专题03 旋转（期末真题汇编，北京专用）九年级数学上学期人教版

专题03 旋转 3大高频考点概览 考点01 旋转定义与性质 考点02 中心对称 考点03 旋转与几何综合 地 城 考点01 旋转定义与性质 一、单选题 1．(24-25九上·北京朝阳区·期末)如图，在正方形网格中的这两个格点三角形的旋转中心是（    ） A．点A B．点B C．点C D．点D 2．(24-25九上·北京大兴区·期末)如图，在中，，在同一平面内，将绕点A逆时针旋转得到，且，则的度数为（      ） A． B． C． D． 3．(24-25九上·北京海淀区·期末)风能是一种清洁无公害的可再生能源．图1是风力发电机，它一般由风轮、发电机、调向器、塔架和储能装置等构件组成．图2为风轮叶片示意图，在转动的过程中，某一叶片绕点顺时针旋转后到达处，则下列选项错误的是（   ） A． B． C． D． 二、填空题 4．(24-25九上·北京西城区·期末)如图，在平面直角坐标系中，点，，，将绕点顺时针旋转得到，若点的对应点恰好在轴上，则点的坐标是 ，点的对应点的坐标是 ． 5．(24-25九上·北京丰台区·期末)在平面直角坐标系中，若点绕原点O顺时针旋转得到点．则点A运动到的轨迹的长度为 ． 6．(24-25九上·北京东城区·期末)如图，在中，，将绕点A逆时针旋转，得到，．若点B，C，D恰好在同一条直线上，则 ． 7．(24-25九上·北京西城区·期末)如图， 将绕点A 顺时针旋转得到， 点B 的对应点 D恰好落在边上， 则 ． 三、解答题 8．(24-25九上·北京海淀区·期末)如图，在的正方形网格中，每个小正方形网格的边长为1，图中“L”形的每个顶点均为网格线交点，将“L”形绕点顺时针旋转，顶点，的对应点分别为，，线段的对应线段为． (1)在图中标出点，并画出“L”形旋转后所得到的图形； (2)______； (3)在旋转过程中，点所经过的路径长为______． 9．(24-25九上·北京东城区·期末)如图，在平面直角坐标系中，点A，B，C的坐标分别为，，，将绕点P逆时针方向旋转得到，点A的对应点的坐标为，点B的对应点的坐标为．    (1)点P的坐标是 ；（填写正确的选项） A．                B．                    C． (2)画出旋转后的，并写出的坐标是 ； (3)线段的延长线与线段交于点M，直接写出的度数. 10．(24-25九上·北京十一晋元中学·期末)如图，为直角三角形，，是边上的中点，将绕着点逆时针旋转，使点落在线段上的点处，点的对应点为，求证：． 11．(24-25九上·北京西城区·期末)如图，等边在边延长线上取点D，连接，将线段绕点D顺时针旋转得到线段，连接． (1)求的度数； (2)若，，求的长． 12．(24-25九上·北京西城区·期末)如图，中，，，点是边上一点，连接，将绕点旋转得到，点，，在同一条直线上，延长交于点． (1)求的度数； (2)若，求证：． 地 城 考点02 中心对称 一、单选题 1．(24-25九上·北京丰台区·期末)在平面直角坐标系中，如果点与点B关于原点对称，那么点B的坐标是（   ） A． B． C． D． 2．(24-25九上·北京大兴区·期末)下列图形中，既是中心对称图形又是轴对称图形的是（ ） A．扇形 B．抛物线 C．圆 D．直角三角形 3．(24-25九上·北京十一晋元中学·期末)下列图形中，是中心对称图形但不是轴对称图形的是（   ） A． B． C． D． 4．(24-25九上·北京海淀区·期末)北京大运河博物馆在2024年举办了“探秘古蜀文明——三星堆与金沙”展览，为公众揭开了一个丰富多彩的古蜀世界，其中三星堆纹饰展现了古蜀文明高超的艺术创造力．下列纹饰图案中，是中心对称图形的是（   ） A． B． C． D． 5．(24-25九上·北京西城区·期末)下列巴黎奥运会项目标志中，既是中心对称图形又是轴对称图形的是（   ） A． B． C． D． 6．(24-25九上·北京丰台区·期末)下列图形中，既是中心对称图形又是轴对称图形的是（   ） A． B． C． D． 7．下列四个图形中，不是轴对称图形，是中心对称图形的是 （    ） A． B． C． D． 8．(24-25九上·北京东城区·期末)第33届夏季奥运会于2024年7月26日至8月11日在法国巴黎举行，奥运会图标在视觉设计上主要融入三个方面的内容——对称设计、项目场地的抽象表达以及项目的代表性元素，下列四个图标中是中心对称图形的是（   ） A．击剑 B．田径 C．马术 D．赛艇 二、填空题 9．(24-25九上·北京东城区·期末)在平面直角坐标系中，点关于原点对称的点的坐标是 ． 10．(24-25九上·北京西城区·期末)在平面直角坐标系中，点关于原点的对称点是 ． 地 城 考点03 旋转与几何综合 一、解答题 1．(24-25九上·北京大兴区·期末)在中，，，将边绕点B逆时针旋转，得到线段，连接，过点B作的垂线交于点E，交延长线于点M，连接． (1)求的度数； (2)用等式表示线段之间的数量关系，并证明． 2．(24-25九上·北京丰台区·期末)P是正方形边上一点，连接，．将线段绕点P顺时针旋转得到线段，将线段绕点P逆时针旋转得到线段，连接，． (1)如图1，当点P为中点时，直接写出线段与线段的数量关系； (2)如图2，当点P为线段上任意一点时，依题意补全图形，用等式表示线段与的数量关系，并证明． 3．(24-25九上·北京西城区·期末)等边中，点是边上的一个动点（点不与点，重合），作射线交射线于点，且，将线段绕点逆时针旋转得到线段，作于点，分别交，于点，，连接． (1)如图，若， ①依题意补全图形； ②用等式表示线段，，之间的数量关系，并证明； (2)若等边的边长为，直接写出线段长的最小值． 4．(24-25九上·北京朝阳区·期末)在正方形中，E为射线上一点不与点A，B重合，将线段绕点E顺时针旋转得到线段，连接，作交射线于点． (1)如图1，当点E在线段上时， ①依题意补全图形，并证明； ②用等式表示线段和之间的数量关系，并证明； (2)已知，能否是等腰三角形？若能，直接写出使是等腰三角形的的长度；若不能，说明理由． 5．(24-25九上·北京西城区·期末)如图，在中，，，为的中点，是线段上的动点（不与点，重合）．连接，将线段绕点逆时针旋转得到线段，连接交于点，过点作的平行线交的延长线于点． (1)求证： (2)若为线段的中点，连接，用等式表示线段与之间的数量关系并证明． 6．(24-25九上·北京海淀区·期末)在中，于点，．将线段绕点逆时针旋转得到线段，连接． (1)如图1，当时，补全图形，并求的长； (2)如图2，取的中点，连接，用等式表示线段与的数量关系，并证明． 7．(24-25九上·北京东城区·期末)如图，在等边中，D为上一点，连接，E为线段上一点（），将线段绕点C顺时针旋转得到线段，连接． (1)求证：； (2)点G为延长线上一点，连接交于点M．若M为的中点，用等式表示线段之间的数量关系，并证明. 试卷第1页，共3页 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题03 旋转 3大高频考点概览 考点01 旋转定义与性质 考点02 中心对称 考点03 旋转与几何综合 地 城 考点01 旋转定义与性质 一、单选题 1．(24-25九上·北京朝阳区·期末)如图，在正方形网格中的这两个格点三角形的旋转中心是（    ） A．点A B．点B C．点C D．点D 【答案】C 【分析】此题重点考查旋转的性质、勾股定理等知识，观察图形并且找出到两个格点三角形的每一组对应顶点的距离都相等的点是解题的关键．观察图形可知，点C到两个格点三角形的每一组对应顶点的距离都相等，再根据勾股定理进行验证即可． 【详解】解：如图，两个格点三角形分别为和，连接， 设正方形网格中的每个小正方形的边长均为1， 由勾股定理得，， 和的每一组对应顶点到点C的距离都相等， 两个格点和的旋转中心是点C， 故选：C. 2．(24-25九上·北京大兴区·期末)如图，在中，，在同一平面内，将绕点A逆时针旋转得到，且，则的度数为（      ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了旋转的性质，平行线的性质，掌握旋转的性质是解题的关键． 由旋转的性质可得，，可得，即可求解． 【详解】解：∵， ， 将绕点逆时针旋转得到， ，， ， ， 故选：． 3．(24-25九上·北京海淀区·期末)风能是一种清洁无公害的可再生能源．图1是风力发电机，它一般由风轮、发电机、调向器、塔架和储能装置等构件组成．图2为风轮叶片示意图，在转动的过程中，某一叶片绕点顺时针旋转后到达处，则下列选项错误的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查旋转的性质，根据旋转的性质解答即可得出结论． 【详解】解：由旋转的性质可得：，，， 而得不到， 故选：D． 二、填空题 4．(24-25九上·北京西城区·期末)如图，在平面直角坐标系中，点，，，将绕点顺时针旋转得到，若点的对应点恰好在轴上，则点的坐标是 ，点的对应点的坐标是 ． 【答案】 【分析】本题考查了直角坐标系中点的坐标，30度直角三角形的性质，旋转的性质，先由30度直角三角形的性质得，，再由旋转的性质得，进而得，，，，再由30度直角三角形的性质得，，继而可得答案． 【详解】解：∵点，，， ∴，，， 如图，点的对应点恰好在轴上，过点D作轴于点M， 由旋转的性质得， ∴，，，， ∴，， ∴，， ∴，， 故答案为：，． 5．(24-25九上·北京丰台区·期末)在平面直角坐标系中，若点绕原点O顺时针旋转得到点．则点A运动到的轨迹的长度为 ． 【答案】/ 【分析】本题考查了坐标与图形，旋转的性质，弧长公式等着知识，先根据点A的坐标求出的长度，然后根据旋转的性质和弧长公式求解即可． 【详解】解：∵， ∴， ∵点绕原点O顺时针旋转得到点， ∴点A运动到的轨迹的长度为， 故答案为：． 6．(24-25九上·北京东城区·期末)如图，在中，，将绕点A逆时针旋转，得到，．若点B，C，D恰好在同一条直线上，则 ． 【答案】 【分析】本题考查旋转性质、三角形的内角和定理、等腰三角形的性质，先根据旋转性质得到，，，再利用三角形的内角和定理，结合等边对等角求得即可． 【详解】解：由旋转性质得，，， ∴， ∴， 故答案为：． 7．(24-25九上·北京西城区·期末)如图， 将绕点A 顺时针旋转得到， 点B 的对应点 D恰好落在边上， 则 ． 【答案】/69度 【分析】本题考查了旋转的性质，等腰三角形的性质，三角形内角和定理，掌握旋转的性质是解题的关键； 根据旋转的性质得，，然后根据等腰三角形的性质得，即可求出答案． 【详解】解：将绕点A 顺时针旋转得到， ，，， ， ． 故答案为：． 三、解答题 8．(24-25九上·北京海淀区·期末)如图，在的正方形网格中，每个小正方形网格的边长为1，图中“L”形的每个顶点均为网格线交点，将“L”形绕点顺时针旋转，顶点，的对应点分别为，，线段的对应线段为． (1)在图中标出点，并画出“L”形旋转后所得到的图形； (2)______； (3)在旋转过程中，点所经过的路径长为______． 【答案】(1)见解析 (2)90 (3) 【分析】本题考查了作图旋转变换，求弧长． （1）线段和的中垂线的交点即为点O，再确定点的位置，最后连线即可得“L”形旋转后所得到的图形； （2）由（1）中的图示可得； （3）点所经过的路径长是以为半径，圆心角为90度的弧长，根据弧长公式计算即可． 【详解】（1）解：如图，线段和的中垂线的交点即为点O， “L”形旋转后所得到的图形如图所示； （2）解：由（1）中的图示可得， 故答案为：90； （3）解：点所经过的路径长是以为半径，圆心角为90度的弧长， 由题意得， ∴点所经过的路径长， 故答案为：． 9．(24-25九上·北京东城区·期末)如图，在平面直角坐标系中，点A，B，C的坐标分别为，，，将绕点P逆时针方向旋转得到，点A的对应点的坐标为，点B的对应点的坐标为．    (1)点P的坐标是 ；（填写正确的选项） A．                B．                    C． (2)画出旋转后的，并写出的坐标是 ； (3)线段的延长线与线段交于点M，直接写出的度数. 【答案】(1)A (2)图见解析， (3) 【分析】此题考查了坐标与图形-旋转变换，旋转的性质，寻找旋转中心，全等三角形的判定与性质，解题的关键是理解题意，画出图形，结合有关性质正确求解． （1）线段，的垂直平分线的交点P即为所求； （2）根据要求作出图形，根据图形可得坐标； （3）根据旋转的性质，即可解决问题． 【详解】（1）解：如图，旋转中心P的坐标为， 故选：A． （2）解：如图，即为所求作，点坐标为， 故答案为：； （3）解：由旋转的性质可得，，， ∴ ∴，又， ∴， 则．    10．(24-25九上·北京十一晋元中学·期末)如图，为直角三角形，，是边上的中点，将绕着点逆时针旋转，使点落在线段上的点处，点的对应点为，求证：． 【答案】证明见解析 【分析】根据旋转的性质得出，，再结合直角三角形斜边上的中线的性质即可推出结论． 【详解】证明：∵将绕着点逆时针旋转，使点落在线段上的点处，点的对应点为， ∴，， ∴， 在中，是边上的中点， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． 【点睛】本题考查旋转的性质，等边对等角，直角三角形斜边上的中线的性质，平行线的判定，解题的关键是掌握旋转的性质、直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半． 11．(24-25九上·北京西城区·期末)如图，等边在边延长线上取点D，连接，将线段绕点D顺时针旋转得到线段，连接． (1)求的度数； (2)若，，求的长． 【答案】(1) (2) 【分析】本题属于几何变换综合题，考查了等边三角形的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理及直角三角形的性质等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形解决问题，属于中考压轴题． （1）由旋转的性质可得，再由等边三角形的性质可得再证明再由全等三角形的性质求解即可； （2）过点E作交的延长线于点H，由全等三角形的性质可得，再求得，由直角三角形的性质可得最后由勾股定理求解即可． 【详解】（1）解：将线段绕点D顺时针旋转得到线段， ， 即是等边三角形， ，， 是等边三角形， ， ， 在于中， ， （2）解：如图，过点E作交的延长线于点H， ，， ， ， ， ， ， ， ， 12．(24-25九上·北京西城区·期末)如图，中，，，点是边上一点，连接，将绕点旋转得到，点，，在同一条直线上，延长交于点． (1)求的度数； (2)若，求证：． 【答案】(1) (2)证明见解析 【分析】本题考查了旋转的性质，等腰三角形的判定和性质等知识，解题的关键是： （1）根据旋转的性质得出，则，结合可得出，即可求解； （2）根据全等三角形的性质得出，，则可求出，根据等腰三角形的性质和三角形内角和定理可求出，则，根据等角对等边可得出，然后根据三线合一即可得证。 【详解】（1）解：∵将绕点旋转得到， ∴. ∴. ∵， ∴. ∵， ∴. ∴. （2）证明：∵， ∴，. ∵， ∴， ∴. ∵中，，， ∴， ∴， ∴. ∵， ∴， ∴. 地 城 考点02 中心对称 一、单选题 1．(24-25九上·北京丰台区·期末)在平面直角坐标系中，如果点与点B关于原点对称，那么点B的坐标是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查关于原点对称的点的坐标特点，解题的关键是根据两个点关于原点对称，那么这两个点的坐标符号相反即可得出结果． 【详解】解：两个点关于原点对称，这两个点的坐标符号相反， 点关于原点对称的点的坐标是． 故选：D． 2．(24-25九上·北京大兴区·期末)下列图形中，既是中心对称图形又是轴对称图形的是（ ） A．扇形 B．抛物线 C．圆 D．直角三角形 【答案】C 【分析】本题考查了中心对称图形、轴对称图形，熟练掌握这两个概念是解题的关键．轴对称图形是要寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合；中心对称图形是要寻找对称中心，旋转后与自身重合．据此逐一分析判断即可． 【详解】解：扇形是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项不符合题意； B.抛物线是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项不符合题意； C.圆既是中心对称图形，又是轴对称图形，故此选项符合题意； D.直角三角形不是中心对称图形，也不一定是轴对称图形，故此选项不符合题意． 故选： 3．(24-25九上·北京十一晋元中学·期末)下列图形中，是中心对称图形但不是轴对称图形的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了轴对称图形，中心对称图形的识别，根据定义，数形结合分析，找出对称轴，对称中心是关键． 轴对称图形：是指在平面内沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够完全重合的图形，这条直线就叫做对称轴；中心对称：在平面内，把一个图形绕着某个点旋转，如果旋转后的图形与另一个图形重合，那么就说明这两个图形的形状关于这个点成中心对称，这个点叫做它的对称中心． 【详解】解：A、有对称轴直线，是轴对称图形，没有对称中心，不是中心对称图形，不符合题意； B、没有对称轴，不是轴对称图形，有对称中心，是中心对称图形，符合题意； C、有对称轴，是轴对称图形，有对称中心，是中心对称图形，不符合题意； D、没有对称轴，不是轴对称图形，没有对称中心，不是中心对称图形，不符合题意； 故选：B ． 4．(24-25九上·北京海淀区·期末)北京大运河博物馆在2024年举办了“探秘古蜀文明——三星堆与金沙”展览，为公众揭开了一个丰富多彩的古蜀世界，其中三星堆纹饰展现了古蜀文明高超的艺术创造力．下列纹饰图案中，是中心对称图形的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了中心对称图形的概念，根据中心对称图形的定义进行判断，即可得出答案．把一个图形绕某一点旋转，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形，这个点叫做对称中心． 【详解】解：A．不是中心对称图形，故本选项不符合题意； B．是中心对称图形，故本选项符合题意； C．不是中心对称图形，故本选项不符合题意； D．不是中心对称图形，故本选项不符合题意． 故选：B． 5．(24-25九上·北京西城区·期末)下列巴黎奥运会项目标志中，既是中心对称图形又是轴对称图形的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了中心对称图形与轴对称图形的概念：轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分沿对称轴折叠后可重合；中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后与原图重合．根据轴对称图形与中心对称图形的概念求解． 【详解】解：A、该图形是轴对称图形，不是中心对称图形，不符合题意； B、该图形既是轴对称图形，也是中心对称图形，符合题意； C、该图形既不是中心对称图形，也不是轴对称图形，不符合题意； D、该图形是中心对称图形，不是轴对称图形，不符合题意． 故选：B． 6．(24-25九上·北京丰台区·期末)下列图形中，既是中心对称图形又是轴对称图形的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查中心对称图形及轴对称图形，根据轴对称：一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够完全重合的图形；中心对称图形：在平面内，把一个图形绕着某个点旋转，如果旋转后的图形与自身重合，对选项进行分析，即可得出答案． 【详解】解：A．该图形不是中心对称图形，是轴对称图形，不合题意； B．该图形是中心对称图形，不是轴对称图形，不符合题意； C．该图形不是中心对称图形，是轴对称图形，不符合题意； D．该图形是中心对称图形，也是轴对称图形，符合题意； 故选：D． 7．下列四个图形中，不是轴对称图形，是中心对称图形的是 （    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查的是中心对称图形与轴对称图形的概念，轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后可与原图形重合．根据中心对称图形与轴对称图形的概念进行判断即可． 【详解】解：A．既不是轴对称图形，又不是中心对称图形，故本选项不合题意； B．既是中心对称图形，又是轴对称图形，故本选项不合题意； C．不是轴对称图形，是中心对称图形，故本选项符合题意； D．既是中心对称图形，又是轴对称图形，故本选项不合题意． 故选：C． 8．(24-25九上·北京东城区·期末)第33届夏季奥运会于2024年7月26日至8月11日在法国巴黎举行，奥运会图标在视觉设计上主要融入三个方面的内容——对称设计、项目场地的抽象表达以及项目的代表性元素，下列四个图标中是中心对称图形的是（   ） A．击剑 B．田径 C．马术 D．赛艇 【答案】B 【分析】本题主要考查了中心对称图形的概念，根据把一个图形绕某一点旋转，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形，这个点叫做对称中心，逐一判断即可得到答案，熟练掌握中心对称图形的概念并能灵活运用是解决此题的关键． 【详解】解：A、图形不是中心对称图形，故本选项不符合题意； B、图形是中心对称图形，故本选项符合题意； C、图形不是中心对称图形，故本选项不符合题意； D、图形不是中心对称图形，故本选项不符合题意 ； 故选：B． 二、填空题 9．(24-25九上·北京东城区·期末)在平面直角坐标系中，点关于原点对称的点的坐标是 ． 【答案】 【分析】本题考查坐标与图形变换-中心对称，根据关于原点对称的点的横纵坐标都互为相反数求解即可． 【详解】解：在平面直角坐标系中，点关于原点对称的点的坐标是， 故答案为：． 10．(24-25九上·北京西城区·期末)在平面直角坐标系中，点关于原点的对称点是 ． 【答案】 【分析】本题考查了关于原点对称的点的坐标，解决本题的关键是掌握好对称点的坐标规律：关于原点对称的点，横坐标与纵坐标都互为相反数。 根据“平面直角坐标系中任意一点，关于原点的对称点是，即关于原点的对称点，横纵坐标都变成相反数”解答． 【详解】根据关于原点对称的点的坐标的特点， ∴点关于原点过对称的点的坐标是． 故答案为： 地 城 考点03 旋转与几何综合 一、解答题 1．(24-25九上·北京大兴区·期末)在中，，，将边绕点B逆时针旋转，得到线段，连接，过点B作的垂线交于点E，交延长线于点M，连接． (1)求的度数； (2)用等式表示线段之间的数量关系，并证明． 【答案】(1) (2)，见解析 【分析】（1）作于点Q，由旋转得，则，因为，，所以，而于点E，则，则，所以； （2）由，得，所以，则，而，，所以，则可得结论． 【详解】（1）解：作于点Q，则， 将边绕点B逆时针旋转，得到线段， ， ， ，， ， 于点E， ， ， ， 的度数是 （2）解：， 证明：， ， ， ， ，于点Q， ， ，于点E， ， 垂直平分， ， ， ， 【点睛】此题重点考查等腰直角三角形的性质、旋转的性质、等腰三角形的“三线合一”、线段的垂直平分线的性质、勾股定理等知识，正确地作出辅助线是解题的关键． 2．(24-25九上·北京丰台区·期末)P是正方形边上一点，连接，．将线段绕点P顺时针旋转得到线段，将线段绕点P逆时针旋转得到线段，连接，． (1)如图1，当点P为中点时，直接写出线段与线段的数量关系； (2)如图2，当点P为线段上任意一点时，依题意补全图形，用等式表示线段与的数量关系，并证明． 【答案】(1) (2)，理由见解析 【分析】（1）根据证明，得出，，结合旋转的性质可得出，，再根据证明，根据全等三角形的性质即可得出结论； （2）结合旋转的性质和可证明，得出，，结合三角形外角的性质可得出，根据正方形的性质得出，，结合三角形外角的性质可得出，根据证明，根据全等三角形的性质即可得出结论． 【详解】（1）解：， 理由如下： ∵四边形是正方形， ∴，， ∵点P为中点， ∴， ∴， ∴，， ∵旋转， ∴，，， ∴，即，， 又， ∴， ∴； （2）解： 理由如下： 连接，相交点O，连接，相交于点G，与、相交点H、K， ∵旋转， ∴，，， ∴，即， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∵四边形是正方形， ∴，，即， ∴， 又， ∴，即， 又， ∴， ∴． 【点睛】本题考查了旋转的性质，正方形的性质，全等三角形的判定与性质等知识，明确题意，添加合适辅助线，构造全等三角形是解题的关键． 3．(24-25九上·北京西城区·期末)等边中，点是边上的一个动点（点不与点，重合），作射线交射线于点，且，将线段绕点逆时针旋转得到线段，作于点，分别交，于点，，连接． (1)如图，若， ①依题意补全图形； ②用等式表示线段，，之间的数量关系，并证明； (2)若等边的边长为，直接写出线段长的最小值． 【答案】(1)①见解析②见解析 (2) 【分析】（1）①根据题意补全图形即可②先根据等边三角形和旋转的性质得到一些边和角的关系，通过证明，将转化为，同理再证明，将转化为，最终得出； （2）设和的交点为Q，在含有角的直角三角形中，利用三角函数和勾股定理求出与的关系，由等边三角形性质，问题就转化为当为垂线段最短，从而确定的长有最小值． 【详解】（1）①补全图形，如图1所示； ②线段，，之间的数量关系：． 证明：连接，如图2： ∵线段绕点逆时针旋转得到线段， ∴， ∴是等边三角形， ∴， ∵是等边三角形， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ， 于， ， 设\，则， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ． （2）设和的交点为Q， 由（1）知是等边三角形， ， 又， ， ，， 于， ， ， 在，设， ， ， ， 由（1）知是等边三角形， ， 垂线段最短， ∴当时，最小，即最小，此时最小， 在中，， 解得， 线段长的最小值． 【点睛】本题主要考查旋转的性质，等边三角形的性质和判定，全等三角形的性质和判定，勾股定理和垂线段最短等性质．熟练掌握相关性质，并灵活运用，正确作图能找到取最值的情况是解题的关键． 4．(24-25九上·北京朝阳区·期末)在正方形中，E为射线上一点不与点A，B重合，将线段绕点E顺时针旋转得到线段，连接，作交射线于点． (1)如图1，当点E在线段上时， ①依题意补全图形，并证明； ②用等式表示线段和之间的数量关系，并证明； (2)已知，能否是等腰三角形？若能，直接写出使是等腰三角形的的长度；若不能，说明理由． 【答案】(1)①见解析，②，证明见解析 (2) 【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，正方形的性质，平行四边形的判定和性质，等腰三角形的判定和性质等知识． （1）①由得出，由得出，从而； ②作，交于H，交于R，可证得，从而得出，，可证得，从而得出四边形是平行四边形，进而推出，进而证得，从而，进一步得出结果； （2）可推出当点E在上时，不能是等腰三角形；当点E在的延长线上时，作于H，当时，可推出，从而得出． 【详解】（1）解：①如图1， 四边形是正方形， ， ， 线段绕点E顺时针旋转得到线段， ， ， ； ②如图2， 作，交于H，交于R， ， ， 四边形是正方形， ，， ， ， ， ，， 线段绕点E顺时针旋转得到线段， ，， ，， ， 四边形是平行四边形， ， ， ， ， ， ， 由①知，， ， ， ； （2）解：如图2， 当点E在上时， 由（1）②得，≌， ，， ，， ， ， ， ， ， 不能是等腰三角形， 如图3， 当点E在的延长线上时， 作于H， ， ，， ， ，， ， ， 当时，， ， ， 当时，是等腰三角形． 5．(24-25九上·北京西城区·期末)如图，在中，，，为的中点，是线段上的动点（不与点，重合）．连接，将线段绕点逆时针旋转得到线段，连接交于点，过点作的平行线交的延长线于点． (1)求证： (2)若为线段的中点，连接，用等式表示线段与之间的数量关系并证明． 【答案】(1)证明见解析 (2)，理由见解析 【分析】（1）根据等边对等角可得，根据平行线的性质可得，进而可得，根据旋转的性质、角的和差关系可得，利用可证得，于是可得，据此即可得出结论； （2）连接并延长，交于点，连接，利用可证得，于是可得，，由（1）可知，，于是可得，利用可证得 ，于是可得，，再结合平行线的性质及等角对等边可得，从而得出，进而可证得是的中位线，于是得解． 【详解】（1）证明：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵，线段绕点逆时针旋转得到线段， ∴，， ∴，即：， 在和中， ， ∴， ∴， ∴； （2）解：，理由如下： 如图，连接并延长，交于点，连接， ∵， ∴， ，，， ， ，， 由（1）可知：，， ∴， ，，， ， ，， ， ∵， ∴， ， ， ， ， ∵， ∴是的中位线， ， 即：． 【点睛】本题主要考查了三角形的中位线定理，全等三角形的判定与性质，等腰三角形的判定与性质，平行线的性质，旋转的性质等知识点，熟练掌握相关知识点并正确做出辅助线是解题的关键． 6．(24-25九上·北京海淀区·期末)在中，于点，．将线段绕点逆时针旋转得到线段，连接． (1)如图1，当时，补全图形，并求的长； (2)如图2，取的中点，连接，用等式表示线段与的数量关系，并证明． 【答案】(1) (2)，证明见详解 【分析】（1）先作出图形，取的中点，连接、、，由可判定，由全等三角形的性质得，，由勾股定理即可求解； （2）取的中点，连接、，延长至，使，连接，延长交于，由等腰三角形的判定及性质得，由可判定，由全等三角形的性质得，，等量代换得，由可判定，由全等三角形的性质即可得证． 【详解】（1）解：如图所示， 取的中点，连接、、， ，， ， ， ， ， ， ， ，，，， ， 由旋转得：，， ， ， ， 在和中 ， （）， ，， ， ， ， ； （2）解：； 理由如下： 取的中点，连接、，延长至，使，连接， 延长交于， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 由（1）同理可证：， ， ， 是的中点， ， 在和中 ， （）， ，， ，， 在和中 ， （）， ， ． 【点睛】本题考查了旋转的性质，全等三角形的判定及性质，勾股定理，等腰三角形的判定及性质等；掌握旋转的性质，全等三角形的判定及性质，勾股定理，等腰三角形的判定及性质，能根据题意作出恰当的辅助线，构建全等三角形是解题的关键． 7．(24-25九上·北京东城区·期末)如图，在等边中，D为上一点，连接，E为线段上一点（），将线段绕点C顺时针旋转得到线段，连接． (1)求证：； (2)点G为延长线上一点，连接交于点M．若M为的中点，用等式表示线段之间的数量关系，并证明. 【答案】(1)见解析 (2)，证明见解析 【分析】本题考查了等边三角形的性质，全等三角形的判定与性质，掌握这些知识点并构造适当的辅助线证明三角形全等是解题的关键． （1）证明即可； （2）过点A作，交的延长线于点H，则可证明，从而有，则有；再证明，得，由线段的和差关系即可得证． 【详解】（1）证明：∵为等边三角形， ∴； ∵线段绕点C顺时针旋转得到线段， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴； （2）解：； 证明如下：如图，过点A作，交的延长线于点H； ∴，， ∴； ∵， ∴， ∴， ∴， ∴； ∵M为的中点， ∴； ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 试卷第1页，共3页 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $