精品解析：江苏省镇江市2025-2026学年九年级上学期11月期中数学试题

2025-2026学年第一学期期中考试 九年级数学试卷 一、选择题（本大题共有10题，每小题3分，共30分．在每小题所给出的四个选项中，恰有一项符合题目要求．） 1. 下列方程中，是一元二次方程的是（ ） A. B. C. D. 2. 若将一元二次方程化成的形式，则b的值是（ ） A. B. 4 C. D. 14 3. 已知的半径为，若，则点A与的位置关系是（     ） A. 点A在外 B. 点A在上 C. 点A在内 D. 不能确定 4. 如图，，是的两条弦，点在上，是的中点，连接，，若，则的度数为（　　） A. B. C. D. 5. 近年来，由于新能源汽车的崛起，燃油汽车的销量出现了不同程度的下滑，经销商纷纷开展降价促销活动． 某款燃油汽车今年2月份售价为万元，4月份售价为万元，设该款汽车这两月售价的月平均降价率是 x，则所列方程正确的是（ ） A. B. C. D. 6. 如图，的半径为3，在的内接四边形ABCD中，，，则的长为（ ） A. B. C. D. 7. 关于方程有以下说法：①方程有一个解是；②方程有两个实数根；③已知是方程的一个解，则，以上说法正确的是（ ） A. ①② B. ②③ C. ③ D. 都不对 8. 我国魏晋时期数学家刘徽在《九章算术注》中提到了著名的“割圆术”，即利用圆的内接正多边形逼近圆的方法来近似估算，指出“割之弥细，所失弥少．割之又割，以至于不可割，则与圆周合体，而无所失矣”．“割圆术”孕育了微积分思想，他用这种思想得到了圆周率的近似值为．如图，的半径为1，运用“割圆术”，以圆内接正方形周长近似估计的周长，可得的估计值为，若用圆内接正六边形作近似估计，可得的估计值为（   ）． A. B. C. 3 D. 9. 已知两个正多边形的边数的比为，每个内角度数的比为，求这两个正多边形的边数．小明和小芳分别设了2种不同未知数，并列出方程．小明设两个正多边形的边数分别为和x，列得方程： 小芳设两个正多边形的每个内角度数分别为和，列得方程： ，则下列说法正确的是（ ） A. 小明的方法正确 B. 小芳的方法正确 C. 两人都正确 D. 两人都不正确 10. 如图1所示是一款带毛刷的圆形扫地机器人，它的俯视图如图2所示，的直径为，毛刷的一端为固定点P，另一端为点C，毛刷绕着点P旋转形成的圆弧交于点A、B，且A、P、B三点在同一直线上．则图中阴影部分的周长为（ ） A. B. C. D. 二、填空题（本大题共有6小题，每小题3分，共18分） 11. 一元二次方程的解为：_______． 12. 圆锥的底面圆直径为，母线为，则圆锥的侧面积为___________． 13. 如图，若以AB为边长作⊙O的内接正多边形，则这个多边形是正______边形． 14. 如图①是卧室门锁的局部图，图②是其示意图，其中点O到门框l的距离为，且，当开门时，握住门把手绕点O顺时针旋转，点A到达点B的位置，此时点B到门框l的距离为，则门把手扫过的区域面积为_______． 15. 如图是某地下停车场的平面示意图，停车场的长为，宽为．停车场内车道的宽都相等，若停车位的占地面积为．求车道的宽度（单位：m）．设停车场内车道的宽度为，根据题意可列方程为______． 16. 11月1日晚，2025年“苏超”迎来了总决赛，南通队与泰州队的终极之战在南京奥体中心打响，也为首届“苏超”画上了完美的句号．如图，已知足球球门宽约为米，一球员从距B点米的C点（点A、B、C均在球场底线上），沿着与垂直的方向带球．在直线上（球场内）找到一点P，使得点P为最佳射门点（即最大），则此时点P到点C的距离为_______米． 三、解答题（本大题共有8小题，共计72分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．） 17. 解方程 （1）； （2） 18. 如图，是四边形的外接圆，是的直径，平分． （1）若，求的度数； （2）若点是弦上一点，且点E是的内心，求证：． 19. 已知关于x的方程有两个不相等的实数根． （1）求k的取值范围； （2）试说明：无论k取何值，都不可能是原方程的根． 20. 平安路上，多“盔”有你．在“交通安全宣传月”期间，某商店销售一批头盔，进价为每顶40元，售价为每顶60元．平均每周可售出100顶，商店计划将头盔降价销售，但每顶售价要高于50元，经调查发现：每降价1元，平均每周可多售出20顶． （1）设每顶头盔应降价x元，则降价后每周头盔销售量为_______顶； （2）在（1）的条件下，该商店若希望每周获利3000元，则每顶头盔应降价多少元？ 21. 如图，四边形是平行四边形，以O为圆心，为半径的圆交于D，延长交于E，连接，，若是的切线． （1）求证：是的切线； （2）若，则的面积＝______． 22. 图①、图②、图③均是的正方形网格，每个小正方形的顶点称为格点．只用无刻度的直尺，在给定的网格中，按下列要求作图，保留作图痕迹． （1）在图①中，的顶点均为格点，在边上找到一点M，连接，使； （2）在图②中，点A、B、O均为格点，过点B作的切线； （3）在图③中，点A、B、O均为格点，在上找到点M和点N（点M和点N均不与点A重合），作，使． 23. 已知：如图所示，在中，，，，点P从点A开始沿边向点B以的速度移动，点Q从点B开始沿边向点C以的速度移动．P，Q分别从A，B同时出发，当P、Q两点中有一点到达终点，则停止运动． （1）_______秒后，的长度等于； （2）几秒后，四边形的面积等于？ （3）在运动过程中，是否存在这样的时刻，使以P为圆心，为半径的圆正好经过点Q？若存在，求出运动时间，若不存在，请说明理由． 24. 【问题】：有一张平行四边形纸片，，，，请在纸片上找一点P，使得． 【探究】：小明通过操作、观察后得到这样的结论：纸上有无数个点满足这样的要求，它在以为弦的圆弧上，如图1，他画出了所有符合要求的P，即上的任意一点． 体会小明的思考过程，回答下列问题： （1_______°；所在的圆的半径长为_______用含a的代数式表示）． 【类比】：请你运用所学知识，结合以上活动经验，进一步解决问题： 如图2，若【问题】中纸片上有一点P，且． （2）请在图2上画出所有满足条件的P（尺规作图，保留作图痕迹）； （3）在（2）条件下连接，求线段的最小值（用含a的代数式表示）． 【应用】：（4）如图3，四边形是一块平行四边形空地，经测量，，．为了打造特色景观，规划部门设计在四边形内一点Q处建一座凉亭，凉亭四周修建四条观赏步道（步道宽度忽略不计），分别为，，，，且．步道将空地分为四个区域，计划种植不同的花卉，其中区域种植牡丹．为节约成本，要求面积尽可能的小，则面积的最小值为_______． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年第一学期期中考试 九年级数学试卷 一、选择题（本大题共有10题，每小题3分，共30分．在每小题所给出的四个选项中，恰有一项符合题目要求．） 1. 下列方程中，是一元二次方程的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查的是一元二次方程的定义，根据一元二次方程的定义对各选项进行逐一分析即可． 【详解】解：A、是一元一次方程，不符合题意； B、是一元二次方程，符合题意； C、含有两个未知数，不是一元二次方程，不符合题意； D、含有分式，不是一元二次方程，不符合题意． 故选：B． 2. 若将一元二次方程化成的形式，则b的值是（ ） A. B. 4 C. D. 14 【答案】D 【解析】 【分析】根据配方法解方程的步骤求解可得． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴； 故选：D． 【点睛】本题主要考查解一元二次方程的能力，熟练掌握解一元二次方程的几种常用方法：直接开平方法、因式分解法、公式法、配方法，结合方程的特点选择合适、简便的方法是解题的关键． 3. 已知的半径为，若，则点A与的位置关系是（     ） A. 点A在外 B. 点A在上 C. 点A在内 D. 不能确定 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查点与圆的位置关系． 若⊙O的半径为，一点P和圆心O的距离为，当时，点P在⊙O上；当时，点P在⊙O内；当时，点P在⊙O外．熟记相关结论即可． 【详解】解：∵， ∴点A在外 故选：A 4. 如图，，是的两条弦，点在上，是的中点，连接，，若，则的度数为（　　） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了圆周角定理，圆心角、弧、弦的关系，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键．连接，根据已知得，从而可得，然后利用圆周角定理进行计算即可解答． 【详解】解：连接， 是的中点， ， ， ， 故选：． 5. 近年来，由于新能源汽车的崛起，燃油汽车的销量出现了不同程度的下滑，经销商纷纷开展降价促销活动． 某款燃油汽车今年2月份售价为万元，4月份售价为万元，设该款汽车这两月售价的月平均降价率是 x，则所列方程正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的应用．熟练掌握一元二次方程的应用是解题的关键． 由题意知，3月份售价为，4月份售价为，然后列方程即可． 【详解】解：依题意得，， 故选：C． 6. 如图，的半径为3，在的内接四边形ABCD中，，，则的长为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了圆周角定理，圆内接四边形的性质，弧长公式，掌握圆周角定理是解决本题的关键．先根据圆内接四边形对角互补求出，根据三角形内角和求出，再求所对的圆心角，最后根据弧长公式求得的长． 【详解】解：在中，， ， ， 连接，则， 的半径为3， 的长为． 故选：． 7. 关于方程有以下说法：①方程有一个解是；②方程有两个实数根；③已知是方程的一个解，则，以上说法正确的是（ ） A. ①② B. ②③ C. ③ D. 都不对 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查一元二次方程的解及根的判别式，熟练掌握一元二次方程的解及根的判别式是解题的关键；逐一验证三个说法的真假：①代入检验；②计算判别式；③利用方程根的性质推导，进而问题可求解． 【详解】解：①：将代入方程，得， ∴不是方程的解，说法错误； ②：方程的判别式， ∴方程有两个实数根，说法正确； ③：若是方程的解，则，即， ∴，说法③正确； 综上，说法②和③正确， 故选B． 8. 我国魏晋时期数学家刘徽在《九章算术注》中提到了著名的“割圆术”，即利用圆的内接正多边形逼近圆的方法来近似估算，指出“割之弥细，所失弥少．割之又割，以至于不可割，则与圆周合体，而无所失矣”．“割圆术”孕育了微积分思想，他用这种思想得到了圆周率的近似值为．如图，的半径为1，运用“割圆术”，以圆内接正方形周长近似估计的周长，可得的估计值为，若用圆内接正六边形作近似估计，可得的估计值为（   ）． A. B. C. 3 D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查等边三角形的性质和圆的对称性．圆内接正六边形可分成六个等边三角形，每个三角形的边长为1，根据正六边形的周长等于圆的周长进行求解即可． 【详解】解：的半径为1，圆内接正六边形可分成六个等边三角形，每个三角形的边长为1， 则正六边形的周长为， 由于圆的周长为，当半径为1时，， 解得． 故选：C． 9. 已知两个正多边形的边数的比为，每个内角度数的比为，求这两个正多边形的边数．小明和小芳分别设了2种不同未知数，并列出方程．小明设两个正多边形的边数分别为和x，列得方程： 小芳设两个正多边形的每个内角度数分别为和，列得方程： ，则下列说法正确的是（ ） A. 小明的方法正确 B. 小芳的方法正确 C. 两人都正确 D. 两人都不正确 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查正多边形的边数与内角的关系．小明设边数分别为和x，则内角分别为和，根据其比为列方程；小芳设内角度数分别为和，则边数分别为和，根据其比为列方程，即可判断解答． 【详解】解：小明设边数为和x，则内角分别为和，根据其比为，列方程得， ， 即， 所以小明的方法正确． 小芳设内角度数为和，则边数分别为和，其比为，列方程得 ， 即 所以小芳的方法正确． 故两人方法都正确． 故选：C． 10. 如图1所示是一款带毛刷的圆形扫地机器人，它的俯视图如图2所示，的直径为，毛刷的一端为固定点P，另一端为点C，毛刷绕着点P旋转形成的圆弧交于点A、B，且A、P、B三点在同一直线上．则图中阴影部分的周长为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了弧长的计算，垂径定理的推论，熟记弧长公式是解题的关键．先根据题意得出，结合已知条件求出的度数，根据弧长公式计算出弧，弧，即可求出阴影部分的周长． 【详解】解：连接，，，如图所示： ∵A、P、B三点在同一直线上， 经过点， 由题意得为半圆的直径，，， ∴， ∴， ∴是等边三角形， ∴， ， ∴阴影部分的周长为， 故选：B． 二、填空题（本大题共有6小题，每小题3分，共18分） 11. 一元二次方程的解为：_______． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了解一元二次方程，解题的关键是掌握开平方法． 通过直接开平方法求解一元二次方程． 【详解】解：方程， 两边直接开平方，得， ∴， 故答案为：． 12. 圆锥的底面圆直径为，母线为，则圆锥的侧面积为___________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查圆锥的计算，掌握圆锥的侧面积计算公式是解题的关键． 根据圆锥的侧面积公式计算即可． 【详解】解：， ∴圆锥的侧面积为． 故答案为：． 13. 如图，若以AB为边长作⊙O的内接正多边形，则这个多边形是正______边形． 【答案】六 【解析】 【分析】根据题意可得，进而证明是等边三角形，得到，即可证明出这个多边形是正六边形． 【详解】解：如图，连接OB， ∵， ∴是等边三角形， ∴， ∴， ∴这个多边形是正六边形． 故答案为：六． 【点睛】此题考查了等边三角形的性质和判定，圆内接正多边形的性质，解题的关键是根据题意求出． 14. 如图①是卧室门锁的局部图，图②是其示意图，其中点O到门框l的距离为，且，当开门时，握住门把手绕点O顺时针旋转，点A到达点B的位置，此时点B到门框l的距离为，则门把手扫过的区域面积为_______． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查矩形的性质与判定，旋转的性质，含30度直角三角形的性质及扇形面积公式，熟练掌握矩形的性质与判定，旋转的性质，含30度直角三角形的性质及扇形面积公式是解题的关键；过点B分别作，，垂足分别点C，D，则有四边形是矩形，然后可得，进而根据扇形面积公式可进行求解． 【详解】解：过点B分别作，，垂足分别为点C，D，如图所示： 由题意得：，， ∴四边形是矩形， ∴， 由旋转的性质可知：， ∴， ∴， ∴； 故答案为． 15. 如图是某地下停车场的平面示意图，停车场的长为，宽为．停车场内车道的宽都相等，若停车位的占地面积为．求车道的宽度（单位：m）．设停车场内车道的宽度为，根据题意可列方程为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，找准等量关系是解答本题的关键． 由停车场的长、宽及停车场内车道的宽度，可得出停车位（图中阴影部分）可合成长为，宽为的矩形，结合停车位的占地面积为，即可列出关于的一元二次方程． 【详解】解：若设停车场内车道的宽度为，则停车位（图中阴影部分）可合成长为，宽为的矩形， 根据题意得：， 故答案为：． 16. 11月1日晚，2025年“苏超”迎来了总决赛，南通队与泰州队的终极之战在南京奥体中心打响，也为首届“苏超”画上了完美的句号．如图，已知足球球门宽约为米，一球员从距B点米的C点（点A、B、C均在球场底线上），沿着与垂直的方向带球．在直线上（球场内）找到一点P，使得点P为最佳射门点（即最大），则此时点P到点C的距离为_______米． 【答案】10 【解析】 【分析】本题主要考查切线的性质，确定圆的条件，圆周角的性质及相似三角形的性质与判定，熟练掌握切线的性质，确定圆的条件，圆周角的性质及相似三角形的性质与判定是解题的关键；作经过两点的，且与直线相切，切点为点，此时最大，连接并延长，交于点，连接，由题意易得，然后根据相似三角形的性质可进行求解． 【详解】解：作经过两点的，且与直线相切，切点为点， ∴此时最大，理由如下： 如图，已知为的外接圆，直线是过点的一条直线，点是直线上的一动点，连接，交于点，连接， ∵， ∴， ∴当直线与相切时，且重合时，最大， 连接并延长，交于点，连接，如图， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，即， ∵， ∴， ∴； 故答案为10． 三、解答题（本大题共有8小题，共计72分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．） 17. 解方程 （1）； （2） 【答案】（1）， （2） 【解析】 【分析】本题主要考查了解一元二次方程，解题的关键是掌握解一元二次方程的方法． （1）利用配方法解一元二次方程即可； （2）利用因式分解法解一元二次方程即可． 【小问1详解】 解： ，； 【小问2详解】 解： ． 18. 如图，是四边形的外接圆，是的直径，平分． （1）若，求的度数； （2）若点是弦上一点，且点E是的内心，求证：． 【答案】（1） （2） 证明：∵平分，点E是的内心， ∴，． ∵， ∴， ∴， ∴， ∴． 【解析】 【分析】本题考查圆周角定理的推论，三角形内心的定义，三角形外角的性质，等腰三角形的判定． （1）由同弧所对圆周角相等可推出，由直径所对圆周角为直角可得出，即可由求解； （2）由三角形内心的定义得出，由角平分线的定义得出．由同弧所对圆周角相等可推出，再结合三角形外角性质即得出，即． 【小问1详解】 解：∵， ∴． ∵是的直径， ∴， ∴； 【小问2详解】 证明：略． 19. 已知关于x的方程有两个不相等的实数根． （1）求k的取值范围； （2）试说明：无论k取何值，都不可能是原方程的根． 【答案】（1） （2） 证明：将代入方程得， 整理得：， 对于关于k的方程， 其判别式为： ， 无解， 无论k取何值，都不可能是原方程的根． 【解析】 【分析】本题主要考查一元二次方程根的判别式及其解，熟练掌握一元二次方程根的判别式是解题的关键； （1）根据一元二次方程根的判别式可进行求解； （2）把代入方程，然后根据一元二次方程根的判别式可进行求解． 【小问1详解】 解：∵， ∴，，， ∴， 方程有两个不相等的实数根， ， 解得：； 【小问2详解】 证明：略． 20. 平安路上，多“盔”有你．在“交通安全宣传月”期间，某商店销售一批头盔，进价为每顶40元，售价为每顶60元．平均每周可售出100顶，商店计划将头盔降价销售，但每顶售价要高于50元，经调查发现：每降价1元，平均每周可多售出20顶． （1）设每顶头盔应降价x元，则降价后每周头盔销售量为_______顶； （2）在（1）的条件下，该商店若希望每周获利3000元，则每顶头盔应降价多少元？ 【答案】（1） （2）每顶头盔应降价5元 【解析】 【分析】本题考查列代数式，一元二次方程解决实际问题，分析题意，找出数量关系是解题的关键． （1）根据“平均每周可售出100顶，每降价1元，平均每周可多售出20顶”即可列出代数式； （2）根据“该商店若希望每周获利3000元”列出方程，求解后根据“每顶售价要高于50元”进行取舍，即可解答． 【小问1详解】 解：设每顶头盔应降价x元，则降价后每周头盔销售量为顶． 故答案为：． 【小问2详解】 解：设每顶头盔应降价x元，根据题意得：， 整理得：， 解得：，， ∵每顶售价要高于50元，即， ∴， ∴不合题意，舍去， 答：每顶头盔应降价5元． 21. 如图，四边形是平行四边形，以O为圆心，为半径的圆交于D，延长交于E，连接，，若是的切线． （1）求证：是的切线； （2）若，则的面积＝______． 【答案】（1）见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）首先连接．根据平行四边形的性质，可知，从而得到内错角相等，即，．又因为和都是圆的半径，所以，根据等边对等角，得到．通过等量代换，可得．然后利用“边角边”证明和全等．根据全等三角形对应角相等的性质，得到．因为是的切线，所以，即．因此，，即．最后根据切线的判定定理，得出是的切线． （2）首先过点作于点．在中，已知斜边，直角边，根据勾股定理求出另一直角边的长度，即圆的半径．因为也是半径，所以．然后利用三角形面积公式，通过面积相等法（）求出高的长度．接着在中，利用勾股定理求出的长度．根据垂径定理，，得 ．然后计算出的长度，．最后利用三角形面积公式计算的面积． 【小问1详解】 证明：连接，如图所示： 四边形是平行四边形， ，， ，， ， ， ， 在和中， ， ， 是的切线， ，即， ，即， 是的半径， 是的切线． 【小问2详解】 解：过点作于点，连接，如图所示： 在中，，， 根据勾股定理，得， ， 四边形是平行四边形， ， ， ， 解得， 在中，根据勾股定理，得， ， ， ， ． 22. 图①、图②、图③均是的正方形网格，每个小正方形的顶点称为格点．只用无刻度的直尺，在给定的网格中，按下列要求作图，保留作图痕迹． （1）在图①中，的顶点均为格点，在边上找到一点M，连接，使； （2）在图②中，点A、B、O均为格点，过点B作的切线； （3）在图③中，点A、B、O均为格点，在上找到点M和点N（点M和点N均不与点A重合），作，使． 【答案】（1） 如图所示，点M即为所求； （2）如图所示，直线即为所求； （3）如图所示，即为所求． 【解析】 【分析】本题主要考查了无刻度直尺作图，切线的性质与判定，三角形内角和定理，熟知切线的性质与判定定理是解题的关键． （1）取格点M，连接，则点M即为所求； （2）取格点E，作直线，则直线即为所求，可证明； （3）取格点F，连接交于M，设与交于N，连接，则即为所求．可证明． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 【小问3详解】 略 23. 已知：如图所示，在中，，，，点P从点A开始沿边向点B以的速度移动，点Q从点B开始沿边向点C以的速度移动．P，Q分别从A，B同时出发，当P、Q两点中有一点到达终点，则停止运动． （1）_______秒后，的长度等于； （2）几秒后，四边形的面积等于？ （3）在运动过程中，是否存在这样的时刻，使以P为圆心，为半径的圆正好经过点Q？若存在，求出运动时间，若不存在，请说明理由． 【答案】（1）3 （2）1秒后，四边形的面积等于 （3）不存在；理由见解析 【解析】 【分析】本题主要考查一元二次方程的应用及勾股定理，解题的关键是理解题意； （1）由题意易得，则有，然后根据勾股定理可建立方程进行求解； （2）由题意易得，然后根据（1）可建立方程进行求解； （3）由题意易得，然后根据勾股定理可建立方程，进而根据一元二次方程根的判别式可进行求解． 【小问1详解】 解：设t秒后，的长度等于，由题意得：，则有，， ∴在中，由勾股定理可得：， 解得：（负根舍去）， 故答案为3； 【小问2详解】 解：设t秒后，四边形的面积等于，由题意得：， 整理得：， 解得：，（舍去）， 答：1秒后，四边形的面积等于． 【小问3详解】 解：不存在；理由如下： 设t秒后，以P为圆心，为半径的圆正好经过点Q，由题意得：， 整理得：， ， 方程无实数解， 不存在这样的时刻，使以P为圆心，为半径的圆正好经过点Q． 24. 【问题】：有一张平行四边形纸片，，，，请在纸片上找一点P，使得． 【探究】：小明通过操作、观察后得到这样的结论：纸上有无数个点满足这样的要求，它在以为弦的圆弧上，如图1，他画出了所有符合要求的P，即上的任意一点． 体会小明的思考过程，回答下列问题： （1_______°；所在的圆的半径长为_______用含a的代数式表示）． 【类比】：请你运用所学知识，结合以上活动经验，进一步解决问题： 如图2，若【问题】中纸片上有一点P，且． （2）请在图2上画出所有满足条件的P（尺规作图，保留作图痕迹）； （3）在（2）条件下连接，求线段的最小值（用含a的代数式表示）． 【应用】：（4）如图3，四边形是一块平行四边形空地，经测量，，．为了打造特色景观，规划部门设计在四边形内一点Q处建一座凉亭，凉亭四周修建四条观赏步道（步道宽度忽略不计），分别为，，，，且．步道将空地分为四个区域，计划种植不同的花卉，其中区域种植牡丹．为节约成本，要求面积尽可能的小，则面积的最小值为_______． 【答案】（1）；（2）图见详解；（3）（4） 【解析】 【分析】本题主要考查圆周角的定理，三角形的外接圆，等边三角形的性质与判定，含30度直角三角形的性质，勾股定理及垂径定理，熟练掌握圆周角的定理，三角形的外接圆，等边三角形的性质与判定，含30度直角三角形的性质，勾股定理及垂径定理是解题的关键； （1）根据圆周角定理及等腰直角三角形的性质可进行求解； （2）以点A为圆心，长为半径画弧，交线段于点O，再以点O为圆心，长为半径画圆，进而问题可求解； （3）由作图可知，然后可得，进而问题可求解； （4）由题意易得，所以点Q是在半径为200的圆上运动的点，然后问题可求解． 【详解】解：（1）∵， ∴， ∵， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∴所在的圆的半径长为； 故答案为90，； （2）弧中的任意一点P都满足条件，如图所示： （3）连接，交于点P，如图所示： 根据圆外的点到圆上的动点距离的最值问题“当且仅当圆外的点，圆上的动点及圆心三点共线时取得最值”可知：此时的值最小， ∵四边形是平行四边形，， ∴， ∴由作图可知：， ∴， 过点作于点E， ∴， ∴， ∵， ∴， 即的最小值为； （4）∵四边形是平行四边形，，，， ∴， ∴，即， ∵，， ∴， 由是定值，且所对的线段也是定值，可知点Q的运动轨迹是一段圆弧，如图所示， 连接，过点O作于点H，交，分别于点F，G， ∵， ∴， ∴由（3）可知，， 要使的面积最小，由图可知当且仅当点Q与点重合时最小， ∵， ∴优弧所对的圆心角度数为， ∴， ∵， ∴， 同理（3）可得， ∴， ∴的面积最小为； 故答案为． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $