精品解析：江西省吉安市十校联考2025-2026学年上学期期中联考九年级数学试题

吉安市十校联盟2025---2026学年第一学期期中联考 九年级数学试卷 考试时间：120分钟、全卷满分120分 一、选择题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 1. 下列方程中是关于x的一元二次方程的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据一元二次方程的定义即形如的整式方程判断． 本题考查了一元二次方程的定义即形如的整式方程，熟练掌握定义是解题的关键． 【详解】解： A. ，整理得，，不是一元二次方程，不符合题意； B. ，不一定是一元二次方程，不符合题意； C. ，不是一个未知数，不符合题意； D. ，是一元二次方程，符合题意； 故选D． 2. 已知5x=6y（y≠0），那么下列比例式中正确的是（　　） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】比例的基本性质：组成比例的四个数，叫做比例的项．两端的两项叫做比例的外项，中间的两项叫做比例的内项，根据两内项之积等于两外项之积可得答案． 【详解】A．，则5y=6x，故此选项错误； B．，则xy=30，故此选项错误； C．，则5y=6x，故此选项错误； D．，则5x=6y，故此选项正确； 故选：D． 【点睛】此题主要考查了比例的性质，关键是掌握两内项之积等于两外项之积． 3. 如图，下列四个条件中，能判定平行四边形ABCD为菱形的是（　　） A. ∠ADB＝90° B. OA＝OB C. OA＝OC D. AB＝BC 【答案】D 【解析】 【分析】根据菱形的判定定理和矩形的判定定理分别对各个选项进行推理判断即可． 【详解】A、平行四边形ABCD中，∠ADB＝90°， 不能判定四边形ABCD为菱形，故选项A不符合题意； B、∵四边形ABCD是平行四边形， ∴OA＝OC，OB＝OD， ∵OA＝OB， ∴AC＝BD， ∴平行四边形ABCD是矩形，不能判定四边形ABCD为菱形，故选项B不符合题意； C、∵四边形ABCD是平行四边形， ∴OA＝OC，不能判定四边形ABCD为菱形，故选项C不符合题意； D、∵四边形ABCD是平行四边形，AB＝BC， ∴平行四边形ABCD是菱形；故选项D符合题意； 故选：D． 【点睛】本题考查菱形的判定定理、矩形的判定定理以及平行四边形的性质；熟练掌握菱形的判定定理、矩形的判定定理是解题的关键． 4. 一元二次方程经过配方后，可变形为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了配方法解方程，正确运用配方的基本要领解答即可． 【详解】， ， ， ， 故选C． 5. 如图．随机闭合开关、、中的两个，则能让两盏灯泡、同时发光的概率为（　　） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】此题考查了列表法与树状图法，弄清题中的电路图是解本题的关键．找出随机闭合开关、、中的两个的情况数以及能让两盏灯泡、同时发光的情况数，即可求出所求概率． 【详解】解：画树状图，如图所示： 随机闭合开关、、中的两个有六种情况：闭合，闭合，闭合，闭合，闭合，闭合， 能让两盏灯泡、同时发光的有两种情况：闭合，闭合， 则（能让两盏灯泡、同时发光）． 故选：D 6. 如图，正方形ABCO和正方形DEFO的顶点A、O、E在同一直线l上，且，，给出下列结论：①；②；③；④四边形的面积与正方形的面积相等．其中正确的结论为（　　） A. ①②③④ B. ①② C. ①②③ D. ①③④ 【答案】C 【解析】 【分析】过点D作于点N，延长交直线于M，连接，如图，根据四边形、四边形是正方形，可得，判断①正确；证明，可得，又，可得，判断②正确；在中，，可判断③正确；根据，，有，可得四边形的面积与正方形的面积不相等，判断④不正确． 【详解】过点D作于点N，延长交直线于M，连接， 四边形、四边形是正方形， ，， ，故①正确； ， ， 又，， ， ，， 又， ， ，故②正确； 四边形是正方形， 是等腰直角三角形， ， ， ， 四边形是矩形， ，， ，， 在中，， ，故③正确； ，， ， ， 四边形的面积与正方形的面积不相等，故④不正确； 正确的有①②③， 故选：C． 【点睛】本题考查正方形的性质与应用，涉及全等三角形的判定与性质，勾股定理及三角形面积，解题的关键是掌握正方形的性质． 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 7. 已知则_______________ 【答案】 【解析】 【分析】根据比例的性质求解即可. 【详解】解：∵，∴设a=4k，b=3k，∴. 故答案为. 【点睛】本题考查了比例的性质，属于基础题型，掌握变形的方法是解题关键. 8. 若关于x的一元二次方程有实数根，则m的最大整数值是______． 【答案】4 【解析】 【分析】本题考查了根的判别式和解一元一次不等式，能得出关于m的不等式是解此题的关键． 根据方程有实数根得出且，求出不等式的解集即可． 【详解】解：∵关于x的一元二次方程有实根， ∴且， 解得：且， m的最大整数解为4． 故答案为：4． 9. 从1、－1、0三个数中任取两个不同的数作为点的坐标，则该点在坐标轴上的概率是_________． 【答案】 【解析】 【分析】根据题意列表得出所有等可能的情况数，找出刚好在坐标轴上的点个数，即可求出所求的概率． 【详解】解：列表得： -1 1 0 -1 --- （1，-1） （0，-1） 1 （-1，1） --- （0，1） 0 （-1，0） （1，0） --- 所有等可能的情况有6种，其中该点刚好在坐标轴上的情况有4种， 所以该点在坐标轴上的概率. 故答案为：． 【点睛】本题考查列表法与树状图法和点的坐标特征，注意掌握通过列表法或树状图法展示所有等可能的结果求出n，再从中选出符合事件A或B的结果数目m，然后根据概率公式求出事件A或B的概率． 10. 设m、n是一元二次方程x2+3x-5=0的两个根，则m2+4m+n=___． 【答案】2 【解析】 【分析】先利用一元二次方程根的定义得到m2=-3m+5，则m2+4m+n化为m+n+5，再利用根与系数的关系得到m+n=-3，然后利用整体代入的方法计算． 【详解】解：∵m是一元二次方程x2+3x-5=0的根， ∴m2+3m-5=0， ∴m2=-3m+5， ∴m2+4m+n=-3m+5+4m+n=m+n+5， ∵m、n是一元二次方程x2+3x-5=0的两个根， ∴m+n=-3， ∴m2+4m+n=-3+5=2． 故答案为：2． 【点睛】本题考查了根与系数的关系：若x1，x2是一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的两根，则x1+x2=-，x1x2=． 11. 菱形的边长为2，，点、分别是、上的动点，的最小值为______． 【答案】 【解析】 【分析】过点C作CE⊥AB于E，交BD于G，根据轴对称确定最短路线问题以及垂线段最短可知CE为FG+CG的最小值，当P与点F重合，Q与G重合时，PQ+QC最小，在直角三角形BEC中，勾股定理即可求解． 【详解】解：如图，过点C作CE⊥AB于E，交BD于G，根据轴对称确定最短路线问题以及垂线段最短可知CE为FG+CG最小值，当P与点F重合，Q与G重合时，PQ+QC最小， 菱形的边长为2，， 中， PQ+QC的最小值为 故答案为： 【点睛】本题考查了菱形的性质，勾股定理，轴对称的性质，掌握轴对称的性质求线段和的最小值是解题的关键． 12. 如图，矩形在平面直角坐标系中，点B，C分别在x轴，y轴上，，点D为的中点，点P沿运动，速度为每秒1个单位长度．若为等腰三角形，则点P的坐标为________． 【答案】或或 【解析】 【分析】根据矩形中点的坐标求出相应线段的长度，设运动时间为t秒，分，，，三种情况，结合等腰三角形的定义和勾股定理列出方程求解即可． 【详解】解：在矩形中，， ∴，， ∵D为的中点， ∴， ∴，， 设运动时间为t秒， 当时， 点P与点C重合，此时； 当时， ，， ∵， ∴， 解得：， ∴，即； 当时， 同理：， ∵， ∴， 解得：或（舍）， ∴，即； 综上：点P的坐标为或或， 故答案为：或或． 【点睛】本题考查了坐标与图形，矩形的性质，等腰三角形的定义，勾股定理，解题的关键是找准所有情况，利用等腰三角形两腰相等结合勾股定理列出方程求解． 三、解答题（本大题共5小题，每小题6分，共30分） 13. （1）解方程：． （2）已知，且，求的值． 【答案】（1），；（2）14 【解析】 【分析】本题考查解一元二次方程，比例性质，代数式求值，熟练掌握比例性质是解答的关键． （1）利用因式分解法解方程即可； （2）根据比例性质，设，，，由列方程求得，进而求得a、b、c，代值求解即可． 【详解】解：（1）原方程化为 ∴或 ∴，； （2）由可设，，， 由得， 解得， ∴，，， ∴． 14. 如图，已知在中，，，，． （1）求的长； （2）当时，求的长 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查了平行线分线段成比例定理． （1）根据平行线分线段成比例定理得出比例式，求出即可； （2）根据平行线分线段成比例定理，求出即可． 【小问1详解】 解：∵， ∴， ∵，，， ∴， ∴； 【小问2详解】 解：∵，， ， ∴ ， ∴， 解得： ． 15. 某校在践行以“安全在我心中，你我一起行动”为主题的手抄报评比活动中，共设置了“交通安全、消防安全、饮食安全、校园安全”四个主题内容，推荐甲和乙两名学生参加评比，若他们每人从以上四个主题内容中随机选择一个，每个主题被选择的可能性相同． （1）甲选择“校园安全”主题的概率为______； （2）请用画树状图法或列表法求甲和乙选择不同主题的概率． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查了画树状图求事件的概率，熟练掌握画树状图求事件的概率是解题的关键． （1）直接利用概率公式求解即可； （2）画树状图，求得所有等可能的结果数，再找出甲和乙选择不同主题的结果数，利用概率公式求解即可． 【小问1详解】 解：共有四种等可能结果，甲选择“校园安全”主题的结果只有一种，所以甲选择“校园安全”主题的概率为． 故答案为：． 【小问2详解】 解：设交通安全、消防安全、饮食安全、校园安全分别为A、B、C、D， 画树状图为： ， 共有16种等可能结果，其中甲和乙选择不同主题的结果有12种， 则甲和乙选择不同主题的概率为． 16. 如图，，在中，，点A在直线上，B、C两点在上，D、E分别是的中点，请仅用无刻度的直尺按下列要求画图． （1）在图1中，画出边的中线； （2）在图2中，画出一个以为对角线的菱形． 【答案】（1）见解析 （2）见解析 【解析】 【分析】（1）根据中线的定义，三角形三条中线交于一点，作图解答即可． （2）根据直角三角形的性质，得到，连接，并延长交于点G，连接，则四边形即为所求作的一个以为对角线的菱形． 【小问1详解】 解：根据中线的定义，三角形三条中线交于一点，作图如下： 则即为所求． 【小问2详解】 解：根据题意，作图如下： 则四边形即为所求作的一个以为对角线的菱形．理由如下： ∵，边上的中线为， ∴， 连接，并延长交于点G， 连接， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴四边形是平行四边形， ∵， ∴四边形是菱形． 则四边形即为所求作一个以为对角线的菱形． 【点睛】本题考查了基本作图，三角形的中线，直角三角形的性质，平行四边形的判定，菱形的判定，平行线的性质，三角形相似的判定和性质，熟练掌握作图，三角形相似判定和性质，菱形的判定是解题的关键． 17. 已知：关于x的方程 （1）求证：无论 取何值，方程总有实数根； （2）若等腰的一边长 ，另两边长，且，恰好是这个方程的两个根，求的周长． 【答案】（1）见解析 （2） 【解析】 【分析】本题考查了等腰三角形的定义，一元二次方程的根的判别式：①当，方程有两个不相等的实数根；②当，方程有两个相等的实数根；③当，方程没有实数根．． （1）先计算出，然后根据非负数的性质和根的判别式的意义判断方程根的情况； （2）当时，，则，再把代入方程，求出方程的解，然后计算三角形周长． 【小问1详解】 证明：∵， ，即， 无论取任何实数值，方程总有实数根； 【小问2详解】 解：当时，，则， 方程化为，解得， 的周长； 四、解答题（本大题共3小题，每小题8分，共24分） 18. 公安交警部门提醒市民，骑车出行必须严格遵守“一盔一带”的规定．某头盔经销商统计了某品牌头盔10月份到12月份的销量，该品牌头盔10月份销售50个，12月份销售72个，10月份到12月份销售量的月增长率相同． （1）求该品牌头盔销售量的月增长率； （2）若此种头盔的进价为30元/个，商家经过调查统计，当售价为40元/个时，月销售量为500个，若在此基础上售价每上涨1元/个，则月销售量将减少10个，为使月销售利润达到8000元，且尽可能让顾客得到实惠，则该品牌头盔每个售价应定为多少元？ 【答案】（1） （2）50 【解析】 【分析】本题主要考查了一元二次方程的实际应用， （1）设该品牌头盔销售量的月增长率为x，根据该品牌头盔10月份销售50个，12月份销售72个列出方程求解即可； （2）设该品牌头盔每个售价为y元，根据利润（售价进价）销售量列出方程求解即可． 【小问1详解】 解；设该品牌头盔销售量的月增长率为x， 依题意，得 解得，（不合题意，舍去） 答：该品牌头盔销售量的月增长率为． 【小问2详解】 解：设该品牌头盔每个售价为y元， 依题意，得 整理，得 解得 因尽可能让顾客得到实惠 所以不合题意，舍去． 所以． 答：该品牌头盔每个售价应定为50元． 19. 如图，在中，，过点C的直线，D为边上一点，过点D作，交直线于E，垂足为F，连接． （1）求证：； （2）当D在中点时，四边形是什么特殊四边形？说明你的理由； （3）若D为中点，则当满足什么条件时，四边形是正方形？请说明你的理由． 【答案】（1）见解析 （2）四边形是菱形；理由见解析 （3）当，四边形是正方形，理由见解析 【解析】 【分析】（1）根据，结合得，则，结合，证出四边形是平行四边形，根据平行四边形的性质得． （2）由题（1）得，根据直角三角形斜边上的中线的性质，得，可判定四边形是平行四边形，又根据，判定平行四边形是菱形． （3）根据三角形内角和，当时，得，得出，根据等腰三角形的性质得出，即，又根据正方形的判定，即可判定四边形是正方形． 【小问1详解】 证明：∵，， ∴， ∴， ∵， ∴四边形是平行四边形， ∴． 【小问2详解】 解：四边形是菱形． 理由：∵D是的中点， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴四边形平行四边形， ∵， ∴， ∴四边形是菱形． 【小问3详解】 解：当，四边形是正方形． 理由：∵，， ∴， ∴， ∵D是的中点， ∴，即， ∵由（2）得四边形是菱形， ∴四边形是正方形． 【点睛】本题考查平行四边形的判定与性质，菱形的判定与性质，三角形内角和定理和直角三角形斜边上的中线的性质等知识点，解题的关键是熟练掌握平行四边形的判定与性质，菱形的判定与性质． 20. 阅读下列材料：把形如的二次三项式（或其一部分）配成完全平方式的方法叫做配方法，配方法的基本形式是完全平方公式的逆写，即．配方法可以解决代数式值的最小（或最大）问题． 例如：当取何值时，代数式有最小（或最大）值？ ， 当时，代数式有最小值． 【直接应用】 （1）仿照上述例子解决问题：当取何值时，代数式有最小（或最大）值？最小（或最大）值是多少？ 【拓展应用】 （2）如图，要围成一个矩形鸡场，一边靠墙（墙长24米），另三边用总长为40米的竹篱笆围成． ①请用含的代数式表示矩形鸡场的面积； ②当为何值时，围成的矩形鸡场的面积最大？最大面积是多少？ 【答案】（1）当时，代数式有最小值 （2）①矩形鸡场的面积为；②当米时，围成的矩形鸡场的面积最大，最大面积是平方米 【解析】 【分析】本题主要考查配方法的运用，理解配方法的计算方法是关键． （1）根据材料提示的配方法求解即可； （2）①根据图示得到矩形的长及取值范围，由矩形的面积公式即可求解；②根据材料提示的配方法，结合矩形的面积公式即可求解． 【详解】解：（1） ， ∵， ∴， ∴当时，代数式有最小值； （2）①根据图示，矩形鸡场的长为米， ∵墙长24米， ∴， ∴， ∴矩形鸡场的面积为； ② ， ∵， ∴， ∴当时，代数式有最大值， ∴当米时，围成的矩形鸡场的面积最大，最大面积是平方米． 五、解答题（本大题共2小题，每小题9分，共18分） 21. 【课本再现】如图，画，并画出斜边上的中线，量一量，看与有什么关系，相信你与你的同伴一定会发现：恰好是的一半、下面让我们用演绎推理证明这一猜想． 已知：如图，在中，，是斜边上的中线． 求证：． 证明：延长至点，使，连结，． （1）【定理证明】请根据以上提示，结合图1，写出完整的证明过程． （2）【结论应用】如图2，在四边形中，，，，是的中点，连接，．求的度数． 【答案】（1）见解析 （2） 【解析】 【分析】本题考查矩形的判定和性质，直角三角形斜边中线的性质，等腰三角形的性质等： （1）证明四边形是矩形，推出，可得． （2）先根据已知条件证明，再根据等腰三角形的性质和直角三角形斜边中线的性质得出，再根据三角形内角和定理、等边对等角，即可求解． 【小问1详解】 解：补全后的证明过程如下： 证明：延长至点，使，连接，， 是斜边上的中线， ， 又， 四边形是平行四边形， 又， 四边形是矩形， ， ． 【小问2详解】 解：如图，连接， ，，， ， ， 是的中点， ， ， ， ， ． 22. 邻边不相等的平行四边形纸片，剪去一个菱形，余下一个四边形，称为第一次操作；在余下的四边形纸片中再剪去一个菱形，又余下一个四边形，称为第二 次操作;……依此类推，若第n次操作余下的四边形是菱形，则称原平行四边形为n阶准菱形．如图1，平行四边形ABCD中，若AB=1，BC=2，则平行四边形ABCD为1阶准菱形． （1）判断与推理： ①邻边长分别为2和3平行四边形是_________阶准菱形； ②为了剪去一个菱形，进行如下操作：如图2，把平行四边形ABCD沿BE折叠（点E在AD上），使点A落在BC边上的点F，得到四边形ABFE，请证明四边形ABFE是菱形； （2）操作与计算： 已知平行四边形ABCD的邻边长分别为l，a（a>1），且是3阶准菱形，请画出平行四边形ABCD及裁剪线的示意图，并在图形下方写出a的值． 【答案】（1）①2；②证明见解析；（2）作图见解析，a的值分别是：a1=4，a2=，a3=，a4=． 【解析】 【分析】（1）①根据邻边长分别为2和3的平行四边形经过两次操作，即可得出所剩四边形是菱形，即可得出答案； ②根据平行四边形的性质得出AE∥BF，进而得出AE=BF，即可得出答案； （2）利用3阶准菱形的定义，即可得出答案；根据a=6b+r，b=5r，用r表示出各边长，进而利用图形得出▱ABCD是几阶准菱形． 【详解】解：（1）①邻边长分别为2和3平行四边形是2阶准菱形； 故答案为：2； ②如图2，由BE是四边形ABFE的对称轴，即知∠ABE=∠FBE，且AB=BF，EA=EF，又因为AE∥BF，所以∠AEB=∠FBE，从而有∠AEB=∠ABE，因此AB=AE，据此可知AB=AE=EF=BF，故四边形ABFE为菱形； （2）如图，必为a＞3，且a=4； 如图，必为2<a<3，且a=2.5； 如图，必为<a<2，且a-1+，解得a=； 如图，必为1<a<，且3（a-1）=1，解得a= 综上所述，a的值分别是：a1=4，a2=，a3=，a4=． 【点睛】本题考查图形的剪拼，平行四边形的性质，菱形的性质，作图---应用与作图设计． 六、解答题（本大题共12分） 23. 如图，在正方形中，点，分别在边，上，且，延长到点，使得，连接，，． （1）图中与的数量关系是_____． （2）图2，将图1中的绕着点逆时针旋转，连接并延长到点，使得，连接，，，此时与还存在（1）中的数量关系吗？判断并说明理由． （3）在（2）的条件下，若，，当是以为直角边的直角三角形时，请求出的长． 【答案】（1） （2）与 仍然存在（1）中的数量关系．理由见解析 （3）的长为或 【解析】 【分析】（1）连接，证明，由全等三角形的性质得出，，得出为等腰直角三角形即可； （2）类似（1）的方法，先证明，再证，得出为等腰直角三角形即可； （3）分两种情况：当时；当时，结合（2）中结论，利用勾股定理求解即可． 【小问1详解】 解：连接， ∵四边形是正方形， ∴，， ∵， ∴， 即 ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴图中与的数量关系是， 故答案为：； 【小问2详解】 与仍然存在（1）中的数量关系． 理由：如图，连接， ∵将图中的绕着点逆时针旋转， ∴，， ∴， 即， 在和中， ， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∵ ， ∴， 在和中 ， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴， 即， ∴与仍然存在（1）中的数量关系； 【小问3详解】 当时，如图， ∵，，，， ∴， ， ∴， ∴、、在一条直线上， ∵，，， ∴， ∵， ∴， ∴； 当时，如图， ∴， 由（2）得，， ∴，， ∴， ∴、、在一条直线上， 过点作于点， ∵，， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 综上所述，的长为或． 【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质，等腰三角形的性质，勾股定理，直角三角形斜边中线的性质，正方形的性质，旋转的性质，熟练掌握全等三角形的判定与性质、利用分类讨论的思想解决问题是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 吉安市十校联盟2025---2026学年第一学期期中联考 九年级数学试卷 考试时间：120分钟、全卷满分120分 一、选择题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 1. 下列方程中是关于x的一元二次方程的是（ ） A. B. C. D. 2. 已知5x=6y（y≠0），那么下列比例式中正确的是（　　） A. B. C. D. 3. 如图，下列四个条件中，能判定平行四边形ABCD为菱形的是（　　） A. ∠ADB＝90° B. OA＝OB C. OA＝OC D. AB＝BC 4. 一元二次方程经过配方后，可变形为（ ） A. B. C. D. 5. 如图．随机闭合开关、、中的两个，则能让两盏灯泡、同时发光的概率为（　　） A. B. C. D. 6. 如图，正方形ABCO和正方形DEFO的顶点A、O、E在同一直线l上，且，，给出下列结论：①；②；③；④四边形的面积与正方形的面积相等．其中正确的结论为（　　） A. ①②③④ B. ①② C. ①②③ D. ①③④ 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 7. 已知则_______________ 8. 若关于x的一元二次方程有实数根，则m的最大整数值是______． 9. 从1、－1、0三个数中任取两个不同的数作为点的坐标，则该点在坐标轴上的概率是_________． 10. 设m、n是一元二次方程x2+3x-5=0的两个根，则m2+4m+n=___． 11. 菱形的边长为2，，点、分别是、上的动点，的最小值为______． 12. 如图，矩形在平面直角坐标系中，点B，C分别在x轴，y轴上，，点D为的中点，点P沿运动，速度为每秒1个单位长度．若为等腰三角形，则点P的坐标为________． 三、解答题（本大题共5小题，每小题6分，共30分） 13. （1）解方程：． （2）已知，且，求的值． 14. 如图，已知在中，，，，． （1）求的长； （2）当时，求的长 15. 某校在践行以“安全在我心中，你我一起行动”为主题的手抄报评比活动中，共设置了“交通安全、消防安全、饮食安全、校园安全”四个主题内容，推荐甲和乙两名学生参加评比，若他们每人从以上四个主题内容中随机选择一个，每个主题被选择的可能性相同． （1）甲选择“校园安全”主题的概率为______； （2）请用画树状图法或列表法求甲和乙选择不同主题概率． 16. 如图，，在中，，点A在直线上，B、C两点在上，D、E分别是的中点，请仅用无刻度的直尺按下列要求画图． （1）在图1中，画出边的中线； （2）在图2中，画出一个以为对角线菱形． 17. 已知：关于x的方程 （1）求证：无论 取何值，方程总有实数根； （2）若等腰的一边长 ，另两边长，且，恰好是这个方程的两个根，求的周长． 四、解答题（本大题共3小题，每小题8分，共24分） 18. 公安交警部门提醒市民，骑车出行必须严格遵守“一盔一带”的规定．某头盔经销商统计了某品牌头盔10月份到12月份的销量，该品牌头盔10月份销售50个，12月份销售72个，10月份到12月份销售量的月增长率相同． （1）求该品牌头盔销售量的月增长率； （2）若此种头盔的进价为30元/个，商家经过调查统计，当售价为40元/个时，月销售量为500个，若在此基础上售价每上涨1元/个，则月销售量将减少10个，为使月销售利润达到8000元，且尽可能让顾客得到实惠，则该品牌头盔每个售价应定为多少元？ 19. 如图，在中，，过点C的直线，D为边上一点，过点D作，交直线于E，垂足为F，连接． （1）求证：； （2）当D在中点时，四边形是什么特殊四边形？说明你的理由； （3）若D为中点，则当满足什么条件时，四边形是正方形？请说明你的理由． 20. 阅读下列材料：把形如的二次三项式（或其一部分）配成完全平方式的方法叫做配方法，配方法的基本形式是完全平方公式的逆写，即．配方法可以解决代数式值的最小（或最大）问题． 例如：当取何值时，代数式有最小（或最大）值？ ， 当时，代数式有最小值． 直接应用】 （1）仿照上述例子解决问题：当取何值时，代数式有最小（或最大）值？最小（或最大）值是多少？ 【拓展应用】 （2）如图，要围成一个矩形鸡场，一边靠墙（墙长24米），另三边用总长为40米的竹篱笆围成． ①请用含的代数式表示矩形鸡场的面积； ②当为何值时，围成的矩形鸡场的面积最大？最大面积是多少？ 五、解答题（本大题共2小题，每小题9分，共18分） 21. 【课本再现】如图，画，并画出斜边上的中线，量一量，看与有什么关系，相信你与你的同伴一定会发现：恰好是的一半、下面让我们用演绎推理证明这一猜想． 已知：如图，在中，，是斜边上的中线． 求证：． 证明：延长至点，使，连结，． （1）【定理证明】请根据以上提示，结合图1，写出完整证明过程． （2）【结论应用】如图2，在四边形中，，，，是的中点，连接，．求的度数． 22. 邻边不相等的平行四边形纸片，剪去一个菱形，余下一个四边形，称为第一次操作；在余下的四边形纸片中再剪去一个菱形，又余下一个四边形，称为第二 次操作;……依此类推，若第n次操作余下的四边形是菱形，则称原平行四边形为n阶准菱形．如图1，平行四边形ABCD中，若AB=1，BC=2，则平行四边形ABCD为1阶准菱形． （1）判断与推理： ①邻边长分别为2和3的平行四边形是_________阶准菱形； ②为了剪去一个菱形，进行如下操作：如图2，把平行四边形ABCD沿BE折叠（点E在AD上），使点A落在BC边上的点F，得到四边形ABFE，请证明四边形ABFE是菱形； （2）操作与计算： 已知平行四边形ABCD的邻边长分别为l，a（a>1），且是3阶准菱形，请画出平行四边形ABCD及裁剪线的示意图，并在图形下方写出a的值． 六、解答题（本大题共12分） 23. 如图，在正方形中，点，分别在边，上，且，延长到点，使得，连接，，． （1）图中与数量关系是_____． （2）图2，将图1中的绕着点逆时针旋转，连接并延长到点，使得，连接，，，此时与还存在（1）中的数量关系吗？判断并说明理由． （3）在（2）的条件下，若，，当是以为直角边的直角三角形时，请求出的长． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $