专题09 旋转综合折叠最值问题（3种类型30道）-2025-2026学年人教版九年级数学上册期末复习高频考题专项训练

弈泓共享数学 专题09 旋转综合折叠最值问题 （3种类型30道） 目录 【题型1 旋转相关综合问题】 1 【题型2 旋转与折叠综合问题】 22 【题型3 旋转相关最值问题】 35 【题型1 旋转相关综合问题】 1．如图，在中，将绕点顺时针旋转至，将绕点逆时针旋转至得到，使，我们称是的“旋补三角形”，的中线叫做的“旋补中线”，点叫做“旋补中心”．下列结论正确的有（   ） ①与面积相同； ②； ③若，连接和，则； ④若，，，则． A．个 B．个 C．个 D．个 【答案】C 【详解】解：延长至，使，连接，， ，是中线， ， 四边形是平行四边形， ，，， ， ， ， 将绕点顺时针旋转至，将绕点逆时针旋转至， ，， 在和中， ， ， ，， ，故正确； ， ，故正确； ， ， ，，，， ， ，， ， ；故正确； ， ， ， 平行四边形是菱形， ，， ， ，故错误， 故选：C． 2．如图，在中,，将绕点B顺时针旋转得到，延长分别交于点，连接．下列结论：①；②；③；④，其中正确的个数是(　　) A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【分析】本题考查了图形旋转的性质、等边三角形的判定与性质、全等三角形（）的判定与性质及三角形内角和定理，解题的关键是利用旋转的性质得出对应边相等、对应角相等，结合相关定理逐步推导各结论的正确性． 根据旋转性质得、，用三角形内角和求，判断②正确，再由求，得，判断①正确；连接，由、证为等边三角形，得，用证，判断③正确；连接，由、证为等边三角形，得，结合及三角形三边关系（），判断④错误，最终确定正确结论有3个． 【详解】解：∵绕点B顺时针旋转得到， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴； ∴②正确； ∴， ∵， ∴， ∴； ∴①正确； ，如图，连接， ∴是等边三角形， ∴， ∵， ∴， 在和中，， ∴， ∴， ∴③正确； 连接，如图， ∵将绕点B顺时针旋转得到， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴是等边三角形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴④错误； 综上所述，正确的为①②③，共3个； 故选：C． 3．在综合与实践活动中，同学们以“图形的旋转”为主题展开数学研究性学习．在中，，的垂直平分线分别交，于点，，将绕点按顺时针方向旋转得到，点，的对应点分别是点，．交于点，连接，BF．若，下列结论正确的有（    ） ①；②；③四边形为平行四边形；④若，，则． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【分析】①直接根据旋转的性质，中垂线的性质，得到； ②由平行线的性质及直角三角形两锐角互余可得出结论； ③根据旋转的性质，中垂线的性质，推出，平行线的性质，得到，进而得到，得到，得到四边形为平行四边形，进而得到，得到，即可得出结论； ④勾股定理求出的长，设，在中，勾股定理求出x的值，再利用勾股定理求出的长，由即可得出结果． 【详解】解：∵垂直平分， ∴，，， ∴， ∴， 由旋转可知，， ∴， ∴， 故①正确，符合题意； ∵， ∴， 由旋转可知，， ∴， ∵， ∴， ∴，即， 故②正确，符合题意； ∵垂直平分， ∴，， ∴， ∵绕点D按顺时针方向旋转得到， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴四边形为平行四边形， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴四边形是平行四边形； 故③正确，符合题意； ∵，，， ∴， ∴， ∵， 设， ∴， 在中，由勾股定理，得：， ∴， 解得：， ∴， 在中，， ∴， 故④错误，不符合题意． 综上，共有3个正确． 故选：C． 【点睛】本题主要考查平行四边形的判定和性质，中垂线的性质，旋转的性质，勾股定理等知识点，解题的关键是熟练掌握相关知识点，并灵活运用． 4．如图，在正方形内作，交于点E，交于点F，连接，过点A作，垂足为点H，将绕点A顺时针旋转得到，若，则以下结论：①，②，③，④，正确的个数有（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【分析】本题主要考查了正方形的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理，旋转的性质等内容，解题的关键是熟练掌握以上性质，并灵活应用． 利用正方形的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理，旋转的性质等，逐项进行判断即可． 【详解】解：∵将绕点A顺时针旋转得到， ∴， ∵四边形是正方形， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 在和中，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 在和中，， ∴， ∴， ∴， ∴， 在和中，， ∴，故①正确； 设， 则， ， 在中，， 即， 解得：（舍去）， ∴， ∴，故②不正确； 由勾股定理得：， ， ∴，故③正确； ∵， ∴，故④正确； 综上所述，正确的为①③④， 故选：C． 5．如图，O是等边内一点，，以B为旋转中心，将线段逆时针旋转得到线段，连接．则下列结论：①可以由绕点B逆时针方向旋转得到；②连接，则；③；④．其中正确的有（　　） A．①② B．①②③ C．①②④ D．①②③④ 【答案】B 【分析】连接，过点作，垂足为，由旋转的性质可得，，根据等边三角形的性质可得，从而证明，即可判断①正确，证明是等边三角形，即可判断②正确；根据等边三角形的性质可得，根据全等三角形的性质可证是直角三角形，即可判断③正确；在中，求出的长，然后根据进行计算即可判断④不正确． 【详解】解：连接，过点作，垂足为， 由旋转得：，， 是等边三角形， ，， ， ， ， 可以由绕点逆时针旋转得到，故①正确； 由旋转得：，， 是等边三角形， ，故②正确； 是等边三角形， ， ， ， ， 是直角三角形， ， ，故③正确； 在中，，， ∴， ∴ ∴， ，故④错误， 综上所述，正确的结论为：①②③． 故选：B． 【点睛】本题是三角形综合题，考查了等边三角形的判定与性质，旋转的性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理，角直角三角形的性质，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键． 6． 如图，正方形边长为，从出发沿对角线向运动，连接，将线段绕点顺时针旋转得到，连接，，设，下列说法：①是直角三角形；②当时，；③有且只有一个实数，使得；④取中点，连接，，的面积随着的增大而增大，正确的有（ 　） A．个 B．个 C．个 D．个 【答案】C 【分析】根据正方形的性质可得，，再根据旋转的性质可得，，从而证得，得到，即可求得，可判断①正确；根据正方形的性质可得的长，再根据可得的长，再利用勾股定理可得，可判断②正确；根据题意列出关于面积的一元二次方程，求得有且只有一个实数，使得，可判断③正确；连接，作于点，可得，由，点为的中点，可得，则，从而求得，可判断④错误；即可解题． 【详解】解：四边形是正方形，为对角线， ∴，，， ∵线段绕点顺时针旋转得到， ∴，， 又∵，， ∴， 在和中： ， ∴， ∴， ∴， ∴是直角三角形，故①正确； ∵正方形边长为， ∴， ∵，，， ∴， ∴，故②正确； 由题可知：， 要，则， 整理得：， 解得：， ∴有且只有一个实数，使得，故③正确； 如图，连接，作于点， 则， ∴， ∴与的边上的高相等， ∵，点为的中点， ∴， ∴， ∴， ∴的面积不随着的变化而变化，故④错误； 故选：C． 【点睛】本题考查了正方形的性质、等腰三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、勾股定理，解一元二次方程，旋转的性质，直角三角形性质，综合运用以上知识是解题的关键． 7．如图，正方形的边长为，点在边上（不与，重合），将沿直线折叠，点落在点处，连接，将绕点顺时针旋转得到，连接，，．给出下列四个结论：①；②；③点是直线上动点，则的最小值为；④当时，的面积为．其中正确的结论有几个（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】D 【分析】本题考查正方形的性质，勾股定理，翻折变换，全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题．根据证明三角形全等即可正确；过点作于点，证明即可判断正确；连接因为关于对称，推出，推出，可得结论正确；过点作于点，求出，可得结论正确． 【详解】解：四边形是正方形， ， ， ， ， ，故正确； 过点作于点， ， ， ， ， ， ， ，故正确； 连接． 关于对称， ， ， 的最小值为，故正确； 过点作于点， ， ， ， ，则 ， ，故正确； 故选：D． 8．如图，正方形的对角线相交于点O，点O又是正方形的一个顶点，而且这两个正方形的边长相等．给出如下四个结论： ①； ②正方形绕点O旋转时，四边形的面积始终等于正方形的； ③当正方形的边长为2时，周长的最小值为； ④． 正确的结论序号有（    ） A．①②④ B．①③④ C．①②③ D．①②③④ 【答案】C 【分析】①根据正方形的性质及各角之间的数量关系得出，利用全等三角形的判定和性质得出，，再由勾股定理即可得出；②由全等的性质及图中面积的关系即可得出；③由①可知，，，确定当时，最小，的周长最小，代入计算即可；④利用勾股定理进行变换判断即可． 【详解】解：①∵四边形为正方形， ∴，，， ∴， ∵， ∴， ∴， 在与中， ， ∴， ∴，， ∴，，故①正确； ②由①得， ，故②正确； ③由①可知， ，， 的周长， ∵为定值，则最小时的周长最小， ∴当时，最小，的周长最小， 此时， ∴的周长最小值 ， ∵正方形的边长为2， ∴， 则， 故③正确； ∵在中，， ∴， ∵， ∴，故④错误； 故选：C． 【点睛】题目主要考查正方形的性质，旋转的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理等，理解题意，综合运用这些知识点是解题关键． 9．如图，边长一定的正方形，为上一个动点，交于点，过作交于点，作于点，连接，下列结论：①；②；③；④为定值，其中正确的结论个数是（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【分析】本题属于正方形的综合题，主要考查了正方形的性质和判定、等腰直角三角形的性质、全等三角形的判定和性质以及旋转的性质，利用上述性质逐一判断即可，综合性强、具有相当的难度，正确添加辅助线、灵活应用所学知识是解题的关键． 【详解】解：如图，连接， ，四边形为正方形， ，， ， ， ， 设， ， ， ， ， ， ， ，故①正确； 如图，连接、，交于点， ，， ， ，， ， ，故②正确； 如图，将绕点顺时针旋转至，使和重合，连接， 则，，， 、、三点在同一直线上， ， ， ， ， ，即，故③正确； 如图3，作，垂足为，作，垂足为， 由①得， ，， ， ， ， ， 四边形是矩形， ， 矩形是正方形， ，即， ， ，故④错误． 故选：C． 10．如图，在正方形中，点E，F分别为边，上的点，连接，，与对角线分别交于点G，H，若，下列判断：①E，F分别为边的中点；②当时，；③的周长不变；④．其中判断正确的有（    ）个 A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【分析】当点E与点B重合时，点F与点C重合，可得E，F不一定为边的中点，故①错误；将绕点顺时针旋转得到，此时与重合，．求出，，可得，故②正确；根据，求出的周长为为定值，故③正确；将绕点顺时针旋转得到，连接，证明，推出，由勾股定理得，即，故④正确； 【详解】解：∵， 当点E与点B重合时，点F与点C重合， ∴E，F不一定为边的中点，故①错误； 将绕点顺时针旋转得到，此时与重合， 由旋转可得，， ，，， ， 因此，点，，在同一条直线上． ， ． ， ． 即． 在与中， ． ， 当时， ∵正方形中，， ∴， ∴， ∴，即， ∵， ， ∵， ∴，即，故②正确； ∵， ∴的周长为为定值，故③正确； 将绕点顺时针旋转得到，连接， ， ， ， ， ， 在和中， ， ， 在正方形中， ， ， ，即，故④正确； 故选：C． 【题型2 旋转与折叠综合问题】 11．如图，已知矩形，，，矩形是由矩形绕点顺时针旋转得到的，点为边上一点，现将四边形沿折叠得到四边形，当点恰好落在上时，的长是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：∵四边形沿折叠得到四边形， ∴，， ∵矩形是由矩形绕点顺时针旋转得到的，，， ∴，， ∴， ∴， 连接， ∴， ∴， 设，则，， 在中， ， ， 即， 解得：， ∴． 故选：B 12．如图，在正方形ABCD中，AB=4，M是BC中点，连接AM，将△ABM沿AM折叠得到△AEM，将△ABM绕点A顺时针旋转90°得到△ADF，连接EF，则EF的长为（　　）    A．2 B． C．4 D．2 【答案】D 【分析】由旋转的性质，折叠的性质可得BE⊥AM，BE=2BP，BM=DF=2，AB=AE=4，由三角形面积公式可求BP=，由勾股定理可求AG的长，可得HF，HE的长，由勾股定理可求EF的长． 【详解】如图，连接BE，交AM于点P，过点E作EH⊥CD，延长HE交AB于点G，    ∵在正方形ABCD中，AB=4，M是BC中点， ∴BM=2， ∴AM==2 ∵将△ABM沿AM折叠得到△AEM，将△ABM绕点A顺时针旋转90°得到△ADF， ∴BE⊥AM，BE=2BP，BM=DF=2，AB=AE=4， ∵S△ABM=×AB×BM=×AM×BP ∴2×4=2×BP ∴BP= ∴BE=2BP= ∵AB∥CD，EH⊥CD ∴HG⊥AB，且EH⊥CD，∠DAB=90° ∴AD=GH=4，AG=HD， ∵EG2=BE2-BG2=AE2-AG2， ∴-（4-AG）2=16-AG2， ∴AG=， ∴EG=，HD= ∴HE=，HF= ∴EF==2 故选：D． 【点睛】此题考查旋转的性质，正方形的性质，折叠的性质，勾股定理，利用勾股定理列出方程求AG的长是解题的关键． 13．如图，在中，，将沿翻折得到，将线段绕点顺时针旋转得到线段，点为的中点，连接．若，则的面积是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：连接与相交于点，连接， ∵， ∴， 由折叠可得，， ∴， ∴， ∴为等腰直角三角形， ∴，， 又由旋转得，，， ∴，，， ∴为等边三角形， ∴，， ∴，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴四点共圆， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∴， ∴， 故选：． 14．如图，在平面直角坐标系中，点、分别在轴、轴上，．先将线段沿轴翻折得到线段，再将线段绕点顺时针旋转得到线段，连接．若点的坐标为，则线段的长为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】只要证明是等腰直角三角形即可解决问题； 【详解】∵， ∴， ∵，， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∵，， ∴， ∴； 故答案选B． 【点睛】本题主要考查了翻折变换、坐标与图形的变化、等腰直角三角形的性质，准确计算是解题的关键． 15．如图，在等腰Rt△ABC中，∠ACB＝90°，，点D为AB的中点，点E在BC上，CE＝2，将线段ED绕点E按顺时针方向旋转90°得到EF，连接DF，然后把△DEF沿着DE翻折得到△DEF′，连接AF′，BF′，取AF′的中点G，连接DG，则DG的长为（　　） A． B． C．2 D． 【答案】B 【详解】解：如图中，作于点，于． ，点为的中点， ，， ， ， ， ， ， ，， ， ， ， ，， ， ， ， ， 点为的中点，取的中点， ， ； 故选：． 【点睛】本题考查了等腰直角三角形的性质，全等三角形的判定和性质，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题． 二、填空题 16．如图，在正方形中，是上的一点，将绕点逆时针旋转后得到．将沿折叠得到，延长交于点，连接，．若，，则的度数为 ，的长为 ． 【答案】 45 【分析】本题主要查了正方形的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理．证明，可得，从而得到，再证明，可得，再由勾股定理求出，即可求解． 【详解】解：∵四边形是正方形， ∴， 由折叠的性质得：， 在和中， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴； 如图，连接， 由旋转的性质得：，， ∵， ∴， ∴，即， 在和中， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． 故答案为：45； 17．如图，有一矩形纸片，，点为边上一个动点，将纸片沿折叠，点的对应点为点．点关于点的对称点为，连接交于点，连接并延长交于点． （1）若，则 ； （2）点到的距离最小值为 ． 【答案】 17 / 【分析】本题考查矩形的性质，全等三角形的判定和性质，等腰三角形的判定和性质，勾股定理．先证明，得到，进而得到，角的和差关系求出的度数，连接，推出为等腰直角三角形，三线合一结合勾股定理求出的长，折叠得到点在以点为圆心，以为半径的弧上运动，进而得到点到的距离最小值为，即可． 【详解】解：（1）在矩形中，，， ∵点，关于点对称， ，， ， ， ， ， ； 故答案为：17； （2）连接，如图． 由（1）得 为等腰直角三角形， 又由知， ， ， ， 由折叠知， ∴点在以点为圆心，以为半径的弧上运动， 点到的距离最小值为． 故答案为：． 18．如图，有一张矩形纸片，已知，，现将纸片进行如下操作：现将纸片沿折痕进行折叠，使点落在边上的点处，点在上（如图），则 ；然后将绕点旋转到，当过点时旋转停止，则的长度为 ． 【答案】 2 【分析】连接，证四边形是正方形，得，进而得，，由勾股定理得，证明（）得，，从而点垂直平分，点垂直平分，，最后利用面积公式构造方程即可得解． 【详解】解：∵四边形是矩形， ∴，，， ∵将纸片沿折痕进行折叠，使点落在边上的点处，点在上， ∴，， ∴四边形是矩形， ∵， ∴四边形是正方形， ∴， ∴，， ∴， 连接， ∵将绕点旋转到， ∴，， ∵， ∴（） ∴，， ∴点垂直平分，点垂直平分， ∴， ∴，即， ∴， 故答案为：，． 【点睛】本题主要考查了全等三角形的判定及性质，矩形的性质，正方形的判定及性质，线段垂直平分线的判定以及勾股定理，熟练掌握全等三角形的判定及性质，矩形的性质，正方形的判定及性质是解题的关键． 19．如图，将矩形沿折叠，使顶点B落在上点处；再将矩形展平，沿折叠，使顶点B落在上点G处，连接． 小明发现可以由绕某一点顺时针旋转得到，则 °． 【答案】 【分析】根据旋转角等于对应边所在直线的夹角求直线与的夹角即可． 【详解】延长与交于点， ∵可以由绕某一点顺时针旋转得到， ∴， ∵将矩形沿折叠，使顶点B落在上点处， ∴四边形是正方形， ∴， ∴， 故答案为： 【点睛】本题考查矩形的折叠，旋转的性质，正方形的判定，解题的关键是理解旋转角等于对应边所在直线的夹角． 20．如图，在中，，，点分别是边的中点，点F是线段上任意一点，将线段绕点E顺时针旋转得到线段，连接，H是直线上一个动点，连接，将沿翻折至所在平面内，得到，连接，则线段长度的最小值是 ． 【答案】 【分析】由已知条件可证得是等腰直角三角形，连接，由等腰直角三角形的性质和中位线定理可得，在中，利用勾股定理可求得，通过旋转得知点P的运动轨迹，再由折叠的性质可知，，以及点Q的运动轨迹为以E为圆心，为半径的圆，而，则当最大时，取得最小值，由此逐步分析求解即可． 【详解】解：在中，，， ， 点是的中点， ，， 是等腰直角三角形， 如图，连接， 点是的中点， 是的中位线， ，， 在中，，，， ， 由旋转可知：，， ， 又，， ， ， 点在过点且与夹角为的射线上运动， 由折叠可知：，， 点Q在以E为圆心，为半径的圆上运动， ， 当最大时，取得最小值， ∵点在上， ∴当点与点重合时，有最大值为， ∴的最大值为， ∴当、、三点共线，且点与点重合时，有最小值， 此时， 即线段长度的最小值为． 故答案为：． 【题型3 旋转相关最值问题】 21．如图，正方形的边长为2，点G是边上的中点，点是对角线上一动点，连接，把绕点C顺时针旋转得，连接、，则线段长度的最小值是 ． 【答案】 【详解】解：∵四边形是正方形， ∴，， ∵将线段绕点顺时针旋转至， ∴，， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴与所成的角为， ∴当时，有最小值，此时为等腰直角三角形， ∵点是线段的中点， ∴， ∴， 故答案为： ． 22．如图，在等边中，，点是边上一动点，连接，将绕点逆时针旋转得到，点是边的中点，连接、，则的最小值是 ． 【答案】 【分析】本题考查了等边三角形的性质，旋转的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理．根据等边三角形和旋转的性质，证，得到，即点在以点为顶点，且与夹角为的直线上运动，过点作于点，当点在点处时，取得最小值，即为的长，然后结合勾股定理求解即可． 【详解】解：是等边三角形， ，， 由旋转的性质可知，，， ， ， ， 即点在以点为顶点，且与夹角为的直线上运动， 如图，过点作于点， 当点在点处时，取得最小值，即为的长， 点是边的中点， ， 在中，， ， ， 即的最小值是， 故答案为：． 23．如图，在中，，，，内部有一点，连接，，，求最小值 【答案】 【分析】本题考查了旋转的性质，等边三角形的判定和性质，勾股定理等知识，添加恰当辅助线构造全等三角形是解题的关键． 将绕点C顺时针旋转得到，连接，，证明出是等边三角形，得到，得到当P，在直线上时，的值最小，然后利用勾股定理求出的长即可解决问题． 【详解】解：将绕点C顺时针旋转得到，连接，． 由旋转的性质可知：，，，， ∴是等边三角形， ∴， ∴， ∴当P，在直线上时，的值最小， ∵， ∴． ∴的最小值为， 故答案为：． 24．如图，正方形的边长为4，，点E是直线上一点，连接，线段绕点B顺时针旋转得到，则线段长度的最小值等于 ． 【答案】/ 【分析】连接，在上截取，使，连接，过点作于点，证明，得出，点在直线上运动，当点与重合时，的值最小，求出最小值即可． 【详解】解：由旋转得， 连接，在上截取，使，连接，过点作于点，如图所示： ∵四边形是正方形， ， ， ， ， ， 在和中 ， ∴， ∴， ∴点在直线上运动，当点与重合时，的值最小， ∵， ∴， 故答案为：． 【点睛】本题主要考查旋转的性质，正方形的性质，勾股定理，垂线段最短，直角三角形的性质，根据题意作出辅助线，得出点在直线上运动，当点与重合时，的值最小，是解题的关键． 25．如图，正方形的边长为6，点，分别是，边上的点，且，则面积的最小值为 ． 【答案】 【分析】本题考查了正方形的性质、旋转的性质、全等三角形的判定与性质以及二次函数的最值（或配方法求最值），解题的关键是通过旋转构造全等三角形，将的面积转化为可求的形式，再结合勾股定理和二次函数最值求解． 将绕点旋转得到，证明，从而将转化为；设，，利用勾股定理得到与的关系，再将表示为关于的函数，最后通过配方法（或二次函数性质）求出最小值． 【详解】解：如图，将绕点顺时针旋转90°得到， 由旋转的性质得，，， ，， ， ， 在和中， （SAS）， ， ． 设，，则，，，， 在中，， ， 化简得：， ， 当时，， 的最小值为． 故答案为：． 26．如图，在菱形中，，对角线相交于点，点是对角线上的一个动点，连接，将线段绕点逆时针方向旋转，得到中，连接，则的最小值是 ． 【答案】 【分析】本题考查了菱形的性质，全等三角形的判定和性质，直角三角形的性质，等边三角形的判定和性质，旋转的性质，熟练掌握相关知识点是解题的关键． 根据菱形的性质推出是等边三角形，得到，，继而得到，连接，证明，得，得到点在射线上，当时，有最小值，最小值为，即可得到答案． 【详解】解：如图，连接， 菱形， ，，， ， 是等边三角形， ，， ，， 绕点按逆时针方向旋转，得到， ，， ， ， ， ， 点在射线上， ∴当时，有最小值，最小值为， 的最小值是， 故答案为：． 27．如图，正方形中，是边上一点，连接，将线段绕点顺时针旋转得到线段，连接，，则的最小值是 ． 【答案】 【分析】本题考查了正方形的性质，旋转的性质，全等三角形的判定和性质等，作交的延长线于，连接并延长，可证，得到，，进而可得是等腰直角三角形， 即得，即可得到点在的角平分线上移动， 作点关于的对称点， 连接，可得点在的延长线上， ，即得到，可知当三点共线时，取最小值，最小值为的长 ，再利用勾股定理求出即可求解，正确作出辅助线是解题的关键． 【详解】解：如图，作交的延长线于，连接并延长， ∵将绕点顺时针旋转得到线段， ∴，， ∵正方形， ∴，， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∴点在的角平分线上移动， 作点关于的对称点， 连接， ∵点在的角平分线上移动， ∴点在的延长线上， ∵， ∴， 当三点共线时，取最小值，最小值为的长 ， ∵点与点关于对称， ∴， ∴， ∴， ∴的最小值， 故答案为：． 28．如图，菱形的边长为2，，对角线交于点O．点E为直线上的一个动点，连接，将线段绕点C顺时针旋转的角度后得到对应的线段（即），长度的最小值为 ． 【答案】 【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，菱形的判定和性质，勾股定理，灵活运用这些性质解决问题是本题的关键． 连接，作，由旋转的性质可得，把求的最小值转化为求的最小值，再根据垂线段最短可得答案． 【详解】解：连接，作交的延长线于H， ∵在菱形中，， ∴． ∵， ∴， ∴， 由旋转可得：， 在和中， ， ∴， ∴， 即求的最小值转化为求的最小值． ∵在中，， ∴， ∵菱形的边长为2， ∴， ∴， ∴， 当E与H重合时，最小值是， ∴的最小值是． 故答案为：． 29．如图，P为线段的中点，且，M是上方一点，将线段绕点P顺时针旋转 后得到线段， 连接． 当最小时，周长的最小值是 ． 【答案】 【详解】解：将绕点顺时针旋转得到，连接， 由旋转得到， ∴，为等边三角形， ∴， ∴， ∴， ∴当点落在上，最小， ∴当时，取得最小值，则周长取得最小值，如图： ∵， ∴ ∵为等边三角形， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∵P为线段的中点，且， ∴， ∴， ∴周长的最小值是， 故答案为：． 30．如图，四边形是正方形，边长，对角线相交于点O，将直角三角板的直角顶点放在点O处，三角板两边足够长，与交于点E，F．当三角板绕点O旋转时，线段的最小值为 ． 【答案】 【详解】解：正方形， ，， ， ， ， ， 又∵， ， 故要使有最小值，即求的最小值， 当时，有最小值， ， ， 线段的最小值为． 故答案为：． 精选考题才是刷题的捷径1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 弈泓共享数学 专题09 旋转综合折叠最值问题 （3种类型30道） 目录 【题型1 旋转相关综合问题】 1 【题型2 旋转与折叠综合问题】 5 【题型3 旋转相关最值问题】 8 【题型1 旋转相关综合问题】 1．如图，在中，将绕点顺时针旋转至，将绕点逆时针旋转至得到，使，我们称是的“旋补三角形”，的中线叫做的“旋补中线”，点叫做“旋补中心”．下列结论正确的有（   ） ①与面积相同； ②； ③若，连接和，则； ④若，，，则． A．个 B．个 C．个 D．个 2．如图，在中,，将绕点B顺时针旋转得到，延长分别交于点，连接．下列结论：①；②；③；④，其中正确的个数是(　　) A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 3．在综合与实践活动中，同学们以“图形的旋转”为主题展开数学研究性学习．在中，，的垂直平分线分别交，于点，，将绕点按顺时针方向旋转得到，点，的对应点分别是点，．交于点，连接，BF．若，下列结论正确的有（    ） ①；②；③四边形为平行四边形；④若，，则． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 4．如图，在正方形内作，交于点E，交于点F，连接，过点A作，垂足为点H，将绕点A顺时针旋转得到，若，则以下结论：①，②，③，④，正确的个数有（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 5．如图，O是等边内一点，，以B为旋转中心，将线段逆时针旋转得到线段，连接．则下列结论：①可以由绕点B逆时针方向旋转得到；②连接，则；③；④．其中正确的有（　　） A．①② B．①②③ C．①②④ D．①②③④ 6． 如图，正方形边长为，从出发沿对角线向运动，连接，将线段绕点顺时针旋转得到，连接，，设，下列说法：①是直角三角形；②当时，；③有且只有一个实数，使得；④取中点，连接，，的面积随着的增大而增大，正确的有（ 　） A．个 B．个 C．个 D．个 则， ∴， ∴与的边上的高相等， ∵，点为的中点， ∴， ∴， ∴， ∴的面积不随着的变化而变化，故④错误； 故选：C． 7．如图，正方形的边长为，点在边上（不与，重合），将沿直线折叠，点落在点处，连接，将绕点顺时针旋转得到，连接，，．给出下列四个结论：①；②；③点是直线上动点，则的最小值为；④当时，的面积为．其中正确的结论有几个（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 8．如图，正方形的对角线相交于点O，点O又是正方形的一个顶点，而且这两个正方形的边长相等．给出如下四个结论： ①； ②正方形绕点O旋转时，四边形的面积始终等于正方形的； ③当正方形的边长为2时，周长的最小值为； ④． 正确的结论序号有（    ） A．①②④ B．①③④ C．①②③ D．①②③④ 9．如图，边长一定的正方形，为上一个动点，交于点，过作交于点，作于点，连接，下列结论：①；②；③；④为定值，其中正确的结论个数是（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 10．如图，在正方形中，点E，F分别为边，上的点，连接，，与对角线分别交于点G，H，若，下列判断：①E，F分别为边的中点；②当时，；③的周长不变；④．其中判断正确的有（    ）个 A．1 B．2 C．3 D．4 由旋转可得，， ，，， ， 因此，点，，在同一条直线上． ， ． ， ． 即． 在与中， ． ， 当时， 【题型2 旋转与折叠综合问题】 11．如图，已知矩形，，，矩形是由矩形绕点顺时针旋转得到的，点为边上一点，现将四边形沿折叠得到四边形，当点恰好落在上时，的长是（    ） A． B． C． D． 12．如图，在正方形ABCD中，AB=4，M是BC中点，连接AM，将△ABM沿AM折叠得到△AEM，将△ABM绕点A顺时针旋转90°得到△ADF，连接EF，则EF的长为（　　）    A．2 B． C．4 D．2 13．如图，在中，，将沿翻折得到，将线段绕点顺时针旋转得到线段，点为的中点，连接．若，则的面积是（    ） A． B． C． D． 14．如图，在平面直角坐标系中，点、分别在轴、轴上，．先将线段沿轴翻折得到线段，再将线段绕点顺时针旋转得到线段，连接．若点的坐标为，则线段的长为（    ） A． B． C． D． 15．如图，在等腰Rt△ABC中，∠ACB＝90°，，点D为AB的中点，点E在BC上，CE＝2，将线段ED绕点E按顺时针方向旋转90°得到EF，连接DF，然后把△DEF沿着DE翻折得到△DEF′，连接AF′，BF′，取AF′的中点G，连接DG，则DG的长为（　　） A． B． C．2 D． 二、填空题 16．如图，在正方形中，是上的一点，将绕点逆时针旋转后得到．将沿折叠得到，延长交于点，连接，．若，，则的度数为 ，的长为 ． 17．如图，有一矩形纸片，，点为边上一个动点，将纸片沿折叠，点的对应点为点．点关于点的对称点为，连接交于点，连接并延长交于点． （1）若，则 ； （2）点到的距离最小值为 ． 18．如图，有一张矩形纸片，已知，，现将纸片进行如下操作：现将纸片沿折痕进行折叠，使点落在边上的点处，点在上（如图），则 ；然后将绕点旋转到，当过点时旋转停止，则的长度为 ． 19．如图，将矩形沿折叠，使顶点B落在上点处；再将矩形展平，沿折叠，使顶点B落在上点G处，连接． 小明发现可以由绕某一点顺时针旋转得到，则 °． 20．如图，在中，，，点分别是边的中点，点F是线段上任意一点，将线段绕点E顺时针旋转得到线段，连接，H是直线上一个动点，连接，将沿翻折至所在平面内，得到，连接，则线段长度的最小值是 ． 【题型3 旋转相关最值问题】 21．如图，正方形的边长为2，点G是边上的中点，点是对角线上一动点，连接，把绕点C顺时针旋转得，连接、，则线段长度的最小值是 ． 22．如图，在等边中，，点是边上一动点，连接，将绕点逆时针旋转得到，点是边的中点，连接、，则的最小值是 ． 23．如图，在中，，，，内部有一点，连接，，，求最小值 24．如图，正方形的边长为4，，点E是直线上一点，连接，线段绕点B顺时针旋转得到，则线段长度的最小值等于 ． 25．如图，正方形的边长为6，点，分别是，边上的点，且，则面积的最小值为 ． 26．如图，在菱形中，，对角线相交于点，点是对角线上的一个动点，连接，将线段绕点逆时针方向旋转，得到中，连接，则的最小值是 ． 27．如图，正方形中，是边上一点，连接，将线段绕点顺时针旋转得到线段，连接，，则的最小值是 ． 28．如图，菱形的边长为2，，对角线交于点O．点E为直线上的一个动点，连接，将线段绕点C顺时针旋转的角度后得到对应的线段（即），长度的最小值为 ． 29．如图，P为线段的中点，且，M是上方一点，将线段绕点P顺时针旋转 后得到线段， 连接． 当最小时，周长的最小值是 ． 30．如图，四边形是正方形，边长，对角线相交于点O，将直角三角板的直角顶点放在点O处，三角板两边足够长，与交于点E，F．当三角板绕点O旋转时，线段的最小值为 ． 精选考题才是刷题的捷径1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $