专题03 圆中最值问题（压轴题专项训练）数学沪科版九年级下册

专题03 圆中最值问题 目录 2 类型一、圆上一点到直线的最小距离问题 2 类型二、利用切线转化为垂线段最短问题 11 类型三、将军饮马最值问题 23 类型四、辅助圆+一箭穿心最值问题 37 类型五、阿氏圆问题 46 类型六、瓜豆模型 60 60 类型一、圆上一点到直线的最小距离问题 1．（2025·安徽合肥·一模）如图，在中，，为边上的动点，过作于点，连接并延长交于点．当取得最小值时，则的长为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了圆周角，点到圆上的距离，勾股定理，相似三角形的判定和性质，根据题意判断出点的运动轨迹是解题关键．根据直径所对的圆周角是直角，得到点在以为直径的圆上运动，取的中点，以为圆心，的长为半径作，连接与交于点，连接并延长交于点，由点到圆上的距离可知，当点在位置时，取得最小值为,由勾股定理可得，再证明,得到，求出的长即可． 【详解】解：， ， 点在以为直径的圆上运动， 如图，取的中点，以为圆心，的长为半径作，连接与交于点，连接并延长交于点， 由点到圆上的距离可知，当点在位置时，取得最小值为, 在中，， ，， ， ， ， ，， ， ， ， , , ， ， 即当取得最小值时，则的长为， 故选：C． 2．（2024·安徽蚌埠·二模）如图，在正方形中，，M，N分别为边 ， 的中点，E为边上一动点，以点 E为圆心，的长为半径画弧，交 于点F，P为的中点，Q为线段上任意一点，则 长度的最小值为（    ）    A． B． C． D． 【答案】B 【分析】如图，连接，为的中点，可得，则在以为圆心，为半径的圆弧上运动，当四点共线时，最小，再进一步求解即可． 【详解】解：如图，连接，    ∵正方形，， ∴，， ∵分别，的中点， ∴，， ∵为的中点， ∴， ∴在以为圆心，为半径的圆弧上运动， 当四点共线时，最小， 此时，， ∴， ∴， 即的最小值为：， 故选B 【点睛】本题考查的是直角三角形斜边上的中线的性质，勾股定理的应用，等腰三角形的性质，正方形的性质，圆的确定，熟练的确定P的运动轨迹是解本题的关键． 3．（23-24九年级上·安徽阜阳·阶段练习）如图，在矩形中，是矩形内一动点，且满足，则线段的最小值是（    ） A． B． C．8 D．5 【答案】A 【分析】根据矩形的性质，得，结合，得到故，得到在以为直径的圆E上，此时点E为的中点，当点E,P，D三点共线时，线段有最小值，根据勾股定理计算即可，本题考查了矩形的性质，辅助圆的构造方法，圆的性质，勾股定理，熟练掌握圆的性质是解题的关键． 【详解】∵矩形中， ∴，，， ∵， ∴ 故， ∴在以为直径的圆E在矩形内部的弧上，此时点E为的中点， 连接，设与圆弧的交点为F， 当点E,P，D三点共线时，线段有最小值， 此时点P与点F重合， ∴， ∴， ∴， 故选A． 4．（23-24九年级上·安徽阜阳·期中）如图，在中，是中点，是内一动点，且满足，则的最小值是（    ）      A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查求圆外一点到圆上一点的最值，根据，得到点在以为直径的上，利用一箭穿心模型，得到三点共线时，的值最小，为，进行求解即可． 【详解】解：∵ ∴， ∵是中点， ∴， ∵， ∴点在以为直径的上， 连接，则：，，    当三点共线时，的值最小， 连接，则：， ∴， ∵， ∴， ∴的最小值为； 故选A． 5．（2023·安徽淮北·一模）如图，矩形中，，，点P是矩形内一点，连接，，，若，则的最小值为（    ） A． B． C．2 D．4 【答案】C 【分析】由可得点P在以中点O为圆心为直径的圆上，连接交圆于一点即为最短距离点，即可得到答案； 【详解】解：∵， ∴点P在以中点O为圆心为直径的圆上，如图所示， ∴连接交圆于一点即为最短距离点P，如图所示， ∵，， ∴，， 根据勾股定理可得， ， ∴， 故选C． 【点睛】本题考查圆上最短距离问题，勾股定理，解题的关键是熟练掌握圆外一点到圆上最短距离点为与圆心连线的交点． 6．（24-25九年级下·安徽合肥·期中）如图，矩形中，，，是射线上一点，是上一点，且． （1）的值为 ； （2）连接，当取最小值时，的长为 ． 【答案】 36 【分析】本题主要考查了矩形的性质，相似三角形的性质与判定，勾股定理，一点到圆上一点的距离的最值问题，证明是解题的关键． （1）可证明得到，则； （2）由矩形的性质可得，则由相似三角形的性质可得；以为直径作，连接，当点为与的交点时，的值最小．作于点，可证明，根据相似三角形的性质可得，，再利用勾股定理即可得到． 【详解】解：（1） ，， ， ， ， 故答案为：36； （2）∵四边形是矩形， ∴， ， ， ∴点E在以为直径的圆上运动， 如图，以为直径作，连接，当点为与的交点时，的值最小， 作于点， ∴， 又∵， ∴， ，， ∴，，． 故答案为：． 7．（2025·河南信阳·三模）如图，M是等边三角形的边的中点，P是平面内一点，连接，将线段以点A为中心逆时针旋转，得到线段，连接．若，点M，P之间的距离为1，则的最小值为 ，的最大值为 ． 【答案】 【分析】连接，将绕点逆时针旋转得到，连接，，，由等边三角形的性质和勾股定理求出，证明是等边三角形，得到，再证明，得到，得出点在以点为圆心、1 为半径的圆上运动，点圆位置关系即可得解． 【详解】解：如图所示，连接，将绕点逆时针旋转得到，连接，，， 点是等边三角形边的中点， ，， ， 由旋转的性质可得，，， 是等边三角形， ， ， ， ， ， 点在以点为圆心、1 为半径的圆上运动， 如图，    当点在线段上时，的值最小，最小值为， 当点在射线上时，有最大值，最大值为， 故答案为：，． 【点睛】本题主要考查了旋转的性质，等边三角形的性质与判定，勾股定理，全等三角形的性质与判定，点圆位置关系等知识点，熟练掌握其性质并能正确添加助线是解决此题的关键． 类型二、利用切线转化为垂线段最短问题 8．（24-25九年级上·黑龙江齐齐哈尔·期中）如图，等边三角形的边长为，的半径为，为边上一动点，过点作的切线，切点为，则的最小值为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】连接、，过点作于，由三线合一可求出的长，再利用勾股定理可求出的长，根据切线的性质得到，利用勾股定理可求出的长，然后根据垂线段最短即可得解． 【详解】解：如图，连接、，过点作于， ， 是等边三角形，且， ， ， 是的切线， ， ， ， 当取得最小值时，取得最小值， 根据垂线段最短可知，当时，最小，取得最小值，此时， 的最小值为：， 故选：． 【点睛】本题主要考查了垂线的性质，三线合一，勾股定理，切线的性质，垂线段最短等知识点，熟练掌握切线的性质及垂线段最短是解题的关键． 9．（22-23九年级下·安徽六安·阶段练习）如图，在中，，的半径为2，点P是边上的动点，过点P作的一条切线（点Q为切点），则线段长的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】首先连接，根据勾股定理知，可得当时，即线段最短，然后由勾股定理即可求得答案． 【详解】解：连接． ∵是的切线， ∴； 根据勾股定理知， ∵为定值， ∴当的值最小时，的值最小， ∴当时，线段最短， ∵在中， ， ∴， ∵， ∴， ∴． 故选：A． 【点睛】本题考查了切线的性质、等腰直角三角形的性质以及勾股定理．此题难度适中，注意掌握辅助线的作法，注意得到当时，线段最短是关键． 10．（23-24九年级上·四川南充·期末）如图，在直角坐标系中，以点为圆心，画半径的圆，点为直线上的一个动点，过点作的切线，切点为，则的最小值为（   ）    A．3 B．4 C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了圆的切线的性质、勾股定理、等腰直角三角形的判定、一次函数的应用，正确找出当时，的值最小，则取得最小值是解题关键．设直线分别与轴，轴交于点，连接，先求出，再根据圆的切线的性质可得，根据勾股定理可得，从而可得当时，的值最小，则取得最小值，然后根据等腰三角形的判定和勾股定理可求出，由此即可得． 【详解】解：如图，设直线分别与轴，轴交于点，连接，    当时，，解得，即， 当时，，即， ∴， ∵轴轴， ∴， ∵的圆心为，半径为， ∴，， ∵是的切线， ∴，即， ∴， ∴当的值最小时，取得最小值， 由垂线段最短可知，当时，的值最小， ∴此时， ∴， ∴， ∴， ∴的最小值为， 故选：B． 11．（2024·江苏苏州·一模）如图，矩形中，，与边、对角线均相切，过点作的切线，切点为，则切线长的最小值为（   ） A．6 B．7 C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了矩形的判定与性质、切线的性质、相似三角形的判定与性质，勾股定理，熟练掌握相关性质和判定，作出合适的辅助线是解题的关键．设与、分别相切于点G、H，连接、、、，连接并延长交于E，过点E作于F，过点O作于K，设，则，可证得，得出，即，求得，再运用勾股定理可得，故当时，． 【详解】设与、分别相切于点G、H，连接、、、，连接并延长交于E，过点E作于F，过点O作于K，如图， 则，， ，，， 平分， ， 四边形是矩形， ，，， ，， 平分，，， ， ， ， ， ， 设，则， ，， ， ，即， ， ，， ， 设的半径为r，则， ，， ， ，即， ， ， 四边形是矩形， ，， ， ， 是的切线， ， ， 当时，． 故选：D． 12．（2023·湖北武汉·模拟预测）如图，抛物线与x轴交于A、B两点，与y轴交于C点，⊙B的圆心为B，半径是1，点P是直线上的动点，过点P作⊙B的切线，切点是Q，则切线长的最小值是（    ）    A．8 B．10 C． D． 【答案】D 【分析】先求解点A、B、C坐标，根据题意得，推出当的长最小时，的长最小，根据垂线段最短，当时，的长最小，利用锐角三角函数求解即可求解． 【详解】解：对于， 当时，，则， 当时，由得，， ∴，， ∵过点P作⊙B的切线，切点是Q， ∴，即， ∴， ∴当的长最小时，的长最小， 根据垂线段最短，当时，的长最小，切点为，如图，    ∵，，， ∴，， ∴，则， ∴的最小值为， 故选：D． 【点睛】本题考查了二次函数与坐标系的交点问题、圆的切线性质、勾股定理、垂线段最短、解直角三角形等知识，熟练掌握圆的切线性质，得到取得最小值时点P的位置是解答的关键. 13．（25-26九年级上·广西南宁·阶段练习）如图，在中，，点为边上一点且，点为边上的动点，过点作的两条切线，切点分别为，若的半径为2，则四边形面积的最小值是 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了切线的性质、全等三角形的判定和性质、含角的直角三角形的性质、垂线段最短等知识点，掌握切线的性质得到、当的值最小时，四边形面积有最小值，最小时，的值最小是解题的关键． 如图：连接，根据切线的性质可证，，则有，当的值最小时，四边形面积有最小值，由勾股定理可得，则有最小时，的值最小，根据时，的值最小，由含30度角的直角三角形的性质求解即可． 【详解】解：如图，连接， ∵是的切线， ∴，， ∴， ∴， ∵的半径为2， ∴， ∵， ∴， ∴当的值最小时，四边形面积有最小值， 在中，， ∴， ∴最小时，的值最小， ∴当时，的值最小， ∵， ∴， ∴， ∴（负值舍去）， ∴． 故答案为：． 14．（2023·福建厦门·一模）如图，在中，，，，以C为圆心，半径为2作，点P在直线上，过点P作的切线，Q为切点，求切线长的最小值． 【答案】 【分析】如图所示，过点C作于D，连接，利用勾股定理求出，进而利用面积法求出，再根据切线的性质和勾股定理推出当时，最小，即此时最小，由此求解即可． 【详解】解：如图所示，过点C作于D，连接， 在中，由勾股定理得， ∵， ∴， ∵是的切线， ∴， 在中，由勾股定理得， ∴要使最小，则要使最小， ∵点P在直线上， ∴当时，最小，即此时最小， ∴， ∴， ∴． 【点睛】本题主要考查了切线的性质，勾股定理，正确推出当时，最小，即此时最小是解题的关键． 15．（24-25九年级上·江苏苏州·期末）如图，是的对角线，，，与射线、相切，与相切于点．若，则的最小值为        ． 【答案】 【分析】本题主要考查了切线的性质，平行四边形的性质，勾股定理，二次函数的性质，熟练掌握相关知识是解题的关键． 有切线连切点，发现是角平分线，进而得到，作垂直构造等腰直角三角形得到，进而表示出，再利用勾股定理得到，最后利用二次函数最值求解即可． 【详解】解：过作于点，设、上的切点为和，连接、、、、， 设半径为， 、、与相切， ，， ， 平分， ， ， ， 四边形是平行四边形， ，， ， ， 在中，， ， ， ， 在中， ， 在中， ， ， 当时，，此时有最小值，即， 的最小值为， 故答案为：． 16．（24-25九年级上·四川·期末）如图，在Rt中，，，以点C为圆心，2为半径作，过上的动点P作的切线，，过劣弧上一点Q作的另一条切线分别交，于点M，N，则周长的最小值为 ． 【答案】 【分析】本题考查切线长定理，勾股定理，垂线段最短，先根据切线长定理得到的周长为，然后连接，，则，即可得到当时，最小时，最小，的周长最小，然后根据勾股定理解题即可． 【详解】解：∵，，是的切线， ∴，，， ∴的周长为， 连接，，则， ∵的半径不变， ∴长随着的变化而变化， 即当最小时，最小，的周长最小； ∴当时，最小， ∵，， 这时，，且点是的中点， 则， ∴， ∴的周长最小为， 故答案为：． 类型三、将军饮马最值问题 两条线段和的最小值利用将军饮马模型直接求解. 17．（2025·山东日照·三模）如图，在正方形中，，点M、N分别是边、上的动点，且，连接、交于点E，点F是线段上的一个动点，连接、，则的最小值为（    ） A． B． C．5 D． 【答案】A 【分析】根据正方形的性质，证明，推出，则点在以为直径的圆上运动，设以为直径的圆的圆心为，过点作于点，作点关于的对称点，连接交于点，此时有最小值，等于的长，再利用勾股定理求解即可． 【详解】解：在正方形中，， ，， 又， ， ， ， ， ， 点在以为直径的圆上运动， 设以为直径的圆的圆心为，过点作于点，作点关于的对称点，连接交于点， 此时有最小值，等于的长， ， 四边形是矩形， ，， ， ， ， 即的最小值为， 故选：A． 【点睛】本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定和性质，矩形的判定和性质，点与圆上一点的最值问题，勾股定理等知识，确定点的运动轨迹是解题关键． 18．（2023·安徽安庆·一模）如图，E是边长为4的正方形的边上的一个动点，F是以为直径的半圆上的一个动点，连接，，则的最小值是 ．    【答案】 【分析】延长到点G，使得，设半圆的圆心为点O，连接交于点M，交半圆于点N，则的最小值是，根据用勾股定理计算即可． 【详解】延长到点G，使得，设半圆的圆心为点O，连接交于点M，交半圆于点N，则的最小值是， ∵E是边长为4的正方形的边上的一个动点，F是以为直径的半圆上的一个动点， ∴，， 过点O作于H， ∵边长为4的正方形， ∴， ∴四边形是矩形， ∴， ∴， 当点F与点N重合，点E与点M重合时，最小， 且．    故答案为：． 【点睛】本题考查了正方形的性质，线段和最小原理，圆的最值性质，熟练掌握线段和最小原理，圆的最值性质，是解题的关键． 19．（23-24九年级上·全国·期末）如图，在中，，于点，于点，以点为圆心，为半径作圆交于点． (1)求证：是的切线； (2)若，，在边上是否存在一点使有最小值，如果存在，请求出的最小值． 【答案】(1)见解析 (2)在边上存在一点使有最小值．的最小值为． 【分析】本题是一道圆的综合题，主要考查了圆的切线的判定与性质，等腰三角形的性质，等边三角形的判定与性质，特殊角的三角函数值，勾股定理，过点作是解题的关键． （1）过点作，利用等腰三角形的三线合一的性质和角平分线的性质证明线段半径，根据切线的定义即可得出结论； （2）延长交于点，连接交于点，利用轴对称的性质中的将军饮马模型可得点为所求的点；连接，过点作于点，利用等边三角形的判定定理可得为等边三角形，利用等腰三角形的性质与直角三角形的边角关系定理可求与的长，再利用勾股定理即可求得结论． 【详解】（1）证明：过点作与点，如图， ，， 平分， ，， ， 是圆的半径， 是圆的半径， 这样，经过半径的外端，且垂直于半径， 是的切线； （2）解：在边上存在一点使有最小值． 延长交于点，连接交于点，连接，则此时最小， 连接，过点作于点，如图， ，， 为等边三角形， ， ， ， ， 在中， ， ， 在中，， ，， ， ， 在边上存在一点使有最小值．的最小值为． 20．（2023·广西柳州·一模）如图，为的直径，为上一点，于点，为延长线上一点，． (1)求证：为的切线； (2)若，，求的半径； (3)在（2）的条件下，设为上一个动点，求的最小值． 【答案】(1)证明见解析； (2)； (3)的最小为 【分析】（1）根据已知得到，由于点，得到，从而，即，为的切线； （2）设的半径为r，利用勾股定理列方程求解即可得到答案； （3）由得到，作点关于的对称点，交于,连接交于点，连接，如图所示,此时，根据四边形是菱形，在中，，，由勾股定理即可得到，从而的最小为． 【详解】（1）证明：∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵于点， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴为的切线； （2）解：设的半径为r， 在中，，， 由勾股定理知，即， 解得； （3）解：∵，即， ∴， 作点关于的对称点，交于,连接交于点，连接，如图所示： 点关于的对称点， ,， 由垂径定理可知，即在四边形中，对角线互相垂直平分， ∴四边形是菱形， ∴，即，且， ∴， 由互相垂直平分，根据中垂线性质得， ， 在中，，， ∴，即的最小为． 【点睛】本题考查圆综合，涉及切线的判定、轴对称性质、菱形的判定与性质、勾股定理求线段长，熟练掌握几何中相关判定与性质是解决问题的关键． 21．（22-23九年级上·江苏扬州·阶段练习）如图，在中，，于点O，于点E，以点O为圆心，OE为半径作半圆，交AO于点F． (1)求证：是的切线； (2)若点F是OA的中点，，求图中阴影部分的周长； (3)在（2）的条件下，点P是BC边上的动点，当取最小值时，直接写出BP的长． 【答案】(1)见解析 (2)； (3) 【分析】（1）作于H，如图，利用等腰三角形的性质得平分，再根据角平分线性质得，然后根据切线的判定定理得到结论； （2）先确定，，再计算出，然后根据弧长公式，计算的长，即可得出阴影部分的周长进行计算； （3）作F点关于的对称点，连接交于P，如图，利用两点之间线段最短得到此时最小，通过证明得到最小值为，然后计算出和得到此时的长． 【详解】（1）证明：作于H，如图， ∵，于点O， ∴平分， ∵，， ∴， ∴是的切线； （2）解：∵点F是的中点， ∴， 而， ∴，， ∴， ∴的长为：， 图中阴影部分的周长：； （3）解：作F点关于的对称点，连接交于P，如图， ∵， ∴，此时最小， ∵， ∴， 而， ∴， ∴， ∴， 即最小值为， 在中，， 在中，， ∴， 即当取最小值时，BP的长为． 【点睛】本题考查了弧长公式，切线的判定与性质：经过半径的外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线；圆的切线垂直于经过切点的半径．判定切线时“连圆心和直线与圆的公共点”或“过圆心作这条直线的垂线”．也考查了等腰三角形的性质和最短路径问题． 22．（2024·陕西西安·模拟预测）（1）问题提出：如图，为的直径，是的切线．为上的任意一点，连接，且，，则的最小值为______； （2）问题探究：如图，，，，为内部一点，且满足．当取最小值时，求的长； （3）问题解决：如图，这是某学校为艺术节设计的矩形活动区域．已知米，米，米，其中表演舞台设计在处，观众席在上方，摄影师在点处．为了方便摄影师录像，需要满足．点处设置休息处，表演结束后从点处离开．现需要修建小路，，已知修建小路的费用为每米元，求修建小路的最少费用．（结果取整数，参考数据：） 【答案】（）；（）（）修建小路的最少费用为元． 【分析】（）连接，当点共线时最小，再由勾股定理得：即可求解； （）当点三点共线时最小，过作于点，证明，根据相似三角形的性质和勾股定理即可求解； （）找点关于对称点，当共线时，最小，根据勾股定理即可求解． 【详解】（）如图，连接， 当点共线时最小， 如图， ∵ ∴ ∵是的切线， ∴， ∴， 在中，由勾股定理得：， ∴， 故答案为：； （）如图， ∵， ∴点在以中点，长度为直径的圆上运动， 同（）理，点三点共线时最小， ∴， 过作于点， ∴， ∴， ∴，即， ∴，， ∴， 在中，由勾股定理得， 同理：； （）如图，由（）（）可知当共线时最短， 找点关于对称点， 当共线时，最小， 此时， ∵四边形是矩形， ∴米， ∴米， ∵米，米， ∴米， ∴米， 在中，由勾股定理得（米）， ∴（米）， 则修建小路的最少费用为（元）． 【点睛】本题考查了圆周角定理，相似三角形的判定与性质，切线的性质定理，勾股定理和两点之间线段最短，熟练掌握知识点的应用是解题的关键． 23．（2024·河南洛阳·模拟预测）如图，在扇形中，，平分交于点，点为半径上一动点．若阴影部分周长的最小值为，则扇形的半径的长为 ．    【答案】2 【分析】本题主要考查扇形周长的计算，轴对称最短路径的计算方法，掌握扇形弧长的计算方法，轴对称求最短路径的方法是解题的关键． 根据题意可求出，作点关于的对称点，可得最小，则扇形周长最小，由此即可求解． 【详解】解：∵平分，， ∴， 设扇形的半径， ∴的长为：， 阴影部分的周长最小为， 如图所示，作点关于的对称点，连接与交于点，此时，的值最小，即阴影部分的周长最小，    ∴， ∴， 即， 解得，， 故答案为：． 24．（24-25九年级上·黑龙江佳木斯·期末）如图，矩形中，，．为矩形内一点，连接，，且，为边上一动点，连接，，则的最小值为 ． 【答案】 【分析】本题考查了矩形的性质，圆的有关性质，勾股定理，轴对称—线段最短，作点关于的对称点，取的中点，连接，，，过点作于点，由四边形是矩形，则，，，又，，故有，通过勾股定理得，证明，所以，从而可得点在上运动，又，得出，然后代入即可求解，掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】解：如图，作点关于的对称点，取的中点，连接，，，过点作于点， ∵四边形是矩形， ∴，，， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴点在上运动， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴的最小值为， 故答案为：． 类型四、辅助圆+一箭穿心最值问题 构造中位线，找到辅助圆一箭穿心求解最小值. 25．（2024·广东惠州·模拟预测）如图，在平面直角坐标系中，直线与x轴交于点，与y轴交于点B，，点M在以点为圆心，3为半径的圆上，点N在直线上，若是的切线，则的最小值为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查切线的性质，坐标与图形，勾股定理等知识，连接由点A的坐标可求出由得，由是的切线知，由勾股定理得，因为所以当最小时最小，即时最小，运用等积法求出，代入可得结论． 【详解】解：连接如图， ∵， ∴， ∵， ∴； ∴； ∵是的切线， ∴， ∴ ∵， ∴当最小时最小，即时最小， ∵ ， 又 ∴， ∴， 故选：C 26．（2023·安徽安庆·一模）已知抛物线与x轴交于A，B两点，对称轴与x轴交于点D，点C为抛物线的顶点，以C点为圆心的半径为2，点G为上一动点，点P为的中点，则的最大值与最小值和为（ ） A． B． C． D．5 【答案】D 【分析】连接．利用三角形的中位线定理证明，求出的最大和最小值，即可解决问题． 【详解】解：如图，连接． ∵， ∴， ∴当的值最大时，的值最大，当的值最小时，的值最小， ∵， ∴， ∴， 当点G在线段的延长线上时，的值最大，最大值， 当点G在线段上时，的值最小，最小值， ∴的最大值为3.5，的最小值为1.5， ∴DP的最大值与最小值和为． 故选D． 【点睛】本题考查二次函数图象上的点的坐标特征，勾股定理，三角形中位线定理等知识，解题的关键是学会用转化的思想思考问题． 27．（24-25九年级上·河北承德·期末）如图，已知抛物线，与轴交于A，B两点，对称轴与轴交于点，以抛物线顶点为圆心，半径为2作，点为上一点，连接并取的中点，连接，则最小值为（   ） A． B． C．5 D． 【答案】B 【分析】为中点，为中点，所以是的中位线，则 ，当最小时，则最小．由圆的性质可知，当H、、三点共线，且点H在线段上时，最小,进而即可求解 【详解】解：因为为中点，为中点， 所以是的中位线，则，当最小时，则最小． 由圆的性质可知，连接交于H，此时，最小． ∵抛物线， ∴顶点， 令，则， 解得，， ∴， ∴， ∴， ∴最小值， 故选：B． 【点睛】本题主要考查了抛物线与轴的交点、三角形的中位线定理、二次函数的性质以及点与圆的位置关系等知识点，有一定难度，学会用转化的思想思考问题是解题的关键． 28．（20-21九年级上·浙江温州·阶段练习）如图，抛物线与轴交于，两点，是以点为圆心，1为半径的圆上的动点，是线段的中点，连接，，则线段的最小值是 ． 【答案】 【分析】根据抛物线与x轴交于A，B两点，可得A、B两点坐标，D是以点C（0，3）为圆心，根据勾股定理可求BC的长为，E是线段AD的中点，再根据三角形中位线，BD最小，OE就最小． 【详解】解：∵抛物线与x轴交于A，B两点， ∴A、B两点坐标为（-2，0）、（2，0）， ∵D是以点C（0，3）为圆心， 根据勾股定理，得BC=， ∵E是线段AD的中点，O是AB中点， ∴OE是三角形ABD的中位线， ∴OE=BD， 即点B、D、C共线时，BD最小，OE就最小． 如图，连接BC交圆于点D′， ∴BD′=BC-CD′= ， ∴OE′=． 所以线段OE的最小值为． 故答案为． 【点睛】本题考查了点与圆的位置关系、抛物线与x轴的交点、三角形中位线定理，解决本题的关键是点B、D、C共线问题． 29．（2023·广西南宁·一模）如图，抛物线与轴交于，两点，是以点为圆心，2为半径的圆上的动点，是线段的中点，连接，则线段的最大值是（    ） A．3 B．3.5 C．4 D．4.5 【答案】B 【分析】本题考查了点与圆的位置关系，三角形中位线，二次函数的性质．连接，如图，先求出A，B坐标，即可判断出为的中位线，得到，利用点与圆的位置关系，过圆心C时，最大，如图，点D运动到位置时，最大，然后计算出即可得到线段的最大值． 【详解】解：连接，如图， 当时，，解得， ∴， ∵E是线段的中点， ∴为的中位线， ∴， ∴当最大时，最大， 而当过圆心C时，最大，如图，点D运动到位置时，最大， ∵， ∴， ∴线段的最大值是． 故选：B． 30．（22-23九年级上·湖南长沙·期末）抛物线与轴交于两点（在左侧），其对称轴与轴交于点是以点为圆心，为半径的圆上的动点，是线段的中点，则线段的最大值与最小值的比值为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查求线段最大值，最小值的问题，关键是把求的最大值，最小值转化成求的最大值，最小值，由三角形中位线定理，把求的最大值，最小值转化成求的最大值，最小值，连接交圆于，延长交圆于，由二次函数的性质求出，的长即可． 【详解】解：连接， ∵抛物线的对称轴与轴交于点， ∴是的中点， ∵是中点， ∴是的中位线， ∴， ∴当取最大值，最小值时，取得最大值，最小值， 连接交圆于，延长交圆于， 当与重合时，长最小，当与重合时，长最大， 抛物线， ∴当时， ∴， ∴， ∴点的坐标是， ∴， ∵点的坐标是， ∴， ∴， ∵的半径是 ∴长的最大值是，最小值是， ∴的最大值是，最小值是， ∴线段的最大值与最小值的比值是， 故选：D． 类型五、阿氏圆问题 31．（2024·安徽·模拟预测）如图1，在平面直角坐标系中，二次函数的图象交轴于两点，为抛物线顶点． (1)求的值； (2)点为直线下方抛物线上一点，过点作轴，垂足为点，交于点，是否存在？若存在，求出此时点坐标；若不存在，请说明理由； (3)如图2，以为圆心，2为半径作圆，为圆上任一点，求的最小值． 【答案】(1)， (2) (3) 【分析】（1）通过长度先得到点坐标，再将两点代入函数解析式，解方程即可； （2）先求出直线的函数表达式，设出点坐标为，进而得到两点坐标，再通过列出方程，解方程即可； （3）取取，连接，，先证得，得到，进而可得到，再通过两点坐标求得长度． 【详解】（1）解：， 点坐标为， 将，代入， 得， 解得， （2）解：设直线的表达式为， 由（1）可知抛物线的表达式为， 故点坐标为， 直线的表达式为 设点坐标为， 则， ， ， 若， 则， 解得， ， 故，此时点坐标为； （3）如图，取，连接， ，，， 又， ， ， ， ， ， 故的最小值为． 【点睛】本题考查二次函数综合问题，能够熟练掌握二次函数的基本性质以及相似三角形的应用是解题关键． 32．（2024·广东广州·三模）已知，如图1，为的割线，直线与有公共点C，且．    (1)求证：①； ②直线是的切线； (2)如图2，作弦，使，连接、，，若，，求的半径； (3)如图3，若的半径为，，，，上是否存在一点Q，使得有最小值？若存在，请求出这个最小值；若不存在，说明理由． 【答案】(1)见解析 (2) (3)存在，最小值为 【分析】（1）①根据已知条件得到，推出，根据相似三角形的性质得到；②作直径，连接，则，得到，过直径的一端点，于是得到结论； （2）作直径，连接、．则，推出，得到，根据勾股定理得到，于是得到结论； （3）取中点，连接与的交点就是符合条件的点，连接、，得到，根据相似三角形的性质得到，求得，根据两点之间线段最短，即可得到结论． 【详解】（1）证明：①， ， ， ， ； ②作直径，连接，    则， ， ，， ， 经过直径的一端点， 直线是的切线； （2）解：作直径，连接、．    则， ， ， ∴， ， ， ， 在中，由勾股定理得： ， ， ； （3）解：取中点，连接与的交点就是符合条件的点， 连接、，   ， ， 的半径， ， ， ， ， ， ， 根据两点之间线段最短， 此时最小， 最小值为． ∴存在，最小值为． 【点睛】本题考查了相似三角形的判定和性质，切线的判定，线段最短，圆周角定理，勾股定理，正确的作出辅助线是解题的关键． 33．（24-25九年级上·云南昆明·期中）如图，在中，以 C 为圆心作交及其延长线于点E、D，连接， (1)求证∶是的切线； (2)求点C到的距离； (3)点 P 是上一动点， 求的最小值． 【答案】(1)见解析 (2) (3) 【分析】（1）过点作，交于点，根据含30度角的直角三角形的性质，得到，进而得到，推出为的半径，即可得证； （2）求出的长，勾股定理求出的长，过点作，等积法求出的长即可； （3）取的中点，连接，进而得到，结合，得到，进而得到，进而得到，得到，得到三点共线时，的长最小为的长，勾股定理求出的长即可． 【详解】（1）解：过点作，交于点， ∵， ∴， 在中，，， ∴， 由题意，可知：为的直径， ∴， ∴， ∴为的半径， 又∵， ∴是的切线； （2）∵ ∴， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， 过点作， 则：，即：， ∴， ∴点C到的距离为； （3）取的中点，连接，则：，， ∴， ∵， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴当三点共线时，有最小值为的长， ∵，，由（2）知， ∴， ∴的最小值为． 【点睛】本题考查切线的判定，含30度的直角三角形，勾股定理，相似三角形的判定和性质，熟练掌握切线的判定方法，添加辅助线，构造相似三角形，是解题的关键． 34．（2023·江苏盐城·模拟预测）如图，点P在y轴上，交x轴于A，B两点，连接并延长交于C，过点C的直线交x轴于D，交y轴于点E，且的半径为，． (1)写出点B，P，C的坐标； (2)求证：是的切线； (3)上有一动点M，求的最小值． 【答案】(1) (2)见解析 (3) 【分析】（1）根据垂径定理求出B点坐标，根据勾股定理得出P点，根据全等或相似求出C点； （2）只需证明，即，故证明，进而求得； （3）在上截取，进而证明，得出，进而根据三角形三边关系找出M点使其最小． 【详解】（1）解：如图1， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， 作于H， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴； （2）解：∵过， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， 在中，， ∴， ∴， ∴是的切线； （3）解：如图2， 由得：， ∴ 在上截取， 在中，， ∴， ∵，， ∴， 又， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴当D、M．I共线时，最小值为， 即最小值为， ∵， ∴的最小值为 ． 【点睛】本题考查了圆的有关性质及与圆有关的位置关系，相似三角形的判定和性质，三角形三边关系等知识，解决问题的关键是 构造相似三角形． 35．（2025·吉林长春·二模）【模型认知】“阿氏圆”，是阿波罗尼斯圆的简称，已知在平面内两点A、B，则所有满足的点P的轨迹是一个圆，这个轨迹最早由古希腊数学家阿波罗尼斯发现，故称“阿氏圆”．如图①，在中， ，⊙C的半径为2，P为圆上一动点，求最小值． 第一步：如图②，连结圆心C与动点P； 第二步：以半径为公共边，构造“母子”型相似． 第三步：计算的长度，由可得，即． 第四步：，如图③，当A、P、M三点共线时最小，此时 ______． 【模型探究】如图④，在中， ，D为上一点，小明同学认为当时，的长是长的一半，于是给出如下证明： ∵， ∴ 证明过程缺失 ∴ ∴ 请补全缺失的证明过程． 【模型应用】如图⑤，在扇形中， ，点P为扇形上一动点，则的最小值为______． 【答案】【模型认知】；【模型探究】见解析；【模型应用】13 【分析】本题主要考查了圆的有关性质，相似三角形的判定与性质，直角三角形的性质，勾股定理，两点之间，线段最短，本题是阅读型题目，熟练掌握题干中的方法并熟练应用是解题的关键． 模型认知：连结圆心C与动点P，以半径为公共边，构造“母子”型相似，利用相似三角形的判定与性质求得，则当A、P、M三点共线时最小，利用勾股定理解答即可； 模型探究：利用相似三角形的判定与性质解答即可； 模型应用：延长至点E使，连接，利用相似三角形的判定与性质得到，则，当点E，P，B在一条直线上时，为线段，利用勾股定理解答即可得出结论． 【详解】解：模型认知：连结圆心C与动点P，以半径为公共边，构造“母子”型相似，如图， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴ ∴． ∴， ∴当A、P、M三点共线时最小，如图， ∵， 此时． 故答案为：； 模型探究：证明：∵， ∴ ∴， 又， ∴， ∴， ∴． 模型应用：解：延长至点E使，连接，如图， 则， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴． ∴当点E，P，B在一条直线上时，最短为线段， ∴的最小值． ∴的最小值为13． 故答案为：13． 类型六、瓜豆模型 瓜豆原理运用满足的三个条件(“一定两动、定角、定比”)； ①有一个定点、两个动点，且一个动点(从动点)因另一个动点(主动点)的运动而随之运动； ②两个动点与定点所连线组成的夹角是定角; ③两个动点到定点的距离的比值是定值. 36．（2024·安徽·模拟预测）如图，是正方形的边的中点，是正方形内一点，连接，将线段以为中心逆时针旋转得到线段．连接．若，，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了正方形的性质，旋转的性质，勾股定理，动点产生的线段最小值问题，掌握相关的性质，根据题意找出动点的运动轨迹是解题的关键．连接，将以为中心，逆时针旋转，点的对应点为，由 的运动轨迹是以为圆心，为半径的半圆，可得：的运动轨迹是以为圆心，为半径的半圆，再根据“圆外一定点到圆上任一点的距离，在圆心、定点、动点，三点共线时定点与动点之间的距离最短”，所以当、、三点共线时，的值最小，可求，从而可求解． 【详解】解，如图，连接，将以为中心，逆时针旋转，点的对应点为， 的运动轨迹是以为圆心，为半径的半圆， 的运动轨迹是以为圆心，为半径的半圆， 如图，当、、三点共线时，的值最小， 四边形是正方形， ，， 是的中点， ， ， 由旋转得：， ， ， 的值最小为． 故选：B． 37．（2023·四川达州·中考真题）在中，，，在边上有一点，且，连接，则的最小值为 ． 【答案】 【分析】如图，作的外接圆，圆心为，连接、、，过作于，过作，交的垂直平分线于，连接、、，以为圆心，为半径作圆；结合圆周角定理及垂径定理易得，再通过圆周角定理、垂直及垂直平分线的性质、三角形内角和定理易得，从而易证可得即勾股定理即可求得在中由三角形三边关系即可求解． 【详解】解：如图，作的外接圆，圆心为，连接、、，过作于，过作，交的垂直平分线于，连接、、，以为圆心，为半径作圆； ，为的外接圆的圆心， ，， ， ， ， ， 在中， ， ， ， 即， 由作图可知，在的垂直平分线上， ， ， 又为的外接圆的圆心， ， ， ， ， ， ， ， 即， ， 在中， ， 在中， ， 即最小值为， 故答案为：．    【点睛】本题考查了圆周角定理，垂径定理，勾股定理解直角三角形，相似三角形的判定和性质，垂直平分线的性质，角所对的直角边等于斜边的一半，三角形三边之间的关系；解题的关键是结合的外接圆构造相似三角形． 38．（24-25九年级上·江苏连云港·阶段练习）如图，在等腰直角三角形中，，点在以斜边为直径的圆上，为的中点．当点沿圆从点开始运动一周时，长度的最小值是 ． 【答案】 【分析】本题考查了点与圆的关系，圆周角定理，勾股定理，明确点在以为直径的圆上是解题的关键．取的中点，连接，推出，得到点在以为直径的圆上，设圆心为，连接，当、、共线时，最小，根据等腰三角形的性质得到，然后利用勾股定理求出，即可求解． 【详解】解：如图，取的中点，连接， 为的中点， ， ， 点在以为直径的圆上，设圆心为，连接，当、、共线时，最小， 在等腰直角三角形中，， ， ， ， ，， ， ， 的最小值是， 故答案为：． 39．（2024九年级上·浙江·专题练习）如图，是中的两条弦，相交于点E，且，，点H为劣弧上一动点，G为中点，若，，连接，则最小值为 ．    【答案】 【分析】连接，过点O作，交于点K，，交于点F，构造正方形，计算圆的半径，然后作的中点M，连接，，推导出点G的运动轨迹是以M为圆心的圆，连接与圆M的交点就是的最小值．进而求解即可． 【详解】解：如图所示，连接，过点O作，交于点K，，交于点F，    ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵，，， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∵， ∴四边形是正方形， ∴， ∴，， 如图所示，作的中点M，连接，，    ∵点M是的中点，G为中点， ∴， ∴点G在以点M为圆心，以为半径的圆上运动， 连接交于点，过点M作于N， ∴当点A，G，M三点共线时，即点G和点重合时，的值最小， ∵点M是的中点，， ∵，， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∴， ∴， 则， ∴的最小值为 ， 故答案为：． 【点睛】本题考查圆的综合，涉及垂径定理、勾股定理、全等三角形的判定与性质、角平分线的性质、正方形的判定与性质、等腰直角三角形的判定与性质、三角形的中位线定理等知识，正确添加辅助线构造直角三角形，得到点G的运动轨迹是解答的关键． 40．（2024·浙江·模拟预测）如图，为的直径，，D为弧上一动点，连结，作交于E，连结． （1）当D为弧的中点时， ； （2）当D在弧上运动时，的最小值为 ． 【答案】 【分析】（1）利用垂径定理结合勾股定理求出，证明，即可解答； （2）过B作垂线交延长于G，设以为直径的圆的圆心为H，连接，证明点四点共圆，则可得E在以为直径的一段圆弧上．当点三点共线时，有最小值，，求出，再利用三角形中位线求出即可求解． 【详解】解：（1）连接， ∵D为的中点， ∴， ∴F为中点． ∵为直径， ∴， ∴， ∴． ∵O为中点，F为中点， ∴， ∴， ∴． ∵， ∴． ∵， ∴． ∴， ∴， ∴． （2）过B作垂线交延长于G，设以为直径的圆的圆心为H，连接， ， ∴， ， ，， ， 点四点共圆，则可得E在以为直径的一段圆弧上． 当点三点共线时，有最小值， ∵，， ， ， ， ， ∴． ， ∴． ∴， ∴． ∵点O，点H分别是中点， ∴是的中位线， ∴， ∴的最小值为， 故答案为：，． 【点睛】本题考查了垂径定理，圆周角定理，相似三角形的判定与性质，勾股定理，点到圆上的距离，四点共圆，正确作出辅助线是解题的关键． 1．（25-26九年级上·江苏镇江·阶段练习）【模型建立】 如图①、②，点分别在圆外、在圆内，直线分别交圆于点，则是点到圆上的点的最短距离，是点到圆上的点的最长距离． 【问题解决】 (1)已知点到圆上的点的最短距离为3，最长距离为7．则圆的半径为______． (2)如图③，在中，，，．点在边上，且，动点在半径为2的圆上，则的最小值是______． (3)如图④，点，动点在以为圆心，为半径的圆上，的中点为，则线段的最大值为______． (4)如图⑤，正方形中，点分别为上的动点，且，，交于，点为的中点，点为上一个动点，连接．若，则的最小值为______． 【答案】(1)2或5 (2) (3) (4) 【分析】（1）分两种情况：若点在圆外，若点P在圆内，即可求解； （2）连接，交圆E于点D，则的最小值是的长，根据勾股定理即可求出，进而得到的长，即可解答； （3）取点，连接，可得是的中位线，从而得到当线段取得最大值时，线段也取得最大值，连接，并延长交圆P于点，当点B位于点时，线段有最大值，根据点P，点D的坐标与圆P的半径即可求出的长，进而即可解答； （4）证明，可得，从而得到，进而得到点E在以为直径的圆上运动；取的中点O，作点F关于的对称点H，连接，可得到当E，P，H三点共线时，有最小值，即此时有最小值，最小值为的长，当O，P，E三点共线时，有最小值，即此时有最小值，再求出的长，从而得到的长，进而得到的最小值，即可求解． 【详解】（1）解：如图①，若点在圆外，此时， ∴， ∴圆的半径为2； 如图②，若点P在圆内，此时， ∴， ∴圆的半径为5； 综上所述，圆的半径为2或5； 故答案为：2或5 （2）解：如图，连接，交圆E于点D， 由【模型建立】得：可得的长是点A到圆E上的点的最短距离， 在中，， ∴， ∴， ∴的最小值为； 故答案为： （3）解：取点，连接， ∵点， ∴点A为线段的中点， ∵点C为线段的中点， ∴， ∴当线段取得最大值时，线段也取得最大值， 连接，并延长交圆P于点， ∴当点B位于点时，线段有最大值， ∵， ∴， ∵圆P的半径为，即， ∴， ∴线段有最大值为， ∴线段的最大值为； 故答案为： （4）解：∵四边形是正方形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴点E在以为直径的圆上运动； 如图，取的中点O，作点F关于的对称点H，连接， ∴， ∴， ∴当E，P，H三点共线时，有最小值，即此时有最小值，最小值为的长， ∴当O，P，E三点共线时，有最小值，即此时有最小值， ∵点F为的中点， ∴， ∴， ∴， ∴的最小值为， ∴的最小值为． 故答案为： 【点睛】本题主要考查了一点到圆上一点的距离的最值问题，勾股定理，正方形的性质全等三角形的性质与判定，三角形三边的关系，坐标与图形，三角形中位线定理，正确理解一点到圆上一点的距离取值最值的情形是解题的关键． 2．（25-26九年级上·江苏盐城·阶段练习）【问题情境】 （1）点A是外一点，点P是上一动点．若的半径为3，且，则点P到点A的最短距离为______． 【直接运用】 （2）如图1，在中，，，以为直径的半圆交于D，P是弧上的一个动点，连接，则的最小值是______． 【构造运用】 （3）如图2，已知正方形的边长为8，点M、N分别从点B、C同时出发，以相同的速度沿边方向向终点C和D运动，连接和交于点P，则点P到点C的最短距离，并说明理由． 【灵活运用】 （4）如图3，的半径为6，弦，点C为优弧上一动点，交直线于点M，则的面积最大值是______． 【答案】（1）2（2）（3），理由见解析（4） 【分析】（1）当点P是与的交点时，为最短，故可求解； （2）找到中点O，当A、P、O在同一直线上时，点P到点A的距离最短，故可求解； （3）先证明，再得到，得到P的运动轨迹，再根据圆外的点与圆的位置关系特点即可求解； （4）先求出，要想的面积最大，则需要点M到的距离最大，根据圆周角与圆心角的关系作，根据三线合一得到是等边三角形，故可求出此时的面积． 【详解】解：（1）∵点A是外一点，点P是上一动点．的半径为3，且， 当点P是线段与的交点时，为最短， 此时， 则点P到点A的最短距离为2； （2）如图，连接， 当点P是线段与的交点时，为最短， 当A、P、O在同一直线上时，点P到点A的距离最短， ∵，以为直径的半圆交于D，P是弧上的一个动点， ∴， ∵， ∴在中，， ∴的最小值为 故答案为：； （3）点P到点C的最短距离为，理由如下： ∵四边形是正方形， ∴，， ∵点M、N分别从点B、C同时出发，以相同的速度沿边方向向终点C和D运动， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 故点P在以为直径的圆上运动，连接，与的交点，此交点P即为最小时的位置； ∵正方形的边长为8， ∴， 则 ∴在中，， ∴的最小值； （4）连接， ∵的半径为6，弦， ∴， ∴是等边三角形， ∴， ∵弧弧 ∴， ∵ ∴ ∵，要使面积最大，则点到的距离最大， 如图，∵，弧弧 ∴点M在以的上， 当时，点M到的距离最大, ∵ ∴是等边三角形， ∴结合三线合一，点到的距离 ∴的最大面积为 【点睛】此题主要考查圆的综合问题，点与圆的位置关系，全等三角形的判定与性质、垂径定理及圆周角定理的应用，等边三角形的判定与性质，勾股定理，正确掌握相关性质内容是解题的关键． 3．（24-25九年级上·安徽合肥·期末）数学兴趣小组开展探究活动，针对九年级上册数学教材习题24.1的第14题进行了深入研究． 【书本原题】如图，是上的四个点，．判断的形状，并证明你的结论． 小红证明如下： 如图1，在中，， …… （1）请你帮他完成后面的证明过程． 【深入探究】 （2）小红在完成此题后，他发现线段，他的发现正确吗？试说明理由． 【应用实践】 （3）如图2，若点是的中点，点在上移动的过程中，小红发现线段的长度一定存在最小值．若的半径为2，请你求出线段的最小值． 【答案】（1）是等边三角形，证明见解析；（2）正确，理由见解析；（3） 【分析】（1）根据同弧或等弧所对圆周角相等得到，，再根据三角形内角和定理得到，结合等边三角形的定义即可求解； （2）在上截取，可得为等边三角形，再证，得到，由此即可求解； （3）点在上移动过程中，点在以为直径的圆上运动，设圆心为，则当点B、M、F共线，且点在线段上时，最小，如图，连接，过点作于点，过点作于点，可得，，，在Rt中由勾股定理可得，由此即可求解． 【详解】解：（1）是等边三角形，理由如下： 在中，， ，， ， ∴是等边三角形． （2），理由如下： 在上截取，如图： ， 为等边三角形， ，， 在和中， ， ， ，即． （3）∵点是的中点， 点在上移动过程中，点在以为直径的圆上运动，设圆心为，则当点B、M、F共线，且点在线段上时，最小， 如图，连接，过点作于点，过点作于点， 等边是的内接正三角形， 平分，平分， ， 的半径为2， ， ，，， ，，， ， 在Rt中，， ． 【点睛】本题主要考查圆的基础知识，全等三角形的判定和性质，等边三角形的判定和性质，勾股定理等知识的综合运用，掌握以上知识，数形结合分析是解题的关键． 4．（20-21九年级上·江苏宿迁·期末）问题提出：如图①，在中，，，，的半径为，为圆上一动点，连接，求的最小值． (1)尝试解决：为了解决这个问题，下面给出一种解题思路：如图①，连接，在上取一点，使，则．又，所以．所以．所以，所以．请你完成余下的思考，并直接写出答案：的最小值为 ； (2)自主探索：在“问题提出”的条件不变的前提下，求的最小值； (3)拓展延伸：如图②，已知在扇形COD中，，，，，是上一点，求的最小值． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）利用勾股定理即可求得本题答案； （2）连接，在上取点，使，则有，可证，得到，即，从而的最小值为； （3）延长到点，使，连接，可证，得到，得到，当三点共线时，得到最小值． 【详解】（1）解：如图连接， ∵，要使最小， ∴当最小，当点在同一条直线时，最小， ∴的最小值为， 在中，，， ∴， ∴的最小值为， 故答案为：； （2）解：如图连接，在上取点，使， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴的最小值为， 故答案为：； （3）解：如图延长到点，使， ∴， 连接， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴当三点共线时，取得最小值：， 故答案为：． 【点睛】本题考查勾股定理，相似三角形判定及性质，最值得确定． 5．（2025·陕西咸阳·模拟预测）（1）如图①，在中，，，已知的半径为2，且与两直角边相切，E是上一点，连接AE，求的最小值； （2）如图②，为某大型工厂的两条平行主干道，两条主干道间距为，还有一条圆弧状的会车道，点A在上，点D在上，且恰好与主干道相切．为了提升加工效率，工厂管理人员计划在主干道之间、会车道下方建立一个筛选中心点F，在主干道上分别修建岔道口B，C，在会车道上修建一个车辆分流岔道口E．已知所对圆心角为，，，若从筛选中心F到岔道口B、C，E修建三条笔直的道路，修建道路的成本为3000元/m，那么修建这三条道路至少需要多少元？（筛选中心大小忽略不计，结果保留根号） 【答案】（1）的最小值为；（2）至少需要元． 【分析】（1）连接交于点，此时最小，最小值为，根据切线的性质结合勾股定理求解即可； （2）过点作交于点，证明四边形为矩形，求得，同（1）点到的最小距离为，将绕点顺时针旋转至，推出为等边三角形，当点、、、在同一条直线上时，最小，也即最小，也即最小(两点之间线段最短)，过点作交延长线于点，据此求解即可． 【详解】解：（1）连接交于点， 此时最小，最小值为， 过点作，，垂足分别为，， ∵， ∴四边形是矩形， ∵的半径为2，且与两直角边相切， ∴， ∴四边形是正方形， ∴， ∴， ∴， ∴的最小值为； （2）过点作交于点， 设的圆心为， ∵恰好与主干道相切， ∴点在上， ∴， ∵， ∴，连接， ∴，， ∴， ∴， ∵， ∴，， 连接， ∴， ∴， ∵， ∴， 连接，， ∴四边形为平行四边形， ∵， ∴四边形为矩形， ∴， ∵同（1）点到的最小距离为， ∴此时问题转化为内一点下到三个顶点最短距离问题， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， 将绕点顺时针旋转至， ∴， ∴，，， ∴为等边三角形， ∴， ∴， 当点、、、在同一条直线上时，最小， 也即最小，也即最小(两点之间线段最短)， 连接，则为的最小值， ∵，， ∴， ∵， ∴， 过点作交延长线于点， ∴， ∴，∴， ∴，， ∴， ∴， ∴这三条路的最短距离为， ∴至少需要元． 【点睛】本题考查了切线的性质，矩形的判定和性质，解直角三角形，直角三角形的性质，勾股定理，点到圆的最短距离．作出合适的辅助线是解题的关键． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题03 圆中最值问题 目录 2 类型一、圆上一点到直线的最小距离问题 2 类型二、利用切线转化为垂线段最短问题 4 类型三、将军饮马最值问题 6 类型四、辅助圆+一箭穿心最值问题 9 类型五、阿氏圆问题 12 类型六、瓜豆模型 15 15 类型一、圆上一点到直线的最小距离问题 1．（2025·安徽合肥·一模）如图，在中，，为边上的动点，过作于点，连接并延长交于点．当取得最小值时，则的长为（   ） A． B． C． D． 2．（2024·安徽蚌埠·二模）如图，在正方形中，，M，N分别为边 ， 的中点，E为边上一动点，以点 E为圆心，的长为半径画弧，交 于点F，P为的中点，Q为线段上任意一点，则 长度的最小值为（    ）    A． B． C． D． 3．（23-24九年级上·安徽阜阳·阶段练习）如图，在矩形中，是矩形内一动点，且满足，则线段的最小值是（    ） A． B． C．8 D．5 4．（23-24九年级上·安徽阜阳·期中）如图，在中，是中点，是内一动点，且满足，则的最小值是（    ）      A． B． C． D． 5．（2023·安徽淮北·一模）如图，矩形中，，，点P是矩形内一点，连接，，，若，则的最小值为（    ） A． B． C．2 D．4 6．（24-25九年级下·安徽合肥·期中）如图，矩形中，，，是射线上一点，是上一点，且． （1）的值为 ； （2）连接，当取最小值时，的长为 ． 7．（2025·河南信阳·三模）如图，M是等边三角形的边的中点，P是平面内一点，连接，将线段以点A为中心逆时针旋转，得到线段，连接．若，点M，P之间的距离为1，则的最小值为 ，的最大值为 ． 类型二、利用切线转化为垂线段最短问题 8．（24-25九年级上·黑龙江齐齐哈尔·期中）如图，等边三角形的边长为，的半径为，为边上一动点，过点作的切线，切点为，则的最小值为（   ） A． B． C． D． 9．（22-23九年级下·安徽六安·阶段练习）如图，在中，，的半径为2，点P是边上的动点，过点P作的一条切线（点Q为切点），则线段长的最小值为（    ） A． B． C． D． 10．（23-24九年级上·四川南充·期末）如图，在直角坐标系中，以点为圆心，画半径的圆，点为直线上的一个动点，过点作的切线，切点为，则的最小值为（   ）    A．3 B．4 C． D． 11．（2024·江苏苏州·一模）如图，矩形中，，与边、对角线均相切，过点作的切线，切点为，则切线长的最小值为（   ） A．6 B．7 C． D． 12．（2023·湖北武汉·模拟预测）如图，抛物线与x轴交于A、B两点，与y轴交于C点，⊙B的圆心为B，半径是1，点P是直线上的动点，过点P作⊙B的切线，切点是Q，则切线长的最小值是（    ）    A．8 B．10 C． D． 13．（25-26九年级上·广西南宁·阶段练习）如图，在中，，点为边上一点且，点为边上的动点，过点作的两条切线，切点分别为，若的半径为2，则四边形面积的最小值是 ． 14．（2023·福建厦门·一模）如图，在中，，，，以C为圆心，半径为2作，点P在直线上，过点P作的切线，Q为切点，求切线长的最小值． 15．（24-25九年级上·江苏苏州·期末）如图，是的对角线，，，与射线、相切，与相切于点．若，则的最小值为        ． 16．（24-25九年级上·四川·期末）如图，在Rt中，，，以点C为圆心，2为半径作，过上的动点P作的切线，，过劣弧上一点Q作的另一条切线分别交，于点M，N，则周长的最小值为 ． 类型三、将军饮马最值问题 两条线段和的最小值利用将军饮马模型直接求解. 17．（2025·山东日照·三模）如图，在正方形中，，点M、N分别是边、上的动点，且，连接、交于点E，点F是线段上的一个动点，连接、，则的最小值为（    ） A． B． C．5 D． 18．（2023·安徽安庆·一模）如图，E是边长为4的正方形的边上的一个动点，F是以为直径的半圆上的一个动点，连接，，则的最小值是 ．    19．（23-24九年级上·全国·期末）如图，在中，，于点，于点，以点为圆心，为半径作圆交于点． (1)求证：是的切线； (2)若，，在边上是否存在一点使有最小值，如果存在，请求出的最小值． 20．（2023·广西柳州·一模）如图，为的直径，为上一点，于点，为延长线上一点，． (1)求证：为的切线； (2)若，，求的半径； (3)在（2）的条件下，设为上一个动点，求的最小值． 21．（22-23九年级上·江苏扬州·阶段练习）如图，在中，，于点O，于点E，以点O为圆心，OE为半径作半圆，交AO于点F． (1)求证：是的切线； (2)若点F是OA的中点，，求图中阴影部分的周长； (3)在（2）的条件下，点P是BC边上的动点，当取最小值时，直接写出BP的长． 22．（2024·陕西西安·模拟预测）（1）问题提出：如图，为的直径，是的切线．为上的任意一点，连接，且，，则的最小值为______； （2）问题探究：如图，，，，为内部一点，且满足．当取最小值时，求的长； （3）问题解决：如图，这是某学校为艺术节设计的矩形活动区域．已知米，米，米，其中表演舞台设计在处，观众席在上方，摄影师在点处．为了方便摄影师录像，需要满足．点处设置休息处，表演结束后从点处离开．现需要修建小路，，已知修建小路的费用为每米元，求修建小路的最少费用．（结果取整数，参考数据：） 23．（2024·河南洛阳·模拟预测）如图，在扇形中，，平分交于点，点为半径上一动点．若阴影部分周长的最小值为，则扇形的半径的长为 ．    24．（24-25九年级上·黑龙江佳木斯·期末）如图，矩形中，，．为矩形内一点，连接，，且，为边上一动点，连接，，则的最小值为 ． 类型四、辅助圆+一箭穿心最值问题 构造中位线，找到辅助圆一箭穿心求解最小值. 25．（2024·广东惠州·模拟预测）如图，在平面直角坐标系中，直线与x轴交于点，与y轴交于点B，，点M在以点为圆心，3为半径的圆上，点N在直线上，若是的切线，则的最小值为（   ） A． B． C． D． 26．（2023·安徽安庆·一模）已知抛物线与x轴交于A，B两点，对称轴与x轴交于点D，点C为抛物线的顶点，以C点为圆心的半径为2，点G为上一动点，点P为的中点，则的最大值与最小值和为（ ） A． B． C． D．5 27．（24-25九年级上·河北承德·期末）如图，已知抛物线，与轴交于A，B两点，对称轴与轴交于点，以抛物线顶点为圆心，半径为2作，点为上一点，连接并取的中点，连接，则最小值为（   ） A． B． C．5 D． 28．（20-21九年级上·浙江温州·阶段练习）如图，抛物线与轴交于，两点，是以点为圆心，1为半径的圆上的动点，是线段的中点，连接，，则线段的最小值是 ． 29．（2023·广西南宁·一模）如图，抛物线与轴交于，两点，是以点为圆心，2为半径的圆上的动点，是线段的中点，连接，则线段的最大值是（    ） A．3 B．3.5 C．4 D．4.5 30．（22-23九年级上·湖南长沙·期末）抛物线与轴交于两点（在左侧），其对称轴与轴交于点是以点为圆心，为半径的圆上的动点，是线段的中点，则线段的最大值与最小值的比值为（   ） A． B． C． D． 类型五、阿氏圆问题 31．（2024·安徽·模拟预测）如图1，在平面直角坐标系中，二次函数的图象交轴于两点，为抛物线顶点． (1)求的值； (2)点为直线下方抛物线上一点，过点作轴，垂足为点，交于点，是否存在？若存在，求出此时点坐标；若不存在，请说明理由； (3)如图2，以为圆心，2为半径作圆，为圆上任一点，求的最小值． 32．（2024·广东广州·三模）已知，如图1，为的割线，直线与有公共点C，且．    (1)求证：①； ②直线是的切线； (2)如图2，作弦，使，连接、，，若，，求的半径； (3)如图3，若的半径为，，，，上是否存在一点Q，使得有最小值？若存在，请求出这个最小值；若不存在，说明理由． 33．（24-25九年级上·云南昆明·期中）如图，在中，以 C 为圆心作交及其延长线于点E、D，连接， (1)求证∶是的切线； (2)求点C到的距离； (3)点 P 是上一动点， 求的最小值． 34．（2023·江苏盐城·模拟预测）如图，点P在y轴上，交x轴于A，B两点，连接并延长交于C，过点C的直线交x轴于D，交y轴于点E，且的半径为，． (1)写出点B，P，C的坐标； (2)求证：是的切线； (3)上有一动点M，求的最小值． 35．（2025·吉林长春·二模）【模型认知】“阿氏圆”，是阿波罗尼斯圆的简称，已知在平面内两点A、B，则所有满足的点P的轨迹是一个圆，这个轨迹最早由古希腊数学家阿波罗尼斯发现，故称“阿氏圆”．如图①，在中， ，⊙C的半径为2，P为圆上一动点，求最小值． 第一步：如图②，连结圆心C与动点P； 第二步：以半径为公共边，构造“母子”型相似． 第三步：计算的长度，由可得，即． 第四步：，如图③，当A、P、M三点共线时最小，此时 ______． 【模型探究】如图④，在中， ，D为上一点，小明同学认为当时，的长是长的一半，于是给出如下证明： ∵， ∴ 证明过程缺失 ∴ ∴ 请补全缺失的证明过程． 【模型应用】如图⑤，在扇形中， ，点P为扇形上一动点，则的最小值为______． 类型六、瓜豆模型 瓜豆原理运用满足的三个条件(“一定两动、定角、定比”)； ①有一个定点、两个动点，且一个动点(从动点)因另一个动点(主动点)的运动而随之运动； ②两个动点与定点所连线组成的夹角是定角; ③两个动点到定点的距离的比值是定值. 36．（2024·安徽·模拟预测）如图，是正方形的边的中点，是正方形内一点，连接，将线段以为中心逆时针旋转得到线段．连接．若，，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 37．（2023·四川达州·中考真题）在中，，，在边上有一点，且，连接，则的最小值为 ． 38．（24-25九年级上·江苏连云港·阶段练习）如图，在等腰直角三角形中，，点在以斜边为直径的圆上，为的中点．当点沿圆从点开始运动一周时，长度的最小值是 ． 39．（2024九年级上·浙江·专题练习）如图，是中的两条弦，相交于点E，且，，点H为劣弧上一动点，G为中点，若，，连接，则最小值为 ．    40．（2024·浙江·模拟预测）如图，为的直径，，D为弧上一动点，连结，作交于E，连结． （1）当D为弧的中点时， ； （2）当D在弧上运动时，的最小值为 ． 1．（25-26九年级上·江苏镇江·阶段练习）【模型建立】 如图①、②，点分别在圆外、在圆内，直线分别交圆于点，则是点到圆上的点的最短距离，是点到圆上的点的最长距离． 【问题解决】 (1)已知点到圆上的点的最短距离为3，最长距离为7．则圆的半径为______． (2)如图③，在中，，，．点在边上，且，动点在半径为2的圆上，则的最小值是______． (3)如图④，点，动点在以为圆心，为半径的圆上，的中点为，则线段的最大值为______． (4)如图⑤，正方形中，点分别为上的动点，且，，交于，点为的中点，点为上一个动点，连接．若，则的最小值为______． 2．（25-26九年级上·江苏盐城·阶段练习）【问题情境】 （1）点A是外一点，点P是上一动点．若的半径为3，且，则点P到点A的最短距离为______． 【直接运用】 （2）如图1，在中，，，以为直径的半圆交于D，P是弧上的一个动点，连接，则的最小值是______． 【构造运用】 （3）如图2，已知正方形的边长为8，点M、N分别从点B、C同时出发，以相同的速度沿边方向向终点C和D运动，连接和交于点P，则点P到点C的最短距离，并说明理由． 【灵活运用】 （4）如图3，的半径为6，弦，点C为优弧上一动点，交直线于点M，则的面积最大值是______． 3．（24-25九年级上·安徽合肥·期末）数学兴趣小组开展探究活动，针对九年级上册数学教材习题24.1的第14题进行了深入研究． 【书本原题】如图，是上的四个点，．判断的形状，并证明你的结论． 小红证明如下： 如图1，在中，，…… （1）请你帮他完成后面的证明过程． 【深入探究】（2）小红在完成此题后，他发现线段，他的发现正确吗？试说明理由． 【应用实践】（3）如图2，若点是的中点，点在上移动的过程中，小红发现线段的长度一定存在最小值．若的半径为2，请你求出线段的最小值． 4．（20-21九年级上·江苏宿迁·期末）问题提出：如图①，在中，，，，的半径为，为圆上一动点，连接，求的最小值． (1)尝试解决：为了解决这个问题，下面给出一种解题思路：如图①，连接，在上取一点，使，则．又，所以．所以．所以，所以．请你完成余下的思考，并直接写出答案：的最小值为 ； (2)自主探索：在“问题提出”的条件不变的前提下，求的最小值； (3)拓展延伸：如图②，已知在扇形COD中，，，，，是上一点，求的最小值． 5．（2025·陕西咸阳·模拟预测）（1）如图①，在中，，，已知的半径为2，且与两直角边相切，E是上一点，连接AE，求的最小值； （2）如图②，为某大型工厂的两条平行主干道，两条主干道间距为，还有一条圆弧状的会车道，点A在上，点D在上，且恰好与主干道相切．为了提升加工效率，工厂管理人员计划在主干道之间、会车道下方建立一个筛选中心点F，在主干道上分别修建岔道口B，C，在会车道上修建一个车辆分流岔道口E．已知所对圆心角为，，，若从筛选中心F到岔道口B、C，E修建三条笔直的道路，修建道路的成本为3000元/m，那么修建这三条道路至少需要多少元？（筛选中心大小忽略不计，结果保留根号） 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $