专题05 圆11大高频考点（期末真题汇编，安徽专用）九年级数学上学期沪科版

专题05 圆（期末真题汇编，安徽专用） 11大高频考点概览 考点01 旋转 考点02 垂径定理 考点03 圆周角 考点04 切线的性质与判定 考点05 弧长与扇形面积的计算 考点06 旋转中的全等模型 考点07 圆中常见的辅助线 考点08 不规则图形面积的求法 考点09 圆中的最值问题 考点10旋转常见的类型 考点11 圆与其他知识的综合 地 城 考点01 旋转 一、单选题 1．（24-25九年级上·安徽六安·期末）下列四个2024年巴黎奥运会项目图标中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了轴对称图形和中心对称图形，如果一个平面图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形就叫做轴对称图形；把一个图形绕着某一个点旋转，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形，这个点就是它的对称中心． 根据中心对称图形的定义和轴对称图形的定义进行逐项判断即可． 【详解】解：A．是轴对称图形，是中心对称图形，符合题意； B．不是轴对称图形，是中心对称图形，不符合题意； C．不是轴对称图形，是中心对称图形，不符合题意； D．不是轴对称图形，是中心对称图形，不符合题意． 故选A． 2．（23-24九年级上·安徽六安·期末）如图，绕点O逆时针旋转得到．若，则的度数是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了旋转的性质．由旋转的性质知，据此求解即可． 【详解】解：由旋转的性质知， ∵， ∴． 故选：C． 二、填空题 3．（23-24九年级上·安徽合肥·期末）如图，将绕点顺时针旋转得，若，，则旋转角等于 ． 【答案】 【分析】本题主要考查旋转的性质、三角形的外角的性质等知识点，掌握旋转的性质以及三角形外角的性质成为解题的关键． 由旋转的性质可得，再根据三角形外角的性质可得，然后求解即可． 【详解】解：绕点顺时针旋转某个角度得到， ∴， 又∵， ． 故答案为． 4．（23-24九年级上·安徽淮北·期末）在平面直角坐标系中，点与点关于原点对称，则点的坐标为 ． 【答案】 【分析】本题考查了关于原点对称的点的坐标的特点，注意掌握两个点关于原点对称时，它们的坐标符号相反是解题关键． 【详解】解：点关于原点的对称点的坐标是． 故答案为：． 5．（22-23九年级上·安徽·期末）如图，在，，，，将绕点逆时针旋转得到，连接，则的长为 ． 【答案】 【分析】本题考查了旋转的性质，在，中利用勾股定理求得，利用旋转的性质和勾股定理求得即可． 【详解】解：∵在，，，， ∴， 由旋转可知，， ∴， 故答案为：． 三、解答题 6．（24-25九年级上·安徽合肥·期末）如图，在中，，，将绕点顺时针旋转一定角度得到，点与点是对应点，当点恰好落在边上，猜想与的位置关系并给予证明． 【答案】是的垂直平分线，证明见解析 【分析】本题主要考查了旋转的性质，等边三角形的性质与判定，垂直平分线的判定定理等知识，熟练掌握旋转的性质是解题的关键．连接，证明是等边三角形，进而证明，等边三角形，得出，结合，即可得证． 【详解】是的垂直平分线 证明：连接， 由绕点顺时针旋转一定角度所得， ，，． ，， ， 是等边三角形， ， ， ， ． ， ， 又， 为等边三角形，即． 又， 是的垂直平分线． 7．（24-25九年级上·安徽阜阳·期末）如图，在平面直角坐标系中，三个顶点的坐标分别为，，． (1)请画出关于原点O对称的（点A，B，C的对应点分别为点，，）； (2)请画出绕原点O顺时针旋转后的（点A，B，C的对应点分别为点，，）． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题考查了作图——旋转变换（旋转作图，原点对称作图），正确理解旋转的性质，原点性质是解题关键． （1）根据关于原点对称的点，横纵坐标都互为相反数确定对应点，，的坐标，依次连接即可； （2）根据旋转的性质可知，对应角都相等旋转角，对应线段也相等，再通过作直角，在角的边上截取相等的线段的方法，确定对应点，，的坐标，依次连接即可． 【详解】（1）解：如图，即为所求作； （2）解：如图，即为所求作． 8．（24-25九年级上·安徽合肥·期末）如图，在中，，将绕点逆时针旋转得到，连接．若，，求的长． 如图，中，．将绕点B逆时针旋转得到．若， 【答案】 【分析】本题考查旋转的性质，勾股定理，根据旋转得到，，，得到是等边三角形，则，再利用勾股定理求出即可求解． 【详解】解：∵将绕点逆时针旋转得到， ，，， 是等边三角形， ， ， ， ． 地 城 考点02 垂径定理 一、单选题 1．（24-25九年级下·安徽宣城·期末）已知圆的半径为5，圆中弦长位6，则圆心到弦的距离是（   ） A．5 B．4 C．6 D．8 【答案】B 【分析】本题考查的是垂径定理，过点作于点，由垂径定理可求出的长，在中，利用勾股定理即可得出的长，根据题意画出图形，利用勾股定理求出的长是解答此题的关键． 【详解】解：如图所示，过点作于点， ，，， ， 在中，． 故选：B． 2．（24-25九年级上·安徽亳州·期末）如图，在中，半径的长为，圆心到的距离，则弦的长为（   ） A．4 B． C．8 D． 【答案】C 【分析】本题考查圆中求线段长，涉及垂径定理、勾股定理等知识，先由垂径定理得到，在中，由勾股定理求解即可得到答案，熟练掌握圆中求线段长的方法是解决问题的关键． 【详解】解：∵是的弦，， 由垂径定理可知， 在中，，，则由勾股定理可得， ， 故选：C． 3．（24-25九年级上·安徽六安·期末）如图，一个烧瓶底部呈球形，该球的半径为，瓶内截面圆中弦的长为，则液体的最大深度为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了勾股定理，垂径定理的应用，熟练掌握勾股定理，垂径定理是解题的关键． 垂径定理可得，根据勾股定理求得的长，进而即可求解． 【详解】解：依题意，， ， 在中，， ∴， 故选：C． 4．（24-25九年级上·安徽滁州·期末）如图，点A，B，C都在上，且点在弦所对的优弧上，如果，那么的度数是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了圆周角定理，等腰三角形的性质，三角形内角和定理，关键是圆周角定理的熟练掌握． 先根据等腰三我的性质与三角形内角和定理求得，再根据一条弧所对圆周角等于它所对圆心角的一半，即可求解． 【详解】解：∵， ∴， ∴， 由图可知：， 故选：D． 二、填空题 5．（24-25九年级上·安徽淮北·期末）如图，为的直径，弦于，，，那么弦的长为 ． 【答案】10 【分析】本题考查了垂径定理，勾股定理，正确作出辅助线是解题关键． 连接，由垂径定理可得，，中由勾股定理建立方程求解即可． 【详解】解：如图，连接， ∵, ∴， ∵， ∴， ∵中，， ∴ 解得： ∴， 故答案为：10． 6．（23-24九年级上·安徽安庆·期末）已知：的半径为，弦弦，，，且两弦与位于圆心的同侧，则它们之间的距离为 ． 【答案】7 【分析】本题考查了垂径定理，勾股定理，根据题意画出对应图形，作，分别求出即可求解． 【详解】解：作，如图所示： 则，, ∴， ∴ 故答案为： 三、解答题 7．（22-23九年级上·安徽安庆·期末）如图，为的弦，点P在弦上，若的半径为5，，，求的长度． 【答案】 【分析】本题主要考查了垂径定理，勾股定理．过点O作于点C，连接，则，，根据勾股定理可得的长，即可求解． 【详解】解：如图，过点O作于点C，连接，则，， ∵，， ∴， ∴， ∴，， ∴． 8．（24-25九年级上·安徽合肥·期末）如图1，筒车是我国古代利用水力驱动的灌溉工具，唐代陈廷章在《水轮赋》中写到：“破浪于川湄”，“斡流于波面”，“多寄临川之郡”，描述了筒车的工作原理和应用场景．如图2，筒车盛水桶的运动轨迹是以轴心为圆心的圆．已知圆心在水面上方，被水面截得的弦长为米，的直径米，若是运动轨道的最低点（劣弧的中点），求点到水面的距离． 【答案】米 【分析】本题考查垂径定理、勾股定理，求得是解答的关键．连接交于D，连接，利用垂径定理的逆定理得到，米，在中，由勾股定理得，进而求得即可． 【详解】解：连接交于D，连接， 由题意，米，米， ∵是劣弧的中点， ∴， ∴米， 在中，由勾股定理得， ∴米， ∴（米）， 答：点到水面的距离为米． 9．（24-25九年级上·安徽淮北·期末）如图1，装有水的水槽放置在水平桌面上，其横截面是以为直径的半圆，，为水面截线，，为桌面截线， ．    (1)作于点，求的长； (2)将图中的水倒出一部分得到图2，发现水面高度下降了，求此时水面截线减少了多少． 【答案】(1)的长为 (2)水面截线减少了 【分析】本题主要考查了垂径定理的实际应用，勾股定理，解题的关键是掌握垂径定理． （1）连接，利用垂径定理得出，由勾股定理计算即可得出答案； （2）过作，连接，由题意得，利用勾股定理求出，再利用垂径定理得出与相减即可得出答案． 【详解】（1）解：如图，连接， 为圆心，，， ， ， ， 在中，， 的长为；    （2）如图，过作，连接， 由题意得：， 在Rt中，， ， ， 水面截线减少了．   地 城 考点03 圆周角 一、单选题 1．（24-25九年级上·安徽滁州·期末）如图，点A，B，C都在上，且点在弦所对的优弧上，如果，那么的度数是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了圆周角定理，等腰三角形的性质，三角形内角和定理，关键是圆周角定理的熟练掌握． 先根据等腰三我的性质与三角形内角和定理求得，再根据一条弧所对圆周角等于它所对圆心角的一半，即可求解． 【详解】解：∵， ∴， ∴， 由图可知：， 故选：D． 2．（23-24九年级上·安徽安庆·期末）如图，四边形内接于，连接并延长交于点，连接．若，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据同弧所对圆周角相等，直径所对的圆周角是直角，根据题意求得和的度数，通过是直径，求得，结合即可． 【详解】解：连接、，如图， ∵， ∴， ， ， ， 是直径， ， ， ， 故选：． 3．（24-25九年级上·安徽铜陵·期末）如图，四边形是的内接四边形，若，则的度数是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了圆内接四边形的性质以及圆周角定理，解题的关键是掌握同弧所对的圆周角是圆心角的一半以及圆内接四边形对角互补． 先根据圆周角定理求出的度数，再利用圆内接四边形的性质求出的度数． 【详解】∵， ． ∵四边形是的内接四边形 ． ． 故选：D． 二、填空题 4．（24-25九年级上·安徽阜阳·期末）凸四边形内接于，两条对角线相交于E点，．则 ． 【答案】/108度 【分析】根据圆周角定理，圆中平行弦的性质，等腰三角形的性质，三角形内角和定理，三角形外角性质解答即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， 故答案为：． 【点睛】本题考查了圆周角定理，圆中平行弦的性质，等腰三角形的性质，三角形内角和定理，三角形外角性质，熟练掌握圆周角定理，等腰三角形的性质，三角形外角性质是解题的关键． 5．（23-24九年级上·安徽合肥·期末）已知，的半径为5，弦交的直径于点E，且，则的值为 ． 【答案】或 【分析】本题考查了圆周角定理，相似三角形的判定和性质；根据圆周角定理，证，根据相似三角形性质得，设，则，进而根据，建立方程，解方程，即可求解． 【详解】解：如图，连接，，   的半径为5， ， 根据圆周角定理可知：，， ， ， ， 设，则 ∴ 解得： 故答案为：或． 三、解答题 6．（24-25九年级上·安徽六安·期末）如图，是的直径，弦于点，点在上，恰好经过圆心，连接． (1)若，，求的直径； (2)若，求的度数． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查垂径定理，勾股定理，圆周角定理，关键是由勾股定理，垂径定理列出关于的方程，由圆周角定理推出． （1）设的半径是，由垂径定理得到，由勾股定理得到，求出，即可得到的直径长； （2）由圆周角定理得到，因此，再利用，得到． 【详解】（1）解：设的半径是，则， ， ∵直径， ， ， ， ， 的直径为； （2）解：，， ， ， ， ． 7．（24-25九年级上·安徽淮北·期末）如图，中，，以为直径的分别交，于点E，D，连接，． (1)求证； (2)若，，求的长． 【答案】(1)见解析； (2)． 【分析】本题考查了圆周角定理，等腰三角形的性质和勾股定理，熟练掌握圆周角定理是解题的关键． （1）根据圆周角定理得出，再根据等腰三角形三线合一的性质得出，即可； （2）先由等腰三角形三线合一的性质得出长度，再由勾股定理得出长度，再利用求解即可． 【详解】（1）解：连接， ∵是直径 ∴， ∵， ∴ ∴； （2）解：∵，，， ，， 由勾股定理得，， ∵，， ∴， ， 解得，． 8．（23-24九年级上·安徽六安·期末）如图，是的直径，点C、D是上的点，且，分别与、相交于点E和F． (1)求证：点D为的中点． (2)若，，求半径． 【答案】(1)证明见解析 (2)10 【分析】本题考查了垂径定理及其推论，平行线的性质，勾股定理． (1)根据是的直径，得到，结合，得到，根据垂径定理及其推论证明即可； (2)设的半径，得到，根据垂径定理，根据勾股定理得，解方程即可． 【详解】（1）∵是的直径， ∴， ∵， ∴， ∴ ∴ ∴点D为的中点． （2）设的半径， ∵，， ∴， ， ∴， 解方程得． 故的半径是10． 地 城 考点04 切线的性质与判定 一、选择题 1．（24-25九年级上·安徽滁州·期末）如图，点，在⊙O上，，直线与相切，切点为，且为的中点，则等于（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了切线的性质，三角形内角和以及等腰三角形的性质，根据为的中点，三角形内角和可求出，再根据切线的性质即可求解． 【详解】解：∵，为的中点， ∴， ∵， ∴， ∵直线与相切， ∴， ∴， 故选：A． 2．（24-25九年级上·安徽合肥·期末）如图，，是的两条切线，切点分别为，．连接，，，，与交于点，若，，则的长为（    ） A．2 B．4 C． D． 【答案】C 【分析】根据切线的性质得到，，，推出是等边三角形，根据含30度直角三角形的性质求出，求出，进而求出． 【详解】解：∵，是的两条切线， ∴，， ∵， ∴是等边三角形， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴． ∵，，， ， ∴， ∴． 故选：C． 【点睛】本题考查了切线的性质，含30度直角三角形的性质，等边三角形的判定和性质，熟练掌握切线的性质是解题的关键． 二、填空题 3．（24-25九年级上·安徽合肥·期末）如图，是外一点，是的切线，A为切点，交于点，是优弧上一点，若，，则的度数为 ． 【答案】/30度 【分析】本题考查圆的切线性质、圆周角定理、特殊角的三角函数等知识，利用切线的性质得到，利用正弦定义和特殊角的三角函数得到，进而利用圆周角定理求解即可． 【详解】解：连接， ∵是外一点，是的切线，A为切点， ∴， 在中，，， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 4．（22-23九年级上·安徽阜阳·期末）如图，以点O为圆心的两个同心圆中，大圆的弦AB是小圆的切线，AB＝12，则圆环的面积为 ． 【答案】 【分析】设与小圆的切点为C，连接、，有垂径定理求出，由勾股定理可得，由即可求得答案． 【详解】解：如图，设与小圆的切点为C，连接、， ∵为小圆的切线， ∴， ∴， 由勾股定理可得， ∴， 故答案为：． 【点睛】此题考查了切线的性质定理，垂径定理、勾股定理等知识，掌握整体代入思想方法是解题的关键． 三、解答题 5．（24-25九年级上·安徽阜阳·期末）如图，是半圆O的直径，与半圆O相切于D点，交于点E． (1)求证：； (2)若与的延长线相交于点F，且，求的值． 【答案】(1)见解析 (2)． 【分析】本题考查了切线的性质，正切函数的定义． （1）连接，利用切线的性质求得，再利用等角的余角相等求得，根据等角对等边，即可证明结论成立； （2）求得，利用正切函数的定义求解即可． 【详解】（1）证明：连接， ∵为半圆O的切线， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴； （2）解：∵， ∴， ∴， ∵， ∴， 在中，， 解得， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴． 6．（23-24九年级上·安徽六安·期末）如图，是的直径，在上，且，过点C作，交的延长线于点E，交的延长线于点F． (1)求证：是的切线； (2)若，求的长； (3)若，求的值． 【答案】(1)见解析； (2)4； (3)． 【分析】（1）证明，即可证明是的切线； （2）证明得，求出，然后利用勾股定理求解即可； （3）证明得，可得，进而可求出． 【详解】（1）证明：如图，连接， ∵， ∴， ∴． ∵， ， ∴， ∴， ∵， ∴， 又是半径， 是的切线； （2）∵， ∴ ，即， 解得． 在中，； （3）是的切线， ， 是直径， ， ， ， ． ， ， ， ． 【点睛】本题考查了切线的判定，圆周角定理，勾股定理，院内接四边形的性质，相似三角形的判定与性质，锐角三角函数等知识，熟练掌握圆的性质、相似三角形的判定与性质是解答本题的关键． 地 城 考点05 弧长与扇形面积的计算 一、选择题 1．（23-24九年级上·安徽芜湖·期末）如图，在矩形中，对角线交于点O，，，则在扇形中，弧长是（    ）      A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查矩形性质和弧长公式，三角形内角和定理．根据矩形性质及三角形内角和定理可求得，，再利用弧长公式即可求得本题答案． 【详解】解：∵矩形中，，， ∴，， ∴弧长为：， 故选：D． 2．（22-23九年级上·安徽合肥·期末）如图，在正六边形中，分别以B，E为圆心，以边长为半径作弧，图中阴影部分的面积为，则正六边形的边长为（    ）    A．3 B．9 C． D．18 【答案】C 【分析】根据多边形的内角和公式求出扇形的圆心角，然后按扇形面积公式计算即可． 【详解】解：∵正六边形的内角是，阴影部分的面积为， 设正六边形的边长为r， ∴， 解得． 则正六边形的边长为． 故选：C． 【点睛】本题考查了扇形面积的计算．本题的关键是根据多边形的内角和公式求出扇形的圆心角． 二、填空题 3．（23-24九年级上·安徽马鞍山·期末）如图，的正方形网格中，格点是半径为2的圆的圆心，则图中两个小扇形（阴影部分）的面积之和为 （结果保留）. 【答案】 【分析】本题考查了中心对称，利用了扇形的面积公式，直角三角形的性质．根据圆的半径正方形边长的一半，可得两个扇形的半径都是圆的半径，根据直角三角形两锐角互余，可得两个扇形的圆心角的和等于，可得两个扇形的面积和等于圆的面． 【详解】解：由题意，得两个扇形的半径都是2， 由直角三角形两锐角互余，得两个扇形的圆心角的和等于， 两个扇形的面积的和等于圆的面积的，即小扇形的面积的和是． 故答案为：． 4．（23-24九年级上·安徽合肥·期末）如图，正方形的边，点E，F为正方形边的中点，以为半径的扇形交正方形的边于点G，H，则长为 ． 【答案】/ 【分析】本题主要考查了弧长公式，解直角三角形，正方形的性质，先根据正方形性质，和解直角三角形求出，，从而得到，再运用弧长公式进行计算即可得解． 【详解】解：∵ 点E，F为正方形边的中点， ，， 在中，， ， ， 同理可求出 ， ， 长为， 故答案为：． 三、解答题 5．（23-24九年级上·安徽淮北·期末）如图，是的内接三角形，，． (1)求的半径； (2)求劣弧的长l． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）如图，连接，，过点O作于点D．则，由，可得，则，则，计算求解可得的半径． （2）由题意知，，计算求解即可． 【详解】（1）解：如图，连接，，过点O作于点D． ∵， ∴． ∵， ∴， ∴， ∴， ∴的半径为． （2）解：由题意知，， ∴劣弧的长l为． 【点睛】本题考查了圆周角定理，垂径定理，正弦，弧长等知识．熟练掌握圆周角定理，垂径定理，正弦，弧长是解题的关键． 6．（22-23九年级上·安徽芜湖·期末）如图1，四边形内接于，为直径，过点作于点，连接． (1)求证：； (2)如图2．若是的切线，，连接．如图2，当时，求图中阴影部分面积． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）先判断出，再用等角的余角相等，即可得出结论； （2）先判断出，再判断出，进而得出四边形是菱形，求出，，根据扇形面积公式、三角形的面积公式计算，得到答案． 【详解】（1）证明：∵四边形是的内接四边形， ， 为的直径， ， ， ， ， ， ； （2）解：， ， 是的切线， ， ， ， ， 由（1）知，， ， ， 四边形是平行四边形， ， 是菱形； ， ， 在中，， ，， ∴． 【点睛】本题考查的是切线的性质、菱形的判定、扇形的面积公式，判断出是解本题的关键． 地 城 考点06 旋转中的全等模型 一、单选题 1．（24-25九年级上·安徽合肥·期末）如图，将正方形的边绕点逆时针旋转一定角度得到，连接，再将绕点顺时针旋转得到，连接，若，则的大小为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】如图所示，连接，根据旋转的性质，等边对等角得到，再证明，，即可求解． 【详解】解：如图所示，连接， ∵四边形是正方形， ∴， ∵边绕点逆时针旋转一定角度得到， ∴， ∴， 在中，， ∴， ∴， ∵将绕点顺时针旋转得到， ∴， ∴，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， 故选：A ． 【点睛】本题考查了正方形的性质，旋转的性质，等边对等角，三角形内角和定理，全等三角形的判定和性质，掌握正方形的性质，旋转的性质是解题的关键． 2．（24-25九年级上·安徽亳州·期末）如图，在正方形中，连接对角线平分，交于点，将绕点顺时针旋转得到．若，则（   ） A． B． C． D．．04 【答案】B 【分析】由正方形的性质可得，，，由角平分线的定义可得，由旋转的性质可得、、，证明得到，设，则、，从而得到，求出x的值，进而确定的长,最后根据三角形的面积公式即可解答． 【详解】解：∵四边形是正方形，为正方形的对角线， ∴，，， ∵平分， ， ∵将绕点顺时针旋转得到，， ，，， ， ， ， ， 设，则，， ，解得：， ∴， ∵， ∴, ∴． 故选：B． 【点睛】本题主要考查了正方形的性质、旋转的性质、角平分线的定义、等腰三角形的判定与性质、勾股定理、分母有理化等知识点，熟练掌握以上知识点是解题的关键． 3．（24-25九年级上·安徽芜湖·期末）如图，将绕着点A逆时针旋转，得到，若，，则下列结论不正确的是（   ）    A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查旋转性质、平行线的性质、三角形的内角和定理，由旋转性质得，，，，，再根据平行线的性质和三角形的内角和定理求得，，进而可得答案． 【详解】解：如图，    ∵将绕着点A逆时针旋转，得到，， ∴，，，，， ∴， ∵， ∴，则， ∴， 综上，选项A、B、D正确，不符合题意，选项C错误，符合题意， 故选：C 二、填空题 4．（23-24九年级上·安徽合肥·期末）如图，将绕点A顺时针旋转得到，若线段，则的长为 ． 【答案】3 【分析】本题考查旋转的性质，根据旋转的性质得出，，得出是等边三角形，进而得出即可． 【详解】解：∵将绕点A顺时针旋转得到， ∴，， ∴是等边三角形， ∵， ∴． 故答案为：3． 5．（24-25九年级上·安徽阜阳·期末）如图，在中，，将绕点顺时针旋转，得到，使点的对应点恰好落在边上．若，则的度数为 ． 【答案】/75度 【分析】本题主要考查旋转的性质，三角形内角和定理，等腰三角形的性质，先根据旋转得到，，然后根据等边对等角得到，即可解题． 【详解】解：由旋转的性质可知，，， ∵， ∴， ∴． 故答案为：． 三、解答题 6．（23-24九年级上·安徽六安·期末）如图，在等边中，D是边上的一点，连接，将绕点B逆时针旋转得到，连接．若，求的周长． 【答案】13 【分析】本题主要考查了旋转的性质、等边三角形的判定与性质等知识点，灵活运用旋转的性质成为解题的关键． 根据旋转的性质得，可判断为等边三角形，则有，所以的周长，再根据等边三角形的性质得，最后根据三角形的周长公式即可解答． 【详解】解：∵将绕点B逆时针旋转得到， ∴， ∴为等边三角形， ∴， ∴的周长， ∵为等边三角形， ∴， ∴的周长=． 地 城 考点07 圆中常见的辅助线 一、单选题 1．（24-25九年级上·安徽六安·期末）如图，是的直径，弦，垂足为 E ，如果，．那么线段的长为（   ） A．4 B．5 C．6 D．8 【答案】C 【分析】本题考查垂径定理及应用，熟练掌握垂径定理是解题的关键，连接，根据垂径定理得到，再根据勾股定理即可得到的长． 【详解】解：连接， ∵是的直径，弦， ∴为的中点， ∵， ∴， ∵， 在中，根据勾股定理得： ， 故选：C． 2．（23-24九年级上·安徽合肥·期末）如图，是的直径，弦于，，，则弦的长为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】此题考查了垂径定理，以及勾股定理，熟练掌握垂径定理是解本题的关键． 连接，由直径垂直于弦，利用垂径定理得到为的中点，由的长求出的长，在直角三角形中，由与的长，利用勾股定理求出的长，即为的长，由求出的长，在直角三角形中，利用勾股定理即可求出的长． 【详解】解：连接，如图所示： 直径，， 为的中点，即， 在中，，， 根据勾股定理得：， 则， ， 在中，，， 根据勾股定理得：． 故选：A． 3．（23-24九年级上·安徽淮北·期末）如图，的半径为3，圆心O到的距离为2，则弦的长为（    ） A．2 B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了垂径定理和勾股定理，能熟记垂径定理是解此题的关键．连接半径，构造直角三角形，利用勾股定理求出的长，从而求出的长． 【详解】解：连接，过O点作于C，如图， 于C， ， 在中，，， ， ． 故选：B． 二、填空题 4．（24-25九年级上·安徽安庆·期末）如图，是以为直径的半圆O上的弦，交于点M，交AB于点N，，．求四边形的面积为 ． 【答案】24 【分析】本题主要考查了垂径定理、勾股定理，、梯形中位线定理等知识点，灵活运用相关定理是解题的关键． 如图，过点O作与点H，连接，则垂直平分，在直角中利用勾股定理即可求得的长，即梯形的中位线，然后再根据梯形的面积公式求解即可． 【详解】解：如图，过点O作与点H，连接． ∴垂直平分，， ∴，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴ ∴四边形的面积． 故答案为：24． 三、解答题 5．（24-25九年级上·安徽淮北·期末）“圆材埋壁”是我国古代著名的数学著作《九章算术》中的一个问题：“今有圆材，埋在壁中，不知大小，以锯锯之，深一寸，锯道长六寸，问径几何？”用现代的数学语言表述是：“如图，为的直径，弦，垂足为E，寸，寸，求直径的长． 【答案】10寸 【分析】本题考查了垂径定理，勾股定理，正确掌握相关性质内容是解题的关键．结合为的直径，弦于E，寸，则，根据勾股定理得，代入数值计算，即可作答． 【详解】解：设直径的长为寸， 则半径寸， 为的直径，弦于E，寸， （寸）， 连接OA，则寸， 根据勾股定理得， ∴， 解得， （寸）． 6．（23-24九年级上·安徽淮南·阶段练习）如图，半圆O中的直径，于D，求证： 【答案】详见解析 【分析】连接，    由垂直的定义得到，根据圆周角定理及余角的性质得到，证明，根据相似三角形的性质即可得到答案． 此题考查了相似三角形的判定和性质、圆周角定理等知识，证明是解题的关键． 【详解】解：连接， ∵， ∴． 又是的直径， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． 地 城 考点08 不规则图形面积的求法 一、单选题 1．（22-23九年级上·安徽阜阳·期末）是的直径，弦，则（    ） A．π B．2π C． D．4π 【答案】C 【分析】先求出，再根据含直角三角形的性质得，及，然后根据勾股定理求出，进而得出，同理求出，，最后根据得出结论． 【详解】解：∵， ∴. ∵，过圆心O，， ∴，. ∴. 在中，， ∴， 根据勾股定理，得， 解得（负数舍去）， ∴， 同理，， ∴， ∴. 故选：C． 【点睛】本题主要考查了直角三角形的性质，勾股定理，圆周角定理，扇形的面积等，将求不规则图形面积转化为求规则图形的面积是解题的关键． 2．（23-24九年级上·安徽合肥·期末）如图，的内切圆与，，分别相切于点，，，连接，，，，，则阴影部分的面积为（   ）    A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了勾股定理、三角形内切圆、面积法求内切圆半径、扇形面积等知识点，求出内切圆半径是解题的关键． 连结、、，，设半径为，利用面积公式求出内切圆半径，，再说明四边形是正方形，再根据求解即可． 【详解】解：如图：连接、、，，设半径为，   ，，， ， 的内切圆与，，分别相切于点，，， ，，，且， ， 四边形是正方形， ， ， ，． 故选：C． 二、填空题 3．（24-25九年级上·安徽铜陵·期末）如图，在矩形中，以点为圆心，以长为半径画弧，恰好交边于中点，若，则阴影部分的面积为 ． 【答案】 【分析】本题考查了矩形的性质，三角函数，不规则的图形面积等，利用矩形的性质可得，即得，，得到，进而得，最后根据计算即可求解，掌握以上知识点是解题的关键． 【详解】解：∵四边形是矩形， ∴，， ∵点是的中点， ∴， 又∵， ∴，， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 三、解答题 4．（24-25九年级上·安徽阜阳·期末）如图，是的弦，过圆心作于点，延长交于点，与过点的的切线交于点，连接． (1)求证：是的切线． (2)若，，求线段的长及阴影部分的面积． 【答案】(1)证明见解析 (2)，阴影部分的面积为 【分析】本题考查圆的综合运用，涉及垂径定理，切线的性质与判定，全等三角形的判定与性质，圆中阴影面积的计算，特殊角的三角函数值，熟练掌握圆的相关性质是解题的关键． （1）连接，，利用得出垂直平分，得出，证明，结合切线的性质得出即可证明； （2）设的半径为，则，，在中，利用列式求出，利用， 求出，则，即可求出和，则可求出，求出，利用即可求解． 【详解】（1）解：如图，连接，， 为的切线， ， ． ， ， 即垂直平分， ． 在和中， ， ， ， ． 又是的半径， 是的切线； （2）解：设的半径为，则，， 由（1）可知． ， ， 解得：， ， ， ， ， ，， ． ， ， ． 5．（23-24九年级上·安徽淮北·期末）如图，在矩形纸片中，，，若以点B为圆心，为半径，剪出扇形． (1)求图中阴影部分的面积；（结果保留） (2)若用剪得的扇形纸片围成一个圆锥的侧面，求所围成圆锥的底面圆的半径． 【答案】(1)； (2)1． 【分析】本题主要考查不规则图形的面积以及弧长的计算： （1）根据求解即可； （2）设圆锥底面圆的半径为r，根据弧长计算即可． 【详解】（1）解：， 故阴影部分的面积为； （2）解：设圆锥底面圆的半径为r， 根据题意，得，解得， 故圆锥的底面圆的半径为1． 地 城 考点09 圆中的最值问题 一、单选题 1．（22-23九年级上·安徽合肥·期末）如图，点E是边长为4的正方形内部一点，，将按逆时针方向旋转得到，连接，则的最小值为（    ）    A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据得到，则点E在以为直径的圆上，取中点G，当过点G时，有最小值，由旋转的性质得到，则此时也取最小值，即可解答． 【详解】解：在正方形中，， ∵， ∴， ∴， ∴点E在以为直径的圆上， 取中点G，连接，当过点G时，有最小值，    又∵按逆时针方向旋转得到， ∴， ∴此时也取最小值， ∵，为的半径，即， ∴此时， ∴， 即的最小值为， 故选：B． 【点睛】本题考查了角度的转化与判断点的轨迹，解题的关键是运用数学结合思想处理题给条件，从而得到点的轨迹． 2．（22-23九年级上·安徽合肥·期末）如图，的半径为，是的直径，点在上，，取弦的中点，连接，当点在上运动时，线段的最小值为（    ） A．2 B． C． D． 【答案】D 【分析】根据垂径定理即可判断点在以为直径的圆上，设为，连接，与的交点即为点，此时有最小值，最小值为，利用等腰三角形的性质和解直角三角形即可求得，，然后根据勾股定理求得，进而求得的最小值。 【详解】解：如图，连接，， 点是的中点， 点在以为直径的圆上，设为 连接，与的交点即为点，此时有最小值，最小值为，作于，于， 是的中点， ，， 的最小值为 故选D 【点睛】本题考查了点和圆的位置关系，圆周角定理，等腰三角形的性质，以及解直角三角形，解题关键是确定点在以为直径的圆上。 二、填空题 3．（23-24九年级上·安徽亳州·期末）如图，在四边形中，为边的中点，，于．    （1）若，则 ； （2）若，则的最小值为 ． 【答案】 【分析】本题考查了圆的性质，垂径定理，圆周角定理，勾股定理的应用； （1）根据题意得出点在为直径的上，进而根据圆周角定理，垂径定理，即可求解； （2）根据（1）可得，则，当重合时取得最小值，此时，根据勾股定理，即可求解． 【详解】解：（1）如图所示，    ∵为边的中点，， ∴点在为直径的上， ∵， ∴ ∴，则 ∵ ∴ ∴ 故答案为：． （2）∵ ∴ ∴ ∴当重合时取得最小值，此时，， 即的最小值为 故答案为：． 4．（23-24九年级上·安徽淮北·期末）如图，在矩形中，，，E是边上一点，连接，过点B作于点G，交于点F． （1）当时， ． （2）连接，则的最小值为 ． 【答案】 / / 【分析】（1）先证明，然后根据相似三角形的性质求出，进而可求出的长； （2）取的中点O，连接，，得出点G在以点O为圆心，的长为半径的圆上，当O，G，C三点共线时，最小，根据勾股定理求出的长即可求解． 【详解】解：（1）∵， ∴， ∴． ∵四边形是矩形， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． ∵，，， ∴， ∴， ∴． （2）如图，取的中点O，连接，． ∵， ∴点G在以点O为圆心，的长为半径的圆上． ∵，且长度不变， ∴当O，G，C三点共线时，最小，此时． ∵，．， ∴， ∴的最小值为． 【点睛】本题考查了矩形的性质，相似三角形的判定与性质，圆周角定理，勾股定理，三角形三边的关系，熟练掌握相似三角形的判定与性质、圆周角定理是解答本题的关键． 地 城 考点10 旋转常见的类型 一、单选题 1．（24-25九年级上·安徽淮北·期末）如图，将绕直角顶点按顺时针方向旋转，得到，点落在的延长线上．若，，点，是，的中点，则的长是（   ） A． B．4 C．3 D．5 【答案】A 【分析】本题考查了旋转的性质，直角三角形的性质，勾股定理；先利用勾股定理求出的长，根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半的性质求出，然后连接、，再根据旋转的性质求出，，再利用勾股定理列式求解即可． 【详解】连接，， ，， ， 是的中点，点是的中点， ， 绕点顺时针旋转得到，点，是，的中点， ∴ 又∵， 是等腰直角三角形， 故选：A． 2．（22-23九年级上·安徽·期末）如图，一个小孩坐在秋千上，若秋千绕点旋转了，小孩的位置也从点运动到了点，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了旋转的性质，等边对等角，根据旋转的性质得到，再利用等边对等角进行求解即可． 【详解】解：由旋转的性质可知， ∴， 故选：D． 二、填空题 3．（24-25九年级上·安徽黄山·期末）如图，在中，，，将绕点顺时针旋转一定角度得到，点的对应点分别是，连接，点恰好在上． 若，则的长度是 ． 【答案】/ 【分析】本题主要考查旋转的性质，角所对的直角边等于斜边的一半，勾股定理，先由角所对的直角边等于斜边的一半，得出，再通过勾股定理求出，又绕点顺时针旋转一定角度得到，则，最后由线段和差即可求解，掌握旋转的性质是解题的关键． 【详解】解：∵，，， ∴， 由勾股定理得：， ∵绕点顺时针旋转一定角度得到， ∴， ∵点恰好在上， ∴， 故答案为：． 4．（23-24九年级上·安徽阜阳·期末）如图，是等边内的一点，连接，，，将绕点顺时针旋转得，连接，若，则的度数为 ． 【答案】/度 【分析】由旋转的性质和全等三角形的性质可得，，，，可证是等边三角形，可得，，由勾股定理的逆定理可求，即可求解． 【详解】解：∵将绕点B顺时针旋转得， ∴，， ∴，，， ∴是等边三角形， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 【点睛】本题考查了旋转的性质，全等三角形的性质，等边三角形的判定与性质，勾股定理的逆定理，灵活运用这些性质解决问题是本题的关键． 三、解答题 5．（23-24九年级上·安徽淮北·期末）如图1，把两个完全相同且有一个角为的直角三角板重合在一起，将固定，将绕直角顶点C顺时针方向旋转．       (1)如图2，当B，D，E三点在同一条直线上时，求旋转角α的度数； (2)在（1）的条件下，连接，请判断和的面积的数量关系，并说明理由． 【答案】(1) (2)，理由见详解 【分析】本题主要考查旋转的性质、等边对等角以及全等三角形的判定和性质， （1）由题意得，由旋转得，可得．即可求得旋转角； （2）过点D作于点M，延长交于点N，由旋转得和．进一步求得和，可证，则有，结合面积公式即可求得相等． 【详解】（1）解：由旋转的性质可得，． ∴． ∵点B，D，E在同一条直线上， ∴， ∴旋转角． （2）． 理由：过点D作于点M，延长交于点N，如图，      ∵是由绕点C旋转得到， ∴，． 由（1）可得， ∴， ． ∵， ∴， ∴， ∴． 在和中， ， ∴， ∴． ∵，，， ∴． 6．（22-23九年级上·安徽·期末）如图，在四边形中，是对角线，是等边三角形，将线段绕点C顺时针旋转得到线段，连接．    (1)求证：； (2)若，求的长． 【答案】(1)见解析 (2)8 【分析】（1）根据旋转的性质得到，利用等边三角形的性质得到．则，即可得到结论； （2）证明．则．证明是等边三角形．进一步得到．在中，由勾股定理即可得到的长． 【详解】（1）证明：由旋转的性质，知． ∵是等边三角形， ∴． ∴． ∴， 即． （2）解：在和中， ∴． ∴． ∵， ∴是等边三角形． ∴． ∵， ∴． 在中， 【点睛】此题考查了旋转的性质、全等三角形的判定和性质、勾股定理、等边三角形的判定和性质等知识，熟练掌握旋转的性质、全等三角形的判定和性质是解题的关键． 地 城 考点11 圆与其他知识的综合 一、单选题 1．（24-25九年级上·安徽六安·期末）如图，四边形内接于，，．若的半径为6，则的长是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了圆的内接四边形的性质、圆周角定理、弧长计算、三角形内角和定理等知识点，熟练掌握圆周角定理及弧长计算是解题的关键． 先根据圆的内接四边形的性质可得：，再根据三角形内角和定理可得，然后运用圆周角定理可得，最后根据弧长公式计算即可． 【详解】解：如图：连接， ∵四边形内接于，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵的半径为6， ∴的长为． 故选：C． 二、解答题 2．（23-24九年级上·安徽亳州·期末）如图，内接于，过点作于点，延长交于点，连接、与交于点． (1)若． ①求的度数． ②若的半径为6，求的长． (2)设，求关于的函数表达式． 【答案】(1)①；② (2) 【分析】本题考查了圆周角定理，垂径定理，等边三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，熟练掌握圆的基本定理和三角形相似的判定和想是解题的关键． （1）①连接，证明是正三角形，利用圆心角和圆周角关系定理证明即可； ②证明∽列比例计算即可； （2）根据∽表示出，再证明∽即可得证． 【详解】（1）解：①连接， ∵，， ，， ∵， 是正三角形， ， ， ． ②⊙的半径为，是正三角形， ． ， ． ∵， ∽， ， ， ； （2）解：由（1）得∽， ， ， ， ． ∵，， ∽， ， ， ． 3．（22-23九年级上·安徽·期末）已知是的直径，于点E，连接． (1)如图1，延长交于点F，连接并延长交的延长线于点P，求证：； (2)如图2，过点B作，垂足为点G，交于点H，连接，且点O和点A均在的左侧．若，，． ①求的半径； ②求的度数． 【答案】(1)见解析 (2)①2；② 【分析】（1）首先根据直径所对的圆周角是直角得到，然后根据等角的余角相等得到，再根据圆内接四边形对角互补以及邻补角互补即可得出结论； （2）①先根据直径所对的圆周角为，以及，得出，，从而证明四边形为平行四边形，根据平行四边形的性质即可得出结论；②连接，根据等腰三角形的性质得出的度数，然后根据平行线的性质和三角形内角和定理得到的度数，最后根据同弧所对圆周角以及平行线的性质得出结论． 【详解】（1）证明：∵AC是直径， ∴． ∴． ∵， ∴． ∴． 又∵， ∴． ∵，， ∴． ∴． ∴． （2）解：如答图，连接，设和交于点M． ①∵AC是的直径， ∴． ∴． 又∵， ∴． 同理， ∴四边形DHBC是平行四边形． ∴． ∵， ∴是等边三角形． ∴． ∴的半径长是2． ②∵， ∴． ∵， ∴． 在中，． ∴． ∴． ∵， ∴． 【点睛】本题主要考查了圆的相关性质，等腰三角形的性质，平行线的判定和性质，平行四边形的判定和性质，解题的关键是熟练掌握直径所对的圆周角为直角，同弧所对的圆周角相等，同弧所对的圆周角是圆心角的一半． 4．（20-21九年级上·安徽安庆·期末）如图，是的内接三角形． （1）用尺规作图确定圆心O的位置；（保留作图痕迹，不写作法） （2）若，试确定的半径． 【答案】（1）见解析；（2） 【分析】（1）作线段AB的垂直平分线EF，作线段BC的垂直平分线MN，直线EF交MN于点O，点O即为所求作． （2）证明△BOC是等腰直角三角形，即可解决问题． 【详解】解：（1）如图：点O即为所求作．      （2）连接并延长交于点D，连接，则， ∴是的直径， ∴， ∴， ∴， 由勾股定理得， ∴的半径为． 【点睛】本题考查作图-复杂作图，垂径定理，等腰直角三角形的判定和性质，圆周角定理等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识． 5．（22-23九年级上·安徽芜湖·期末）如图1，是由小正方形构成的9×7网格，每个小正方形的顶点叫作格点，A，B，C三个格点都在圆上．仅用无刻度的直尺在给定的网格中完成作图（保留作图痕迹）． (1)作出该圆的圆心O； (2)作出格点E，使直线EA与相切； (3)如图2，以点A为坐标原点建立平面直角坐标系，请判断点、点关于点A的对称点，与的位置关系，并简要说明理由． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3)点在圆上，点在圆内，理由见解析 【分析】（1）由90度的圆周角，所对弦为直径即可求解； （2）将直径绕点A旋转90度，经过的格点即为要找的点E； （3）先求出点P、Q关于点A对称点的坐标，再由坐标画出点，然后由图判定即可． 【详解】（1）解：连接，的中点O即为所求； （2）解：取格点E，如图： （3）解：点、点关于点A的对称点，的坐标为：，，如图， ∴点在圆上，点在圆内． 【点睛】本题考查圆周角定理的指论，切线的判定与性质，求关于中心对称点的坐标，熟练掌握圆周角定理的推论和切线的判定与性质是解题的关键． 试卷第1页，共3页 1 / 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题05 圆（期末真题汇编，安徽专用） 11大高频考点概览 考点01 旋转 考点02 垂径定理 考点03 圆周角 考点04 切线的性质与判定 考点05 弧长与扇形面积的计算 考点06 旋转中的全等模型 考点07 圆中常见的辅助线 考点08 不规则图形面积的求法 考点09 圆中的最值问题 考点10旋转常见的类型 考点11 圆与其他知识的综合 地 城 考点01 旋转 一、单选题 1．（24-25九年级上·安徽六安·期末）下列四个2024年巴黎奥运会项目图标中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（   ） A． B． C． D． 2．（23-24九年级上·安徽六安·期末）如图，绕点O逆时针旋转得到．若，则的度数是（    ） A． B． C． D． 二、填空题 3．（23-24九年级上·安徽合肥·期末）如图，将绕点顺时针旋转得，若，，则旋转角等于 ． 4．（23-24九年级上·安徽淮北·期末）在平面直角坐标系中，点与点关于原点对称，则点的坐标为 ． 5．（22-23九年级上·安徽·期末）如图，在，，，，将绕点逆时针旋转得到，连接，则的长为 ． 三、解答题 6．（24-25九年级上·安徽合肥·期末）如图，在中，，，将绕点顺时针旋转一定角度得到，点与点是对应点，当点恰好落在边上，猜想与的位置关系并给予证明． 7．（24-25九年级上·安徽阜阳·期末）如图，在平面直角坐标系中，三个顶点的坐标分别为，，． (1)请画出关于原点O对称的（点A，B，C的对应点分别为点，，）； (2)请画出绕原点O顺时针旋转后的（点A，B，C的对应点分别为点，，）． 8．（24-25九年级上·安徽合肥·期末）如图，在中，，将绕点逆时针旋转得到，连接．若，，求的长． 如图，中，．将绕点B逆时针旋转得到．若， 地 城 考点02 垂径定理 一、单选题 1．（24-25九年级下·安徽宣城·期末）已知圆的半径为5，圆中弦长位6，则圆心到弦的距离是（   ） A．5 B．4 C．6 D．8 2．（24-25九年级上·安徽亳州·期末）如图，在中，半径的长为，圆心到的距离，则弦的长为（   ） A．4 B． C．8 D． 3．（24-25九年级上·安徽六安·期末）如图，一个烧瓶底部呈球形，该球的半径为，瓶内截面圆中弦的长为，则液体的最大深度为（   ） A． B． C． D． 4．（24-25九年级上·安徽滁州·期末）如图，点A，B，C都在上，且点在弦所对的优弧上，如果，那么的度数是（    ） A． B． C． D． 二、填空题 5．（24-25九年级上·安徽淮北·期末）如图，为的直径，弦于，，，那么弦的长为 ． 6．（23-24九年级上·安徽安庆·期末）已知：的半径为，弦弦，，，且两弦与位于圆心的同侧，则它们之间的距离为 ． 三、解答题 7．（22-23九年级上·安徽安庆·期末）如图，为的弦，点P在弦上，若的半径为5，，，求的长度． 8．（24-25九年级上·安徽合肥·期末）如图1，筒车是我国古代利用水力驱动的灌溉工具，唐代陈廷章在《水轮赋》中写到：“破浪于川湄”，“斡流于波面”，“多寄临川之郡”，描述了筒车的工作原理和应用场景．如图2，筒车盛水桶的运动轨迹是以轴心为圆心的圆．已知圆心在水面上方，被水面截得的弦长为米，的直径米，若是运动轨道的最低点（劣弧的中点），求点到水面的距离． 9．（24-25九年级上·安徽淮北·期末）如图1，装有水的水槽放置在水平桌面上，其横截面是以为直径的半圆，，为水面截线，，为桌面截线， ．    (1)作于点，求的长； (2)将图中的水倒出一部分得到图2，发现水面高度下降了，求此时水面截线减少了多少． 地 城 考点03 圆周角 一、单选题 1．（24-25九年级上·安徽滁州·期末）如图，点A，B，C都在上，且点在弦所对的优弧上，如果，那么的度数是（    ） A． B． C． D． 2．（23-24九年级上·安徽安庆·期末）如图，四边形内接于，连接并延长交于点，连接．若，，则（    ） A． B． C． D． 3．（24-25九年级上·安徽铜陵·期末）如图，四边形是的内接四边形，若，则的度数是（    ） A． B． C． D． 二、填空题 4．（24-25九年级上·安徽阜阳·期末）凸四边形内接于，两条对角线相交于E点，．则 ． 5．（23-24九年级上·安徽合肥·期末）已知，的半径为5，弦交的直径于点E，且，则的值为 ． 三、解答题 6．（24-25九年级上·安徽六安·期末）如图，是的直径，弦于点，点在上，恰好经过圆心，连接． (1)若，，求的直径； (2)若，求的度数． 7．（24-25九年级上·安徽淮北·期末）如图，中，，以为直径的分别交，于点E，D，连接，． (1)求证； (2)若，，求的长． 8．（23-24九年级上·安徽六安·期末）如图，是的直径，点C、D是上的点，且，分别与、相交于点E和F． (1)求证：点D为的中点． (2)若，，求半径． 地 城 考点04 切线的性质与判定 一、选择题 1．（24-25九年级上·安徽滁州·期末）如图，点，在⊙O上，，直线与相切，切点为，且为的中点，则等于（   ） A． B． C． D． 2．（24-25九年级上·安徽合肥·期末）如图，，是的两条切线，切点分别为，．连接，，，，与交于点，若，，则的长为（    ） A．2 B．4 C． D． 二、填空题 3．（24-25九年级上·安徽合肥·期末）如图，是外一点，是的切线，A为切点，交于点，是优弧上一点，若，，则的度数为 ． 4．（22-23九年级上·安徽阜阳·期末）如图，以点O为圆心的两个同心圆中，大圆的弦AB是小圆的切线，AB＝12，则圆环的面积为 ． 三、解答题 5．（24-25九年级上·安徽阜阳·期末）如图，是半圆O的直径，与半圆O相切于D点，交于点E． (1)求证：； (2)若与的延长线相交于点F，且，求的值． 6．（23-24九年级上·安徽六安·期末）如图，是的直径，在上，且，过点C作，交的延长线于点E，交的延长线于点F． (1)求证：是的切线； (2)若，求的长； (3)若，求的值． 地 城 考点05 弧长与扇形面积的计算 一、选择题 1．（23-24九年级上·安徽芜湖·期末）如图，在矩形中，对角线交于点O，，，则在扇形中，弧长是（    ）      A． B． C． D． 2．（22-23九年级上·安徽合肥·期末）如图，在正六边形中，分别以B，E为圆心，以边长为半径作弧，图中阴影部分的面积为，则正六边形的边长为（    ）    A．3 B．9 C． D．18 二、填空题 3．（23-24九年级上·安徽马鞍山·期末）如图，的正方形网格中，格点是半径为2的圆的圆心，则图中两个小扇形（阴影部分）的面积之和为 （结果保留）. 4．（23-24九年级上·安徽合肥·期末）如图，正方形的边，点E，F为正方形边的中点，以为半径的扇形交正方形的边于点G，H，则长为 ． 三、解答题 5．（23-24九年级上·安徽淮北·期末）如图，是的内接三角形，，． (1)求的半径； (2)求劣弧的长l． 6．（22-23九年级上·安徽芜湖·期末）如图1，四边形内接于，为直径，过点作于点，连接． (1)求证：； (2)如图2．若是的切线，，连接．如图2，当时，求图中阴影部分面积． 地 城 考点06 旋转中的全等模型 一、单选题 1．（24-25九年级上·安徽合肥·期末）如图，将正方形的边绕点逆时针旋转一定角度得到，连接，再将绕点顺时针旋转得到，连接，若，则的大小为（   ） A． B． C． D． 2．（24-25九年级上·安徽亳州·期末）如图，在正方形中，连接对角线平分，交于点，将绕点顺时针旋转得到．若，则（   ） A． B． C． D．．04 3．（24-25九年级上·安徽芜湖·期末）如图，将绕着点A逆时针旋转，得到，若，，则下列结论不正确的是（   ）    A． B． C． D． 二、填空题 4．（23-24九年级上·安徽合肥·期末）如图，将绕点A顺时针旋转得到，若线段，则的长为 ． 5．（24-25九年级上·安徽阜阳·期末）如图，在中，，将绕点顺时针旋转，得到，使点的对应点恰好落在边上．若，则的度数为 ． 三、解答题 6．（23-24九年级上·安徽六安·期末）如图，在等边中，D是边上的一点，连接，将绕点B逆时针旋转得到，连接．若，求的周长． 地 城 考点07 圆中常见的辅助线 一、单选题 1．（24-25九年级上·安徽六安·期末）如图，是的直径，弦，垂足为 E ，如果，．那么线段的长为（   ） A．4 B．5 C．6 D．8 2．（23-24九年级上·安徽合肥·期末）如图，是的直径，弦于，，，则弦的长为（　　） A． B． C． D． 3．（23-24九年级上·安徽淮北·期末）如图，的半径为3，圆心O到的距离为2，则弦的长为（    ） A．2 B． C． D． 二、填空题 4．（24-25九年级上·安徽安庆·期末）如图，是以为直径的半圆O上的弦，交于点M，交AB于点N，，．求四边形的面积为 ． 三、解答题 5．（24-25九年级上·安徽淮北·期末）“圆材埋壁”是我国古代著名的数学著作《九章算术》中的一个问题：“今有圆材，埋在壁中，不知大小，以锯锯之，深一寸，锯道长六寸，问径几何？”用现代的数学语言表述是：“如图，为的直径，弦，垂足为E，寸，寸，求直径的长． 6．（23-24九年级上·安徽淮南·阶段练习）如图，半圆O中的直径，于D，求证： 地 城 考点08 不规则图形面积的求法 一、单选题 1．（22-23九年级上·安徽阜阳·期末）是的直径，弦，则（    ） A．π B．2π C． D．4π 2．（23-24九年级上·安徽合肥·期末）如图，的内切圆与，，分别相切于点，，，连接，，，，，则阴影部分的面积为（   ）    A． B． C． D． 二、填空题 3．（24-25九年级上·安徽铜陵·期末）如图，在矩形中，以点为圆心，以长为半径画弧，恰好交边于中点，若，则阴影部分的面积为 ． 三、解答题 4．（24-25九年级上·安徽阜阳·期末）如图，是的弦，过圆心作于点，延长交于点，与过点的的切线交于点，连接． (1)求证：是的切线． (2)若，，求线段的长及阴影部分的面积． 5．（23-24九年级上·安徽淮北·期末）如图，在矩形纸片中，，，若以点B为圆心，为半径，剪出扇形． (1)求图中阴影部分的面积；（结果保留） (2)若用剪得的扇形纸片围成一个圆锥的侧面，求所围成圆锥的底面圆的半径． 地 城 考点09 圆中的最值问题 一、单选题 1．（22-23九年级上·安徽合肥·期末）如图，点E是边长为4的正方形内部一点，，将按逆时针方向旋转得到，连接，则的最小值为（    ）    A． B． C． D． 2．（22-23九年级上·安徽合肥·期末）如图，的半径为，是的直径，点在上，，取弦的中点，连接，当点在上运动时，线段的最小值为（    ） A．2 B． C． D． 二、填空题 3．（23-24九年级上·安徽亳州·期末）如图，在四边形中，为边的中点，，于．    （1）若，则 ； （2）若，则的最小值为 ． 4．（23-24九年级上·安徽淮北·期末）如图，在矩形中，，，E是边上一点，连接，过点B作于点G，交于点F． （1）当时， ． （2）连接，则的最小值为 ． 地 城 考点10 旋转常见的类型 一、单选题 1．（24-25九年级上·安徽淮北·期末）如图，将绕直角顶点按顺时针方向旋转，得到，点落在的延长线上．若，，点，是，的中点，则的长是（   ） A． B．4 C．3 D．5 2．（22-23九年级上·安徽·期末）如图，一个小孩坐在秋千上，若秋千绕点旋转了，小孩的位置也从点运动到了点，则的度数为（    ） A． B． C． D． 二、填空题 3．（24-25九年级上·安徽黄山·期末）如图，在中，，，将绕点顺时针旋转一定角度得到，点的对应点分别是，连接，点恰好在上． 若，则的长度是 ． 4．（23-24九年级上·安徽阜阳·期末）如图，是等边内的一点，连接，，，将绕点顺时针旋转得，连接，若，则的度数为 ． 三、解答题 5．（23-24九年级上·安徽淮北·期末）如图1，把两个完全相同且有一个角为的直角三角板重合在一起，将固定，将绕直角顶点C顺时针方向旋转．       (1)如图2，当B，D，E三点在同一条直线上时，求旋转角α的度数； (2)在（1）的条件下，连接，请判断和的面积的数量关系，并说明理由． 6．（22-23九年级上·安徽·期末）如图，在四边形中，是对角线，是等边三角形，将线段绕点C顺时针旋转得到线段，连接．    (1)求证：； (2)若，求的长． 地 城 考点11 圆与其他知识的综合 一、单选题 1．（24-25九年级上·安徽六安·期末）如图，四边形内接于，，．若的半径为6，则的长是（   ） A． B． C． D． 二、解答题 2．（23-24九年级上·安徽亳州·期末）如图，内接于，过点作于点，延长交于点，连接、与交于点． (1)若． ①求的度数． ②若的半径为6，求的长． (2)设，求关于的函数表达式． 3．（22-23九年级上·安徽·期末）已知是的直径，于点E，连接． (1)如图1，延长交于点F，连接并延长交的延长线于点P，求证：； (2)如图2，过点B作，垂足为点G，交于点H，连接，且点O和点A均在的左侧．若，，． ①求的半径； ②求的度数． 4．（20-21九年级上·安徽安庆·期末）如图，是的内接三角形． （1）用尺规作图确定圆心O的位置；（保留作图痕迹，不写作法） （2）若，试确定的半径． 5．（22-23九年级上·安徽芜湖·期末）如图1，是由小正方形构成的9×7网格，每个小正方形的顶点叫作格点，A，B，C三个格点都在圆上．仅用无刻度的直尺在给定的网格中完成作图（保留作图痕迹）． (1)作出该圆的圆心O； (2)作出格点E，使直线EA与相切； (3)如图2，以点A为坐标原点建立平面直角坐标系，请判断点、点关于点A的对称点，与的位置关系，并简要说明理由． 试卷第1页，共3页 1 / 1 学科网（北京）股份有限公司 $