第28章 锐角三角函数(课后巩固B)-【宝典训练】2025-2026学年九年级全一册数学高效课堂(人教版)

参考答案 (2)根据图得，B(-2,8),C(一6,4) 第72课时 锐角三角函数(2) C层思维拓展 10.(1)证明：如答图，连接OC,:1是⊙0的切线， A层夯实基础 .OC11. 1.√72.103.44.A ADLl,.OC∥AD. ∴.∠CAD=∠ACO=∠CAB. 5解：∠C-60,aA-器-合 ∠D=∠ACB=90°， ,BC=3,∴.AC=9 .△ABC∽△ACD; .AB:=AC+BC,..AB=3/10. (2)解：.AC=5, 答图 B层能力提升 CD=4,∠ADC=90°， ∴.AD=WAC-CD=3 6.解：在Rt△ACB中，∠ACB=90,sinA=BC=3 △ABCAACD.2-S4B-号 设BC=3k,AB=5k,则AC=4k, 5 3 ∴.4k=8..k=2..AB=10,BC=6. AB=要⊙0的半径为得 C层思维拓展 11.解：如答图，设AH交DG于点L, 7.解：如答图，过点C作CF⊥AB .DE:DG=1:2,..DG=2DE. 交AB的延长线于点F, 四边形DEFG是矩形，且点D,G分 :四边形ABCD是菱形 别在AB,AC上，EF边在BC边上， ∴.AB=BC,AD∥BC. ∴.DG∥BC,∠DEC=90°. ∴.∠CBF=∠DAB. 答图 ∴.△ADG∽△ABC. 答图 coS∠DAB=-cos∠CBF= ,AH是△ABC的高，.AH⊥BC, ∠ALD-∠AHB-90AL1DG.∴沿-8C 设BF=3x,BC=4x,∴.CF=√BC-BF=√7x. .AF=AB+BF=7x, ,DG∥BC,LHBC,DE⊥BC, .AC=√AF+CF=W/49x2+7x=2√14x. BC=40 cm,AH=30 cm, ∴.LH=DE.∴AL=AH-LH=AH-DE. ·cos∠CAB=AP-7x AC2√/14x 4 4 :30DE=2DE.解得DE=12, 30 40 第73课时 特殊角的三角函数值 .'DE=FG=12cm,DG=EF=24 cm. .DE+EF+FG+DG=2X12+2×24=72(cm). A层夯实基础 .矩形DEFG的周长为72cm. 1.9合竖 第二十八章锐角三角函数 2.B3.A 第71课时锐角三角函数(1) 4解：原式-（停-2×号--1=一号 A层夯实基础 1.A2.D3.B4.B (②)原式-号×号+2,×号-2×1=+8-2 2 5.解：在Rt△ABC中，∠C=90°，AB=13,BC=12, 由勾股定理，得AC=√AB-BC=√132-12-5. 则tanB-C-是 (3)原式=3+5-1-2×+1-22 2 B层能力提升 =3+5-√5-2√2=3-22. 6.C7.B (④原式=1+×号-号)=1+日-= C层思维拓展： B层能力提升 8.解：过点A作AH⊥BC于点H,如答图， 5.B6.607.70° :Sa度=27,7X9XAH=27. C层思维拓展 .AH=6.,AB=10 8.解：(1)②③ .BH=√AB2-AH=√102-62 (2)①sin75°=sin(30°+45°)=sin30°·cos45°+cos30°· =8. 答图 血×号+9×号+95， 4 ②sin15°=sin(45°-30°)=sin45°·cos30°-cos45°· sin30 =号×9×2 4 61 高效课堂宝典训练数学九年级全册(R) 9.111 在Rt△ADB中，∠B=45°，AB=√2， 解：(1)1 .AD=1,BD=1. (2)如题图，在Rt△ABC中， 1 在Rt△ADC中，tanC=2,AD=1, CD-tc2. 在Rt△ADC中，∴.AC=√JAD+CD=√1+2=√5. 根据勾股定理可知：a2十=c2, C层思维拓展 'sinA=a 8.解：(1)36cm C, (2)在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A=30°， 六mA+碳A-g+号=2 2=1, ∴∠B=90°-∠A=60°. .要使△PBQ是等边三角形，则有PB=BQ, 'sinB=b」 c,cosB=a 由题意得AP=2tcm,BQ=tcm, '.sin'B+cos'B=a 则BP=AB-AP=(36-2t)cm,∴.36-2t=t. c1, 解得t=12, 故猜想成立； .当△PBQ是等边三角形时对应的t值为12； (3)'sin'A+cos'A-1,sinA=3 ， (3)当：为9或号时，△PBQ是直角三角形，理由如下： (号+osA=1.osA=2碧 在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A=30°， ∠B=90°-∠A=60. :∠A为锐角，0<c0sA<1.cosA=号 由题意得AP=2tcm,BQ=tcm, BP=AB-AP=(36-2t)cm, 第74课时解直角三角形 △PBQ是直角三角形， .BP=2BQ或BQ=2BP A层夯实基础 当BP=2BQ时，36一2t=2t,解得t=9, 1.B 2.解：Rt△ABC中，∠C=90°，∠A=60°， 当BQ-2BP时，=2(36-20，每得1=号， ∴.∠B=90°-∠A=30° 综上所述，当：为9或号时，△PBQ是直角三角形。 :smB=名b=25:sm30=25×分=5 第75课时解直角三角形及其应用(1) “sinA=g,a=25:sin60°-2月×-3. 2 A层夯实基础 3.解："a=6,6=2,tanA=号=5. 1.6tan43°2.C ∠A=60°，∠B=90°-∠A=30°， B层能力提升 c=√a2+b=4√3. 3.解：由题意，知四边形BCDE是矩形， 4.D ∴.DE=BC=10米 EB=CD=1米，∠AED=90°. B层能力提升： 在Rt△ADE中，∠ADE=60°， 5.解：∠B=25°，∠C=90°，∠A=90°-25°=65. sin mADE能AE-DE·m0-105米， .AB=AE+EB=(103+1)米 .AC=AB·sinB≈4×0.423=1.692≈1.7. .cosB-AB' BC 答：路灯杆AB的高度为(10√3+1)米. .BC=AB·cosB≈4X0.906=3.624≈3.6. 4.解：由题意得∠APE=30,∠BPE=60,PE=号5米， ∠A=65°，AC=1.7,BC=3.6. ∠AEP=∠BEP=90°， 6.解：如答图，过点A作AE⊥BC, 在R△APE中，∠APE=30,PE=多5米， 在Rt△ABE中， a∠ABC-5-AB-15, AE-PEn0-号月×号号（米）， .AE=9,BE=12, 在R△BPE中，∠BPE=60,PE=号5米， .CE=BC-BE=15-12=3, E 答图 在Rt△AEC中， BE=PEan60=号X,-号（米）. 根据勾股定理得AC=√AE+CE=√92+3=3√/10. 7.解：，AD⊥BC,.∠ADB=∠ADC=90 AB=AE+BE=哥+艺=10（米）. 答：“玉笏朝天”的高度AB为10米. 62 参考答案 5.解：连接AB,取AB的中点D,连接CD,如答图， ∠DBE=53°，DE=900m, :AC=BC,点D为AB的中点， DE 900 .中线CD为等腰三角形的角 ÷BD=sin2DBE≈0,8-1125(m. 平分线（三线合一），AD=BD 从山底A处到达山顶D处需要的时间t=t行十t缆车= 号A服 600+1125≈38.8(min), 3060 .∠ACD=∠BCD= D 答：从山底A处到达山顶D处大约需要38.8min 2∠AcCB=50 答图 C层思维拓展 7.解：斜坡AB的坡度为1：√3， 在R△ACD中，m∠AcDin0-0 10 .AD=10×sin50°≈7.66(m). aABE-有得∠ABE- .AB=2AD=2X7.66=15.32≈15.3(m). ∴.AE=AB·sin∠ABE=200×sin30°=100（米）. 答：A,B的距离大约是15.3m. “斜坡cD的装度为1：8是-日 C层思维拓展 .可设CE=x米，则DE=3x米 6.解：任务一：5.5 ,CE+DE2=CD2,CD=260米 任务二：由题意知，∠GCE=25.7°，∠GDE=31°， ∴.x2+(3x)2=2602.解得x=26√/10， AB=5.5,EH=AC=BD=1.5 m, ∠GEC=90°，四边形ABDC是矩形， .AC=AE-CE=(100-2610)米. :'.CD=AB=5.5 m. ∴斜坡AB下降的高度AC为(100-26√1O)米， GE GE DE-tanGDE CE- tan∠GCEi 第77课时 解直角三角形及其应用(3) .CD-CE-DE, 4层夯实基础 GE GE 1 1 5.5=tan25.7tan3T=GEx(0.480.60. 1.C2.B 解得GE≈13.2m, B层能力提升 ..GH=GE+EH=14.7 m. 3.解：如答图，过点B作BD⊥AC于点D, .GH的高度为14.7m. 北 第76课时 解直角三角形及其应用(2) 30 A层夯实基础 1.D2.3√103.B D B层能力提升： 答图 4.145 由题意得∠BAD=90°-30°=60°，∠BCD=90°-45°= 5.解：在Rt△ABD中，∠ABD=30°，AD=6m, 45°，AB=80海里，在Rt△ADB中，∠BAD=60°， .AB=2AD=2×6=12(m). :sin∠BAD=BD=5,:BD=5AB=405(海里). AB 2 21 在Rt△ACD中，∠ACD=16°，AD=6m, 在Rt△BCD中，.∠BCD=45°， AC-ncCD6*08≈21.48(. AD 6 ∴△BCD是等腰直角三角形. 则自动扶梯AC增加的长度为21.43一12≈9.4(m). .BD=CD=40√3（海里）..BC=J2BD=40√6（海里）. 答：自动扶梯AC增加的长度约为9.4m. 答：此时拖船与小岛的距离BC的长为40√6海里. 4.解：(1)如答图1： 6.解：(1)如答图，过点B作BM⊥AF于点M, 由题意得∠BAD=45°，∠DAC=15°，∠FBC=60°，EF∥ :登顶1200m高的山峰，由 D DA,.∠ABE=∠BAD=45°. 山底A处先步行600m到达 ∴.∠ABC=180°-∠ABE-∠FBC=75°. B处，山坡AB的坡角为30°， ,∠BAC=∠BAD+∠DAC=60°， 缆车行驶路线BD与水平面 B∠53 .∠C=180°-∠BAC-∠ABC=45° 的夹角为53°， 3 .∠C的度数为45°； .∠A=30°，∠DBE=53°， M 北 北 DF=1200m,AB=600m. 答图 在Rt△ABM中，：∠A=30°，AB=600m, F ∴BM=2AB=300m=EF, 609 609 B B .∴.DE=DF-EF=1200-300=900(m); E 答：登山缆车上升的高度DE为9o0m; 15 (2)在Rt△BDE中， 答图1 答图2 高效课堂宝典训练数学九年级全册(R) (2)如答图2，过点B作BG⊥AC,垂足为G, AC=√AD+CD=√12+(W2)2=√5. 在Rt△ABG中，AB=10千米，∠BAC=60°， 8.解：在Rt△ADC中，∠ACD=37,CD=8m, BG=AB·sn60=10X号-5（千米）. .AD=CD·tan37°≈8×0.75=6(m) 在Rt△DCB中，∠DCB=45°， 在Rt△BGC中，∠C=45°， .BD=CD·tan45°-8X1=8(m). ÷BC=BC-55=56(千米). .AB=AD+BD=6+8=14(m). sin45 2 .旗杆的高度约为14m. 9.解：(1)由题意知AF⊥BC,∠BAF=16°， .B,C两地的距离为5√6千米. ∠AFB=∠AFC=90°， C层思维拓展！ 在Rt△AFB中，AF=AB·cos∠BAF=5·cos16°≈5X 5.解：(1)30755 0.96=4.8(米)； (2)过点P作PD⊥AC于点D,设PD为x海里，如答图， (2)过点A作AK⊥CD于点K,则∠AKD=90°，如答图， 雷书岛 北 BF=AB·sin∠BAF=5·sinl6°B. 点A B ≈5×0.28=1.4（米）， 渔船 169 .CF=BC-BF=2.6米. :四边形AFCK是矩形， 木兰灯塔 ∴.AK=CF=2.6米， 459 CK=AF=4.8米. 文昌 答图 答图 由题意知∠ADK=45°， 在Rt△BPD中，，'∠BPD=45°， ∴∠DAK=90°-∠ADK=45°=∠ADK. ∠PBD=45°，.BD=PD=x, .DK=AK=2.6米. 在Rt△APD中，∠APD=60°，.∠A=30°， ∴CD=CK-DK=2.2米. a∠APD-0-5,c∠APD-器-合 .阴影CD的长为2.2米. AP-2 C层思维拓展 .AD=√3PD,AP=2PD 10.解：过点P作PC⊥AB于点C,如答图， AB=AD-BD,∴3PD-PD=5海里. 北 ⊙ 步道 ∴PD=BD=号B+1D海里. .AP=2PD=5(W5+1)≈13.65海里 在△APC中，：∠A=30°，∠APC=75°， .∠C=180°-∠A-∠APC=75° .∠C=∠APC. 设PC=x米， .AC=AP≈13.65海里， 由题意得∠PAC=90°-60°=30°，∠PBC=45, 设上午9时渔船航行至E处， △PBC是等腰直角三角形. 则AE=10海里， ∴.BC=PC=x米. .CE=AC-AE≈3.65海里<5海里. ∴.AC=AB+BC=(100+x)(米). ∴.该渔船会进入“海况异常”区. AC=tan30°= 在Rt△APC中，tan∠PAC=PC 3, 第78课时《锐角三角函数》单元复习 ∴.AC=√5PC=√3x(米).∴.3x=100+x. A层夯实基础 解得x=50√3+50≈136.6，即PC≈136.6米. 1.30°2.D3.B4.C5.13m 答：广告牌P到河岸AB的距离约为136.6米. 6解原式9+(9字×5-9+方号宁 第二十九章投影与视图 第79课时投影及分类： B层能力提升 中心投影、平行投影（含正投影） 7.解：如答图，作AD⊥BC于点D, A层夯实基础} 在Rt△ABD中，sinB=AD=1 1.A2.B3.B4.C5.86.50 AB 3 AB=3,.AD=AB·sinB=1. B层能力提升！ 在R△ACD中，anC-品-号， 7.A 答图 C层思维拓展 cD=品=E 8.解：(1)边AC,BC在AB上的投影分别为AD,BD; 在Rt△ADC中，由勾股定理，得 (2)AC2=AD·AB; (3)有.BC=BD·AB. 64宝典训练|数学·九年级全册() ●-●- 第二十八章锐角三角函数 第72课时 锐角三角函数(2) A层奔实基础 B层能九提升 1.在Rt△ABC中，∠C=90°，BC=3,sinA 6.如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC =,则AC的值是 -8,sinA=号求AB和BC的长. 2.如图，在Rt△ABC中，∠C= 90,cosB=3,BC=6,则AB 的长为 3.在Rt△ABC中，∠C=90°，AB=10,sinA =号，则BC的长为 4.如图，在Rt△ABC中，斜边AB的长为 C层思维拓展 m,∠A=35°，则直角边BC的长是 7.如图，在菱形ABCD中，DE⊥AB,若 ( A.msin35 cos∠DAB=,BE=3,求c0s∠CAB B.mcos35 的值. C sims D.cos35 5.如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，tanA= 3,BC-3,求AB的长. 56 数学·课后巩固作业 …●-●-● 第74课时 解直角三角形 A层夯实基础 B层能九提升 1.(2024秋·黔江区期末)在△ABC中，∠C 5.如图，在Rt△ABC中，∠C=90°.已知AB =90°，∠B=30°，AB=10.则AC的长度 =4,∠B=25°，求∠A,BC和AC的值（参 是 ( 考数据sin25°≈0.423，cos25°≈0.906， A.4 B.5 C.6 D.8 tan25°≈0.466，结果精确到0.1) 2.在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A=60°，c= 2√3，解这个直角三角形 6.如图，已知△ABC中，AB=BC=15, 3.在Rt△ABC中，∠C=90°，a=6,b=2√3， 解这个直角三角形. tan∠ABC-子，求边AC的长 4.(2024秋·邵东市期中)如图，在△ABC 中，∠A=45°，∠B=30°，AC=√2，则AB 的长为 A.3 B.2√3 C.2+√2 D.1+3 57 富典训练|数学·九年级全册(R) ●●- 7.如图，在△ABC中，∠B=45°，tanC=, C层思维拓展 2 8.(2024春·蓬江区校级期中)已知，如图， AD⊥BC,垂足为D,AB=√2，求AC 在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A=30°，BC 的长， =18cm.动点P从点A出发，沿AB向点 B运动，动点Q从点B出发，沿BC向点C 运动，如果动点P以2cm/s,Q以1cm/s 的速度同时出发，设运动时间为t(s),解 答下列问题： (1)AB= (2)求当△PBQ是等边三角形时对应的 t值？ (3)P,Q在运动过程中，△PBQ的形状不 断发生变化，当t为何值时，△PBQ是 直角三角形？说明理由， 备用图 58 数学·课后巩固作业 第76课时 解直角三角形及其应用(2) A层奔实基础 5.某商场从安全和便利的角度出发，提升顾 1.某斜坡的坡度i=1：√3，则该斜坡的坡角 客的购物体验，准备将自动扶梯由原来的 为 阶梯式改造成斜坡式.如图，已知商场的 A.75° B.60° C.45° D.30° 层高AD为6m,坡角∠ABD为30°，改造 2.(2024秋·崇川区期末)一段拦水坝横断面 后的斜坡式自动扶梯的坡角∠ACB为 如图所示，斜面坡度i=1：3是指坡面的铅 16°，请你计算改造后的斜坡式自动扶梯 直高度BC与水平宽度AC的比，若BC= AC增加的长度.（结果精确到0.1m,参 考数据：sinl6°≈0.28，cos16°≈0.96， 3m,则坡面AB的长度为 m, tanl6°≈0.29) e1:3 m .30° 3.如图所示，九(2)班的同学准备在坡角为 30°的河堤上栽树，要求相邻两棵树之间的 水平距离为8m,那么这两棵树在坡面上 的距离AB为 A.4√3m 8 m B.l3m B y C.4√5m D.16m B层能力提升 4.(2024秋·锡山区期末)如图，大坝横截面 的迎水坡AD的坡比为4：3，背水坡BC 的坡比为2：5，已知迎水坡AD=50m, 坝顶宽CD=15m,则坝底AB为 m. 59 富典训练|数学·九年级全册(R) ●●● 6.(2024秋·辛集市期末)“周末不忙，来趟衡 C层思维拓展 阳！”小明与小亮相约到南岳衡山旅游风景 7.(2024秋·高唐县期中)自开展“全民健身 区登山，需要登顶1200m高的山峰，由山 运动”以来，喜欢户外步行健身的人越来 底A处先步行600m到达B处，再由B处 越多，为方便群众步行健身，某地政府决 乘坐登山缆车到达山顶D处，已知点A,B, 定对一段如图1所示的坡路进行改造，如 D,E,F在同一平面内，山坡AB的坡角为 图2示，改造前的斜坡AB=200米，坡 30°，缆车行驶路线BD与水平面的夹角为 度为1：√3；斜坡AB改造为斜坡CD,斜 53°（换乘登山缆车的时间忽略不计）： 坡CD=260米，其坡度为1：3.求斜坡 (1)求登山缆车上升的高度DE; AB下降的高度AC.(结果保留根号) (2)若步行速度为30m/min,登山缆车的 会 会 速度为60m/min,求从山底A处到达 山顶D处大约需要多少分钟（结果精 图1 图2 确到0.1min)(参考数据：sin53°≈ 0.80,cos53°≈0.60，tan53°≈1.33) B53° 个30° 60 数学·课后巩固作业 第78课时 《锐角三角函数》单元复习 A层奔实基础 B层能力提升 1.在R△ABC中，∠C=90,0sA=,则 7.如图，在△ABC中，nB=号，anC- 2 ∠B的度数是 AB=3,求AC的长， 2.在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=2,BC= 1,则tanB的值为 A得 B号 C.25 D.2 5 3.如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，CD ⊥AB于点D.若AC=3,BC=4,则 sin∠ACD的值为 A是 c 4.在Rt△ABC中∠C=90°，若tanA= 2, AB=10,则BC的长度为 A.5 B.10 C.25 D.45 8.如图，为了测量旗杆AB的高度，小敏站 5.如图，某水库大坝的横断面是梯形 在教学楼上的C处测得旗杆底端B的俯 ABCD,坝高DE=5m,斜坡BC的坡比 角为45°，旗杆顶端A的仰角为37°，测得 为5：12，则斜坡BC= 旗杆与教学楼的水平距离CD为8m,求 旗杆的高度.（结果保留整数.参考数据： sin37°≈0.6，cos37°≈0.8，tan37°≈0.75) 6.计算：cos30°+cos245°-cos60°·tan60°. 37C 45 61 富典训练|数学·九年级全册(R) ●●-● 9.为建设美好公园社区，增强民众生活幸福 C层思维拓展 感，某社区服务中心在文化活动室墙外安 10.美丽的湘江河宛如一条玉带纵贯遵义市 装遮阳篷，便于社区居民休憩.如图，在侧 城中心，两岸风景优美，是市民散步的好 面示意图中，遮阳篷AB长为5米，与水平 地方.如图所示，周末吴老师由西往东在 面的夹角为16°，且靠墙端离地高BC为4 步道上散步，在A处观察到河对岸P处 米，当太阳光线AD与地面CE的夹角为 的广告牌在自己的南偏东60°方向上，又 45时， 直线行走100米到达B处，观察到P处 (1)求点A与B的水平距离AF的长； 的广告牌在自己的东南方向上，请根据 (2)求阴影CD的长.（结果都精确到0.1 以上信息，求广告牌P到河岸AB的距 米；参考数据：sinl6°≈0.28，cosl6°≈ 离.（精准到0.1米，√3≈1.732） 0.96,tan16°≈0.29) 北 步道 ..160c 645 D 62