2.4 第1课时 图形面积的最大值（word教案）-【优翼·学练优】2025-2026学年九年级数学下册同步备课（北师大版）

该教案聚焦二次函数解决图形面积最值问题，通过复习二次函数开口方向、对称轴及最值求法导入，搭建新旧知识衔接支架，为探究图形面积最大值奠定基础。 以情境创设和小组合作为主，通过矩形菜园、复合型窗户等实例，引导学生建立二次函数模型，结合几何直观分析自变量取值范围，培养推理能力与模型意识，助力学生提升解决实际问题能力，帮助教师高效开展教学。

九年级下册教案 2.4 二次函数的应用 第1课时 图形面积的最大值 教学内容 第1课时 图形面积的最大值 课时 1 核心素养目标 1.能够分析和表示最大面积问题中变量之间的关系，并能运用二次函数求出最大值，增强解决问题的能力. 2．通过建立二次函数的数学模型解决实际问题，培养分析问题、解决问题的能力，提高用数学的意识，在解决问题的过程中体会数形结合思想． 知识目标 1.利用二次函数解决图形问题. 2.能根据问题灵活设二次函数，选用合适的方法确定二次函数表达式. 教学重点 利用二次函数解决图形问题. 教学难点 能根据问题灵活设二次函数，选用合适的方法确定二次函数表达式. 教学准备 课件 教学过程 主要师生活动 设计意图 一、情境导入 二、探究新知 3、 当堂练习，巩固所学 1、 创设情境，导入新知 写出下列抛物线的开口方向、对称轴和顶点坐标. (1) y = x2 - 4x - 5； (2) y = -x2 - 3x + 4. 解：（1）开口方向：向上；对称轴：x = 2； 顶点坐标：（2，-9）； （2）开口方向：向下；对称轴：x = - ； 顶点坐标：（- ，）； 想一想 思考 二次函数 y = ax2 + bx + c 的最值由什么决定？ 二次函数 y = ax2 + bx + c 的最值由 a 的符号、对称轴的位置及自变量的取值范围决定. 师生活动：学生自主解答问题，教师做好提示、点评． 2、 小组合作，探究概念和性质 知识点一：求二次函数的最大(或最小)值 例1 写出下列抛物线的最值. (1) y = x2 - 4x - 5; (2) y = -x2 - 3x + 4. 解： (1)∵a=1＞0，对称轴为 x=2，顶点坐标为(2，-9), ∴当x=2时，y 取最小值，最小值为-9; (2)∵a= -1＜0，对称轴为 x= - ，顶点坐标为( - ， ), ∴当x= - 时，y 取最大值，最大值为 . 例2 已知二次函数 y＝ax2＋4x＋a－1 的最小值为 2，则 a 的值为(　C　) A．3 　　B．－1 C．4 　D．4或－1 师生活动： 要求学生先独立解决，然后同伴交流，相互订正，代表展示成果． 教师及时指导． 知识点二：几何图形面积的最大面积 引例 如图，在一个直角三角形的内部作一个矩形 ABCD，其中 AB 和 AD 分别在两直角边上. (1) 如果设矩形的一边 AB = x m，那么 AD 边的长度如何表示? (2)设矩形的面积为 y m， 当 x 取何值时，y 的值最大? 最大值是多少? 分析：要求面积就需要求矩形的两条边，把这两条边分别用含x的代数式表示出来，代入面积公式就能转化为数学问题了。 教学方法：鼓励学生合作讨论，采用不同的方法解决这一问题，通过充分交流，让所有学生都能初步体会解决这类问题的基本思路.在这里，要特别引导学讨论自变量的取值范围，以确保函数达到最大值或最小值时，对应自变量的取值在自变量的取值范围内. 议一议 在上面的问题中，如果把矩形改为如图所示的位置，其他条件不变，那么矩形的最大面积是多少？你是怎样知道的？ 教学方法：把上面的问题进行一定的变化，解决问题的方法也随之改变，在教学过程中，还 是先让各小组分别讨论，然后，由各小组将自己的解法思路展示在黑板上，如果解题思路相同， 选一个学生进行讲解，在这里，最后总结:这个题也是利用二次函数的关系来解决最值问题 例3 如图，用一段长为 60 m 的篱笆围成一个一边靠墙的矩形菜园. (1) 当墙长 32 m 时，这个矩形的长、宽各为多少时，菜园的面积最大？最大面积是多少？ (2) 当墙长 18 m 时，这个矩形的长、宽各为多少时，菜园的面积最大？最大面积是多少？ 师生活动: 1.教师引导学生分析与矩形面积相关的量. 2.教师设问，如何用含x的代数式表示与其相邻的边的长度. 3.学生自主列函数解析式，并进行整理，讨论问题解答的正确性. 4.针对问题要求进行求解，并回答问题. 解： (1) 设垂直于墙的一边长为 x m，则平行于墙的边长为 (60 − 2x) m. ∴ S = x(60 − 2x) = −2x2＋60x . x＞0， 60 − 2x＞0， 60 − 2x≤32， ∴14≤x＜30. ∵ S = −2x2＋60x = −2(x − 15)2 + 450， ∴ 当 x = 15 m 时，S 取最大值，此时 S最大值 = 450 m2. (2) 由 (1) 知 S = −2x2＋60x = −2(x2 − 30x) = −2(x − 15)2 + 450. x＞0， 60 − 2x＞0， 60 − 2x≤18， ∴21≤x＜30. ∵ 15＜21， ∴ 当 21≤ x＜30 时，S 随 x 的增大而减小， 故当 x = 21 时，S 取得最大值，此时 S最大值 = −2×(21 − 15)2 + 450 = 378 (m2). 归纳总结 二次函数解决几何面积最值问题的方法 1. 求出函数解析式和自变量的取值范围； 2. 当自变量的取值范围没有限制时，可直接利用公式求它的最大值或最小值； 3. 当自变量的取值范围有所限制时，可先配成顶点式，然后画出函数图象的草图，再结合图象和自变量的范围求函数最值. 典例精析 例4 用某建筑物的窗户如图所示，它的上半部分是半圆，下半部分是矩形，制造窗框的材料总长(图中所有黑线的长度和)为 15 m. 当 x 等于多少时，窗户通过的光线最多？(结果精确到 0.01 m)此时，窗户的面积是多少？(结果精确到 0.01 m2) 师生活动： 1.两名学生板演，其余学生在练习本上做题。 2小组内批阅。 3.对板演的内容进行评价纠错。 3、 当堂练习，巩固所学 1.如图 1，用长 8 m 的铝合金条制成如图的矩形窗框，那么最大的透光面积是 . 2. 如图1，在 △ABC 中，∠B = 90 °，B = 12 cm，BC = 24 cm，动点 P 从点 A 开始沿 AB 向 B 以 2 cm/s 的速度移动（不与点 B 重合），动点 Q 从点 B 开始沿 BC以 4 cm/s 的速度移动（不与点 C 重合）.如果 P、Q 分别从 A、B 同时出发，那么经过 s， 四边形 APQC 的面积最小. 3. (河北期末) 如图，嘉嘉欲借助院子里的一面长 15 m 的墙，想用长为 40 m 的网绳围成一个矩形 ABCD 给奶奶养鸡，怎样使矩形 ABCD 的面积最大呢? 同学淇淇帮她解决了这个问题，淇淇的思路是：设 BC 的边长为 x m. 矩形 ABCD 的面积为 S m2 不考虑其他因素，请帮他们回答下列问题： (1) 求 S 与 x 的函数关系式. 直接写出 x 的取值范围； (2) x 为何值时，矩形 ABCD 的面积最大? 设计意图：引导学生复习前面所学过的内容，由于学习本节课所用的基本知识点是求二次函数的最值，因此和同学们一起复习二次函数最值的求法，为本节课的学习做好准备。 设计意图：通过实例加强学生对二次函数求最值方法的运用. 设计意图：通过师生分析交流，让学生经历用含x的代数式表示矩形的另一边，变三个变量为两个变量，为建立二次函数模型做好铺垫，也让学生体会数形结合来表示线段的重要意义.这是解决整个实际问题的关键之处，也是难点所在，让学生在充分交流的基础上，回忆起运用三角形相似解决问题. 设计意图：根据墙长的变化，面积的表达式也在变化，同时自变量的取值范围也在变化；在求最值时，一定需要考虑自变量的取值是否在取值范围内，不在的时候根据函数草图结合自变量的范围求取最值. 设计意图：把数学问题变式到实际生活问题，让学生把数学知识运用到日常生活中，体会用数学的过程.由矩形面积变式到复合型面积，拓展了思维，以不变应万变，通过本题的训练让学生进一步体会利用二次函数解决最大面积问题的方法、过程. 设计意图： 针对本课时的主要问题，从多个角度、分层次进 行检测，达到学有所成、了解课堂学习效果的目的. 板书设计 实际问题与二次函数 第1课时二次函数与图形面积 解题方法： (1) 用自变量表示与面积相关的量. (2)利用面积公式列函数解析式，并进行整理、 (3)确定自变量的取值范围. (4)利用顶点坐标公式求出问题中最大面积. 课后小结 教学反思 由于本节课的内容是二次函数的应用问题，重在通过学习总结解决问题的方法，故而本节课以“启发探究式”为主线开展教学活动，以学生动手动脑探究为主，必要时加以小组合作讨论，充分调动学生学习积极性和主动性，突出学生的主体地位，达到“不但使学生学会，而且使学生会学”的目的. 学科网（北京）股份有限公司 $