2.3　等腰三角形的性质定理 课件 2025-2026学年 浙教版八年级数学上册

第１课时　等腰三角形的性质定理1及推论 2.3　等腰三角形的性质定理 初中数学  　等边对等角 1.(2025金华义乌绣湖中学期中)在△ABC中,AB=AC,∠B=65°, 则∠A等于 ( ) A.25°　　　    B.50°　　　    C.65°　　　    D.115° 　B     解析　∵AB=AC,∠B=65°,∴∠B=∠C=65°, ∴∠A=180°-65°×2=50°.故选B. 初中数学 2.(2024甘肃兰州中考)如图,在△ABC中,AB=AC,∠BAC=130°, DA⊥AC,则∠ADB= ( )   A.100°　　　    B.115°　　　    C.130°　　　    D.145° 　B     初中数学 解析　∵在△ABC中,AB=AC,∴∠B=∠C, ∵∠BAC=130°,∴∠B=∠C= =25°, ∵DA⊥AC,∴∠DAC=90°, ∴∠ADB=∠DAC+∠C=90°+25°=115°.故选B. 初中数学 3.【学科特色·易错题】(2025绍兴诸暨期中)等腰三角形的一 个角的度数为80°,它的另外两个角的度数分别为_______________________. 50°,50°         80°,20°或 解析　①当这个角是底角时,另外两个角的度数分别为80°,20°; ②当这个角是顶角时,另外两个角的度数分别为50°,50°. 故答案为 80°,20°或50°,50°. 初中数学 易错警示    当题目没有明确是顶角还是底角时,要考虑两种 情况.本题易因忽略分类讨论而漏解. 初中数学 4.(2025杭州十四中附属学校期中)如图,在△PAB中,PA= PB,M,N,K分别是PA,PB,AB上的点,且AM=BK,BN=AK, 若∠MKN=44°,求∠P的度数.   初中数学 解析　∵PA=PB,∴∠A=∠B, 在△AMK和△BKN中,∵ , ∴△AMK≌△BKN(SAS),∴∠AKM=∠BNK, ∵∠AKN=∠B+∠BNK,即∠AKM+∠MKN=∠B+∠BNK, ∴∠B=∠MKN=44°,∴∠P=180°-2×44°=92°. 初中数学  　等边三角形的性质 5.(2024山东泰安中考)如图,直线l∥m,等边三角形ABC的两个 顶点B,C分别落在直线l,m上,若∠ABE=21°,则∠ACD的度数 是 ( )   A.45°　　　    B.39°　　　    C.29°　　　    D.21° 　B     初中数学 解析　如图,过点A作AF∥l,∵直线l∥m,∴AF∥m, ∵△ABC是等边三角形,∴∠BAC=60°, ∵AF∥l,∴∠BAF=∠ABE=21°, ∴∠CAF=∠BAC-∠BAF=60°-21°=39°, ∵AF∥m,∴∠ACD=∠CAF=39°.故选B. 初中数学 6.(2024四川宜宾中考)如图,点D、E分别是等边三角形ABC边 BC、AC上的点,且BD=CE,BE与AD交于点F.求证:AD=BE.   初中数学 证明　∵△ABC为等边三角形, ∴∠ABD=∠C=60°,AB=BC, 在△ABD和△BCE中,∵  ∴△ABD≌△BCE(SAS),∴AD=BE. 初中数学   7.(2025温州瑞安、龙湾六校联考期中,★★☆)在如图所示的 钢架示意图中,∠A=25°,焊上等长的钢条P1P2,P2P3…来加固钢 架.若P1A=P1P2,问这样的钢条至多需要 ( ) 　B     A.2根　　　    B.3根　　　    C.4根　　　    D.5根 初中数学 解析　如图,   ∵P1A=P1P2,∴∠A=∠P1P2A=25°, ∴∠P2P1P3=∠A+∠P1P2A=50°, 初中数学 ∵P1P2=P2P3,∴∠P1P3P2=∠P2P1P3=50°, ∴∠P3P2P4=∠A+∠P1P3P2=25°+50°=75°, ∵P2P3=P3P4, ∴∠P3P4P2=∠P3P2P4=75°, ∴∠P4P3C=∠A+∠P3P4P2=25°+75°=100°, 此时不能再往上焊接了. 综上所述,可焊上等长的钢条P1P2,P2P3,P3P4,共3根.故选B. 初中数学 技巧点拨    依次求出每添加一根钢条后所形成的等腰三角形 的底角的度数,根据等腰三角形的底角为锐角,确定最多能添 加的钢条根数. 初中数学 8.【新考向·规律探究题】(★★☆)如图,在△ABA1中,AB=A1B, ∠B=20°.在A1B上取一点C,延长AA1到点A2,使A1A2=A1C,连结A2 C;在A2C上取一点D,延长A1A2到点A3,使A2A3=A2D,连结A3D;… …,按此操作进行下去,以点A5为顶角顶点的等腰三角形的底 角的度数为 ( ) 　D     A.20°　　　    B.10°　　　    C.5°　　　     D.2.5° 初中数学 解析　∵△ABA1中,AB=A1B,∠B=20°,∴∠BA1A=80°, ∵A1A2=A1C,∠BA1A是△A1A2C的外角, ∴∠CA2A1=40°,同理可得∠DA3A2=20°,∠EA4A3=10°, ∴以点An为顶角顶点的等腰三角形的底角的度数为 , ∴以点A5为顶角顶点的等腰三角形的底角的度数为 =2.5°. 故选D. 初中数学 9.(2025宁波海曙储能学校期中,★★☆)如图,P,Q是△ABC边 上的两点,且BP=PQ=QC=AP=AQ,则∠BAC的度数为________.       120° 初中数学 解析　∵BP=PQ=QC=AP=AQ, ∴△PAQ是等边三角形,∠B=∠BAP,∠C=∠CAQ, ∴∠PAQ=∠APQ=∠AQP=60°, 又∵∠BAP+∠B=∠APQ,∠C+∠CAQ=∠AQP, ∴∠BAP=∠CAQ=30°, ∴∠BAC=∠BAP+∠PAQ+∠CAQ=120°. 初中数学 10.(2025杭州滨江滨和中学期中,★★☆)如图,已知等腰△ ABC中,AB=AC,D是边AB上一动点(不与点A、B重合),E是线 段CD延长线上一点,∠BEC=∠BAC. (1)求证:∠EBA=∠DCA. (2)小华在研究这个问题时,提出了一个新的问题:点D在运动 的过程中(不与点A、B重合),∠AEC与∠ABC是否会相等?小 丽思考片刻后,提出了自己的想法:可以在线段CE上取一点H, 使得CH=BE,连结AH,然后通过学过的知识就能得到∠AEC与 ∠ABC相等.请你根据小丽同学的想法,求证:∠AEC=∠ABC. 初中数学 证明    (1)∵∠BEC+∠BDE+∠EBA=180°,∠BAC+∠ADC+∠ DCA=180°, ∴∠BEC+∠BDE+∠EBA=∠BAC+∠ADC+∠DCA, 又∵∠BEC=∠BAC,∠BDE=∠ADC, ∴∠EBA=∠DCA. (2)在线段CE上取一点H,使得CH=BE,连结AH,如图所示, 初中数学 ∵AB=AC,∴∠ABC=∠ACB= (180°-∠BAC), 由(1)可知,∠EBA=∠DCA, 在△ABE和△ACH中,∵ , ∴△ABE≌△ACH(SAS),∴AE=AH,∠BAE=∠CAH, ∴∠BAE+∠DAH=∠CAH+∠DAH,即∠EAH=∠BAC, ∵AE=AH,∴∠AEC=∠AHD= (180°-∠EAH)= (180°-∠BAC), ∴∠AEC=∠ABC. 初中数学   11.【新课标·抽象能力】(2025杭州萧山月考)如图,△ABC中, AB=BC=AC=12 cm,现在有点M,N分别从点A,B同时出发,沿△ ABC的边按顺时针方向运动,已知点M的速度为1 cm/s,点N的 速度为2 cm/s,当点N第一次到达点B时,M,N同时停止运动,设 运动时间为t s. (1)当t为何值时,M,N两点重合?两点重合在什么位置? 初中数学 (2)当点M,N在BC边(包含点B,C)上运动时,能否得到以MN为底 边的等腰三角形AMN?如果存在,请求出此时点M,N运动的时 间. 初中数学 解析    (1)由题意得,t+12=2t,解得t=12, ∴2t=24,∴当t=12时,M,N两点重合,此时两点重合在点C处. (2)当点M,N在BC边上运动时,能得到以MN为底边的等腰三角 形AMN.理由如下: 由(1)可知,当点M,N运动12秒时,M,N两点重合,此时AM=AN,但 不能构成等腰三角形; 如图, 初中数学 ∵△AMN是以MN为底边的等腰三角形, ∴AN=AM,∴∠ANM=∠AMN, ∴∠AMC=∠ANB. ∵AB=BC=AC, ∴△ACB是等边三角形, ∴∠C=∠B=60°. 在△ACM和△ABN中,∵  初中数学 ∴△ACM≌△ABN(AAS),∴CM=BN. ∵CM=(t-12)cm,NB=(36-2t)cm, ∴t-12=36-2t,解得t=16. 综上所述,当点M,N在BC边上运动时,能得到以MN为底边的等 腰三角形AMN,此时点M,N运动的时间为16秒. 初中数学 第2课时　等腰三角形的性质定理2 2.3　等腰三角形的性质定理 初中数学 1.如图,在△ABC中,AB=AC,若D是BC边上的一点,则下列条件 不能说明AD⊥BC的是 ( ) A.BD=CD　　　      B.∠ADB=∠ADC C.∠BAD=∠CAD　　　    D.BC=2AD 　D      　等腰三角形的三线合一 初中数学 解析　∵AB=AC,∴△ABC是等腰三角形,根据等腰三角形三 线合一可知A、C选项能说明AD⊥BC; ∵∠ADB=∠ADC,∠ADB+∠ADC=180°,∴∠ADB=∠ADC=90°,∴AD⊥BC,故B选项能说明AD⊥BC;BC=2AD不能说明AD⊥BC,故D选项符合题意.故选D. 初中数学 2.(2024云南中考)已知AF是等腰△ABC底边BC上的高,若点F 到直线AB的距离为3,则点F到直线AC的距离为 ( ) A. 　　　    B.2　　　    C.3　　　    D.  　C     解析　∵AF是等腰△ABC底边BC上的高, ∴AF是顶角∠BAC的平分线, ∵点F到直线AB的距离为3, ∴点F到直线AC的距离为3.故选C. 初中数学 3.【学科特色·教材变式】如图,在△ABC中,AB=AC,AD是BC 边上的中线,DE∥AB交AC于点E,若∠BAC=50°,则∠ADE的 度数为___________.       25°     解析　∵AB=AC,AD是BC边上的中线,∴∠DAC=∠BAD=  ∠BAC=25°,∵DE∥AB,∴∠ADE=∠BAD=25°. 初中数学 4.(2025杭州萧山月考)如图,AB=AE,∠B=∠E,BC=DE,CF=DF, 求证:AF⊥CD.   初中数学 证明　如图,连结AC,AD,   在△ABC和△AED中,∵  ∴△ABC≌△AED(SAS),∴AC=AD, ∴△ACD是等腰三角形,又∵CF=DF,∴AF⊥CD. 初中数学 5.(2025绍兴诸暨期中,★★☆)如图,△ABC是等边三角形,AD 是BC边上的中线,点E在AD上,连结CE并延长,交AB于点F,且 DE= BC,则∠AFE的度数为____________.       105°     初中数学 解析　∵△ABC是等边三角形,∴∠BAC=60°, ∵AD是BC边上的中线, ∴∠BAD= ∠BAC=30°,AD⊥BC,BD=CD= BC, ∴∠CDE=90°,∵DE= BC,∴DE=DC, ∴∠DEC=∠DCE=45°,∴∠AEF=∠DEC=45°, ∴∠AFE=180°-∠BAD-∠AEF=180°-30°-45°=105°. 初中数学 6.【新课标·推理能力】(2025杭州拱墅树兰中学月考)在△ ABC中,AB=AC. (1)AD是BC边上的高,AD=AE,连结D. ①如图1,若∠BAD=30°,则∠EDC=_______°. ②如图2,若∠BAD=40°,则∠EDC=_______°. 初中数学 (2)思考:通过以上两小题,你发现∠BAD与∠EDC之间有什么 关系?请用式子表示:___________. (3)如图3,如果AD不是BC边上的高,AD=AE,上述关系是否成 立?并说明理由.      图1　　　　　图2　　　　　　图3 初中数学 解析    (1)①15. 详解:∵在△ABC中,AB=AC,AD是BC边上的高, ∴∠BAD=∠CAD,∠ADC=90°, ∵∠BAD=30°,∴∠CAD=30°, ∵AD=AE,∴∠ADE=∠AED= ×(180°-30°)=75°, ∴∠EDC=∠ADC-∠ADE=90°-75°=15°. ②20. 详解:∵在△ABC中,AB=AC,AD是BC边上的高, 初中数学 ∴∠BAD=∠CAD,∠ADC=90°, ∵∠BAD=40°,∴∠CAD=40°, ∵AD=AE,∴∠ADE=∠AED= ×(180°-40°)=70°, ∴∠EDC=∠ADC-∠ADE=90°-70°=20°. (2)∠EDC= ∠BAD. (3)成立.理由: ∵AD=AE,∴∠ADE=∠AED, ∴∠BAD+∠B=∠ADC=∠ADE+∠EDC=∠AED+∠EDC=(∠ 初中数学 EDC+∠C)+∠EDC=2∠EDC+∠C, ∵AB=AC,∴∠B=∠C,∴∠BAD=2∠EDC. 初中数学 $