的交点，交于点，即为的角平分线，如图： （4）解：作点关于线段的对角线，连接，线段与的交点为所求的点，如图： 【题型9】梯子滑落问题（提升） 1.核心知识点总结 梯子滑落过程中，梯子长度不变（始终为斜边） 地面与墙面垂直，构成直角三角形 2.高频考点梳理 已知梯子滑落前后的高度/水平距离，求滑落距离 结合不等式判断梯子是否会滑落到底 3.易错点警示 混淆梯子滑落前后的直角边长度变化 忽略梯子长度为定值这一隐含条件 4.解题技巧拆解 第一步：明确梯子长度为直角三角形的斜边（始终不变） 第二步：分别计算滑落前后的直角边长度 第三步：根据题意求长度变化量（滑落距离） 【例题9】．（25-26八年级上·全国·期中）如图，一个梯子长米，顶端靠在墙上，这时梯子下端与墙角距离为米，梯子滑动后停在的位置上，测得长为米，则梯子顶端下落了 米． 【答案】/ 【分析】本题考查了勾股定理在实际生活中的运用，本题中在直角中和直角中分别运用勾股定理是解题的关键． 由题意知，米，米，米，则在直角中，根据，可以求，在直角中，根据，可以求，则即为题目要求的距离． 【详解】解：在直角中，已知米，米， ∴（米）， 在直角中， ∵（米），米， ∴（米）， ∴（米） 故答案为：． 【变式题9-1】．（25-26八年级上·河南焦作·阶段练习）如图，鱼竿长，露在水面上的鱼线长为．钓鱼者想看看鱼钩上的情况，把鱼竿提起到的位置（图中所有点均在同一平面内），此时露在水面上的鱼线长为，鱼线水平方向移动的距离是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了勾股定理的实际应用，正确理解题意，抓住鱼竿的长度不变是解题的关键． 在和中，分别用勾股定理求出和，即可求出渔线水平方向移动的距离的值． 【详解】解：在中， ，， ． 根据题意可得， ， 在中， ， ． 鱼线水平方向移动的距离是， 故选：B． 【变式题9-2】．（25-26八年级上·山西晋中·阶段练习）消防员是城市的守护者．图1是消防员某次消防救援时的工作图，图2是其几何示意图，已知云梯长，云梯底部（点）距离地面，消防车从距离地面高的点处完成救援后，还要从距离地面高的点处进行救援，这时云梯底部需要向楼房靠近多少米？（点在同一水平线上，所有点在同一竖直平面内） 【答案】云梯底部需要向楼房靠近 【分析】本题主要考查了勾股定理的应用．熟练掌握勾股定理以及梯长保持不变是解题的关键． 利用云梯的长度不变和勾股定理分别求出的长，再利用进行计算即可． 【详解】解：由题意可得，则． 在中，， 由勾股定理可得． 在中，， 由勾股定理可得． 所以． 答：云梯底部需要向楼房靠近． 【变式题9-3】．（25-26八年级上·辽宁丹东·期中）物理课上，老师带着科技小组进行物理实验．同学们将一根不可拉伸的绳子绕过定滑轮A，一端拴在滑块B上，另一端拴在物体C上，滑块B放置在水平地面的直轨道上，通过滑块B的左右滑动来调节物体C的升降．实验初始状态如图1所示，物体C静止在直轨道上，物体C到滑块B的水平距离是，物体C到定滑轮A的垂直距离是．（实验过程中，绳子始终保持绷紧状态，定滑轮、滑块和物体的大小忽略不计） (1)求绳子的总长度； (2)如图2，向左滑动滑块B，物体C升高．滑块B移动距离比物体C升高高度多，求此时物体C升高了多少？ 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了勾股定理的应用，理解题意是解题的关键． （1）利用勾股定理即可求解； （2）设物体C升高了，则滑块B移动距离为，进而表示出和的长，在中利用勾股定理列出方程，求出的值即可解答． 【详解】（1）解：由题意得，，，， ∴， ∴绳子的总长度为， 答：绳子的总长度为； （2）解：设物体C升高了，则滑块B移动距离为， 则，， ∴， ∵在中，， ∴， 解得， 答：物体C升高了． 【题型10】立体图形表面最短路径（提升） 1.核心知识点总结 立体图形→平面图形的转化（展开思想） 两点之间线段最短的性质与勾股定理的结合 2.高频考点梳理 长方体、正方体表面蚂蚁爬行最短路径 圆柱侧面最短路径（侧面展开为长方形） 3.易错点警示 展开方式不全面，漏算最短路径 圆柱展开后底面周长计算错误（半圆周长/全周长） 4.解题技巧拆解 类型1：长方体/正方体 展开方式：分“前+右”“前+上”“左+上”三种 计算每种展开方式的路径长度（），取最小值 类型2：圆柱 展开侧面为长方形（长=底面周长，宽=圆柱高） 最短路径为长方形对角线段（或） 【例题10】．（25-26八年级上·宁夏银川·期中）一个三级台阶如图所示，和是这个台阶两个相对的端点，点处有一只蚂蚁想到点处去吃可口的食物．若这个台阶的每一级的长、宽和高分别为9，2和2，则这只蚂蚁沿着台阶面爬行的最短路程为 ． 【答案】15 【分析】本题考查了平面展开最短路径问题．用到台阶的平面展开图，只要根据题意判断出长方形的长和宽即可解答． 【详解】解：如图， 三级台阶平面展开图为长方形，长为，宽为9， 则蚂蚁沿台阶面爬行到B点最短路程是此长方形的对角线长， 即． 故答案为：15． 【变式题10-1】．（25-26八年级上·贵州贵阳·期中）如图，这是一个供滑板爱好者使用的形池，该形池可以看作是一个长方体去掉一个“半圆柱”而成，截面中可供滑行部分的半圆弧长为，边缘（边缘的宽度忽略不计），点在上，．一滑板爱好者从点滑到点，请画出形池滑行面的展开图，并求出他滑行的最短距离． 【答案】展开图见解析，滑行的最短距离为 【分析】本题考查的是平面展开-最短路径问题，先将该U形池的侧面展开，要求滑行的最短距离，根据“两点之间线段最短”得出结果． 【详解】解：其侧面展开图如图： 将半圆面展开可得：，， 在中，． 即滑行的最短距离为． 【变式题10-2】．（25-26八年级上·江西鹰潭·阶段练习）如图，有一个长方体盒子，它的长和宽都是，高是． (1)小明在长方体盒子里插入一根细木棒，细木棒经过，两点，求该长方体盒子中放入细木棒（）的长度； (2)在长方体盒子外表面的点处有一只蚂蚁，若它想吃到点处的食物，那么它沿盒子表面爬行的最短路程是多少？ 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了平面展开-最短路径问题，解答时要进行分类讨论，利用勾股定理是解题的关键． （1）利用勾股定理直接求出木棒的最大长度即可； （2）将长方形的盒子按不同方式展开，得到不同的矩形，求出不同矩形的对角线，最短者即为正确答案． 【详解】（1）解：由题意得该长方体盒子中放入细木棒（）的长度是： ． （2）解：将长方体的正面和右侧面展开，如图，， 将长方体的上底面和右侧面展开，如图，； 将长方体的正面和下底面展开，如图，． ∵， ∴它沿盒子表面爬行的最短路程为． 【变式题10-3】．（25-26八年级上·河南平顶山·阶段练习）（1）如图1，长方体的长为，宽为，高为．求该长方体中能放入木棒的最大长度； （2）如图1，现有一只蚂蚁从点处沿长方体的表面爬到点处，求它爬行的最短路程．小明沿长方体的棱剪开（如图2），求得最短距离为，请你判断是否正确，并说明理由； （3）如图3，若将题中的长方体换成透明圆柱形容器（容器厚度忽略不计），容器的高为，底面周长为，在容器内壁离底部的点处有一饭粒，此时一只蚂蚁正好在容器外壁且离容器上沿与饭粒相对的点处．此时蚂蚁吃到饭粒需要爬行的最短路程是___________． 【答案】（1）该长方体中能放入木棒的最大长度是（2）不正确，见解析（3）10 【分析】本题考查了平面展开—最短路径问题，将图形展开，利用轴对称的性质和勾股定理进行计算是解题的关键． （1）利用勾股定理直接求出木棒的最大长度即可． （2）将长方体展开，利用勾股定理解答即可； （3）将容器侧面展开，建立关于的对称点，根据两点之间线段最短可知的长度即为所求． 【详解】解：（1）由题意得：如图，该长方体中能放入木棒的最大长度是： ； （2）不正确，理由如下： ①如图，， ②如图，， ③如图，， ， ∴最短路程为； （3）∵高为，底面周长为，在容器内壁离容器底部的点处有一饭粒，此时蚂蚁正好在容器外壁，离容器上沿与饭粒相对的点处， 将容器沿侧面展开，作点关于的对称点， ， 连接，则即为最短距离， ∴ 故答案为：10． 【题型11】垂美四边形问题（提升） 1.核心知识点总结 垂美四边形定义：对角线互相垂直的四边形 核心结论：（对角线垂直） 2.高频考点梳理 利用垂美四边形结论求边长 证明垂美四边形的边长关系 3.易错点警示 未验证对角线垂直，直接套用结论 混淆四边形的边长与对角线的关系 4.解题技巧拆解 第一步：证明四边形对角线垂直（判定垂美四边形） 第二步：套用结论 第三步：代入已知边长，计算未知边长 【例题11】．（24-25八年级下·黑龙江齐齐哈尔·期中）对角线互相垂直的四边形叫作“垂美”四边形，现有如图所示的“垂美”四边形，对角线相交于点O．若，则的值为（    ） A．20 B．16 C．18 D．25 【答案】A 【分析】本题主要考查了勾股定理，证明，再由勾股定理得，，然后证明，即可解决问题． 【详解】解：∵， ∴， 由勾股定理得：，， ∴， ∵， ∴． 故选：A． 【变式题11-1】．（25-26八年级上·全国·课后作业）（1）定义：我们把对角线互相垂直的四边形称为垂美四边形．性质：垂美四边形对边的平方和相等，即，请结合图①（四边形为垂美四边形）证明这个性质； （2）如图②，在长方形中，是边上一点，且，求的长． 【答案】（1）见解析；（2） 【分析】本题考查的是长方形的性质，垂直的定义、勾股定理的应用；熟练掌握长方形的性质，灵活运用勾股定理是解题的关键． （1）由勾股定理可求，，即可求解； （2）连接．设，则．证明四边形为垂美四边形，由垂美四边形的性质可得，即可求解． 【详解】（1）证明：四边形是垂美四边形， ， ． 由勾股定理，得，， ． （2）如图，连接． 设，则． 四边形是长方形， ，， ． 四边形为垂美四边形， ， ． ． 【变式题11-2】．（25-26八年级上·安徽宿州·阶段练习）我们把对角线互相垂直的四边形定义为垂美四边形．     (1)如图1，四边形为垂美四边形，若，，，，求证：． (2)如图2，在长方形中，，分别交，于点F，E，，求的长． (3)在（2）的条件下，求的长． 【答案】(1)见解析 (2)5 (3) 【分析】本题主要考查了勾股定理的应用，掌握勾股定理是解题的关键． （1）利用勾股定理即可证明； （2）连接，设，则，，由（1）的结论建立方程即可求得x的值，从而求得； （3）在中由勾股定理求得，利用面积相等即可求得． 【详解】（1）证明：∵四边形为垂美四边形， ∴， 由勾股定理得：， ∴； 同理：， ∴； （2）解：如图，连接， 由于四边形是长方形，则， 设， ∵， ∴，， ∵， ∴四边形是垂美四边形， ∴， ∵， ∴， 解得：（舍去负值） 即； （3）解：∵， ∴， 在中，由勾股定理得， ∵， ∴． 【变式题11-3】．（2025八年级上·全国·专题练习）我们把对角线互相垂直的四边形叫做垂美四边形． (1)如图①，已知四边形是垂美四边形，请探究两组对边与之间的数量关系，并说明理由； (2)如图②，分别以的直角边和斜边为边向外作正方形和正方形，连接，已知，求． 【答案】(1)猜想：．理由见解析； (2)73 【分析】本题考查全等三角形的性质与判定、勾股定理、垂美四边形的定义等知识． （1）利用勾股定理求得即可证明； （2）连接，，只要证明四边形是垂美四边形，利用（1）中结论即可解决问题． 【详解】（1）解：猜想：．理由如下： ∵四边形是垂美四边形， ∴， ∴， 由勾股定理，得， ， ∴； （2）连接，，如图： ∵正方形和正方形， ∴，，， ∴，即， 在和中，，，， ∴， ∴， 又∵， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴四边形是垂美四边形， 由（1）可知， ∵，， ∴由勾股定理，得，，， ∴． 【题型12】含参数的直角三角形问题（提升） 1.核心知识点总结 参数思想与勾股定理的结合 分类讨论参数的取值范围 2.高频考点梳理 已知直角三角形边长含参数，求参数值 含参数的勾股数探究 3.易错点警示 未考虑参数的取值范围（边长为正数） 漏分参数对应的直角边/斜边情况 4.解题技巧拆解 第一步：设参数为，明确边长表达式 第二步：分情况讨论参数对应的边（直角边/斜边） 第三步：列勾股方程，求解并检验参数的正数值 【例题12】．（25-26八年级上·浙江杭州·期中）如图，在中，，，，记长为，长为．当，的值发生变化时，下列代数式的值不变的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了勾股定理的应用． 过点A作于点E，先求出，，再根据勾股定理找到等量关系，进而得出答案． 【详解】解：过点A作于点E， ∵，， ∴，， ∵， ∴， ∵在和中， ， ∴， ∴， ∴的值不变． 故选：D． 【变式题12-1】．（24-25八年级下·河南安阳·阶段练习）项目式学习：利用勾股定理求不规则三角形的面积 课题 利用勾股定理求不规则三角形的面积 人员 八（2）班学习小组2025年xxx月xxx日 题干 在中，，，求的面积． 思路 作于，设，用含的代数式表示根据勾股定理，利用作为“桥梁”，建立方程模型求出利用勾股定理求出的长，再计算三角形的面积． 解答 【答案】 【分析】题目主要考查勾股定理解三角形及三角形面积计算，理解题意，熟练掌握勾股定理是解题关键． 作于，在中，，，设，则，根据勾股定理得出再次使用勾股定理确定，结合图形求面积即可． 【详解】解：如图， 作于，在中，，， 设，则， 由勾股定理得：， 解得： 在中， ． 【变式题12-2】．（25-26八年级上·吉林·阶段练习）如图，在中，，，，M是边的中点，动点P从点A出发沿折线向终点B运动，点P到边所在直线的距离为，连结，将绕点M逆时针旋转，点P的对应点为点Q，连接、、． (1)求点Q到边所在直线的距离；（用含x的代数式表示） (2)点P在边上运动中； ①的度数为______； ②当点Q在的角平分线上时，______； (3)在点P运动的过程中，直接写出是锐角三角形时x的取值范围． 【答案】(1)； (2)①或；② (3)当时，为锐角三角形 【分析】（1）如图，过作于，过作于，证明，可得，，可得，，可得，在直线上运动，当为的中点时，可得，当时，当时，如图，过作于，过作于，再进一步解答即可； （2）①由（1）得：当时，；当时，可得，可得； ②先判断点Q是角平分线的交点，利用等积法结合（1）的结论即可求解； （3）如图，当时，由（2）得：，，，当时，求解，可得当时，为锐角三角形；当时，如图，为钝角三角形． 【详解】（1）解：如图，过作于，过作于， ∵，， ∴， ∴， ∵M是边的中点， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∴，， ∵为的中点， ∴， ∴， ∴， ∴在的角平分线上运动， 当为的中点时，，即， 解得， 当时， ∵，即， ∴； 当时，如图，过作于，过作于， 同理可得：，，，， ∴； 综上，； （2）解：①由（1）得：当时， ； 当时， ∵，， ∴， ∴； 综上，的度数为或； 故答案为：或； ②∵在的角平分线上，点Q又在的角平分线上， ∴点Q是角平分线的交点， 过点作三边的高线，，，连接， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴； 故答案为：； （3）解：如图，当时， 由（2）得：，，， 当时， ∴，即， ∴， ∴当时，为锐角三角形； 当时，如图， 结合（2）可得：为钝角三角形；不符合题意； 综上：当时，为锐角三角形． 【点睛】本题考查的全等三角形的判定与性质，等腰三角形的判定与性质，勾股定理的应用，二次根式的除法运算，本题的难度较大，清晰的分类讨论是解本题的关键． 【变式题12-3】．（25-26八年级上·甘肃白银·期中）【问题背景】 勾股定理是人类最伟大的十个科学发现之一，西方国家称之为毕达哥拉斯定理．在我国古书《周髀算经》中就有“若勾三，股四，则弦五”的记载，我国汉代数学家赵爽为了证明勾股定理，创制了一幅“弦图”（如图①），后人称之为“赵爽弦图”，流传至今． 【探索求证】 （1）图②为美国第二十任总统加菲尔德的“总统证法”的示意图，与按如图所示位置放置，连接，其中，请你利用图②推导勾股定理． 【问题解决】 （2）如图③，在一条东西走向河流的一侧有一村庄，河边原有两个取水点，，其中，由于某种原因，由到的路现在已经不通，该村为方便村民取水决定在河边新建一个取水点（A，H，B在同一条直线上），并新修一条路，且．测得千米，千米，问新路比原路少多少千米？ 【延伸扩展】 （3）如图④，已知，，，，设，求的值． 【答案】（1）见解析；（2）新路比原路少；（3） 【分析】本题考查了勾股定理的证明，勾股定理的应用，三角形的面积，梯形的面积，熟练掌握以上知识点是解题的关键． （1）利用，即可得到，然后化简即可证明； （2）设，然后在中利用勾股定理求得，最后利用得出答案； （3）利用，，然后联立求得答案． 【详解】解：（1）如图（2）所示： ，， ， ，， ， ， ， ； （2）设， ， ， ，， ， ，即， ， 新路比原路少； （3） ，，，，， ，， ， ． 【题型13】动态几何中的勾股定理应用（提升） 1.核心知识点总结 动态问题中不变的边长与角度关系 勾股定理与函数思想的结合 2.高频考点梳理 动点在直线/图形上运动，求特定位置的边长 动态过程中直角三角形的存在性问题 3.易错点警示 无法确定动点运动过程中的直角三角形构造 忽略动点的运动范围，导致解的范围错误 4.解题技巧拆解 第一步：分析动点的运动轨迹，确定关键位置 第二步：在关键位置构造直角三角形，标注已知量和未知量 第三步：设运动距离为，列勾股方程求解 第四步：结合运动范围检验解的有效性 【例题13】．（24-25八年级上·江苏无锡·期中）如图，在中，，，，若点P从点A出发，以每秒的速度沿射线运动，设运动时间为t秒． (1)是否存在t值，使得为等腰三角形？若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由； (2)现把沿着直线翻折，当t为何值时，点 C翻折后的对应点恰好落在直线上． 【答案】(1)为等腰三角形时，的值为5或或8 (2)t的值为或10 【分析】本题考查的是等腰三角形的性质，勾股定理，翻转变换的性质，灵活运用分情况讨论思想是解题的关键． （1）分、、三种情况，根据等腰三角形的性质计算即可； （2）分点在上、点在的延长线上两种情况，根据翻转变换的性质、勾股定理计算，求出的值． 【详解】（1）解：当时，； 当时， 在中，，，， 则， 在中，，即， 解得：， ； 当时，， ， 综上所述：为等腰三角形时，的值为5或或8； （2）解：当点在上时，如图2，   ，，， ， 在中，，即， 解得：， ； 当点在的延长线上时，如图3， ，，， ， 在中，，即， 解得：， ； ∴为或10时满足条件． 【变式题13-1】．（25-26八年级上·山西太原·阶段练习）如图1，中，，直角边在射线上，直角顶点与射线端点重合，，，且满足． (1)_____，______． (2)如图2，向右匀速移动，在移动的过程中的直角边在射线上匀速向右移动，移动的速度为个单位/秒，移动的时间为秒，连接． ①在移动的过程中，能否使为直角三角形？若能，求出的值；若不能，说明理由． ②若为等腰三角形，直接写出的值_______． 【答案】(1)，； (2)①能，；②或． 【分析】本题考查的是勾股定理的应用以及等腰三角形的概念，掌握非负数的性质、勾股定理、灵活运用分情况讨论思想是解题的关键． （1）根据非负数的性质求解即可； （2）①由题意得，，得到，，，结合题意可得当为直角三角形时，只能是，根据勾股定理列出方程，解方程即可得出答案；②分、、三种情况，根据等腰三角形的概念、勾股定理计算． 【详解】（1）解： ， ，， 解得，， 故答案为：，； （2）①能， 由题意得，， ，， ，，， ，点在上，， 只能是， ，即， 解得， 在移动的过程中，能使为直角三角形，此时； ②当时，， 解得； 当时，， 解得； 当时，， 解得（不合题意，舍去）， 综上所述，当的值为或时，为等腰三角形， 故答案为：或． 【变式题13-2】．（25-26八年级上·吉林松原·期中）如图，在中，，，，，点在的延长线上，，作射线（点在点的下方），点从点出发，沿射线方向以每秒3个单位长度的速度运动，点从点出发，沿射线方向以每秒个单位长度的速度运动，已知、两点同时出发，运动时间为秒． (1)当时，若是等腰三角形，求的值； (2)求为何值时，是以为腰的等腰三角形； (3)在运动过程中，是否存在的值，使得与全等，若存在，请直接写出的值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)2 (2)或或时，为等腰三角形 (3)或1或6或 【分析】（1）先求出，再结合是等腰三角形，，得出，进而得出，求解即可； （2）分三种情况：当时；当时；当时；分别求解即可； （3）分两种情况：当时，，；当时，，；分别求解即可． 【详解】（1）解：当时，， ∵， ∴， ∵是等腰三角形，， ∴，即， ∴； （2）解：当时，为等腰三角形， ∵， ∴， ∴， 由勾股定理可得， 当时，为等腰三角形， ∵， ∴， ∴； 当时，为等腰三角形， ∵， ∴，即， 解得：； 综上所述，或或时，为等腰三角形； （3）解：∵与全等， ∴当时，，， ∵， ∴当点在线段上时，，此时，； 当点在线段延长线上时，，此时，； 当时，，， 当点在线段上时，，此时，； 当点在线段延长线上时，，此时，； 综上所述，当与全等时，或1或6或． 【点睛】本题考查了等腰三角形的定义、全三角形的性质、勾股定理，熟练掌握以上知识点并灵活运用，采用分类讨论的思想是解此题的关键． 【变式题13-3】．（25-26八年级上·陕西·期中）【问题探究】 （1）在中，，点从点出发，以每秒的速度沿的方向运动，设运动时间为秒． ①如图1，为斜边上的高，求的长度； ②如图2，点为边的中点，过点作的垂直平分线交于点，连接，在点运动的过程中，当点运动到线段的垂直平分线上时，求出此时的值，并求出的长度； 【问题解决】 （2）如图3为某社区的直角三角形花园，其中，可移动喷头从点出发，以每秒的速度沿的路线巡视，设巡视时间为秒，为了覆盖整个草坪，在直角顶点处安装了一根垂直于斜边的供水管，当喷头移动到上时，连接，若是以为腰的等腰三角形时，喷头会暂停并切换为全功率洒水模式，已知，，则喷头从点出发后，当为何值时，会触发全功率洒水模式？ 【答案】（1）①；②的值为或的长度为；（2）或 【分析】本题考查的是勾股定理、线段垂直平分线的性质及等腰三角形定义， （1）①先求出，再利用三角形面积求出结论；②，则，根据勾股定理列方程求出，再根据勾股定理求出，进而求出结论； （2）是以为腰的等腰三角形的情况有2种，分别是：当时，或当时，分别求出结论即可． 【详解】解：（1）①在中，， 所以， 解得， 故的长为． ②因为垂直平分， 所以， 设，则， 由勾股定理得：，即， 解得，即， 在中，由勾股定理得：， 当点运动到点时，， 当点运动到点时，， 故此时的值为或的长度为． （2）当在上时，是以为腰的等腰三角形的情况有2种， ①当时，由题得， 解得：， ②如图，当时， 因为， 所以， 因为， 所以在中，由勾股定理得， 因为， 所以， 在中，， 所以， 所以， 所以当或时，会触发全功率洒水模式． 【拓展培优篇】 【题型14】勾股定理与图形面积综合(培优) 1.核心知识点总结 常见模型：以直角三角形三边为边长的正方形/半圆/等边三角形面积关系； 关键结论：直角三角形三边对应的正方形面积满足“两小面积和等于大面积”(即勾股定理的面积表达)。 2.高频考点梳理 求直角三角形周边图形的面积(如“勾股树”中正方形面积)； 利用“等面积法”求直角三角形斜边上的高()。 3.易错点警示 混淆图形的边长与直角三角形三边的关系； 等面积法应用时，误将斜边当作直角边计算。 4.解题技巧拆解 面积关系：若图形边长与直角三角形三边一致，则面积满足(为斜边对应图形面积)； 斜边上的高：记住公式，直接代入直角边、和斜边计算。 【例题14】．（24-25八年级上·浙江金华·阶段练习）如图，正方形的边长为1，其面积标记为，以为斜边作等腰直角三角形，以该等腰直角三角形的一条直角边为边向外作正方形，其面积标记为，……按照此规律继续下去，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了勾股定理，熟练掌握勾股定理是解题的关键． 结合勾股定理找到规律，即可解题． 【详解】解：∵正方形的边长为1， ∴， ∵是等腰直角三角形， ∴， 解得， ∴， 同理：， ∴按照此规律继续下去，． 故选：B ． 【变式题14-1】．（25-26八年级上·浙江温州·期中）如图，在四边形中，，分别以四边形的四条边为直径，向外作四个半圆，记四个半圆面积分别为，，和，若，，，则的值是 ． 【答案】 【分析】本题考查勾股定理、半圆面积公式，解题思路是先由半圆面积公式表示出各半圆面积与对应边长的关系，再利用勾股定理得出边长平方的等量关系，结合求解；解题关键是建立边长平方与半圆面积的联系并运用勾股定理，易错点是半圆面积公式的应用及勾股定理的变形，运用了方程思想与几何公式结合的方法技巧． 【详解】解：设， 则，解得； ，解得； ； ． ∵， ∴， 即， 由，得，化简得； 将，，代入； 即，解得，则； ∴； 故答案为． 【变式题14-2】．（25-26八年级上·全国·期中）综合与实践 【背景介绍】勾股定理是几何学中的明珠，充满着魅力 ．如图1是著名的赵爽弦图，由四个全 等的直角三角形拼成，用它可以证明勾股定理，思路是大正方形的面积有两种求法，一种是等于，另一种是等于四个直角三角形与一个小正方形的面积之和，即，从而得 到等式 ，化简便得到结论．这里用两种求法来表示同一个量 从而得到等式或方程的方法，我们称之为“双求法” 【方法运用】千百年来，人们对勾股定理的证明趋之若鹜，其中有著名的数学家，也有业余数 学爱好者．向常春在2010年构造发现了一个新的证法：把两个全等的直角三角形和如图2放置，其三边长分别为a，b，c，，显然． (1)请 用a，b，c分别表示出四边形，梯形，的面积，再探究这三个图 形面积之间的关系，证明勾股定理． (2)【方法迁移】请利用“双求法”解决下面的问题：如图3，小正方形边长为1，连接小正方形的三个顶点，可得，  则边上的高为_______； (3)如图4，在中，是边上的高，，求的长． 【答案】(1)见解析； (2) (3) 【分析】本题主要考查了证明勾股定理、勾股定理的应用等知识点，灵活利用面积法证明勾股定理是解题的关键． （1）先表示出三个图形的面积进行加减计算即可证明结论； （2）利用割补法求解即可； （3）运用勾股定理在和中求出，据此列出方程求解即可； 【详解】（1）证明：∵，，， ∵， ∴， ∴， ∴． （2）解：设边上的高为x， ∵， ∴． （3）解：在中，由勾股定理得： ∵， ∴， 在中，由勾股定理得 ∴，解得：． 【变式题14-3】．（25-26八年级上·江西景德镇·期中）在中，分别为5，10，13，求这个三角形的面积． 小余是这样解决问题的：先建立一个正方形网格（每个小正方形的边长为1），再在网格中画出格点三角形（即三个顶点都在小正方形顶点处），如图1所示，这样就可以不用求的高，借助网格就能计算出它的面积，我们称上述方法为构图法． 请你解决以下问题： （1）图1中的面积为__________． 请你参考小余的方法，完成下列问题： （2）如图2所示为一个的长方形网格（每个小正方形的边长为1）． ①利用构图法在图2中画出三边长的格点三角形． ②求出的面积； 【拓展提升】 （3）如图3所示，在（2）的条件下，已知，分别以，为边向外作正方形，正方形，连接，求六边形的面积，请你直接写出答案． 【答案】（1）；（2）①图形见解析；②3；（3）19 【分析】（1）用所在的正方形的面积减去其周围的三个三角形的面积，即可求解； （2）根据勾股定理分别画出，即可； （3）利用构图法求解即可． 【详解】解：（1）的面积； （2）①如图，即为所求； ； ②的面积； （3）如图所示， ∴六边形的面积 ． 【点睛】此题主要考查了勾股定理以及三角形面积求法，关键是熟练掌握勾股定理，结合网格求得三角形的面积是解题的关键． 【题型15】赵爽弦图综合应用(培优) 1.核心知识点总结 赵爽弦图构成：四个全等直角三角形+一个小正方形拼成大正方形； 核心关系：大正方形面积=4个直角三角形面积+小正方形面积()。 2.高频考点梳理 已知大/小正方形面积，求直角三角形的边长或、的值； 赵爽弦图变形(如“数学风车”“八全等直角三角形拼接”)求周长或面积。 3.易错点警示 混淆小正方形边长(应为，非)； 变形图形中未识别出全等直角三角形，无法建立面积关系。 4.解题技巧拆解 基础模型：①由大正方形面积得，小正方形面积得；②结合，可求、； 变形模型：①先找出全等直角三角形的直角边和斜边；②利用勾股定理求未知边，再计算周长或面积。 【例题15】．（25-26八年级上·黑龙江大庆·阶段练习）我国汉代数学家赵爽为了证明勾股定理，创制了一幅“弦图”，后人称其为“赵爽弦图”．如图是由八个全等的直角三角形拼接而成的，记正方形，正方形，正方形的面积分别为．若正方形的边长为3，则的值为（   ） A．9 B．18 C．27 D．36 【答案】C 【分析】本题考查了与弦图有关的计算，解题的关键是对三角形的面积设而不求，借用三角形的面积寻找三个正方形面积的关系． 结合图形，借助直角三角形的面积，设八个全等的直角三角形每个面积为，寻找三个正方形面积之间的关系为，即可求解． 【详解】解：设八个全等的直角三角形每个面积为， 由图形可得知，， 则 ∵正方形的边长为3 ∴ ∴ 故选C． 【变式题15-1】．（25-26八年级上·陕西西安·月考）综合与实践． 【背景介绍】勾股定理是几何学中的明珠，充满着魅力．如图1是著名的赵爽弦图，由四个全等的直角三角形拼成，用它可以证明勾股定理，思路是大正方形的面积有两种求法，一种是等于，另一种是等于四个直角三角形与一个小正方形的面积之和，即，从而得到等式，化简便得结论这里用两种求法来表示同一个量从而得到等式或方程的方法，我们称之为“双求法”． 【方法运用】将两个这样的直角按照图②所示摆放，使和在一条直线上，连接 (1)请用a，b，c分别表示出梯形，，，的面积，再探究这四个图形面积之间的关系，证明：勾股定理 (2)【方法迁移】请利用“双求法”解决下面的问题：如图③，小正方形边长为1，连接小正方形的三个顶点，可得，则边上的高为______． (3)如图④，在中，是边上的高，，，，设，求x的值． 【答案】(1)， ；证明见解析 (2) (3) 【分析】此题主要考查了梯形，证明勾股定理，勾股定理的应用，证明勾股定理常用的方法是利用面积证明，是解本题的关键． 根据可证； 计算出的面积，再根据三角形的面积公式即可求得边上的高； 运用勾股定理在和中求出，列出方程求解即可． 【详解】（1）证明：， ， ， ； （2）解：设边上的高为h，则, ， , ， 即边上的高是， 故答案为：； （3）解：在中，由勾股定理得： ， ， ， 在中，由勾股定理得：， ， ． 【变式题15-2】．（23-24八年级上·四川内江·期末）著名的赵爽弦图（如图①，其中四个直角三角形较大的直角边长都为，较小的直角边长都为，斜边长都为），大正方形的面积可以表示为，也可以表示为，由此推导出重要的勾股定理：如果直角三角形两条直角边长为，斜边长为，则． 【结论探究】 （1）图②为美国第二十任总统伽菲尔德的“总统证法”，请你利用图②推导勾股定理； 【结论应用】 （2）如图③，在一条东西走向河流的一侧有一村庄，河边原有两个取水点，，由于某种原因，由到的路现在已经不通，该村为方便村民取水决定在河边新建一个取水点在同一条直线上），并新修一条路，且．测得千米，千米，求新路比原路少多少千米？ 【问题拓展】 （3）中，，垂足为，请求出的值． 【答案】（1）见解析；（2）千米；（3）8 【分析】本题考查了勾股定理的证明方法、勾股定理的应用等知识． （1）利用梯形的面积的两种表示方法即可证明； （2）设千米，在中，根据勾股定理得到，解得，即千米，即可得到答案； （3）在中，，在中，，则，则，解得：，利用勾股定理即可得出． 【详解】（1）解：梯形的面积为， 也可以表示为， ，即； （2）设千米， 千米， 在中，根据勾股定理得：， ， 解得，即千米， (千米)， 答：新路比原路少千米； （3）解：如图， 设， ， ，，，， 根据勾股定理： 在中，， 在中，， ， 即， 解得：， ， ． 【变式题15-3】．（24-25七年级下·江苏淮安·阶段练习）在学习“第8章整式乘法”这一章内容时，我们通过用不同的方法计算同一个图形面积，发现了整式乘法的法则及乘法公式，这种解决问题的方法称之为“等面积法”．而这种“数形结合”的方式是人们研究数学问题的常用思想方法． （1）如图1，已知长方形纸片的长为b，宽为a，由四个这样的长方形拼成一个大正方形，中间留白部分也是正方形（拼接时每两个长方形无重叠部分），利用“等面积法”可得到一个和乘法公式有关的等式，写出这个等式__________． 【类比探究】 （2）连接每个长方形的一条对角线（如图2），得到一个重要的几何图形“赵爽弦图”．如图3，“赵爽弦图”是由四个形状大小都相同的直角三角形（较短直角边为a，较长直角边为b，斜边为c）拼成一个大正方形，中间留白部分也是正方形（拼接时每两个直角三角形无重叠部分）．你能根据图3，应用“等面积法”得出与直角三角形两直角边a、b和斜边c有关的等式吗？请你化简后，写出这个等式__________． 【迁移应用】 （3）在中，a、b为直角边，c为斜边，已知，，求的面积； （4）如图4，四边形中，线段，，在中，，，其周长为n，当n为何值时， 的面积为定值，并说明理由． 【答案】（1）；（2）；（3）的面积为；（4）当时， 的面积为定值． 【分析】本题考查了勾股定理的证明，三角形的面积，首先要正确理解题意，然后会利用勾股定理和面积公式的面积解题． （1）分别用两种方法表示出大正方形的面积即可得出结论； （2）分别用两种方法表示出大正方形的面积即可得出结论； （3）根据图形结合完全平方公式和（2）的结论计算即可求解； （4）由（2）的结论推出，即，再根据长方形的面积为定值列出关于x、y的式子求解即可． 【详解】解：（1）大正方形的面积为：或， 则这个等式是； （2）大正方形可看作边长为的正方形，也可看作4个全等的直角三角形和一个小正方形的面积和，且小正方形边长为． ，同时也有 所以， 整理得； （3）∵在中，，， ∴，， ∴， ∴， ∴的面积； （4）∵，，周长为n， ∴， 在中，， ∴， ∴ ， ∵长方形的面积为定值， ∴与x、y无关， ∴， ∴， ∴当时， 的面积为定值． 【题型16】勾股定理与最值问题(培优) 1.核心知识点总结 常见模型：将军饮马模型(两定一动)、直角三角形内定点到两顶点距离和最小； 核心思想：利用对称转化，将折线转化为直线(两点之间线段最短)，再用勾股定理求解。 2.高频考点梳理 等腰直角三角形中，定点到两动点距离和的最小值； 平面内，求的最小值(构造直角三角形)。 3.易错点警示 对称点找错(如将军饮马中，误对称动点而非定点)； 转化后未构造直角三角形，无法用勾股定理计算。 4.解题技巧拆解 将军饮马模型：①作其中一个定点关于直线的对称点；②连接对称点与另一定点，线段长度即为最小值(与直线交点为动点位置)；③构造直角三角形求线段长度； 代数最值转化：①将看作直角边为、的斜边；②构造平面图形，转化为两点间线段最短问题。 【例题16】．（25-26八年级上·河北保定·期中）我国著名数学家华罗庚曾说过：“数缺形时少直观，形少数时难入微；数形结合百般好，隔离分家万事休”．数学中，数和形是两个最主要的研究对象，它们之间有着十分密切的联系，在一定条件下，数和形之间可以相互转化，相互渗透．某校数学兴趣小组，在学习完勾股定理和实数后，进行了如下的问题探索与分析： 【提出问题】已知，求的最小值． 【分析问题】由勾股定理，可以通过构造直角三角形的方法，来分别表示长度为和的线段，将代数求和转化为线段求和问题． 【解决问题】 （1）①如图，我们可以构造边长为1的正方形，P为边上的动点．设，则．则 线段 线段 ； ②在①的条件下，已知，求的最小值； 【模型应用】 （2）应用数形结合思想，已知，求的最小值为 ； 【拓展应用】 （3）应用数形结合思想，已知正数m满足，则m的值为 ． 【答案】（1）①，；②；（2）5；（3） 【分析】本题考查了勾股定理的应用，应用数形结合思想，熟练掌握勾股定理，将问题进行转化是解题的关键． （1）①根据题意，设，则．则根据及图形可进行求解； ②如图，作点A关于的对称点H，连接交于点P，最小，根据勾股定理求得的长，即可求解； （2）我们可以构造宽为2，长为3的长方形，P为边上的动点．设，则，同理（1）可进行求解； （3）作边长分别为5，12，13的直角三角形，过点F作于点Q，由可知：，则，然后根据等面积法可进行求解． 【详解】解：（1）①由题意得，； 故答案为，； ②如图，作点A关于的对称点H，连接交于点P， 此时，最小，即为最小， 由图可知：， ∴在中，由勾股定理可得：； （2）如图，构造宽为2，长为3的长方形，P为边上的动点．设，则， 作点A关于的对称点H，连接交于点P， 此时，最小，即为的最小值， 同理（1）可得：， 即的最小值为5； 故答案为5； （3）如图，作边长分别为5，12，13的直角三角形，过点F作于点Q， 由可知：，则， ∵， ∴； 故答案为． 【变式题16-1】．（25-26八年级上·山东青岛·阶段练习）几何模型： 条件：如图，A、B是直线l同旁的两个定点． 问题：在直线l上确定一点P，使的值最小． 方法：作点A关于直线l的对称点，连接交l于点P，则的值最小（不必证明）． 模型应用： (1)如图1，正方形的边长为2，E为的中点，P是上一动点．连接，由正方形对称性可知，B与D关于直线对称．连接交于P，则的最小值是 ； (2)在等边三角形中，，点E是的中点，是高，在AD上找一点P，使的最小值为 (3)如图2，，P是内一点，，Q、R分别是上的动点，求周长的最小值． （提示：分别作点P关于和的对称点，连接） 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题主要考查了轴对称的性质，勾股定理，等边三角形的性质，正确作出辅助线和熟知轴对称的性质是解题的关键． （1）由轴对称的性质可得，则可推出当三点共线时，有最小值，即此时有最小值，最小值为的长；利用勾股定理求出的长即可得到答案； （2）连接，可证明垂直平分，得到，则当三点共线时，有最小值，即此时有最小值，最小值为的长；利用勾股定理求出的长即可得到答案； （3）分别作点P关于和的对称点，连接，，可推出当四点共线时， 有最小值，即此时的周长有最小值，最小值为线段的长；证明，再利用勾股定理求出的长即可得到答案． 【详解】（1）解：∵B与D关于直线对称， ∴， ∴， ∴当三点共线时，有最小值，即此时有最小值，最小值为的长； ∵为的中点， ∴， 在中，， ∴， ∴的最小值为； （2）解：如图所示，连接， ∵是等边三角形，是高， ∴垂直平分， ∴， ∴， ∴当三点共线时，有最小值，即此时有最小值，最小值为的长； ∵点E是的中点， ∴， ∴， ∴的最小值为； （3）解：如图所示，分别作点P关于和的对称点，连接，， ∴，， ， ∴的周长， ∴当四点共线时，有最小值，即此时的周长有最小值，最小值为线段的长； ∵， ∴， ∴的周长的最小值为． 【变式题16-2】．（25-26八年级上·广东·阶段练习）【模型建立】“数形结合”和“建模思想”是数学中的两个重要的思想方法，先阅读以下材料，然后解答后面的问题．例：求代数式的最小值． 分析：和是勾股定理的形式，是直角边分别是x和3的直角三角形的斜边，是直角边分别是和2的直角三角形的斜边，因此，我们构造两个直角和，并使直角边和在同一直线上（图1），向右平移直角使点B和点E重合（图2），这时，，，问题就变成“点B在线段的何处时，最短？”根据两点间线段最短，得到线段就是它们的最小值． 【模型应用】 （1）如果利用图3来求代数式的最小值，那么图3中的线段_________，_________． （2）求代数式的最小值； 【变式训练】 利用图3，求代数式的最小值． 【答案】（1）5；12；（2）13；[变式训练] 【分析】本题主要考查勾股定理的应用，关键是根据题意的数形结合思想进行求解问题． （1）根据线段的和差关系和题意即可得到答案； （2）根据题目所给的方法直接建立模型进行求解即可； [变式训练]根据题目所给的方法建立直角三角形然后进行求解即可． 【详解】解：（1）由题意得，，； （2）在中，由勾股定理得， ∵，， ∴， ∴代数式的最小值为13； [变式训练]如图所示，， ∴， ∴， ∴在中，由勾股定理得， ∴代数式的最小值是． 【变式题16-3】．（25-26八年级上·广东深圳·期中）“数形结合”和“建模思想”是数学中的两个很重要的思想方法，阅读以下素材并解决问题． 几何模型在最短路径问题中的应用 素材一 提出问题：求代数式的最小值． 素材二 建立模型：可看作直角边分别是和3的直角三角形的斜边，是直角边分别是和2的直角三角形的斜边．因此，构造两个直角三角形，使它们的一个顶点重合、各有一条直角边在同一直线上（如图1所示），这时，．原问题就变成“点在线段的何处时，的值最小？” 素材三 解答过程：如图2连接，交于点，此时的值最小，将延长至使得，连接，则．，在中，，，的最小值是13． 问题解决 任务一 根据以上学习：代数式的最小值为___________． 任务二 知识运用：如图，一条河的两岸平行，河宽，村庄到河岸的垂直距离为村庄到河岸的垂直距离为，且、到河岸的垂足之间的水平距离为．现计划在河上建一座垂直于河岸的桥，使得从到，过桥，再从到的路程最短，则最短路程为___________km． 任务三 思维拓展：已知正数满足，求的值． 【答案】任务一：；任务二：18；任务三：的值为 【分析】本题主要考查轴对称求最短距离、勾股定理等知识点，灵活应用勾股定理是解题的关键． （1）根据题目所给的方法直接建立模型进行求解即可； （2）将实际问题转化成已建立的模型求解即可； （3）如图4构造△ABC，于D，，设，则，，易证；再用等面积法即可求得，再验证即可解答． 【详解】解：任务一：如图，构造两个直角三角形，使它们的一个顶点重合、各有一条直角边在同一直线上，，， 连接，交于点，此时的值最小，将延长至使得，连接， ．， 在中，， ， ∴代数式的最小值为． 故答案为：． 任务二：如图：为总路程，由于，则要求的最小值，只需求得， 如图：将点向上平移得到，此时共线，；延长到使，则四边形是长方形，连接交于，此时的最小值为． 由题意可得：，， ∴的最小值为． ∴最短路程为． 故答案为：18． 任务三：解：如图，构造，于D，， 设，则， ∴， ∵， ∴， ∴， 解得：， ∴的值为． 【题型17】勾股定理跨学科应用(培优) 1.核心知识点总结 跨学科场景：物理(滑轮、斜面)、航海(方位角)、建筑(梯子滑动、门框尺寸)； 核心步骤：将实际问题抽象为直角三角形模型，提取已知条件(直角边、斜边)。 2.高频考点梳理 航海问题：已知方位角和距离，求两船之间的距离(构造直角三角形)； 物理滑轮问题：已知水平距离和垂直高度，求绳子长度或滑块移动距离。 3.易错点警示 方位角识别错误(如“南偏东”与“东偏南”混淆)； 未统一单位(如米与厘米、海里与千米)。 4.解题技巧拆解 第一步：画示意图，标注方位角、距离、高度等已知条件； 第二步：识别直角三角形(直角由方位角或垂直关系确定)； 第三步：代入勾股定理求解，验证结果符合实际场景(如距离为正、长度合理)。 【例题17】．（24-25八年级下·湖南常德·期末）物理课上，老师带着科技小组进行物理实验．同学们将一根不可拉伸的绳子绕过定滑轮A，一端拴在滑块B上，另一端拴在物体C上，滑块B放置在水平地面的直轨道上，通过滑块B的左右滑动来调节物体C的升降．实验初始状态如图1所示，物体C静止在直轨道上，物体C到定滑轮A的垂直距离是，．（实验过程中，绳子始终保持绷紧状态，定滑轮、滑块和物体的大小忽略不计） (1)求的长； (2)如图2，若物体C升高，求滑块B向左滑动的距离． 【答案】(1)的长为； (2)滑块B向左滑动的距离为． 【分析】（1）设，则，利用勾股定理列出方程，求解即可； （2）利用勾股定理求出的长，即可解决问题． 本题主要考查了勾股定理的应用，熟练掌握勾股定理是解题的关键． 【详解】（1）解：，． 设，则， 在中，由勾股定理得：， 即， 解得：， 答：的长为； （2）如图2，，，， 故 由物体C升高，则此时， 在中，由勾股定理得：， ∴， 答：滑块B向左滑动的距离为． 【变式题17-1】．（24-25八年级下·广西来宾·期中）【综合与实践】 【问题探究】 （1）如图1，为四边形的对角线，，若，，，，试求四边形的面积； 【问题解决】 （2）如图2，四边形是某县一座全民健身中心的平面示意图，、、为三条走廊（点和点分别在边和上），米，米，米，米，，．求的长； （3）随着民众健康意识的不断增强，对科学健身也有了更多的需求，为满足民众不断增长的健身需求，该县计划对这座全民健身中心进行重新规划，在上取点，并将区域修建为功能训练区，根据设计要求，应为等腰三角形，请你帮助设计人员计算出所有符合条件的的长． 【答案】（1）；（2）米；（3）20米或14米或25米 【分析】（1）先利用勾股定理，由，，算出的长；再通过勾股定理逆定理，结合，，判断是直角三角形；最后将四边形拆分为和，分别用直角三角形面积公式计算后求和 ． （2）先根据勾股定理，由米，米，算出；再用勾股定理逆定理，结合米，米，判断是直角三角形；接着算出的长，最后依据三角形面积的两种不同表示方法（ ），求出 ． （3）分三种等腰三角形情况讨论：当时，直接用算；当时，先算，再确定，进而得；当时，设未知数，利用勾股定理列方程求解，再算 ． 【详解】（1）解：（1）由题意可得：． ∵，， ∴． ∵，，， ∴． ∴是直角三角形，且． ∴． （2）∵， ∴， ∴（米）． ∵米，米，米， ∴． ∴是直角三角形，且， ∴，是直角三角形， ∵米，米， ∴米． ∵， ∴． ∴， 解得米． （3）①当时，如图2，点在的位置， ∴米． ∴米． ②当时，如图2，点在的位置， ∵米，米，， ∴（米）． 由题意可得：（米）． ∴（米）； ③当时，如图2，点在的位置， 设，则． ， ∴， 解得，即． ∴（米）． 综上可知，的长为20米或14米或25米． 【点睛】本题主要考查了勾股定理、勾股定理逆定理、三角形面积公式以及等腰三角形的分类讨论，熟练掌握勾股定理及其逆定理，灵活运用三角形面积公式，准确进行等腰三角形分类讨论是解题的关键． 【变式题17-2】．（24-25八年级下·广东佛山·阶段练习）（跨学科融合、运算能力）综合与实践． 【实践主题】探究车辆通过直角弯道的条件． 【查阅资料】车辆转弯时，能否顺利通过直角弯道的标准是：车辆是否可以行驶到和路的边界夹角为的位置（如图1中②的位置），（取） 【案例展示】例如，图2是某巷子的平面图，巷子路面宽4米，转弯处为直角，车辆的车身为长方形，与，的夹角都是，连接，交于点，若的长度至少能达到车身宽度，则车辆就能通过． 【解决问题】（1）长8米，宽3米的消防车____________通过该直角弯道；（填“能”或者“不能”） 【深入探究】（2）在（1）的条件下求出的长度． 【路径优化】（3）为了能使长10米，宽3米的消防车通过该弯道，可以将转弯处改为圆弧（以点为圆心，分别以和为半径的弧），具体方案如图3，其中，请帮助设计者算一算，直接写出的最小值为____________． 【答案】（1）不能；（2）；（3）． 【分析】本题主要考查了等腰三角形的判定与性质、勾股定理等知识点．灵活利用等腰直角三角形及勾股定理是解题的关键． （1）如图2：作于点M，则，易得和为等腰直角三角形，求得和的长，相减即为的长度，与车宽3比较即可判断能否通过该直角弯道； （2）如图：作于点M，则，易得和为等腰直角三角形，求得和的长，相减即为的长度； （3）如图3：点C、D与点M、重合，根据（2）中的方法求得的长度，与车宽比较后发觉不能通过直角弯道，那么点C、D在上，画出相关图形，利用勾股定理求得也就是的最小长度即可． 【详解】解：（1）如图2：作于点M，则，， 由题意得：， ∴， 由题意得：点G是的中点， ∴， ∴， ∴， ∴，， ∴， ∵， ∴消防车不能通过该直角弯道． 故答案为：不能． （2）如图2：作于点M，则，， 由题意得：， ∴， 由题意得：点G是的中点， ∴，， ∴， ∴， ∴，， ∴． （3）如图3：点C、D与点M、重合， ∵， ∴， 由题意得：点G是的中点，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴消防车不能通过， 如图4：点C、D在，连接， 设长，则， ∴，解得：． ∴． 故答案为：． 【变式题17-3】．（24-25八年级下·湖北黄冈·期中）数学兴趣小组和物理兴趣小组的同学一起进行了如下的实践活动： 【实践主题】 从数学角度探究钟摆过程中的规律． 【素材准备】 实验支架，细绳，小球，卷尺等． 【实践操作】 在支架的横杆点处用一根细绳悬挂一个小球，小球可以自由摆动．如图1，点表示小球静止时的位置．小明将小球从摆到的位置，并向右推动小球，是小球在摆动过程中某一瞬间的位置，，，，在同一平面上．          【数学建模】 如图2是小球摆动过程的示意图，过点作于点，过点作于点．    【数据测量】 ，，． 【问题解决】请根据以上条件，求的长． 【答案】cm 【分析】本题考查了勾股定理，熟练掌握勾股定理是解题关键．根据勾股定理求出和的长，由可求出结果． 【详解】解：由摆动可得：． 在中，． 在中，． ∴． 【题型18】新定义“类勾股三角形”问题(培优) 1.核心知识点总结 新定义本质：勾股定理的拓展(如“类勾股三角形”：)； 解题关键：理解新定义的条件，结合勾股定理变形求解。 2.高频考点梳理 判定给定三角形是否为“类勾股三角形”； 已知“类勾股三角形”的两边，求第三边或面积。 3.易错点警示 混淆新定义公式与勾股定理(如误将写成)； 未验证三角形三边关系，导致无效解。 4.解题技巧拆解 第一步：明确新定义的数学表达式(如“类勾股三角形”：)； 第二步：代入已知条件，列方程求解第三边(注意分类讨论哪条边对应)； 第三步：验证三边关系，计算面积(用勾股定理或海伦公式)。 【例题18】．（25-26八年级上·江苏常州·期中）定义：如果一个三角形中有两个内角、满足，那我们称这个三角形为“近直角三角形”． (1)关于“近直角三角形”，下列说法： ①在中，若，，则是“近直角三角形”；②若是“近直角三角形”，，，则．③“近直角三角形”一定是钝角三角形．其中，正确的是___________．（填写所有正确结论的序号） (2)如图，在中，，是的平分线． (3) (4)①求证：为“近直角三角形”； ②若，，求的长． 【答案】(1)①，③ (2)①见详解，② 【分析】（1）根据“近直角三角形”的定义依次判断即可； （2）①由是的平分线，可得，由可得，进而可得，即可得证； ②过点作于点，根据勾股定理可得，再根据证明，则可得，设，则， 在中根据勾股定理列方程求出x的值即可． 【详解】（1）解：①∵在中，，， ∴， ∴， ∴是“近直角三角形”， 故①正确； ②∵是“近直角三角形”，，， ∴或， ∴或， 故②错误； ∵“近直角三角形”满足， ∴， ∴另一个内角， ∴“近直角三角形”一定是钝角三角形， 故③正确； 综上，正确的是①，③， 故答案为①，③． （2）①证明：是的平分线， ， ， ， ， 是“近直角三角形”； ②如图，过点作于点， 在中，，， ∴， 平分，，， ，， 在和中， ， ， ． ， ， 设，则， 在中，，，， ， ， ， ． 【点睛】本题主要考查了三角形内角和定理，“准直角三角形”的定义，勾股定理，全等三角形的判断和性质等知识，解题的关键是理解题意，学会用分类讨论的思想思考问题． 【变式题18-1】．（24-25八年级下·广东中山·期末）定义：在中，，，，若，则称为“类直角三角形”．请根据以上定义解决下列问题： (1)如1图，为等边三角形，请判断该三角形是否为“类直角三角形”，并说明理由； (2)如2图，等腰三角形为“类直角三角形”，其中，，请求出的大小． 【答案】(1)等边三角形不是“类直角三角形”，理由见解析； (2)的度数为． 【分析】本题是三角形综合题，考查等腰三角形的判定、等边三角形的性质、勾股定理、“类勾股三角形”的定义等知识． （1）设等边三角形的三边长分别为a，b，c，则，根据题意得到，即可判断； （2）根据题意得到，根据“类勾股三角形”的定义得到，得到是等腰直角三角形，根据等腰直角三角形的定义求出． 【详解】（1）等边三角形不是“类直角三角形”，理由如下： 设等边三角形的三边长分别为a，b，c，则， ∴， ∴等边三角形不是“类直角三角形”； （2）∵等腰三角形是“类直角三角形”，，， ∴，且． ∴． ∴是直角三角形，且． 又∵， ∴是等腰直角三角形． ∴的度数为． 【变式题18-2】．（2025·河南安阳·模拟预测）我们给出如下定义：若一个四边形中存在相邻两边的平方和等于一条对角线的平方，则称这个四边形为勾股四边形，这两条相邻的边称为这个四边形的勾股边 【操作探究】 （1）下列四边形是勾股四边形的有_________（填序号） ①长方形；②平行四边形；③正方形 （2）下面图1，图2均为的正方形网格，点A，B，C均在格点上，请在图中标出格点D，并连接、，使得四边形符合下列要求：图1中的四边形是勾股四边形，并且是中心对称图形；图2中的四边形是勾股四边形且对角线相等，但不是中心对称图形． 【理解应用】 （3）如图3，将绕顶点B按顺时针方向旋转，得到，连接、，，求证：四边形是勾股四边形； 【拓展应用】 （4）如图4，在四边形中，为等边三角形，，，，直接写出的长． 【答案】（1）①③；（2）见解析；（3）见解析；（4）的长为10 【分析】（1）根据勾股四边形的定义逐一判断即可； （2）由于，要使四边形是勾股四边形，并且是中心对称图形，则四边形为矩形，点使得四边形为矩形即可求解；由于，要使四边形是勾股四边形，但不是中心对称图形，只要取的点不构成中心对称图形即可； （3）连接，由旋转知，，得到，，推出是等边三角形，得到，，推出，则，推出，即可证明； （4）将绕顶点按逆时针方向旋转，使点与点重合，得到，连接，推出是等边三角形，得到为直角三角形，最后根据勾股定理即可求解． 【详解】解：（1）勾股四边形是①长方形；③正方形； 故答案为：①③； （2）如图1中，四边形即为所求． 如图2中，四边形即为所求． （3）连接，如图3， 绕顶点B按顺时针方向旋转，得到， ，，， 是等边三角形， ，， ， ， ， ， 四边形是勾股四边形； （4）的长为10． 如图4，将绕顶点按逆时针方向旋转，使点与点重合，得到，连接． ，，， 是等边三角形， ， 为直角三角形， ， 即， ，即． 【点睛】本题考查了旋转的性质，勾股定理，全等三角形的判定与性质，等腰三角形的判定与性质，平行线的判定与性质，解题的关键是灵活运用相关知识． 【变式题18-3】．（25-26八年级上·广东深圳·月考）定义：如图1，平面内有一点到的三个顶点的距离分别为、、，若有，则称点为关于点的勾股点． 【知识感知】 （1）如图2，在的方格纸中，每个小正方形的边长均为1，的顶点在格点上，则这个点是不是关于点的勾股点______（填“是”或“不是”）； （2）如图3，在等腰三角形中，，，作边上的中线．点是外一点，且点是关于点的勾股点，，求的长； 【知识应用】 （3）如图4，为等腰直角三角形，是斜边延长线上一点，连接，以为直角边作等腰直角（点、、顺时针排列），，连接，求证：点为关于点的勾股点； 【知识拓展】 （4）如图5，是等边三角形，点为内一点（不与点、、重合），当点是关于点的勾股点时，请直接写出此时的度数． 【答案】（1）是；（2）见解析；（3）；（4） 【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质、勾股定理、等腰三角形的性质、旋转的性质等内容，熟练掌握相关知识是解题的关键． （1）求出，，，得到，即得出点是关于点的勾股点； （2）根据勾股点的定义求出的长，再利用勾股定理求解即可； （3）证明，得出，，证明，进而根据勾股定理得出，即可得出，根据新定义，即可得出结论； （4）把绕点旋转到的位置，连接，由旋转的性质可得，，，，由题意及勾股定理的逆定理可证，即可求解． 【详解】解： 如图2，连接， ∵，，， ∴， ∴点是关于点的勾股点； 故答案为：是． （2）解：，是中点，， ，， 点是关于点的勾股点， ， ，， ， 在中，； （3）证明：和为等腰直角三角形， ，，， ， 即， ， ，， ， ， ， ， 点为关于点的勾股点． （4）解：如图，把绕点旋转到的位置，连接， 是等边三角形， ，， 把绕点旋转到的位置， ，，，， 是等边三角形， ，， 点是关于点的勾股点， ， ， ， ， ． 同步练习 一、单选题 1．（25-26八年级上·广东深圳·期中）下列能作为直角三角形三边长的是（） A．1，2，3 B．2，3，4 C．3，4，5 D．4，5，7 【答案】C 【分析】本题考查勾股定理的逆定理，掌握知识点是解题的关键． 通过勾股定理判断各组数是否满足较短两边平方和等于最长边平方，只有C选项满足． 【详解】解：A：，该项不能作为直角三角形三边长； B：；该项不能作为直角三角形三边长； C：；该项能作为直角三角形三边长； D：．该项不能作为直角三角形三边长； 故选：C． 2．（25-26八年级上·广东茂名·期中）下列各组数据中是勾股数的是（   ） A．，，1 B．1，2， C．4，5，7 D．7，24，25 【答案】D 【分析】本题主要考查了勾股数的识别，解题的关键是掌握勾股数的定义． 根据勾股数的定义逐项进行判断即可，勾股数需为正整数且满足勾股定理． 【详解】解：∵ 勾股数定义：正整数且， A：，，1，不都是正整数，排除； B：1， 2，，其中非整数，排除； C：，不符合； D：，符合． 故选：D． 3．（25-26八年级上·吉林长春·期中）如图，小华在公园里荡秋千，在起始位置A处摆绳与地面垂直，摆绳长，A处距离地面的高度是，小华先向后摆到点C处，然后向前荡起到最高点B处，此时与摆绳起始位置的水平距离BD为．若前后摆动过程中摆绳始终拉直，与夹角为，则小华在C处时距离地面的高度是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了勾股定理和全等三角形的应用．通过计算O点离地高度为，水平距离．过C点作的垂线，利用与垂直证明，从而得到，进而求出C点离地高度． 【详解】解：设O点在地面上的垂足为F，过作交于， ， 由题意得：，，， ， ， ． ， ， ， ∴ 点离地高度为． 故选：A． 4．（25-26八年级上·甘肃酒泉·期中）如图所示，在水塔的东北方向处有一抽水站，在水塔的东南方向处有一建筑工地，在间建一条直水管，则水管的长为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了勾股定理的应用，掌握勾股定理的内容是解题的关键．首先明确东北方向和东南方向间刚好是一直角，即，接下来根据勾股定理可知，据此代入数值计算即可解答． 【详解】水塔的东北方向和东南方向夹角刚好是一直角，即， 是直角三角形， ， 故选：． 5．（25-26八年级上·浙江湖州·期中）我国汉代数学家赵爽证明勾股定理时创制了一幅“勾股圆方图”，后人称之为“赵爽弦图”，它是由4个全等的直角三角形和1个小正方形组成．如图，直角三角形的两直角边长分别为，，斜边长为．若，，则每个直角三角形的面积为（   ） A．64 B．60 C．120 D．128 【答案】B 【分析】本题考查了以弦图为背景的计算，准确理解题意是解题的关键．根据每个直角三角形的面积为（大正方形面积小正方形面积），代入求解即可． 【详解】解：∵此图是由4个全等的直角三角形和1个小正方形组成， ∴每个直角三角形的面积为（大正方形面积小正方形面积）， ∵，， ∴， 故选：B． 二、填空题 6．（25-26八年级上·重庆·月考）如图，小张为测量校园内池塘A、B两点的距离，他在池塘边选定一点C，使，并测得长，长，则A、B两点间的距离为 ．    【答案】10 【分析】本题考查了勾股定理，掌握勾股定理求边长是解题的关键；根据勾股定理求解即可． 【详解】解：，长，长， ， 故答案为：10． 7．（25-26八年级上·甘肃兰州·期中）如图，在数轴上点表示的实数是 ． 【答案】 【分析】本题考查了实数与数轴，利用勾股定理得出圆弧半径的长是解题关键．先根据勾股定理求出圆弧半径，再根据数轴即可得到答案． 【详解】解：由勾股定理得直角三角形的斜边长为， 斜边长恰好是圆弧的半径， 则点A表示的实数为， 故答案为：． 8．（25-26八年级上·北京朝阳·期中）如图，在三角形纸片中，，如果在边上取一点，以为折痕，使三点共线（是对称点），那么的周长为 ．    【答案】12 【分析】本题主要考查勾股定理与折叠问题，利用折叠的性质，利用勾股定理建立方程是解题的关键． 设 由折叠可得：，，，再利用勾股定理建立方程，求出的长，结合，得到即可求的周长． 【详解】在三角形纸片中，， 设， 由折叠可得：，，， ∴ 解得：， ∴，， 则的周长． 故答案为：12． 9．（25-26八年级上·广东深圳·期中）小明想研究某品牌笔记本电脑（屏幕可开合）的屏幕开合情况，如图2，他先将屏幕完全打开平放在桌面上，即电脑键盘面的侧边在处，电脑屏幕面的侧边在处，，再将屏幕面的侧边从处绕着O点逆时针旋转至处（即为图1所示状态），此时点相对于点A水平方向移动的距离，点到桌面的高度，则该电脑屏幕面的侧边长度 ． 【答案】25 【分析】本题考查勾股定理的应用，旋转的性质，掌握知识点是解题的关键． 由题意，可得到，，，由勾股定理，得到，则，解得，即可解答． 【详解】解：由题意，得 ，，， ∵， ∴， 解得． 故答案为：25． 10．（24-25八年级上·浙江金华·月考）已知中，射线是的角平分线，点是上的一点． （1）若，，，且点在边上，则点到的距离为 ． （2）当点在内，，连接，若，则 ． 【答案】 3 12 【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质、三角形的面积、勾股定理的逆定理、角平分线的性质，熟练掌握以上知识点是解题的关键． （1）过作于，由勾股定理的逆定理推出，由角平分线的性质推出，由三角形的面积公式进行解题； （2）延长交于，判定≌，推出，由三角形的面积公式进行解题． 【详解】解：（1）如图①，过作于， ∵，，， ∴， ∴， ∴， ∵平分，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴点到的距离为3； 故答案为：3； （2）如图②，延长交于， ∵平分， ∴， ∵， ∴， 在和中， ∴ ， ∴， ∴，， ∴． 故答案为： 12． 三、解答题 11．（25-26八年级上·河南郑州·期中）如图，孙师傅在三角形铁片中剪下，且，，． (1)求的长； (2)若，，求图中阴影部分的面积． 【答案】(1)的长为 (2)图中阴影部分的面积为 【分析】本题考查了勾股定理及其逆定理的应用．熟练掌握勾股定理及其逆定理的应用是解题的关键． （1）根据勾股定理计算即可； （2）先通过勾股定理逆定理证明是直角三角形，然后分别计算出和即可求解． 【详解】（1）解：在，，，， 根据勾股定理有， 的长为． （2）解：在中，， ，， ， 是直角三角形， ， 又， 图中阴影部分的面积． 12．（25-26八年级上·广东深圳·期中）小明周末去莲花山公园放风筝，为了用刚学会的勾股定理解决一些问题，他进行了如下操作：测得牵线放风筝的手与风筝的水平距离为15米；根据手中余线长度计算出为17米，牵线放风筝的手到地面的垂直距离为米． (1)求风筝离地面的垂直高度； (2)如果小明想让风筝沿方向再上升12米，长度不变，则他应该再放出多少米的线？ 【答案】(1)风筝离地面的垂直高度为米 (2)他应该再放出8米线 【分析】本题考查的是勾股定理的应用． （1）先利用勾股定理求解，再进一步求解即可． （2）先求解，，再利用勾股定理求解即可． 【详解】（1）解：在中，， 由勾股定理得，，（米） ∴线段的长为米． （2）解：风筝沿方向再上升12米，则， 在中，， 由勾股定理得，， ， ∴他应该再放出8米线． 13．（25-26八年级上·江苏连云港·期中）已知某开发区有一块四边形的空地，如图所示，现计划在空地上种植草皮，经测量，，，，，若每平方米草皮需要200元，问要多少投入？ 【答案】7200元 【分析】本题主要考查了勾股定理及其逆定理的应用．连接，先根据勾股定理求出，再由勾股定理逆定理可得，然后根据四边形的面积为求出面积，进而得出答案． 【详解】解：如图，连接， 在中，，，， ∴， 在中，，， ∴， ∴， ∴四边形的面积为 ， 元， 即需要投入7200元． 14．（23-24八年级下·河南洛阳·月考）2022年是第七届全国文明城市创建周期的第二年，某小区在创城工作过程中，在临街的拐角清理出了一块可以绿化的空地．如图，已知，，，，． (1)求的长度； (2)若平均每平方米空地的绿化费用为50元，试计算绿化这片空地共需花费多少元？ 【答案】(1)的长度为 (2)共需花费元 【分析】本题主要考查勾股定理及其逆定理的实际运用，掌握以上知识是解题的关键． （1）根据题意可知，在中，根据勾股定理即可求解； （2）运用勾股定理的逆定理判定是直角三角形，由此即可求解绿化空地的面积，由此即可求解． 【详解】（1）解：∵，，， ∴在中，， ∴的长度为． （2）解：已知，，， ∴，，， ∴，即， ∴是直角三角形， ∴，， ∴空地的绿化的面积为， ∵平均每平方米空地的绿化费用为元， ∴绿化这片空地共需花费（元）， ∴共需花费元． 15．（25-26八年级上·广东深圳·期中）2025年9月，台风“桦加沙”在广东珠江口附近登陆，中心附近最大风力达14级（强台风级别）到达深圳附近时，风力减小为七级．已知七级风圈半径约（即以台风中心为圆心，为半径的圆形区域都会受到台风影响）．如图，线段表示台风中心在深圳附近从地向西北方向移动到地的路径，是深圳市某观测点，且．已知之间相距之间相距． (1)判断观测点是否会受到台风“桦加沙”的影响，并说明理由． (2)若台风中心的移动速度为，则观测点受台风影响的时间有多长？ 【答案】(1)观测点会受到台风“桦加沙”的影响，理由见解析 (2)观测点受台风影响的时间有7小时 【分析】本题主要考查了利用勾股定理解决实际问题，解题的关键是掌握勾股定理． （1）过点作于点，利用勾股定理求出斜边长度，然后利用等面积法求出长度，最后进行比较即可； （2）作，根据勾股定理求出台风影响观测点的长度，然后求出时间即可． 【详解】（1）解：观测点会受到台风“桦加沙”的影响，理由如下： 如图所示，过点作于点， ∵， ∴， ∴由勾股定理得，， 由等面积得， ∵， ∴观测点会受到台风“桦加沙”的影响； （2）解：如图所示，作， 由勾股定理得，， 根据题意，， （小时） ∴观测点受台风影响的时间有7小时． 16．（25-26八年级上·浙江湖州·期中）如图，在中，，，，点从点出发，以每秒2个单位长度的速度沿折线运动，设点的运动时间为． (1)若点在上，则_____，_____（用含的代数式表示）． (2)若点在的平分线上（不与点重合），求的值． (3)在整个运动过程中，直接写出当是等腰三角形时的值． 【答案】(1)， (2) (3)1或9.5或10或10.6 【分析】本题考查了动点问题，涉及等腰三角形的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理等，熟练掌握知识点是解题的关键． （1）根据运动路径和速度、时间，求解即可； （2）过点P作，垂足为E，先证明，得出，再利用勾股定理求解即可； （3）分点在上时，存在，和点在上时，存在三种情况，分类讨论即可求解． 【详解】（1）解：∵点从点出发，以每秒2个单位长度的速度沿折线运动，设点的运动时间为， ∴点在上，则， ∵， ∴， 故答案为：，； （2）解：点在的平分线上（不与点重合），如图所示， 过点P作，垂足为E， ∴， ∵，，， ∴，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵，即， ∴； （3）解：①点在上时，存在， ∵， ∴； ②点在上时，存在三种情况： 第一种：， ∴， ∴； 第二种：，如图，过点P作，垂足为D， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴； 第三种：，如图，过点C作，垂足为E， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴； 综上，t的值为1或9.5或10或10.6． 17．（湖北省荆楚联盟2025-2026学年上学期期中考试八年级数学试题）（1）如图1，在中，，，直线经过点，过点分别向直线作垂线，垂足分别为，求证：； （2）如图2，若为等腰三角形，，点，，在直线上，满足，猜想，，有何数量关系，并说明理由； （3）如图3，以的边为一边向外作和，其中，，，是边上的高，延长交于点．若，求的面积． 【答案】（1）见解析；（2），理由见解析；（3） 【分析】本题重点考查了三角形全等的判定和性质，判定三角形全等的方法包括，一线三垂直模型，当一条直线上存在三个垂直关系（即三个直角）时，若模型中有一组对应边长相等，则必定存在全等三角形‌‌，还考查了等腰三角形的性质，会作辅助线，掌握全等三角形的判定方法和等腰三角形性质定理是解题的关键． （1）考虑一线三垂直模型，先推导得到，然后证明； （2）先大胆猜想，然后证明，利用推导得到，证得，进而得到，，通过等量替换进而完成证明； （3）作辅助线，过点作交的延长线于点，过点作于点，利用角度等量变换，得到，进而推导证明，同样证得，得到，最后的面积为、面积之和，最后利用三角形的面积公式完成求解． 【详解】解：（1）证明：直线，直线， ， ， ， ， 在和中， ； （2），理由如下： 是的外角， ， ， ， ， 在和中， ， ，， ； （3）过点作交的延长线于点，过点作于点，如图所示： ，，， ， ， ， 在和中， ， ，同理可证明：， ， ， ， 的面积等于40． 18．（山西省太原市2025-2026学年上学期期中八年级数学试卷）综合与实践 学校花园有一个不规则的池塘，A，B两点分别位于池塘两端，利用现有皮尺无法直接测量A，B间的距离．求真小组利用所学数学知识解决这一问题，实践报告如下： 实践任务 测量池塘两端A，B间的距离 成员 组长：×××  组员：×××，×××，××× 测量工具 皮尺、测角仪 测量方案 如图，第一步：在地面上取一点C，使点C能直接到达A，B两点； 第二步：在的延长线上确定点D，使，交的延长线于点D． 说明：图中各点均在同一水平地面内 测量数据 米，米，米． 问题解决 根据测量方案与数据，计算池塘两端A，B间的距离如下： …… 回顾反思 …… (1)请补充完整实践报告中“问题解决”部分空缺的内容； (2)请回顾解决这一问题的过程，写出你的一条反思． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题考查了勾股定理的应用． （1）利用勾股定理求出米，米，再根据线段和差可得答案； （2）根据题意，解决问题的思路是通过构造直角三角形，将不可直接测量的线段转化为可以测量的线段，然后利用勾股定理求出未知线段． 【详解】（1）解：方法一：由题意得，，即． 在中，由勾股定理，得， 米，米， ， ， （米）， 在中，由勾股定理，得， 米， ， ， （米）， （米）， 答：池塘两端、间的距离为11米； 方法二：由题可知，，即， 在中，由勾股定理，得， 米，米， ， 在中，由勾股定理，得， 米， ， ，则， ， ， （米）， 答：池塘两端、间的距离为11米． （2）解：答案不唯一，合理即可．例如：可以通过构造直角三角形，将不可直接测量的线段转化为可以测量的线段，然后利用勾股定理求出未知线段． 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