精品解析：云南省弥勒市第一中学2025-2026学年高三上学期期中考试数学试题

绝密★启用前 云南省弥勒市第一中学2025-2026学年高三上学期期中考试 数学 考试时间：120分钟 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上． 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在试卷上无效． 3．考试结束后，本试卷和答题卡一并交回． 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 若，则（ ） A. 1 B. C. D. 2 【答案】B 【解析】 【分析】计算出后，利用模长的计算公式即可求解. 【详解】由，则，则. 故选：B. 2. 函数的最小正周期为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由函数的最小正周期为 直接求解即可. 【详解】由，得到函数的最小正周期为. 故选：B 3. 如图所示，在平面四边形中，，，，，则的长度为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】在中，由余弦定理求得，从而求得，设，由正弦定理求得，然后在中，用余弦定理求解． 【详解】在中，由余弦定理得， 即，则， 又，，所以， 设，由正弦定理得，即， 从而， 在中，由余弦定理得：， 即，则． 故选：A． 4. 函数 的图象大致是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】利用函数的奇偶性，结合正弦函数的性质分析图象即可. 【详解】函数 的定义域为，定义域关于原点对称， 因为，所以函数为偶函数， 又时，，可排除A、B选项， 同时时，有无数零点，同时也有的情况， 故有无数个零点，且时有的情况，可排除C，即D正确. 故选：D 5. 设为数列的前项积，已知，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】由题意可得，则可将化为，结合等差数列定义可得是等差数列，求出首项后即可得其通项公式，再利用计算即可得. 【详解】由为数列的前项积，则， 则由，可得当时，有， 又当时，，则，即，则， 则数列是以为首项，为公差的等差数列， 则，则， 故. 故选：D. 6. 已知函数的部分图象如图所示，是函数的导函数，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】结合导数的几何意义和平均变化率的定义，利用直线斜率的关系，即可求解. 【详解】根据导数的几何意义，表示曲线在点处的切线的斜率，即直线的斜率， 表示曲线在点处的切线的斜率，即直线的斜率， 又由平均变化率的定义，可得表示过两点的割线的斜率， 如图所示， 结合图象，可得，所以. 故选：D. 7. 水平放置在地面上的正四棱台的容器的体积为，两个底面边长分别为和，侧棱长为，当容器中装入体积为的水时，水面与四条侧棱分别交于点，，，，如图，则平面与平面所成二面角的正弦值为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】把正四棱台补成一个正四棱锥，根据正四棱锥的性质，求得，且，再由题意，求得，得到，证得二面角为平面与平面所成的角，再由，可得，在直角中，即可求解. 【详解】如图所示，把正四棱台补成一个正四棱锥， 设正四棱台的上底面与下底面的中心分别为，连接，与平面交于点， 则平面，平面，平面， 设四棱锥的体积为，正四棱台的体积为， 正四棱台的体积为，则， 因为正四棱台的上底面边长为，下底面边长为，且侧棱长为， 可得， 过作，则平面，因为平面，所以， 在直角中，可得，即， 设，可得，所以， 由棱锥的体积公式，可得，即， 当容器中装入体积为的水时，可得， 设，则，解得， 又由，所以， 所以， 因为平面平面，所以平面与平面所成的角， 即为平面与平面所成的角， 在正方形中，可得，在等腰中，可得， 所以二面角为平面与平面所成的角， 又因为，可得， 在直角中，， 则，即平面与平面所成二面角的正弦值为. 故选：D. 8. 已知函数，若有零点，则a的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】由题意得，分，两种情况讨论可求得a的取值范围. 【详解】令，得， 当时，与显然有公共点，即有零点， 当时，临界条件为曲线与有一个公共点， 如图，设两曲线相切于点P，切点的横坐标为，，， 则利用导数的几何意义可知，即， 由，可解得，所以， 所以a的取值范围为. 故选：C. 二、多选题：本题共3小题，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求． 9. 已知，，则下列结论正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】AC 【解析】 【分析】根据同角三角函数的基本关系，结合二倍角的正弦公式，可求，判断A的真假；根据所给的角的取值范围，判断角的三角函数的符号，再结合同角三角函数的基本关系，可判断B的真假；利用同角三角函数的基本关系，可求，判断C的真假；结合两角差的余弦公式，可求的值，判断D的真假. 【详解】由，得：，即，所以，所以A正确； 又，，所以，则，所以，所以B错误； 联立，解得：，，所以C正确； 由，所以D错误. 故选：AC 10. 已知数列满足，，则下列说法正确的是（ ） A. 若且，则单调递减 B. 若存在无数多个使得，则或 C. 当时，存在使 D. 当时， 【答案】ABD 【解析】 【分析】对A：由题意可得，则只需，即可得数列单调递减，再证明且时即可得；对B：结合A中所得，可得且时，不存在无数多个使得，从而只需证或时，数列中存在为的项即可得；对C：结合A中所得，只需证明时，；对D：由题意可得，则可得，结合计算所得时，即可得. 【详解】对A：，则恒成立， 若对任意，，则此时数列单调递减， 令，则， 则当时，若，则需或， 由且，则且， 以此类推，可知对任意都成立，故数列单调递减，故A正确； 对B：由A知，当且时，单调递减， 此时不存在，使得， 当时，，此时， 则，故， 以此类推，可知对任意，恒成立； 当时，，此时， 则，故， 以此类推，可知对任意，恒成立； 综上所述，若存在无数多个使得，则或，故B正确； 对C：， 由，则， 又由A知，数列单调递减，则当时，， 故对任意，，故不存在使，故C错误； 对D：由，则， 由A知，数列单调递减，则当时，， 又， 则， 即有， 则 ， 当时，由，则对任意，恒有， 则，即，故D正确. 故选：ABD. 11. 记函数的导函数为，的导函数为，且，，定义域均为，若为偶函数，为奇函数，，且对任意的，，均有，则（ ） A. 为周期函数 B. C. D. 在区间上单调递减 【答案】ABD 【解析】 【分析】根据函数奇偶性以及对称性即可证明A正确，选取特殊值代入计算可得B正确，对函数求导并结合不等式恒成立得出函数极值可判断C错误，根据C中分析并结合周期性即可判断D正确. 【详解】对于A，由题得，. 故，则， 可得，故周期为4，故A正确； 对于B，代入，，可得， 整理得，故B正确； 对于C，首先有恒成立，故恒成立， 又，则， 求导得，即，再求导得. 令，则等价于恒成立，又， 令即，即. 令，解得， 故，同时代入， 由有， 故为的最大值点，也为极大值点， 令的导函数为，则， 必有，否则使得在区间上恒正，与极大值点矛盾， 则，故，故C错误； 对于D，由，则取值范围为，故，， 故在区间单调递减， 且可得，故在上，单调递减， 由周期为4，且，故在区间上单调递减，故D正确. 故选：ABD. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 如图是某汽车公司100家销售商2025年前半年新能源汽车销售量（单位：辆）的频率分布直方图，若按比例分配分层随机抽样原则从这100家销售商中抽取20家，则应从销售量在内的销售商中抽取______家． 【答案】7 【解析】 【分析】首先利用小长方形面积之和为1计算出，然后计算出销量在的频率和频数，最后根据分层抽样的特点即可求解. 【详解】由题意，解得， 所以销量在的频率为，频数为， 所以若按比例分配分层随机抽样原则从这100家销售商中抽取20家， 则应从销售量在内的销售商中抽取家. 故答案为：7 13. 椭圆的光学性质：从椭圆一个焦点发出的光线，经过椭圆反射后，反射光线过椭圆的另一个焦点，法线为与椭圆切线垂直且过相应切点的直线．已知椭圆C：、为其左、右焦点．从点发出的光线与椭圆交于点，直线为椭圆在点处的切线，点为关于直线的对称点，点，则的取值范围为______． 【答案】 【解析】 【分析】根据题意，由椭圆的光学性质可得，从而可得点的轨迹是以为圆心，为半径的圆，代入计算，即可得到结果. 【详解】由椭圆方程可得，即， 则椭圆的左焦点为，右焦点， 由椭圆的光学性质可知：椭圆一个焦点发出的光线，经过椭圆反射后， 反射光线过椭圆的另一个焦点，且点为关于直线的对称点， 所以反射光线经过，且， 又点满足， 所以， 即点的轨迹是以为圆心，为半径的圆， 又， 由两点间距离公式， 因为点在以为圆心，为半径的圆上， 所以的取值范围是，即， 所以的取值范围是. 故答案为： 14. 已知，则函数的最小值为_______． 【答案】9 【解析】 【详解】试题分析：由,而 ,当且仅当时，上式取“=”,所以. 考点：基本不等式；构造意识和发散性思维. 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 15. 为研究高中生数学成绩优秀与平时认真完成作业的关系，从某校的学生中随机抽了500人，得到如下列联表： 是否认真完成作业组别 认真完成作业 不认真完成作业 合计 数学成绩优秀 180 20 200 数学成绩不优秀 80 220 300 合计 260 240 500 （1）记该校平时认真完成作业的学生的数学成绩优秀的概率为P．求P的估计值（保留三位小数）． （2）根据小概率值的独立性检验，分析高中生平时是否认真完成作业与数学成绩优秀有关． 附：． 0.050 0.010 0.001 k 3.841 6.635 10.828 【答案】（1）0.692 （2）有关 【解析】 【分析】（1）由列联表数据及古典概型的概率求法求概率； （2）由卡方公式求卡方值，再根据独立性检验基本思想即可得结论. 【小问1详解】 由列联表可知，认真完成作业的260人中有180人成绩优秀，所以P的估计值为； 【小问2详解】 零假设：数学成绩优秀与是否认真完成作业无关， 根据表中数据可得， 根据小概率值的独立性检验，我们推断不成立， 即认为数学成绩优秀与是否认真完成作业有关，该推断犯错误的概率不超过0.001． 16. 已知函数的最小正周期为． （1）求的值及的对称中心； （2）若将的图象向左平移个单位，再将图象上所有点的横坐标缩短到原来的（纵坐标不变）得到的图象，求的单调递增区间． 【答案】（1），对称中心为； （2） 【解析】 【分析】（1）利用辅助角公式变形，根据最小正周期得到，整体法求出函数的对称中心； （2）由平移和伸缩变换得到，整体法求出函数的单调递增区间. 【小问1详解】 ， 最小正周期为，，故， 所以，令，解得， 故的对称中心为； 【小问2详解】 将的图象向左平移个单位， 得到， 再将图象上所有点的横坐标缩短到原来的（纵坐标不变）得到， 令，解得， 故的单调递增区间为. 17. 如图1，在菱形中，动点E，F在边AD，AB上（不含端点），且存在实数使，沿EF将向上折起得到，使得平面平面，如图2所示． （1）若，求的值； （2）当点的位置变化时，平面与平面的夹角的余弦值是否为定值，若是，求出该定值；若不是，说明理由． 【答案】（1） （2）是定值；定值为 【解析】 【分析】（1）首先在图2中，取EF中点O，以O为原点，OF、OM、OP所在直线分别为x、y、z轴，建立空间直角坐标系，然后设，根据构造方程，解方程求解值，进而根据比例关系求解的值； （2）设平面与平面的夹角为，求出平面的法向量，平面的法向量，利用空间向量夹角公式即可求解. 【小问1详解】 在图2中，取EF中点O，BD中点M，连接OP，OM， 因为，即，所以， 所以，又因为平面平面， 平面平面，平面， 所以平面，由题意可知， 以O为原点，OF、OM、OP所在直线分别为x、y、z轴，建立空间直角坐标系， 设，，则，， ∴，，，， 故， ∵，∴， ∴，解得（舍）或， ∴，∴， ∴图中点E在靠近点D的三等分点处，即 【小问2详解】 设平面与平面的夹角为． 由（1）易知平面PEF的法向量， ，， 设平面的法向量，则，即， 取，得， ∴．∴． ∴无论点E的位置如何， 平面与平面的夹角的余弦值为定值． 18. 已知抛物线的焦点为，准线上有一动点，设、为抛物线上的两点，当直线斜率为时，的中点的纵坐标为． （1）求抛物线的方程； （2）过点向抛物线引两条切线，若切点为、，且在轴的下方， （i）求面积最小时点的坐标； （ii）若，过点作直线交抛物线于、两点，过作的平行线，交于点，交于点，证明：恰好是中点． 【答案】（1） （2） （i）； （ii），由（ⅰ）得，直线的方程为， 设直线的方程为，设点、，则， 直线的方程为， 联立方程，解得， 作关于的对称点，可得，， 下证、、三点共线， 因为 ， 联立方程，消去可得， 由韦达定理得， 整理可得， 则 ， 即，可知与为同一点，、、三点共线， 即恒成立，即恰好是中点． 【解析】 【分析】（1）设、，利用点差法可求得，可得出抛物线的方程； （2）设，切点，，，（ⅰ）设切线的方程为，与抛物线方程联立，利用判别式可证，过作平行于轴的直线交于点，直线的方程为，与抛物线方程联立，进而可得可求面积的最小值；（ⅱ）设直线的方程为，、，联立直线与抛物线方程，结合韦达定理可得，可得与为同一点，可得结论. 【小问1详解】 设、，则，两式相减整理得， 代入得，解得，故抛物线方程为； 【小问2详解】 设，切点，，，显然切线、的斜率不为， （ⅰ）设切线的方程为， 联立方程，消去可得， 则，整理可得， 可得，从而，故； 因为方程只有一个根， 由韦达定理可得，同理可得， 所以， 由可得，， 所以， 设直线的方程为，代入得， 所以，所以， 所以，所以直线的方程为， 过作平行于轴的直线交于点，得到， 联立直线与抛物线：，得， ， 当时，面积最小，此时； （ⅱ）略 19. 已知A，B，C为函数图象上不同的三点．它们的横坐标依次成等差数列，且函数在点处的切线斜率恒小于直线AC的斜率，则称该函数是其定义域上的“等差偏移”函数．设函数． （1）讨论函数的单调性； （2）已知函数 ①证明：当时，是其定义域上的“等差偏移”函数； ②当时，函数，数列满足．其前项和为，试证明：． 【答案】（1） 当时，函数在R上单调递增；    当时，函数的单调增区间为，单调减区间为； （2）①证明：设三点的横坐标成等差数列， 且满足，则， 又由，， 则，， 令，则，令，求导得， 在内单调递增，，即， 因为，，所以， 即函数在点处的切线斜率恒小于直线AC的斜率， 所以当时，是其定义域上的“等差偏移”函数； ②证明：由，当时，，， 设，求导得， 当时，，则在内单调递增， ，，符合题意， 构造函数，求导得， 在内单调递增，则， 当时，， ，即， ，即，得 ， 即， 【解析】 【分析】（1）求导后，对参数进行讨论，即可求解单调区间； （2）①根据“等差偏移”函数的定义来作差比较大小，然后构造函数求导进行证明即可； ②利用先证明对数不等式，再放缩,利用构造法和迭代法求得通项不等式，从而求和即可得证. 【小问1详解】 函数的定义域为R，求导得：， 当时，恒成立，函数在R上单调递增； 当时，令，解得， 当时，，函数在单调递减， 当时，，函数在单调递增， 函数的单调增区间为，单调减区间为 综上所述：当时，函数在R上单调递增； 当时，函数的单调增区间为，单调减区间为； 【小问2详解】 ①略 ②略 【点睛】关键点点睛：针对数列不等式，关键是利用对数不等式进行放缩，得到新的递推不等式，再结合构造等比数列的思想来求得不等式通项，从而问题得证. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 绝密★启用前 云南省弥勒市第一中学2025-2026学年高三上学期期中考试 数学 考试时间：120分钟 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上． 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在试卷上无效． 3．考试结束后，本试卷和答题卡一并交回． 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 若，则（ ） A. 1 B. C. D. 2 2. 函数的最小正周期为（ ） A. B. C. D. 3. 如图所示，在平面四边形中，，，，，则的长度为（ ） A. B. C. D. 4. 函数 的图象大致是（ ） A. B. C. D. 5. 设为数列的前项积，已知，则（ ） A. B. C. D. 6. 已知函数的部分图象如图所示，是函数的导函数，则（ ） A. B. C. D. 7. 水平放置在地面上的正四棱台的容器的体积为，两个底面边长分别为和，侧棱长为，当容器中装入体积为的水时，水面与四条侧棱分别交于点，，，，如图，则平面与平面所成二面角的正弦值为（ ） A. B. C. D. 8. 已知函数，若有零点，则a的取值范围是（ ） A. B. C. D. 二、多选题：本题共3小题，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求． 9. 已知，，则下列结论正确的是（ ） A. B. C. D. 10. 已知数列满足，，则下列说法正确的是（ ） A. 若且，则单调递减 B. 若存在无数多个使得，则或 C. 当时，存在使 D. 当时， 11. 记函数的导函数为，的导函数为，且，，定义域均为，若为偶函数，为奇函数，，且对任意的，，均有，则（ ） A. 为周期函数 B. C. D. 在区间上单调递减 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 如图是某汽车公司100家销售商2025年前半年新能源汽车销售量（单位：辆）的频率分布直方图，若按比例分配分层随机抽样原则从这100家销售商中抽取20家，则应从销售量在内的销售商中抽取______家． 13. 椭圆的光学性质：从椭圆一个焦点发出的光线，经过椭圆反射后，反射光线过椭圆的另一个焦点，法线为与椭圆切线垂直且过相应切点的直线．已知椭圆C：、为其左、右焦点．从点发出的光线与椭圆交于点，直线为椭圆在点处的切线，点为关于直线的对称点，点，则的取值范围为______． 14. 已知，则函数的最小值为_______． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 15. 为研究高中生数学成绩优秀与平时认真完成作业的关系，从某校的学生中随机抽了500人，得到如下列联表： 是否认真完成作业组别 认真完成作业 不认真完成作业 合计 数学成绩优秀 180 20 200 数学成绩不优秀 80 220 300 合计 260 240 500 （1）记该校平时认真完成作业的学生的数学成绩优秀的概率为P．求P的估计值（保留三位小数）． （2）根据小概率值的独立性检验，分析高中生平时是否认真完成作业与数学成绩优秀有关． 附：． 0.050 0.010 0.001 k 3.841 6.635 10.828 16. 已知函数的最小正周期为． （1）求的值及的对称中心； （2）若将的图象向左平移个单位，再将图象上所有点的横坐标缩短到原来的（纵坐标不变）得到的图象，求的单调递增区间． 17. 如图1，在菱形中，动点E，F在边AD，AB上（不含端点），且存在实数使，沿EF将向上折起得到，使得平面平面，如图2所示． （1）若，求的值； （2）当点的位置变化时，平面与平面的夹角的余弦值是否为定值，若是，求出该定值；若不是，说明理由． 18. 已知抛物线的焦点为，准线上有一动点，设、为抛物线上的两点，当直线斜率为时，的中点的纵坐标为． （1）求抛物线的方程； （2）过点向抛物线引两条切线，若切点为、，且在轴的下方， （i）求面积最小时点的坐标； （ii）若，过点作直线交抛物线于、两点，过作的平行线，交于点，交于点，证明：恰好是中点． 19. 已知A，B，C为函数图象上不同的三点．它们的横坐标依次成等差数列，且函数在点处的切线斜率恒小于直线AC的斜率，则称该函数是其定义域上的“等差偏移”函数．设函数． （1）讨论函数的单调性； （2）已知函数 ①证明：当时，是其定义域上的“等差偏移”函数； ②当时，函数，数列满足．其前项和为，试证明：． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $