精品解析：辽宁省协作校2025-2026学年高二上学期期中考试数学试卷

辽宁省协作校2025-2026学年高二上学期期中考试数学试卷 命题人：盘锦市高级中学 黄简 审题人：鞍山三中 白岳龙 考试时间：120分钟 满分：150分 一、单项选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分．每小题只有一个选项符合要求） 1. 已知，，则等于（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据空间向量坐标运算法则计算可得. 【详解】因为，， 所以. 故选：B 2. 若直线的倾斜角是直线的倾斜角的两倍，则实数（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据给定条件，求出直线的倾斜角，进而求出的倾斜角，再由斜率求出. 【详解】直线的斜率，其倾斜角， 因此直线的倾斜角为，其斜率为， 所以. 故选：C 3. 圆心在轴上，则过点和点的圆的方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】由圆心在轴上，可设圆心为，设圆的半径为，由圆过点和点，利用两点间距离公式得到，计算出和，从而得到圆的方程. 【详解】圆心在轴上，设圆心为，设圆的半径为， 圆过点和点，， ，圆的方程为. 故选：A 4. 已知，，，点在平面内，则的值为（ ） A. 2 B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】首先求出，，，即可判断与不共线，从而得到，根据向量相等得到方程组，解得即可. 【详解】因为，，，， 所以，，， 因为不存在实数使得，所以与不共线， 又点在平面内，所以， 即， 所以，解得. 故选：C 5. 《九章算术》中将底面为直角三角形且侧棱垂直于底面的三棱柱称为堑堵.在堑堵中，若，，点为线段的中点，则直线与直线所成的角的余弦值为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】建立空间直角坐标系，求，，利用空间向量求异面直线夹角的余弦值. 【详解】由题意可知：，平面， 以为坐标原点，分别为轴，建立空间直角坐标系， 则， 因为点为线段的中点，则， 可得，， 则， 所以直线与直线所成的角的余弦值为. 故选：D. 6. 若将如图所示大教堂外形弧线的一段近似看成双曲线下支的一部分，此双曲线的离心率，下焦点到一条渐近线的距离为1，则该双曲线方程为（ ） A B. C. 或 D. 或 【答案】B 【解析】 【分析】由离心率得到，从而求出渐近线方程，设下焦点为，由点到直线的距离求出，即可求出、，从而得解. 【详解】因为双曲线的离心率，所以， 又双曲线的渐近线为，即为，即， 设下焦点为，则，解得，所以，则， 所以双曲线方程为，即. 故选：B 7. 一无人机在直线上移动测量噪声，要求无人机到居民点和主干道轴的距离和越小越好，求这个距离和的最小值为（ ） A. 3 B. 4 C. 5 D. 6 【答案】B 【解析】 【分析】设无人机所在位置，求出无人机到居民点和主干道轴的距离和的关系，利用不等式的性质求出最小值. 【详解】设无人机所在位置为点，且， 则无人机到居民点和主干道轴的距离和为 ，当且仅当时取等号， 所以所求距离和的最小值为4. 故选：B 8. 椭圆的左、右焦点分别是，，斜率为1的直线过左焦点，交于，两点，且的内切圆的面积是，若椭圆的离心率的取值范围是，线段的长度的最小值为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】由题可求得，，即可得出，再根据离心率范围即可求出. 【详解】 设的内切圆的圆心为，半径为，则，解得， ， 又 ， ，， ，，则，即， 所以线段的长度的最小值为. 故选：D. 二、多项选择题（本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对得6分，部分选对得部分分，有选错得0分） 9. 已知直线的两点式方程为，则下列选项正确的是（ ） A. 直线经过点 B. 直线的斜截式方程为 C. 直线的一个方向向量为 D. 直线的一个法向量为 【答案】ABC 【解析】 【分析】利用直线的两点式方程可判断A选项；将直线的方程变形可判断B选项；利用直线的方向向量的概念可判断C选项；利用直线法向量的概念可判断D选项. 【详解】对于A选项，由直线的两点式方程可知，直线经过点、，A对； 对于B选项，将直线的方程变形为，即，B对； 对于C选项，直线的一个方向向量为，C对； 对于D选项，直线的一个法向量为，D错. 故选：ABC. 10. 如图，正方体，、、、分别为，，，的中点，则下列选项正确的是（ ） A. 直线与直线是异面直线 B. 直线与平面垂直 C. 点在线段上运动，则三棱锥的体积是定值 D. 二面角的余弦值为 【答案】BCD 【解析】 【分析】取的中点，的中点，连接、、、、、，，即可证明、、、、、在一个平面内，即可判断A，建立空间直角坐标系，利用向量法证明，，即可判断B，证明平面，即可判断C，求出平面、的法向量，利用向量法判断D. 【详解】对于A：取的中点，的中点，连接、、、、、，， 因为、、、分别为，，，的中点， 所以，，所以，所以、、、四点共面； 又，，所以，所以、、、四点共面； 综上可得、、、、、在一个平面内，所以直线与直线共面，故A错误； 对于B：如图建立空间直角坐标系，设正方体的棱长为， 则，，，，，， 所以，，， 所以，， 所以，，即，， 又，平面，所以直线平面，故B正确； 对于C：连接，所以，又平面，平面， 所以平面，又点在线段上运动， 所以点到平面的距离为定值，设为，又的面积为定值， 所以为定值，即三棱锥的体积是定值，故C正确； 对于D：由B可知平面的法向量为，又平面的法向量， 设二面角为，由图可知二面角为锐二面角， 所以，所以二面角的余弦值为，故D正确. 故选：BCD 11. 平面上的动点到两定点，的距离之积为9的点轨迹的图形，类似“”.该曲线上任意一点的坐标为，则下列选项正确的是（ ） A. 该曲线关于轴和轴均对称 B. 曲线方程 C. 的最大值为3 D. 的最大值为 【答案】ABD 【解析】 【分析】对于B：根据题意结合两点间距离公式求曲线的轨迹方程；对于A：根据方程分析对称性；对于C：举反例说明即可；对于D：利用等面积法可得，即可得最值. 【详解】对于选项B：由题意可知：，即， 整理可得，故B正确； 对于选项A：用替换可得，即， 方程不变，可知该曲线关于轴对称； 用替换可得，即， 方程不变，可知该曲线关于轴对称； 综上所述：该曲线关于轴和轴对称，故A正确； 对于选项C：因为曲线方程为， 令，可得，解得或，即或， 可知点在曲线上，则的最大值不为3，故C错误； 对于选项D：因为， 即，可得， 当且仅当时，等号成立， 即，可得，所以的最大值为，故D正确； 故选：ABD. 三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分.） 12. 直线与直线平行，则实数___________. 【答案】 【解析】 【分析】由直线平行得到，求解并验证即可. 【详解】由题意可得：， 解得：或， 当时：，，重合，舍去， 当时，，，平行， 所以， 故答案为： 13. 在空间直角坐标系中，设是平面内的任意一点，若平面经过点，且以为法向量，则由，可得，此即为平面的点法式方程.利用上面给出的材料，解决下面的问题：已知平面的方程为，直线的方向向量为，则直线与平面所成角的正弦值为___________. 【答案】 【解析】 【分析】根据题意，得到平面的一个法向量为，再由直线的方向向量为，结合向量的夹角公式，即可求解. 【详解】由平面的方程为，可得平面的一个法向量为， 又由直线的方向向量为， 设直线与平面所成角，则， 所以直线与平面所成角的正弦值为. 故答案为：. 14. 已知双曲线的左、右焦点分别为，，点为右支上一点（不与顶点重合），射线是的外角平分线，其与轴的交点为点，的角平分线与直线交于点，则___________. 【答案】##0.6 【解析】 【分析】通过双曲线定义结合角平分线定理，逐步推导比例关系得出结果. 【详解】由双曲线，得，，焦点，. 根据双曲线定义，. 因为是的外角平分线，由角平分线定理得. 又平分，在中，由角平分线定理得. 设，则，故，即. 结合（），解得，. 因此. 故答案为：. 四、解答题（本题共5小题，共77分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．） 15. 已知圆的方程为. （1）求实数的取值范围； （2）若圆与直线交于，两点，且，求的值. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）整理可得，进而可得，运算求解即可； （2）求圆心到直线的距离，根据题意结合垂径定理列式求解即可. 【小问1详解】 因为圆的方程为，整理可得， 则，解得， 所以实数的取值范围为. 【小问2详解】 由圆的方程为可知圆心为，半径， 则圆心到直线的距离， 因为，则， 即，解得， 且，符合题意，所以. 16. 如图，已知四棱锥的底面为梯形，底面，且是的中点． （1）证明：直线平面； （2）求平面与平面夹角的余弦值． 【答案】（1）证明见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）通过余弦定理结合勾股定理证明线线垂直，再利用线面垂直判定定理完成证明； （2）建立空间直角坐标系，求出两个平面的法向量，通过法向量夹角公式求解二面角的余弦值. 【小问1详解】 ， ， ， 平面平面， ，又且平面平面， 平面. 【小问2详解】 以A为坐标原点，以分别为轴，轴，轴的正方向，建立空间直角坐标系，如图， 则各点坐标为， ， 平面的法向量设为， 所以即， 令，则平面的法向量， 平面PAD的法向量设为， 所以即， 令，则平面的法向量， 设平面与平面夹角为， . 17. 已知离心率，焦点在轴上的椭圆与直线相交于，两点，为坐标原点，若. （1）求椭圆的标准方程； （2）椭圆的左右焦点为，，过椭圆中心作一条直线与椭圆相交于，两点，求周长的最小值. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）设出椭圆标准方程后结合离心率可得该椭圆方程为，联立直线，消去后计算可得与交点纵坐标有关韦达定理，再结合向量数量积公式计算即可得解； （2）结合椭圆定义及短轴为过椭圆中心的弦中的最短弦即可得解. 【小问1详解】 设该椭圆标准方程为，由题意可得， 则，故该椭圆方程为，即， 联立，消去，有， ，化简得， 设、，则有，， 由，则 ，解得， 故，即椭圆的标准方程为； 【小问2详解】 由直线过椭圆中心，故点、关于原点对称， 则，则， 则周长为， 又在椭圆所有过椭圆中心的弦中，短轴长最小，故， 则周长的最小值为. 18. 已知正方形的边长为2，，分别为，的中点，沿将四边形折起，使得，为线段上一点. （1）如图（一），若为线段中点，设直线与直线的交点为， ①证明：∥平面； ②求点到平面的距离； （2）如图（二），是否存在点，使得直线与平面所成的角为60°？若存在，求此时线段的长；若不存在，请说明理由. 【答案】（1）①证明见解析，②； （2）存在，当或时，使得直线与平面所成的角为. 【解析】 【分析】（1）①根据中位线性质可求得，由，结合线面平行判定定理可证得结论；由二面角平面角定义可知，取中点，由线面垂直的判定和勾股定理可知两两互相垂直，则建立空间直角坐标系，由点面距离的向量法即可求解②； （2）利用线面角的向量求法可求得. 【小问1详解】 ①由于，分别为，的中点 ，且， 又中点，且， 易得， 连接，交于点，连接， 由题设，易知四边形为平行四边形， 为中点， 是中点， 为中点， ，又平面，平面， 平面； ②， ，， 又平面，平面， 即为二面角的平面角， ； 取中点，连接，如图， ，， ， ， ， ， ，，又平面，， 平面， 平面， ， 则以为坐标原点，方向为轴正方向建立空间直角坐标系如下图所示， 则，，，，， ，， 设平面的法向量，则， 令，则，，， ， 故点到平面的距离为， 【小问2详解】 设，则，，， 设平面法向量，则， 令，则，，， 直线与平面所成的角为， ，解得或， 存在点，当或时，使得直线与平面所成的角为. 19. 已知椭圆两个焦点分别为，，并且椭圆经过点. （1）求椭圆的标准方程； （2）椭圆的左、右顶点为，，直线的方程为：，该直线与椭圆交于，两点（，不与顶点，重合），记直线，，的斜率分别为、、. ①证明：； ②若，求的取值范围. 【答案】（1） （2）①证明见解析，② 【解析】 【分析】（1）由焦点坐标和椭圆上的点，列出等式求解即可； （2）联立椭圆方程，可得根与系数关系，①化简整理可得的值；②利用①的结论推出，结合根与系数的关系式化简可求得m的值，继而求得的面积的表达式，结合函数的单调性即可求得答案. 【小问1详解】 设椭圆方程为， 由焦点坐标可得， 由椭圆经过点，得， 又，联立可得：， 故椭圆方程为； 【小问2详解】 ①设l与x轴的交点为D， 联立， 则，需满足， 设，则， 又，故， ②当，由， 可得， 即，所以， 即， 即， 即， 整理得，解得或， 由可知，直线斜率不为， 所以直线交椭圆于在轴的两侧， 所以，则， 故，此时直线l为，过定点，与椭圆C交于不同两点； 此时， ， 令，由于l与轴不垂直，故，所以， 故， 设，时，， 即在上单调递增，即， 故， 即的面积的取值范围为. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 辽宁省协作校2025-2026学年高二上学期期中考试数学试卷 命题人：盘锦市高级中学 黄简 审题人：鞍山三中 白岳龙 考试时间：120分钟 满分：150分 一、单项选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分．每小题只有一个选项符合要求） 1. 已知，，则等于（ ） A. B. C. D. 2. 若直线的倾斜角是直线的倾斜角的两倍，则实数（ ） A. B. C. D. 3. 圆心在轴上，则过点和点的圆的方程为（ ） A. B. C. D. 4. 已知，，，点在平面内，则的值为（ ） A 2 B. C. D. 5. 《九章算术》中将底面为直角三角形且侧棱垂直于底面的三棱柱称为堑堵.在堑堵中，若，，点为线段的中点，则直线与直线所成的角的余弦值为（ ） A B. C. D. 6. 若将如图所示大教堂外形弧线一段近似看成双曲线下支的一部分，此双曲线的离心率，下焦点到一条渐近线的距离为1，则该双曲线方程为（ ） A. B. C. 或 D. 或 7. 一无人机在直线上移动测量噪声，要求无人机到居民点和主干道轴的距离和越小越好，求这个距离和的最小值为（ ） A. 3 B. 4 C. 5 D. 6 8. 椭圆的左、右焦点分别是，，斜率为1的直线过左焦点，交于，两点，且的内切圆的面积是，若椭圆的离心率的取值范围是，线段的长度的最小值为（ ） A. B. C. D. 二、多项选择题（本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对得6分，部分选对得部分分，有选错得0分） 9. 已知直线的两点式方程为，则下列选项正确的是（ ） A. 直线经过点 B. 直线的斜截式方程为 C. 直线的一个方向向量为 D. 直线的一个法向量为 10. 如图，正方体，、、、分别为，，，的中点，则下列选项正确的是（ ） A. 直线与直线异面直线 B. 直线与平面垂直 C. 点在线段上运动，则三棱锥的体积是定值 D. 二面角的余弦值为 11. 平面上的动点到两定点，的距离之积为9的点轨迹的图形，类似“”.该曲线上任意一点的坐标为，则下列选项正确的是（ ） A. 该曲线关于轴和轴均对称 B. 曲线方程为 C. 的最大值为3 D. 的最大值为 三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分.） 12. 直线与直线平行，则实数___________. 13. 在空间直角坐标系中，设是平面内的任意一点，若平面经过点，且以为法向量，则由，可得，此即为平面的点法式方程.利用上面给出的材料，解决下面的问题：已知平面的方程为，直线的方向向量为，则直线与平面所成角的正弦值为___________. 14. 已知双曲线的左、右焦点分别为，，点为右支上一点（不与顶点重合），射线是的外角平分线，其与轴的交点为点，的角平分线与直线交于点，则___________. 四、解答题（本题共5小题，共77分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．） 15. 已知圆的方程为. （1）求实数的取值范围； （2）若圆与直线交于，两点，且，求的值. 16. 如图，已知四棱锥的底面为梯形，底面，且是的中点． （1）证明：直线平面； （2）求平面与平面夹角的余弦值． 17. 已知离心率，焦点在轴上椭圆与直线相交于，两点，为坐标原点，若. （1）求椭圆的标准方程； （2）椭圆的左右焦点为，，过椭圆中心作一条直线与椭圆相交于，两点，求周长的最小值. 18. 已知正方形的边长为2，，分别为，的中点，沿将四边形折起，使得，为线段上一点. （1）如图（一），若为线段中点，设直线与直线的交点为， ①证明：∥平面； ②求点到平面的距离； （2）如图（二），是否存在点，使得直线与平面所成的角为60°？若存在，求此时线段的长；若不存在，请说明理由. 19. 已知椭圆两个焦点分别为，，并且椭圆经过点. （1）求椭圆的标准方程； （2）椭圆的左、右顶点为，，直线的方程为：，该直线与椭圆交于，两点（，不与顶点，重合），记直线，，的斜率分别为、、. ①证明：； ②若，求的取值范围. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $