精品解析：吉林省长春外国语学校2025-2026学年高二上学期11月期中考试数学试题

长春外国语学校2025-2026学年第一学期期中考试高二年级 数学试卷 出题人 ：马竞 审题人：王先师 本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共2页.考试结束后，将答题卡交回. 注意事项： 1.答题前，考生先将自己的姓名、准考证号填写清楚，将条形码准确粘贴在考生信息条形码粘贴区. 2.选择题必须使用2B铅笔填涂；非选择题必须使用0.5毫米黑色字迹的签字笔书写，字体工整、笔迹清楚. 3.请按照题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效. 4.作图可先使用铅笔画出，确定后必须用黑色字迹的签字笔描黑. 5.保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀. 第I卷（选择题） 一、单选题（本题共8小题，每题5分 ，共40分.在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项） 1. 在空间直角坐标系中，点P(1，2，-3)关于坐标平面xOy的对称点为（ ） A. (-1，-2，3) B. (-1，-2，-3) C. (-1，2，-3) D. (1，2，3) 【答案】D 【解析】 【分析】根据给定条件结合空间直角坐标系中对称的特点直接求解即可. 【详解】在空间直角坐标系中，两点关于坐标平面xOy对称，则这两点的横坐标、纵坐标都不变，它们的竖坐标互为相反数， 所以点P(1，2，-3)关于坐标平面xOy的对称点为(1，2，3). 故选：D 2. 过两点的直线的倾斜角是，则的值为（ ） A. 2 B. C. D. 5 【答案】B 【解析】 【分析】由题意利用直线的斜率的定义和公式可得，由此求得的值． 【详解】解：过两点，的直线的倾斜角是， ，， 故选． 【点睛】本题主要考查直线的斜率的定义和公式，属于基础题． 3. 在菱形ABCD中,若是平面ABCD的法向量,则以下等式中可能不成立的是(　　) A. =0 B. =0 C. =0 D. =0 【答案】C 【解析】 【分析】由题意易证AD⊥PB，AB⊥PD，PA⊥CD，由垂直和数量积的关系可得答案． 【详解】∵PA⊥平面ABCD,∴BD⊥PA. 又∵AC⊥BD,∴PC⊥BD,故选项B正确,选项A和D显然成立.故选C. 【点睛】】本题考查空间向量的数量积，涉及线面垂直和线线垂直，属基础题． 4. 我国发射的第一颗人造地球卫星的运行轨道是以地心（地球的中心）为一个焦点的椭圆.已知它的近地点（离地面最近的点）距地面千米，远地点（离地面最远的点）距离地面千米，并且、、在同一条直线上，地球的半径为千米，则卫星运行的轨道的短轴长为（    ）千米 A. B. C. 2 D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据椭圆的对称性，找到、、与地球半径之间关系，求解即可. 【详解】由题知，记椭圆的长半轴、短半轴、半焦距分别为、、，由题可知， 由题意可得， 上述两个等式相乘可得， 因此，卫星运行的轨道的短轴长为千米. 故选：A. 5. 过点（2，1）的直线中，被圆截得的弦长最大的直线方程是（　　） A. 3x-y-5=0 B. 3x+y-7=0 C. x+3y-5=0 D. x+3y+5=0 【答案】A 【解析】 【分析】当直线被圆截得的最弦长最大时，直线要经过圆心，即圆心在直线上，然后根据两点式方程可得所求． 【详解】由题意得，圆的方程为， ∴圆心坐标为． ∵直线被圆截得的弦长最大， ∴直线过圆心， 又直线过点（2，1）， 所以所求直线的方程为， 即． 故选A． 【点睛】解答本题的关键是正确理解“直线被圆截得的弦长最大”这一条件，并由此得到直线过圆心．考查直线的两点式方程的求法和计算能力，属于基础题． 6. 在下列等式中，使点与点一定共面的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】结合共面性质，或且判断即可. 【详解】对ABD，变形后均不满足且，故ABD错误； 对C，，满足，故C正确. 故选：C 7. 已知为椭圆的焦点，P为椭圆上一动点，，则的最小值为（ ） A. B. 1 C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】先由焦点坐标求出椭圆方程，再根据椭圆定义转化，数形结合可得，得解. 【详解】 由为椭圆的焦点， ，，， ，， 设椭圆的左焦点为，由椭圆的定义得， ， 所以的最小值为. 故选：A. 8. 已知椭圆的左右焦点分别是，，过的直线与相交于A，B两点，若，，则的离心率为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】先根据椭圆的定义得到，再由等腰三角形的性质得到，最后由二倍角的余弦公式得到离心率. 详解】 由题意可得，因为， 所以， 设，根据等腰三角形的性质得， 因为，所以， 又，所以， 故选：B. 二、多选题（本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，有选错的得0分.若只有2个正确选顶，每选对一个得3分;若只有3个正确选项，每选对一个得2分.） 9. 已知平面，其中点，，则下列各点在平面内的是（ ） A. B. C. D. 【答案】BCD 【解析】 【分析】设出点的坐标，根据，求出横纵竖坐标的关系式，代入检验即可. 【详解】设，则 又因为，所以，即 选项BCD都满足题意. 故选：BCD 10. 的三个顶点坐标为，，，下列说法中正确的是（ ） A. 边BC与直线平行 B. 边BC上的高所在的直线的方程为 C. 过点A且平分面积的直线与边BC相交于点 D. 过点C且在两坐标轴上的截距相等的直线的方程为 【答案】BC 【解析】 【分析】由直线斜率判断A，求出相应的直线方程判断BD，求出边中点坐标判断C． 【详解】直线的斜率为，而直线的斜率为，两直线不平行，A错； 边上高所在直线斜率为，直线方程为，即，B正确； 过点A且平分面积直线过边BC中点，坐标为，C正确 ； 过且在两坐标轴上的截距相等的直线不过原点时方程为，过原点时方程为，D错. 故选：BC． 11. 已知直线分别与轴，轴交于两点，点在圆上，则的面积可以是（ ） A. 7 B. 8 C. 9 D. 【答案】BCD 【解析】 【分析】求出圆心到直线的距离、，设到直线的距离为，则，最后根据求出范围，即可求解. 【详解】圆的圆心，半径， 圆心到直线的距离， 直线分别与轴，轴交于两点， 所以， 所以， 设点到直线的距离为，则， 所以的面积. 故选：. 第 Ⅱ 卷（非选择题） 三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分） 12. 经过、两点的直线的一个方向向量为，则的值是______． 【答案】 【解析】 【分析】根据直线的方向向量与斜率的关系可求出的值. 【详解】因为经过、两点的直线的一个方向向量为，故直线的斜率为， 故. 故答案为：. 13. 已知直线方向向量为，点在直线上，则点到直线的距离为______. 【答案】 【解析】 【分析】求出与直线的方向向量的夹角的余弦，转化为正弦后可得点到直线的距离． 【详解】， ， 所以， 点到的距离为． 故答案：． 14. 空间四边形中，，且异面直线与成，求异面直线与所成角的余弦值为______. 【答案】## 【解析】 【分析】先得到，两边平方后，结合边长和直线与所成角得到方程，求出或，舍去不合要求的解，得到答案. 【详解】因为，所以， 两边平方得， ，且异面直线与成， 故， 或， 所以，或， 解得，或（舍去）， 所以异面直线与所成角的余弦值为. 故答案为： 四、解答题（本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 15. 已知且 （1）求实数的值； （2）若，求实数的值． 【答案】（1）2； （2）. 【解析】 【分析】（1）根据空间向量平行的性质、空间向量线性运算公式进行求解即可； （2）根据空间向量垂直的坐标表示公式、空间向量线性运算公式即可求解. 【小问1详解】 ， ， 设， ， 的值为2． 【小问2详解】 由（1），则， ， ， ． 16. 已知圆：，圆：． （1）当时，求圆和圆的公共弦长﹔ （2）是否存在实数a，使得圆和圆内含？若存在，求出实数a的取值范围，若不存在，请说明理由． 【答案】（1） （2）不存在，理由见解析 【解析】 【分析】（1）两圆方程相减可得公共弦所在直线方程，再利用弦长公式求解； （2）假设存在实数a，根据两圆内含关系列不等式并求解，可判断a的存在性． 【小问1详解】 圆：即， 当时，圆：， 两圆方程相减可得公共弦所在直线方程为， 圆：的圆心，半径， 圆心到公共弦所在直线的距离， 则两圆的公共弦长为. 【小问2详解】 不存在，理由如下： 圆：可化为， 则圆心，半径， 又圆：的圆心，半径， 假设存在实数a，使得圆和圆内含， 则圆心距， 即，此不等式无解， 故不存在实数a，使得圆和圆内含. 17. 如图，在四棱锥中，底面为正方形，平面，，为中点. （1）求证：平面； （2）求直线与平面所成角的正弦值； （3）求平面与平面夹角的余弦值. 【答案】（1）证明见解析 （2） （3） 【解析】 【分析】（1）由线面垂直的判定定理可得平面，由线面垂直的性质定理得，进而利用线面垂直的判定定理得平面； （2）以为坐标原点，分别以、、所在直线为、、轴，建立空间直角坐标系，求出平面的法向量、向量，由线面角公式可得答案； （3）求出平面的法向量、平面的法向量，由向量的夹角公式可得答案． 【小问1详解】 因为平面，平面，所以， 又因为，，、平面，所以平面， 又平面，所以， 因为，且为中点，所以， 又，、平面，所以平面． 【小问2详解】 因为平面，四边形为正方形， 如图，以为坐标原点，分别以、、所在直线为、、轴，建立空间直角坐标系，    则、、、、、， 所以，，， 设平面的一个法向量为， 则，令，则，，所以， ， 所以平面与直线所成角的正弦值为． 【小问3详解】 ，，设平面的一个法向量为， 则，取，则，，所以， ，所以平面与平面的夹角余弦值为. 18. 在平面直角坐标系中，已知圆与轴交于，两点，圆过，两点且与直线相切． （1）求圆的方程； （2）若直线与圆，圆的交点分别为点，．求证：以线段为直径的圆恒过点． 【答案】（1）x2+y2﹣2x﹣4y=0；（2）证明见解析. 【解析】 【分析】（1）由圆的方程求出轴上的点，的坐标，设圆的一般方程求出圆心坐标，由题意过，点代入圆的方程求出参数的值，又有与直线相切，即可得参数的值，进而求出圆的方程； （2）由题意将直线分别于两个圆联立求出，的坐标，注意不能相切，即的值满足且，进而求出直线，的斜率，可得两条直线的斜率为定值，可得直线垂直，即可证明线段为直径的圆恒过点． 【详解】解：（1）由题意令，代入圆中可得，，可得：，， 设圆的方程为：，圆心坐标，，将，点代入可得：，解得：，， 由题意可得，所以，可得， 所以圆的方程为：； （2）由题意可得且， 联立与圆的方程：，整理得：，可得，， 联立与圆的方程：，整理得：，可得，， 因为，， ，即， 所以以线段为直径的圆恒过点． 【点睛】考查圆方程的求法及直线与圆的位置关系，属于中档题. 19. 已知定圆，动圆N过点且与圆M相切，记动圆的圆心N的轨迹为E. （1）求轨迹E的方程； （2）已知两定点和，过B的动直线交轨迹E于P，Q两点.若直线AP的斜率为，直线AQ的斜率为，求证：为定值. 【答案】（1） （2）证明见解析 【解析】 【分析】（1）结合椭圆定义，用定义法求轨迹E的方程即可； （2）易判断直线PQ斜率非零，令直线方程，利用斜率公式将与韦达定理关联，代入化简求值即可得解. 【小问1详解】 由点在定圆M：内， 知圆N与圆M内切，于是有， 由椭圆的定义可知， 动圆的圆心N的轨迹为一个以，为焦点，以4为长轴长的椭圆， 即，所以， 故点N的轨迹P的方程为. 【小问2详解】 当直线PQ斜率为零时，或两点重合，不满足题意， 设直线PQ方程为， 由，得，易知， 设点，所以， 于是 . 故为定值（与直线的斜率无关）. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 长春外国语学校2025-2026学年第一学期期中考试高二年级 数学试卷 出题人 ：马竞 审题人：王先师 本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共2页.考试结束后，将答题卡交回. 注意事项： 1.答题前，考生先将自己的姓名、准考证号填写清楚，将条形码准确粘贴在考生信息条形码粘贴区. 2.选择题必须使用2B铅笔填涂；非选择题必须使用0.5毫米黑色字迹的签字笔书写，字体工整、笔迹清楚. 3.请按照题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效. 4.作图可先使用铅笔画出，确定后必须用黑色字迹的签字笔描黑. 5.保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀. 第I卷（选择题） 一、单选题（本题共8小题，每题5分 ，共40分.在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项） 1. 在空间直角坐标系中，点P(1，2，-3)关于坐标平面xOy的对称点为（ ） A (-1，-2，3) B. (-1，-2，-3) C. (-1，2，-3) D. (1，2，3) 2. 过两点的直线的倾斜角是，则的值为（ ） A. 2 B. C. D. 5 3. 在菱形ABCD中,若是平面ABCD的法向量,则以下等式中可能不成立的是(　　) A. =0 B. =0 C. =0 D. =0 4. 我国发射的第一颗人造地球卫星的运行轨道是以地心（地球的中心）为一个焦点的椭圆.已知它的近地点（离地面最近的点）距地面千米，远地点（离地面最远的点）距离地面千米，并且、、在同一条直线上，地球的半径为千米，则卫星运行的轨道的短轴长为（    ）千米 A. B. C. 2 D. 5. 过点（2，1）的直线中，被圆截得的弦长最大的直线方程是（　　） A. 3x-y-5=0 B. 3x+y-7=0 C. x+3y-5=0 D. x+3y+5=0 6. 在下列等式中，使点与点一定共面的是（ ） A. B. C. D 7. 已知为椭圆的焦点，P为椭圆上一动点，，则的最小值为（ ） A. B. 1 C. D. 8. 已知椭圆的左右焦点分别是，，过的直线与相交于A，B两点，若，，则的离心率为（ ） A. B. C. D. 二、多选题（本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，有选错的得0分.若只有2个正确选顶，每选对一个得3分;若只有3个正确选项，每选对一个得2分.） 9. 已知平面，其中点，，则下列各点在平面内的是（ ） A. B. C. D. 10. 三个顶点坐标为，，，下列说法中正确的是（ ） A. 边BC与直线平行 B. 边BC上的高所在的直线的方程为 C. 过点A且平分面积的直线与边BC相交于点 D. 过点C且在两坐标轴上的截距相等的直线的方程为 11. 已知直线分别与轴，轴交于两点，点在圆上，则的面积可以是（ ） A. 7 B. 8 C. 9 D. 第 Ⅱ 卷（非选择题） 三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分） 12. 经过、两点的直线的一个方向向量为，则的值是______． 13. 已知直线的方向向量为，点在直线上，则点到直线的距离为______. 14. 空间四边形中，，且异面直线与成，求异面直线与所成角的余弦值为______. 四、解答题（本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 15. 已知且 （1）求实数的值； （2）若，求实数的值． 16. 已知圆：，圆：． （1）当时，求圆和圆的公共弦长﹔ （2）是否存在实数a，使得圆和圆内含？若存在，求出实数a的取值范围，若不存在，请说明理由． 17. 如图，在四棱锥中，底面为正方形，平面，，为中点. （1）求证：平面； （2）求直线与平面所成角正弦值； （3）求平面与平面夹角的余弦值. 18. 在平面直角坐标系中，已知圆与轴交于，两点，圆过，两点且与直线相切． （1）求圆的方程； （2）若直线与圆，圆交点分别为点，．求证：以线段为直径的圆恒过点． 19. 已知定圆，动圆N过点且与圆M相切，记动圆的圆心N的轨迹为E. （1）求轨迹E的方程； （2）已知两定点和，过B的动直线交轨迹E于P，Q两点.若直线AP的斜率为，直线AQ的斜率为，求证：为定值. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $