全国初中数学八年级竞赛模拟卷（二）八年级全国通用

全国初中数学八年级竞赛模拟卷（二） 一、单选题（共6小题，满分30分，每小题5分） 1．比较整数与的大小，结果为（    ） A． B． C． D． 2．某校八年级一班进行了60秒跳绳的次数统计，列出频数分布直方图如下（每个分组包括左端点，不包括右端点），根据图中的信息判断：关于这次跳绳次数的中位数的结论一定正确的是（   ） A．中位数在80次~100次之间 B．中位数在100次～120次之间 C．中位数在100次～110次之间 D．中位数在110次～120次之间 3．四边形一组对边中点的连线长为d，另一组对边（不平行）的长分别为a和b，则d与的大小关系是（    ）． A． B． C． D． 4．如图，平面直角坐标系中，点A的坐标为，且，在坐标轴上取一点P，使是等腰三角形，则符合条件的P点有（   ）个． A．4 B．5 C．6 D．7 E．8 5．如图，在中，，点到三边的距离相等．设，．记，则下列结论中正确的是（   ）    A．最小 B．最小 C．最小 D． 6．化简的结果是（   ） A． B． C． D． 二、填空题（共6小题，满分30分，每小题5分） 7．已知，求代数式的值为 ． 8．如图，在四边形中,平分，，，，当面积最大时,的长为 ． 9．给定一个正整数，任意两个整数与分别除以所得的余数相同，我们就说a，b对同余，记作．例如：，记作． ① ②若，则 ③若，则 ④若为整数)，则．以上说法正确的有 ． 10．已知，， ∴， 计算 ． 11．如图，正方形，E、F分别为、上的点，连接、相交于一点G，若，，的面积等于5，的面积等于14，求四边形的面积 12．如图，在中，，点，，点在轴正半轴上，点为内部一点，使得之和最小，则这个和的最小值为 ． 三、解答题（共6小题，满分60分） 13．（本题8分）先化简，再求值：，其中． 14．（本题10分）二次三项式可以分解因式成． (1)求证：； (2)若u，v都是整数，求a的所有值 15．（本题10分）如图，凸五边形的对角线分别与对角线和交于点F和G，已知，，，和分别为和的面积，求的值． 16．（本题10分）如图，在直角坐标系中，直线与轴、轴分别交于点，．点在轴负半轴上，且． (1)求直线的解析式 (2)若直线与直线交于点，与轴交于点，交的延长线于点，且，求的值． (3)直接写出的解集． 17．（本题10分）点为内一点，如果，那么我们称点为关于，的等角点． (1)如图1，在中，，点是边的中点，点为关于的等角点，于点于点，求证：； (2)如图2，若将第（1）中的“”改成“”，其他条件不变，求证：． 18．（本题12分）如图1，A，B，C三点共线，分别以为边在同侧作等边三角形和等边三角形，则有，． (1)如图2，若A，B，C三点不共线，其余条件不变，上面的结论还成立吗？若成立，请给出证明；若不成立，请说明理由． (2)如图3，若把图2中“等边三角形和等边三角形”，改为“以点A为直角顶点的等腰直角三角形和等腰直角三角形”，其余条件不变，则______°；若，则______． (3)在图2中，若把“等边三角形和等边三角形”，改为其他的特殊三角形，其余条件不变，要想依然相等，两个特殊三角形至少需要满足什么条件？当满足该条件时，会变化吗？若变化，设，请用含的式子表示． 1 / 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 全国初中数学八年级竞赛模拟卷（二） 一、单选题（共6小题，满分30分，每小题5分） 1．比较整数与的大小，结果为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了幂的乘方、有理数的大小比较，将和化成同指数幂的形式，再比较底数的大小即可得解，熟练掌握运算法则是解此题的关键． 【详解】解：， ， ∵， ∴，即， 故选：B． 2．某校八年级一班进行了60秒跳绳的次数统计，列出频数分布直方图如下（每个分组包括左端点，不包括右端点），根据图中的信息判断：关于这次跳绳次数的中位数的结论一定正确的是（   ） A．中位数在80次~100次之间 B．中位数在100次～120次之间 C．中位数在100次～110次之间 D．中位数在110次～120次之间 【答案】B 【分析】本题考查了中位数的意义，先求得总人数，再根据中位数意义，即可确定中位数的范围． 【详解】解：总人数为，中位数为第，个数的平均数， ∵，， ∴中位数一定在100～120范围内； 故选：B． 3．四边形一组对边中点的连线长为d，另一组对边（不平行）的长分别为a和b，则d与的大小关系是（    ）． A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了三角形的中位线定理，三角形的三边关系，构造三角形的中位线是解答本题的关键，设G，F分别是，的中点，连结，取中点E，连接，，根据三角形的中位线定理可得，，由三角形的三边关系可得，即，结合与不平行，即得答案． 【详解】如图，设G，F分别是，的中点，连结，取中点E，连接，， 是的中点，是的中点， ，， 即， 又与不平行， 所以． 故选：C． 4．如图，平面直角坐标系中，点A的坐标为，且，在坐标轴上取一点P，使是等腰三角形，则符合条件的P点有（   ）个． A．4 B．5 C．6 D．7 E．8 【答案】C 【分析】本题考查了等腰三角形的判定和性质，把所有可能的情况都找出来，不遗漏任何一种情况是本题的关键．分类讨论：时，时，时，根据两边相等的三角形是等腰三角形，可得答案． 【详解】解：点A的坐标为，且，， ，， ， ， ， 以点为圆心，以长为半径画圆，交轴于点，交轴于点，故此时满足条件的点有3个， 此时，，， 为等边三角形， 当作线段的垂直平分线时，该垂直平分线一定过点， 以点为圆心，以长为半径画圆，交轴于点，交轴于点，故此时满足条件的点（不算）有2个， 作的线段垂直平分线，交轴于点，交轴于，此时满足条件的点（不算）有1个， 综上所述：符合条件的点P共有6个． 故选：C． 5．如图，在中，，点到三边的距离相等．设，．记，则下列结论中正确的是（   ）    A．最小 B．最小 C．最小 D． 【答案】C 【分析】本题考查了三角形角平分线的性质，全等三角形的判定和性质，三角形三边关系，正确画出辅助线是解题的关键． 在上截取，证明，即可得到，同理可得，即可解答． 【详解】解：点到三边的距离相等， 点为三条角平分线的交点， ， 如图，在上截取， ， ， ， 在中，， 即， ， ， 在上截取， 同理可得， ， 在中，， 即， ， ， 故最小， 故选：C．    6．化简的结果是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了二次根式的化简运算、因式分解及分母有理化，解题的关键是对分母进行因式分解，建立分母与分子的数量关联，通过约分简化表达式后完成分母有理化． 先对分母提取公因式 2 进行初步变形；再观察发现分子与的乘积等于分母提取公因式后的剩余部分，据此将分母表示为含分子的形式；约去分子与分母的公因式，最后对剩余分式进行分母有理化，得出结果后对比选项． 【详解】解：原式 故选：D． 二、填空题（共6小题，满分30分，每小题5分） 7．已知，求代数式的值为 ． 【答案】10 【分析】本题考查了二次根式的变形运算、代数式降次求值技巧，解题的关键是通过对已知变形平方，得到低次等式，再利用该等式将原式进行变形并整体代入即可求得结果． 由已知的表达式变形得，两边平方消去根号，推导得出；利用此等式对原式进行恰当的变形，代入化简，最终消去含的项得到结果． 【详解】解：由得， 两边平方得，即． ∴ 故答案为：10． 8．如图，在四边形中,平分，，，，当面积最大时,的长为 ． 【答案】 【分析】本题考查了角平分线的性质、全等三角形的判定与性质、三角形面积的计算与最值、直角三角形斜边中线定理，解题的关键是延长与交于点G，利用的角平分线和垂直条件构造全等三角形，将转化为定长，再结合D为中点的性质关联与的面积，通过面积最大值时需满足，从而求得的长，再用直角三角形中线的性质求． 延长、交于G，证得、，由推出；因D为中点，故；根据时面积最大；在中，利用直角三角形斜边中线等于斜边一半的性质求． 【详解】解：延长、交于点G， ∵平分， ∴， ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵，即D为中点， ∴(等底同高，面积比为， 要使最大，需最大，此时，即为直角三角形， 由勾股定理得， ∵D为中点，直角三角形斜边中线等于斜边一半， ∴． 故答案为：． 9．给定一个正整数，任意两个整数与分别除以所得的余数相同，我们就说a，b对同余，记作．例如：，记作． ① ②若，则 ③若，则 ④若为整数)，则．以上说法正确的有 ． 【答案】②③④ 【分析】本题考查了新定义的运算，多项式乘多项式等知识．解题的关键在于理解题意．按照新定义分别对各说法进行判断即可． 【详解】解：∵，，二者余数不同， ∴①错误，故不符合要求； ∵， ∴记，，其中均为正整数，则，， ∴，， ∴整数与分别除以3所得的余数和分别除以3所得的余数相同， ∴， ∴②正确，故符合要求； ∵， 记，，，，其中均为正整数，则，，，， ∴，， ∴整数、分别除以7所得的余数和除以7所得的余数相同， ∴， ∴③正确，故符合要求； ∵， ∴整数与分别除以9所得的余数相同， ∴， ∴④正确，故符合要求； 综上，②③④正确， 故答案为∶ ②③④． 10．已知，， ∴， 计算 ． 【答案】145 【分析】本题考查完全平方公式和平方差公式，利用完全平方公式和平方差公式将原式变形为计算即可． 【详解】解： ； ∴原式 ． 故答案为： 11．如图，正方形，E、F分别为、上的点，连接、相交于一点G，若，，的面积等于5，的面积等于14，求四边形的面积 【答案】/ 【分析】本题主要考查了二元一次方程组的应用，三角形高的计算，连接、，设，，则，，根据的面积等于5，的面积等于14，得出，求出，即可得出答案． 【详解】解：连接、，如图所示： ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 设，，则，， ∵的面积等于5，的面积等于14， ， 解得：， ∴，， ∴． 故答案为：． 12．如图，在中，，点，，点在轴正半轴上，点为内部一点，使得之和最小，则这个和的最小值为 ． 【答案】 【分析】本题考查了最短距离问题，等边三角形的判定和性质，含的直角三角形，正确作出图形是解题的关键． 任取内一点，连接、、，将绕点顺时针旋转得到，于是得到当，，这三条线段在同一直线时最短，即的最小值，过作轴于，解直角三角形即可得到结论． 【详解】解：如图，任取内一点，连接、、， 将绕点顺时针旋转得到’， ，，，， 是等边三角形， ， ， 当，，这三条线段在同一直线时最短，即的最小值， ， ，, ， 过作轴于， ， ，， ， ， 、、之和的最小值是． 故答案为：． 三、解答题（共6小题，满分60分） 13．（本题8分）先化简，再求值：，其中． 【答案】； 【分析】本题考查分式的化简求值，二次根式的运算，利用平方差公式和完全平方公式进行因式分解，再进行化简，最后代值计算即可． 【详解】解：原式 当时， 原式． 14．（本题10分）二次三项式可以分解因式成． (1)求证：； (2)若u，v都是整数，求a的所有值 【答案】(1)见解析 (2)或25或24或32或49 【分析】本题考查了因式分解，多项式乘以多项式运算，分式的加法运算等知识点，难度较大． （1）由题意得，然后根据对应关系得到，，则，然后再等式两边同除以即可证明； （2）设，则有化简求出，而，再分类讨论求解． 【详解】（1）证明：， ∴，， ∴， ∴， ∴； （2）解：设，则有， ∴ ∴， ∴， ∵， 当，则， ∴， 当，则， ∴， 当，则， ∴， 当，则， ∴， 当，则， ∴， 综上分析，或25或24或32或49． 15．（本题10分）如图，凸五边形的对角线分别与对角线和交于点F和G，已知，，，和分别为和的面积，求的值． 【答案】 【分析】本题主要考查了三角形的面积，根据等高三角形的面积和底边的关系来求面积是本题解题的关键． 如图：连接，设的面积为4，根据等高三角形可得，同理可得，则，又易得，再求得，最后代入计算即可。 【详解】解：如图：连接，设的面积为4， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 16．（本题10分）如图，在直角坐标系中，直线与轴、轴分别交于点，．点在轴负半轴上，且． (1)求直线的解析式 (2)若直线与直线交于点，与轴交于点，交的延长线于点，且，求的值． (3)直接写出的解集． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题综合考查一次函数图象与性质、三角形面积关系、待定系数法等知识； （1）通过求坐标和利用面积求点坐标再求解析式； （2）利用面积关系转化为中点问题求坐标进而求； （3）通过变形不等式结合函数图象求解． 【详解】（1）解：直线与轴、轴分别交于点， 当时，；当时，， ∴，． 则． ∵， ∴． ∴． 设直线的解析式为，代入，得 ， 解得：， ∴直线的解析式为 （2）解：∵， ∴， 又∵， ∴， ∵在上，当时，． ∴． 联立， 得，， ∴， ∴， 代入得，， 解得． （3）变形为， 即的图象在图象上方时的取值范围， 由（2）知，则， 所以解集为． 17．（本题10分）点为内一点，如果，那么我们称点为关于，的等角点． (1)如图1，在中，，点是边的中点，点为关于的等角点，于点于点，求证：； (2)如图2，若将第（1）中的“”改成“”，其他条件不变，求证：． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题考查了全等三角形判定和性质，等腰三角形的性质，三角形的中位线定理，正确的作出辅助线是解题的关键． （1）通过和，就看得到结论； （2）分别取，的中点，，连接，，，，由是关于、的等角点，得到，，由于，都是的中位线，推出，，，，由于，，，，得到，，根据，得到结论． 【详解】（1）证明是关于、的等角点， ， ， ， ， ， ，， ，， 在与 中， ， ， 点是的中点， ， ，， 在与中， ， ， ； （2）证明：如图，分别取，的中点，，连接，，，， ， ，， ，， ，， 是关于、的等角点， ， ， ，都是的中位线， ，，，， ，， ， ， ， ，，，， ，， 在与中， ， ， ． 18．（本题12分）如图1，A，B，C三点共线，分别以为边在同侧作等边三角形和等边三角形，则有，． (1)如图2，若A，B，C三点不共线，其余条件不变，上面的结论还成立吗？若成立，请给出证明；若不成立，请说明理由． (2)如图3，若把图2中“等边三角形和等边三角形”，改为“以点A为直角顶点的等腰直角三角形和等腰直角三角形”，其余条件不变，则______°；若，则______． (3)在图2中，若把“等边三角形和等边三角形”，改为其他的特殊三角形，其余条件不变，要想依然相等，两个特殊三角形至少需要满足什么条件？当满足该条件时，会变化吗？若变化，设，请用含的式子表示． 【答案】(1)成立，理由见解析 (2)90,6 (3)等腰三角形和等腰三角形，且，时，依然相等， 【分析】本题主要考查了全等三角形的性质和判定，等边三角形的性质，等腰三角形的性质，三角形内角和定理， 对于（1），根据等边三角形的性质得，即可得，再根据“边角边”证明，可得，然后根据三角形内角和定理得出答案； 对于（2），仿照（1）解答即可； 对于（3），添加条件仿照（1）证明，进而得出答案. 【详解】（1）解：成立， 理由如下：∵是等边三角形， ∴， ∴， 即， ∴， ∴. ∵，， ∴. （2）解：90，6； ∵是等腰直角三角形， ∴， ∴， 即， ∴， ∴. ∵，， ∴. 故答案为：90,6； （3）解：当和是等腰三角形，且，满足时，依然相等，发生变化， ∵和是等腰三角形，且，， ∴， 即， ∴， ∴. ∵， ∴. ∵，， ∴. 1 / 1 学科网（北京）股份有限公司 $