专题08 不等式与不等式组篇 2026学年九年级数学中考第一轮复习

专题08 不等式与不等式组考点一：不等式与不等式组的定义 1、不等式的定义： 用不等号“＞”“＜”“≥”“≤”“≠”连接的式子叫做不等式。必须满足不等关系。 2、一元一次不等式的定义： 只含有一个未知数，且未知数的次数是1的整式不等式叫做一元一次不等式。 3、一元一次不等式组的定义： 把含有同一个未知数的几个一元一次不等式组合起来得到不等式组，这样的不等式组叫做一元一次不等式组。 （例题讲解） 1．下列式子中，是不等式的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了不等式，根据不等式的定义逐项判断即可求解，掌握不等式的定义是解题的关键． 【详解】解：、是代数式，该选项不合题意； 、是等式，该选项不合题意； 、是不等式，该选项符合题意； 、是代数式，该选项不合题意； 故选：． （练习题） 2．下列式子：①，②，③，④，⑤，⑥中，是不等式的有（   ） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【答案】C 【分析】本题考查了不等式的定义，能熟记不等式的定义是解此题的关键，注意：用不等号，，，，表示不等关系的式子，叫不等式． 根据不等式的定义逐个判断即可． 【详解】解：依题意，不等式有：①，②，⑤，⑥，共4个， 故选：C． 3．下列各式是一元一次不等式的是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了一元一次不等式“含有一个未知数，未知数的次数是1次的不等式，叫做一元一次不等式”，熟记一元一次不等式的定义是解题关键．根据一元一次不等式的定义逐项判断即可得． 【详解】解：A、不是一元一次不等式，则此项不符合题意； B、不是一元一次不等式，则此项不符合题意； C、是一元一次不等式，则此项符合题意； D、中的的次数不是1次，不是一元一次不等式，则此项不符合题意； 故选：C． 4．国家卫健委发布的《成人肥胖食养指南（2024版）》中提到：减重期间饮食要清淡，严格控制脂肪/油、盐、添加糖的摄入量，每天添加糖的摄入量最好控制在以下．若设每日添加糖的摄入量为x（），则x满足的不等关系为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查不等式，准确理解题意是解题的关键．根据题意进行求解即可． 【详解】解：每天添加糖的摄入量最好控制在以下， 故， 故选：B． 5．已知是关于x的一元一次不等式，则m的值为（ ） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】B 【分析】本题考查了一元一次不等式“含有一个未知数，未知数的次数是1的不等式，叫做一元一次不等式”，熟记一元一次不等式的定义是解题关键．根据一元一次不等式的定义可得，且，由此即可得解． 【详解】解：∵是关于x的一元一次不等式， ∴，且， ∴． 故答案为：4． 6．小林在水果摊上买了苹果，摊主称了几个苹果说：“你看秤，高高的”如果设苹果的实际质量为，用不等式把意思表示出来是（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了不等式的知识和生活常识，根据生活常识，“秤高高的”通常指称量时显示的数值超过目标值，即实际质量大于显示的数值，掌握以上知识是解答本题的关键； 本题根据不等式的知识和生活常识，进行作答，即可求解； 【详解】由题意可知，摊主称量苹果时显示为，并称“秤高高的”，这表示实际质量超过显示的，因此，用不等式表示为，对应选项C， 故选：C； 7．下列数学表达式，是不等式的有（    ） ①；②；③；④；⑤；⑥ A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【答案】C 【分析】本题主要考查了不等式的辩别．熟练掌握不等式的特征，是解答此题的关键．不等式的定义：用符号“<”或“>”表示大小关系的式子，叫做不等式，用符号“”表示不相等关系的式子也是不等式． 根据上述定义分别对各个式子进行分析判断即可得出结论． 【详解】在①；②；③；④；⑤；⑥中， 不等式有②；③；⑤；⑥，共4个； 是等式； ④是代数式． 故选：C． 8．用不等式表示“与的差是非负数” ． 【答案】 【分析】本题考查了列不等式，解题的关键是理解“非负数”的含义以及正确表示出“与的差”． 先表示出“与的差”再根据“非负数即大于等于0”列出不等式． 【详解】解：“与的差”用代数式表示为， 非负数是指大于等于0的数， 因为“与的差是非负数”， 所以可列不等式为． 故答案为：． 9．已知是关于x的一元一次不等式，则m的值为 ． 【答案】 【分析】利用一元一次不等式的定义得到，即可求解． 本题主要考查的是一元一次不等式的定义，掌握一元一次不等式的定义是解题的关键． 【详解】解：∵是关于x的一元一次不等式， ∴， 解得． 故答案为：． 10．当 时，不等式是一元一次不等式． 【答案】 【分析】本题主要考查一元一次不等式定义的“未知数的最高次数为1次”这一条件；还要注意，未知数的系数不能是0．根据一元一次不等式的定义，且，分别进行求解即可． 【详解】解：不等式是一元一次不等式， ∴， 解得：， 故答案为：． 11．用不等式表示“x的平方与a的平方之差不是正数”为 ． 【答案】 【分析】本题考查了列不等式，根据“x与a的平方差不是正数”，即“x与a的平方差小于等于0”即可． 【详解】解：x与a的平方差不是正数可表示为： 故答案为： （例题讲解）.考点二：不等式的性质 1、不等式的性质： ①不等式的性质1：不等号的左右两边都加上（或减去）同一个数（或式子），不等号方向不变。 即若，则。 ②不等式的性质②：不等号左右两边同时乘上（或除以）同一个正数，不等号方向不变。 即：，则。 ③不等式的性质③：不等式左右两边同时乘上（或除以）同一个负数，不等号方向改变。 即：，则。 ④不等式的性质④：累加性。 即：若，则。 12．如果，那么下列不等式正确的是（） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了不等式的基本性质：不等式两边同时加上或减去同一个数，不等号方向不变；不等式两边同时乘以或除以同一个正数，不等号方向不变；乘以或除以同一个负数，不等号方向改变．据此分析各选项． 【详解】解：∵， ∴对于选项A：不等式两边同时减去，不等号方向不变，故，正确． 对于选项B：不等式两边同时乘以（负数），不等号方向应改变，故，但选项为，错误． 对于选项C：不等式两边同时除以（正数），不等号方向不变，故，但选项为，错误． 对于选项D：当和同为正数时，；当和同为负数时，可能大于，但并非总是成立，故不一定正确． 因此，正确的是A． 故选：A． （练习题） 13．下列式子一定成立的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【答案】D 【分析】本题考查不等式的性质，根据不等式的性质并结合反例进行判断是解题的关键． 根据不等式的性质进行判断即可． 【详解】解：A：若，则一定有，与不一定相等，故该选项不合题意； B：若，，那么，故该选项不合题意； C：若，，那么，故该选项不合题意； D：若，，那么，故该选项符合题意． 故选：D． 14．根据下列不等式，一定可以得到的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了不等式的基本性质，解题的关键是熟练掌握不等式的基本性质． 利用不等式的基本性质逐项进行判断即可． 【详解】解：A.此选项可得同号，无法得出，不符合题意； B. 由，得，不符合题意； C. 由，得，不符合题意； D.由，得，符合题意； 故选：D． 15．若，则 0．（填“”、“”或“”）． 【答案】 【分析】该题考查了不等式的性质，根据不等式的性质，不等式两边同时乘以同一个正数，不等号方向不变． 【详解】解：由，两边同时乘以3，得，即． 故答案为：． 16．孟子曰：不以规矩，不能成方圆．同样的道理，学习数学首先就必须遵守数学中的基本法则．例如：下面命题的推理过程所得出的错误结论就是由于不遵守数学的基本法则导致的． 命题：如果a，b为实数，且满足，那么． 推理过程如下： 第一步：根据上述命题条件有；① 第二步：把①移项可得；② 第三步：把②因式分解可得；③ 第四步：把③两边除以可得；④ 第五步：把④移项可得．⑤ 请你判断上述推理过程中，第 步是不严谨的，它没有遵守数学的基本法则，考虑不全面，导致得到错误结论． 【答案】④ 【分析】本题考查不等式的基本性质（不等式两边除以同一个数时，需考虑数的正负性），熟练掌握不等式的基本性质是解题关键． 分析每一步推理是否遵循不等式两边除以一个数时“除数不能为0且需考虑正负对不等号方向的影响”这一基本法则． 【详解】第一步：根据命题条件直接得出，这是对条件的直接引用，严谨． 第二步：将移项得到，移项法则应用正确，严谨． 第三步：对因式分解为，因式分解法则应用正确，严谨． 第四步：在两边除以时，没有考虑的正负性．根据不等式的基本性质：不等式两边除以同一个正数，不等号方向不变；除以同一个负数，不等号方向改变．但此处未分析是正还是负，直接除以，推理不严谨． 第五步：由移项得到，移项法则应用正确，但因第四步不严谨，导致结论错误． 综上，上述推理过程中，第四步是不严谨的． 故答案为④． 17．如图，设长方形的长，宽，，且，则 ．（填“”或“”或“”） 【答案】 【分析】本题主要考查了不等式的性质，根据长方形面积计算公式可得，，，，可证明，则可证明，即，再由不等式的性质可得答案． 【详解】解：由题意得，，， ，， ，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 又∵， ∴， 故答案为：． 考点三：不等式与不等式组的解与解集 1、不等式的解： 使不等式左右两边不等关系成立的未知数的值叫做不等式的解。不等式的解有无数个。 2、不等式的解集： 一个含有未知数的不等式的所有解组成这个不等式的解集。 3、不等式组的解集： 不等式组中所有不等式的解集的公共部分构成不等式组的解集。 4、在数轴上表示解集： 步骤：①确定边界是实心圆还是空心圈。若有等于（即≥或≤）则是实心圆，若无等于（即＞或＜）则是空心圈。 ②确定解集的方向：大于向右，小于向左。 5、不等式组解集公共部分的确定： 若 ①同大取大。当时，则解集为。 ②同小取小。当时，则解集为。 ③大小小大去中间。当时，则解集为。 ④大大小小无解答。当时，则无解。 （例题讲解） 19．给出下列四个结论：①是不等式的解集；②是不等式的解集；③是不等式的解；④是不等式的解集．其中正确的是 ．（填序号） 【答案】③④ 【分析】本题考查了一元一次不等式的解和解集，熟练掌握定义是解题的关键； 根据解集和解的定义去判定即可． 【详解】①能使不等式成立，解集是一个范围，但只能说是不等式的一个解，不能说是不等式的解集，故说法错误； ②不等式的解集是，可以使不等式成立，但不是这个不等式的解的全体，所以不是不等式的解集，故说法错误； ③能使成立，所以是不等式的解，故说法正确； ④不等式的解集是，故说法正确． 综上所述：正确的有③④ 故答案为：③④． （练习题） 20．不等式组的解集为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了解一元一次不等式组，关键是掌握解集的规律：同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到．先求出不等式的解集，再根据找不等式组解集的规律找出即可． 【详解】解：， 解不等式①得：， 解不等式②得：， 则不等式组的解集为， 故答案为：． 21．若是某不等式的一个解，则该不等式可以是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了不等式的解，逐个判断各选项即可． 【详解】解：A、中包含，符合题意； B、中不包含，不符合题意； C、中不包含，不符合题意； D、中不包含，不符合题意； 故选：A． 22．已知实数x，y，z满足．若，则的最大值为（   ） A．19 B．26 C．21 D．30 【答案】A 【分析】本题主要考查了解一元一次不等式，根据已知等式，得到，，再由得到，求出，再由即可求出答案． 【详解】解：∵，， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴的最大值为19， 故选：A． . ,考点四：解不等式与解不等式组 1、解不等式： 步骤：①去分母——左右两边同时乘以分母的最小公倍数。 ②去括号——注意括号前面的符号确定是否变号。 ③移项——把含有未知数的项移到不等号左边，常数项移到不等号右边。注意移动的项必须变号。 ④合并——按照合并同类项的方法合并。 ⑤系数化为1——两边同时除以系数或乘上系数的倒数。注意若系数为负数时，需要改变不等号的方向。 2、解不等式组： 分别解出不等式组中的每一个不等式，然后求所有不等式的解集的公共部分。 （例题讲解） 23．不等式组的正整数解有几个（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了一元一次不等式组的解法、一元一次不等式组的正整数解，首先求出不等式组的解集，在不等式组的解集中找出正整数解即可． 【详解】解：， 解不等式得：， 解不等式得：， 不等式组的解集是， 不等式组的正整数解有、、、共个． 故选：D． （练习题） 24．已知关于x的不等式组有且只有4个整数解，那么a的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了解一元一次不等式组，一元一次不等式组的解的应用，解此题的关键是求出关于a的不等式组． 求出每个不等式的解集，求出不等式组的解集，根据已知得出关于a的不等式组，求出解集即可． 【详解】解：由得：， 由得：， 不等式组只有4个整数解， 不等式组的整数解为2、3、4、5， ， 解得， 故选：D． 25．若方程组的解，满足，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查二元一次方程组的解法与一元一次不等式组的解法，熟练通过方程组变形求出的表达式，再建立不等式组求解是解题的关键．先将方程组中的两个方程相加，求出关于的表达式，再根据列出不等式组，求解得出的取值范围． 【详解】解： ， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴ ∴， 解得：． 故选：B ． 26．不等式组的解集为(     ) A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了求不等式组的解集，分别解两个不等式，再求公共部分，即可求解． 【详解】解：解不等式得， 解不等式得， 故不等式的解集为． 故选：A． 27．已知关于x，y的二元一次方程组的解满足，则a的取值范围是 ． 【答案】 【分析】本题主要考查解一元一次不等式组，解二元一次方程组．由可得得，从而得到关于a的不等式组，即可求解． 【详解】解：， 由得：， ∴， ∵， ∴， ∴a的取值范围是. 故答案为：. 28．关于x的不等式组的最大整数解和最小整数解的差是3，则满足条件a所有的整数解的和是 ． 【答案】94 【分析】本题主要考查了不等式组的整数解， 先求出不等式组的解集，再根据题意得出最小整数解，进而得出关于a的不等式组，然后求出整数解，并求和即可. 【详解】解：不等式组， 解不等式①，得； 解不等式②，得， ∴不等式组的解集是. ∴不等式组的最大整数解是9. ∵不等式组的最大整数解和最小整数解的差为3， ∴最小整数解是6， ∴， 解得， ∴， 则. 故答案为：94. 29．已知关于的不等式组，下列结论：①若，则不等式组的解集为；②若不等式组的解集是，则；③若不等式组无解，则；④若，则不等式组一定有解．其中结论正确的是 （填序号）． 【答案】①② 【分析】本题考查的是解一元一次不等式组，正确求出每一个不等式解集是基础，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键．根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小找不到，逐一判断即可． 【详解】解：解，得， ①若，解不等式得：，故①正确； ②若不等式组的解集是，则，解得，故②正确； ③若不等式组无解，则，解得，故③错误； ④若，则，当时，不等式组无解，故④错误； 故答案为：①②． 30．不等式组的解集是，实数a满足的条件是 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了不等式组的解集，解一元一次不等式组． 根据不等式组的解集与给定解集相等，通过比较边界条件得到关于的不等式组，即可确定实数的取值范围． 【详解】解：不等式组的解集是， ∴ 解①得， 解②得， 解③得， ∴不等式组的解集为， 故答案为：． 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题08 不等式与不等式组考点一：不等式与不等式组的定义 1、不等式的定义： 用不等号“＞”“＜”“≥”“≤”“≠”连接的式子叫做不等式。必须满足不等关系。 2、一元一次不等式的定义： 只含有一个未知数，且未知数的次数是1的整式不等式叫做一元一次不等式。 3、一元一次不等式组的定义： 把含有同一个未知数的几个一元一次不等式组合起来得到不等式组，这样的不等式组叫做一元一次不等式组。 （例题讲解） 1．下列式子中，是不等式的是（   ） A． B． C． D． （练习题） 2．下列式子：①，②，③，④，⑤，⑥中，是不等式的有（   ） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 3．下列各式是一元一次不等式的 C．是（　　） A． B． D． 4．国家卫健委发布的《成人肥胖食养指南（2024版）》中提到：减重期间饮食要清淡，严格控制脂肪/油、盐、添加糖的摄入量，每天添加糖的摄入量最好控制在以下．若设每日添加糖的摄入量为x（），则x满足的不等关系为（   ） A． B． C． D． 5．已知是关于x的一元一次不等式，则m的值为（ ） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】B 6．小林在水果摊上买了苹果，摊主称了几个苹果说：“你看秤，高高的”如果设苹果的实际质量为，用不等式把意思表示出来是（ ） A． B． C． D． 7．下列数学表达式，是不等式的有（    ） ①；②；③；④；⑤；⑥ A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 8．用不等式表示“与的差是非负数” ． 9．已知是关于x的一元一次不等式，则m的值为 ． 10．当 时，不等式是一元一次不等式． 11．用不等式表示“x的平方与a的平方之差不是正数”为 ． （例题讲解）.考点二：不等式的性质 1、不等式的性质： ①不等式的性质1：不等号的左右两边都加上（或减去）同一个数（或式子），不等号方向不变。 即若，则。 ②不等式的性质②：不等号左右两边同时乘上（或除以）同一个正数，不等号方向不变。 即：，则。 ③不等式的性质③：不等式左右两边同时乘上（或除以）同一个负数，不等号方向改变。 即：，则。 ④不等式的性质④：累加性。 即：若，则。 12．如果，那么下列不等式正确的是（） A． B． C． D． （练习题） 13．下列式子一定成立的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 14．根据下列不等式，一定可以得到的是（    ） A． B． C． D． 15．若，则 0．（填“”、“”或“”）． 16．孟子曰：不以规矩，不能成方圆．同样的道理，学习数学首先就必须遵守数学中的基本法则．例如：下面命题的推理过程所得出的错误结论就是由于不遵守数学的基本法则导致的． 命题：如果a，b为实数，且满足，那么． 推理过程如下： 第一步：根据上述命题条件有；① 第二步：把①移项可得；② 第三步：把②因式分解可得；③ 第四步：把③两边除以可得；④ 第五步：把④移项可得．⑤ 请你判断上述推理过程中，第 步是不严谨的，它没有遵守数学的基本法则，考虑不全面，导致得到错误结论． 17．如图，设长方形的长，宽，，且，则 ．（填“”或“”或“”） 考点三：不等式与不等式组的解与解集 1、不等式的解： 使不等式左右两边不等关系成立的未知数的值叫做不等式的解。不等式的解有无数个。 2、不等式的解集： 一个含有未知数的不等式的所有解组成这个不等式的解集。 3、不等式组的解集： 不等式组中所有不等式的解集的公共部分构成不等式组的解集。 4、在数轴上表示解集： 步骤：①确定边界是实心圆还是空心圈。若有等于（即≥或≤）则是实心圆，若无等于（即＞或＜）则是空心圈。 ②确定解集的方向：大于向右，小于向左。 5、不等式组解集公共部分的确定： 若 ①同大取大。当时，则解集为。 ②同小取小。当时，则解集为。 ③大小小大去中间。当时，则解集为。 ④大大小小无解答。当时，则无解。 （例题讲解） 19．给出下列四个结论：①是不等式的解集；②是不等式的解集；③是不等式的解；④是不等式的解集．其中正确的是 ．（填序号） （练习题） 20．不等式组的解集为 ． 21．若是某不等式的一个解，则该不等式可以是（   ） A． B． C． D． 22．已知实数x，y，z满足．若，则的最大值为（   ） A．19 B．26 C．21 D．30 考点四：解不等式与解不等式组 1、解不等式： 步骤：①去分母——左右两边同时乘以分母的最小公倍数。 ②去括号——注意括号前面的符号确定是否变号。 ③移项——把含有未知数的项移到不等号左边，常数项移到不等号右边。注意移动的项必须变号。 ④合并——按照合并同类项的方法合并。 ⑤系数化为1——两边同时除以系数或乘上系数的倒数。注意若系数为负数时，需要改变不等号的方向。 2、解不等式组： 分别解出不等式组中的每一个不等式，然后求所有不等式的解集的公共部分。 （例题讲解） 23．不等式组的正整数解有几个（   ） A． B． C． D． （练习题） 24．已知关于x的不等式组有且只有4个整数解，那么a的取值范围是（   ） A． B． C． D． 25．若方程组的解，满足，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 26．不等式组的解集为(     ) A． B． C． D． 27．已知关于x，y的二元一次方程组的解满足，则a的取值范围是 ． 28．关于x的不等式组的最大整数解和最小整数解的差是3，则满足条件a所有的整数解的和是 ． 29．已知关于的不等式组，下列结论：①若，则不等式组的解集为；②若不等式组的解集是，则；③若不等式组无解，则；④若，则不等式组一定有解．其中结论正确的是 （填序号）． 30．不等式组的解集是，实数a满足的条件是 ． 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $