精品解析：四川省内江市第一中学2025-2026学年高三上学期期中考试数学试题

内江一中高2026届高三上期中考试试题 数学 1、本试卷包括第I卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分.全卷满分150分，考试时间120分钟. 2、答第I卷时，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号；答第Ⅱ卷时，用0.5毫米的黑色签字笔在答题卡规定的区域内作答，字体工整，笔记清楚；不能答在试题卷上. 3、考试结束后，监考人将答题卡收回. 第I卷（选择题，共58分） 一、选择题：本大题共8个小题，每小题5分，共40分，每小题有且只有一个正确答案. 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据条件，利用集合的运算，即可求解. 【详解】因为，又， 所以， 故选：A. 2. 复数（其中为虚数单位）的实部为（ ） A. 6 B. 7 C. 8 D. 9 【答案】B 【解析】 【分析】利用复数的运算得，即可求解. 【详解】因为，所以复数（其中为虚数单位）的实部为， 故选：B. 3. 已知为等差数列，记为其前n项和，若，则（ ） A. 3 B. 7 C. 13 D. 2 【答案】C 【解析】 【分析】由及已知，即可求. 【详解】由. 故选：C 4. ，则的大小关系为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】利用指数函数与对数函数的图像与性质即可求解. 【详解】由于，，，所以； 故选：B 5. 若直线与曲线相切，则实数的值为（ ） A. 0 B. 1 C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】先对曲线方程求导，根据导数的几何意义得出切点处的导数等于直线斜率，从而求出切点坐标，最后把切点坐标代入直线方程求出． 【详解】曲线方程求导得， 直线与曲线相切，设切点为，则，解得， 代入曲线方程得，故切点坐标为， 切点同时位于直线上， ，解得． 故选：B． 6. 为了研究y关于x的线性相关关系，收集了5组样本数据（见下表）.若已求得一元线性回归方程，则下列选项中正确的是（ ） x 1 2 3 4 5 y 0.5 0.9 1 1.1 1.5 A. B. x与y的样本是负相关 C. 当时，y的预估值为2.2 D. 去掉样本点后，x与y的样本相关系数r必会改变 【答案】A 【解析】 【分析】由表格数据求出样本中心点求解判断A；由的正负判断B；由回归方程计算判断C；由相关系数公式判断D. 【详解】，则样本中心点为， 对于A，由，得，A正确； 对于B，由，得与的样本是正相关，B错误； 对于C，当时，的预估值为，C错误； 对于D，由相关系数公式知，去掉样本中心点后，与的样本相关系数不会改变，D错误． 故选：A 7. 四个全等直角三角形与一个小正方形拼成的一个大正方形（如图）．如果小正方形的面积为1，大正方形的面积为13，直角三角形中较小的锐角为，那么（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】先求出直角三角形的两条直角边，然后求出，最后根据二倍角的余弦公式求出结果. 【详解】由题意可知，小正方形的边长为1，大正方形的边长为. 设直角三角形的长直角边为，则短直角边为， 根据勾股定理得，化简得， 解得或（舍去）. 所以，所以. 故选：A. 8. 函数有三个零点，，（），有两个极值点，（），则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】求出导函数，利用两个极值点和韦达定理得即可判断A，根据函数有3个零点及性质得即可判断BC，举反例判断D. 【详解】由得， 由题意，即的两根为且， 则，所以或（舍去）， 由韦达定理可知，故不成立，A选项错误； 当和时，，当时，， 所以在和上单调递增；在上单调递减； 若， 则， 故当为的零点时，则也为的零点， 易知，则，所以极大值，极小值. 所以，且，所以， 所以选项B错误，C正确； 因为及，所以， 若，则有，当时，矛盾， 故不一定成立，D错误. 故选：C 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，选对但不全的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知函数，则下列结论正确的有（ ） A. 的最小正周期为 B. 为偶函数 C. 在上单调递增 D. 的图象关于直线对称 【答案】ABD 【解析】 【分析】对A，根据条件，直接求出最小正周期，即可判断正误；对B，根据条件得，再由奇偶函数的定义，即可求解；对C，根据选项条件求得，再利用的性质，即可求解；对D，利用的性质，求出的对称轴，即可求解. 【详解】对于A，因为的最小正周期为，所以A正确， 对于B，因为，则， 令，又，所以为偶函数，故B正确， 对于C，当时，，由的性质知，在上不单调，所以C错误， 对于D，由，得到，令，得， 所以的图象关于直线对称，故D正确， 故选：ABD. 10. 下列命题中正确的有（ ） A. 已知随机变量，则 B. 数据2，3，4，5，6的第60百分位数是4 C. 若事件A与B互斥，且，，则 D. 样本数据，，，的平均数为，方差为，则，，…，的平均数为，方差为 【答案】CD 【解析】 【分析】对于A利用二项分布的方差公式即可判断，对于B利用百分位数的定义即可判断，对于C利用互斥事件的概率公式即可判断，对于D利用平均数和方差的性质即可判断. 【详解】对于A：由，所以，故A错误； 对于B：由，所以数据2，3，4，5，6的第60百分位数是，故B错误； 对于C：事件A与B互斥，且，，所以，故C正确； 对于D：利用平均数和方差的性质有：样本数据，，，的平均数为， 方差为，则，，…，的平均数为，方差为，故D正确. 故选：CD. 11. 已知函数，若存在四个实数，使得，则（ ） A. t的范围为 B. 的取值范围为 C. 的取值范围为 D. 的取值范围为 【答案】ACD 【解析】 【分析】作出给定函数的图象，确定的范围判断A，结合正弦函数、对数函数图象可得判断B；再由，借助和的单调性求出取值范围从而判断CD. 【详解】函数的图象，如图： 对于A，函数的图象与直线交于4点，则，A正确； 对于B，由，得，而，即， 则，即，且，由，得或， 由，得，B错误； 对于C，，设，求导得， 函数在上单调递增，则，即，C正确； 对于D，，由， 得，则，， ，而对勾函数在上单调递增，则， 因此，所以，D正确. 故选：ACD 第Ⅱ卷（非选择题，共92分） 三、填空题：本大题共3个小题，每小题5分，共15分. 12. 马老师从课本上抄录的一个随机变量的分布列如表： 1 2 3 尽管“！”处完全无法看清，且两个“？”处字迹模糊，但能断定这两个“？”处的数值相同．据此，____． 【答案】2 【解析】 【分析】由期望的计算公式计算. 【详解】由题意，设“？”对应的概率为a，则“！”处对应的概率为， 则． 故答案为：2 13. 已知，则和的夹角为__________. 【答案】 【解析】 【分析】借助向量数量积公式与夹角公式计算即可得. 【详解】，则， 则，故和的夹角为. 故答案为：. 14. 已知函数，则不等式的解集为__________. 【答案】 【解析】 【分析】分析函数的定义域与奇偶性，利用导数分析该函数的单调性，将所求不等式变形为，可得出关于的不等式，解之即可. 【详解】函数的定义域为， ，， 因为， 故函数在上为增函数， 由得，故， 即，解得， 故不等式的解集为. 故答案为：. 四、解答题：共77分，解答题应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 设等差数列的前项和为，且，. （1）求的通项公式； （2）设，求数列的前项和. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）由为等差数列，将，代入解出，，从而求出的通项公式； （2）由（1）问，写出的通项公式，然后利用分组求和求出. 【小问1详解】 设等差数列的公差为. 由题意可得 解得，， 则. 【小问2详解】 由（1）可知，则， 故 . 16. 已知函数，曲线在点处的切线与直线平行. （1）求a的值； （2）求函数的单调区间. 【答案】（1） （2）单调递增区间为和，单调递减区间为. 【解析】 【分析】（1）对函数求导，由导数的几何意义得切线的斜率，利用两直线平行，斜率相等即可求得a的值； （2）对函数求导，利用导数研究函数的单调性即可求解. 【小问1详解】 函数，则， 则，而直线的斜率为， 因为曲线在点处的切线与直线平行， 则，解得， 【小问2详解】 由（1）可知，所以，定义域为， ， 令，即，化简可得，解得， 当时，函数单调递增。由，即，解得或， 所以的单调递增区间为和， 当时，函数单调递减，由，即，解得， 所以的单调递减区间为； 综上， 的单调递增区间为和，单调递减区间为. 17. 已知函数 （1）求函数的最小正周期和函数的单调递增区间； （2）在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若，且的面积为，求边长的值. 【答案】（1）最小正周期为；单调递增区间为 （2） 【解析】 【分析】（1）由三角恒等变换公式化简，即可得到函数的解析式，然后根据正弦型函数的性质即得； （2）由正弦定理的边角互化可得，再由三角形的面积公式以及余弦定理，即可得到结果. 【小问1详解】 ， 则函数的最小正周期为， 令， 解得， 所以函数的单调递增区间为. 【小问2详解】 因为， 所以，所以，解得， 又，即，化简可得， 则，解得，则， 由余弦定理可得， 所以. 18. 贵州“村超”以及江苏“苏超”的成功充分说明了足球是一项大众喜爱的运动． （1）为了解喜爱足球运动是否与性别有关，现随机抽取了男性和女性各100名观众进行调查，得到列联表如下： 喜爱足球运动 不喜爱足球运动 合计 男性 60 40 100 女性 20 80 100 合计 80 120 200 依据小概率值的独立性检验，能否认为喜爱足球运动与性别有关？ （2）某足球队中的甲、乙、丙、丁四名球员将进行传球训练，第1次由甲将球传出，每次传球时、传球者都等可能地将球传给另外三个人中的任何一人，如此不停地传下去，且假定每次传球都能被接到．记开始传球的人为第1次触球者，第n次触球者是甲的概率记为，即． ①求，； ②证明：数列为等比数列，并判断第19次与第20次触球者是甲的概率的大小． 0.100 0.050 0.025 0.010 0.001 2.706 3.841 5.024 6.635 10.828 附：，． 【答案】（1）能认为喜爱足球运动与性别有关 （2）①， ②证明:因为第n次触球者是甲的概率记为， 所以当时，第次触球者是甲的概率为， 则第次触球者不是甲的概率为. 所以，所以， 因为， 所以数列为首项是，公比是的等比数列. 判断：第19次触球者是甲的概率大于第20次触球者是甲的概率. 【解析】 【分析】（1）计算，依据小概率值的独立性检验作出判断； （2）①根据古典概型公式计算即可；②根据等比数列的定义证明数列为等比数列，并求得数列的通项公式，进而求得，比较与的大小即可． 【小问1详解】 零假设： ：喜爱足球运动与性别独立，即喜爱足球运动与性别无关. ， 根据小概率值的独立性检验，我们推断不成立，即认为喜爱足球运动与性别有关，此推断犯错误的概率不超过0.001. 【小问2详解】 ①由题意得：第二次触球者为乙，丙，丁中的一个，所以第二次触球者是甲的概率记为； 第二次触球者必不是甲，第三次传给包括甲的三人中的一人，故传给甲的概率为，故． ②证明略. 由上知，所以. 所以，， 所以，即第19次触球者是甲的概率大于第20次触球者是甲的概率. 19. 已知函数在处取得极值． （1）求实数a的值； （2）是否存在自然数k，使得方程在内有唯一的根?如果存在，求出k的值；如果不存在，请说明理由； （3）若成立，求实数t的取值范围． 【答案】（1） （2）存在 （3） 【解析】 【分析】（1）由求得，将其代入解析式，求导验证即可； （2）由得，设，通过求导判断其单调性，再利用零点存在定理推得存在唯一的，使，从而求得的值； （3）设，求导得，根据参数分和两种情况，讨论函数的单调性和函数的值域，即可求得使成立的参数的范围. 【小问1详解】 由求导得， 因函数在处取得极值，则 所以，则 当时，， 当时，，则在上单调递增； 当时，，在上单调递减， 所以在处取得极值成立． 故． 【小问2详解】 由（1）知方程，即， 令，因为，则需要在上讨论，显然， ， 则当时，；时，， 所以在上单调递增，在上单调递减 因为，， 所以存在唯一的，使 所以存在，使得在内有唯一的根 【小问3详解】 令， 则 ①因为抛物线的对称轴方程为，开口向上， 所以即时，对成立， 所以时，对成立， 所以在上单调递减， 又，所以时，成立， 即此时，成立； ②当，， 记的两根为， 则，， 则， 所以当时，，当时，， 所以在上单调递增，在上单调递减． 所以，所以不能恒成立， 即不能恒成立 综上，的取值范围是. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 内江一中高2026届高三上期中考试试题 数学 1、本试卷包括第I卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分.全卷满分150分，考试时间120分钟. 2、答第I卷时，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号；答第Ⅱ卷时，用0.5毫米的黑色签字笔在答题卡规定的区域内作答，字体工整，笔记清楚；不能答在试题卷上. 3、考试结束后，监考人将答题卡收回. 第I卷（选择题，共58分） 一、选择题：本大题共8个小题，每小题5分，共40分，每小题有且只有一个正确答案. 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 2. 复数（其中为虚数单位）的实部为（ ） A. 6 B. 7 C. 8 D. 9 3. 已知为等差数列，记为其前n项和，若，则（ ） A. 3 B. 7 C. 13 D. 2 4. ，则的大小关系为（ ） A. B. C. D. 5. 若直线与曲线相切，则实数的值为（ ） A. 0 B. 1 C. D. 6. 为了研究y关于x的线性相关关系，收集了5组样本数据（见下表）.若已求得一元线性回归方程，则下列选项中正确的是（ ） x 1 2 3 4 5 y 0.5 0.9 1 1.1 1.5 A. B. x与y的样本是负相关 C. 当时，y的预估值为2.2 D. 去掉样本点后，x与y的样本相关系数r必会改变 7. 四个全等直角三角形与一个小正方形拼成的一个大正方形（如图）．如果小正方形的面积为1，大正方形的面积为13，直角三角形中较小的锐角为，那么（ ） A. B. C. D. 8. 函数有三个零点，，（），有两个极值点，（），则（ ） A. B. C. D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，选对但不全的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知函数，则下列结论正确的有（ ） A. 的最小正周期为 B. 为偶函数 C. 在上单调递增 D. 的图象关于直线对称 10. 下列命题中正确的有（ ） A. 已知随机变量，则 B. 数据2，3，4，5，6的第60百分位数是4 C. 若事件A与B互斥，且，，则 D. 样本数据，，，的平均数为，方差为，则，，…，的平均数为，方差为 11. 已知函数，若存在四个实数，使得，则（ ） A. t的范围为 B. 的取值范围为 C. 的取值范围为 D. 的取值范围为 第Ⅱ卷（非选择题，共92分） 三、填空题：本大题共3个小题，每小题5分，共15分. 12. 马老师从课本上抄录的一个随机变量的分布列如表： 1 2 3 尽管“！”处完全无法看清，且两个“？”处字迹模糊，但能断定这两个“？”处的数值相同．据此，____． 13. 已知，则和的夹角为__________. 14. 已知函数，则不等式的解集为__________. 四、解答题：共77分，解答题应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 设等差数列的前项和为，且，. （1）求的通项公式； （2）设，求数列的前项和. 16. 已知函数，曲线在点处的切线与直线平行. （1）求a的值； （2）求函数的单调区间. 17. 已知函数 （1）求函数的最小正周期和函数的单调递增区间； （2）在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若，且的面积为，求边长的值. 18. 贵州“村超”以及江苏“苏超”的成功充分说明了足球是一项大众喜爱的运动． （1）为了解喜爱足球运动是否与性别有关，现随机抽取了男性和女性各100名观众进行调查，得到列联表如下： 喜爱足球运动 不喜爱足球运动 合计 男性 60 40 100 女性 20 80 100 合计 80 120 200 依据小概率值的独立性检验，能否认为喜爱足球运动与性别有关？ （2）某足球队中的甲、乙、丙、丁四名球员将进行传球训练，第1次由甲将球传出，每次传球时、传球者都等可能地将球传给另外三个人中的任何一人，如此不停地传下去，且假定每次传球都能被接到．记开始传球的人为第1次触球者，第n次触球者是甲的概率记为，即． ①求，； ②证明：数列为等比数列，并判断第19次与第20次触球者是甲的概率的大小． 0.100 0.050 0.025 0.010 0.001 2.706 3.841 5.024 6.635 10.828 附：，． 19. 已知函数在处取得极值． （1）求实数a的值； （2）是否存在自然数k，使得方程在内有唯一的根?如果存在，求出k的值；如果不存在，请说明理由； （3）若成立，求实数t的取值范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $