5.4.2 一次函数的图象与性质（第2课时 一次函数的性质）（9大基础题型+3大巩固提升）（题型专练）数学浙教版2024八年级上册

5.4.2 一次函数的图象与性质 第2课时 一次函数的性质 题型一：一次函数性质综合判断 1．(25-26八上·辽宁丹东东港·期中)已知一次函数，下列描述该函数的四个结论中，错误的是（） A．函数图象必经过 B．y的值随着x值的增大而减小 C．图象经过第一、二、四象限 D．当时， 2．(25-26八上·安徽合肥第四十二中学·期中)对于一次函数，下列结论错误的是（   ） A．函数的图象与轴的交点坐标是 B．函数的图象经过第二、三、四象限 C．函数的图象向上平移3个单位长度得的图像 D．点、在函数图像上，若，则 3．(25-26八上·四川成都天府第七中学·月考)关于x的一次函数，下列说法正确的是（   ） A．一次函数的图象过点 B．y随x的增大而减小 C．一次函数的图象过第一、三、四象限 D．与y轴交点的坐标为 4．(25-26八上·安徽安庆太湖县实验中学教育集团·月考)对于一次函数，下列结论正确的是（   ） A．图象与轴交于点 B．随的增大而减小 C．图象经过第一、二、三象限 D．当时， 5．(24-25八上·广东深圳沙湾中学·期中)对于一次函数，下列结论错误的是（   ） A．y随x的增大而减小 B．函数图象必过点 C．函数图象不经过第三象限 D．函数图象与x轴交点坐标是 6．(24-25八下·湖南怀化五县六校·期末)已知：是y关于x的一次函数，下列说法正确的是（   ） A．当时， B．函数图象与y轴的交点为 C．y随x的增大而增大 D．函数图象经过第一、二、三象限 题型二：根据一次函数的增减性求参数 1．(25-26八上·安徽池州部分学校联考·期中)关于的一次函数，若随的增大而减小，且图象与轴的交点在轴下方，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 2．若一次函数的图象经过点，且的值随值的增大而增大，则的值可以是（   ） A． B． C． D． 3．已知一次函数的图像经过点A，且y随x的增大而减小，则点A的坐标可以是（    ） A． B． C． D． 4．(24-25八·期末检测卷（常考题型）·期末)已知一次函数的图象与轴的负半轴相交，且函数值随自变量的增大而减小，则下列结论正确的是（    ） A． B． C． D． 5．(24-25八下·山东聊城茌平区·期末)若点和都在一次函数（k为常数）的图象上，且当时，，则的值可能是（　　） A． B． C． D． 6．(24-25八上·江苏南京鼓楼实验中学·月考)若一次函数的函数值随x的增大而增大，且函数的图象不经过第二象限，则k的取值范围为 ． 题型三：根据一次函数的增减性比较大小 1．(24-25八下·广东肇庆·期末)若点在一次函数的图象上，则的大小关系是 ． 2．(24-25八下·重庆两江新区·期末)若点，在一次函数的图象上，则 ．（填“>”，“<”或“=”） 3．(23-24八下·新疆巴音郭楞蒙古·期末)已知点都在函数的图象上，则的大小关系为 ．（用“<”号连接） 4．(23-24八下·重庆第十八中学·期中)若点，点，点都在一次函数的图象上，则与的大小关系是 ． 5．(2024九·四川省成都市·模拟)如图，直线不经过第三象限，若点在该直线上，且的大小关系为 ，则的大小关系为 ． 6．(24-25八上·浙江杭州锦绣育才中学·期末)已知点在一次函数的图象上，则m，n的大小关系是m n．（填“>”，“<”或“=”） 题型四：直线与坐标轴的交点求不等式的解集 1．(25-26八·四川成都石室联合中学教育集团·期中)如图，一次函数的图象与轴，轴分别交于A，B两点，已知点的坐标为，点的坐标为，则当时，自变量的取值范围是 ． 2．(25-26八上·广西崇左宁明县宁明县城镇第一中学·月考)如图，直线经过点，则关于x的方程的解是 ，关于x的不等式的解集是 ． 3．(25-26八上·安徽阜阳临泉县三校联考·月考)如图，一次函数的图象经过点，则关于的不等式的解集为 ． 4．(24-25八下·江苏泰州白马中学·期末)观察图象，可以得出不等式组的解集是 ． 5．(24-25八下·贵州贵阳第十九中学·期中)一次函数（k，b为常数）的图象如图所示，则不等式的解集是 ． 6．(24-25八下·四川泸州合江县第五片区·期末)如图直线与的交点的横坐标为，则关于的不等式的解集为 ． 7．(24-25八下·陕西西安长安区第一中学实验初级中学·月考)直线与直线在同一平面直角坐标系中的图象如图所示，则关于的不等式的解集是 ． 题型五：根据一次函数的断自变量的变化 1．(24-25八下·山东潍坊·期末)已知为直线上的三个点，且 ，以下判断正确的是（　　） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 2．已知点，，在直线上，当时，下列结论：①若，则；②若，则；③若，则；④若，则，其中正确结论的序号为（   ） A．①②③ B．②④ C．②③④ D．①③④ 3．(24-25八上·浙江杭州钱塘区·期末)已知直线的解析式为，直线的解析式为在直线上，在直线上．下列说法正确的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 4．(24-25八上·江苏扬州江都区·期末)已知，，为直线上的三个点，且，则以下判断正确的是（   ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 5．(24-25八下·湖北武汉东湖高新区·期末)若点，，在一次函数（是常数）的图象上，则，，的大小关系是（   ） A． B． C． D． 6．(2024·4月浙江省台州市·模拟)已知点，在函数（k，b为常数，）上，下列说法正确的是（    ） A．若， B．若，则 C．若，则 D．若，则 7．(24-25八上·江苏扬州邗江区梅苑双语学校·期中)已知点，，直线经过点．当该直线与线段有交点时，的取值范围是 ． 题型六：一次函数的图象与对称问题 1．(24-25九下·陕西西安高新唐南中学·期中)在平面直角坐标系中，若直线与直线关于轴对称，则一次函数的图象不经过（    ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 2．已知一次函数的图象与直线关于轴对称，则此一次函数的解析式为（   ） A． B． C． D． 3．(24-25八下·甘肃定西渭源县田家河中学·期中)如图，在平面直角坐标系中，已知点，点．若点A与点A′关于直线l成轴对称，则直线l的解析式是（　　） A． B． C． D． 4．已知在平面直角坐标系中，直线（为常数，且）与直线（为常数）关于轴对称，则的值依次为（   ） A． B． C． D． 5．若直线与直线关于直线对称，则k、b值分别为（    ） A．、 B．、 C．、 D．、 题型七：一次函数的图象与旋转问题 1．(24-25九下·江苏无锡滨湖区·期中)如图，在平面直角坐标系中，直线与坐标轴分别交于，两点，将直线绕点逆时针方向旋转，则旋转后的直线与轴的交点坐标为 ． 2．把函数的图象分别沿轴向上或向下平移3个单位长度，就得到函数或的图象． 【阅读理解】 小尧阅读这段文字后有个疑问：把函数的图象沿轴向右平移3个单位长度，如何求平移后的函数表达式？ 老师给了以下提示：如图1，在函数的图象上任意取两个点，分别向右平移3个单位长度，得到，直线就是函数的图象沿轴向右平移3个单位长度后得到的图象． 请你帮助小尧解决他的困难． （1）将函数的图象沿轴向右平移3个单位长度，平移后的函数表达式为___________． 【解决问题】 （2）已知某一次函数的图象与直线关于轴对称，求此一次函数的表达式． 【拓展探究】 （3）一次函数的图象绕点逆时针方向旋转后得到的图象对应的函数表达式为___________．（直接写结果） 3．(25-26八上·江苏盐城鹿鸣路中学·月考)对于函数，在如图所示的平面直角坐标系中． (1)画出函数的图象； (2)填空：写出图象与x轴的交点A的坐标（____，____），与y轴交点B的坐标（____）； (3)在（2）的条件下，求出的面积． (4)直接写出该函数图象绕原点旋转后图象的函数表达式． 题型八：两直线的交点求二元一次方程组的解 1．(25-26八上·重庆第二外国语学校·期中)如图，在平面直角坐标系中，直线与直线交于点，则关于，的方程组的解为 ． 2．(24-25八上·陕西西安铁一中学·期末)已知方程组的解为，则一次函数与的交点P的坐标是 3．(25-26八上·山东济南历下区·期中)如图，直线：与直线：相交于点，则方程组的解是 ． 4．(25-26八上·安徽安庆太湖县太湖部分学校联考·期中)两条直线和的位置关系为 ．由此可知，方程组的解的情况为 ． 5．(24-25八下·陕西汉中镇巴县·期末)如图，已知一次函数和的图象交于点，则关于x，y的二元一次方程组的解是 ． 6．(24-25八上·广东佛山顺德区均安镇文田初级中学·月考)如图所示的是函数与的图象，则方程组的解是 ． 题型九：一次函数的性质综合 1．(25-26八上·江苏盐城康居路初级中学·期中)已知一次函数的图象是由一次函数的图象平移得到，且过点． (1)求该一次函数的表达式； (2)已知，是一次函数图象上的两点，且．比较与的大小，并说明理由． 2．(25-26八上·安徽宣城第十二中学·月考)已知一次函数（为常数，且）． (1)若，且，两点均在该函数的图象上，试比较，的大小； (2)若时，有最小值，求的值． 3．已知正比例函数的图象经过点． (1)求这个函数表达式； (2)判断点，点是否在这个函数图象上； (3)图象上的两点，如果，比较的大小． 4．将一次函数的图象向上平移个单位后恰好经过点． (1)求的值； (2)若一条直线与函数的图象平行，且与坐标轴所围成的三角形的面积为，求该直线的函数关系式． 题型十：一次函数解答题综合 1．(25-26八上·福建宁德·期中)如图，一次函数的图象分别与x，y轴交于A，B两点，过点的直线交轴负半轴于点，且． (1)点的坐标为_____________，点的坐标为____________； (2)将沿直线翻折得到，点的对应点为点，求点的坐标． 2．(25-26八上·江苏盐城鹿鸣路中学·月考)如图，点A是x轴上且在原点左侧的一点，点在第一象限，直线交y轴于点，． (1)直接写出______，点A的坐标（_____，_____），m的值是_______； (2)求直线的函数表达式； (3)若直线上有一点M，使得，求点M的坐标． 3．(25-26八上·四川成都树德实验中学·期中)如图，在平面直角坐标系中，直线与x轴交于点A，与y轴交于点D，直线与x轴交于点，与相交于点． (1)求直线的解析式； (2)求四边形的面积； (3)若点M是y轴上一动点，若，求点M的坐标． 4．(25-26八上·安徽宣城皖东南·期中)如图，已知直线经过点，． (1)若直线与直线相交于点A，求点A的坐标； (2)根据图象，直接写出的解集； (3)在x轴上有一点P，若的面积为9，求P点的坐标． 5．(25-26九上·黑龙江大庆第六十九中学·期中)如图，在直角坐标系中，是坐标原点，直线分别与轴和轴交于、两点，、两点的位置如图所示，直线分别与轴和轴交于、两点，且与直线交于点． (1)求直线的解析式； (2)若点、关于轴对称，，求四边形的面积． 题型一：根据一次函数的增减性求最值 1．(2025·黑龙江省大庆市·三模)已知一次函数，当时，的最大值是，则的最小值是 ． 2．(23-24八上·浙江宁波江北区宁波大学青藤书院·月考)已知实数x满足：，若函数的最大值为m，最小值为n，则的值等于 ． 3．已知a，b，c是非负数，且满足，设，则y的最小值为 ． 4．(23-24八上·甘肃张掖甘州区张掖育才中学·期末)如图，在直角坐标系中，点在直线上，过点A的直线交y轴于点．若点在线段上，点在直线上，则的最大值 ． 5．(24-25八下·湖北襄阳枣阳·期末)直线经过点，当时，y的最大值为6，则k的值为 ． 题型二：一次函数的中规律探索 1．如图，在平面直角坐标系中，函数和的图象分别为直线，过点作轴的垂线交于点，过点作轴的垂线交于点，过点作轴的垂线交于点，过点作轴的垂线交于点依次进行下去，则点的坐标为（    ） A． B． C． D． 2．(2025九·广东省佛山市·模拟)正方形按如图的方式放置，点和点分别在直线和轴上，其面积分别记为，则（    ） 参考公式：． A． B． C． D． 3．在平面直角坐标系中，解析式为的直线a，解析式为的直线b如图所示，直线a交y轴于点A，以为边作第一个等边三角形，过点B作y轴的平行线交直线a于点，以为边作第二个等边三角形 顺次这样作下去，第2020个等边三角形的边长为（　　） A． B． C．4038 D．4040 4．(24-25八下·山东济宁曲阜·期末)如图，在平面直角坐标系中，点，，，…和点，，，…分别在直线和轴上，直线与轴交于点，，，，…都是等腰直角三角形，如果点，那么点的纵坐标是（   ） A．2024 B．4048 C． D． 5．(24-25八下·山东德州宁津县育新中学等·期中)在平面直角坐标系中，直线与x轴交于点，如图所示，依次作正方形，正方形，…，正方形，使得点，，，……，在直线l上，点，，，…，在y轴正半轴上，则点的坐标为（   ）    A． B． C． D． 6．(24-25九下·湖南怀化九县十校·调研)如图，已知直线，直线和点，过点作轴的平行线交直线于点，过点作轴的平行线交直线于点，过点作轴的平行线交直线于点，过点作轴的平行线交直线于点按此作法进行下去，则点的横坐标为（   ） A． B． C． D． 题型三：一次函数解答题压轴之存在性问题 1．(25-26八上·安徽淮北·月考)如图，在平面直角坐标系中，直线分别与x轴、y轴交于点，B，直线分别与x轴、y轴交于点C，D，点C在点A的左边，且，直线与直线交于点． (1)求直线与的函数表达式． (2)求的面积． (3)在直线上是否存在一点P，使得？若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由． 2．(24-25八·广东清远清城区飞来湖中学·月考)如图，直线与轴交于点，与轴交于点，点是的中点． (1)求出点、点的坐标及的值； (2)在轴上是否存在一点，使得是直角三角形？若存在，请求出点的坐标：若不存在，请说明理由． (3)若点为轴上的一点，使得为等腰三角形，请直接写出点的坐标． 3．如图1，平面直角坐标系中，直线交 y 轴于点，交 x 轴于点 ，直线交 于点 ，交 x 轴于点E． (1)求直线的表达式和点的坐标． (2)如图 2，点的坐标为，则的面积是 ． (3)设点是 x 轴上一动点，求的最小值． (4)以为腰在第一象限作等腰直角三角形，直接写出点C的坐标． 4．(25-26九上·四川达州高级中学江湾城校区（初中）·月考)如图，直线与轴相交于点，与轴相交于点． (1)求点，的坐标； (2)如果轴上有一动点，要使以为顶点的三角形构成等腰三角形，请探究并求出符合条件的所有点坐标． 5．(25-26八上·陕西西安西咸新区西安高新一中沣东中学初中校区·月考)如图，在平面直角坐标系中，直线与x轴、y轴分别交于点A、B，与直线交于点．直线与x轴交于点D．点P是射线上的一个动点，且点P从点D出发以每秒2个单位长度匀速运动．设点P的运动时间为． (1)求两条直线的关系式； (2)当的面积为15时，求t的值； (3)试探究，在点P运动过程中，是否存在t的值，使为直角三角形？若存在，请求出t的值；若不存在，请说明理由． 6．(24-25八上·广东深圳沙湾中学·期中)如图，在平面直角坐标系中将向下平移3个单位长度得到直线，直线与x轴交于点C；直线与x轴、y轴交于A、B两点，且与直线交于点D．    (1)填空：点A的坐标为______，点B的坐标为______． (2)直线的表达式为_____________． (3)在直线上是否存在点F，使？若存在，则求出点F的坐标；若不存在，请说明理由． (4)在直线上是否存在点P，使为等腰三角形？若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由． 7．(24-25八下·重庆西南大学附中·开学考)如图，一次函数分别与轴、轴交于点和点，一次函数与轴交于点，且它们的图象交于点， (1)求这两个一次函数的函数解析式； (2)在轴上有一点，且，如果和的面积相等，求的值； (3)在（2）的条件下，以为一腰作等腰，直接写出所有符合的点的坐标． 1．(25-26八上·河南郑州高新区第一中学等九校联考·期中)对于一次函数，下列说法错误的是（   ） A．图象是经过两点，的一条直线 B．图象不经过第一象限 C．的值随着的值增大而减小 D．图象与轴的交点坐标为 2．(25-26八上·山东济南历下区·期中)点，在一次函数的图象上，则，的大小关系是（   ） A． B． C． D．无法确定 3．(25-26八上·广东深圳实验学校初中部·期中)如图，点，，是平面直角坐标系中第一象限内的三个点，画出经过这三个点中每两个点的一次函数的图象，并得到函数表达式为，和，当时，一次函数的图象应为（   ） A．直线 B．直线 C．直线 D．无法确定 4．(25-26八上·安徽合肥第四十五中学本部·期中)已知函数（a为常数），当时，y有最大值为5，则a的值为（   ） A．或 B．或 C．或 D．或 5．在同一平面直角坐标系中，对于函数：①，②，③，④的图象，下列说法正确的是（   ） A．通过点的是①和③ B．交点在轴上的是②和④ C．①和③都与函数的图象平行 D．关于轴对称的是②和③ 6．定义：对于定义域为的函数，若任取在中的实数、（），都有，则称为上的“下阶梯函数”；若，则为“上阶梯函数”，二者统称“阶梯函数”．若函数是定义域为全体实数的“阶梯函数”，且的图像连续不断，则下列说法错误的是（   ） A．可以是任意的一次函数 B．若对任意实数都有，则是“上阶梯函数” C．若是“下阶梯函数”，则对任意实数、，都有 D．若存在实数、使得，则的图像与轴有且只有一个交点 7．(25-26八上·福建漳州漳州三中、三中分校联考·期中)若点都在一次函数的图象上，则 ．（填“”“”或“”） 8．(25-26八·安徽安庆第四中学·期中)平面直角坐标系中，横坐标和纵坐标都是整数的点叫做整点，直线与坐标轴围成的三角形区域（不含边界）中只有四个整点，则的取值范围是 ． 9．(25-26八上·江西九江九江五校·期中)如图，直线与轴、轴分别交于，两点，现以点为圆心，的长为半径画弧，与轴的正半轴交于点，则点的坐标为 ． 10．(25-26八上·山东青岛海信学校·期中)正方形，，，…，按如图所示的方式放置，点、、和点、、…分别在直线和轴上，则点的横坐标是 ． 11．(25-26八上·江西九江九江五校·期中)如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与轴交于点，与轴交于点，点在轴上，且点从点出发，向右运动，当为等腰三角形时，的长为 ． 12．(25-26八上·安徽六安第九中学·期中)已知函数，m为常数． (1)若该函数的图象与直线平行，求m的值； (2)若这个函数是一次函数，且函数图象不经过第二象限，求m的取值范围． 13．(25-26八上·安徽安庆大观区安庆外国语学校·月考)在平面直角坐标系中，我们定义点的“关联点”为．且规定：当时，点的坐标为；当时，点的坐标为． (1)点的“关联点”坐标为_____； (2)若点的“关联点”在函数的图象上，求点的坐标． 14．(25-26九上·陕西西安爱知初级中学·月考)如图，一次函数的图象分别与轴交于点，与轴交于点． (1)求点，的坐标； (2)点为线段上一动点，连接，将沿翻折得到，连接，当是以为直角边的直角三角形时，请求出点的坐标． 15．如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标是，点B从坐标原点O出发，沿轴负半轴运动，以为边作等边三角形（A，B，C按逆时针顺序排列），当点B在原点O时，记此时的等边三角形为． (1)求点的坐标； (2)连接，求证：； (3)求动点C所在图象的函数表达式． 1 / 84 学科网（北京）股份有限公司 $ 5.4.2 一次函数的图象与性质 第2课时 一次函数的性质 题型一：一次函数性质综合判断 1．(25-26八上·辽宁丹东东港·期中)已知一次函数，下列描述该函数的四个结论中，错误的是（） A．函数图象必经过 B．y的值随着x值的增大而减小 C．图象经过第一、二、四象限 D．当时， 【答案】D 【分析】本题考查一次函数的性质，熟练掌握一次函数图象的性质是解题的关键． 根据一次函数图象的性质，逐项判断即可． 【详解】解：一次函数为， 选项A、当时，，图象经过点，故A正确； 选项B、斜率，所以随的增大而减小，故B正确； 选项C、，，∴图象经过第一、二、四象限，故C正确； 选项D、当时，；当时，，故D错误； 综上，错误的是D． 故选：D． 2．(25-26八上·安徽合肥第四十二中学·期中)对于一次函数，下列结论错误的是（   ） A．函数的图象与轴的交点坐标是 B．函数的图象经过第二、三、四象限 C．函数的图象向上平移3个单位长度得的图像 D．点、在函数图像上，若，则 【答案】D 【分析】本题考查一次函数的性质． 根据一次函数的性质逐一判断即可． 【详解】解：选项A：当时，，∴图像与轴交于点，A正确； 选项B：∵，，∴图像经过第二、三、四象限，B正确； 选项C：图像向上平移3个单位，解析式变为，∴C正确； 选项D：∵ ，∴随的增大而减小，若 ，则 ，∴D错误； 故选：D． 3．(25-26八上·四川成都天府第七中学·月考)关于x的一次函数，下列说法正确的是（   ） A．一次函数的图象过点 B．y随x的增大而减小 C．一次函数的图象过第一、三、四象限 D．与y轴交点的坐标为 【答案】C 【分析】本题考查一次函数的图象与性质，包括点是否在图象上、增减性、所经象限及与坐标轴的交点．需逐一验证各选项． 【详解】解：∵ 一次函数为 ，其中 ， ． A． 当 时，， ∴ 图象不过点 ，A错误． B． ∵ ，∴ 随的增大而增大，B错误． C． ∵ ， ，∴ 图象经过第一、三、四象限，C正确． D． 当 时，，∴ 与 轴交点为 ，不是 ，D错误． 故选：C． 4．(25-26八上·安徽安庆太湖县实验中学教育集团·月考)对于一次函数，下列结论正确的是（   ） A．图象与轴交于点 B．随的增大而减小 C．图象经过第一、二、三象限 D．当时， 【答案】D 【分析】本题考查一次函数的图象与系数的关系．对于一次函数，当时，图象必过一、三象限，随的增大而增大；当时，图象必过二、四象限，随的增大而减小；当时，图象必过一、二象限；当时，图象必过三、四象限；熟记相关结论即可求解． 【详解】解：令，； ∴图象与轴交于点，故A错误； ∵， ∴随的增大而增大，故B错误； ∵，， ∴图象经过第一、三、四象限，故C错误； ∵，；且随的增大而增大， ∴当时，；故D正确； 故选：D 5．(24-25八上·广东深圳沙湾中学·期中)对于一次函数，下列结论错误的是（   ） A．y随x的增大而减小 B．函数图象必过点 C．函数图象不经过第三象限 D．函数图象与x轴交点坐标是 【答案】D 【分析】本题主要考查一次函数的性质，掌握一次函数的图象与轴、轴的交点及函数的增减性是解题的关键．根据一次函数性质逐项判断即可． 【详解】解：中， ∴A. y随x的增大而减小，故该选项正确，不符合题意；     B. 当时，，则函数图象必过点，故该选项正确，不符合题意； C.∵，函数图象不经过第三象限，故该选项正确，不符合题意；     D. 当时，，则函数图象与x轴交点坐标是，故该选项不正确，符合题意； 故选：D． 6．(24-25八下·湖南怀化五县六校·期末)已知：是y关于x的一次函数，下列说法正确的是（   ） A．当时， B．函数图象与y轴的交点为 C．y随x的增大而增大 D．函数图象经过第一、二、三象限 【答案】B 【分析】本题主要考查一次函数的性质，根据一次函数的图象和性质，以及一次函数图象上点的坐标特征，一次函数解析式系数的几何意义，逐一判断选项，即可． 【详解】解：∵，， ∴y值随x值的增大而减小，故C错误，函数图象经过第一、二、四象限，故D错误 当时， ∴函数图象与y轴的交点为，故B正确，当时，，故A错误， 故选：B． 题型二：根据一次函数的增减性求参数 1．(25-26八上·安徽池州部分学校联考·期中)关于的一次函数，若随的增大而减小，且图象与轴的交点在轴下方，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查的是一次函数的性质，熟练掌握一次函数的增减性和图象与坐标轴的交点特征是解题的关键．根据一次函数的增减性得到，再根据图象与轴的交点的位置得到，进而求出实数的取值范围． 【详解】随的增大而减小， ，即． 图象与轴的交点在轴下方， 当时，，即． 的取值范围是且，即． 故选：． 2．若一次函数的图象经过点，且的值随值的增大而增大，则的值可以是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了一次函数的性质，解不等式，由一次函数的图象经过点，则，即，然后通过的值随值的增大而增大可得，然后解不等式即可，掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】解：∵一次函数的图象经过点， ∴， ∴， ∵的值随值的增大而增大， ∴， ∴，解得， ∴选项符合题意， 故选：． 3．已知一次函数的图像经过点A，且y随x的增大而减小，则点A的坐标可以是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查一次函数的基本概念和一次函数的图像，一次函数的图像经过点；当时，的值随着值的增大而增大；当时，的值随着值的增大而减小．解题的关键是熟练掌握对一次函数图像的影响．根据题意，y随x的增大而减小，则为负值，分别将各选项坐标代入函数，求出值，判断即可得出结论． 【详解】A．把代入，可得，移项可得，不满足y随x的增大而减小，故本选项不符合题意； B．把代入，可得，移项可得，满足y随x的增大而减小，故本选项符合题意； C．把代入，可得，移项可得 ，解得，不满足y随x的增大而减小，故本选项不符合题意； D．把代入，可得，移项可得，解得，不满足y随x的增大而减小，故本选项不符合题意． 故选：B． 4．(24-25八·期末检测卷（常考题型）·期末)已知一次函数的图象与轴的负半轴相交，且函数值随自变量的增大而减小，则下列结论正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了一次函数图象的性质， 先根据直线与y轴交点的位置可得，再根据图象的增减性得，求出解集即可. 【详解】解：∵一次函数的图像与轴的负半轴相交， ∴. ∵一次函数,函数值随自变量的增大而减小， ∴， 解得. 故选：B. 5．(24-25八下·山东聊城茌平区·期末)若点和都在一次函数（k为常数）的图象上，且当时，，则的值可能是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】此题考查一次函数的性质，根据一次函数的增减性，当即时，函数y随x的增大而减小，即可得答案． 【详解】解：由题意，点A和B在函数的图象上，且当时，， ∴函数值y随x的增大而减小， ∴， 解得， 选项中只有满足， 故选：A． 6．(24-25八上·江苏南京鼓楼实验中学·月考)若一次函数的函数值随x的增大而增大，且函数的图象不经过第二象限，则k的取值范围为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了一次函数图象与系数的关系，解决本题的关键是要熟练掌握一次函数图象与系数关系． 先根据函数y随x的增大而增大可确定，再由函数的图象不经过第二象限，图象与y轴的交点在y轴的负半轴上或原点，即，进而可求出k的取值范围． 【详解】∵一次函数的函数值y随x的增大而增大， 且此函数的图象不经过第二象限， ，且， 解得． 故答案为：． 题型三：根据一次函数的增减性比较大小 1．(24-25八下·广东肇庆·期末)若点在一次函数的图象上，则的大小关系是 ． 【答案】/ 【分析】本题主要考查一次函的增减性，掌握一次函数的增减性成为解题的关键． 根据题意判断出函数的增减性解答即可． 【详解】解：∵一次函数， ∴， ∴y随x的增大而增大， ∵， ∴． 故答案为：． 2．(24-25八下·重庆两江新区·期末)若点，在一次函数的图象上，则 ．（填“>”，“<”或“=”） 【答案】> 【分析】本题考查了比较一次函数的自变量的大小，分别把，代入进行计算，得，再比较大小，即可作答． 【详解】解：∵点，在一次函数的图象上， ∴，， 解得， ∵， ∴， 故答案为：>． 3．(23-24八下·新疆巴音郭楞蒙古·期末)已知点都在函数的图象上，则的大小关系为 ．（用“<”号连接） 【答案】 【分析】本题考查一次函数的性质，根据一次函数的性质和一次函数图象上点的坐标特征即可求解，解答本题的关键是明确题意，利用一次函数的性质解答． 【详解】解：∵， ∴， ∴y随x的增大而减小， ∵都在函数的图象上，且， ∴， 故答案为：． 4．(23-24八下·重庆第十八中学·期中)若点，点，点都在一次函数的图象上，则与的大小关系是 ． 【答案】 【分析】本题考查了一次函数的图象与性质，熟练掌握一次函数的性质是解题的关键． 先根据点代入可得，再根据一次函数的增减性即可得． 【详解】点在一次函数的图象上， ，解得：， 一次函数解析式为， ， 随的增大而减小， 又点，点都在一次函数的图象上，且， ． 故答案为：． 5．(2024九·四川省成都市·模拟)如图，直线不经过第三象限，若点在该直线上，且的大小关系为 ，则的大小关系为 ． 【答案】 【分析】本题考查了一次函数的性质，根据图像经过的象限可得到，推出随x的增大而减小，从而得到结果． 【详解】解：直线不经过第三象限， ， 随x的增大而减小， ， ， 故答案为：． 6．(24-25八上·浙江杭州锦绣育才中学·期末)已知点在一次函数的图象上，则m，n的大小关系是m n．（填“>”，“<”或“=”） 【答案】 【分析】根据一次函数的性质即可得到结论． 【详解】解：∵， ∴y随x的增大而减小， 又∵， ∴ 故答案为：． 【点睛】本题考查了一次函数的性质，牢记“当时，y随x的增大而增大；当时，y随x的增大而减小”是解题的关键． 题型四：直线与坐标轴的交点求不等式的解集 1．(25-26八·四川成都石室联合中学教育集团·期中)如图，一次函数的图象与轴，轴分别交于A，B两点，已知点的坐标为，点的坐标为，则当时，自变量的取值范围是 ． 【答案】 【分析】本题考查一次函数与一元一次不等式的关系，求不等式的解集从函数的角度看，就是寻求使一次函数的值大于（或小于）0的自变量x的取值范围；从函数图象的角度看，就是确定直线在x轴上（或下）方部分所有的点的横坐标所构成的解集． 所对应自变量的取值范围即为直线在轴下方的点的横坐标的取值范围，据此求解． 【详解】解：∵一次函数的图象与轴交于点， ∴当时，， 故答案为：． 2．(25-26八上·广西崇左宁明县宁明县城镇第一中学·月考)如图，直线经过点，则关于x的方程的解是 ，关于x的不等式的解集是 ． 【答案】 【分析】本题考查了一次函数与一元一次方程和不等式的关系，利用数形结合的思想求解是解题的关键． 根据一元一次方程的解即为直线与轴交点的横坐标求解；关于x的不等式的解集转化为直线在直线下方时的取值范围． 【详解】解：∵直线经过点， ∴方程的解是， ∵直线经过点， ∴不等式的解集是， 故答案为：，； 3．(25-26八上·安徽阜阳临泉县三校联考·月考)如图，一次函数的图象经过点，则关于的不等式的解集为 ． 【答案】 【分析】本题考查了一次函数与一元一次不等式的关系．根据一次函数的增减性解答即可． 【详解】解：∵， ∴y随x的增大而减小， ∵一次函数的图象经过点， ∴当时，， ∴当时，， 即关于的不等式的解集为． 故答案为： 4．(24-25八下·江苏泰州白马中学·期末)观察图象，可以得出不等式组的解集是 ． 【答案】 【分析】本题考查了由直线与坐标轴的交点求不等式的解集，求不等式组的解集，解题关键是掌握上述知识点并能运用求解． 根据两直线在坐标系中的位置，分别确定不等式组中两个不等式的解集，再求出不等式组的解集即可． 【详解】解：交x轴于点， 当时，直线在x轴的上方，所以； 交x轴于点， 当时，直线在x轴的上方，所以， 所以不等式组的解集是， 故答案为：． 5．(24-25八下·贵州贵阳第十九中学·期中)一次函数（k，b为常数）的图象如图所示，则不等式的解集是 ． 【答案】 【分析】本题考查一次函数与一元一次不等式． 根据图象即可得不等式的解集． 【详解】解：由图可知，当时，一次函数的图象在直线的下方， ∴不等式的解集是． 故答案为：． 6．(24-25八下·四川泸州合江县第五片区·期末)如图直线与的交点的横坐标为，则关于的不等式的解集为 ． 【答案】 【分析】本题考查了一次函数图象的性质，一次函数图象求不等式的解集，掌握一次函数图象的性质是关键，根据一次函数与坐标轴的交点的计算，两直线的交点坐标，数形结合分析即可求解． 【详解】解：在直线中，当时，， ∴当时，， 故答案为： ． 7．(24-25八下·陕西西安长安区第一中学实验初级中学·月考)直线与直线在同一平面直角坐标系中的图象如图所示，则关于的不等式的解集是 ． 【答案】/ 【分析】本题主要考查了一次函数与一元一次不等式，运用数形结合的思想是解决此类问题的关键．利用函数图象，找出直线在直线下方，且在x轴下方的所对应的自变量的范围即可． 【详解】解：由图象可知，直线和直线的交点为，直线经过原点， 关于的不等式的解集是， 故答案为：． 题型五：根据一次函数的断自变量的变化 1．(24-25八下·山东潍坊·期末)已知为直线上的三个点，且 ，以下判断正确的是（　　） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【答案】D 【分析】本题主要考查了一次函数的增减性，掌握一次函数的增减性成为解题的关键． 根据一次函数的增减性，逐项分析判断即可解答． 【详解】解：在直线中，，故随增大而减小．由，得． A．若，则、同号．当两者均为正时，，此时可能为负，导致，故A错误，不符合题意； B．若，则，．若，则可能为负，导致，故B错误，不符合题意； C．若，则、同号．当两者均为正时，可能为负，此时而，导致，故C错误，不符合题意； D．若，则，．由，得，故，，因此，D正确，符合题意． 故选D． 2．已知点，，在直线上，当时，下列结论：①若，则；②若，则；③若，则；④若，则，其中正确结论的序号为（   ） A．①②③ B．②④ C．②③④ D．①③④ 【答案】B 【分析】本题考查了一次函数性质，结合一次函数性质，根据大小关系进行合理分析是解题关键． 先理解明随的增大而减小，且结合点，，在直线上，且，再运用一次函数性质对各项进行逐项分析判断即可． 【详解】解：∵的， 说明随的增大而减小， 当时，则， 解得， 点，，在直线上，且， ，，， ①若， 当，，时，，故①不符合题意； ②若， ， ，，， ，故②符合题意； ③若，则 故与同号，说明、均小于2或均大于2， 当、均小于2，则，故与不一定同号； 若、均大于2，则、同号，因此，结论③不符合题意， ④若， ， ， ， 在直线上，当时，， ， ，故④符合题意， 故选：B 3．(24-25八上·浙江杭州钱塘区·期末)已知直线的解析式为，直线的解析式为在直线上，在直线上．下列说法正确的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【答案】A 【分析】本题考查了一次函数的性质，解题的关键是根据一次函数的斜率判断函数的单调性，再结合点的横坐标比较函数值大小． 由两直线的解析式变形得到直线和直线交于点，结合图象即可判断． 【详解】解：∵， ∴直线和直线交于点， 若，则直线在直线的上方，如图1， 则．故A正确，C错误； 若时，如图2， 则，则，则．故B，D错误． 故选：A． 4．(24-25八上·江苏扬州江都区·期末)已知，，为直线上的三个点，且，则以下判断正确的是（   ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【答案】D 【分析】本题主要考查了一次函数的性质，熟练掌握数形结合的思想以及举反例的方法是解题的关键． 先求出此直线交y轴于，交x轴于，画出图象，结合一次函数的增减性逐项判断即可解答， 【详解】解：当时，，则此直线交y轴于， 当时，，解得：，则此直线交x轴于， 当时，；当时，； 画出一次函数的图象如图所示： ， A．若且， ∴或， 当时，若，则，即，即A选项不符合题意； B．若且， ∴或或， 当时，若，则，即，即B选项不符合题意； C．若且， ∴， 当，则，即，即C选项不符合题意； D．若且， ∴， ∴，即，即D选项符合题意． 故选：D． 5．(24-25八下·湖北武汉东湖高新区·期末)若点，，在一次函数（是常数）的图象上，则，，的大小关系是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了一次函数的性质，熟练掌握一次函数的增减性是解题的关键．根据一次函数的增减性可知一次函数中随的增大而减小，再结合图象上点的特征即可解答． 【详解】解：， 一次函数中随的增大而减小， 又， ． 故选：B． 6．(2024·4月浙江省台州市·模拟)已知点，在函数（k，b为常数，）上，下列说法正确的是（    ） A．若， B．若，则 C．若，则 D．若，则 【答案】A 【分析】本题主要考查了一次函数的图象和性质．根据题意画出图象，结合一次函数的性质，即可求解． 【详解】解：如图， 观察图象得：该函数图象的对称轴为y，在y轴的左侧y随x的增大而增大，在y轴的右侧y随x的增大而减小， 若， 当点，均在y轴的左侧时，， 此时； 当点，均在y轴的右侧时，， 此时； 当点，在y轴的两侧时，， 此时；故A选项正确，C错误； 根据题意得：， 设，画出图象如下： 观察图象得：该函数图象的对称轴为y，在y轴的左侧y随x的增大而增大，在y轴的右侧y随x的增大而减小， 当时，， 当时，点在y轴的左侧，在y轴的右侧，此时无法比较的大小，故C，D选项错误； 故选：A 7．(24-25八上·江苏扬州邗江区梅苑双语学校·期中)已知点，，直线经过点．当该直线与线段有交点时，的取值范围是 ． 【答案】或 【分析】本题主要考查了一次函数图象与系数的关系、一次函数图象上点的坐标的特征的等知识点，利用待定系数法求出临界值是解题的关键． 利用临界法求得直线和的解析式即可解答． 【详解】解：当时， ∵直线经过点，， ∴，解得∶ ∴， 当时， ∵直线经过点，， ∴，解得：， ∴． 综上，当该直线与线段有交点时，k的取值范围是：或． 故答案为或． 题型六：一次函数的图象与对称问题 1．(24-25九下·陕西西安高新唐南中学·期中)在平面直角坐标系中，若直线与直线关于轴对称，则一次函数的图象不经过（    ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】B 【分析】本题考查的是一次函数的图象与系数的关系，根据轴对称的性质得出k，b的值，然后进行解答即可． 【详解】解：∵直线与直线关于轴对称， ∴ ∴一次函数即，的图象不经过第二象限， 故选：B． 2．已知一次函数的图象与直线关于轴对称，则此一次函数的解析式为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了待定系数法求解析式，轴对称性质，熟练掌握待定系数法是解题的关键． 首先求出直线与x轴和y轴的交点坐标，然后根据题意得到一次函数的图象与x轴和y轴的交点坐标，然后利用待定系数法求解即可． 【详解】解：∵直线 ∴当时，， ∴直线与y轴的交点为； ∴当时，， 解得 ∴直线与x轴的交点为 ∵一次函数的图象与直线关于轴对称， ∴一次函数的图象与y轴的交点为，与x轴的交点为 设一次函数的解析式为 ∴ ∴ ∴此一次函数的解析式为． 故选：A． 3．(24-25八下·甘肃定西渭源县田家河中学·期中)如图，在平面直角坐标系中，已知点，点．若点A与点A′关于直线l成轴对称，则直线l的解析式是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查中点坐标公式、轴对称的性质、一次函数的图象与性质，连接，利用中点坐标公式求得线段的中点，再根据轴对称的性质得，直线l垂直平分，进而得直线l经过一、三象限，且经过点B，即可求解． 【详解】解：如图，连接， ∵点，点， ∴线段的中点， ∵点A与点A′关于直线l成轴对称， ∴直线l垂直平分， ∴直线l经过一、三象限，且经过点B， ∴直线l的解析式是， 故选：C． 4．已知在平面直角坐标系中，直线（为常数，且）与直线（为常数）关于轴对称，则的值依次为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了一次函数与坐标轴交点的计算，点关于坐标轴对称的性质，掌握以上知识的计算是关键． 根据一次函数与坐标轴的交点的计算得到各自的交点坐标，由关于轴对称得到，，由此即可求解． 【详解】解：直线（为常数，且）中，当时，，当时，， ∴该直线与轴的交点为，与轴的交点为， 直线（为常数）中，当时，，当时，， ∴该直线与轴的交点为，与轴的交点为， ∵直线（为常数，且）与直线（为常数）关于轴对称， ∴，， 解得，， 故选：C ． 5．若直线与直线关于直线对称，则k、b值分别为（    ） A．、 B．、 C．、 D．、 【答案】A 【分析】本题考查了一次函数的图像与几何变换，熟练掌握一次函数的图像与性质是解题的关键．根据题意得到直线关于直线的对称点，然后利用待定系数法即可求解． 【详解】解：直线与轴的交点为，与轴的交点为； 点关于直线的对称点为，点关于直线的对称点为， 把点、代入， 得：， 解得：，， 故选：A． 题型七：一次函数的图象与旋转问题 1．(24-25九下·江苏无锡滨湖区·期中)如图，在平面直角坐标系中，直线与坐标轴分别交于，两点，将直线绕点逆时针方向旋转，则旋转后的直线与轴的交点坐标为 ． 【答案】/ 【分析】设直线绕点逆时针方向旋转为直线：，过点作交于点，过点作轴，先求得点和点坐标，然后证明，得到，，从而得出点的坐标，然后利用待定系数法，求得和，最后算得旋转后的直线与轴的交点坐标． 【详解】解：设直线绕点逆时针方向旋转为直线：，过点作交于点，过点作轴，如图所示： 直线与坐标轴分别交于，两点， 时，；时，； ，， ，， ，， 为等腰直角三角形， ， ， ， ， ， ， ，， ， ， 将，代入，得， ， ， 时，， 旋转后的直线与轴的交点坐标为． 故答案为：． 【点睛】本题考查了等腰直角三角形的性质，三角形内角和，全等三角形的判定与性质，待定系数法求一次函数解析式，一次函数与坐标轴的交点，熟练掌握以上知识点并构造出等腰直角三角形是解题的关键． 2．把函数的图象分别沿轴向上或向下平移3个单位长度，就得到函数或的图象． 【阅读理解】 小尧阅读这段文字后有个疑问：把函数的图象沿轴向右平移3个单位长度，如何求平移后的函数表达式？ 老师给了以下提示：如图1，在函数的图象上任意取两个点，分别向右平移3个单位长度，得到，直线就是函数的图象沿轴向右平移3个单位长度后得到的图象． 请你帮助小尧解决他的困难． （1）将函数的图象沿轴向右平移3个单位长度，平移后的函数表达式为___________． 【解决问题】 （2）已知某一次函数的图象与直线关于轴对称，求此一次函数的表达式． 【拓展探究】 （3）一次函数的图象绕点逆时针方向旋转后得到的图象对应的函数表达式为___________．（直接写结果） 【答案】（1）；（2）；（3） 【分析】（1）平移时k的值不变，只有b发生变化．可以先确定平移后与x轴的交点坐标，然后利用待定系数法即可求得； （2）直接根据平面直角坐标系中，点关于x轴对称的特点得出答案； （3）在直线取两点，，根据旋转性质求得旋转后对应点，，然后利用待定系数法求出直线的解析式即可． 【详解】解：（1）将函数的图象沿x轴向右平移3个单位长度， 平移后与x轴的交点为，将代入中，得 ， 解得， 所以平移后的函数表达式为， 故答案为：； （2）解：在函数的图象上取两个点、， 关于x轴对称的点的坐标、， 设直线的解析式为， 把代入，得 ， ∴一次函数的表达式为； （3）解：如图，在直线上取两点，， 一次函数的图象绕点逆时针方向旋转， 点、绕点逆时针方向旋转后对应点为点、， 过点作轴于，过点作轴于，过点作于， ， ，， 由旋转可得，， ， ，， ， ， ， ， ，， 轴， 四边形是矩形， ，， ， ， 同理可求得点， 设直线解析式为， 把、代入，得 ， 解得：， ∴旋转后得到函数解析式为：． 故答案为：． 3．(25-26八上·江苏盐城鹿鸣路中学·月考)对于函数，在如图所示的平面直角坐标系中． (1)画出函数的图象； (2)填空：写出图象与x轴的交点A的坐标（____，____），与y轴交点B的坐标（____）； (3)在（2）的条件下，求出的面积． (4)直接写出该函数图象绕原点旋转后图象的函数表达式． 【答案】(1)见解析 (2)1，0； (3) (4) 【分析】本题考查了怎样在坐标轴上画函数，函数与坐标轴相交点的坐标，三角形面积的计算． （1）分别令，，可求出与x轴、y轴的交点坐标，过两交点作直线即可． （2）直接由（1）即可求解； （3）根据三角形的面积公式解答即可； （4）根据旋转的性质可得旋转后点A的对应点的坐标为，点B的对应点的坐标为，再利用待定系数法解答，即可求解． 【详解】（1）解：（1）当时，；当时，，画出图形如下： （2）解：由（1）得：图象与x轴的交点A的坐标为，与y轴交点B的坐标为； 故答案为：1，0； （3）解： （4）解：∵该函数图象绕原点旋转， ∴旋转后点A的对应点的坐标为，点B的对应点的坐标为， 设旋转后的图象的解析式为， ∴，解得：， ∴该函数图象绕原点旋转后图象的函数表达式为． 题型八：两直线的交点求二元一次方程组的解 1．(25-26八上·重庆第二外国语学校·期中)如图，在平面直角坐标系中，直线与直线交于点，则关于，的方程组的解为 ． 【答案】 【分析】本题考查了一次函数图象交点坐标与二元一次方程组解的关系． 将点代入，求出点坐标，则点的横纵坐标即为方程组的解． 【详解】解：由题意得将代入，则， ∴， ∴关于，的方程组的解为， 故答案为：． 2．(24-25八上·陕西西安铁一中学·期末)已知方程组的解为，则一次函数与的交点P的坐标是 【答案】 【分析】本题考查了一次函数与二元一次方程组的关系，熟练掌握函数图象的交点坐标是两函数解析式组成方程组的解是解题的关键．利用函数图象的交点坐标为两函数解析式组成方程组的解进行回答即可． 【详解】解：∵方程组的解为， ∴一次函数与的交点P的坐标是． 故答案为：． 3．(25-26八上·山东济南历下区·期中)如图，直线：与直线：相交于点，则方程组的解是 ． 【答案】 【分析】本题考查了一次函数与二元一次方程，由两个一次函数解析式所组成的方程组的解就是两个相应的一次函数图象的交点坐标． 方程组的解为P点的横纵坐标． 【详解】解：∵直线：与直线：相交于点 将代入得， ∴， ∴方程组的解是， 故答案为：． 4．(25-26八上·安徽安庆太湖县太湖部分学校联考·期中)两条直线和的位置关系为 ．由此可知，方程组的解的情况为 ． 【答案】 平行 无解 【分析】本题考查一次函数的位置关系，直线交点与二元一次方程组的解之间的关系；通过比较两条直线的相等判断位置关系；方程组对应两条直线，根据位置关系判断解的情况． 【详解】解：∵对于两条直线和，， ∴两条直线平行； 方程组可化为， ∵两条直线平行，没有交点， ∴方程组无解， 故答案为：平行，无解． 5．(24-25八下·陕西汉中镇巴县·期末)如图，已知一次函数和的图象交于点，则关于x，y的二元一次方程组的解是 ． 【答案】 【分析】本题考查了一次函数与二元一次方程（组），利用“方程组的解就是两个相应的一次函数图象的交点坐标”解决问题． 【详解】解：∵点为函数与函数的图象的交点， ∴方程组的解为， 故答案为：． 6．(24-25八上·广东佛山顺德区均安镇文田初级中学·月考)如图所示的是函数与的图象，则方程组的解是 ． 【答案】 【分析】本题考查了一次函数与二元一次方程（组，解题的关键是方程组的解就是使方程组中两个方程同时成立的一对未知数的值，而这一对未知数的值也同时满足两个相应的一次函数式，因此方程组的解就是两个相应的一次函数图象的交点坐标．利用方程组的解就是两个相应的一次函数图象的交点坐标进行判断． 【详解】解：一次函数与的图象交于点， 则二元一次方程组的解是， 故答案为：． 题型九：一次函数的性质综合 1．(25-26八上·江苏盐城康居路初级中学·期中)已知一次函数的图象是由一次函数的图象平移得到，且过点． (1)求该一次函数的表达式； (2)已知，是一次函数图象上的两点，且．比较与的大小，并说明理由． 【答案】(1) (2)，理由见解析 【分析】本题考查了待定系数法求一次函数解析式，一次函数的性质，掌握一次函数的性质，平移的性质是解题的关键． （1）根据平移可得两个一次函数的相等，进而待定系数法求解析式即可求解； （2）根据一次函数的增减性即可求解． 【详解】（1）解：∵一次函数的图象是由一次函数的图象平移得到的，且经过点， ∴经过点， ∴， 解得； ∴一次函数的表达式为； （2）解：∵， ∴y随x的增大而增大， ∵，是一次函数图象上的两点，且 ∴． 2．(25-26八上·安徽宣城第十二中学·月考)已知一次函数（为常数，且）． (1)若，且，两点均在该函数的图象上，试比较，的大小； (2)若时，有最小值，求的值． 【答案】(1) (2)或 【分析】本题主要考查了一次函数图象与系数的关系、一次函数图象上点的坐标特征，解题时要熟练掌握并能灵活运用一次函数的性质是关键． （1）依据题意，得一次函数为，故该函数y随x的增大而增大，又，两点均在该函数的图象上进行判断即可； （2）依据题意，当时，y有最小值，分①当时和②当时，分别进行分析计算可以得解 【详解】（1）解：由题意得，， ∴一次函数为，且， ∴该函数y随x的增大而增大， 又∵，两点均在该函数的图象上，且， ∴； （2）解：∵当时，有最小值， ∴①当时，取时，y有最小值， ∴， ∴，符合题意； ②当时，取时，y有最小值， ∴， ∴，符合题意； 综上所述，或． 3．已知正比例函数的图象经过点． (1)求这个函数表达式； (2)判断点，点是否在这个函数图象上； (3)图象上的两点，如果，比较的大小． 【答案】(1) (2)点不在函数图象上，点在函数图象上 (3) 【分析】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征，涉及待定系数法求解析式，一次函数的性质与系数的关系，熟练掌握一次函数图象上点的坐标特征是解题的关键． （1）利用待定系数法求解析式即可； （2）将点A或点横坐标代入函数解析式，求出纵坐标，即可判断点A或点是否在这个函数图象上； （3）根据正比例函数的增减性，即可比较，的大小． 【详解】（1）解：将点代入， 得， 解得， ∴这个函数解析式为； （2）解：当时，， ∴点不在这个函数图象上； 当时，， ∴点在这个函数图象上； （3）解：∵， ∴y随着x增大而减小， ∵图象上的两点，，且， ∴． 4．将一次函数的图象向上平移个单位后恰好经过点． (1)求的值； (2)若一条直线与函数的图象平行，且与坐标轴所围成的三角形的面积为，求该直线的函数关系式． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了一次函数的平移，熟练掌握“左加右减，上加下减”，平移后的k值不变，是解题的关键． （1）一次函数的图象向上平移k个单位后，解析式为，将点代入可求k的值； （2）依题意设所求直线解析式为，则图象与坐标轴两交点坐标为，由面积公式求b即可． 【详解】（1）解：根据平移规律可知，平移后解析式为， 将点代入， 得， 解得； （2）解：设所求直线解析式为， 则图象与坐标轴两交点坐标为． 由三角形面积公式得， 解得， ∴或（不合题意，舍去）， 故所求直线的函数关系式为． 题型十：一次函数解答题综合 1．(25-26八上·福建宁德·期中)如图，一次函数的图象分别与x，y轴交于A，B两点，过点的直线交轴负半轴于点，且． (1)点的坐标为_____________，点的坐标为____________； (2)将沿直线翻折得到，点的对应点为点，求点的坐标． 【答案】(1)， (2) 【分析】本题主要考查了求一次函数关系式，求函数值或自变量的值等，确定各点与函数关系式之间的关系是解题的关键． （1）分别令和，即可求解； （2）由折叠的性质可得，，从而得到，即可求解． 【详解】（1）解：对于， 当时，，当时，， ∴点，点，即， ∵， ∴， ∴点； 故答案为：， （2）解：由（1）得，，， ， ∵将沿直线翻折得到， ∴，， ∴， ． 2．(25-26八上·江苏盐城鹿鸣路中学·月考)如图，点A是x轴上且在原点左侧的一点，点在第一象限，直线交y轴于点，． (1)直接写出______，点A的坐标（_____，_____），m的值是_______； (2)求直线的函数表达式； (3)若直线上有一点M，使得，求点M的坐标． 【答案】(1)2；；0；3； (2) (3)或 【分析】本题主要考查了坐标与图形，求一次函数解析式，中点坐标公式，利用分类讨论的思想求解是解题的关键． （1）根据三角形面积计算公式可得第一空答案，据此可求出的面积，进而得到的长，则可求出点A的坐标，再由三角形面积计算公式可得点B的纵坐标，即m的值； （2）利用待定系数法求解即可； （3）可证明，则，则可分当点M在点C的左侧时，则点C为的中点，当点M在点B右侧时，则点B为点C与的中点所连的线段的中点，据此利用中点坐标计算公式求解即可． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∴； ∵， ∴， ∴， ∴， 又∵点A在原点左侧， ∴； ∵， ∴，即； （2）解：设直线的函数表达式为， 由（1）可得， ∴， ∴， ∴直线的函数表达式为； （3）解：∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， 当点M在点C的左侧时，则点C为的中点， ∵，， ∴； 当点M在点B右侧时，则点B为点C与的中点所连的线段的中点， ∴的中点坐标为， ∴点M的坐标为； 综上所述，点M的坐标为或． 3．(25-26八上·四川成都树德实验中学·期中)如图，在平面直角坐标系中，直线与x轴交于点A，与y轴交于点D，直线与x轴交于点，与相交于点． (1)求直线的解析式； (2)求四边形的面积； (3)若点M是y轴上一动点，若，求点M的坐标． 【答案】(1)直线的解析式为 (2) (3)或 【分析】本题主要考查了求一次函数解析式，一次函数与坐标轴的交点问题，求直线所围成的图形面积，解题的关键是画出图形，数形结合，熟练掌握待定系数法． （1）先求出点C的坐标，然后用待定系数法求出函数解析式即可； （2）先求出点A、B的坐标，得出，然后根据求出结果即可； （3）设点，求出，，根据题意得到，求解即可． 【详解】（1）解：∵直线：与相交于点， ∴， 解得， ∴， 设直线的表达式为， 把点，代入得： ∴， 解得， ∴直线的解析式为； （2）解：当时，， ∴直线与y轴的交点D的坐标为， ∴， 当时，，， ∴直线与x轴的交点A的坐标为， ∴， ∵， ∴， ∴． （3）解：设点，则， ∵，， ∴， ∴，即， 解得或， ∴点M的坐标为或． 4．(25-26八上·安徽宣城皖东南·期中)如图，已知直线经过点，． (1)若直线与直线相交于点A，求点A的坐标； (2)根据图象，直接写出的解集； (3)在x轴上有一点P，若的面积为9，求P点的坐标． 【答案】(1) (2) (3)或 【分析】本题考查了待定系数法求一次函数解析式，一次函数与几何综合，解方程组，求不等式的解集，熟练掌握待定系数法是解题的关键． （1）先求得的解析式为，构造方程组求交点坐标即可； （2）利用交点的横坐标，结合不等式解答即可． （3）设点P的坐标为，根据，解方程即可得出x的值，进而可求出点P的坐标． 【详解】（1）解：根据题意，直线，经过点，， 根据题意，得， 解得， ∴的解析式为， 根据题意，得， 解得， 故． （2）解：根据题意，得，由，得 ， 由图象知①的解集为， 解不等式②得，， 故不等式组的解集，得． （3）解：设点P的坐标为， ， 解得或， ∴点P的坐标为或． 5．(25-26九上·黑龙江大庆第六十九中学·期中)如图，在直角坐标系中，是坐标原点，直线分别与轴和轴交于、两点，、两点的位置如图所示，直线分别与轴和轴交于、两点，且与直线交于点． (1)求直线的解析式； (2)若点、关于轴对称，，求四边形的面积． 【答案】(1) (2)12 【分析】本题考查了一次函数与几何综合，求一次函数的解析式，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． （1）利用待定系数法求解即可； （2）由轴对称的性质可得，求出点，利用待定系数法求出直线的解析式为，联立，可得点的坐标为，再由计算即可得解． 【详解】（1）解：设直线的解析式为， 则， 解得， ∴直线的解析式； （2）解：∵点、关于轴对称， ∴， ∵， ∴， ∴点， 设直线的解析式为， 则， 解得：， ∴直线的解析式为， 联立， 解得， ∴点的坐标为， ∴． 题型一：根据一次函数的增减性求最值 1．(2025·黑龙江省大庆市·三模)已知一次函数，当时，的最大值是，则的最小值是 ． 【答案】1或 【分析】本题考查了一次函数的增减性及解一元一次方程，解题的关键是理解函数的增减性． 分及两种情况，根据的最大值是，求出此时的的值，从而得出的值，再求出的值即可． 【详解】解：当时，一次函数中，y随x的增大而增大， 当时，的最大值是， ， 此时，即 当时，一次函数有最小值，最小值为； 当时，一次函数中，y随x的增大而减小， 当时，的最大值是， ， 此时，即 当时，一次函数有最小值，最小值为； 综上所述，的最小值是1或； 故答案为：1或． 2．(23-24八上·浙江宁波江北区宁波大学青藤书院·月考)已知实数x满足：，若函数的最大值为m，最小值为n，则的值等于 ． 【答案】 【分析】本题主要考查解不等式和去绝对值、一次函数的性质，解题的关键是分类讨论思想的应用，先解得不等式的解，再结合不等式求得各自的最大值和最小值，即可求得答案． 【详解】解：， 去分母得，， 去括号合并同类项得，，解得， 当，，此时最大值为，最小值为， 当，， 则函数的最大值为，最小值为，， 故答案为：． 3．已知a，b，c是非负数，且满足，设，则y的最小值为 ． 【答案】4 【分析】本题考查了三元一次方程组，一元一次不等式组，一次函数的图象与性质．熟练掌握三元一次方程组，一元一次不等式组，一次函数的图象与性质是解题的关键． 依题意得，，解得，，由a，b，c是非负数，可得，解得，，则，根据一次函数的性质求解作答即可． 【详解】解：依题意得，， 解得，， ∵a，b，c是非负数， ∴， 解得，， ∴， ∵， ∴当时，， 故答案为：4． 4．(23-24八上·甘肃张掖甘州区张掖育才中学·期末)如图，在直角坐标系中，点在直线上，过点A的直线交y轴于点．若点在线段上，点在直线上，则的最大值 ． 【答案】// 【分析】本题考查一次函数的性质，待定系数法，熟练掌握一次函数的性质是解题关键．先求出点A的坐标，然后求出直线的解析式，再把P，Q代入两个函数得到的表达式，根据t的取值范围即可求出最大值． 【详解】解：∵点在直线上， ∴，即点， 设直线的解析式为：， 则， 解得：， ∴直线的解析式为：， ∴，， ∴， ∵， ∴当时，有最大值， 故答案为：． 5．(24-25八下·湖北襄阳枣阳·期末)直线经过点，当时，y的最大值为6，则k的值为 ． 【答案】或 【分析】先根据直线经过点得到，再分，，三种情况结合当时，y的最大值为6进行求解即可． 【详解】解：∵直线经过点， ∴， 当时，则，则直线即为直线， 又∵当时，y的最大值为6， ∴此种情况不成立； 当时，则y随x增大而增大， ∴当时，， ∴， 联立①②得：； 当时，则y随x增大而减小， ∴当时，， ∴， 联立①③得：； 综上所述，或， 故答案为：或． 【点睛】本题主要考查了一次函数的增减性，一次函数图象上点的坐标特点，熟知一次函数的相关知识是解题的关键． 题型二：一次函数的中规律探索 1．如图，在平面直角坐标系中，函数和的图象分别为直线，过点作轴的垂线交于点，过点作轴的垂线交于点，过点作轴的垂线交于点，过点作轴的垂线交于点依次进行下去，则点的坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征、正比例函数的图象以及规律型中点的坐标，根据一次函数图象上点的坐标特征可得出点等的坐标，根据坐标的变化找出变化规律“，，，（为自然数）”，依此规律结合即可找出点的坐标． 【详解】解：当时，， 所以点的坐标为． 当时，， 所以点的坐标为． 同理可得，，，，，，， 所以，，，（为自然数）． 因为， 所以点的坐标为，即． 故选：C． 2．(2025九·广东省佛山市·模拟)正方形按如图的方式放置，点和点分别在直线和轴上，其面积分别记为，则（    ） 参考公式：． A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查一次函数找规律问题，找到题中的规律是解题的关键，根据一次函数解析式求出，的坐标，从而找到规律，从而得到，再根据提示即可求得答案． 【详解】解：∵点和点分别在直线和轴上， ∴，， ∴， ∴将代入得， ∴， ∴， 以此类推可得：， ， ∴ ． 故选：A． 3．在平面直角坐标系中，解析式为的直线a，解析式为的直线b如图所示，直线a交y轴于点A，以为边作第一个等边三角形，过点B作y轴的平行线交直线a于点，以为边作第二个等边三角形 顺次这样作下去，第2020个等边三角形的边长为（　　） A． B． C．4038 D．4040 【答案】A 【分析】本题考查一次函数的图象中的规律探索，等边三角形性质，含角的直角三角形的性质，勾股定理，熟练掌握相关知识并运用数形结合思维分析是解题的关键．依题意，分别求出前面几个等边三角形的边长，得出规律，即可求解． 【详解】解：如图，延长交轴于点， 当时，， ∴， 即第1个等边三角形的边长为； ∵是等边三角形， ∴， ∴， ∵轴， ∴， ∴， ∴， 当时，， ∴， ∴， ∴， 即第2个等边三角形的边长为2； 延长交轴于点，同理可得，即第3个等边三角形的边长为； 同理得，即第4个等边三角形的边长为； 可得第2020个等边三角形的边长为， 故选：A． 4．(24-25八下·山东济宁曲阜·期末)如图，在平面直角坐标系中，点，，，…和点，，，…分别在直线和轴上，直线与轴交于点，，，，…都是等腰直角三角形，如果点，那么点的纵坐标是（   ） A．2024 B．4048 C． D． 【答案】D 【分析】本题考查一次函数图象上点的坐标特征及点的坐标规律，罗列纵坐标得出一般规律，再按照规律求出的纵坐标即可得到答案．罗列纵坐标得出一般规律是解决问题的关键． 【详解】解：∵直线过点， ∴，解得， ∴直线解析式为， 作轴，轴，轴，，如图所示： ∵， ∴，的纵坐标为， ∵，…都是等腰直角三角形， 设， ∴， 将坐标代入直线解析式得，解得， ∴，的纵坐标为， 设， ∴， 将代入直线解析式得，解得， ， ∴综上所述，猜想的纵坐标规律为， ∴的纵坐标为， 故选：D． 5．(24-25八下·山东德州宁津县育新中学等·期中)在平面直角坐标系中，直线与x轴交于点，如图所示，依次作正方形，正方形，…，正方形，使得点，，，……，在直线l上，点，，，…，在y轴正半轴上，则点的坐标为（   ）    A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征、正方形的性质及点的坐标的规律，根据点的坐标的变化找出变化规律（为正整数）是解题的关键． 根据一次函数图象上点的坐标特征结合正方形的性质可得出点的坐标，同理可得出、、、…及、、、…的坐标，根据点的坐标变化可找出变化规律（为正整数），依此规律即可得出结论． 【详解】解：当时，由， 解得：， 点的坐标为， 为正方形， ， 同理可得：，，，，…， ，，，，…， （为正整数）， 点的坐标为：， 故选：A． 6．(24-25九下·湖南怀化九县十校·调研)如图，已知直线，直线和点，过点作轴的平行线交直线于点，过点作轴的平行线交直线于点，过点作轴的平行线交直线于点，过点作轴的平行线交直线于点按此作法进行下去，则点的横坐标为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征，观察横坐标变化规律，根据规律求解即可． 【详解】解： ，点在直线上， ， 轴， 点的纵坐标为1， 点在直线上， ，解得， ，即点的横坐标为， 同理，点的横坐标为， 点的横坐标为， 点的横坐标为， 点的横坐标为， 点的横坐标为， 点的横坐标为， 点的横坐标为， ， 点的横坐标为， 点的纵坐标为， 轴， 点的纵坐标为， 点在直线上， 点的横坐标为． 故选：D． 题型三：一次函数解答题压轴之存在性问题 1．(25-26八上·安徽淮北·月考)如图，在平面直角坐标系中，直线分别与x轴、y轴交于点，B，直线分别与x轴、y轴交于点C，D，点C在点A的左边，且，直线与直线交于点． (1)求直线与的函数表达式． (2)求的面积． (3)在直线上是否存在一点P，使得？若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)直线函数表达式为；直线函数表达式为 (2) (3)存在，点P坐标为或 【分析】（1）由点A和点E坐标可求出直线函数表达式，再求出点C坐标，根据点C和点E坐标可求出直线函数表达式； （2）分别求出点B和点D坐标，进而根据面积公式求解即可； （3）分类讨论，点P在点E上方和下方，然后表示出的面积，再根据面积公式求解即可． 本题主要考查了待定系数法求一次函数解析式、一次函数点的坐标特征、坐标与图形性质等内容，分类讨论是解题的关键． 【详解】（1）设表达式为，将点，代入得， ，解得， 直线函数表达式为； 由题可知， ， 设直线表达式为，将，代入得， ，解得， 直线函数表达式为； （2）令：，得， ， 令：，得， ， ， ； （3）当点P在点E上方时，如图， 此时， ， 解得， 此时， ； 当点P在点E下方时，如图， 此时， ， 解得正值舍去， 此时， ； 综上，满足题意的点P坐标为或． 2．(24-25八·广东清远清城区飞来湖中学·月考)如图，直线与轴交于点，与轴交于点，点是的中点． (1)求出点、点的坐标及的值； (2)在轴上是否存在一点，使得是直角三角形？若存在，请求出点的坐标：若不存在，请说明理由． (3)若点为轴上的一点，使得为等腰三角形，请直接写出点的坐标． 【答案】(1)，，； (2)点的坐标为或； (3)点的坐标为或或或． 【分析】本题考查了一次函数的性质，勾股定理，等腰三角形的性质等知识，掌握知识点的应用是解题的关键． （）由与轴交于点从而求出的值，即有点，然后根据点是的中点，点，得出点； （）分当时，当时，即与重合时两种情况分析即可； （）分如图当，当，当时，当时四种情况分析求解． 【详解】（1）解：∵与轴交于点， ∴， ∴， ∴， 当时，， ∴点， ∵点是的中点，点， ∴点； （2）解：如图，当时， ∵点，点， ∴，， ∴， 设， ∴，， ∴， ∴， ∴， 解得， ∴； 如图，当时，即与重合时， ∴， 综上可知，点的坐标为或； （3）解：由（）得：， 如图， 当，则； 当，则； 如图，设， 当时， ∴，， ∴，解得：， ∴， 如图， 当时， ∴， ∴， 综上可知：为等腰三角形，点的坐标为或或或． 3．如图1，平面直角坐标系中，直线交 y 轴于点，交 x 轴于点 ，直线交 于点 ，交 x 轴于点E． (1)求直线的表达式和点的坐标． (2)如图 2，点的坐标为，则的面积是 ． (3)设点是 x 轴上一动点，求的最小值． (4)以为腰在第一象限作等腰直角三角形，直接写出点C的坐标． 【答案】(1)， (2)18 (3) (4)或 【分析】（1）利用待定系数法运算求出解析式即可，再把代入函数解析式求出点D的坐标即可； （2）利用三角形的面积公式计算即可； （3）作点A关于x轴的对称点，连接交x轴于点Q，此时的值最小，最小值为的长，再利用勾股定理求出的长即可； （4）分类讨论点C的位置，利用等腰直角三角形的性质和全等三角形的性质与判定即可求解． 【详解】（1）解：∵直线交 y 轴于点，交 x 轴于点 ， ∴，解得：， ∴直线的表达式为， 当时，， ∴点D的坐标为； （2）解：由（1）得：点D的坐标为， ∵点P的坐标为， ∴， ∴； （3）解：存在， 如图，作点A关于x轴的对称点，连接交x轴于点Q， ∴，点的坐标为， ∴， ∴当点、Q、D三点共线时，的值最小，最小值为的长， ∵点的坐标为，点D的坐标为， ∴； （4）解：∵以为腰在第一象限作等腰直角三角形， ∴或， 当时，记等腰直角三角形为，作轴于点M，则， ∵， ∴， ∴，即， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴点； 当时，记等腰直角三角形为， 同理可得， 综上所述，满足条件的点C的坐标为或． 【点睛】本题考查了一次函数与几何综合、勾股定理、轴对称的最短路径问题、等腰直角三角形的性质、全等三角形的性质的判定和性质，熟练掌握相关知识点，结合图形添加适当的辅助线是解题的关键． 4．(25-26九上·四川达州高级中学江湾城校区（初中）·月考)如图，直线与轴相交于点，与轴相交于点． (1)求点，的坐标； (2)如果轴上有一动点，要使以为顶点的三角形构成等腰三角形，请探究并求出符合条件的所有点坐标． 【答案】(1)，； (2)点的坐标为或或或． 【分析】本题考查了等腰三角形的定义，勾股定理，一次函数与坐标轴的交点，利用了数形结合及分类讨论的思想，掌握知识点的应用是解题的关键． （）当时，求出的值，当时，求出的值，即可得出两点的坐标； （）分当，且点在轴上时；当时，点位于轴右侧；当时，点位于轴右侧三种情况分析即可． 【详解】（1）解：由直线得， 当时，；当时，， ∴，； （2）解：∵，， ∴，， ∴， 如图，当，且点在轴上时， ∴当点在点左侧时，， ∴此时点的坐标为； 当点在点右侧时，， ∴此时点的坐标为； 如图，当时，点位于轴右侧， ∴， ∴此时点的坐标为； 如图，当时，点位于轴右侧， 设，则，， ∴， ∴，解得：， ∴， 综上可得，点的坐标为或或或． 5．(25-26八上·陕西西安西咸新区西安高新一中沣东中学初中校区·月考)如图，在平面直角坐标系中，直线与x轴、y轴分别交于点A、B，与直线交于点．直线与x轴交于点D．点P是射线上的一个动点，且点P从点D出发以每秒2个单位长度匀速运动．设点P的运动时间为． (1)求两条直线的关系式； (2)当的面积为15时，求t的值； (3)试探究，在点P运动过程中，是否存在t的值，使为直角三角形？若存在，请求出t的值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)两条直线的关系式为和 (2)当的面积为15时，t的值为或 (3)在点P运动过程中，存在t的值，使为直角三角形，t的值为2.5或5 【分析】（1）利用待定系数法解答即可； （2）过点C作于点H，利用点C的坐标求得，则的高可得，利用点A，D的坐标求得，利用t的代数式表示出的长度，再利用三角形的面积公式解答即可得出结论； （3）利用分类讨论的思想方法分两种情况讨论解答：①当时，通过求得的长度解答即可得出结论；当时，过点C作于点H，利用等腰直角三角形的判定与性质求得的长度，再利用①的方法解答即可． 【详解】（1）解：∵直线与直线交于点， ∴， ∴， ∴两条直线的关系式为和； （2）解：过点C作于点H，如图， ∵， ∴． 对于，令，则， ∴， ∴， ∴． 对于，令，则， ∴， ∴， ∴， ∴． ∵点P是射线上的一个动点，且点P从点D出发以每秒2个单位长度匀速运动．点P的运动时间为， ∴， ∴或． ∵的面积为15， ∴， ∴或， ∴或． ∴当的面积为15时，t的值为或． （3）解：在点P运动过程中，存在t的值，使为直角三角形，t的值为2.5或5．理由： 由题意知：． ①当时，如图， ∵， ∴． 由（2）知：， ∴， ∴； ②当时，过点C作于点H，如图， ∵， ∴，， ∴， ∴， ∴为等腰直角三角形， ∴， ∵， ∴， ∴为等腰直角三角形， ∴， ∴， ∴． 综上，在点P运动过程中，存在t的值，使为直角三角形，t的值为2.5或5． 【点睛】本题主要考查了一次函数的图象与性质，待定系数法，一次函数图象上点的坐标的特征，三角形的面积，分类讨论的思想方法，直角三角形的性质，等腰直角三角形的判定与性质，利用点的坐标表示出相应线段的长度是解题的关键． 6．(24-25八上·广东深圳沙湾中学·期中)如图，在平面直角坐标系中将向下平移3个单位长度得到直线，直线与x轴交于点C；直线与x轴、y轴交于A、B两点，且与直线交于点D．    (1)填空：点A的坐标为______，点B的坐标为______． (2)直线的表达式为_____________． (3)在直线上是否存在点F，使？若存在，则求出点F的坐标；若不存在，请说明理由． (4)在直线上是否存在点P，使为等腰三角形？若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)； (2) (3)存在；或 (4)存在；点P的坐标为或或或 【分析】（1）分别将代入，即可求得、两点的坐标； （2）根据一次函数图象的平移特点求解即可； （3）先求出的面积，然后根据三角形的面积关系即可求得点的纵坐标，再代入，即可求得点的横坐标； （4）分三种情况讨论：当时，当时，当时，分别列出方程，求出结果即可． 【详解】（1）解：把代入得， 把代入得， 解得：， ， 故答案为：； （2）解：∵将直线向下平移3个单位长度得到直线， ∴的解析式为， 故答案为：； （3）解：存在； 把代入得， 解得：， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 解得：， 将代入，得， 将代入，得， ∴点F的坐标为或； （4）解：存在； ∵，， ∴， 设点，则： ， ， 当时，， 即， 解得：或（舍去）， 此时点P的坐标为； 当时，， 即， 解得：或， 此时点P的坐标为或； 当时，， 即， 解得：， 此时点P的坐标为； 综上分析可知，点P的坐标为或或或． 【点睛】本题主要考查了一次函数与坐标轴的交点问题，一次函数的平移问题，一次函数图象上点的坐标特点，等腰三角形的定义，解一元二次方程，掌握以上知识是解题的关键． 7．(24-25八下·重庆西南大学附中·开学考)如图，一次函数分别与轴、轴交于点和点，一次函数与轴交于点，且它们的图象交于点， (1)求这两个一次函数的函数解析式； (2)在轴上有一点，且，如果和的面积相等，求的值； (3)在（2）的条件下，以为一腰作等腰，直接写出所有符合的点的坐标． 【答案】(1)和 (2) (3)点坐标为或或或 【分析】（1）把点分别代入和中，求出即可得到答案； （2）由直线与坐标轴的交点求法，得到点的坐标为，点的坐标为，点的坐标为，则，由，代值解方程即可得到答案； （3）由等腰直角三角形性质，分和，由三角形全等的判定与性质求解即可得到答案． 【详解】（1）解：把点分别代入和中， 解得， ∴一次函数解析式为和； （2）解：当时，代入，解得， ∴点的坐标为， 当时，代入和中， 解得和， ∴点的坐标为，点的坐标为， ∴， ∵， 即， ∴， 则， 或， 解得或， ， ∴的值为； （3）解：由（2）得， 当时，过作，垂足为，如图所示： ， ， ， ， ∵等腰以为腰， ， 在和中， ， ， ， ∴点坐标为或； 当时，过作，垂足为，如图所示： 同理可得点坐标为或； 综上所述，点坐标为或或或． 【点睛】本题考查一次函数综合，涉及待定系数法求函数解析式、一次函数图象与性质、绝对值方程、等腰直角三角形性质、三角形全等的判定与性质等知识，熟记相关几何性质，灵活运用一次函数图象与性质是解决问题的关键． 1．(25-26八上·河南郑州高新区第一中学等九校联考·期中)对于一次函数，下列说法错误的是（   ） A．图象是经过两点，的一条直线 B．图象不经过第一象限 C．的值随着的值增大而减小 D．图象与轴的交点坐标为 【答案】B 【分析】本题考查了一次函数的性质． 根据一次函数的性质，判断各选项的正误即可． 【详解】解：当时，，点在图像上；当时，，点在图像上，故A正确； 点在图像上，故B错误； ∵，∴ y随x增大而减小，故C正确； 令，得，解得，∴与x轴交点为，故D正确； 故选：B． 2．(25-26八上·山东济南历下区·期中)点，在一次函数的图象上，则，的大小关系是（   ） A． B． C． D．无法确定 【答案】C 【分析】本题考查了一次函数的图象和性质，根据时，随的增大而增大即可判断求解，掌握一次函数的图象和性质是解题的关键． 【详解】解：∵在一次函数中，， ∴随的增大而增大， ∵点，在一次函数的图象上，且， ∴， 故选：． 3．(25-26八上·广东深圳实验学校初中部·期中)如图，点，，是平面直角坐标系中第一象限内的三个点，画出经过这三个点中每两个点的一次函数的图象，并得到函数表达式为，和，当时，一次函数的图象应为（   ） A．直线 B．直线 C．直线 D．无法确定 【答案】C 【分析】本题考查了一次函数的图象，作直线、、，求出当时，，，，画出直线，由函数图象并结合即可得解，采用数形结合的思想是解此题的关键． 【详解】解：如图，作直线、、， 当时，，，， ∵， ∴如图，画出直线，结合图象可得，一次函数的图象应为直线， 故选：C． 4．(25-26八上·安徽合肥第四十五中学本部·期中)已知函数（a为常数），当时，y有最大值为5，则a的值为（   ） A．或 B．或 C．或 D．或 【答案】C 【分析】本题考查了绝对值的性质，一次函数的性质；由函数的最大值只可能出现在端点处得或，通过解绝对值方程并验证端点值是否满足最大值为5，即可确定 的值． 【详解】解：当时，y有最大值为5， 或， 当时， 或， 解得或， 当时，，（舍去）， 当时，，； 当时， 或， 解得或， 当时，，， 当时，，（舍去）； 故或. 故选：C． 5．在同一平面直角坐标系中，对于函数：①，②，③，④的图象，下列说法正确的是（   ） A．通过点的是①和③ B．交点在轴上的是②和④ C．①和③都与函数的图象平行 D．关于轴对称的是②和③ 【答案】C 【分析】本题考查一次函数的性质，利用一次函数与坐标轴的交点，两个一次函数的交点，一次函数平行条件k相同，一次函数关于坐标轴对称逐项判断解答即可． 【详解】A、点代入①，通过；②，通过；③，不通过；④，通过，通过的是①②④，该选项错误； B、交点在y轴上需时y值相等，时，①，②，③，④，②和④y值不相等，该选项错误； C、函数的，①，③，均与平行，该选项正确； D、②与③，关于x轴对称需x取相同值时，y值互为相反数，但时均为，不相反，该选项错误； 故选：C． 6．定义：对于定义域为的函数，若任取在中的实数、（），都有，则称为上的“下阶梯函数”；若，则为“上阶梯函数”，二者统称“阶梯函数”．若函数是定义域为全体实数的“阶梯函数”，且的图像连续不断，则下列说法错误的是（   ） A．可以是任意的一次函数 B．若对任意实数都有，则是“上阶梯函数” C．若是“下阶梯函数”，则对任意实数、，都有 D．若存在实数、使得，则的图像与轴有且只有一个交点 【答案】B 【分析】本题考查函数的性质，一次函数的性质，根据新定义得到为上的“下阶梯函数”，则随增大而减小；为上的“上阶梯函数”，则随增大而增大，据此求解即可． 【详解】解：根据新定义可得：为上的“下阶梯函数”，则随增大而减小；为上的“上阶梯函数”，则随增大而增大； ∵函数是定义域为全体实数的“阶梯函数”，且的图像连续不断， ∴A、可以是任意的一次函数，选项说法正确，不符合题意； B、当时，由得到，此时是“下阶梯函数”，选项说法错误，符合题意； C、若是“下阶梯函数”，则对任意实数、，都有，，则，选项说法正确，不符合题意； D、若存在实数、使得，则和中一正一负，得到的图像与轴有且只有一个交点，选项说法正确，不符合题意； 故选：B． 7．(25-26八上·福建漳州漳州三中、三中分校联考·期中)若点都在一次函数的图象上，则 ．（填“”“”或“”） 【答案】 【分析】本题考查了一次函数的性质．熟练掌握一次函数的性质是解题的关键． 根据一次函数的性质，由于斜率，函数值随自变量的增大而减小，由点的横坐标1小于点的横坐标2，可得． 【详解】解：对于一次函数，当时，； 当时，。 因为， 所以． 故答案为． 8．(25-26八·安徽安庆第四中学·期中)平面直角坐标系中，横坐标和纵坐标都是整数的点叫做整点，直线与坐标轴围成的三角形区域（不含边界）中只有四个整点，则的取值范围是 ． 【答案】且 【分析】本题考查一次函数图象和性质，区域整数点；能够根据函数解析式求得直线恒经过的点，并能画出图象，结合图象解题是关键．由，得出直线经过点，如图，当直线经过或时，直线与两坐标轴围成的三角形区域（不含边界）中有且只有四个整点，当直线经过时，直线与两坐标轴围成的三角形区域（不含边界）中有且只有三个整点，分别求得这三种情况下的的值，结合图象即可得到结论． 【详解】解：， 直线经过点， 如图， 当直线经过时，直线与两坐标轴围成的三角形区域（不含边界）中有且只有四个整点，则，解得； 当直线经过时，直线与两坐标轴围成的三角形区域（不含边界）中有且只有四个整点， 则，解得； 当直线经过时，直线与两坐标轴围成的三角形区域（不含边界）中有且只有三个整点， 则，解得； 直线与两坐标轴围成的三角形区域（不含边界）中有且只有四个整点， 因此，当 且 时，区域中只有四个整点． 故答案为 且 ． 9．(25-26八上·江西九江九江五校·期中)如图，直线与轴、轴分别交于，两点，现以点为圆心，的长为半径画弧，与轴的正半轴交于点，则点的坐标为 ． 【答案】 【分析】本题考查一次函数图象上点的坐标特点及勾股定理，先根据题意得出，两点的坐标，再由勾股定理求出的长，进而可得出结论．熟知一次函数图象上各点的坐标一定适合此函数的解析式是解题的关键． 【详解】解：∵直线与轴、轴分别交于，两点， 当时，；当时，， ∴，， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴． 故答案为：． 10．(25-26八上·山东青岛海信学校·期中)正方形，，，…，按如图所示的方式放置，点、、和点、、…分别在直线和轴上，则点的横坐标是 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了一次函数图象上点的坐标特征、正方形的性质以及规律型：点的坐标，根据点的坐标的变化找出变化规律的横坐标是，纵坐标是是解题的关键．依据题意，利用一次函数图象上点的坐标特征及正方形的性质可得出点，，，，的坐标，即可根据正方形的性质得出，，，，的纵坐标，根据点的坐标的变化可找出变化规律点的横坐标是：，再代入即可得出结论． 【详解】解：当时，， ∴点的坐标为， ∵四边形为正方形， ∴点的坐标为， 当时，， ∴点的坐标为， ∵为正方形， ∴点的坐标为， 同理，可知：点的坐标为， 点的坐标为， ∴的横坐标是：，纵坐标是：， ∴点的坐标为， 故答案为：． 11．(25-26八上·江西九江九江五校·期中)如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与轴交于点，与轴交于点，点在轴上，且点从点出发，向右运动，当为等腰三角形时，的长为 ． 【答案】或或 【分析】确定，，得，，然后分三种情况：①当时；②当时；③当时，分别求解即可． 【详解】解：∵一次函数的图象与轴交于点，与轴交于点， 当时，；当时，， ∴，， ∴，， 当为等腰三角形时，分三种情况： ①当时，如图， ∴， 在中，， ∴， ∴； ②当时，如图， 在中，，， ∴， ∴； ③当时，如图， ∵轴与轴互相垂直，即， ∴， ∴， 综上所述，的长为或或． 【点睛】本题考查一次函数与坐标轴的交点，坐标与图形，勾股定理，等腰三角形的性质，利用分类讨论的思想解决问题是解题的关键． 12．(25-26八上·安徽六安第九中学·期中)已知函数，m为常数． (1)若该函数的图象与直线平行，求m的值； (2)若这个函数是一次函数，且函数图象不经过第二象限，求m的取值范围． 【答案】(1)1 (2) 【分析】本题考查一次函数的图象和性质，解一元一次不等式（组），掌握相关知识是解决问题的关键． （1）两直线平行，则两直线的解析式中x的系数相等，据此解答即可； （2）一次函数图象不经过第二象限，即函数图象经过一、三、四象限或只经过一、三象限，则x的系数为正数，常数项为负数或零，据此解答即可． 【详解】（1）解：∵函数的图象平行于直线， ， ； （2）解：函数是一次函数，且不经过第二象限， ∴且， ∴， ∴m的取值范围是． 13．(25-26八上·安徽安庆大观区安庆外国语学校·月考)在平面直角坐标系中，我们定义点的“关联点”为．且规定：当时，点的坐标为；当时，点的坐标为． (1)点的“关联点”坐标为_____； (2)若点的“关联点”在函数的图象上，求点的坐标． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了新定义，一次函数的图象及性质，熟练掌握一次函数的图象及性质，理解“关联点”的定义，并能灵活运用定义是解题的关键． （1）由定义直接求解即可； （2）分两种情况讨论：时，A点的“关联点”为，再由，可得不符合题意；当时，A点的“关联点”为，再由，得到； 【详解】（1）解：点， 点的“关联点”坐标为，即， 故答案为：； （2）当时，点的“关联点”为， 点在函数的图象上， ， ， 此时，不符合题意； 当时，点的“关联点”为， 点在函数的图象上， ， ；点 综上所述：点 14．(25-26九上·陕西西安爱知初级中学·月考)如图，一次函数的图象分别与轴交于点，与轴交于点． (1)求点，的坐标； (2)点为线段上一动点，连接，将沿翻折得到，连接，当是以为直角边的直角三角形时，请求出点的坐标． 【答案】(1)点B的坐标为，点A的坐标为 (2)或 【分析】本题考查了一次函数与坐标轴的交点问题，折叠的性质，勾股定理； （1）在函数解析式中分别令和，解相应方程，可求得A、B的坐标； （2）勾股定理求得，进而根据折叠的性质得出，分，，两种情况分别讨论，分别画出图形，根据勾股定理即可求解． 【详解】（1）解：令可得，解得， 令，解得， ∴，B． （2）解：∵，B ． ∴， ∴， 设，则，， 如图，当时， ∵将沿翻折得到， ∴ ， ∴ ∴ 解得：， ∴； 如图，当时，则在轴的负半轴， 同理可得，， ∴ ∴中， ∴ 解得： ∴， 综上所述，或 15．如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标是，点B从坐标原点O出发，沿轴负半轴运动，以为边作等边三角形（A，B，C按逆时针顺序排列），当点B在原点O时，记此时的等边三角形为． (1)求点的坐标； (2)连接，求证：； (3)求动点C所在图象的函数表达式． 【答案】(1) (2)见解析 (3)，此时 【分析】（1）过点作于点H，根据等边三角形的性质，勾股定理，坐标的定义计算解答即可； （2）连接，先证明，根据等边三角形的性质，三角形全等的判定证明即可； （3）设直线与y轴交点为M，确定，点M的坐标是，设直线的解析式为，利用待定系数法解答即可． 本题考查了等边三角形的性质，直角三角形的性质，勾股定理，三角形全等的判定和性质，待定系数法，熟练掌握待定系数法，勾股定理，等边三角形的性质是解题的关键． 【详解】（1）解：过点作于点H， ∵点A的坐标是， ∴， ∵是等边三角形， ∴，， ∵， ∴，， ∴点的坐标是． （2）证明：∵等边， ∴，， ∵是等边三角形， ∴，， ∴， ∴， 在和中， ∵， ∴． （3）解：∵， ∴， ∵， ∴， ∵是等边三角形， ∴，， 设直线于y轴交点为M，如图所示， ∴， ∴， ∴， ∴点M的坐标是， 设直线的解析式为， 根据题意，得， 解得， 故直线的解析式为，此时． 1 / 84 学科网（北京）股份有限公司 $