第二十八章锐角三角函数 第15讲 锐角三角函数讲义2025-2026学年人教版（2012）九年级数学下册

第15讲 锐角三角函数 知识点1 正弦、余弦、正切 锐角三角函数相关概念 正弦：在直角三角形中，任意一锐角∠A的对边与斜边的比叫做∠A的正弦，记作：sinA。 余弦：在直角三角形中，任意一锐角∠A的邻边与斜边的比叫做∠A的余弦，记作：cosA。正切：在直角三角形中，任意一锐角∠A的对边与邻边的比叫做∠A的正切，记作：tanA。 锐角A的正弦，余弦，正切，都叫做的锐角三角函数。 （1） 三角函数的实质是一些比，这些比只与角的大小有关，当角的大小确定时，它的三角函数值就确定了，也就是说，三角函数值随角度的变化而变化。 （2）由定义可知，0<sinA<1，0<cosA<1，tanA>0。令y=sinA，y=cosA，y=tanA，则函数中自变量的取值范围均为：0函数的增减性分别为： ①y=sinA 在自变量的取值范围内，y随的增大而增大 ②y=cosA 在自变量的取值范围内，y随的增大而减小 ③y=tanA 在自变量的取值范围内，y随的增大而增大. 【典例】 1.在Rt△ABC中，∠C=90°，AB=5，AC=3，则BC=　　 ，sinA=　 2.正方形网格中，∠AOB如图放置，则cos∠AOB的值为　　 ． 3.如图，在半径为3的⊙O中，直径AB与弦CD相交于点E，连接AC，BD，若AC=2，则tanD=　　 ． 【方法总结】 1、利用某个锐角的三角函数值时，一定要把这个角放在直角三角形中。 2、相等的角相对应的三角函数值相等。 3、注意在等腰三角形或圆中利用等角转换后，再利用某角的三角函数值进行求解。 4、注意在直角三角形中，可利用相应边比求某角的三角函数值，也可利用某角的三角函数值转换成直角三角形的相应边的长度之比. 【随堂练习】 1．在Rt△ABC中，∠C=90°，若sinA=，AB=2，则AC长是（　　） A． B． C． D．2 2．（2017秋•滨江区期末）三角函数sin30°、cos16°、cos43°之间的大小关系是（　　） A．cos43°＞cos16°＞sin30° B．cos16°＞sin30°＞cos43° C．cos16°＞cos43°＞sin30° D．cos43°＞sin30°＞cos16° 3．（2017秋•定安县期末）在△ABC中，∠C=90°，AB=10，BC=8，则cosA=____． 知识点2 特殊角的三角函数值 特殊角的三角函数值主要是指这三个角的三角函数值，如下表： 【典例】 1.已知α为锐角，且sin（α﹣10°）=，则α等于　 度． 2.4cos30°++|﹣2|=　　． 【方法总结】 1、由特殊角度可知其对应的三角函数值，由三角函数值可知道相关直角三角形中的对应边之比。 2、由角的三角函数值可逆向知道其相对应的锐角度数。 【随堂练习】 1．计算：tan45°+=___； 2．计算：（sin30°）﹣1×（sin60°﹣cos45°）﹣． 知识点3 解直角三角形 在直角三角形中，除直角外，一共有五个元素，即三条边和两个锐角。由直角三角形中除直角外的已知元素求出所有未知元素的过程叫做解直角三角形。 【典例】 1.在△ABC中，AD⊥BC于点D，若tan∠CAD=，AB=5，AD=3，则BC长为　 　． 2.在平面直角坐标系中，点A的坐标为（m，n），其中m≠0，点B的坐标为（0，5），若AB=3，记||=a，则a的取值范围为　　 ． 3.四边形ABCD中，BD是对角线，∠ABC=90°，tan∠ABD=，AB=20，BC=10，AD=13，则线段CD=　　 ． 【方法总结】 1、解有关坡角，坡度的问题时，要注意坡度与坡角的区别，坡度是坡角的正切值。 2、解有关方向角，方位角的问题时常利用正南，正北，正西，正东方向线构造直角三角形。 3、在构造直角三角形后，要注意平行线间角与角的关系，进行角度转换。 4、要学会在直角三角形中运用已知的边和角，选择合适的三角函数表示出所需的边长。 【随堂练习】 1．对于钝角α，定义它的三角函数值如下：sinα=sin（180°﹣α），cos=﹣cos（180°﹣α）． （1）求sin120°，cos150°的值； （2）若一个直角三角形的三个内角比是1：1：4，A，B设这个三角形的两个顶点，sinA，cosB是方程4x2﹣mx﹣1=0的两个不相等的实数根，求m的值及∠A和∠B的度数． 2．定义：在△ABC中，∠C=30°，我们把∠A的对边与∠C 的对边的比叫做∠A的邻弦，记作thi A，即thi A==．请解答下列问题： 已知：在△ABC中，∠C=30°． （1）若∠A=45°，求thi A的值； （2）若thi A=，则∠A=____°； （3）若∠A是锐角，探究thi A与sinA的数量关系． 知识点4 解直角三角形应用 ①坡度，坡角 如图：AB表示水平面，BC表示坡面，我们把水平面AB与坡面BC所形成的称为坡角. 一般地，线段BE的长度称为斜坡BC的水平宽度，线段CE的长度称为斜坡BC的铅垂高度。如图；坡面的铅垂高度h和水平宽度l的比叫做坡面的坡度（或坡比），用表示，记作h:l,坡度通常写成1：m的形式（m可为小数）。坡面与水平面的夹角叫做坡角，记作。于是，显然，坡度越大，越大，坡面就越陡。 ②方位角：从正北方向或正南方向到目标方向所形成的小于90得角叫方位角.如图；都是方位角. 如图；目标方向OA表示的方位角为北偏东35；目标方向OB表示的方位角为南偏东75；目标方向OC表示的方位角为南偏西45，也称西南方向；目标方向OD表示的方位角为北偏西40. ③仰角、俯角 如图：OC为水平线，OD为铅垂线，OA,OB为视线，我们把视线OA与水平线OC所形成的把视线 OB与水平线OC所形成的称为俯角.在视线与水平线所成的角中，当视线在水平线上方时，视线与水平线所成的角叫做仰角，当视线在水平线下方时，视线与水平线所成的角叫做俯角. 【典例】 1.某篮球架的侧面示意图如图所示，现测得如下数据：底部支架AB的长为1.74m，后拉杆AE的倾斜角∠EAB=53°，篮板MN到立柱BC的水平距离BH=1.74m，在篮板MN另一侧，与篮球架横伸臂DG等高度处安装篮筐，已知篮筐到地面的距离GH的标准高度为3.05m．则篮球架横伸臂DG的长约为　　m（结果保留一位小数，参考数据：sin53°≈，cos53°≈，tan53°≈）． 2.如图，一艘渔船正以60海里/小时的速度向正东方向航行，在A处测得岛礁P在东北方向上，继续航行1.5小时后到达B处，此时测得岛礁P在北偏东30°方向，同时测得岛礁P正东方向上的避风港M在北偏东60°方向．为了在台风到来之前用最短时间到达M处，渔船立刻加速以75海里/小时的速度继续航行 小时即可到达．（结果保留根号） 3.重庆市是著名的山城，重庆建筑多因地制宜，某中学依山而建，校门A处，有一斜坡AB，斜坡AB的坡度i=5：12，从A点沿斜坡行走了19.5米到达坡顶B处，在坡顶B处看教学楼CF的楼顶C的仰角∠CBF=53°，离B点5米远的E处有一花台，在花台E处仰望C的仰角∠CEF=63.4°，CF的延长线交校门处的水平面于点D，则DC的长______（参考数据：tan53°≈，cos53°≈，tan63.4°≈2，sin63.4°≈） 【方法总结】 1、 解有关方向角，方位角的问题时常利用正南，正北，正西，正东方向线构造直角三角形。 2、 在构造直角三角形后，要注意平行线间角与角的关系，进行角度转换。 【随堂练习】 1．如图，BC是路边坡角为30°，长为10米的一道斜坡，在坡顶灯杆CD的顶端D处有一探射灯，射出的边缘光线DA和DB与水平路面AB所成的夹角∠DAN和∠DBN分别是37°和60°（图中的点A、B、C、D、M、N均在同一平面内，CM∥AN）． （1）求灯杆CD的高度； （2）求AB的长度（结果精确到0.1米）．（参考数据：=1.73．sin37°≈060，cos37°≈0.80，tan37°≈0.75） 2．如图，长沙九龙仓国际金融中心主楼BC高达452m，是目前湖南省第一高楼，和它处于同一水平面上的第二高楼DE高340m，为了测量高楼BC上发射塔AB的高度，在楼DE底端D点测得A的仰角为α，sinα=，在顶端E点测得A的仰角为45°，求发射塔AB的高度． 3．如图，某市郊外景区内一条笔直的公路l经过A、B两个景点，景区管委会又开发了风景优美的景点C．经测量，C位于A的北偏东60°的方向上，C位于B的北偏东30°的方向上，且AB=10km． （1）求景点B与C的距离； （2）为了方便游客到景点C游玩，景区管委会准备由景点C向公路l修一条距离最短的公路，不考虑其他因素，求出这条最短公路的长．（结果保留根号） 综合运用：锐角三角函数 1.如图，在正方形ABCD中，M是AD的中点，BE=3AE，试求sin∠ECM的值． 2.如图，在边长为1的小正方形网格中，点A、B、C、D都在这些小正方形的顶点上，AB、CD相交于点O，求tan∠AOD． 3.已知△ABC中，AB=10，AC=2，∠B=30°，求△ABC的面积。 4.如图，在△ABC中，AC=6，BC=10，tanC=，点D是AC边上的动点（不与点C重合），过D作DE⊥BC，垂足为E，点F是BD的中点，连接EF，设CD=x，△DEF的面积为S，求S与x之间的函数关系式． 5.在△ABC中，∠B、∠C 均为锐角，其对边分别为b、c，求证：=． 6.如图，由12个形状、大小完全相同的小矩形组成一个大的矩形网格，小矩形的顶点称为这个矩形网格的格点，已知这个大矩形网格的宽为6，△ABC的顶点都在格点． （1）求每个小矩形的长与宽； （2）在矩形网格中找一格点E，使△ABE为直角三角形，求所有满足条件的线段AE的长度． （3）求sin∠BAC的值． 7.如图1，水坝的横截面是梯形ABCD，∠ABC=37°，坝顶DC=3m，背水坡AD的坡度i（即tan∠DAB）为1：0.5，坝底AB=14m． （1）求坝高； （2）如图2，为了提高堤坝的防洪抗洪能力，防汛指挥部决定在背水坡将坝顶和坝底同时拓宽加固，使得AE=2DF，EF⊥BF，求DF的长．（参考数据：sin37°≈，cos37°≈，tan37°≈） 8.如图，BC是路边坡角为30°，长为10米的一道斜坡，在坡顶灯杆CD的顶端D处有一探射灯，射出的边缘光线DA和DB与水平路面AB所成的夹角∠DAN和∠DBN分别是37°和60°（图中的点A、B、C、D、M、N均在同一平面内，CM∥AN）． （1）求灯杆CD的高度； （2）求AB的长度（结果精确到0.1米）．（参考数据：=1.73．sin37°≈060，cos37°≈0.80，tan37°≈0.75） 9.日照间距系数反映了房屋日照情况．如图①，当前后房屋都朝向正南时，日照间距系数=L：（H﹣H1），其中L为楼间水平距离，H为南侧楼房高度，H1为北侧楼房底层窗台至地面高度． 如图②，山坡EF朝北，EF长为15m，坡度为i=1：0.75，山坡顶部平地EM上有一高为22.5m的楼房AB，底部A到E点的距离为4m． （1）求山坡EF的水平宽度FH； （2）欲在AB楼正北侧山脚的平地FN上建一楼房CD，已知该楼底层窗台P处至地面C处的高度为0.9m，要使该楼的日照间距系数不低于1.25，底部C距F处至少多远？ 10.小亮在某桥附近试飞无人机，如图，为了测量无人机飞行的高度AD，小亮通过操控器指令无人机测得桥头B，C的俯角分别为∠EAB=60°，∠EAC=30°，且D，B，C在同一水平线上．已知桥BC=30米，求无人机飞行的高度AD．（精确到0.01米．参考数据：≈1.414，≈1.732） ( 1 ) 学科网（北京）股份有限公司 $ 第15讲 锐角三角函数 知识点1 正弦、余弦、正切 锐角三角函数相关概念 正弦：在直角三角形中，任意一锐角∠A的对边与斜边的比叫做∠A的正弦，记作：sinA。 余弦：在直角三角形中，任意一锐角∠A的邻边与斜边的比叫做∠A的余弦，记作：cosA。正切：在直角三角形中，任意一锐角∠A的对边与邻边的比叫做∠A的正切，记作：tanA。 锐角A的正弦，余弦，正切，都叫做的锐角三角函数。 （1） 三角函数的实质是一些比，这些比只与角的大小有关，当角的大小确定时，它的三角函数值就确定了，也就是说，三角函数值随角度的变化而变化。 （2）由定义可知，0<sinA<1，0<cosA<1，tanA>0。令y=sinA，y=cosA，y=tanA，则函数中自变量的取值范围均为：0函数的增减性分别为： ①y=sinA 在自变量的取值范围内，y随的增大而增大 ②y=cosA 在自变量的取值范围内，y随的增大而减小 ③y=tanA 在自变量的取值范围内，y随的增大而增大. 【典例】 1.在Rt△ABC中，∠C=90°，AB=5，AC=3，则BC=　　 ，sinA=　 【答案】4；　 【解析】解：∵∠C=90°，AB=5，AC=3， ∴BC==4， ∴sinA==， 2.正方形网格中，∠AOB如图放置，则cos∠AOB的值为　　 ． 【答案】 【解析】解：如图，C为OB边上的格点，连接AC， 根据勾股定理，AO==2， AC==， OC==， 所以，AO2=AC2+OC2=20， 所以，△AOC是直角三角形， cos∠AOB===． 3.如图，在半径为3的⊙O中，直径AB与弦CD相交于点E，连接AC，BD，若AC=2，则tanD=　　 ． 【答案】2 【解析】解：如图，连接BC， ∵AB是⊙O的直径，∴∠ACB=90°， ∵AB=6，AC=2， ∴BC===4， 又∵∠D=∠A， ∴tanD=tanA===2． 【方法总结】 1、利用某个锐角的三角函数值时，一定要把这个角放在直角三角形中。 2、相等的角相对应的三角函数值相等。 3、注意在等腰三角形或圆中利用等角转换后，再利用某角的三角函数值进行求解。 4、注意在直角三角形中，可利用相应边比求某角的三角函数值，也可利用某角的三角函数值转换成直角三角形的相应边的长度之比. 【随堂练习】 1．在Rt△ABC中，∠C=90°，若sinA=，AB=2，则AC长是（　　） A． B． C． D．2 【解答】解：∵∠C=90°，sinA=，AB=2， ∴BC=AB×sinA=2×=， 由勾股定理得：AC==． 故选：A． 　 2．三角函数sin30°、cos16°、cos43°之间的大小关系是（　　） A．cos43°＞cos16°＞sin30° B．cos16°＞sin30°＞cos43° C．cos16°＞cos43°＞sin30° D．cos43°＞sin30°＞cos16° 【解答】解：∵sin30°=cos60°， 又16°＜43°＜60°，余弦值随着角的增大而减小， ∴cos16°＞cos43°＞sin30°． 故选：C． 3．在△ABC中，∠C=90°，AB=10，BC=8，则cosA=____． 【解答】解：由勾股定理得：AC===6， cosA===， 故答案为：． 知识点2 特殊角的三角函数值 特殊角的三角函数值主要是指这三个角的三角函数值，如下表： 【典例】 1.已知α为锐角，且sin（α﹣10°）=，则α等于　 度． 【答案】70　 【解析】解：∵α为锐角，sin（α﹣10°）=，sin60°=， ∴α﹣10°=60°， ∴α=70°． 2.4cos30°++|﹣2|=　　． 【答案】3 【解析】解：原式==3 【方法总结】 1、由特殊角度可知其对应的三角函数值，由三角函数值可知道相关直角三角形中的对应边之比。 2、由角的三角函数值可逆向知道其相对应的锐角度数。 【随堂练习】 1．计算：tan45°+=___； 【解答】解：tan45°+=1+4=5， 故答案为：5． 2．计算：（sin30°）﹣1×（sin60°﹣cos45°）﹣． 【解答】解：原式=（）﹣1×（﹣）﹣（﹣1） =2×（﹣）﹣+1 =﹣﹣+1 =1﹣． 知识点3 解直角三角形 在直角三角形中，除直角外，一共有五个元素，即三条边和两个锐角。由直角三角形中除直角外的已知元素求出所有未知元素的过程叫做解直角三角形。 【典例】 1.在△ABC中，AD⊥BC于点D，若tan∠CAD=，AB=5，AD=3，则BC长为　 　． 【答案】5或3 【解析】解：当高AD在△ABC内部时， 在Rt△ABD中，BD===4， 在Rt△ADC中，tan∠CAD==， ∴CD=1， ∴BC=BD+CD=4+1=5． 当高AD在△ABC′外部时，易知BC′=BD﹣DC′=4﹣1=3， 综上：BC长为5或3。 2.在平面直角坐标系中，点A的坐标为（m，n），其中m≠0，点B的坐标为（0，5），若AB=3，记||=a，则a的取值范围为　　 ． 【答案】a≥ 【解析】解：依照题意画出图象，如图所示． 当OA⊥AB时，a取最小值． 在Rt△OAB中，OB=5，AB=3， ∴OA==4， ∴tan∠OBA==． ∴a=||==tan∠AOC=tan∠OBA=． 故：a≥． 3.四边形ABCD中，BD是对角线，∠ABC=90°，tan∠ABD=，AB=20，BC=10，AD=13，则线段CD=　　 ． 【答案】17或 【解析】解：如图，当四边形ABCD是凸多边形时，作AH⊥BD于H，CG⊥BD于G， ∵tan∠ABD=， ∴=， 设AH=3x，则BH=4x， 由勾股定理得，（3x）2+（4x）2=202， 解得，x=4， 则AH=12，BH=16， 在Rt△AHD中，HD==5， ∴BD=BH+HD=21， ∵∠ABD+∠CBD=90°，∠BCH+∠CBD=90°， ∴∠ABD=∠CBH， ∴=，又BC=10， ∴BG=6，CG=8， ∴DG=BD﹣BG=15， ∴CD==17， 当四边形ABCD′是凹多边形时，CD′==， 故CD长为：17或． 【方法总结】 1、解有关坡角，坡度的问题时，要注意坡度与坡角的区别，坡度是坡角的正切值。 2、解有关方向角，方位角的问题时常利用正南，正北，正西，正东方向线构造直角三角形。 3、在构造直角三角形后，要注意平行线间角与角的关系，进行角度转换。 4、要学会在直角三角形中运用已知的边和角，选择合适的三角函数表示出所需的边长。 【随堂练习】 1．对于钝角α，定义它的三角函数值如下：sinα=sin（180°﹣α），cos=﹣cos（180°﹣α）． （1）求sin120°，cos150°的值； （2）若一个直角三角形的三个内角比是1：1：4，A，B设这个三角形的两个顶点，sinA，cosB是方程4x2﹣mx﹣1=0的两个不相等的实数根，求m的值及∠A和∠B的度数． 【解答】解：（1）由题意得：sin120°=sin（180°﹣120°）=sin60°=，cos150°=cos（180°﹣30°）=﹣cos30°=﹣； （2）∵一个直角三角形的三个内角比是1：1：4， ∴三个内角分别为30°，30°，120°， ①当∠A=30°，∠B=120°时，方程的两根为，﹣， 把代入方程得：1﹣m﹣1=0，解得：m=0， 经检验﹣是4x2﹣1=0的根，故m=0； ②当∠A=120°，∠B=30°时，方程的两根为，，不符合题意； ③∠A=30°，∠B=30°时，方程两根为，， 把代入得：1﹣m﹣1=0，解得：m=0， 经检验不是方程4x2﹣1=0的根，不符合题意， 则m=0，∠A=30°，∠B=120°． 　 2．定义：在△ABC中，∠C=30°，我们把∠A的对边与∠C 的对边的比叫做∠A的邻弦，记作thi A，即thi A==．请解答下列问题： 已知：在△ABC中，∠C=30°． （1）若∠A=45°，求thi A的值； （2）若thi A=，则∠A=____°； （3）若∠A是锐角，探究thi A与sinA的数量关系． 【解答】解：如图，作BH⊥AC，垂足为H． （1）在Rt△BHC中，sinC==，即BC=2BH． 在Rt△BHA中，sinA==，即AB=BH． ∴thiA==； （2）∵thi A=， ∴=， ∵∠C=30°， ∴tan30°=， ∴∠ABC=90°， ∴∠A=60°， 根据对称性，△ABC是钝角三角形时，∠BAC=120° 故答案为：60或120； （3）在△ABC中，thiA=． 在Rt△BHA中，sinA=． 在Rt△BHC中，sinC==，即BC=2BH． ∴thiA=2sinA． 知识点4 解直角三角形应用 ①坡度，坡角 如图：AB表示水平面，BC表示坡面，我们把水平面AB与坡面BC所形成的称为坡角. 一般地，线段BE的长度称为斜坡BC的水平宽度，线段CE的长度称为斜坡BC的铅垂高度。如图；坡面的铅垂高度h和水平宽度l的比叫做坡面的坡度（或坡比），用表示，记作h:l,坡度通常写成1：m的形式（m可为小数）。坡面与水平面的夹角叫做坡角，记作。于是，显然，坡度越大，越大，坡面就越陡。 ②方位角：从正北方向或正南方向到目标方向所形成的小于90得角叫方位角.如图；都是方位角. 如图；目标方向OA表示的方位角为北偏东35；目标方向OB表示的方位角为南偏东75；目标方向OC表示的方位角为南偏西45，也称西南方向；目标方向OD表示的方位角为北偏西40. ③仰角、俯角 如图：OC为水平线，OD为铅垂线，OA,OB为视线，我们把视线OA与水平线OC所形成的把视线 OB与水平线OC所形成的称为俯角.在视线与水平线所成的角中，当视线在水平线上方时，视线与水平线所成的角叫做仰角，当视线在水平线下方时，视线与水平线所成的角叫做俯角. 【典例】 1.某篮球架的侧面示意图如图所示，现测得如下数据：底部支架AB的长为1.74m，后拉杆AE的倾斜角∠EAB=53°，篮板MN到立柱BC的水平距离BH=1.74m，在篮板MN另一侧，与篮球架横伸臂DG等高度处安装篮筐，已知篮筐到地面的距离GH的标准高度为3.05m．则篮球架横伸臂DG的长约为　　m（结果保留一位小数，参考数据：sin53°≈，cos53°≈，tan53°≈）． 【答案】1.2 【解析】解：作DK⊥AH于K． ∵四边形DKHG是矩形， ∴DK=GH=3.05m， 在Rt△ADK中．AK==2.29（m）， ∴DG=HK=AH﹣AK=AB+BH﹣AK=1.74+1.74﹣2.29≈1.2（m） 2.如图，一艘渔船正以60海里/小时的速度向正东方向航行，在A处测得岛礁P在东北方向上，继续航行1.5小时后到达B处，此时测得岛礁P在北偏东30°方向，同时测得岛礁P正东方向上的避风港M在北偏东60°方向．为了在台风到来之前用最短时间到达M处，渔船立刻加速以75海里/小时的速度继续航行 小时即可到达．（结果保留根号） 【答案】　 【解析】解：如图，过点P作PQ⊥AB交AB延长线于点Q，过点M作MN⊥AB交AB延长线于点N， 在直角△AQP中，∠PAQ=45°，则AQ=PQ=60×1.5+BQ=90+BQ（海里）， 所以 BQ=PQ﹣90． 在直角△BPQ中，∠BPQ=30°，则BQ=PQ•tan30°=PQ（海里）， 所以 PQ﹣90=PQ， 所以 PQ=45（3+）（海里） 所以 MN=PQ=45（3+）（海里） 在直角△BMN中，∠MBN=30°， 所以 BM=2MN=90（3+）（海里） 所以 =（小时） 3.重庆市是著名的山城，重庆建筑多因地制宜，某中学依山而建，校门A处，有一斜坡AB，斜坡AB的坡度i=5：12，从A点沿斜坡行走了19.5米到达坡顶B处，在坡顶B处看教学楼CF的楼顶C的仰角∠CBF=53°，离B点5米远的E处有一花台，在花台E处仰望C的仰角∠CEF=63.4°，CF的延长线交校门处的水平面于点D，则DC的长______（参考数据：tan53°≈，cos53°≈，tan63.4°≈2，sin63.4°≈） 【答案】27.5 【解析】解：如图，过B作BG⊥AD于G，则四边形BGDF是矩形， 在Rt△ABG中，AB==13米， ∴BG=DF=AB=×19.5=7.5米， 在Rt△BCF中，BF==， 在Rt△CEF中，EF==， ∵BE=4， ∴BF﹣EF=﹣=5， 解得：CF=20． ∴教学楼CF的高度=20+7.5=27.5米． 【方法总结】 1、 解有关方向角，方位角的问题时常利用正南，正北，正西，正东方向线构造直角三角形。 2、 在构造直角三角形后，要注意平行线间角与角的关系，进行角度转换。 【随堂练习】 1．如图，BC是路边坡角为30°，长为10米的一道斜坡，在坡顶灯杆CD的顶端D处有一探射灯，射出的边缘光线DA和DB与水平路面AB所成的夹角∠DAN和∠DBN分别是37°和60°（图中的点A、B、C、D、M、N均在同一平面内，CM∥AN）． （1）求灯杆CD的高度； （2）求AB的长度（结果精确到0.1米）．（参考数据：=1.73．sin37°≈060，cos37°≈0.80，tan37°≈0.75） 【解答】解：（1）延长DC交AN于H． ∵∠DBH=60°，∠DHB=90°， ∴∠BDH=30°， ∵∠CBH=30°， ∴∠CBD=∠BDC=30°， ∴BC=CD=10（米）． （2）在Rt△BCH中，CH=BC=5，BH=5≈8.65， ∴DH=15， 在Rt△ADH中，AH===20， ∴AB=AH﹣BH=20﹣8.65≈11.4（米）． 2．如图，长沙九龙仓国际金融中心主楼BC高达452m，是目前湖南省第一高楼，和它处于同一水平面上的第二高楼DE高340m，为了测量高楼BC上发射塔AB的高度，在楼DE底端D点测得A的仰角为α，sinα=，在顶端E点测得A的仰角为45°，求发射塔AB的高度． 【解答】解：作EH⊥AC于H， 则四边形EDCH为矩形， ∴EH=CD， 设AC=24x， 在Rt△ADC中，sinα=， ∴AD=25x， 由勾股定理得，CD==7x， ∴EH=7x， 在Rt△AEH中，∠AEH=45°， ∴AH=EH=7x， 由题意得，24x=7x+340， 解得，x=20， 则AC=24x=480， ∴AB=AC﹣BC=480﹣452=28， 答：发射塔AB的高度为28m． 3．如图，某市郊外景区内一条笔直的公路l经过A、B两个景点，景区管委会又开发了风景优美的景点C．经测量，C位于A的北偏东60°的方向上，C位于B的北偏东30°的方向上，且AB=10km． （1）求景点B与C的距离； （2）为了方便游客到景点C游玩，景区管委会准备由景点C向公路l修一条距离最短的公路，不考虑其他因素，求出这条最短公路的长．（结果保留根号） 【解答】解：（1）如图，由题意得∠CAB=30°，∠ABC=90°+30°=120°， ∴∠C=180°﹣∠CAB﹣∠ABC=30°， ∴∠CAB=∠C=30°， ∴BC=AB=10km， 即景点B、C相距的路程为10km． （2）过点C作CE⊥AB于点E， ∵BC=10km，C位于B的北偏东30°的方向上， ∴∠CBE=60°， 在Rt△CBE中，CE=km． 综合运用：锐角三角函数 1.如图，在正方形ABCD中，M是AD的中点，BE=3AE，试求sin∠ECM的值． 【解析】解：设AE=x，则BE=3x，BC=4x，AM=2x，CD=4x， ∴EC==5x， EM==x， CM==2x， ∴EM2+CM2=CE2， ∴△CEM是直角三角形， ∴sin∠ECM==． 2.如图，在边长为1的小正方形网格中，点A、B、C、D都在这些小正方形的顶点上，AB、CD相交于点O，求tan∠AOD． 【解析】解：如图，连接BE， ∵四边形BCEK是正方形， ∴KF=CF=CK，BF=BE，CK=BE，BE⊥CK， ∴BF=CF， 根据题意得：AC∥BK， ∴△ACO∽△BKO， ∴KO：CO=BK：AC=1：3， ∴KO：KF=1：2， ∴KO=OF=CF=BF， 在Rt△PBF中，tan∠BOF==2， ∵∠AOD=∠BOF， ∴tan∠AOD=2． 3.已知△ABC中，AB=10，AC=2，∠B=30°，求△ABC的面积。 【解析】解：作AD⊥BC交BC（或BC延长线）于点D， ①如图1，当AB、AC位于AD异侧时， 在Rt△ABD中，∵∠B=30°，AB=10， ∴AD=ABsinB=5，BD=ABcosB=5， 在Rt△ACD中，∵AC=2， ∴CD===， 则BC=BD+CD=6， ∴S△ABC=•BC•AD=×6×5=15； ②如图2，当AB、AC在AD的同侧时， 由①知，BD=5，CD=， 则BC=BD﹣CD=4， ∴S△ABC=•BC•AD=×4×5=10． 综上，△ABC的面积是15或10。 4.如图，在△ABC中，AC=6，BC=10，tanC=，点D是AC边上的动点（不与点C重合），过D作DE⊥BC，垂足为E，点F是BD的中点，连接EF，设CD=x，△DEF的面积为S，求S与x之间的函数关系式． 【解析】解：（1）在Rt△CDE中，tanC=，CD=x ∴DE=x，CE=x， ∴BE=10﹣x， ∴S△BED=×（10﹣x）•x=﹣x2+3x． ∵DF=BF， ∴S=S△BED=x2， 5.在△ABC中，∠B、∠C 均为锐角，其对边分别为b、c，求证：=． 【解析】证明：如图，过A作AD⊥BC于D， 在Rt△ABD中，sinB=， ∴AD=ABsinB， 在Rt△ADC中，sinC=， ∴AD=ACsinC， ∴ABsinB=ACsinC， 而AB=c，AC=b， ∴csinB=bsinC， ∴=． 6.如图，由12个形状、大小完全相同的小矩形组成一个大的矩形网格，小矩形的顶点称为这个矩形网格的格点，已知这个大矩形网格的宽为6，△ABC的顶点都在格点． （1）求每个小矩形的长与宽； （2）在矩形网格中找一格点E，使△ABE为直角三角形，求所有满足条件的线段AE的长度． （3）求sin∠BAC的值． 【解析】解：（1）设每个小矩形的长为x，宽为y， 依题意得：， 解得， 所以每个小矩形的长为3，宽为1.5； （2）如图所示： ， AE=3或3或； （3）∵由图可计算AC=5，BC=4， ∴AB= ∴sin∠BAC=． 7.如图1，水坝的横截面是梯形ABCD，∠ABC=37°，坝顶DC=3m，背水坡AD的坡度i（即tan∠DAB）为1：0.5，坝底AB=14m． （1）求坝高； （2）如图2，为了提高堤坝的防洪抗洪能力，防汛指挥部决定在背水坡将坝顶和坝底同时拓宽加固，使得AE=2DF，EF⊥BF，求DF的长．（参考数据：sin37°≈，cos37°≈，tan37°≈） 【解析】解：（1）如图，作DM⊥AB于M，CN⊥AB于N． 由题意：tan∠DAB==2，设AM=x，则DM=2x， ∵四边形DMNC是矩形， ∴DM=CN=2x， 在Rt△NBC中，tan37°===， ∴BN=x， ∵x+3+x=14， ∴x=3， ∴DM=6， 答：坝高为6m． （2）如图，作FH⊥AB于H， 设DF=y，设DF=y，则AE=2y，EH=3+2y﹣y=3+y，BH=14+2y﹣（3+y）=11+y， 由△EFH∽△FBH，可得=， 即=， 解得y=﹣7+2或﹣7﹣2（舍弃）， ∴DF=2﹣7， 答：DF的长为（2﹣7）m． 8.如图，BC是路边坡角为30°，长为10米的一道斜坡，在坡顶灯杆CD的顶端D处有一探射灯，射出的边缘光线DA和DB与水平路面AB所成的夹角∠DAN和∠DBN分别是37°和60°（图中的点A、B、C、D、M、N均在同一平面内，CM∥AN）． （1）求灯杆CD的高度； （2）求AB的长度（结果精确到0.1米）．（参考数据：=1.73．sin37°≈060，cos37°≈0.80，tan37°≈0.75） 【解析】解：（1）如图，延长DC交AN于H． ∵∠DBH=60°，∠DHB=90°， ∴∠BDH=30°， ∵∠CBH=30°， ∴∠CBD=∠BDC=30°， ∴BC=CD=10（米）． （2）在Rt△BCH中，CH=BC=5，BH=5≈8.65， ∴DH=15， 在Rt△ADH中，AH===20， ∴AB=AH﹣BH=20﹣8.65≈11.4（米）． 9.日照间距系数反映了房屋日照情况．如图①，当前后房屋都朝向正南时，日照间距系数=L：（H﹣H1），其中L为楼间水平距离，H为南侧楼房高度，H1为北侧楼房底层窗台至地面高度． 如图②，山坡EF朝北，EF长为15m，坡度为i=1：0.75，山坡顶部平地EM上有一高为22.5m的楼房AB，底部A到E点的距离为4m． （1）求山坡EF的水平宽度FH； （2）欲在AB楼正北侧山脚的平地FN上建一楼房CD，已知该楼底层窗台P处至地面C处的高度为0.9m，要使该楼的日照间距系数不低于1.25，底部C距F处至少多远？ 【答案】 【解析】解：（1）在Rt△EFH中， ∵∠H=90°，∴tan∠EFH=i=1：0.75==， 设EH=4x，则FH=3x， ∴EF==5x， ∵EF=15， ∴5x=15，x=3， ∴FH=3x=9． 即山坡EF的水平宽度FH为9m； （2）∵L=CF+FH+EA=CF+9+4=CF+13， H=AB+EH=22.5+12=34.5，H1=0.9， ∴日照间距系数=L：（H﹣H1）==， ∵该楼的日照间距系数不低于1.25， ∴≥1.25， ∴CF≥29． 答：要使该楼的日照间距系数不低于1.25，底部C距F处29m远． 10.小亮在某桥附近试飞无人机，如图，为了测量无人机飞行的高度AD，小亮通过操控器指令无人机测得桥头B，C的俯角分别为∠EAB=60°，∠EAC=30°，且D，B，C在同一水平线上．已知桥BC=30米，求无人机飞行的高度AD．（精确到0.01米．参考数据：≈1.414，≈1.732） 【解析】解：∵∠EAB=60°，∠EAC=30°， ∴∠CAD=60°，∠BAD=30°， ∴CD=AD•tan∠CAD=AD，BD=AD•tan∠BAD=AD， ∴BC=CD﹣BD=AD=30， ∴AD=15≈25.98． 答：无人机飞行的高度25.98米。 学科网（北京）股份有限公司 $