精品解析：江西省九江市第一中学2025-2026学年九年级上学期期中数学试题

江西省九江第一中学2025—2026学年度上学期 期中考试初三年级数学试卷 卷面满分：120分 答卷时间：120分钟 一、选择题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 1. 下列命题正确的是（ ） A. 一组对边平行，另一组对边相等的四边形是平行四边形 B. 有两个角是直角的四边形是矩形 C. 对角线互相垂直的四边形是菱形 D. 有一组邻边相等且有一个角是直角的平行四边形是正方形 【答案】D 【解析】 【分析】利用平行四边形、矩形、菱形及正方形的判定方法分别判断后即可确定正确的选项． 【详解】A、一组对边平行，另一组对边相等的四边形是平行四边形也可能是等腰梯形，故错误，不符合题意； B、有三个角是直角的四边形是矩形，故错误，不符合题意； C、对角线互相垂直的平行四边形是菱形，故错误，不符合题意； D、有一组邻边相等且有一个角是直角的平行四边形是正方形，正确，符合题意. 故选：D． 【点睛】考查了命题与定理的知识，解题的关键是了解平行四边形、矩形、菱形及正方形的判定方法，难度不大． 2. 以下一元二次方程有两个相等实数根的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程判别式判断根的情况，解答本题的关键是熟练掌握一元二次方程，当时，方程有两个不相等实数根；当时，方程的两个相等的实数根；当时，方程没有实数根．分别计算出各选项中的根的判别式的值，即可判断． 【详解】解：A． ，该方程有两个不相等实数根，故A选项不符合题意； B． ，该方程有两个不相等实数根，故B选项不符合题意； C． ，该方程有两个不相等实数根，故C选项不符合题意； D． ，该方程有两个相等实数根，故D选项不符合题意； 故选：D． 3. 在第十九届亚运会中国国家象棋队选拔赛的第一阶段中，采用分组单循环（每两人之间都只进行一场比赛）制，每组x人．若每组共需进行15场比赛，则根据题意可列方程为（） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】设一共邀请了支球队参加比赛，赛制为单循环形式（每两支球队之间都进行一场比赛），则每个队参加场比赛，则共有场比赛，可以列出一元二次方程． 【详解】解：由题意得，． 故选：A． 【点睛】本题主要考查了由实际问题抽象出一元二次方程，根据比赛场数与参赛队之间的关系为：比赛场数二队数(队数，进而得出方程是解题关键． 4. 如图，D是边上一点，添加一个条件后，仍不能使的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据相似三角形的判定定理，依次判断，即可求解， 本题考查了相似三角形的判定，解题的关键是：熟练掌握相似三角形的判定定理． 【详解】解：A、∵，， ∴，不符合题意， B、∵，， ∴，不符合题意， C、根据无法得到，符合题意， D、∵， ∴， 又∵， ∴，不符合题意， 故选：C． 5. 如图1，是古希腊时期的帕提侬神庙（），如图把虚线表示的矩形画出图2中的，以矩形的宽为边在其内部作正方形，我们惊奇的发现点是的黄金分割点，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查相黄金分割，根据黄金分割列出比例式，设，，得出，进而求即可． 【详解】解：∵点是的黄金分割点， ∴ ∵四边形为正方形， ∴， 设，， ∴ ∴（负值舍去） ∴ 故选：B． 6. 如图，已知正方形的边长为4，是对角线上一点，于点，于点，连接，．给出下列结论：①；②四边形的周长为8；③一定是等腰三角形；④；⑤的最小值为；其中正确结论的序号为（ ） A. ①②④⑤ B. ②③④⑤ C. ①②⑤ D. ②④⑤ 【答案】A 【解析】 【分析】①根据正方形的对角线平分对角的性质，得是等腰直角三角形，在中， ，求得； ②先证明四边形为矩形，根据等腰直角三角形和矩形的性质可得其周长为，则四边形的周长为； ③根据的任意性可以判断不一定是等腰三角形； ④由②可知，四边形为矩形，则通过正方形的轴对称性，证明； ⑤当最小时，最小，的最小值等于； 【详解】解：①如图，延长交于，连，延长交于 ∵，四边形是正方形， ∴，，即， ∴， ∴， ∴， 在中， ，故①符合题意； ②∵， ∴四边形为矩形， ∴四边形的周长，故②符合题意； ③∵点是正方形的对角线上任意一点，， ∴当或或时，是等腰三角形，除此之外，不是等腰三角形，故③不符合题意； ④∵四边形为矩形， ∴， 由正方形为轴对称图形， ∴， ∴，故④符合题意； ⑤由， ∴当最小时，最小， 则当时， 即时，的最小值等于故⑤符合题意； 综上，符合题意的有：①②④⑤， 故选：A． 【点睛】本题考查了正方形的性质，垂直的判定，等腰三角形的性质，勾股定理的运用等知识，掌握相关知识是解题的关键． 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 7. 已知，则______． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查式子的运算，掌握整体代入法是解题的关键． 由已知比例关系，可求其倒数，再代入所求表达式化简计算． 【详解】由，得， 则． 故答案为：． 8. 设，是的两个实数根，则的值是________． 【答案】5 【解析】 【分析】本题考查了根与系数的关系、一元二次方程的解等知识点,若是一元二次方程的两根时，则，． 由根与系数的关系可得，由方程的解的定义可得，最后整体代入计算即可． 【详解】解：∵，是的两个实数根， ∴，， ∴． 故答案为：5． 9. 如图是一幅总面积为3m2的长方形世界杯宣传画，现将宣传画平铺在地上，向宣传画内随机投掷骰子（假设骰子落在宣传画内的每一点都是等可能的），经过大量重复投掷试验，发现骰子落在世界杯图案中的频率稳定在常数0.6附近，由此可估计宣传画上世界杯图案的面积约为_____m2． 【答案】1.8 【解析】 【分析】因为骰子落在世界杯图案中的频率稳定在常数0.6附近，根据题意求出长方形的面积，根据世界杯图案的面积与长方形世界杯宣传画的面积之间的关系计算即可． 【详解】解：∵骰子落在世界杯图案中的频率稳定在常数0.6附近， ∴世界杯图案占长方形世界杯宣传画的60%， ∴世界杯图案的面积约为：3×60%＝1.8m2， 故答案为1.8． 【点睛】本题考查频率，解题的关键是知道频率的意义. 10. 如图，点是矩形内任意一点．若，，则图中阴影部分的面积为________． 【答案】 【解析】 【分析】四边形是矩形得到，设两个阴影部分的底分别为，高分别为，则，利用即可得到阴影部分的面积． 【详解】解：∵四边形是矩形， ∴， 设两个阴影部分的底分别为，高分别为，则， ∴； 故答案为：． 【点睛】此题考查了矩形的性质、三角形的面积等知识，熟练掌握矩形的性质和准确计算是解题的关键． 11. 如图是步枪在瞄准时的示意图，从眼睛到准星的距离OE为80cm，步枪上的准星宽度AB为0.2cm，目标的正面宽度CD为50cm，则眼睛到目标的距离OF为______m． 【答案】200 【解析】 【分析】根据AB∥CD，得出△OAB∽△OCD，得出，即，求出OF即可． 【详解】解：∵AB∥CD， ∴△OAB∽△OCD， ∴，即， ∴． 故答案为：200． 【点睛】本题考查相似三角形判定与性质，掌握相似三角形判定与性质是解题关键． 12. 如图，矩形中，，，E是上的点，将沿折痕折叠，使点D落在边上点F处，点P是线段延长线上的动点，连接，若是等腰三角形，则的长为____． 【答案】6或9或3.5． 【解析】 【分析】本题考查了矩形的性质，勾股定理的运用以及图形折叠的问题，分若；以及三种情形分别讨论求出满足题意的PB的值即可． 【详解】解：∵四边形是矩形， ∴， 由折叠对称性：． 在中，， ∴， 分三种情形讨论： 若， ∵， ∴， 若，则， 解得， 若，在中，， ∴ 解得， 综合得或9或3.5． 故答案为6或9或3.5． 三、解答题（本大题共5小题，每小题6分，共30分） 13. 解下列方程： （1）； （2）． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查了解一元二次方程，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）运用配方法进行解方程，即可作答． （2）先移项，再提公因式，得，再解方程，即可作答． 【小问1详解】 解：， ， ∴， 则， ∴， 解得； 【小问2详解】 解：， ∴， ∴， ， 解得． 14. 已知关于x的一元二次方程． （1）求证：无论m取何值时，方程都有两个不相等的实数根； （2）设该方程的两个实数根为a，b，若，求m的值． 【答案】（1） 证明：∵， ∴无论取何值，方程都有两个不相等的实数根． （2）的值为1或 【解析】 【分析】（1）根据一元二次方程根的判别式可进行求解； （2）根据一元二次方程根与系数的关系可进行求解． 【小问1详解】 略； 【小问2详解】 解：∵的两个实数根为， ∴． ∵， ∴，． ∴． 即． 解得或． ∴的值为1或． 【点睛】本题主要考查一元二次方程根的判别式及根与系数的关系，熟练掌握一元二次方程根的判别式及根与系数的关系是解题的关键． 15. 有3个完全相同的小球，把它们分别标上号码1，2，3，放在一个不透明的口袋中，随机摸出一个小球放回后再随机摸出另一个小球． （1）采用画树状图法（或列表法）列出两次摸球出现的所有可能的结果． （2）求摸出的两个小球的号码之和等于5的概率． 【答案】（1） 解：根据题意，可以画出如下的树形图： 从树形图可以看出，两次摸球出现的所有可能结果共有9种． （2） 【解析】 【分析】本题考查借助树状图或列表法求概率．如果一个事件有n种可能，而且这些事件的可能性相同，其中事件A出现m种结果，那么事件A的概率． （1）画树状图列举出所有情况； （2）让摸出的两个球号码之和等于5的情况数除以总情况数即为所求的概率． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：由树状图知摸出的两个小球号码之和等于5的有2种结果， ∴摸出的两个小球号码之和等于5的概率为． 16. 如图是由边长为1的小正方形组成网格，小正方形的顶点为格点，图中的点A，B，C在格点上．请仅用无刻度直尺按要求完成以下作图（保留作图痕迹）． （1）如图1，作的平分线； （2）如图2，在上找一点E，使得． 【答案】（1）如图，取格点，连接交于，则即为所求； ； （2）如图，在（1）的作图情况下，记，的交点为，连接并延长交于，则点即为所求； 【解析】 【分析】（1）如图，取格点，连接交于即可； （2）如图，在（1）的作图情况下，记，的交点为，连接并延长交于，则点即为所求； 【小问1详解】 解：如图，取格点，连接交于，则即为所求； ； 理由：∵， 而由网格矩形的性质可得：， ∴平分． 【小问2详解】 解：如图，在（1）的作图情况下，记，的交点为，连接并延长交于，则点即为所求； 理由：由（1）得：，， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． 【点睛】本题考查的是复杂作图，勾股定理的应用，等腰三角形的性质，矩形的性质，三角形的高的含义，三角形的内角和定理的应用，熟练的作图是解本题的关键． 17. 如图①，在△ABC中，点D、E分别是AB、AC上的点，DE∥BC． （1）若AB＝6，AC＝5，AD＝4，求CE的长． （2）连接BE，作DF∥BE交AC于点F，如图②，求证：AE2＝AF•AC． 【答案】（1） （2）如图②． ∵DF∥BE，∴． ∵DE∥BC，∴，∴，∴AE2＝AF•AC． 【解析】 【分析】（1）如图①，根据平行线分线段成比例定理得到，则利用比例性质可计算出AE的长，然后计算AC﹣AE即可； （2）由DF∥BE得到，由DE∥BC得到，利用等量代换得，然后利用比例的性质可得到结论． 【详解】（1）如图①． ∵DE∥BC，∴，即，∴AE，∴CE＝AC﹣AE＝5； （2）略 【点睛】本题考查了平行线分线段成比例：三条平行线截两条直线，所得的对应线段成比例． 四、解答题（本大题共3小题，每小题8分，共24分） 18. 综合与实践 如图，在中，，过点C的直线，D为边上一点，过点D作，交直线于点E，垂足为点F，连接． （1）求证：四边形是平行四边形； （2）当D在AB中点时，四边形是什么特殊四边形？说明你的理由； （3）在（2）的条件下，当_____时，四边形是正方形． 【答案】（1） 证明：∵， ∴， 在中，，过点C的直线， ∴， ∴， ∴四边形是平行四边形． （2）四边形是菱形； 理由如下： ∵四边形是平行四边形， ∴， ∵，D在的中点， ∴， ∵， ∴四边形是平行四边形， ∵， ∴四边形是菱形； （3）45 【解析】 【分析】本题考查了平行四边形的判定与性质、菱形的判定与性质、正方形的判定、等腰三角形的判定与性质等知识点，灵活运用相关性质定理成为解题的关键． （1）由题意得出，结合即可证明四边形是平行四边形； （2）先证明四边形是平行四边形，结合即可得出四边形是菱形； （3）当时，求出，结合菱形的性质求出即可解答． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：当时，四边形是正方形；理由如下： ∵， ∴， ∵四边形是菱形， ∴， ∴， ∴， ∴四边形是正方形． 答案为：45． 19. 在2023年“十一”小长假期间，白鹿洞书院接待游客达7万人次，预计在2025年“十一”小长假期间，接待游客10.08万人次．在白鹿洞书院附近，一家特色小面店希望在“十一”小长假期间获得好的收益，经测算知，该小面成本价为每碗10元，借鉴以往经验，若每碗卖15元，平均每天将销售120碗，若价格每提高0.5元，则平均每天少销售4碗，每天店面所需其他各种费用为168元． （1）求出2023至2025年“十一”小长假期间游客人次的年平均增长率； （2）为了更好地维护白鹿洞书院形象，物价局规定每碗售价不得超过20元，则当每碗售价定为多少元时，店家才能实现每天净利润600元？（净利润＝总收入－总成本－其他各种费用） 【答案】（1） （2）18元 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． （1）设2023至2025年“十一”小长假期间游客人次的年平均增长率为x，利用2025年“十一”小长假期间游客人次2023年“十一”小长假期间游客人次（年平均增长率），即可得出关于x的一元二次方程，解之取其正值即可得出结论； （2）设每碗售价定为y元，则平均每天可销售碗，利用净利润总收入总成本其它各种费用，即可得出关于y的一元二次方程，解之取其符合题意的值即可得出结论． 【小问1详解】 解：设2023至2025年“十一”小长假期间游客人次的年平均增长率为x， 依题意得：， 解得：，（不符合题意，舍去）． 答：2023至2025年“十一”小长假期间游客人次的年平均增长率为． 【小问2详解】 解：∵每提高0.5元少卖4碗， ∴每提高1元少卖8碗， 设每碗售价定为y元，则平均每天可销售碗， 依题意得：， 整理得：， 解得：，（不符合题意，舍去）． 答：当每碗售价定为18元时，店家才能实现每天净利润600元． 20. 星港学校比邻园区海关大楼，星港学校九年级学生小星在学习过“相似”的内容后，也想要利用相似的知识得海关大楼的高度，如图1所示．小星选择把数学和物理知识相结合利用平面镜的镜面反射特点来构造相似，如图2所示． 【问题提出】 （1）问题一：现测量得到．海关大楼高高为 （用a，b，c表示） 【数学思维】但在进一步观察海关大楼周围的环境后，小星发现由于条件限制，海关大楼的底部不可到达，所以无法准确测量海关大楼底部到平面镜的距离，如图3，在老师帮助下小星进一步完善了自己的想法，得到了方案二：既然无法测量平面镜到海关大楼底部的距离，那就将这部分用其他长度来表示，即构造二次相似，将测量距离进行转化，如图4所示． （2）问题二：小星测量得到，请你求出海关大楼的高度． 【答案】（1）（2） 【解析】 【分析】本题主要考查相似三角形的判定和性质，解题的关键是理解题意，掌握相似三角形的性质定理． （1）根据条件证明，得出对应边成比例即可； （2）同（1）证明，得出对应边成比例，然后利用线段的和差进行表示，列出方程求解即可． 【详解】解：（1）根据光的反射可得，， ∵， ∴， ∴， 即， ∴； （2）同（1）得， ∴， 即， ∴， 借助（1）得， ∴， 解得． 五、解答题（本大题共2小题，每小题9分，共18分） 21. 如图，在平面直角坐标系内，已知点，点．动点从点开始，在线段上以每秒个单位长度的速度向点移动，同时动点从点开始，在线段上以每秒个单位长度的速度向点移动，设点移动的时间为． （1）求出的长度； （2）用含有的式子表示和； （3）当为何值时，与相似？ 【答案】（1） （2）， （3）或 【解析】 【分析】（）利用勾股定理即可求解； （）根据题意列出代数式即可； （）利用相似三角形的性质，分和两种情况解答即可求解； 本题考查了勾股定理，列代数式，相似三角形的性质，运用分类讨论思想解答是解题的关键． 【小问1详解】 解：∵点，点， ∴，， ∴； 【小问2详解】 解：由题意得，，； 【小问3详解】 解：∵，， ∴， ∵是公共角， ∴①当时，， ∴， 即， 解得； ②当时，， ∴， 即， 解得； 综上，当的值为或时，与相似． 22. 如图，，，E是上一点，使得； （1）求证：； （2）若，，求的长； （3）当时，请写出线段之间数量关系，并说明理由． 【答案】（1） 证明：，， ，， ，， ， ， ． （2） （3） 线段之间数量关系：， 理由是：如图，过作于， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 同理可得：， ， ． 【解析】 【分析】此题主要考查学生对相似或全等三角形判定与性质的理解和掌握，本题符合“一线三等角”模型． （1）先根据同角的余角相等可得，利用两角相等证明三角形相似即可； （2）先根据勾股定理得出，再根据，列比例式可得结论； （3）先根据，证明，可得，证明，则，同理可得：，相加可得结论． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：中， ，， ， ， ， 由（1）得：， ， ， ． 【小问3详解】 略 六、解答题（本大题共12分） 23. 定义：一组邻边相等且有一个内角为直角的凸四边形称为等直四边形．例如，如图 1，在四边形 中， ， ， 则四边形为等直四边形． 【特例感知】 （1）下列四边形一定是等直四边形的是 ； （填序号） ①平行四边形 ②矩形 ③菱形 ④正方形 （2） 如图2， 在等边中，点D为内部一点，且平分， 连接， 将线段绕点D 顺时针旋转得到线段，连接，．求证：四边形是等直四边形． 【深入探究】 （3）如图3， 在等直四边形中， ， ， 线段的垂直平分线分别交与的角平分线于E， F， 连接，． 求证： ． 【拓展应用】 （4）如图4，已知线段 射线 ， 射线平分， 点C， D分别在射线，上，若 且四边形是等直四边形，则的长为 ． （直接写出结果） 【答案】（1）④； （2）∵是等边三角形， ∴，， ∵平分， ∴， ∵将线段绕点D 顺时针旋转得到线段， ∴， ∴为等边三角形， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴四边形是等直四边形． （3）如图，连接， ∵线段的垂直平分线分别交与的角平分线于E， F， ∴，，， ∴， ∵，， ∴， ∴设，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． （4）或或或． 【解析】 【分析】（1）根据新定义逐一分析判断即可； （2）证明，，求解，证明为等边三角形，可得，，再证明，可得，可得，从而可得结论； （3）如图，连接，证明，，，可得，证明，设，，可得，证明，再进一步证明即可； （4）分四种情况讨论：①证明，而，当时，可得，此时满足条件； ②如图，当时，满足条件，③如图，当时，④如图，当时（与③中的位置不同），过作于，而，再进一步求解即可． 【详解】解：（1）根据新定义可得： 正方形一定是等直四边形． 故选：④ （2）略 （3）略 （4）①如图，，射线 ， 射线平分， 点C， D分别在射线，上， ，且四边形是等直四边形， ∴，而， 当时， ∴， ∴，此时满足条件； ②如图，当时，满足条件， 由①同理可得：， 过作于， ∴，设， ∴， ∴， 解得：或（不符合题意舍去）， 此时， ∴， ③如图，当时， ∴，， 由②同理可得：， ∴， ④如图，当时， 同理可得：，， 过作于，而， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 综上：的值为：或或或． 【点睛】本题考查的是新定义题，涉及全等三角形的判定与性质，特殊四边形的性质，勾股定理的应用，锐角三角函数的应用，熟练的画图，清晰的分类讨论是解本题的关键. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 江西省九江第一中学2025—2026学年度上学期 期中考试初三年级数学试卷 卷面满分：120分 答卷时间：120分钟 一、选择题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 1. 下列命题正确的是（ ） A. 一组对边平行，另一组对边相等的四边形是平行四边形 B. 有两个角是直角的四边形是矩形 C. 对角线互相垂直的四边形是菱形 D. 有一组邻边相等且有一个角是直角的平行四边形是正方形 2. 以下一元二次方程有两个相等实数根的是（ ） A. B. C. D. 3. 在第十九届亚运会中国国家象棋队选拔赛的第一阶段中，采用分组单循环（每两人之间都只进行一场比赛）制，每组x人．若每组共需进行15场比赛，则根据题意可列方程为（） A. B. C. D. 4. 如图，D是边上一点，添加一个条件后，仍不能使的是（ ） A. B. C. D. 5. 如图1，是古希腊时期的帕提侬神庙（），如图把虚线表示的矩形画出图2中的，以矩形的宽为边在其内部作正方形，我们惊奇的发现点是的黄金分割点，则（ ） A. B. C. D. 6. 如图，已知正方形的边长为4，是对角线上一点，于点，于点，连接，．给出下列结论：①；②四边形的周长为8；③一定是等腰三角形；④；⑤的最小值为；其中正确结论的序号为（ ） A. ①②④⑤ B. ②③④⑤ C. ①②⑤ D. ②④⑤ 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 7. 已知，则______． 8. 设，是的两个实数根，则的值是________． 9. 如图是一幅总面积为3m2的长方形世界杯宣传画，现将宣传画平铺在地上，向宣传画内随机投掷骰子（假设骰子落在宣传画内的每一点都是等可能的），经过大量重复投掷试验，发现骰子落在世界杯图案中的频率稳定在常数0.6附近，由此可估计宣传画上世界杯图案的面积约为_____m2． 10. 如图，点是矩形内任意一点．若，，则图中阴影部分的面积为________． 11. 如图是步枪在瞄准时的示意图，从眼睛到准星的距离OE为80cm，步枪上的准星宽度AB为0.2cm，目标的正面宽度CD为50cm，则眼睛到目标的距离OF为______m． 12. 如图，矩形中，，，E是上的点，将沿折痕折叠，使点D落在边上点F处，点P是线段延长线上的动点，连接，若是等腰三角形，则的长为____． 三、解答题（本大题共5小题，每小题6分，共30分） 13. 解下列方程： （1）； （2）． 14. 已知关于x的一元二次方程． （1）求证：无论m取何值时，方程都有两个不相等的实数根； （2）设该方程的两个实数根为a，b，若，求m的值． 15. 有3个完全相同的小球，把它们分别标上号码1，2，3，放在一个不透明的口袋中，随机摸出一个小球放回后再随机摸出另一个小球． （1）采用画树状图法（或列表法）列出两次摸球出现的所有可能的结果． （2）求摸出的两个小球的号码之和等于5的概率． 16. 如图是由边长为1的小正方形组成网格，小正方形的顶点为格点，图中的点A，B，C在格点上．请仅用无刻度直尺按要求完成以下作图（保留作图痕迹）． （1）如图1，作的平分线； （2）如图2，在上找一点E，使得． 17. 如图①，在△ABC中，点D、E分别是AB、AC上的点，DE∥BC． （1）若AB＝6，AC＝5，AD＝4，求CE的长． （2）连接BE，作DF∥BE交AC于点F，如图②，求证：AE2＝AF•AC． 四、解答题（本大题共3小题，每小题8分，共24分） 18. 综合与实践 如图，在中，，过点C的直线，D为边上一点，过点D作，交直线于点E，垂足为点F，连接． （1）求证：四边形是平行四边形； （2）当D在AB中点时，四边形是什么特殊四边形？说明你的理由； （3）在（2）的条件下，当_____时，四边形是正方形． 19. 在2023年“十一”小长假期间，白鹿洞书院接待游客达7万人次，预计在2025年“十一”小长假期间，接待游客10.08万人次．在白鹿洞书院附近，一家特色小面店希望在“十一”小长假期间获得好的收益，经测算知，该小面成本价为每碗10元，借鉴以往经验，若每碗卖15元，平均每天将销售120碗，若价格每提高0.5元，则平均每天少销售4碗，每天店面所需其他各种费用为168元． （1）求出2023至2025年“十一”小长假期间游客人次的年平均增长率； （2）为了更好地维护白鹿洞书院形象，物价局规定每碗售价不得超过20元，则当每碗售价定为多少元时，店家才能实现每天净利润600元？（净利润＝总收入－总成本－其他各种费用） 20. 星港学校比邻园区海关大楼，星港学校九年级学生小星在学习过“相似”的内容后，也想要利用相似的知识得海关大楼的高度，如图1所示．小星选择把数学和物理知识相结合利用平面镜的镜面反射特点来构造相似，如图2所示． 【问题提出】 （1）问题一：现测量得到．海关大楼高高为 （用a，b，c表示） 【数学思维】但在进一步观察海关大楼周围的环境后，小星发现由于条件限制，海关大楼的底部不可到达，所以无法准确测量海关大楼底部到平面镜的距离，如图3，在老师帮助下小星进一步完善了自己的想法，得到了方案二：既然无法测量平面镜到海关大楼底部的距离，那就将这部分用其他长度来表示，即构造二次相似，将测量距离进行转化，如图4所示． （2）问题二：小星测量得到，请你求出海关大楼的高度． 五、解答题（本大题共2小题，每小题9分，共18分） 21. 如图，在平面直角坐标系内，已知点，点．动点从点开始，在线段上以每秒个单位长度的速度向点移动，同时动点从点开始，在线段上以每秒个单位长度的速度向点移动，设点移动的时间为． （1）求出的长度； （2）用含有的式子表示和； （3）当为何值时，与相似？ 22. 如图，，，E是上一点，使得； （1）求证：； （2）若，，求的长； （3）当时，请写出线段之间数量关系，并说明理由． 六、解答题（本大题共12分） 23. 定义：一组邻边相等且有一个内角为直角的凸四边形称为等直四边形．例如，如图 1，在四边形 中， ， ， 则四边形为等直四边形． 【特例感知】 （1）下列四边形一定是等直四边形的是 ； （填序号） ①平行四边形 ②矩形 ③菱形 ④正方形 （2） 如图2， 在等边中，点D为内部一点，且平分， 连接， 将线段绕点D 顺时针旋转得到线段，连接，．求证：四边形是等直四边形． 【深入探究】 （3）如图3， 在等直四边形中， ， ， 线段的垂直平分线分别交与的角平分线于E， F， 连接，． 求证： ． 【拓展应用】 （4）如图4，已知线段 射线 ， 射线平分， 点C， D分别在射线，上，若 且四边形是等直四边形，则的长为 ． （直接写出结果） 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $