精品解析：云南省昭通市镇雄县民族中学2025-2026学年上学期九年级数学期中考试题

民族中学九年级数学2025-2026年秋期期中考试题 一、选择题（36分） 1. 在平面直角坐标系中，点关于原点对称的点的坐标是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】关于原点对称的两点，则其横、纵坐标互为相反数，由点关于原点对称的坐标特征即可求得对称点的坐标． 【详解】点关于原点对称的点的坐标为； 故选：A． 【点睛】本题考查了求关于原点对称的点的坐标，掌握关于原点对称的坐标特征是关键． 2. 我国是一个多民族国家，民俗文化丰富多彩．下面是几幅具有浓厚民族特色的图案，其中既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了轴对称图形和中心对称图形，根据轴对称图形和中心对称图形的定义：如果一个平面图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形就叫做轴对称图形；中心对称图形的定义：把一个图形绕着某一个点旋转，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形，这个点就是它的对称中心，进行逐一判断即可． 【详解】解：A、是轴对称图形，不是中心对称图形，故A选项不合题意； B、既是轴对称图形又是中心对称图形，故B选项符合题意； C、是轴对称图形，不是中心对称图形，故C选项不合题意； D、既不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故D选项不合题意． 故选：B． 3. 如图，AB是⊙O的弦，OD⊥AB于D，交⊙O于E，则下列说法错误的是( ) A. AD＝BD B. ∠AOE＝∠BOE C. D. OD＝DE 【答案】D 【解析】 【分析】由垂径定理和圆周角定理可证， AD=BD，，根据三线合一的性质得出∠AOE=∠BOE，而点D不一定是OE的中点，故D错误． 【详解】∵OD⊥AB ∴由垂径定理知，点D是AB的中点，有AD=BD，， ∴△AOB是等腰三角形，OD是∠AOB的平分线， ∴∠AOE=∠BOE， 故A、B、C正确，AB的中点D不一定是OE的中点，故错误． 故选D． 【点睛】本题考查了垂径定理，等腰三角形的性质和圆周角定理，掌握在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半是解题的关键． 4. 若关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，则的取值范围是（ ） A. 且 B. C. 且 D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的定义，判别式的意义；根据一元二次方程有两个不相等的实数根的条件：二次项系数不为零且判别式大于零，列不等式求解． 【详解】∵一元二次方程有两个不相等的实数根， ∴ 即 解得：且． 故选：C． 5. 如图，AB是的直径，点C，D在上，，则的大小是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】首先根据圆周角定理求得∠2=2∠D=40°，然后由邻补角的定义求∠1的大小． 【详解】解：如图，∵∠D=20°， ∴∠2=2∠D=40°． ∴∠1=180°-∠2=140°． 故选：B． 【点睛】本题考查圆周角定理，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型． 6. 某植物的主干长出若干数目的支干，每个支干又长出相同数目的小分支，主干、支干、分支的总数是73，则这种植物每个支干长出的小分支个数是（ ） A. 5 B. 6 C. 7 D. 8 【答案】D 【解析】 【分析】设这种植物每个支干长出的小分支个数是x，则主干的数量为1，支杆的数量为x，分支的数量为 ，根据主干、支干、分支的总数是73，列出方程求解即可． 【详解】解：设这种植物每个支干长出的小分支个数是x， 由题意得，， 解得（舍去）或， ∴这种植物每个支干长出的小分支个数是8， 故选D． 【点睛】本题主要考查了一元二次方程的实际应用，正确理解题意找到等量关系列出方程是解题的关键． 7. 用配方法解方程，下列变形正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】先将常数项移到等式右边，再将两边都加上一次项系数一半的平方，然后依据完全平方公式将左边写成完全平方式即可解答． 【详解】解：， ， ∴，即． 故选：． 【点睛】本题主要考查解配方法的应用，掌握配方法是解题的关键． 8. 二次函数的顶点坐标是（　　） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】利用顶点式可直接得到抛物线的顶点坐标． 【详解】解：∵， ∴顶点坐标为， 故选：B． 【点睛】本题主要考查二次函数的顶点坐标，掌握二次函数的顶点式是解题的关键． 9. 若抛物线经过点，则k的值为（ ） A. -4 B. -2 C. 2 D. 4 【答案】D 【解析】 【分析】将点（-1，3）代入即可得． 【详解】解：将点（-1，3）代入得： 故选D 【点睛】本题考查了待定系数法，解题的关键是把点（-1，3）代入． 10. 关于x的一元二次方程x2﹣2x+m=0有两个不相等的实数根，则实数m的取值范围是（　　） A. m＜3 B. m＞3 C. m≤3 D. m≥3 【答案】A 【解析】 【详解】分析：根据关于x的一元二次方程x2-2x+m=0有两个不相等的实数根可得△=（-2）2-4m＞0，求出m的取值范围即可． 详解：∵关于x的一元二次方程x2-2x+m=0有两个不相等的实数根， ∴△=（-2）2-4m＞0， ∴m＜3， 故选A． 点睛：本题考查了一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0，a，b，c为常数）的根的判别式△=b2-4ac．当△＞0时，方程有两个不相等的实数根；当△=0时，方程有两个相等的实数根；当△＜0时，方程没有实数根． 11. 已知是一元二次方程的两个不相等的实数根，则的值为（　　） A. B. 5 C. 3 D. 【答案】C 【解析】 【分析】先根据一元二次方程根与系数的关系得出，然后整体代入求值即可． 【详解】∵是一元二次方程的两个不相等的实数根， ∴， ∴， 故选：C． 【点睛】本题考查了一元二次方程根与系数的关系，若是一元二次方程的两个实数根，则，熟练掌握知识点是解题的关键． 12. 如图，是二次函数的图象的一部分，对称轴是直线，与x轴的一个交点坐标是给出下列命题：①；②；③的两根分别为和1；④，其中正确的命题是（    ） A. ①② B. ②③ C. ①③ D. ①③④ 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的图象与系数的关系：二次函数的图象为抛物线，当，抛物线开口向上；对称轴为直线；抛物线与y轴的交点坐标为． 根据抛物线与x轴的交点坐标为对①进行判断；根据对称轴方程为对②进行判断；根据抛物线的对称性得到抛物线与x轴的交点坐标为和，由此对③进行判断；根据抛物线的顶点在x轴下方，得到，对④进行判断． 【详解】解：时，， ， 所以①正确； ， ， 所以②错误； 点关于直线对称的点的坐标为， 抛物线与x轴的交点坐标为和， 的两根分别为和1， 所以③正确； 由图可知当时，， 所以④错误． 故选：． 二、填空题（12分） 13. 已知关于的一元二次方程的常数项是0，则______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的定义以及相关概念，解题的关键是确定常数项，并注意二次项系数不为零的前提条件． 根据一元二次方程的定义以及常数项为0，列出方程解答即可． 【详解】解：由题意可知：， ∴解得：或， 又∵， ∴， ∴． 故答案为：． 14. 如图，一块矩形铁皮的长是宽的2倍，将这个铁皮的四角各剪去一个边长为3cm的小正方形，做成一个无盖的盒子，若盒子的容积是240cm3，则原铁皮的宽为______cm． 【答案】11． 【解析】 【详解】试题分析：设这块铁片的宽为xcm，则铁片的长为2xcm，由题意，得3（2x﹣6）（x﹣6）=240，解得x1=11，x2=﹣2（不合题意，舍去），答：这块铁片的宽为11cm． 故答案为11． 考点： 一元二次方程的应用． 15. 平面直角坐标系中，一点关于原点的对称点的坐标是______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查关于原点对称的点坐标的特征，即点 关于原点的对称点为 ，准确计算是解题的关键． 根据点的对称特点计算即可． 【详解】解：点关于原点的对称点的坐标为； 故答案为． 16. 将抛物线向左平移3个单位长度，再向下平移1个单位长度后，得到的抛物线为__________________________． 【答案】 【解析】 【分析】按“左加右减括号内，上加下减括号外”的规律平移即可得出所求函数的解析式． 【详解】将抛物线向左平移3个单位长度，再向下平移1个单位长度后，得到的抛物线为， 故答案为． 【点睛】本题考查了二次函数图象的平移，其规律是：将二次函数解析式转化成顶点式(a，b，c为常数，)，“左加右减括号内，上加下减括号外”，熟练掌握这一规律是解答本题的关键． 三、解答题（52分） 17. 解方程： （1）； （2）． 【答案】（1）， （2）， 【解析】 【分析】本题考查了解一元二次方程，解题的关键是掌握一元二次方程的解法：直接开平方法，配方法，公式法，因式分解法等． （1）利用直接开平方法解一元二次方程即可； （2）利用配方法解一元二次方程即可． 【小问1详解】 解得，； 【小问2详解】 解得，． 18. 关于x的方程． （1）求证：不论m取何值，方程总有两个实数根； （2）若该方程有两个实数根，且，求m的值． 【答案】（1） 证明：， ∴， ∴不论取何值，方程总有两个实数根； （2）1或3 【解析】 【分析】本题考查一元二次方程根的情况与判别式关系，一元二次方程根与系数的关系，熟记一元二次方程判别式与方程根的情况联系、一元二次方程根与系数的关系是解决问题的关键． （1）根据一元二次方程根的情况与判别式的关系，只要判定即可得到答案； （2）根据一元二次方程根与系数的关系得到，将变形为，代入求解即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：∵， ∴， ∵ ∴， ∴， ∴， 解得：． ∴m的值为1或3． 19. 在如图所示的单位正方形网格中，经过平移后得到， （1）说明是由经过怎样的平移得到的？ （2）在轴上作一点，使最小，并写出点的坐标 （3）计算的面积． 【答案】（1）先向下平移个单位，再向左平移个单位 （2） （3） 【解析】 【分析】本题考查平面直角坐标系中图形的平移，最短路径，一次函数的知识，解题的关键是掌握平面直角坐标系中图形的平移的规律，一次函数图象和性质，进行解答，即可． （1）根据平面直角坐标系中图形的平移，得到平移的方向，即可； （2）以轴为对称轴作点的对称点，连接与轴交于，此时有最小值，设直线的解析式为：，求出解析式，当时，即可求出点的坐标； （3）运用割补法求解即可． 【小问1详解】 解：由平面直角坐标系中平移的图形可知：先向下平移个单位，再向左平移个单位得到． 【小问2详解】 解：以轴为对称轴作点的对称点，连接与轴交于， ∴， ∴，此时有最小值， ∵，， 设直线的解析式为：， ∴， 解得：， ∴直线的解析式为：， 当时，， ∴点． 【小问3详解】 解：． 20. 为满足广大群众阅读需求，某图书馆不断完善藏书数量，今年7月份图书馆中有藏书50000册，到今年9月份藏书数量增长到72000册．求该图书馆这两个月藏书的平均增长率． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．设该图书馆这两个月藏书的平均增长率为x，然后列出一元二次方程，进而计算后可以得解． 【详解】解：设该图书馆这两个月藏书的平均增长率为， 依题意得：， 解得：，（不合题意，舍去）， 答：该图书馆这两个月藏书的平均增长率为． 21. 抛物线的最低点为，且与y轴交于点问点在此抛物线上吗？请通过计算说明． 【答案】点不在此抛物线上，理由如下： 设抛物线的解析式为， 将代入，得：， 解得：， 抛物线的解析式为， 把代入得，， 点不在此抛物线上． 【解析】 【分析】本题考查了待定系数法求二次函数解析式，二次函数图象上点的坐标特征，熟练掌握待定系数法是解题的关键． 由抛物线的顶点坐标可设抛物线的解析式为代入点可求出a值，进而可得出抛物线的解析式，然后代入点判断即可． 【详解】略 22. 某超市销售樱桃，已知樱桃的进价为15元/千克，如果售价为20元/千克，那么每天可售出250千克，如果售价为25元/千克，那么每天可售出200千克，经调查发现：每天的销售量y（千克）与售价x（元/千克）之间存在一次函数关系． （1）求y与x之间的函数关系式； （2）若樱桃的售价不得高于28元/千克，请问售价定为多少时，该超市每天销售樱桃所获的利润最大？最大利润是多少元？ 【答案】（1） （2）售价为28元时，每天获利最大为2210元 【解析】 【分析】此题主要考查了二次函数的应用以及一次函数应用，解题的关键是正确利用二次函数增减性． （1）直接利用待定系数法求出一次函数解析式进而得出答案； （2）首先表示出每天的获利，进而利用配方法结合二次函数增减性得出答案 【小问1详解】 设与的函数关系式为：， ∵当时，；时，， ， 解得：， 与的函数关系式为：； 【小问2详解】 解：设每天获利元， ， ， 开口向下， 对称轴为， 在时，随的增大而增大， 时，（元）， 答：售价为28元时，每天获利最大为2210元． 23. 如图，抛物线与x轴交于A，B两点，y与轴交于点C，抛物线的对称轴交x轴于点D．已知A（-1 ，0），C（0，3）． （1）求抛物线的解析式； （2）在抛物线的对称轴上有一点M，使得MA+MC的值最小，求此点M的坐标； （3）在抛物线的对称轴上是否存在P点，使△PCD是等腰三角形，如果存在，求出点P的坐标，如果不存在，请说明理由． 【答案】（1） （2）点M坐标（1，2） （3）存在，点P坐标为（1，6），（1，），（1，），（1，） 【解析】 【分析】（1）把A、C两点的坐标代入y=-x2+bx+c，利用待定系数法即可求出二次函数的解析式； （2）由抛物线的对称性可知点A与点B关于对称轴对称，所以BC与抛物线对称轴的交点为M，此时MA+MC最小，即MA+MC最小值等于线段BC长，求出直线BC与抛物线对称轴交点M坐标即可； （3）分两种情况讨论：i)当△PCD是以CD为腰的等腰三角形时，又可分两种情况讨论：①PC=CD；②PD=CD．设出点P的坐标，利用两点间的距离公式列出方程求解即可； ii)当△PCD是以CD为底的等腰三角形时，点P在CD的垂直平分线上，PC=PD，利用两点间的距离公式列出方程求解即可． 【小问1详解】 解：把A（-1，0），C（0，3）代入y=-x2+bx+c， 得：，解得：， ∴抛物线的解析式为：y=-x2+2x+3； 【小问2详解】 解：由抛物线的对称性可知点A与点B关于抛物线的对称轴对称， 所以设BC与抛物线对称轴的交点为M，此时MA+MC最小，即MA+MC最小值=BC，如图， ∵y=-x2+2x+3=-（x-1）2+4； ∴抛物线的对称轴为直线x=1， ∵A（-1，0），点A与点B关于抛物线的对称轴对称， ∴B（3，0）， 设直线BC解析式为y=kx+m， 则，解得， ∴直线BC解析式为y=-x+3， 当x=1时，y=2， ∴M（1，2）． 【小问3详解】 解：∵y=-x2+2x+3=-（x-1）2+4， ∴对称轴为直线x=1， ∴D（1，0）． 设点P的坐标为（1，t）， ∵C（0，3）， ∴CD2=12+32=10． 分两种情况讨论：i)当△PCD是以CD为腰的等腰三角形时，又可分两种情况讨论： ①若PC=CD，则12+（t-3）2=10，解得t=0（舍弃）或6， 所以点P的坐标为（1，6）； ②若PD=CD，则t2=10，解得t=±， 所以点P的坐标为（1，）或（1，-）； ii)当△PCD是以CD为底的等腰三角形时，PC=PD， 则1+（t-3）2=t2，解得：t=， 所以点P的坐标为（1，）； 综上所述，点P的坐标有三个，分别是（1，6）或（1，））或（1，-）或（1，）． 【点睛】本题是二次函数的综合题，考查了利用待定系数法求二次函数和一次函数的解析式、二次函数的性质、利用轴对称求最短距离；难度适中，在考虑构建等腰三角形时，采用了分类讨论的思想． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 民族中学九年级数学2025-2026年秋期期中考试题 一、选择题（36分） 1. 在平面直角坐标系中，点关于原点对称的点的坐标是（ ） A. B. C. D. 2. 我国是一个多民族国家，民俗文化丰富多彩．下面是几幅具有浓厚民族特色的图案，其中既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 3. 如图，AB是⊙O的弦，OD⊥AB于D，交⊙O于E，则下列说法错误的是( ) A. AD＝BD B. ∠AOE＝∠BOE C. D. OD＝DE 4. 若关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，则的取值范围是（ ） A. 且 B. C. 且 D. 5. 如图，AB是的直径，点C，D在上，，则的大小是（ ） A. B. C. D. 6. 某植物的主干长出若干数目的支干，每个支干又长出相同数目的小分支，主干、支干、分支的总数是73，则这种植物每个支干长出的小分支个数是（ ） A. 5 B. 6 C. 7 D. 8 7. 用配方法解方程，下列变形正确的是（ ） A. B. C. D. 8. 二次函数的顶点坐标是（　　） A. B. C. D. 9. 若抛物线经过点，则k的值为（ ） A. -4 B. -2 C. 2 D. 4 10. 关于x的一元二次方程x2﹣2x+m=0有两个不相等的实数根，则实数m的取值范围是（　　） A. m＜3 B. m＞3 C. m≤3 D. m≥3 11. 已知是一元二次方程的两个不相等的实数根，则的值为（　　） A. B. 5 C. 3 D. 12. 如图，是二次函数的图象的一部分，对称轴是直线，与x轴的一个交点坐标是给出下列命题：①；②；③的两根分别为和1；④，其中正确的命题是（    ） A. ①② B. ②③ C. ①③ D. ①③④ 二、填空题（12分） 13. 已知关于的一元二次方程的常数项是0，则______． 14. 如图，一块矩形铁皮的长是宽的2倍，将这个铁皮的四角各剪去一个边长为3cm的小正方形，做成一个无盖的盒子，若盒子的容积是240cm3，则原铁皮的宽为______cm． 15. 平面直角坐标系中，一点关于原点的对称点的坐标是______． 16. 将抛物线向左平移3个单位长度，再向下平移1个单位长度后，得到的抛物线为__________________________． 三、解答题（52分） 17. 解方程： （1）； （2）． 18. 关于x的方程． （1）求证：不论m取何值，方程总有两个实数根； （2）若该方程有两个实数根，且，求m的值． 19. 在如图所示的单位正方形网格中，经过平移后得到， （1）说明是由经过怎样的平移得到的？ （2）在轴上作一点，使最小，并写出点的坐标 （3）计算的面积． 20. 为满足广大群众阅读需求，某图书馆不断完善藏书数量，今年7月份图书馆中有藏书50000册，到今年9月份藏书数量增长到72000册．求该图书馆这两个月藏书的平均增长率． 21. 抛物线的最低点为，且与y轴交于点问点在此抛物线上吗？请通过计算说明． 22. 某超市销售樱桃，已知樱桃的进价为15元/千克，如果售价为20元/千克，那么每天可售出250千克，如果售价为25元/千克，那么每天可售出200千克，经调查发现：每天的销售量y（千克）与售价x（元/千克）之间存在一次函数关系． （1）求y与x之间的函数关系式； （2）若樱桃的售价不得高于28元/千克，请问售价定为多少时，该超市每天销售樱桃所获的利润最大？最大利润是多少元？ 23. 如图，抛物线与x轴交于A，B两点，y与轴交于点C，抛物线的对称轴交x轴于点D．已知A（-1 ，0），C（0，3）． （1）求抛物线的解析式； （2）在抛物线的对称轴上有一点M，使得MA+MC的值最小，求此点M的坐标； （3）在抛物线的对称轴上是否存在P点，使△PCD是等腰三角形，如果存在，求出点P的坐标，如果不存在，请说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $