精品解析：广西南宁市第二中学2025-2026学年高一上学期11月期中考试数学试题

南宁二中2025-2026学年度上学期高一期中考试 数学 （时间120分钟，共150分） 一、单选题：本题共8小题，每题5分，共40分．在每小题给出的选项中；只有一项是符合题目要求的． 1. 已知集合，则（ ） A. B. C. D. 2. （ ） A. B. C. D. 3. 函数的单调递减区间是（ ） A. B. C. D. 4. 已知函数的定义域为，则函数的定义域为（ ） A. B. C. D. 5. 已知，，，则（ ） A. B. C. D. 6. 我国著名的数学家华罗庚先生曾说：数缺形时少直观，形缺数时难入微，数形结合百般好，隔裂分家万事休.在数学的学习和研究中，常用函数的图象来研究函数的性质，也常用函数的解析式来琢磨函数的图象的特征，则函数的图象大致为（ ） A. B. C. D. 7. 若定义在上的奇函数在单调递减，且，则满足的的取值范围是（ ） A. B. C. D. 8. 若命题“”是假命题，则的取值范围为（ ） A. B. C. D. 二、多选题：本题共3小题，每题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项是符合题目要求的． 9. 下列关于幂函数的描述中，正确的是（ ） A. 幂函数的图象经过第一象限 B. 幂函数的图象都经过点 C. 当时，幂函数在上单调递增 D. 幂函数的定义域为 10. 若都为正实数，且，则（ ） A. 的最大值为1 B. 的最大值为2 C. 的最小值为9 D. 11. 已知定义在上的函数满足，当时，：则下列说法正确的有（ ） A. B. 为偶函数 C. 在上单调递增 D. 当时， 三、填空题：本题共3小题，每题5分，共15分． 12. 若函数是定义在上的偶函数，则___________． 13. 已知函数，若为上的减函数，则的取值范围为___________． 14. 设函数和，若两函数在区间上的单调性相同，则把区间叫做的“稳定区间”．已知区间为函数的“稳定区间”，则实数的取值范围为___________． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 15. 化简求值： （1）； （2）已知，求的值； （3）已知，求的值． 16. 当前，机器人产业蓬勃发展，正极大改变着人类生产和生活方式，为经济社会发展注入强劲动能.某动力电池生产企业为提高产能，计划投入6300万元购买一批智能工业机器人，使用该批智能机器人后的前年，设备维护成本共万元.每年电池销售收入为6700万元，设使用该批智能机器人后，前x年的总盈利额为y万元. （1）写出y关于x的函数关系式，并指出x的取值范围； （2）使用若干年后，对该批智能机器人的处理方案有两种. 方案一：当总盈利额达到最大值时，将该批智能机器人以2000万价格处理； 方案二：当年平均盈利额达到最大值时，将该批智能机器人以4800万元的价格处理.问哪种方案更合理?并说明理由. 17. 已知幂函数在上单调递减． （1）求的解析式； （2）解关于的不等式：． 18. 人教A版高中数学必修一教材中指出：函数的图象关于坐标原点成中心对称图形的充要条件是函数为奇函数，有同学发现可以将其推广为：函数的图象关于点成中心对称图形的充要条件是函数为奇函数．类比上述推广结论可知，函数的图象关于轴成轴对称图形的充要条件是函数为偶函数，同理可以将其推广为：函数的图象关于成轴对称图形的充要条件是函数为偶函数． （1）已知函数，求证：为轴对称图形并求出其对称轴； （2）若函数的图象关于直线对称，且当时，． （i）求的解析式，并写出的单调区间（单调区间无需证明）； （ii）求不等式的解集． 19. 已知． （1）求证为奇函数； （2）求的值域； （3）若函数，是否存在实数，使得对于区间上任意三个实数，都存在以为边长的三角形？若存在，求实数的取值范围；若不存在，请说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 南宁二中2025-2026学年度上学期高一期中考试 数学 （时间120分钟，共150分） 一、单选题：本题共8小题，每题5分，共40分．在每小题给出的选项中；只有一项是符合题目要求的． 1. 已知集合，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】化简集合，再利用交集的定义直接求解. 【详解】依题意，，而， 所以. 故选：B 2. （ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】利用根式的运算性质即可求解. 【详解】. 故选：B. 3. 函数的单调递减区间是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】求出函数的定义域，再根据复合函数的单调性求出单调递减区间即可. 【详解】由，解得， 所以函数的定义域为， 令，则， 在上单调递减，在上单调递增，在上单调递增， 所以函数的单调递减区间是. 故选：C. 4. 已知函数的定义域为，则函数的定义域为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】利用抽象函数的定义域求法计算即可. 【详解】由，得，所以函数的定义域为． 故选：A 5. 已知，，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据指数函数、幂函数单调性分析判断即可. 【详解】因为在内单调递增，则，即； 又因为在内单调递增，则，即； 综上所述：. 故选：B. 6. 我国著名的数学家华罗庚先生曾说：数缺形时少直观，形缺数时难入微，数形结合百般好，隔裂分家万事休.在数学的学习和研究中，常用函数的图象来研究函数的性质，也常用函数的解析式来琢磨函数的图象的特征，则函数的图象大致为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】 确定函数的定义域，奇偶性，单调性排除法确定正确结论． 【详解】的定义域是，关于原点对称， ，是偶函数，排除BC； 又时，，是增函数，排除A． 故选：D． 【点睛】本题考查由解析式先把函数图象，解题方法是排除法． 确定函数的定义域、值域，函数的奇偶性、单调性等性质，确定特殊的函数值，函数值的正负，函数值变化趋势．排除3个选项，得出一个正确的选项． 7. 若定义在上的奇函数在单调递减，且，则满足的的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】首先根据函数的性质，确定和的解集，再转化不等式求解集. 【详解】为上的奇函数，且在单调递减，， ，，且在上单调递减， 所以或，或， 可得，或， 即或，即， 故选：D. 8. 若命题“”是假命题，则的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据题意，转化为在上恒成立，分和，两种情况讨论，结合二次函数的性质，即可求解. 【详解】由命题：为假命题， 可得命题为真命题，即在上恒成立， 当时，不等式即为在上恒成立，符合题意； 当时，则满足，即，所以， 综上可得，实数的取值范围为. 故选：B 二、多选题：本题共3小题，每题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项是符合题目要求的． 9. 下列关于幂函数的描述中，正确的是（ ） A. 幂函数的图象经过第一象限 B. 幂函数的图象都经过点 C. 当时，幂函数在上单调递增 D. 幂函数的定义域为 【答案】AB 【解析】 【分析】根据幂函数的图象及性质可判断选项A、B正确；取，可判断选项C、D错误. 【详解】当时，幂函数对任意都有意义，且，故经过第一象限，选项A正确； 因为，所以幂函数的图象都经过点，选项正确； 当时，函数定义域为，选项C、D错误； 故选：AB． 10. 若都为正实数，且，则（ ） A. 的最大值为1 B. 的最大值为2 C. 的最小值为9 D. 【答案】ACD 【解析】 【分析】根据给定条件，利用基本不等式及基本不等式“1”的妙用逐项求解判断. 【详解】对于A，由，，得，当且仅当时取等号，A正确； 对于B，，当且仅当时取等号，B错误； 对于C，， 当且仅当，即时取等号，C正确； 对于D，， 当且仅当时取等号，D正确. 故选：ACD 11. 已知定义在上的函数满足，当时，：则下列说法正确的有（ ） A. B. 为偶函数 C. 在上单调递增 D. 当时， 【答案】ACD 【解析】 【分析】A选项，赋值得到；B选项，赋值得到，令得，B错误；C选项，令，其中，结合题目条件得到，C正确；D选项，变形得到，当时，，结合函数单调性得到D正确. 【详解】A选项，中，令得， 又，故，故A正解； B选项，中，令得，解得， 中，令得， 又的定义域为，故为奇函数，显然不为特殊的这样的常数函数，故B错误； C选项，令，其中， 则，即， 又时，，故， 故在上单调递增，故C正确； D选项，因为， 所以， 在上单调递增，当时，，故， 所以，即， 故当时，，故D正确. 故选：ACD 三、填空题：本题共3小题，每题5分，共15分． 12. 若函数是定义在上的偶函数，则___________． 【答案】4 【解析】 【分析】利用奇偶函数的性质，即可求出，即可求出结果. 【详解】因为是定义在上的偶函数， 所以，得到， 显然，由图象关于轴对称， 根据二次函数图象特点知，解得， 所以. 故答案为：4. 13. 已知函数，若为上的减函数，则的取值范围为___________． 【答案】 【解析】 【分析】根据分段函数的单调性可得，解之即可. 【详解】由题意得，当时，函数单调递减，且当时，， 当时，函数单调递减，且当时，， 得，解得， 即实数的取值范围为. 故答案为： 14. 设函数和，若两函数在区间上的单调性相同，则把区间叫做的“稳定区间”．已知区间为函数的“稳定区间”，则实数的取值范围为___________． 【答案】 【解析】 【分析】分和两种情况，时，单调性相反，不合要求，时，画出与的图像，分在区间上同增和同减两种情况，数形结合得到不等式，求出答案. 【详解】若区间为函数的“稳定区间”， 则函数与函数在区间上同增或者同减， 当时，则，， 故在上单调递减，在上单调递增，不合要求， 当时，， ， 画出与的图像，如下：     ①若两函数在区间上单调递增，则，解得； ②若两函数在区间上单调递减，则，不等式组无解； 综上所述；实数的取值范围为． 故答案为：. 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 15. 化简求值： （1）； （2）已知，求的值； （3）已知，求的值． 【答案】（1）1； （2）； （3）23. 【解析】 【分析】（1）利用指数运算性质计算得解. （2）逆用指数运算法则，再代入计算即得. （3）利用指数运算法则，借助配方法求解. 【小问1详解】 . 【小问2详解】 由，得. 【小问3详解】 由，得. 16. 当前，机器人产业蓬勃发展，正极大改变着人类生产和生活方式，为经济社会发展注入强劲动能.某动力电池生产企业为提高产能，计划投入6300万元购买一批智能工业机器人，使用该批智能机器人后的前年，设备维护成本共万元.每年电池销售收入为6700万元，设使用该批智能机器人后，前x年的总盈利额为y万元. （1）写出y关于x的函数关系式，并指出x的取值范围； （2）使用若干年后，对该批智能机器人的处理方案有两种. 方案一：当总盈利额达到最大值时，将该批智能机器人以2000万价格处理； 方案二：当年平均盈利额达到最大值时，将该批智能机器人以4800万元的价格处理.问哪种方案更合理?并说明理由. 【答案】（1）； （2） 方案一：总盈利额， 当时，， 若此时处理掉智能机器人，总盈利为万元； 方案二：年平均盈利额（万元）， 当且仅当时，年平均盈利额最大，若此时处理掉智能机器人， 总盈利为万元. 两方案总利润都是13200万元，但方案二用时更短，则方案二更合理. 【解析】 【分析】（1）根据销售总收入和成本，列出函数关系式即可； （2）利用二次函数的性质求出方案一的总盈利，结合基本不等式求出方案二的总盈利，然后比较，即可得到结果. 【小问1详解】 由题意，. 【小问2详解】 略 17. 已知幂函数在上单调递减． （1）求的解析式； （2）解关于的不等式：． 【答案】（1） （2） 当时，不等式的解集为； 当时，不等式的解集为； 当时，不等式的解集为； 当时，不等式的解集为； 当时，不等式的解集为. 【解析】 【分析】（1）由幂函数的性质和定义求解即可得出答案； （2）对分类讨论，利用一元二次不等式的解法求解即可. 【小问1详解】 因为是幂函数，所以， 所以，解得或， 当时，函数在上单调递减，符合题意． 当时，函数在上单调递增，不符合题意． 所以的解析式为； 【小问2详解】 由（1）知，故不等式为， 所以， 当时，不等式为，解得； 当时，不等式可化为，又， 不等式的解集为； 当时，不等式可化为， 若，则，不等式的解集为； 若，则，不等式的解集为； 若，则，不等式的解集为； 综上所述：当时，不等式的解集为； 当时，不等式的解集为； 当时，不等式的解集为； 当时，不等式的解集为； 当时，不等式的解集为. 18. 人教A版高中数学必修一教材中指出：函数的图象关于坐标原点成中心对称图形的充要条件是函数为奇函数，有同学发现可以将其推广为：函数的图象关于点成中心对称图形的充要条件是函数为奇函数．类比上述推广结论可知，函数的图象关于轴成轴对称图形的充要条件是函数为偶函数，同理可以将其推广为：函数的图象关于成轴对称图形的充要条件是函数为偶函数． （1）已知函数，求证：为轴对称图形并求出其对称轴； （2）若函数的图象关于直线对称，且当时，． （i）求的解析式，并写出的单调区间（单调区间无需证明）； （ii）求不等式的解集． 【答案】（1） 因为， 所以， 令，函数的定义域为，关于原点对称， 又， 所以函数为偶函数， 所以为轴对称图形，对称轴为； （2）（i），在上单调递增，在上单调递减； （ii） 【解析】 【分析】（1）利用函数奇偶性的定义可推得为偶函数，从而可得结论； （2）（i）当时，可得出，从而可求得的解析式，利用函数的性质可求得单调区间；（ii）由（i）的单调性可得，求解即可. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 （i）因为函数的图象关于直线对称，且当时，． 当时，，则， 所以； 因为在上单调递增， 所以在上单调递增， 又函数的图象关于直线对称，所以在上单调递减； （ii）因为，由（i）可得， 不等式两边平方得，即， 所以，解得， 所以不等式的解集为． 19. 已知． （1）求证为奇函数； （2）求的值域； （3）若函数，是否存在实数，使得对于区间上任意三个实数，都存在以为边长的三角形？若存在，求实数的取值范围；若不存在，请说明理由． 【答案】（1） ，函数的定义域为关于原点对称， 且， 则是奇函数， （2） ； （3） 存在， 【解析】 【分析】（1）计算，再结合其定义域即可证明； （2）先求出，再取倒数乘，最后加1即可得到值域； （3）由题意，转化为存在以为边长的三角形，即且恒成立，分，和，三种情况讨论，列出不等式，即可求解. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 ，因为， 则，则， 则， 即的值域为. 【小问3详解】 存在. 由在区间上任意三个实数， 都存在以为边长的三角形， 等价于且恒成立， ①当时，即，符合. ②当时，根据复合函数单调性知在上单调递减， 所以， 由且，即且， 解得，又因为，所以. ③当时，根据复合函数单调性知在上单调递增， 所以， 由且，即且， 解得，又因为，所以. 综上所述，实数的取值范围为. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $