专题10 旋转相关动点问题分类训练（6种类型48道）-2025-2026学年人教版九年级数学上册期末复习高频考题专项训练

弈泓共享数学 专题10旋转相关动点问题分类训练 (6种类型48道) 目录 【题型1旋转相关动点定值问题】 【题型2旋转相关动点最值问题】 21 【题型3探究两条线段数量关系】 45 【题型4探究三条线段数量关系】 69 【题型5探究角的数量关系】 96 【题型6动点存在性问题】 116 【题型1旋转相关动点定值问题】 1.如图，点A(a,0),B(0,b),且a、b满足(a-1+2b-2=0. y个 y BR A衣O 图1 图2 图3 (1)如图1，求A0B的面积； (2)如图2，点C在线段AB上（不与A、B重合）移动，AB⊥BD,且∠C0D=45°，猜想线段 AC、BD、CD之间的数量关系并证明你的结论； (3)如图3，若P为x轴上异于原点O和点A的一个动点，连接PB,将线段PB绕点P顺时针旋转90°至 PE,直线AE交y轴于点Q，当P点在x轴正半轴上移动时，线段BE和线段BQ中哪一条线段长为定值， 并求出该定值. 【答案】)片 (2)CD=BD+AC,证明见解析 3)线段BQ是定值，2 【详解】(1)解：(1)：(a-1)2+2b-2=0, .a-1=0,2b-2=0, a=1,b=1, 精选考题才是刷题的捷径 弈泓共享数学 :A1,0)、B(0,1), .0A=1,0B=1, 4408的面积-x1x1-号 (2)CD=BD+AC,证明如下： 如图2，将△AOC绕点0逆时针旋转90°得到a0BF, ∠0AC=∠0BF=∠0BA=45°，∠DBA=90°， ∠DBF=I80°，即D,B,F共线， :∠D0C=45°，∠A0B=90°， .∠B0D+∠A0C=45°， .∠FOD=∠BOF+∠BOD=∠AOC+∠BOD=45°， 在△ODF与△ODC中， OF=OC ∠FOD=∠COD, OD=OD .△ODF≌aODC, :DC=DF, DF BD+BF :CD=BD+AC D BL 图2 (3)解：作EF⊥OA于F,在FE上截取FD=PF,如图，则：∠PDF=∠DPF=45°， 精选考题才是刷题的捷径 弈泓共享数学 E D F衣 图3 :旋转， ∠BPE=90°且PB=PE, ∠BPA=90°-LEPF=LPED,BE=V2BP, :P在x轴上移动， BP随着P点的移动而变化， ∴：BE也随着P点的移动而变化，不是定值， :∠BAO=∠PDF=45°， ÷∠PAB=∠PDE=135°， 在△PBA与△EPD中， ∠PAB=∠PDE ∠BPA=∠PED, PB=PE △PBA≌△EPD, :AP ED, :FD+ED PF AP,FE FA, ∴∠FEA=∠FAE=45°， ∴.∠OAO=∠EAF=∠OOA=45°， 0A=00=1, BQ=2. :线段BQ为定值2. 2.如图，在平面直角坐标系xOy中，直线AB与y轴交于点B(0,2),与x轴负半轴交于点A,与直线y=3x 交于点c 精选考题才是刷题的捷径 弈泓共享数学 OA 图1 备用图 (1)求m的值及直线AB的表达式： (2)点D为x轴正半轴上一动点，连接BD交直线OC于点M,在线段OB的中垂线上存在一点N,使得四边 形BMNC为平行四边形，求点D的坐标： (3)点P为坐标平面内一动点，连接PB,将点B绕点P顺时针旋转90°得到点B,点B恰好落在直线OC上， 连接PA,PB,请探究△PAB面积是否为定值？若是，请求出该定值；若不是，请说明理由 【答案】2m= 1 5’y=2x+2 0 3)aPAB的面积为定值1，理由见解析 【详解】(1)解：将点C 5m代入y=3x解得m=12 4 c 设直线AB的解析式为y=c+b, 将B(0,2, c412) 5'5 代入y=x+b, b=2 1 k= .4 、12,解得2， k+b=- 5 5 b=2 1 .y=。x+2: 2 (2)解：：N是线段OB的中垂线上一点， 二N点纵坐标为1， 设N(n,,M(m,3m, :四边形BMNC为平行四边形， 4 5+m=m,3m+ 精选考题才是刷题的捷径 弈泓共享数学 :=1,m=5} 1 M传9引： .直线BM的解析式为y=-7x+2, o号0 (3)解：△PAB的面积为定值1，理由如下： 设Ba,3a),P(x,y), 过点P作GH⊥y轴交于G点，过点B作B'H⊥GH交于H点， B ⊙ E 由旋转可知，PB=PB, ∠BPB'=90°， .∠BPG+∠B'PH=90°， ∠BPG+∠PBG=90°， ∠B'PH=∠PBG, :△BPG≌△PB'H(AAS, .GP=B'H,BG=B'H, x=3a-y,y-2=x-a, .x=2a-1,y=a+1, ∴.P(2a-1,a+l, P点在直线y=x+?上， 2 2 设直线y+与轴交于F点，则F-30, 2 AF=1, 精选考题才是刷题的捷径 弈泓共享数学 过点F作FE⊥AB交E点， :直线y=)x+与直线AB平行， 2 2 .AE =2EF, ·EFsS aPHB的面积-)XAB×5_1x =x25x5-l, 2 52 .△PAB的面积为定值1. 3.综合与探究 如图1，在平行四边形ABCD中，∠ABC=a,P是边BC上的一动点，连接PA,将PA绕点P顺时针旋转a ,得到PQ,连接AQ. D M P C M 图1 图2 1 (0求证：∠PA0=∠BCD. ②若四边形ABCD为菱形，延长BC至点M,使得MC=BP,连接OM.求证：∠APQ=∠PMQ. DM 2如图2，若四边形ABCD为正方形，MP=BP,连接DM,D0,则D0的值是否是该定值？若是，请直 接写出该定值；若不是，请说明理由 【答案】(1①见解析；②见解析 a觉能是定位5， 【详解】(1)解：①，在平行四边形ABCD中，∠ABC=a, .∠BCD=∠BAC=180°-a, ,∠BCD=90°-1a , :将PA绕点P顺时针旋转a,得到P9,连接AQ, ∴.AP=AQ,∠APQ=a, :∠PA0=∠Pg4=180°-a=90°-_g 2 精选考题才是刷题的捷径 6 弈泓共享数学 ∴∠PAQ=三∠BCD: 2 ②：MC=BP, ∴MC+PC=BP+PC,即MP=BC, :四边形ABCD为菱形， AB=BC, ∴AB=MP, :∠APM是△ABP的外角，∠B=u,∠APQ=a, ∠APM=∠B+∠BAP=∠APQ+∠QPM,即a+∠BAP=a+∠QPM, ∴∠BAP=∠QPM, 在△BAP和△QPM中 AB=PM ∠BAP=∠QPM, AP=PO △BAP≌△QPM(SAS, ∴.∠PMQ=∠B=, :∠APQ=0, .∠APQ=∠PMQ. (2)解：DM DO 的值是定值√2 如图，延长QP至N,使PN=PQ,连接NA、NB, E ◇ 3B 2P C M 在△PBN与△PMQ中， PB=PM ∠1=∠2， PN=PO 精选考题才是刷题的捷径 > 弈泓共享数学 △PBN≌△PMO(SAS, :BN =MO,PN=PO a=90°， AP是线段NQ的线段垂直平分线， .AN =AO, PA=P9,a=90°， ∴.△APQ是等腰直角三角形， ∠PAN=∠PA0=45°， :∠BAD=∠NAQ=90°， .∠DAQ+∠BAQ=90°，∠BAN+∠BAQ=90°， .∠BAN=∠DAQ; :四边形ABCD是正方形， :AB=AD, 在AABN与△ADQ中， AB=AD ∠BAN=∠DAQ, AN=AO △ABN≌△ADQ(SAS), .BN DO, BN=MO .DO=MO; 如图：延长PB交AN于E,则∠ABE=90°， ∴.∠3=∠ABN-90°=∠AD0-90°=∠CDQ, .∠CMQ+∠CDQ=∠PBN+∠3=180°， :四边形CDOM内角和为360°，∠DCM=90°，∴∠DQM=90°， 在Rt△DQM中，DM2=DQ2+MQ2=2DQ, :DM=Dg,即D%=5 DO 【点晴】本题主要考查了平行四边形的判的性质，菱形的性质、正方形的性质、全等三角形的判定与性质、 精选考题才是刷题的捷径 弈泓共享数学 三角形外角的性质知识点，正确添加辅助线是解题的关键 4.如图，点Aa,0),B(0,b),且a,b满足a2+9+2b-6=6a. VA B A 图1 图2 备用图 备用图 (1)如图1，求a,b的值： (2)如图2，点C在线段AB上（不与A、B重合）移动，AB⊥BD,且LCOD=45°，猜想线段AC、BD CD之间的数量关系，并证明你的结论； (3)若点P为x轴正半轴上异于原点O、点A的一个动点，连接PB,作PE⊥PB于点P,点E在第一象限， 且PE=PB,直线AE交y轴于点Q,当点P在x轴正半轴上移动时，线段BE和线段BQ中哪一条线段长为 定值，并求出该定值。 【答案】(1)a=3,b=3: (2)CD=BD+AC,证明见解析； (3)BQ是定值，该定值是6. 【分析】本题考查了坐标与图形综合，全等三角形的判定与性质，等腰直角三角形的判定与性质，旋转的 性质，熟练掌握知识点的应用是解题的关键， (1)将原式化成(a-3)2+2b-6=0,则a-3=0,2b-6=0,求出a,b的值即可： (2)过0作0F⊥0C,交DB延长线于点F,连接0F,证明△FOB≌aCOA(ASA),得0F=OC,然后 再证明aODF≌aODC(SAS),得DF=CD,进而可以解决问题； (3)根据题意画出图形，分当点P在点A左侧和右侧两种情况讨论即可. 【详解】(1)解：：a2+9+2b-6=6a, .a2-6a+9+2b-6=0, (a-3)2+|2b-6=0, .a-3=0,2b-6=0, a=3,b=3; 精选考题才是刷题的捷径 弈泓共享数学 (2)解：CD=BD+AC,理由如下： 如图2，过O作0F⊥0C,交DB延长线于点F,连接0F, D 图2 ∠F0C=∠B0A=90°， ∴∠F0B+∠B0C=∠C0A+∠B0C=90°， .∠F0B=LCOA, :点Aa,0),B(0,b),a=3,b=3, 点A3,0,B0,3, 0A=0B=3, .∠0AC=∠0BF=∠0BA=45°， ∴△FOB≌△COA(ASA), ∴OF=OC,AC=BF, :0F⊥0C,∠C0D=45°， ∠F0D=90°-45°=45°=∠C0D, 在△ODF与△ODC中， OF=OC ∠FOD=∠COD, OD=OD .aODF≌aODC(SAS), ∴.DF=CD, DF BD+BF, .CD=BD+AC; (3)解：BQ是定值， 如图3，当点P在点A右侧时，作EF⊥OA于F,在FE上截取PF=FD, 精选考题才是刷题的捷径 10弈泓共享数学 专题10旋转相关动点问题分类训练 (6种类型48道) 目录 【题型1旋转相关动点定值问题】 【题型2旋转相关动点最值问题】 21 【题型3探究两条线段数量关系】 45 【题型4探究三条线段数量关系】 69 【题型5探究角的数量关系】 96 【题型6动点存在性问题】 116 【题型1旋转相关动点定值问题】 1.如图，点A(a,0),B(0,b),且a、b满足(a-1)+2b-2=0. y个 y B BR AO 图1 图2 图3 (1)如图1，求A0B的面积； (2)如图2，点C在线段AB上（不与A、B重合）移动，AB⊥BD,且∠C0D=45°，猜想线段 AC、BD、CD之间的数量关系并证明你的结论； (3)如图3，若P为x轴上异于原点O和点A的一个动点，连接PB,将线段PB绕点P顺时针旋转90°至 PE,直线AE交y轴于点Q，当P点在x轴正半轴上移动时，线段BE和线段BQ中哪一条线段长为定值， 并求出该定值， 2.如图，在平面直角坐标系xOy中，直线AB与y轴交于点B(0,2),与x轴负半轴交于点A,与直线y=3x 交于点C4m 5.m 精选考题才是刷题的捷径 弈泓共享数学 OA O 图1 备用图 (1)求m的值及直线AB的表达式： (2)点D为x轴正半轴上一动点，连接BD交直线0C于点M,在线段OB的中垂线上存在一点N,使得四边 形BMNC为平行四边形，求点D的坐标； (3)点P为坐标平面内一动点，连接PB,将点B绕点P顺时针旋转90°得到点B,点B恰好落在直线OC上， 连接PA,PB,请探究△PAB面积是否为定值？若是，请求出该定值；若不是，请说明理由. 3.综合与探究 如图1，在平行四边形ABCD中，∠ABC=a,P是边BC上的一动点，连接PA,将PA绕点P顺时针旋转a ,得到PQ,连接AQ. D P M P C 图1 图2 1 (1)①求证：∠PAQ= ∠BCD. ②若四边形ABCD为菱形，延长BC至点M,使得MC=BP,连接QM.求证：∠APQ=∠PMQ. 2如图2，若四边形4BCD为正方形，MP=BP,连接DM,D0,则%的值是否是该定值？若是，请直 DO 接写出该定值；若不是，请说明理由. 4.如图，点Aa,0),B(0,b),且a,b满足a2+9+2b-6=6a. 精选考题才是刷题的捷径 弈泓共享数学 B B A O A 图1 图2 备用图 备用图 (1)如图1，求a,b的值： (2)如图2，点C在线段AB上（不与A、B重合）移动，AB⊥BD,且LC0D=45°，猜想线段AC、BD、 CD之间的数量关系，并证明你的结论： (3)若点P为x轴正半轴上异于原点O、点A的一个动点，连接PB,作PE⊥PB于点P,点E在第一象限， 且PE=PB,直线AE交y轴于点Q,当点P在x轴正半轴上移动时，线段BE和线段BQ中哪一条线段长为 定值，并求出该定值， 5.如图，在正方形ABCD中，E是边BC上的一动点（不与点B,C重合）.将线段AE绕点A顺时针旋转 90°得线段AF,延长FB,DE交于点G. B D A (1)求证：BG1EG; (2)连接AG,试探究： EG+FG是否为定值？若是，请求出定值，若不是，说明理由。 AG 6.如图，四边形ABCD是正方形，AB=a,点P是BC上一动点（不与点B,C重合），将PA绕点P按顺 时针方向旋转90°，得到PE. D E 【初步感知】 (1)在点P的运动过程中，试探究∠PAB与∠CPE的数量关系. 【深入研究】 精选考题才是刷题的捷径 弈泓共享数学 (2)连接CE,在点P的运动过程中，试探究CE的值。 BP 【拓展延伸】 (3)AE与CD相交于点F,在点P的运动过程中，试探究△PCF的周长是否为定值，若是，求出△PCF的 周长；若不是，请说明理由、 7.已知正方形ABCD中，AB=4,点F是边CD上一动点（不与点C,D重合），连接AF并延长交BC的 延长线于点G,点E是AF的中点 D 图1 图2 图3 (1)如图1，当点F为CD中点时，求证：AFD≌GFC· (2)如图2，连接BE,当BE=AB时，求DF的长. (3)如图3，连接AC,ED,将ED绕点E逆时针旋转，使点D的对应点D落在AC(不与点A重合)上， 连接FD'.问∠FD'C的度数是否为定值，如果是，求出这个定值；如果不是，请说明理由. 8.如图①，在△ABC中，∠ACB=90°，∠ABC=30°，AC=1,D为△ABC内部的一动点（不在边上），连 接BD,将线段BD绕点D逆时针旋转6O°，使点B到达点F的位置；将线段AB绕点B顺时针旋转6O°，使 点A到达点E的位置，连接AD,CD,AE,AF,BF,EF D D D ① ② (1)求证：△BDA≌△BFE; (2)当CD+DF+FE取得最小值时，求证：AD∥BF. (3)如图②，M,N,P分别是DF,AF,AE的中点，连接MP,NP,在点D运动的过程中，请判断∠MPN 的大小是否为定值，若是，求出其度数；若不是，请说明理由 【题型2旋转相关动点最值问题】 9.问题情境：在学习《图形的平移和旋转》时，数学兴趣小组遇到这样一个问题：如图(1)，点D为等边 精选考题才是刷题的捷径 弈泓共享数学 ABC的边BC上一点，将线段AD绕点A逆时针旋转60°得到线段AE,连接CE. B D 图(1) 图(2) 图(3) 【猜想证明】 (1)试猜想BD与CE的数量关系，并加以证明： 【探究应用】 (2)如图(2)，点D为等边ABC内一点，将线段AD绕点A逆时针旋转60°得到线段AE,连接CE,若 B、D、E三点共线，求证：EB平分∠AEC; 【拓展提升】 (3)如图(3)，若ABC是边长为2的等边三角形，点D是线段BC上的动点，将线段AD绕点D顺时针 旋转60°得到线段DE,连接CE.当点D运动到什么位置时，△DEC的周长最小，并求最小值， 10.在ABC中，∠ACB=90°，∠ABC=30°，AC=4,将ABC绕顶点C顺时针旋转，旋转角为 0(0°<0<360)，得到△A'B'C. 图1 图2 图3 (1)如图1，若旋转角0=25°，求∠ABB的度数； (2)如图2，当AB∥CB'时，设A'B与CB相交于点D,AB与AB交于点Q,连接CQ,求△QCD的面积： (3)如图3，设AC中点为E,线段AB上有一动点P,连接EP,在旋转过程中，线段EP的长度是否存在最 大值和最小值？如果存在，请求出这个最大值与最小值 11.如图，等边ABC的边长为4，P是边BC上的一动点，将△ABP绕点A按逆时针方向旋转60°，得到 △ACQ,D是边AC的中点，连接DQ. 精选考题才是刷题的捷径 弈泓共享数学 (1)求∠BCQ的度数， (2)点P在边BC上运动的过程中，求DQ的最小值. 12.如图，∠MAN=60°，点B是射线AM上的定点，AB=2,点C是射线AN上的动点，将线段CB绕点 C逆时针旋转120°，得到线段CD,连接AD、BD. N B M (备用图) (1)当BC⊥AN时，求线段BD和AD的长： (2)当BC1AM时，线段AD的长为 (3)AD+BD的最小值是 13.在△ABC中，点D是线段AB上一动点，连接CD.将线段CD绕点C逆时针旋转至CE,记旋转角为 ,连接AE,取AE的中点为点G,连接CG. 【问题探究】 (1)如图1，己知△ABC是等腰直角三角形，AC=BC,∠ACB=90°，《=90°，延长AC至点F,使 CF=AC,连接EF.请直接写出EF与BD的数量关系，CG与BD的数量关系-： 【类比迁移】 (2)如图2，已知△ABC是等腰三角形，AC=BC,∠ACB=120°，M=60°.探究线段CG与BD的数量关 系，并证明你的结论； 【变式拓广】 (3)如图3，已知在△ABC中，BC=13,AC=7,∠ABC=30°，∠ACB=180°-a·延长AC至F,使 CF=BC=I3,连接EF.在点D的运动过程中，求线段CG长度的最小值. 精选考题才是刷题的捷径 6 弈泓共享数学 图1 图2 图3 14.如图，己知ABC中，AB=AC,∠BAC=90°，点D是ABC所在平面内一点，连接AD. B 图1 图2 图3 (1)如图1，点D在BC上，DE⊥AB于点E,AD=√5，且AE=2DE,求△ACD的面积； (2)如图2，点D为ABC内部一动点，将线段BD绕点B逆时针旋转90°得到线段BF,连接CF,点G是线 段CD的中点，连接AG,猜想线段AG,CF之间的关系，并证明你的猜想： (3)如图3，点C关于直线AB的对称点为点H,连接AH,BH,点D为△ABH内部一动点，连接DH,若 ∠BDC=90°，且BC=6,请求出线段DH的最小值 15.ABC是等腰直角三角形，∠CAB=90°，在ABC外有一点D,连接AD、CD. 图1 图2 图3 (1)如图1，AD与BC相交于点P,AB=2,∠CPA=90°，∠D=60°，求AD的长度. (2)如图2，将线段AD绕点A逆时针旋转90°得线段AE,且点E恰好在DC的延长线上，过点A作 AF⊥ED交ED于点F、交BE于点G,连接BD,求证：DE=BD+2AG. (3)如图3，在(2)的条件下，∠EBA=15°，BE=2,点H是直线AB上的一动点，连接GH,将GH绕点 G顺时针旋转30°到，连接EM,点N是△EGM内部的一动点，请直接写出NE+NG+NM的最小值， 精选考题才是刷题的捷径 7 弈泓共享数学 16.在平面直角坐标系中，一次函数y=kx+b(k≠0过点A(0,m,点Bn,0),且m,n满足 (m-n-1)+2m+n-5=0 P B 图1 图2 (1)求直线AB的解析式： (2)如图1，过点C(0,5)的直线与直线AB交于点E(a,4),若在直线CD上存在一点F,使得△BEF的面积是 AOB的面积的6倍，求点F的坐标； (3)如图2，若P是一次函数y=kx+b(k≠0)图象第二象限的一个动点，点M-2,0),连接PM,PM绕点M 顺时针旋转90°得到MN,连接ON,求ON的最小值 【题型3探究两条线段数量关系】 17.如图，在ABC中，点M,N分别为AB,AC上的动点（不含端点），且AN=BM. y D B 图1 图2 (1)如图1，当ABC为等边三角形时，将MA绕点M逆时针旋转120°得到MD,连接BD,则MN与DB的 数量关系为 (2)如图2，在ABC中，AB=AC,∠BAC=90°，AE⊥MN于点E,交BC于点F,将MA绕点M逆时针 旋转90°得到MD,连接DA,DB ①试猜想四边形AFBD的形状，并证明； ②若AB=4,请直接写出MN的最小值. 18.如图，四边形ABCD为菱形，AB=6,∠DAB=60°，点E为对角线AC上一个动点，连接EB,将射 精选考题才是刷题的捷径 弈泓共享数学 线EB绕点E顺时针旋转120°得到射线EF,射线EF交直线AD于点F. 【尝试解决】 (1)当E运动到AC中点时，求线段EF的长； 【深入探究】 (2)小明发现随着点E运动，线段BE、EF的长也在变化，但始终有BE=EF,请判断他的说法是否准确， 并说明理由； 【拓展提升】 (3)探究DF与CE的数量关系. D D B B 备用图1 备用图2 19.在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠ABC=a(45°<a<60),点D是边AC上一点，点E是BC上一动点， 将线段DE绕点D顺时针旋转2a得到DF,点F落在边AB上，过E作EG∥AC交AB于G. F(G G⊙ 图1 图2 (1)如图1，当G与F重合时，求证：AF=二BG; (2)如图2，当G与F不重合时，用等式表示AF与BG的数量关系，并证明. 20.在ABC中，∠BAC=90°，AB=AC,D是AB上一动点(D不与A、B两点重合)，连接CD. D》 图1 图2 图3 精选考题才是刷题的捷径 9 弈泓共享数学 (1)如图1，当CD平分∠ACB时，若AD=1,求BD的长： (2)如图2，将CD绕点D顺时针旋转90°，得到DE,连接BE,取BE中点F,连DF ①猜想AD与DF的数量关系，并证明你的猜想： 如图3，点H在边BC上，且CH=4BH,连接HF,当P取最小值时，直接写出的 21.在ABC中，∠ACB=90°，AC=BC.D是边AB上的动点（不与点A,B重合），连接CD,在CD上 任取一点E,将线段CE绕点E顺时针旋转90°得到线段EF.延长FE交AC于点G, G D D H 图1 图2 (1)如图1，当点F在边AB上时，求证：∠CGF=∠BCD; (2)如图2，当点F在ABC内时，作点C关于直线AB的对称点H,连接FH·取FH的中点M,连接 BE,BM,BH.用等式表示线段BE与BM的数量关系，并证明， 22.在ABC中，∠ACB=90°，∠A=30°，点P是边AB上一个动点，点D是边AC上一个动点，点D关 于CP的对称点为点H. 图1 图2 备用图 (1)如图1，当点H与点B重合时，连接DP. ①直接写出DP与PB的数量关系； ②求证：AD=PB; (2)如图2，当点P是AB中点时，把线段DB绕着B点逆时针旋转60°得到线段BK,连接KH,求证： CP=KH (3)在(2)的条件下，当BC=2,AAKH是直角三角形时，直接写出AH长， 精选考题才是刷题的捷径 10