第05讲 确定二次函数的表达式（知识详解+3典例分析+习题巩固）【满分全攻略备考系列】2025-2026学年北师大版数学九年级下册重难点讲义与测试

第05讲 确定二次函数的表达式（知识详解+3典例分析+习题巩固） 知识详解 知识点01：用待定系数法求二次函数的表达式 知识点02：二次函数的简单应用 典例分析 （举三反三） 考点1：利用待定系数法求二次函数的表达式 考点2：求抛物线关于点或直线对称的抛物线的表达式 考点3：二次函数的综合 习题巩固 一、单选题（7） 二、填空题（6） 三、解答题（5） 【知识点01】用待定系数法求二次函数的表达式 1. 常见的二次函数表达式的适用条件： (1)一般式y=ax2+bx+c(a，b，c 为常数，a ≠ 0)，已知抛物线上三点的坐标； (2)顶点式y=a(x－h)2+k(a，h，k 为常数，a ≠ 0)，已知抛物线的顶点坐标或对称轴或最大(小)值； (3)交点式y=a(x－x1)(x－x2)(a，x1，x2 为常数，a ≠ 0)，已知抛物线与x 轴的两个交点(x1，0)，(x2，0). 2. 用待定系数法求二次函数表达式的步骤： (1)设：根据题中已知条件，合理设出二次函数的表达式. (2)代：把已知点的坐标代入所设的二次函数表达式中，得到关于表达式中待定系数的方程或方程组. (3)解：解此方程或方程组，求出待定系数的值. (4)还原：将求出的待定系数还原到表达式中，求得表达式. 【知识点02】二次函数的简单应用 根据实际问题求二次函数表达式的步骤： (1)先通过已知条件确定抛物线所经过的点的坐标； (2)根据题意设出合适的二次函数表达式； (3)用待定系数法和方程思想求出待定系数的值，从而确定二次函数的表达式. 【题型一】利用待定系数法求二次函数的表达式 【典例1-1】（24-25九年级上·北京·期中）请写出一个开口向上，顶点坐标是的抛物线表达式 ． 【典例1-2】（24-25九年级下·贵州黔东南·阶段练习）二次函数的图象经过，两点，且B是该二次函数图象的顶点．求二次函数的表达式． 【典例1-3】（24-25九年级上·安徽蚌埠·期中）已知抛物线的顶点坐标为，且经过点． (1)求抛物线对应的函数表达式； (2)当时，求函数的最大值． 【变式1-1】（23-24九年级下·安徽六安·期末）已知抛物线 经过点，它的对称轴是直线，则这条抛物线的函数表达式是 ． 【变式1-2】（24-25九年级上·吉林长春·期末）在平面直角坐标系中，抛物线经过点、． (1)求这条抛物线所对应的函数表达式； (2)求这条抛物线的开口方向和顶点坐标． 【变式1-3】（24-25九年级下·贵州黔东南·阶段练习）抛物线的对称轴为直线． (1)求a的值； (2)向下平移该抛物线，使得到的抛物线经过原点，求平移后得到的抛物线的表达式． 【题型二】求抛物线关于点或直线对称的抛物线的表达式 【典例2-1】（2023九年级下·全国·专题练习）先将抛物线关于x轴作轴对称变换，所得的新抛物线的解析式为（　　） A． B． C． D． 【典例2-2】（21-22九年级上·广西梧州·阶段练习）已知抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)与y=x2－4x+3关于x轴对称，则a，b，c的值分别是（   ） A．－1，4，－3 B．－1，－4，－3 C．－1，4，3 D．－1，－4，3 【典例2-3】（2024九年级下·江苏·专题练习）已知抛物线C：，则该抛物线关于y轴对称后的抛物线的函数解析式为 ． 【变式2-1】某二次函数图像与二次函数的图像关于轴对称，该二次函数的解析式是（    ） A． B． C． D． 【变式2-2】抛物线关于轴对称后所得到的抛物线解析式为（   ） A． B． C． D． 【变式2-3】（24-25九年级上·浙江杭州·阶段练习）如图，在平面直角坐标系中，已知二次函数，顶点坐标为． (1)若图象与轴的交点坐标为，求的值； (2)若函数图象关于直线对称，求函数的表达式； (3)求的最大值． 【题型三】二次函数的综合 【典例3-1】（24-25九年级上·安徽安庆·阶段练习）抛物线交轴于点，，交轴于点，点为抛物线对称轴与轴的交点．若点为第一象限内对称轴右侧抛物线上一点，则面积的最大值为（    ） A．3 B．5 C． D． 【典例3-2】（23-24九年级上·全国·单元测试）将抛物线沿轴向下平移后，所得抛物线与轴交于点，顶点为，如果是等腰直角三角形，那么顶点的坐标是 ． 【典例3-3】（24-25九年级上·江苏宿迁·期末）如图，抛物线与x轴交于点和点，与y轴交于点C，P是第二象限内抛物线上的一个动点． (1)求抛物线的表达式； (2)如图 1，设对称轴交线段于点N，点Q在对称轴上，且在点N的下方，是否存在以P，Q，N为顶点的三角形与相似，若存在，请直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由； (3)如图 2，连接，交于点E，交y轴于点F，令，求k的最大值． 【变式3-1】（24-25九年级上·湖北武汉·期中）如图，抛物线与y轴交于点A，与x轴交于点B，线段在抛物线的对称轴上移动（点C在点D下方），且．当四边形的周长最小时，点D的坐标为（ ） A． B． C． D． 【变式3-2】（24-25九年级上·重庆大足·期末）如图，在平面直角坐标系中，菱形的一边在x轴上，顶点B在x轴正半轴上．若抛物线经过点A、B，则点C的坐标为 ． 【变式3-3】（24-25九年级下·四川成都·阶段练习）如图，已知抛物线的顶点为，抛物线与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C． (1)若， 求抛物线表达式； E为抛物线上位于A点左侧的一点，F为E关于直线的对称点．若，求点E的坐标； (2)过点O作的平行线与抛物线交于M，N两点，直线分别与y轴交于P，Q两点，若，求a的值． 一、单选题 1．（2025九年级上·浙江·专题练习）一个二次函数图象的顶点坐标是，且过另一点，则这个二次函数的解析式为(   ) A． B． C． D． 2．（24-25九年级下·全国·随堂练习）已知抛物线经过点和，且与轴交于点，若，则这条抛物线的表达式为（   ） A． B．或 C． D．或 3．（24-25九年级上·河南新乡·期中）如图，正方形的顶点A，C在抛物线上，点D在y轴上．若A，C两点的横坐标分别为m，n，下列结论正确的是（   ） A． B． C． D． 4．（24-25九年级上·河南驻马店·期末）如图，矩形绿地的长、宽分别为，现将矩形绿地的长、宽各增加.设新绿地的周长为m，面积为S，当x在一定范围内变化时，y和S都随x的变化而变化，则y与x，S与x满足的函数关系分别是（   ） A．一次函数关系，二次函数关系 B．正比例函数关系，二次函数关系 C．二次函数关系，一次函数关系 D．正比例函数关系，一次函数关系 5．（2025九年级下·全国·专题练习）如图，一段抛物线为，与x轴交于，两点，顶点为；将绕点旋转得到，顶点为；与组成一个新的图象，垂直于y轴的直线l与新图象交于点，，与线段交于点，设，，均为正数，，则t的取值范围是（    ） A． B． C． D． 6．（24-25九年级下·河北邢台·期中）如图，抛物线与均过点，直线交x轴于点P，且与两抛物线形成的封闭图象交于E，F两点．若点F的横坐标为1，点Q为y轴上任意一点，则的最小值为（   ） A． B． C． D．5 7．（22-23九年级上·重庆·阶段练习）如图，已知抛物线与x轴交于A和B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C，顶点为D点．若点M是抛物线上一点，点N在y轴上，连接，当是以为直角的等腰直角三角形时，点M的坐标为（　　） A． B．或 C．或 D．或 二、填空题 8．（24-25九年级上·内蒙古通辽·期末）如图，抛物线交轴于，交轴的负半轴于，顶点为．下列结论：①；②；③；④当时，；⑤当是等腰直角三角形时，则；⑥当是等腰三角形时，的值有3个．其中正确的序号是 ． 9．（24-25九年级下·四川巴中·阶段练习）若抛物线的顶点坐标为，且形状与相同，开口方向相反，则其表达式为 ． 10．（25-26九年级上·云南曲靖·阶段练习）如图，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于点和点，与轴交于点，点为抛物线上一动点，若的面积为，则点的坐标为 ． 11．（25-26九年级上·浙江绍兴·月考）如图，在平面直角坐标系中，直线交轴于点，交轴于点，抛物线与轴交于点，若点在抛物线的对称轴上移动，点在直线上移动，则的最小值为 ． 12．（24-25九年级上·广东·期中）如图，在正方形中，点、的坐标分别是、，点在抛物线的图象上，则的值是 ． 13．（24-25九年级上·江苏苏州·阶段练习）如图，二次函数（m是常数，且）的图象与x轴交于A，B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C，顶点为D．其对称轴与线段交于点E，与x轴交于点F．连接AC．若，则m的值为 ． 三、解答题 14．（23-24九年级上·河南许昌·阶段练习）已知抛物线经过点，． (1)求此抛物线的函数解析式． (2)如果在平面直角坐标系中将此二次函数图象向左平移3个单位长度，再向上平移2个单位长度，直接写出平移后得到的二次函数的解析式 ． 15．（25-26九年级上·江西南昌·阶段练习）如图，抛物线经过，两点． (1)求此抛物线的解析式； (2)在抛物线的对称轴上有一点P，使得值最小，求最小值以及此时点P的坐标； 16．（24-25九年级下·上海·阶段练习）在平面直角坐标系中，已知抛物线与轴交于点和点（点在点的左侧），与轴交于点，对称轴是直线． (1)求抛物线的表达式； (2)直线平行于轴，与抛物线交于、两点（点在点的左侧），且，点关于直线的对称点为，求线段的长； (3)在（2）的条件下，点是该抛物线上一点，且在第一象限内，连接、，交线段于点，当时，求点的坐标． 17．（2025九年级下·广西南宁·专题练习）如图，抛物线与x轴交于，，与y轴交于点C． (1)求抛物线的解析式和顶点D的坐标； (2)点Q是线段上一动点，过点作轴交抛物线于点M，当最大值时，求点M的坐标； (3)抛物线上存在一点P，使得，请直接写出P点的坐标． 18．（24-25九年级下·湖北宜昌·阶段练习）已知：抛物线：与轴交于点，直线与，轴分别交于，两点，与分别交于，两点，点位于点的左侧． (1)求线段的长； (2)若，求点的坐标； (3)若是轴上一动点，，将点沿方向平移，得到点，此时连接，． ①若点在直线上，求的值； ②若与四边形有且只有三个交点，直接写出的取值范围． 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 第05讲 确定二次函数的表达式（知识详解+3典例分析+习题巩固） 知识详解 知识点01：用待定系数法求二次函数的表达式 知识点02：二次函数的简单应用 典例分析 （举三反三） 考点1：利用待定系数法求二次函数的表达式 考点2：求抛物线关于点或直线对称的抛物线的表达式 考点3：二次函数的综合 习题巩固 一、单选题（7） 二、填空题（6） 三、解答题（5） 【知识点01】用待定系数法求二次函数的表达式 1. 常见的二次函数表达式的适用条件： (1)一般式y=ax2+bx+c(a，b，c 为常数，a ≠ 0)，已知抛物线上三点的坐标； (2)顶点式y=a(x－h)2+k(a，h，k 为常数，a ≠ 0)，已知抛物线的顶点坐标或对称轴或最大(小)值； (3)交点式y=a(x－x1)(x－x2)(a，x1，x2 为常数，a ≠ 0)，已知抛物线与x 轴的两个交点(x1，0)，(x2，0). 2. 用待定系数法求二次函数表达式的步骤： (1)设：根据题中已知条件，合理设出二次函数的表达式. (2)代：把已知点的坐标代入所设的二次函数表达式中，得到关于表达式中待定系数的方程或方程组. (3)解：解此方程或方程组，求出待定系数的值. (4)还原：将求出的待定系数还原到表达式中，求得表达式. 【知识点02】二次函数的简单应用 根据实际问题求二次函数表达式的步骤： (1)先通过已知条件确定抛物线所经过的点的坐标； (2)根据题意设出合适的二次函数表达式； (3)用待定系数法和方程思想求出待定系数的值，从而确定二次函数的表达式. 【题型一】利用待定系数法求二次函数的表达式 【典例1-1】（24-25九年级上·北京·期中）请写出一个开口向上，顶点坐标是的抛物线表达式 ． 【答案】（答案不唯一） 【分析】此题主要考查了二次函数的性质，直接设顶点坐标是的抛物线表达式为，再由开口向上得到即可解题． 【详解】解：根据图象开口向上，且顶点坐标为的二次函数解析式可以为：（答案不唯一）． 故答案为：（答案不唯一）． 【典例1-2】（24-25九年级下·贵州黔东南·阶段练习）二次函数的图象经过，两点，且B是该二次函数图象的顶点．求二次函数的表达式． 【答案】 【分析】本题主要考查了求二次函数解析式，把解析式设为顶点式，再利用待定系数法求解即可． 【详解】解：由题意可设二次函数的表达式为． 把代入中，得，解得． ∴二次函数的表达式为． 【典例1-3】（24-25九年级上·安徽蚌埠·期中）已知抛物线的顶点坐标为，且经过点． (1)求抛物线对应的函数表达式； (2)当时，求函数的最大值． 【答案】(1)抛物线对应的函数表达式为 (2)在中，当时，有最大值为 【分析】本题考查二次函数综合，涉及待定系数法确定函数表达式、二次函数图象与性质求最值等知识，熟练掌握待定系数法确定函数表达式、二次函数图象与性质求最值的方法是解决问题的关键． （1）根据题意，设出二次函数顶点式，利用待定系数法确定函数表达式即可得到答案； （2）由（1）中所求表达式，利用二次函数图象与性质即可求出当时，函数的最大值． 【详解】（1）解：∵抛物线的顶点坐标为， 设函数表达式为， 把代入得：， 解得：， 抛物线对应的函数表达式为； （2）解：由（1）知抛物线对应的函数表达式为， 抛物线开口向上、对称轴为， ∵当时，随的增大而增大， 在中，当时，有最大值为． 【变式1-1】（23-24九年级下·安徽六安·期末）已知抛物线 经过点，它的对称轴是直线，则这条抛物线的函数表达式是 ． 【答案】 【分析】本题考查了根据二次函数的对称性求函数值，掌握二次函数的性质是解题的关键．根据“抛物线 经过点”得出，根据“对称轴是直线”得出，解方程组即可求解． 【详解】解∶∵抛物线 经过点，它的对称轴是直线， ∴， 解得， ∴， 故答案为∶ ． 【变式1-2】（24-25九年级上·吉林长春·期末）在平面直角坐标系中，抛物线经过点、． (1)求这条抛物线所对应的函数表达式； (2)求这条抛物线的开口方向和顶点坐标． 【答案】(1)； (2)开口向上；顶点坐标为． 【分析】本题主要考查了二次函数解析式的求法、二次函数的图象与性质． 把点、的坐标代入，用待定系数法求二次函数的解析式； 因为二次函数解析式的二次项系数是正数，所以抛物线开口向上，利用配方法可得二次函数的解析式为，从而得到抛物线的顶点坐标． 【详解】（1）解：∵抛物线经过点、， ， 解得：， 这个二次函数的表达式为； （2）解：， 此抛物线开口向上， ， 此抛物线的顶点坐标为． 【变式1-3】（24-25九年级下·贵州黔东南·阶段练习）抛物线的对称轴为直线． (1)求a的值； (2)向下平移该抛物线，使得到的抛物线经过原点，求平移后得到的抛物线的表达式． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了二次函数的图象与性质、待定系数法求二次函数解析式、二次函数的平移，熟练掌握相关知识点是解题的关键． （1）根据抛物线的对称轴公式即可求解； （2）由（1）知抛物线的表达式是，设该抛物线向下平移m个单位长度后经过原点，根据二次函数平移的规律求出的值，即可解答． 【详解】（1）解：， ∵抛物线的对称轴为直线， ∴， 解得：； （2）解：由（1）知抛物线的表达式是， 设该抛物线向下平移m个单位长度后经过原点， 则抛物线经过原点， ∴， 解得：， ∴平移后得到的抛物线的表达式是． 【题型二】求抛物线关于点或直线对称的抛物线的表达式 【典例2-1】（2023九年级下·全国·专题练习）先将抛物线关于x轴作轴对称变换，所得的新抛物线的解析式为（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】若抛物线关于轴作轴对称变换，则图象上所有的点横坐标不变纵坐标互为相反数，据此即可解答． 【详解】抛物线关于轴作轴对称变换， 则所得抛物线为，即． 故选：C． 【点睛】此题考查了抛物线的轴对称变换，解题的关键是找到对称轴，并熟知关于轴、轴的对称点的坐标特征． 【典例2-2】（21-22九年级上·广西梧州·阶段练习）已知抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)与y=x2－4x+3关于x轴对称，则a，b，c的值分别是（   ） A．－1，4，－3 B．－1，－4，－3 C．－1，4，3 D．－1，－4，3 【答案】A 【分析】根据两个函数关于x轴对称，得出a=-1，b=4，c=-3． 【详解】∵抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)与y=x2－4x+3关于x轴对称， ∴a，b，c的值均相反，即a=-1，b=4，c=-3． 故选A 【点睛】本题考查函数关于x轴对称时参数的变化，了解并掌握关于x轴对称时参数全部相反是解题关键． 【典例2-3】（2024九年级下·江苏·专题练习）已知抛物线C：，则该抛物线关于y轴对称后的抛物线的函数解析式为 ． 【答案】 【分析】此题考查了二次函数的图象与几何变换，解题的关键是抓住关于y轴对称点的特点． 由函数关于y轴对称点的特点是∶纵坐标不变，横坐标变为相反数，故把原抛物线上的顶点变换后，化简后可得关于y轴对称的抛物线解析式． 【详解】解∶， 抛物线的顶点 ∵与关于轴对称， 顶点坐标是， 抛物线的函数解析式为的，即． 故答案为∶． 【变式2-1】某二次函数图像与二次函数的图像关于轴对称，该二次函数的解析式是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先求出抛物线的顶点坐标，然后根据两抛物线关于y轴对称得出所求抛物线的顶点，可用顶点式二次函数通式来设所求的抛物线的解析式． 【详解】解：的顶点为（1，-1）， 与二次函数的图像关于轴对称的二次函数的图像顶点为：（-1，-1）， 该二次函数的解析式是 故选B 【点睛】本题主要考查了关于y轴对称的函数解析式的关系，已知一个函数的解析式，利用-x代替式子中的x，就可以得到函数关于y轴 对称的函数的解析式． 【变式2-2】抛物线关于轴对称后所得到的抛物线解析式为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先将拋物线整理成顶点式，求得顶点坐标，再写出关于y轴对称后顶点坐标，且开口向上，可求该抛物线的解析式． 【详解】∵拋物线， ∴顶点坐标为（1，－8），关于y轴对称后顶点坐标为（－1，－8），且开口向上， ∴该抛物线的解析式为； 故选：C． 【点睛】本题考查了二次函数图象与几何变换．关键是根据顶点坐标的变换，由顶点式写出新抛物线的解析式． 【变式2-3】（24-25九年级上·浙江杭州·阶段练习）如图，在平面直角坐标系中，已知二次函数，顶点坐标为． (1)若图象与轴的交点坐标为，求的值； (2)若函数图象关于直线对称，求函数的表达式； (3)求的最大值． 【答案】(1)2 (2) (3) 【分析】本题主要考查了二次函数的性质、坐标与图形变化一对称,解题时要熟练掌握并能灵活运用二次函数的性质是关键． （1）依据题意，由图象与y轴的交点坐标为，从而，进而可得a的值， （2）依据题意，由二次函数为，从而对称轴是直线，结合函数图象关于直线对称，可得，进而可以判断得解; （3）依据题意,由，可得顶点坐标为，从而可得，进而可以判断得解． 【详解】（1）解：由题意，∵图象与y轴的交点坐标为， ∴， ∴； （2）解：由题意，∵二次函数为，其对称轴是直线， 又.函数图象关于直线对称， ∴， ∴抛物线为； （3）解：∵ ∵顶点坐标为， ∴， ∴的最大值为 【题型三】二次函数的综合 【典例3-1】（24-25九年级上·安徽安庆·阶段练习）抛物线交轴于点，，交轴于点，点为抛物线对称轴与轴的交点．若点为第一象限内对称轴右侧抛物线上一点，则面积的最大值为（    ） A．3 B．5 C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了二次函数与几何综合，灵活运用数形结合以及二次函数的最值问题是本题解题的关键．根据待定系数法求解二次函数表达式即可，过P作轴，采用割补法，将的面积转化为梯形和三角形的面积差，再根据二次函数最值问题求解 【详解】解：∵抛物线交轴于点，， ∴，抛物线对称轴是直线， ∴． 当时，， ∴． 过P作轴于M，设， ∴， ∵，， ∴， ∴ ， ∴当时，面积的最大值为． 故选D． 【典例3-2】（23-24九年级上·全国·单元测试）将抛物线沿轴向下平移后，所得抛物线与轴交于点，顶点为，如果是等腰直角三角形，那么顶点的坐标是 ． 【答案】 【分析】本题考查了二次函数的图像与几何变换、等腰直角三角形的性质及抛物线与坐标轴的交点问题，根据题意二次函数的图像与几何变换的关键．设抛物线向下平移个单位，平移后的抛物线为，设对称轴与轴交于点，可得，，然后根据题意得到，即，进而求解即可． 【详解】解：∵， 设抛物线向下平移个单位，平移后的抛物线为， 则，，， 设对称轴与轴交于点，则，可得，， ∵抛物线顶点为，由抛物线对称性可知， ∴， ∴，即， 解得，(舍)， ∴顶点的坐标为． 【典例3-3】（24-25九年级上·江苏宿迁·期末）如图，抛物线与x轴交于点和点，与y轴交于点C，P是第二象限内抛物线上的一个动点． (1)求抛物线的表达式； (2)如图 1，设对称轴交线段于点N，点Q在对称轴上，且在点N的下方，是否存在以P，Q，N为顶点的三角形与相似，若存在，请直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由； (3)如图 2，连接，交于点E，交y轴于点F，令，求k的最大值． 【答案】(1) (2)存在，P的坐标为 (3)的最大值为 【分析】本题主要考查了函数的解析式的求法、二次函数与几何的综合等知识点，掌握数形结合思想成为解题的关键． （1）将点和点代入求得a、b的值即可解答； （2）以点P、Q、N为顶点的三角形与相似，则为等腰直角三角形，，故当和为直角时，点Q和点A重合，不符合题意；当为直角时，则，即，解方程即可求解； （3）先求得直线的表达式为易得，再根据计算，然后根据二次函数的性质求最值即可。 【详解】（1）解：将点和点代入可得： ，解得：， 故抛物线的表达式为． （2）解：∵抛物线的表达式为， ∴当时，，即 ∴，即为等腰直角三角形， ∵以点P、Q、N为顶点的三角形与相似， ∴为等腰直角三角形， 设直线的解析式为， 则，解得：， ∴直线的表达式为， ∵抛物线解析式为， ∴该抛物线的对称轴为：， 当时，，即点， ∵， 故当和为直角时，点P和点A重合，不符合题意； 当为直角时，则， 当时，解得：或（舍去）， ∴点． （3）解：如图：连接，设点， 设直线的表达式为， 则有，解得：， ∴直线的表达式为， ∴， ∴， ∴， ． ∴的最大值为． 【变式3-1】（24-25九年级上·湖北武汉·期中）如图，抛物线与y轴交于点A，与x轴交于点B，线段在抛物线的对称轴上移动（点C在点D下方），且．当四边形的周长最小时，点D的坐标为（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】抛物线与x轴的另一个交点为E点，把E点向上平移3个单位得到F点，连结交对称轴于D点，如图，先证明四边形为平行四边形得到，则，利用等线段代换得到四边形的周长，根据两点之间线段最短可判断此时四边形的周长最小，再解方程得，从而确定抛物线的对称性为直线，，接着确定，然后利用待定系数法求出直线的解析式为，于是解方程组得到D点坐标． 【详解】解：抛物线与x轴的另一个交点为E点，把E点向上平移3个单位得到F点，如图， ∵，， ∴四边形为平行四边形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴此时四边形的周长最小， 令，则， 解得，， ∴，， ∴， 令，则， ∴， 设过点，的直线的解析式为， ∴，解得， ∴直线的解析式为， ∵抛物线的对称轴为， ∴解方程组得， ∴． 故选：B． 【点睛】本题考查了抛物线与x轴的交点：把求二次函数（a，b，c是常数，）与x轴的交点坐标问题转化为解关于x的一元二次方程．也考查了二次函数的性质和最短路线问题． 【变式3-2】（24-25九年级上·重庆大足·期末）如图，在平面直角坐标系中，菱形的一边在x轴上，顶点B在x轴正半轴上．若抛物线经过点A、B，则点C的坐标为 ． 【答案】 【分析】本题考查二次函数的性质、二次函数图象上点的坐标特征、菱形的性质，根据抛物线经过点A、B，求出A、B点坐标，长，由勾股定理得出长，得点D的坐标，从而可以求得点C的坐标． 【详解】解：对于 ，令，得， 解得，， ∴, ∴ ∵四边形是菱形， ∴;; ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 【变式3-3】（24-25九年级下·四川成都·阶段练习）如图，已知抛物线的顶点为，抛物线与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C． (1)若， 求抛物线表达式； E为抛物线上位于A点左侧的一点，F为E关于直线的对称点．若，求点E的坐标； (2)过点O作的平行线与抛物线交于M，N两点，直线分别与y轴交于P，Q两点，若，求a的值． 【答案】(1)； (2) 【分析】（1）①由题意可得抛物线对称轴为直线，再由，可得点A、B的坐标，即可求解；②过点E、F分别作的平行线分别交y轴于点、N，求出直线的表达式，设点，则点，过点E作交y轴于点M，作交y轴于点N，求出直线的表达式，可得点，同理点，然后根据，可得，可得到关于m的方程，即可求解； （2）设点，点，则，再求出直线的表达式，可得点，同理可得点，然后根据，可得，即可求解． 【详解】（1）解：①∵抛物线的顶点为， ∴，抛物线对称轴为直线， ∵， ∴点A、B的坐标分别为， ∴抛物线的解析式为， 将点D的坐标代入上式得， 解得：， 则抛物线的表达式为； ②过点E、F分别作的平行线分别交y轴于点， 当时，， ∴点， 设直线的解析式为， 把点，代入得： ，解得：， ∴直线的表达式为， 设点，则点， 过点E作交y轴于点M，作交y轴于点N， ∴可设直线的表达式为， 把点代入得： ，解得：， ∴直线的表达式为：， 当时，， ∴点， 同理点， ∵， ∴， 即， 解得：（舍去）或， 即点； （2）解：由题意得：， 令，则 ∴, ∵ ∴直线解析式为, ∵直线经过点O，且与直线平行， ∴直线解析式为， 设点，点， ∴m、n是方程 则， 同理（1）直线的表达式为：， ∴点， 同理可得，点， ∵， ∴， 即， ∵ ∴， 即， 解得：． 【点睛】本题主要考查了二次函数的解析式的求法和与几何图形结合的综合能力的培养．要会利用数形结合的思想把代数和几何图形结合起来，利用点的坐标的意义表示线段的长度，从而求出线段之间的关系 一、单选题 1．（2025九年级上·浙江·专题练习）一个二次函数图象的顶点坐标是，且过另一点，则这个二次函数的解析式为(   ) A． B． C． D． 【答案】C 【分析】主要考查待定系数法求二次函数的解析式．当知道二次函数的顶点坐标时通常使用二次函数的顶点式来求解析式．顶点式：． 设抛物线的表达式为，将代入上式，即可求解； 【详解】解：∵抛物线的顶点坐标是， ∴设抛物线的表达式为，其中， 将代入上式，得 ， 解得， 故抛物线的表达式为． 故选C． 2．（24-25九年级下·全国·随堂练习）已知抛物线经过点和，且与轴交于点，若，则这条抛物线的表达式为（   ） A． B．或 C． D．或 【答案】D 【分析】本题主要考查了用待定系数法求二次函数的表达式，解一元一次方程，整式的混合运算，熟练掌握用待定系数法求二次函数的表达式是解题关键． 根据题意，设抛物线的表达式为，求得点坐标，将点坐标分别代入，求出的值，即可求解抛物线的表达式． 【详解】解：∵抛物线经过点和， 设抛物线的表达式为， ∵抛物线与轴交于点，且， 点坐标为或， 把代入，得：，解得：， 此时，抛物线的表达式为，即； 把代入，得：，解得：， 此时，抛物线的表达式为，即． 综上所述，抛物线的表达式为或． 故选：D． 3．（24-25九年级上·河南新乡·期中）如图，正方形的顶点A，C在抛物线上，点D在y轴上．若A，C两点的横坐标分别为m，n，下列结论正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了二次函数图象上点的坐标特征、全等三角形的判定与性质及正方形的性质，分别过A，两点作轴的垂线，进而得出全等三角形，根据全等三角形的性质得出，即可解决问题． 【详解】解：分别过点A和点作轴的垂线，垂足分别为和， 将A，两点的横坐标代入函数解析式得， 点坐标为，点坐标为， ∴，，，． ∵四边形是正方形， ∴，， ∴， ∴． 在和中， ， ∴， ∴，， ∴， 又∵， ∴， 即， ∵， ∴， ∴． 故选：B． 4．（24-25九年级上·河南驻马店·期末）如图，矩形绿地的长、宽分别为，现将矩形绿地的长、宽各增加.设新绿地的周长为m，面积为S，当x在一定范围内变化时，y和S都随x的变化而变化，则y与x，S与x满足的函数关系分别是（   ） A．一次函数关系，二次函数关系 B．正比例函数关系，二次函数关系 C．二次函数关系，一次函数关系 D．正比例函数关系，一次函数关系 【答案】A 【分析】本题考查二次函数与一次函数、矩形的周长与面积公式，理清题中的数量关系，熟练掌握二次函数与一次函数的解析式是解题的关键． 根据长方形的周长公式和面积公式得出y与x、S与x的关系式即可做出判断． 【详解】解：由题意可得：，， ∴y与x是一次函数关系，S与x是二次函数关系， 故选A． 5．（2025九年级下·全国·专题练习）如图，一段抛物线为，与x轴交于，两点，顶点为；将绕点旋转得到，顶点为；与组成一个新的图象，垂直于y轴的直线l与新图象交于点，，与线段交于点，设，，均为正数，，则t的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查二次函数与x轴的交点，二次函数的性质，抛物线的旋转等知识，首先证明，由，推出即可解决问题． 【详解】解：一段抛物线与x轴交于，两点，顶点为； 将绕点旋转得到，则的顶点为； ∴翻折后的抛物线的解析式为， ∵设，，均为正数， ∴点，在第四象限， 根据对称性可知：， ∵， ∴， 即， 故选：D． 6．（24-25九年级下·河北邢台·期中）如图，抛物线与均过点，直线交x轴于点P，且与两抛物线形成的封闭图象交于E，F两点．若点F的横坐标为1，点Q为y轴上任意一点，则的最小值为（   ） A． B． C． D．5 【答案】D 【分析】本题考查了二次函数的图象与性质，对称中的最值问题等知识．根据题意可得两个函数的解析式，即可得到点E，F的坐标，作点F关于y轴的对称点H，连接，，，此时的最小，最小值为，根据两点间距离公式即可求解． 【详解】解：把代入可得， 解得， ∴抛物线解析式为， 当时，， ∴点F的坐标为， 把代入得到，解得， ∴直线解析式为， ∴解方程组得，（舍去）， 点E的坐标为， 作点F关于y轴的对称点H，连接，， 则，点H的坐标为， ∵， ∴当H，Q，E三点共线时取得最小值为， 这时， 故选：D． 7．（22-23九年级上·重庆·阶段练习）如图，已知抛物线与x轴交于A和B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C，顶点为D点．若点M是抛物线上一点，点N在y轴上，连接，当是以为直角的等腰直角三角形时，点M的坐标为（　　） A． B．或 C．或 D．或 【答案】C 【分析】本题考查了抛物线与x轴的交点，过M点作于H点，如图，先确定，设，易得为等腰直角三角形，所以，则或，利用M点纵坐标的表示方法得到即或，然后分别解方程求出m，从而得到M点的坐标． 【详解】解：过M点作于H点，如图， 当时，， ∴， 设， ∴是以为直角的等腰直角三角形， ∴为等腰直角三角形， ∴， ∴或， 即或， 解方程得（舍去），，此时M点的坐标为； 解方程得（舍去），，此时M点的坐标为； 综上所述，M点的坐标为或． 故选：C． 二、填空题 8．（24-25九年级上·内蒙古通辽·期末）如图，抛物线交轴于，交轴的负半轴于，顶点为．下列结论：①；②；③；④当时，；⑤当是等腰直角三角形时，则；⑥当是等腰三角形时，的值有3个．其中正确的序号是 ． 【答案】①②④⑤ 【分析】本题主要考查了二次函数的解析式的求法和与几何图形结合的综合能力的培养．要会利用数形结合的思想把代数和几何图形结合起来，利用点的坐标的意义表示线段的长度，从而求出线段之间的关系． 先利用交点式表示抛物线解析式得到，则，，于是可对①②③进行判断；利用配方法得到，则当时，有最小值，所以，于是可对④进行判断；过点作于点，如图，利用等腰直角三角形得到，即，则可对⑤进行判断；利用勾股定理得到，，，根据等腰三角形的性质，当时，，当时，，然后分别解方程求出的值，从而可对⑥进行判断． 【详解】解：设抛物线解析式为， 即， ∵， ∴，所以②正确； ∵抛物线开口向上， ， ，即， ， ，所以①正确； ∵， ∴，故，所以③错误； ， ∴抛物线的对称轴为直线， ∴当时，有最小值， ， 即，所以④正确； 过点作于点，如图， ∵， ∴， ∵是等腰直角三角形， ，即， 解得，所以⑤正确； ∵，，， ，，， 当时，， 解得，（舍去）， 当时，， 解得，（舍去）， 综上所述，的值为或，所以⑥错误． 故答案为：①②④⑤． 9．（24-25九年级下·四川巴中·阶段练习）若抛物线的顶点坐标为，且形状与相同，开口方向相反，则其表达式为 ． 【答案】/ 【分析】本题主要考查了用待定系数法求二次函数解析式，掌握关系式中系数的含义是解题的关键． 首先思考二次函数图像与系数之间的关系，知影响图像开口方向和大小，可确定值；其顶点坐标为，可得的值，即可求出了该函数解析式． 【详解】解：因为抛物线的形状与相同，开口方向相反， 所以， 所以， 因为顶点坐标为， 所以把，代入中，得， 所以抛物线得表达式为． 故答案为：． 10．（25-26九年级上·云南曲靖·阶段练习）如图，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于点和点，与轴交于点，点为抛物线上一动点，若的面积为，则点的坐标为 ． 【答案】或或或． 【分析】本题考查了二次函数的图象和性质、待定系数法求解析式和抛物线上点的坐标和特征，灵活运用所学知识求解是解决本题的关键． 利用待定系数法求出函数解析式，再根据三角形面积求出P点的纵坐标，进而由函数解析式求出横坐标． 【详解】解：依题意得： ，解得：， ∴抛物线解析式为：， ∵，， ∴， 令得，解得，； 令得，解得，． 所以P坐标为或或或． 11．（25-26九年级上·浙江绍兴·月考）如图，在平面直角坐标系中，直线交轴于点，交轴于点，抛物线与轴交于点，若点在抛物线的对称轴上移动，点在直线上移动，则的最小值为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了二次函数图象的性质，求一次函数关系式，勾股定理， 先作点C的对称点，当点三点共线，且时，值最小，再求出点，即可求出直线，然后求出两直线的交点坐标，最后根据勾股定理得出答案. 【详解】解：如图所示，作点C的对称点，可知， 当点三点共线，且时，值最小， 当时，， ∴点. ∵抛物线的对称轴是， ∴点. ∵直线，且， ∴直线. ∵直线经过点， ∴， ∴直线. 将两个函数关系式联立，得 ， 解得， ∴点， 则. 故答案为：. 12．（24-25九年级上·广东·期中）如图，在正方形中，点、的坐标分别是、，点在抛物线的图象上，则的值是 ． 【答案】 【分析】本题考查了正方形的性质，三角形全等的判定和性质，二次函数图像上点的坐标特点，利用一线三等角，构造全等三角形，证明对应边相等，利用，坐标，即可得出点坐标，代入，即可得出的值 【详解】作轴于，于， ∵四边形是正方形， ，， ， ， 又， ， ，， 设， ∵点、的坐标分别是、， ，解得， ， 在抛物线的图像上， ， ， 故答案为：． 13．（24-25九年级上·江苏苏州·阶段练习）如图，二次函数（m是常数，且）的图象与x轴交于A，B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C，顶点为D．其对称轴与线段交于点E，与x轴交于点F．连接AC．若，则m的值为 ． 【答案】/ 【分析】先用的代数式表示出，，的坐标，再作的平分线交于点，过点作于点，根据全等和角平分线性质得到用的代数式表示的和的长，根据和的关系即可求出的值． 【详解】解：在中，当时，， 解方程，得，， 点在点的左侧，且， ，， 在中，当时，， ， ， ， ， ∵轴， ， ， ， 作的平分线交于点，过点作于点，则，如图，   ，， ， 在和中， ， ∴， ， ， ，， ∴是等腰直角三角形， ， 即， ． 故答案为：． 【点睛】本题考查二次函数的图象和性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理，等腰三角形的判定和性质，角平分线性质，通过作辅助线构造全等三角形和直角三角形是解题的关键． 三、解答题 14．（23-24九年级上·河南许昌·阶段练习）已知抛物线经过点，． (1)求此抛物线的函数解析式． (2)如果在平面直角坐标系中将此二次函数图象向左平移3个单位长度，再向上平移2个单位长度，直接写出平移后得到的二次函数的解析式 ． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了待定系数法求二次函数解析式，二次函数的平移，求得二次函数解析式是解题的关键． （1）将点，代入抛物线解析式，利用待定系数法求出抛物线的解析式即可解答； （2）先将化为顶点式，再根据二次函数的平移口诀：左加右减，上加下减，即可解答． 【详解】（1）解：由题意，将点，代入抛物线解析式， 得， 解得：， ∴抛物线的解析式为：； （2）解：∵， ∴向左平移3个单位长度，再向上平移2个单位长度，得平移后的二次函数的解析式为， 故答案为：． 15．（25-26九年级上·江西南昌·阶段练习）如图，抛物线经过，两点． (1)求此抛物线的解析式； (2)在抛物线的对称轴上有一点P，使得值最小，求最小值以及此时点P的坐标； 【答案】(1) (2)， 【分析】本题考查了一次函数与二次函数综合． （1）把，两点代入求出、的值即可； （2）因为点关于对称轴对称的点的坐标为，连接交对称轴直线于点，求出点坐标即可． 【详解】（1）解：∵抛物线经过，两点， ， 解得：，， 此拋物线的解析式为； （2）解：如图，连接，交对称轴于点， 则， 此时最小，，   拋物线的解析式为， 其对称轴为直线， 当时，， ， 又， 设的解析式为， ， 解得：， 的解析式为， 当时，， ， . 16．（24-25九年级下·上海·阶段练习）在平面直角坐标系中，已知抛物线与轴交于点和点（点在点的左侧），与轴交于点，对称轴是直线． (1)求抛物线的表达式； (2)直线平行于轴，与抛物线交于、两点（点在点的左侧），且，点关于直线的对称点为，求线段的长； (3)在（2）的条件下，点是该抛物线上一点，且在第一象限内，连接、，交线段于点，当时，求点的坐标． 【答案】(1) (2) (3)或 【分析】本题考查了利用待定系数法求函数解析式，相似三角形的判定与性质，轴对称的性质以及解一元二次方程等知识，综合运用相关性质是解题的关键． （1）根据抛物线与轴交于点可得出的值，然后由对称轴是直线可得出的值，从而可求出抛物线的解析式； （2）令得出关于的一元二次方程，求出，可得出点、的坐标，从而得到的长，再求出的长，根据抛物线的对称性求出点的横坐标，再代入抛物线解析式求出点的纵坐标，再根据点的对称可求出的长； （3）过点作交于点，先求得直线的解析式为，设点，则点，则，根据已知得，根据得出，根据相似三角形的性质求得的值，即可求解． 【详解】（1）解：将点代入得， 又抛物线的对称轴为直线， ，解得， 抛物线的表达式为； （2）解：如图， 令，则，解得， 点，， ， ∵， ， 根据二次函数的对称性，得点的横坐标为， 代入二次函数表达式得， ， 点的坐标为， 又点的坐标为，点与点关于直线对称， ， ； （3）如图，过点作交于点， 设直线的解析式为， 则，解得， 直线的解析式为， 设点，则点， 则 ∵， ， ， ， 即 解得：或 当时， 当时， 点的坐标为或． 17．（2025九年级下·广西南宁·专题练习）如图，抛物线与x轴交于，，与y轴交于点C． (1)求抛物线的解析式和顶点D的坐标； (2)点Q是线段上一动点，过点作轴交抛物线于点M，当最大值时，求点M的坐标； (3)抛物线上存在一点P，使得，请直接写出P点的坐标． 【答案】(1)， (2) (3)或 【分析】本题考查了二次函数的图象和性质，待定系数法求函数解析式，根据题意画出图形，分类讨论是关键． （1）利用待定系数法求出函数解析式，再利用解析式的顶点式得出顶点D的坐标即可； （2）先求出点C的坐标，再利待定系数法求出线的解析式，设，则，得出，即可求解； （3）先利用待定系数法求出直线的解析式，再分两种情况讨论：当点P在点B的下方，由得，由待定系数法求出直线的解析式，即可求解；当点P在点B的上方，如图，交于点E，设，由得，由两点间的距离公式得关于n的方程，解方程即可求解． 【详解】（1）解：把，代入， 得， 解得， ∴， ∴顶点D的坐标为； （2）解：令，则， ∴， 设直线的解析式为，将，代入得： ， 解得， ∴直线的解析式为， 设，则， ∴， ∵，， ∴当时，取最大值， 此时， ∴； （3）解：设直线的解析式为，将，代入得， ， 解得， ∴直线的解析式为， 分以下两种情况： 当点P在点B的下方，如图， ∵， ∴， ∴可设直线的解析式为，将代入得，， ∴直线的解析式为， 令， 解得，， ∴令，则， ∴； 当点P在点B的上方，如图，交于点E， 设， ∵， ∴， ∴， 解得， ∴， ∴， 设直线的解析式为，将，代入得， ， 解得， ∴直线的解析式为， 令， 解得或， 令，则， ∴； 综上所述，抛物线上存在一点P，使得，P点的坐标为或． 18．（24-25九年级下·湖北宜昌·阶段练习）已知：抛物线：与轴交于点，直线与，轴分别交于，两点，与分别交于，两点，点位于点的左侧． (1)求线段的长； (2)若，求点的坐标； (3)若是轴上一动点，，将点沿方向平移，得到点，此时连接，． ①若点在直线上，求的值； ②若与四边形有且只有三个交点，直接写出的取值范围． 【答案】(1)； (2)； (3)①；②或或． 【分析】本题考查二次函数的图象及性质，一次函数，一元二次方程的解，根与系数的关系，等腰三角形的判定与性质，勾股定理，三角函数，平行线的性质，平行四边形的判定与性质． (1)分别求出、点坐标，即可求的长； (2)根据的长度求出点坐标，将点代入中，求出的值从而确定函数解析式为，当时，通过解方程求出点； (3)当时，由根与系数的关系可得，，求出，再由，求出，则直线的解析式为，根据点的平移关系可得，求得，再由，解得； 时，与四边形有且只有三个交点；当点在抛物线上时，求出的值，可得时，与四边形有且只有三个交点；直线与抛物线有唯一交点时，有两个相等的实数根时，由，解得，则当时，与四边形有且只有三个交点． 【详解】（1）解：当时，， ，即 当时，， ，即， ∵， ； （2）过点作轴于点，如图 有， ∵，，， ， ∴是等腰直角三角形， ∴， 点向右平移个单位长度，向下平移个单位长度得到点， ， 将点代入中，， 解得舍或， ， 当时，解得或， ； （3）当时，整理得， ，， ， ，， 四边形是平行四边形， ， ， ， 直线的解析式为， ， ， ， ， 解得； 当时，与抛物线有两个交点，或与抛物线有一个交点， 时，与四边形有且只有三个交点； 当点在抛物线上时，， 解得， 当时，与四边形有且只有四个交点； 时，与四边形有且只有三个交点； 直线的解析式为， 当有两个相等的实数根时， ， 解得， 当时，与四边形有且只有三个交点； 综上所述：或或时，与四边形有且只有三个交点． 1 学科网（北京）股份有限公司 $