湖南省湘一名校联盟2025-2026学年高二上学期期中联考数学试题（B卷）

保密★启用前 试卷类型：B 高二数学 考生注意： 1.答题前，考生务必将自己的姓名、考生号填写在试卷和答题卡上，并将考生号条形码粘 贴在答题卡上的指定位置。 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑.如需改 动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写 在本试卷上无效。 3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项 是符合题目要求的， 1.已知集合A={-3,-2,0,1,3},B={x|-3≤2x-1≤3}，则A∩B= A.{0} B.{0,1} C.{0,1,3} D.{-2,0,1} 2.已知直线ax+by-1=0过点(2,0)，且与直线x-3y=0平行，则a+b A.1 B.2 C.-2 D.-1 3.圆C1:x2+y2-2x-2y+1=0与圆C2:x2+y2+6x+4y-3=0的位置关系为 A外切 B.内切 C.相交 D.相离 4.函数f(x)=log2（x2-2x-8)的单调递增区间是 A（-∞，1) B.(1,+) C.(-∞，-2) D.(4,+oo) 5.已知向量a,b满足Ial=2,1b1=3,1a+b1=4,则cos(a,b〉= 4号 B品 ci n-号 6.已知P是抛物线C:y=4x上的动点，点A(4,3√3)，则点P到，点A的距离与点P到直线x= -2025的距离之和的最小值为 A,2029 B.2030 C.2031 D.2032 数学(B卷)试题第1页（共4页） CS扫描全能王 3亿人都在用的扫描APP 7.已知四棱柱ABCD-A,B,C,D1的底面ABCD是正方形，以A为坐标原点，直线AB,AD分别 为x,y轴，过点A且与平面ABCD垂直的直线为z轴建立空间直角坐标系，若AA,=(1,3,2), IAC1=√6，则四棱柱ABCD-AB1C,D1的体积为 A.4√14 B.12 C.8 D.4 及已宝贸酸6营-芳-a0>0合离6率效5，点在6上则g-会原 值范围是 A-1,别 B(-2,引 C.（-1,2] D.（-2,2] 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题 目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9.已知2017一2024年中国体育产业规模（单位：万亿元）数据如下表： 年份 2017 2018 2019 2020 2021 2022 2023 2024 体育产业规模（万亿元） 2.20 2.66 2.94 2.70 3.12 3.30 3.67 3.89 则这8个数据的 A.极差为1.69 B.中位数为2.91 C.80%分位数是3.67 D.平均数大于3 10.如图，在三棱锥D-ABC中，△ABC与△ABD都是边长为2的正三角形，设A店=a,AC=b, AD=c,E是棱CD上靠近C的三等分点，F为AB的中点，且EF=1,则 A-++c 1 B.b·c=-2 C.CD=3 D.异面直线AD与BC所成角的余弦值为号 11.过抛物线C:x2=8y的焦点F作直线与C交于A(x1,y1),B(x2,y2)两点，0为坐标原点，直 线AO,B0分别与C的准线交于点D,E,则 A.Ix1I+1x21的最小值为4 B.BD⊥DE C.以DE为直径的圆过点F D.以AB为直径的圆过点O 数学(B卷)试题第2页（共4页） CS扫描全能王 3亿人都在用的扫描ApP 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分 2计算：1-1-) 13.函数fx)=cos4x-引在[0，m]上的零点个数为 14.已知点P(s,t)在圆C:x2+(y-3)2=4上，则当√4s+6t-1+√-4s+2t+3取最小值时， s+t= 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 15.(13分) 已知直线1过A(-1,0),B(0,3)两点，直线12过点P(-1,3),且与11垂直 (1)求11,2的方程； (2)若圆C过A,B,P三点，求圆C的方程. 16.(15分) 3 在△ABC中，内角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知acos B+bcos A+子otan C=0, (1)求cosC; (2)若c=4V2,△ABC的面积为2，求△ABC的周长， 17.(15分) 已知椭圆c号+卡=1(a>b>0)经过点P川0,0） 且离心率e= (1)求C的方程； (2)记C的左焦点为F,过点Q(-3,0)且不与x轴重合的直线1与C交于M,N两点，证 明：直线FM,FN关于直线x=-1对称. 数学(B卷)试题第3页（共4页） CS扫描全能王 3亿人都在用的扫描APP 18.（17分) 如图，在多面体ABCDEF中，四边形ACFD是菱形，AB⊥平面ACFD,平面DEF⊥平面 ACFD,且△ADF与△DEF都是正三角形 (1)求证：AC⊥BE. (2)若AB=25,AC=2,点G在棱EF上，且点C到平面AGB的距离为4四 13 (i)求AG: (ⅱ)求平面AGB与平面AGC夹角的余弦值. 19.(17分) 已知双曲线B:。-1(2≥0,6>0)的离心率为2，左焦点为F,点A(2,0)在E (1)求E的方程. (2)过点F的直线l与E的左支交于M,W两点，直线AM,AN分别交直线x=-1于点P, Q,PQ的中点为R. (i)求证：RF⊥MW. (i)记△MPR,△MRV,△NRQ的面积分别为S1,S2,S,是否存在入，使得S,+S3=λS2 恒成立？若存在，求出入的值；若不存在，请说明理由 数学(B卷)试题第4页（共4页） CS扫描全能王 3亿人都在用的扫描APP高二数学(B卷)答案 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分， 1.答案B 命题透析本题考查集合的表示与运算， 解析由-3≤2x-1≤3，解得-1≤x≤2，所以A∩B={0,1{. 2.答案D 命题透析本题考查直线的方程与平行关系 解析由直线+-1=0过点(2.0)，得a=分，由直线分+-1=0与直线x-3y=0平行，得6=-多， 所以a+b=-1. 3.答案A 命题透析本题考查圆的方程，圆与圆的位置关系， 解析圆C,的方程化为标准方程为(x-1)2+(y-1)2=1,圆心为C,(1,1),半径11=1，圆C2的方程化为标 准方程为(x+3)2+(y+2)=16,圆心为C2(-3,-2),半径2=4,1C,C21=√(1+3)2+(1+2)2=5,11+ 2=5,故两圆外切 4.答案D 命题透析本题考查对数函数的性质 解析由x2-2x-8>0,得x<-2或x>4,因为y=x2-2x-8在(4，+∞)上单调递增，由复合函数的单调性， 可得f八x)在(4，+∞)上单调递增. 5.答案c 命题透析本题考查平面向量的运算. 解折(a+b)2=a2+8+2a·b=2+32+2x2x3xcs(a,b=16,所以cs(a,b)=子 6.答案B 命题透析本题考查抛物线的定义， 解析由已知得C的焦点为F(1,0),准线为x=-1,由抛物线的定义得点P到点A的距离与到直线x=-2025 的距离之和为1PAI+1PFI+2024≥1AF1+2024=6+2024=2030,当点P为线段AF与C的交点时取等号. 7.答案C 命题透析本题考查空间直角坐标系与空间向量的应用. 解析由AA=(1,3,2)得A1(1,3,2),所以该四棱柱的高为2，设C(a,a,0),则A1C=(a-1,a-3,-2),由 一1 1A,C1=√6，得(a-1)2+(a-3)2+(-2)2=6,解得a=2,所以底面ABCD是边长为2的正方形，所以该四棱柱 的体积为22×2=8. 8.答案A 命题透析本题考查双曲线的方程与几何性质 解析由C的离心*为5，得+（合=5所以=2血因为点P在C上所以-2<丹<2答苦 ’P=1,6 4m2-n2,所以 -品六1++子因为-22.所以-1 m2-2m4m2 m (0++≤ 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.每小题全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的 得0分. 9.答案ACD 命题透析本题考查样本数据的数字特征， 解析极差为3.89-2.20=1.69，故A正确； 中位数为这8个数据按照从小到大的顺序排列后的第4个数2.94与第5个数3.12的平均数3.03，故B错误： 8×80%=6.4,80%分位数是这8个数据按照从小到大的顺序排列后的第7个数3.67，故C正确： 平均数为=3+日(-0.8-034-0.06-0.3+0.12+0.3+0.67+0.89)=3.06>3，故D正确 10.答案ABD 命题透析本题考查空间向量在立体几何中的应用。 解析对于A,因为F是AB的中点，所以=a,因为E是棱CD上靠近C的三等分点，所以花=d+ 子（配-而=子花+兮市=号+所以店-正-亦+号+c放A正确： 对于B,1a1=b1=lc1=2.ab=ac=2×}=2.因为Br=1,所以(0+号b+写9到=子d+ ,1 -号a-ac+号c=1+白+号专号+号6e=1,解得6=弓放B正确 对于C,CD=1c-b1=√c2-2b·c+b2=4+1+4=3,故C错误； 对于D,1i威1-1seh-a1leb-a.寸-2 1c1b-al-2×2 客故D正隐 1L.答案BC 命题透析本题考查抛物线与直线的位置关系. 解析对于A,由题得F(0,2),设直线AB的方程为y=x+2,与x2=8y联立，得x2-8kx-16=0,所以x2= -16,所以|x1I+1x2|≥2√/Tx1x2I=8,当且仅当x1=-x2时取等号，故A错误； 2 对于BC的准线方程为y-2设以名，-2.由如=得号-冬-受-音：是所以与=即0 DE,故B正确； 对于C,由上述分析知D(2,-2),同理有E(1,-2),所以F应·F=(x1,-4)·(x2,-4)=xx2+16=0,故 C正确； 22 对于D,因为O.0B=xx2+当1y2=x+ 名+苦=-16+4三-12<0，所以∠A0B为钝角，点0在以AB为直径 的圆内，故D错误 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12.答案2 命题透析本题考查复数的四则运算. 13.答案4 命题透析本题考查三角函数的性质， 解析令)=0，得4-石=km+受(eZ,所以x=年+君(keZ),由0≤年+石≤π，可得长的取值可 以是0,1,2,3，故零点个数为4. 14,答案1或号（金部写对才给分） 命题透析本题考查圆的方程，直线与圆的位置关系 解析因为点P在圆C上，所以52+(t-3)2=4,即2+t-6t=-5,所以√4s+61-1+√-4s+2t+3= √4s+6t+4+s2+2-6t+-4s+2t+8+s2+-6t=(s+2)2+2+√(5-2)2+(t-2)7,其几何意义 是点P到点A(-2,0),B(2,2)的距离之和，IPAI+PBI≥IAB1,当点P在线段AB上时取等号，此时点P为 6 5=0, 5 线段AB与圆C的交点，直线AB的方程为)=+1，与+(？-3)2=4联立，得 或 两组解均 t=1 9 5 满足题意，所以5+t=1或 5 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤， 15.命题透析本题考查直线的方程与直线的垂直关系、圆的方程. 解析(1)因为11过A(-1,0),B(0,3)两点， 所以%的方程为号+分=l,即3-y+3=0.… (3分) 1 所以1的斜率k1=3,因为l1⊥12，所以2的斜率k2=- 3 (5分) -3 又因为%过点P(-1,3).所以4的方程为y-3=-行(x+1).即x+3y-8=0.…(7分) (2)因为点A(-1,0),B(0,3),P(-1,3), 所以A=(0,3),B=(-1,0),则A.=0,即AP1BP, 所以圆C是以AB为直径的圆。…(10分) 圆心为c(-3)半径r=之M1= 所以圆c的方程为x+)+(-多)=多 …(13分） 16.命题透析本题考查正弦定理和余弦定理的应用. 解析()由已知等式利用正弦定理可得-子Ctan G=sin Acs B+s血BcsA=sim(A+B),…(2分) 因为A+B+C=m,所以sin(4+B)=sinC所以-子sin Cuan C=SinC, 又inc≠0，所以amC=-号则Ce(受小 …(5分） 由tan2C+1=sin2C+cos2C。1 cosC cos2C' 可得cosC=-√an2C+1 1 3 =- 写… (7分) ah=32. (2)由余弦定理得c2=a2+62-2 abcos C=d2+b2+6 (9分) 因为G=V个-mC=号，所以Sx=in=子b=2.所以h=5.…（2分) 所以(a+62=d2+62+2b=32+号b=36,所以a+6=6.…（14分） 所以△ABC的周长为a+b+c=6+4√2.…(15分) 17.命题透析本题考查椭圆的方程与几何性质，椭圆与直线的位置关系. 解折)市C经过点）得 6 导5a+5=1, …(2分) 由e=停得-所以心-， a2 与 50+50=1联立，得a2=3,6-2,… 6 (5分) 所以C的方程为+=L………(6分） (2)由(1)得F(-1,0),易知直线1的斜率存在且不为0， 设l:x=my-3(m≠0)，M(x1,y1),N(x2,y2) 一4 22 由3* 1. 得(2m2+3)y2-12my+12=0, Lx=my-3, 由4=(-12m)2-48(2m2+3)=48(m2-3)>0,得m2>3. (8分) 12m 12 所以%+22m+32nm2+3+%-mh=0,… (9分) 把=1，代人号+号-1，得y=± 3 把=-1，y=土23代人三m四y-3,得m=±3，不满足m2>为 所以x1≠-1，北2≠-1，……（11分)》 +2」 22(my2-y1-2) 则km+kw=+++m-2+m-2(m-2)(m2-2) =0, 所以直线FM,FN关于直线x=一1对称.…(15分) 18.命题透析本题考查空间向量在立体几何中的应用。 解析(1)如图，取DF的中点H,连接AH,EH,AE. 因为△ADF与△DEF都是正三角形，所以AH⊥DF,EH⊥DF, 因为AH∩EH=H,所以DF⊥平面AHE,所以DF⊥AE,…(2分) 因为四边形ACFD是菱形，AC∥DF,所以AC⊥AE, 因为AB⊥平面ACFD,ACC平面ACFD,所以AC⊥AB,…(4分) 因为AB∩AE=A,所以AC⊥平面ABE, 因为BEC平面ABE,所以AC⊥BE.… (5分) H (2)由(1)知，AB,AC,AH两两互相垂直，以A为坐标原点，AB,AC,AH所在直线分别为x,y,z轴建立如图所示 的空间直角坐标系，则A(0,0,0),B(23,0,0),C(0,2,0),E(3,0,√3)，F(0,1,w3), 所以A店=(23,0,0)，B武=(-23,2,0)，A应=(3,0,3)，E7=(-3,1,0).…(7分) (i)设E或=入E(0≤A≤1)，则A亡=A2+E元=A应+入E京=(5-5入，A,5).…(8分) 5 rn·AB=0,23x=0, 设平面AGB的法向量为n=(x,y,z),则 即 n·A花=0，l(5-3)x+y+5:=0, 取y=5,得n=(0,W3,-入)，…(9分) 所以点C到平面AGB的距离为n·Bd.254丽 1 3+2 4付9，解得A=子 所以花-（停}，.4c=id-√(+（分+(52=2. (12分) (i)花=(02.0)，由(i)知d=(受，3,5平面4GB的-个法向量为n=(03,-…(13分) 设平面AGC的法向量为m=(a,b,c), rm·AC=0, r2b=0, 则 即 取c=1,得m=(-2,0,1), (15分) m·AG=0, ++c=0 设平面AGB与平面AGC的夹角为0， 1 Im·nl 2 则os8=1m·1m=行 5x三8即平面4GB与平面AGC夹角的余弦值为65 65 …(17分) 2 19.命题透析本题考查双曲线的方程与几何性质、双曲线与直线的位置关系. 解析(1)设E的半焦距为c(c>0). 因为A(2,0)在E上，所以a=2,… (1分) 因为E的离心率e=C=2,即c=2a=4,所以62=c2-a2=12. a 公的方程为号-一 (4分) (2)(i)由E的方程知F(-4,0),设1：x=my-4,M(x1,y1),N(x2,y2). [x=my-4, 由 得(3m2-1)y2-24my+36=0, 3x2-y2=12, 因为1与E的左支交于两点，且E的渐近线方程为y=±，x,可得-号<m<号，即3m2-1<0, 24m 36 所以+h3m-3m-了 (5分) 直线W的方程为y产2-2).令=-1得y 3y1 x1-2 所P(-1,)同理得0-1，” …(7分） 所以(2+)分30m06-90》 (my1-6)(my2-6) my1y2-6m(y1+y2)+36 —6 216m-108m 36m2-144m2+36(3m2-1)=-3m, 即R(-1,-3m).…(9分） 当m=0时，直线MN与x轴垂直，R(-1,0)与F(-4,0)都在x轴上，满足RF⊥MN; 当m0时，有r=04得=m6m=rm=-1,也满足1Mw 综上，RF⊥MW…(11分) (i)s+s=2(-1-4)+2(-1-)9-2-(+门 4 4 26-+10o。-m+w 9 6-m(y1+2) 2'1m2-6m(+)+36·1y-% 9 24m2-6(3m2-1) =2‘136m2-144m2+36(3m2-1)%-l 手(m+1）l小y-½. (15分) $=之MNI=分1+1，-·V3+(-3m=2(m2+D1,-⅓ 所以S,+S,=S2,即存在A三)，符合条件…(17分】 一7