5.4.1 一次函数的图象与性质（第1课时 一次函数的图象）（11大基础题型+2大巩固提升）（题型专练）数学浙教版2024八年级上册

5.4.1 一次函数的图象与性质 （第1课时 一次函数的图象） 题型一：根据一次函数的解析式判断经过的象限 1．(25-26八上·吉林第二实验学校教育集团·期中)一次函数（是常数，）一定经过（   ） A．第一、二象限 B．第二、三象限 C．第一、四象限 D．第三、四象限 2．(25-26八上·陕西西安西光中学教育集团·期中)若函数（为常数）是正比例函数，则关于的一次函数不经过的象限是（  ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 3．(25-26九上·四川达州第一中学校·期中)已知实数a、b、c 满足 （注：），则直线 不经过 （ ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 4．若，直线不经过第四象限，则直线一定不经过（　　） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 5．一条直线，其中，，那么该直线经过（    ） A．第二、四象限 B．第一、二、三象限 C．第一、三象限 D．第二、三、四象限 题型二：已知一次函数经过的象限求参数 1．(24-25九下·安徽淮南田家庵区龙湖中学·期中)已知一次函数的图象与x轴交于点，且不经过第二象限，则的值（   ） A．大于0 B．小于0 C．等于0 D．无法判断 2．(2025·四川省广元市·模拟)已知直线与直线 在第二象限交于点 M，则k的取值范围是（     ） A． B． C． D． 3．(2025·广东省广州市·模拟)已知一次函数的图象经过第一、二、四象限，则的取值范围是（ ） A． B． C． D． 4．(24-25九下·河南周口扶沟县·月考)已知整数a使得不等式组的解集为，且使得一次函数的图象不经过第四象限，则满足条件的整数a的和为（　　） A． B． C． D． 5．(2025·江苏省南通市·模拟)已知直线经过第一、第二、第三象限，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 6．(24-25八下·四川眉山东坡区思蒙镇初级中学·期中)已知正比例函数的图象上一点且，，那么t的取值范围是（   ） A． B． C．或 D．不确定 7．(23-24八上·湖南长沙雅礼中学·期末已知过点的直线（）不经过第一象限，设，则s的取值范围是 ． 题型三：判断一次函数的图形是否正确 1．(25-26九上·湖南长沙湖南师大附中星城实验学校·月考)已知点在第二象限，则一次函数的图象可能是（   ） A．B．C． D． 2．(25-26八上·安徽合肥五十中学西校·期中)已知，且，则一次函数和的图象可能是（    ） A． B． C． D． 3．(25-26八上·安徽六安霍邱县第三中学·期中)在同一坐标系中，一次函数和的图象可能是（   ） A． B． C． D． 4．(25-26八上·山西运城垣曲县部分学校·期中)一次函数与在同一平面直角坐标系中的图象可能是（    ） A．B．C． D． 5．(25-26八上·河南郑州经济技术开发区第四中学·月考)在同一平面直角坐标系中，一次函数与的图象可能是（   ） A．B．C． D． 6．(24-25八下·云南丽江·期末)下列表示一次函数（是常数，且）的图象与正比例函数的图象可能的是（    ） A．B．C．D． 题型四：根据图象求两直线的交点 1．方程组所对应的函数图象如图所示，则的值为（    ） A．1 B． C．3 D． 2．(24-25八下·山东枣庄山亭区·期末)如图，已知直线与直线的交点的横坐标为，根据图象，下列结论中错误的是（　　） A． B．方程的解是 C． D．不等式的解集是 3．(24-25八上·安徽阜阳部分学校·期中)如图，在同一平面直角坐标系中，一次函数与的图象分别为直线和直线，下列结论正确的是（    ） A． B． C． D． 4．(24-25八上·山东济宁金乡县·月考)如图向上平移个单位后，与直线的交点在第一象限，则的取值范围是 ． 题型五：根据图象求解变量的取值范围 1．(25-26八上·广东深圳宝安区宝安中学外国语学校·月考)已知一次函数的图象如图所示，则，的取值范围是（   ） A．， B．， C．， D．， 2．已知一次函数的图象如图所示，则的值可能是（   ） A． B． C． D． 3．(2025九·安徽省阜阳市·模拟)如图，在同一平面直角坐标系中，一次函数与（其中，，，，为常数）的图象分别为直线，．下列结论正确的是（　　） A． B． C． D． 4．(2025·辽宁省朝阳市双塔区朝阳市·一模)如图，在同一平面直角坐标系中，一次函数与其中为常数）的图象分别为直线下列结论正确的是（    ） A． B． C． D． 5．(24-25八上·广西百色平果·期末)正比例函数和一次函数的图象如图所示，则（   ） A． B． C． D． 6．(2025九·江苏省宿迁市·三模)若函数的图像如图所示，则关于的不等式的解集为 ． 题型六：一次函数图象与坐标轴交点问题 1．(25-26八上·安徽合肥合肥新桥中学·期中)已知一次函数的图象与直线没有交点，且与轴交点的纵坐标为，则 ． 2．已知一次函数，若的增大而增大，且此函数图像与轴的交点在轴下方，则的取值范围是 ． 3．已知关于x的方程的解为，则一次函数的图象与x轴交点的坐标为 ． 4．(24-25八下·黑龙江哈尔滨呼兰区·期末)一次函数的图象与轴的交点坐标是 ． 5．(24-25八下·四川德阳中江县·月考)直线（为常数，）与轴分别交于点，则的值是 ． 6．(25-26八上·陕西西安高新逸翠园初级中学·期中)关于的方程的解是，则函数的图象与轴的交点坐标是 ． 7．若一次函数 的图象与两坐标轴交于A，B两点，则线段的长为 ． 题型七：与在坐标轴围成的三角形面积问题 1．(24-25八下·新疆生产建设兵团第二师华山中学·月考)若直线与坐标轴相交于点A，B，则的面积为 ． 2．一次函数的图象与坐标轴围成的三角形面积为1，则的值为 ． 3．(24-25八下·甘肃陇南康县·期末)一次函数经过第一象限，和两条坐标轴围成的三角形面积为2，则的值为 ． 4．在平面直角坐标系中，直线与轴的交点坐标为 ，与两坐标轴围成的三角形的面积为 ． 5．(24-25八下·吉林长春榆树慧望中学·期中)如图，在平面直角坐标系中，直线与直线与x轴的交点分别为点A、B，这两条直线交于点C，若点C的横坐标为，则的面积为 ． 6．(24-25八·北京十一学校·期中)在平面直角坐标系中，直线与轴的交点为，与轴的交点为，且，则的值为 ． 题型八：画一次函数图象 1．(25-26八上·辽宁沈阳法库县·期中)学习“一次函数”时，我们从“数”和“形”两方面研究一次函数的性质，并积累了一些经验和方法，小聪同学尝试运用积累的经验和方法对函数的图象与性质进行探究，下面是小聪同学的探究过程，请你补充完整． (1)列表： 0 1 2 3 4 0 0 则_____，_____； (2)描点并画出该函数的图象； (3)①观察函数图象，当_____时，的值随的值的增大而增大； ②观察函数图象，当时，的取值范围是_____； ③观察函数图象，试判断函数是否存在最小值？若存在，直接写出最小值． ④观察函数图象，试判断函数的图象是否是轴对称图形？若是，直接写出对称轴的直线表达式． 2．(25-26八上·重庆十一中教育集团·期中)探究与应用 【探究发现】 小文和他的同学们在学习完函数及一次函数后，成立了一个数学研究小组，准备用他们已经掌握的函数的探究路径，即：定义→图象→性质→应用，他们尝试沿着此路径探究下列情景问题：点A是数轴上一点，表示的数是1；点B是数轴上一动点，若它表示的数是x，AB的距离为y，随着x的变化，AB的距离y会如何变化呢？ （1）数学小组通过列表得到以下数据： x 0 1 2 3 4 5 … y 3 2 1 0 1 2 3 m … 其中________． 数学小组发现给定一个x的值，就会有唯一的一个y值与之对应，y是x的函数吗？________（填“是”或“不是”）． （2）请通过描点，连线画出该函数图象，并根据函数图象写出该函数的一条性质：___________________________________________． 【应用拓展】 若点，均在该函数图象上，请直接写出a，b满足的数量关系：_________． 将该函数图象在直线上方的部分保持不变，下方的图象沿直线进行翻折得到新函数图象，若一次函数与该函数图象只有一个交点，则的取值范围为_________．（备注：直线即过点且与轴平行的直线） 3．(23-24八下·贵州黔东南苗族侗族·期末)已知一次函数的图象经过点和点． (1)求这个函数的解析式； (2)在平面直角坐标系中，画出函数图象； (3)当时，求出y的取值范围． 4．(24-25八上·[名校联盟]江苏金坛茅麓中学·期中)先画图，再回答问题 (1)在同一直角坐标系内作出一次函数，，的图象； (2)点、是否在所画的图象上？在哪一个函数的图象上？ (3)如果在的图象上，求a的值． 5．在学习函数的过程中，我们经历了通过列表，描点，连线来画函数图象，观察分析图象特征，从而概括出函数性质的过程．下面是探究函数的图象与性质的部分过程．列表如下： … -3 -2 -1 0 1 2 3 … … 0 -2 -1 0 2 … (1)直接写出表格中___________，___________； (2)在平面直角坐标系中画出函数的图象，并结合所画图象写出该函数的一条性质：___________； (3)已知一次函数的图象如图所示，请直接写出方程的近似解___________（精确到0.1） 6．(24-25八下·广西南宁第八中学·期中)在如图所示的正方形网格中，每个小正方形的边长都是1． (1)先列表，再用“两点法”画出一次函数在平面直角坐标系中的图象； (2)若点A、B的坐标分别为、，请你利用尺规作图在直线上确定一点P，使得； (3)连接、，并求出的面积． 7．(24-25八下·河北衡水故城县·月考)在平面直角坐标系中，一次函数的图象与x轴，y轴分别交于点A， (1)在如图所示的平面直角坐标系中画出该一次函数的图象，并标出点A，B； (2)①若点，在该一次函数的图象上，且，则______（用“>”或“<”填空）； ②当时，y的取值范围是______ (3)将一次函数的图象沿y轴向上平移个单位长度，所得直线与x轴交于点E，若，求m的值． 题型九：一次函数图象的平移 1．(25-26九上·浙江杭州外国语学校·月考)将直线向上平移3个单位，再向右平移2个单位，则所得直线的解析式是（    ） A．； B．； C． D． 2．(25-26八上·江苏盐城鹿鸣路中学·月考)要从直线得到直线，就要把直线（   ） A．向上平移个单位 B．向下平移个单位 C．向左平移个单位 D．向右平移个单位 3．(25-26八上·浙江金华兰溪聚仁中学·月考)将向右平移2个单位长度，再向上平移2个单位，所得的直线的解析式是（   ） A． B． C． D． 4．(24-25八下·四川德阳·期末)将函数的图象向上平移3个单位长度得到函数的图象，那么的图象也可以看成是由的图象（    ） A．向左平移个单位长度得到 B．向右平移个单位长度得到 C．向左平移3个单位长度得到 D．向右平移3个单位长度得到 5．(25-26八上·吉林第二实验学校教育集团·期中)将函数向上平移5个单位长度，则平移后得到的一次函数表达式为 ． 题型十：已知一次函数的平移求参数的范围 1．(25-26八上·安徽蚌埠G5联考·月考)将直线向上平移个单位长度，若平移后的直线经过第一、二、三象限，则的值可以是 （    ） A． B．0 C．1 D．2 2．(25-26八上·安徽合肥第四十五中学·月考)在平面直角坐标系中，将函数的图象向下平移个单位，使其与函数的交点位于第四象限，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 3．在平面直角坐标系中，若将一次函数的图像向左平移个单位长度后，得到一个正比例函数的图像，则的值为（   ） A． B． C．2 D．4 4．(25-26八上·陕西西安碑林区西安交通大学附属中学·月考)在平面直角坐标系中，若将一次函数的图象向上平移2个单位长度后，得到一个正比例函数的图象，则的值为 ． 5．一次函数的图像过点，将函数的图像向上平移3个单位长度，所得函数的表达式为 ． 6．(25-26八上·安徽淮北·月考)已知直线向上平移个单位长度后经过点，则m的值为 ． 7．(24-25八下·广东广州越秀区·期末)将直线沿轴向下平移6个单位后得到直线，则直线与轴的交点坐标是 题型十一：根据两直线的位置关系求解 1．(23-24八上·甘肃张掖临泽县第二中学·月考)直线与直线的位置关系是（      ） A．相交 B．垂直 C．平行 D．重合 2．将直线平移，使平移后的直线经过点，所得直线的表达式是 ． 3．(24-25八下·吉林白山长白朝鲜族自治县·期末)已知直线是由直线平移得到的，则直线与轴的交点坐标是 ． 4．(24-25八下·河南洛阳新安县·期末)一次函数的图象与正比例函数的图象平行，且将一次函数的图象向下平移3个单位后经过点，则 ． 5．(24-25八下·山东滨州惠民县·期末)已知直线的解析式为，若直线与直线平行，且过点，则直线的解析式为 ． 6．(24-25八上·江苏无锡江阴青阳初级中学·)已知直线l与直线平行，且经过点，直线l的函数表达式为 ． 7．(23-24八上·安徽宣城第六中学·期中)与直线垂直且过点的直线解析式是 ． 8．(24-25八上·辽宁沈阳新民·期中)如图，一次函数的图象分别与x轴，y轴交于A，B两点，点C在第一象限，与垂直，且，则点C的坐标为 ．    题型一：根据平移求取值范围 1．(24-25八下·浙江台州三门县·期末)如图，，将直线以每秒2个单位长度向右平移秒，当直线与四边形有公共点时，的取值范围为（    ） A． B． C． D． 2．(2025·广东省广州市·模拟)如图，在平面直角坐标系中，点，点，若将直线向上平移d个单位长度后与线段有交点，则d的取值范围是（   ） A． B． C． D． 3．(24-25八下·河北石家庄栾城区·期末)如图，在平面直角坐标系中，边长为3的正方形在第一象限内，轴，点的坐标为，直线的表达式为：．将直线沿轴向下平移个单位，使平移后的直线与正方形有交点，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 4．(24-25八上·浙江嘉兴一中实验学校·月考)如图，是由直线围成的封闭图形，若直线与没有交点，则k的取值范围是 ． 题型二：一次函数的图形综合解答题 1．(24-25八下·河北保定易县·期末)如图，线段两个端点的坐标分别为，一次函数的图象与x轴交于点，与y轴交于点． (1)求一次函数的解析式． (2)将直线向上平移a个单位长度，使平移后的直线与线段有交点，求a的取值范围． 2．在平面直角坐标系中，将函数向上平移2个单位，与的图象交于点． (1)求的值； (2)当时，对于的每一个值，函数的值大于函数的值，且小于函数的值，直接写出的取值范围． 3．把函数的图象分别沿轴向上或向下平移3个单位长度，就得到函数或的图象． 【阅读理解】 小尧阅读这段文字后有个疑问：把函数的图象沿轴向右平移3个单位长度，如何求平移后的函数表达式？ 老师给了以下提示：如图1，在函数的图象上任意取两个点，分别向右平移3个单位长度，得到，直线就是函数的图象沿轴向右平移3个单位长度后得到的图象． 请你帮助小尧解决他的困难． （1）将函数的图象沿轴向右平移3个单位长度，平移后的函数表达式为___________． 【解决问题】 （2）已知某一次函数的图象与直线关于轴对称，求此一次函数的表达式． 【拓展探究】 （3）一次函数的图象绕点逆时针方向旋转后得到的图象对应的函数表达式为___________．（直接写结果） 4．(24-25八上·河南郑州郑州经济技术开发区外国语学校·月考)探究与应用 【探究发现】 晓豫和他的同学们在学习完函数及一次函数后，成立了一个数学研究小组，准备用他们已经掌握的函数的探究路径，即：定义图象性质应用，他们尝试沿着此路径探究下列情景问题：点是数轴上一点，表示的数是1；点是数轴上一动点，若它表示的数是，的距离为，随着的变化，的距离会如何变化呢？ （1）数学小组通过列表得到以下数据： … 0 1 2 3 4 5 … … 3 1 0 1 2 3 4 … 其中 ． 数学小组发现给定一个的值，就会有唯一的一个值与之对应，是的函数吗？ （填“是”或“不是”） （2）请通过描点，连线画出该函数图象，并根据函数图象写出该函数的一条性质： ； 【应用拓展】 （3）若点，均在该函数图象上，请直接写出，满足的数量关系： ； （4）将该函数图象在直线上方的部分保持不变，下方的图象沿直线进行翻折，得到新函数图象，若一次函数与该函数图象只有一个交点，则的取值范围为 ．（备注：直线即过点且与轴平行的直线） 5．(24-25八下·河北邢台襄都区·期末)如图是个台阶的示意图（各拐角均为，每个台阶宽、高分别为和，为第一个台阶面，为第二个台阶面，以此类推，为第八个台阶面，建立如图所示的平面直角坐标系． (1)求直线的解析式，并判断点是否在直线上； (2)点在直线 上（填直线的解析式）； (3)嘉琪同学拿着激光笔照射台阶，射出的光线都可以用直线表示，若使光线刚好照到所有台阶（包含点），求的取值范围． 6．(24-25八下·湖北咸宁通城县·期末)如图，在平面直角坐标系中，正比例函数的图象与一次函数的图象的交点为． (1)求和的值； (2)不等式的解集为________； (3)设一次函数的图象与轴交于点，将一次函数的图象向右平移个单位长度，交的图象于点，交轴于点，四边形的面积为________． 7．(2025·四川省德阳市·模拟)如图，已知，，将线段平移到第一象限得线段，点的横坐标为，若作直线交轴于点． (1)求线段所在直线的解析式； (2)直线上一点，求出、之间的数量关系； (3)若点在轴上，求的取值范围． 8．(24-25八下·湖北武汉东湖高新区·期末)平面直角坐标系中，直线的解析式为：过定点，分别交轴、轴于点、． (1)直接写出定点的坐标________； (2)如图（1），当时，点在线段上，点在轴上，满足且，求点的坐标； (3)如图（2），平移直线交轴负半轴于点，交轴负半轴于点，使得，连接交于点，过点作于点，求的值． 1．(24-25八下·黑龙江绥化望奎县·期末)已知一次函数的图象经过一、二、四象限，则直线的图象可能是（　　） A．B．C． D． 2．(25-26八上·安徽合肥第四十二中学·期中)已知过点的直线不经过第四象限．设，则（   ） A．有最大值，最大值为6 B．有最小值，最小值为6 C．有最大值，最大值为 D．有最小值，最小值为 3．(2025·陕西省咸阳市·二模)已知一次函数（k、b为常数，且）的图象不经过第一象限，则k、b的值可能是（   ） A． B． C． D． 4．(24-25八下·福建泉州晋江·期中)若直线经过点和，且，则的值可以是(　 ) A．4 B．5 C．6 D．7 5．(2025·安徽省合肥市·三模)如图，小云同学在“探索一次函数中与图象的关系”活动中，已知点，点在第一象限内，若一次函数图象经过，则下列判断不正确的是（　　） A．当时， B．当时， C．当时， D．当时， 6．(24-25八下·四川南充南部县第二中学·期末)如图，直线与x轴和y轴分别交于A，B两点，E、F分别是的中点，P是x轴上的一个动点，则的最小值是（    ） A． B． C． D． 7．(23-24八上·安徽合肥第三十中学·)一次函数 无论k取任何非0值，它的图像总是过一个定点，此点坐标为 ． 8．(23-24九上·湖南怀化洪江实验中学·期末)已知且，那么直线必经过第 象限． 9．(24-25八下·重庆南川区三校联盟·期中)已知整数a使得不等式组的解集为，且使得一次函数的图象不经过第四象限，则满足条件的整数a的和为 ． 10．(24-25七上·山东东营利津县（五四制）·期末)已知一次函数的图象经过点，且与直线平行，求此一次函数的图象与y轴的交点坐标为 ． 11．(24-25八下·福建厦门第一中学·期末)关于函数，有下列结论：①函数过定点；②函数的对称轴在轴左侧；③若，则；④若，则，其中正确结论的序号为 ． 12．(25-26八上·江苏盐城鹿鸣路中学·月考)对于函数，在如图所示的平面直角坐标系中． (1)画出函数的图象； (2)填空：写出图象与x轴的交点A的坐标（____，____），与y轴交点B的坐标（____）； (3)在（2）的条件下，求出的面积． (4)直接写出该函数图象绕原点旋转后图象的函数表达式． 13．(24-25八下·湖南长沙长沙县城区联考·期中)一次函数 (1)若函数图象经过原点，求m的值； (2)若函数图象平行于直线，求该函数解析式，并在所给的平面直角坐标系中画出函数的图象； (3)在（1）的条件下，将正比例函数的图象向下平移4个单位，求出平移后的直线解析式． 14．如图，在平面直角坐标系中，直线与轴、轴分别交于，两点，以线段为一直角边向直线左侧作等腰直角． (1)求直线的函数表达式； (2)将直线向上平移个单位长度，当直线与线段有交点时，求的取值范围； (3)已知点与点关于对称，若直线上存在一点，使得是以为腰的等腰三角形，请求出点的坐标． 15．(24-25八下·内蒙古赤峰·期末)对于函数（m为常数），小明用特殊到一般的方法，探究了它的图象及部分性质，请将小明的探究过程补充完整，并解决问题． (1)当时，函数为；当时，函数为，用描点法画出了这两个函数的图象，如图所示． 观察函数图象可知：函数的图象关于_______对称： 对于函数，当_______时，； (2)当时，函数为 ①在图中画出函数的图象： ②对于函数，当时，的取值范围是________； (3)结合函数，和的图象，可知函数的图象可由函数的图象平移得到，它们具有类似的性质．若，写出由函数的图象得到函数的图象的平移方式． 1 / 19 学科网（北京）股份有限公司 $ 5.4.1 一次函数的图象与性质 （第1课时 一次函数的图象） 题型一：根据一次函数的解析式判断经过的象限 1．(25-26八上·吉林第二实验学校教育集团·期中)一次函数（是常数，）一定经过（   ） A．第一、二象限 B．第二、三象限 C．第一、四象限 D．第三、四象限 【答案】A 【分析】此题考查一次函数的图象的性质，根据题意可得一次函数的图象与轴交于点，位于轴正半轴，且无论 或 ，图象都会经过第一和第二象限． 【详解】解：一次函数中，， ∴ 函数图象与轴交于点，位于轴正半轴， 当时，图象经过第一、二、三象限， 当时，图象经过第一、二、四象限， ∴ 无论为何值（），函数图象一定经过第一、二象限． 故选：A． 2．(25-26八上·陕西西安西光中学教育集团·期中)若函数（为常数）是正比例函数，则关于的一次函数不经过的象限是（  ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】B 【分析】本题考查正比例函数的定义，判断一次函数经过的象限，先根据正比例函数的定义，求出的值，进而确定一次函数的解析式，进行判断即可． 【详解】解：∵函数（为常数）是正比例函数， ∴， ∴， ∴关于的一次函数为， ∴一次函数的图像过一，三，四象限，不经过第二象限； 故选：B． 3．(25-26九上·四川达州第一中学校·期中)已知实数a、b、c 满足 （注：），则直线 不经过 （ ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】B 【分析】本题考查了等式的性质，分式的定义，一次函数的性质等知识．先根据题意得，根据得到，，，即可得到，求出．根据函数性质得到直线经过第一、第三和第四象限，不经过第二象限． 【详解】解：由题意得， ∵ ， ∴，，， ∴， ∵， ∴． ∴直线解析式为， ∴ 直线经过第一、第三和第四象限，不经过第二象限． 故选：B 4．若，直线不经过第四象限，则直线一定不经过（　　） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】B 【分析】本题主要考查一次函数的图象与性质，熟练掌握一次函数的图象与性质是解题的关键；由条件和直线不经过第四象限，推导出a、b、c的符号关系，判断所经象限即可． 【详解】解：∵直线不经过第四象限，， ∴且， ∴由得a与b同号； 由得，即c与a异号， 若，则，，此时，与矛盾； 故，，， ∴直线中，，， ∴直线一定不经过第二象限； 故选B． 5．一条直线，其中，，那么该直线经过（    ） A．第二、四象限 B．第一、二、三象限 C．第一、三象限 D．第二、三、四象限 【答案】D 【分析】本题主要考查一次函数的图象与性质，熟练掌握一次函数的图象与性质是解题的关键；根据和的值，判断k和b的符号，再根据一次函数图象与系数的关系确定直线经过的象限． 【详解】解：∵，， ∴， ∴ 直线经过第二、三、四象限； 故选D． 题型二：已知一次函数经过的象限求参数 1．(24-25九下·安徽淮南田家庵区龙湖中学·期中)已知一次函数的图象与x轴交于点，且不经过第二象限，则的值（   ） A．大于0 B．小于0 C．等于0 D．无法判断 【答案】A 【分析】本题主要考查了待定系数法求一次函数解析式，一次函数图象与其系数之间的关系，先把点的坐标代入解析式得到，再讨论k的符号，从而确定一次函数图象经过的象限，即可得到答案． 【详解】解：∵图象经过点， ∴，即， ∴， 当时，一次函数经过第一、三、四象限，不经过第二象限，符合题意， ∴； 当时，一次函数经过第一、二、四象限，不符合题意； 综上所述，， 故选：A． 2．(2025·四川省广元市·模拟)已知直线与直线 在第二象限交于点 M，则k的取值范围是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】此题主要考查了两条直线的相交问题，以及一次函数图象的点的特征，要熟练掌握．根据一次函数的图象与系数的关系，求出的取值范围即可． 【详解】解：直线与直线 在第二象限交于点， 直线过二、三、四象限， ， 直线与轴的交点为， 把点为代入得，， 直线与直线在第二象限交于点，则． 故选：A． 3．(2025·广东省广州市·模拟)已知一次函数的图象经过第一、二、四象限，则的取值范围是（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了一次函数的图象和性质，根据一次函数的图象经过第一、二、四象限可得，解不等式即可求解，掌握一次函数的图象和性质是解题的关键． 【详解】解：∵一次函数的图象经过第一、二、四象限， ∴， ∴， 故选：． 4．(24-25九下·河南周口扶沟县·月考)已知整数a使得不等式组的解集为，且使得一次函数的图象不经过第四象限，则满足条件的整数a的和为（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】此题主要考查了一次函数与一元一次不等式，直接解不等式，进而得出a的取值范围，再利用一次函数的性质得出a的取值范围进而得出符合题意的值． 【详解】解：∵不等式组的解集为， ∴的解集为， ∴， ∵一次函数的图象不经过第四象限， ∴， 解得：， ∴， ∴整数a的值为：，，， ∴． 故选：D． 5．(2025·江苏省南通市·模拟)已知直线经过第一、第二、第三象限，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据一次函数（、为常数， ）的图象性质，分析、取值对直线经过象限的影响来求解．本题主要考查了一次函数的图象与系数的关系，熟练掌握不同、取值对应直线经过的象限是解题的关键． 【详解】解：∵一次函数的图象经过第一、二、三象限， ∴时， 时， 故选： ． 6．(24-25八下·四川眉山东坡区思蒙镇初级中学·期中)已知正比例函数的图象上一点且，，那么t的取值范围是（   ） A． B． C．或 D．不确定 【答案】A 【分析】此题考查了正比例函数的图象和性质．根据，确定点的横、纵坐标异号，得到正比例函数的图象经过第二、四象限，据此得到，解不等式即可得到答案． 【详解】解：∵，， ∴该点的横、纵坐标异号， ∴正比例函数的图象经过第二、四象限， ∴， 解得． 故选A． 7．(23-24八上·湖南长沙雅礼中学·期末已知过点的直线（）不经过第一象限，设，则s的取值范围是 ． 【答案】 【分析】本题主要考查一次函数的性质，根据图象在坐标平面内的位置关系确定m的取值范围，从而求解． 【详解】解：把，代入中，可得：， 因为过点的直线（）不经过第一象限； 所以可得：，； ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴ ∴． 故答案为：． 题型三：判断一次函数的图形是否正确 1．(25-26九上·湖南长沙湖南师大附中星城实验学校·月考)已知点在第二象限，则一次函数的图象可能是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查判断一次函数图象经过的象限，根据第二象限内点的符号特征，得到，即可得出结果． 【详解】点在第二象限， ． 则一次函数经过一、二、四象限， A选项图象符合题意. 故选：A． 2．(25-26八上·安徽合肥五十中学西校·期中)已知，且，则一次函数和的图象可能是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了一次函数图像，理解一次函数图像、正比例函数图像与参数的关系是解题的关键． 根据，且，可知，或；由可判断A、B选项，再分和两种情况可判定B、D选项． 【详解】解：∵，且， ∴，或， ∵， ∴函数的图像过二、四象限，故A、B选项不符合题意； 当，一次函数的函数值y随x的增大而增大，且与y轴的交点在y轴的负半轴，即B、D选项都不符合题意； 当，一次函数的函数值y随x的增大而增大，且与y轴的交点在y轴的正半轴，即D选项都符合题意． 故选：D． 3．(25-26八上·安徽六安霍邱县第三中学·期中)在同一坐标系中，一次函数和的图象可能是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了一次函数的图象和性质；根据一次函数的图象确定相应的系数，然后比较，找出矛盾即可求解． 【详解】解：A、中即，中，即，矛盾，不符合题意； B、 中即，中，即，矛盾，不符合题意； C、中即，中，即，符合题意； D、中即，中，即，矛盾，不符合题意； 故选：C． 4．(25-26八上·山西运城垣曲县部分学校·期中)一次函数与在同一平面直角坐标系中的图象可能是（    ） A．B．C． D． 【答案】A 【分析】本题考查一次函数图象与性质．根据题中选项的图，假定其中一条直线的解析式为，由一次函数图象与性质得到符号，再判断另一条直线是否满足即可得到答案． 【详解】解：A、如图所示： 假设①的表达式为，则， ， 对于一次函数，图象下降、且与轴负半轴相交，图②能表示一次函数图象，该选项符合题意； B、如图所示： 假设①的表达式为，则， ， 对于一次函数，图象上升、且与轴负半轴相交，图②不能表示一次函数图象，该选项不符合题意； C、如图所示： 假设①的表达式为，则， ， 对于一次函数，图象与轴负半轴相交，图②不能表示一次函数图象，该选项不符合题意； D、如图所示： 假设①的表达式为，则， ， 对于一次函数，图象与轴正半轴相交，图②不能表示一次函数图象，该选项不符合题意； 故选：A． 5．(25-26八上·河南郑州经济技术开发区第四中学·月考)在同一平面直角坐标系中，一次函数与的图象可能是（   ） A．B．C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了一次函数的图象，根据正比例函数图象确定的符号，进而得出一次函数的图象分布位置，再结合图象判断即可求解，掌握一次函数的图象和性质是解题的关键． 【详解】解：、由正比例函数图象可知， ∴， ∴一次函数的图象经过一二三象限，该选项图象错误，不合题意； 、由正比例函数图象可知， ∴， ∴一次函数的图象经过一二三象限，该选项图象正确，符合题意； 、由正比例函数图象可知， ∴一次函数的图象经过一三四象限，该选项图象错误，不合题意； 、正比例函数图象是经过原点的一条直线，该选项图象错误，不合题意； 故选：． 6．(24-25八下·云南丽江·期末)下列表示一次函数（是常数，且）的图象与正比例函数的图象可能的是（    ） A．B．C．D． 【答案】D 【分析】本题考查了一次函数图象与正比例函数图象的综合判断，解题的关键是熟练掌握一次函数的图象与性质以及正比例函数的图象与性质． 分别对每个选项中一次函数中的与正比例函数中的的符号进行判断是否一致即可． 【详解】解：A、由图象可得一次函数中，正比例函数中，矛盾，故本选项不符合题意； B、由图象可得一次函数中，正比例函数中，矛盾，故本选项不符合题意； C、由图象可得一次函数中，正比例函数中，矛盾，故本选项不符合题意； D、由图象可得一次函数中，正比例函数中，正确，故本选项符合题意； 故选：D． 题型四：根据图象求两直线的交点 1．方程组所对应的函数图象如图所示，则的值为（    ） A．1 B． C．3 D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了一次函数与二元一次方程组的关系，熟练掌握一次函数图象的交点与二元一次方程组的解的对应关系是解题的关键．先根据函数图象的交点坐标确定方程组的解，再将解代入方程组求出、的值，最后计算． 【详解】解：由图象可知，方程组的解为． 把代入，得，解得． 把代入，得，解得． 所以． 故选：D． 2．(24-25八下·山东枣庄山亭区·期末)如图，已知直线与直线的交点的横坐标为，根据图象，下列结论中错误的是（　　） A． B．方程的解是 C． D．不等式的解集是 【答案】D 【分析】本题主要考查了一次函数与一元一次不等式、一次函数与二元一次方程组，熟练掌握一次函数与一元一次不等式及一次函数与二元一次方程组是解题的关键．依据题意，根据一次函数与一元一次不等式的关系及一次函数与二元一次方程组及一元一次方程的关系求解即可． 【详解】解：由题意，直线的图象在第二、三、四象限， ， 故A正确，不合题意； 直线与直线的交点的横坐标为， 方程的解是， 故B正确，不合题意； 直线的图象与y轴交于正半轴， ， 故C正确，不合题意； 结合图象可得，当时，直线上的点都不在直线的下方， 不等式的解集为， 故D错误，符合题意． 故选：D． 3．(24-25八上·安徽阜阳部分学校·期中)如图，在同一平面直角坐标系中，一次函数与的图象分别为直线和直线，下列结论正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了一次函数的图象与性质、有理数的加法法则，根据一次函数与均为随增大而减小，可得：，，所以可得：，，根据一次函数与轴交点在轴上方，可得：，根据一次函数与轴交点在轴下方，，从而可得：，，根据计算结果进行判断即可． 【详解】解：由函数图象可知，一次函数与均为随增大而减小， ，， ，， 故A选项错误，C选项正确； 一次函数与轴交点在轴上方， ， 一次函数与轴交点在轴下方， ， ，， 故B选项和D选项错误． 故选：C． 4．(24-25八上·山东济宁金乡县·月考)如图向上平移个单位后，与直线的交点在第一象限，则的取值范围是 ． 【答案】 【分析】向上平移个单位后，得到新解析式为，直线于坐标轴的交点为，，当直线过，确定m的值，后确定范围即可． 本题考查了一次函数的平移，直线与坐标轴的交点，熟练掌握平移是解题的关键． 【详解】解：向上平移个单位后，得到新解析式为， 又直线于坐标轴的交点为，， 当直线过，时，解得，， 故与直线的交点在第一象限的的取值范围是． 故答案为：． 题型五：根据图象求解变量的取值范围 1．(25-26八上·广东深圳宝安区宝安中学外国语学校·月考)已知一次函数的图象如图所示，则，的取值范围是（   ） A．， B．， C．， D．， 【答案】B 【分析】本题考查了一次函数图象与系数的关系，根据一次函数图象经过的象限，利用一次函数图象与系数的关系可得出，，此题得解． 【详解】解：观察图形可知：一次函数的图象经过第一、三、四象限， ∴，． 故选：B． 2．已知一次函数的图象如图所示，则的值可能是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查一次函数的图象和性质，先将函数解析式变形为，再根据增减性得出，即可求解． 【详解】解：， 由图可知，y随x的增大而增大， ， ， 观察四个选项可知，只有选项A满足条件， 故选：A． 3．(2025九·安徽省阜阳市·模拟)如图，在同一平面直角坐标系中，一次函数与（其中，，，，为常数）的图象分别为直线，．下列结论正确的是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了一次函数的图象与性质，熟练掌握一次函数的图象与性质，并能根据函数图象准确判断、的正负是解题的关键．本题考查的是一次函数的图象与性质，直接利用一次函数的图象经过的象限以及与轴的交点位置再判断即可． 【详解】解：由一次函数：的图象可得： ，， 由一次函数：的图象可得： ，， ∵一次函数与都过， ∴， ∴，， ∴， ，，， 正确的结论是D，符合题意， 故选D． 4．(2025·辽宁省朝阳市双塔区朝阳市·一模)如图，在同一平面直角坐标系中，一次函数与其中为常数）的图象分别为直线下列结论正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查一次函数的图象，根据函数图象，可以得到，，，然后即可判断各个选项中的说法是否正确． 【详解】解：由图象可得，，，， A、，故选项A错误，不符合题意； B、，故选项B错误，不符合题意； C、，故选项C错误，不符合题意； D、，故选项D正确，符合题意； 故选：D． 5．(24-25八上·广西百色平果·期末)正比例函数和一次函数的图象如图所示，则（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查一次函数与正比例函数中的图象与系数的关系，通过图象找到，，是解题的关键，通过图象得到，，即可求解． 【详解】解：由图得：正比例函数中；一次函数中，， A、，故该选项不符合题意； B、；故该选项不符合题意； C、；故该选项符合题意； D、；故该选项不符合题意； 故选：C． 6．(2025九·江苏省宿迁市·三模)若函数的图像如图所示，则关于的不等式的解集为 ． 【答案】 【分析】本题考查了一次函数的图象，解一元一次不等式，熟练掌握各知识点并灵活运用是解题的关键． 将代入得，则代入原不等式，化为，再根据图象可得，则，即可求不等式的解集． 【详解】解：将代入得：， ∴， ∴化为：， ∴， 由函数图象可得：， ∴， ∴， 故答案为：． 题型六：一次函数图象与坐标轴交点问题 1．(25-26八上·安徽合肥合肥新桥中学·期中)已知一次函数的图象与直线没有交点，且与轴交点的纵坐标为，则 ． 【答案】 【分析】本题考查了一次函数的性质，及一次函数与坐标轴的交点问题，由与轴交点的纵坐标为，求得，由与给定直线无交点，求得，代入求解即可，掌握相关知识是解题的关键． 【详解】解：∵ 一次函数 的图象与y轴交点的纵坐标为， ∴ 当时，，即， 又∵ 一次函数的图象与直线没有交点， ∴直线与直线平行， ∴， ∴， 故答案为：． 2．已知一次函数，若的增大而增大，且此函数图像与轴的交点在轴下方，则的取值范围是 ． 【答案】 【分析】根据性质，得，根据函数图像与轴的交点在轴下方，得，解不等式即可． 本题考查了函数的性质，图象与y轴交点的意义，解不等式，熟练掌握性质，交点的意义，是解题的关键． 【详解】解：根据性质，得，解得； 根据函数图像与轴的交点在轴下方，得， 解得， 故m的取值范围为， 故答案为：． 3．已知关于x的方程的解为，则一次函数的图象与x轴交点的坐标为 ． 【答案】 【分析】本题考查了方程解的意义，求一次函数与x轴交点的坐标，熟练掌握方程解的意义及求一次函数与x轴交点的坐标是解题的关键．把代入，求得，则，再令，即可列方程求解． 【详解】解：把代入，得， ， ， 令，则， 解得， 一次函数的图象与x轴交点的坐标为． 故答案为：． 4．(24-25八下·黑龙江哈尔滨呼兰区·期末)一次函数的图象与轴的交点坐标是 ． 【答案】 【分析】本题考查了一次函数的图象． 将代入计算即可． 【详解】解：将代入得， 即， ∴一次函数的图象与轴的交点坐标是， 故答案为：． 5．(24-25八下·四川德阳中江县·月考)直线（为常数，）与轴分别交于点，则的值是 ． 【答案】2 【分析】题目主要考查一次函数与坐标轴的交点及求代数式的值，熟练掌握一次函数的性质是解题关键． 根据一次函数解析式得出，，然后代入化简即可． 【详解】解：， ∴当时，，当时，， ∴，， ∴， 故答案为：2． 6．(25-26八上·陕西西安高新逸翠园初级中学·期中)关于的方程的解是，则函数的图象与轴的交点坐标是 ． 【答案】 【分析】本题主要考查一次函数的图象与性质，熟练掌握一次函数的图象与性质是解题的关键；由题意易得当时，则转化为方程，进而问题可求解． 【详解】解：当时，函数则转化为方程， ∴函数的图象与轴的交点坐标是； 故答案为． 7．若一次函数 的图象与两坐标轴交于A，B两点，则线段的长为 ． 【答案】 【分析】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征以及勾股定理，利用一次函数图象上点的坐标特征，求出一次函数图象与坐标轴的交点坐标是解题的关键．设一次函数图象与y轴交于点A，与x轴交于点B，利用一次函数图象上点的坐标特征可求出点A，B的坐标，进而可得出，的长，再利用勾股定理可求出线段的长． 【详解】解：设一次函数图象与y轴交于点A，与x轴交于点， 当时，， 所以点A的坐标为，， 当时，，解得：， 所以点的坐标为，， , 故答案为：． 题型七：与在坐标轴围成的三角形面积问题 1．(24-25八下·新疆生产建设兵团第二师华山中学·月考)若直线与坐标轴相交于点A，B，则的面积为 ． 【答案】6 【分析】本题考查一次函数图象与坐标轴的交点问题，根据解析式求出点A，B的坐标，进而求出边长，再根据三角形面积公式即可求解． 【详解】解：设直线与x轴交于点A，与y轴交于点B， 当时，， ， 当时，，解得； ， ， 故答案为：6． 2．一次函数的图象与坐标轴围成的三角形面积为1，则的值为 ． 【答案】2或 【分析】本题主要考查一次函数图象上点的坐标特征，用b分别表示出直线与两坐标轴的交点是解题的关键．分别令和可求得直线与坐标轴的交点，再利用三角形的面积可得到b的方程，可求得答案． 【详解】解：设直线与x轴交于点A、与y轴交于点B， 在中，令，可得， 令，可得， ∴， ∴， ∵， ∴，即， 整理可得， ∴或， 故答案为：2或． 3．(24-25八下·甘肃陇南康县·期末)一次函数经过第一象限，和两条坐标轴围成的三角形面积为2，则的值为 ． 【答案】2 【分析】本题主要考查一次函数的图象性质、截距概念及三角形面积公式的应用，同时需要结合象限的符号特征进行取舍．先表示出一次函数与轴、轴交点坐标，再根据图象信息确定取值范围，最后根据“一次函数两条坐标轴围成的三角形面积为2”，确定的值． 【详解】解：当时，， 当时，， 一次函数与轴的交点为，与轴的交点为 一次函数经过第一象限，且 一次函数图象与轴、轴交点均在正半轴，即 一次函数两条坐标轴围成的三角形面积为2 即 或（舍） 故答案为：2． 4．在平面直角坐标系中，直线与轴的交点坐标为 ，与两坐标轴围成的三角形的面积为 ． 【答案】 【分析】本题考查了求一次函数与坐标轴交点问题，掌握坐标轴上点的坐标特征是解题关键． 分别令，求出直线与轴的交点坐标，即可求解面积． 【详解】解：当时，， 解得：， ∴与轴的交点坐标为， 当， ∴与轴的交点坐标为， ∴与两坐标轴围成的三角形的面积为：， 故答案为：，． 5．(24-25八下·吉林长春榆树慧望中学·期中)如图，在平面直角坐标系中，直线与直线与x轴的交点分别为点A、B，这两条直线交于点C，若点C的横坐标为，则的面积为 ． 【答案】 【分析】本题考查了一次函数的交点问题． 先求出，，将代入求出，进而求出，根据三角形面积公式计算即可． 【详解】解：当时，， 即， ∴， 当时，， 即， 将代入得：， 解得， 即， 当时，， 即， ∴， ∴． 故答案为：． 6．(24-25八·北京十一学校·期中)在平面直角坐标系中，直线与轴的交点为，与轴的交点为，且，则的值为 ． 【答案】 【分析】先此题考查一次函数图象与坐标轴的交点，一次函数与几何图形面积，正确理解、的长度是解题的关键．根据解析式确定点、的坐标，再根据三角形的面积公式计算得出答案． 【详解】解：令中得，令得， ∴点，点， ∴， ∵， ∴， 解得， 故答案为：． 题型八：画一次函数图象 1．(25-26八上·辽宁沈阳法库县·期中)学习“一次函数”时，我们从“数”和“形”两方面研究一次函数的性质，并积累了一些经验和方法，小聪同学尝试运用积累的经验和方法对函数的图象与性质进行探究，下面是小聪同学的探究过程，请你补充完整． (1)列表： 0 1 2 3 4 0 0 则_____，_____； (2)描点并画出该函数的图象； (3)①观察函数图象，当_____时，的值随的值的增大而增大； ②观察函数图象，当时，的取值范围是_____； ③观察函数图象，试判断函数是否存在最小值？若存在，直接写出最小值． ④观察函数图象，试判断函数的图象是否是轴对称图形？若是，直接写出对称轴的直线表达式． 【答案】(1)； (2)图见解析 (3)①；②；③存在最小值，最小值是；④是， 【分析】本题主要考查了一次函数的图象和性质，熟练掌握以上知识点并能灵活运用是解决此题的关键． （1）将自变量的值代入函数，进而求出函数值即可； （2）描点，连线，画出函数图象即可； （3）观察图象，从图象中获取信息，进行作答即可． 【详解】（1）解：将代入，得：； 将代入，得：； 故，， 故答案为：，； （2）解：描点，连线，画出函数图象如图： （3）解：①由图象可知：时，的值随的值的增大而增大； ②由图象可知，当时，的取值范围是：； ③由图象可知，函数存在最小值，为； ④由图象可知，函数的图象是轴对称图形，对称轴为直线， 故答案为：①，②． 2．(25-26八上·重庆十一中教育集团·期中)探究与应用 【探究发现】 小文和他的同学们在学习完函数及一次函数后，成立了一个数学研究小组，准备用他们已经掌握的函数的探究路径，即：定义→图象→性质→应用，他们尝试沿着此路径探究下列情景问题：点A是数轴上一点，表示的数是1；点B是数轴上一动点，若它表示的数是x，AB的距离为y，随着x的变化，AB的距离y会如何变化呢？ （1）数学小组通过列表得到以下数据： x 0 1 2 3 4 5 … y 3 2 1 0 1 2 3 m … 其中________． 数学小组发现给定一个x的值，就会有唯一的一个y值与之对应，y是x的函数吗？________（填“是”或“不是”）． （2）请通过描点，连线画出该函数图象，并根据函数图象写出该函数的一条性质：___________________________________________． 【应用拓展】 若点，均在该函数图象上，请直接写出a，b满足的数量关系：_________． 将该函数图象在直线上方的部分保持不变，下方的图象沿直线进行翻折得到新函数图象，若一次函数与该函数图象只有一个交点，则的取值范围为_________．（备注：直线即过点且与轴平行的直线） 【答案】（1）4，是；（2）见解析；（3）；或 【分析】本题主要考查函数的图象和性质，数轴上两点间距离，二元一次方程组，涉及一次函数的图象与性质，利用数形结合思想求解是解答的关键． （1）根据数轴上两点间距离公式求m，根据函数的定义判断是否为函数； （2）根据表格中数据描点连线，再根据所得图象写出一条性质即可； （3），关于直线对称，据此求解；作出翻折后新函数图象，如图，求出一次函数图象与直线重合及平行时的k值，即可得出答案． 【详解】解：（1）点B表示的数是5，的距离为， 给定一个x的值，就会有唯一的一个y值与之对应，因此y是x的函数， 故答案为：4，是； （2）依题意得： 描点、连线，则所画函数图象如图所示： 函数的性质：①该函数图象关于直线对称；②当时，函数有最小值0；③当时，y随x的增大而增大；④当时，y随x的增大而减小；（以上写对一条或言之有理即得分） （3）由（2）中函数图象可得：，关于直线对称， ， ， 翻折后新函数图象如下图所示： 则，，， 对于一次函数，无论k取何值，当时，值一定为3， 因此一次函数图象过定点， 设直线的解析式为， 则，解得， ∴直线的解析式为； 同理，直线的解析式为，则点在直线上， 由图知，若一次函数图象与直线平行，则，此时一次函数与该函数图象只有一个交点， 若一次函数图象与直线重合时，则，此时一次函数与该函数图象有无数个交点， 当或时，一次函数与该函数图象只有一个交点， 故答案为： ；或． 3．(23-24八下·贵州黔东南苗族侗族·期末)已知一次函数的图象经过点和点． (1)求这个函数的解析式； (2)在平面直角坐标系中，画出函数图象； (3)当时，求出y的取值范围． 【答案】(1) (2)见解析 (3) 【分析】本题主要考查一次函数的图象与性质，熟练掌握一次函数的图象与性质是解题的关键； （1）根据待定系数法可进行求解； （2）根据描点、连线可进行作图； （3）根据（2）中函数图象可进行求解． 【详解】（1）解：将点和点分别代入上式，得：， 解之，得：， ∴这个函数解析式为：； （2）解：所作函数图象如下： （3）解：当时，；当时，，结合（2）中函数图象可知： ∴y的取值范围是：． 4．(24-25八上·[名校联盟]江苏金坛茅麓中学·期中)先画图，再回答问题 (1)在同一直角坐标系内作出一次函数，，的图象； (2)点、是否在所画的图象上？在哪一个函数的图象上？ (3)如果在的图象上，求a的值． 【答案】(1)见解析 (2)点在函数图象上，点不在函数图象上，且点在函数的函数图象上 (3) 【分析】本题主要考查了函数的图象以及图象上点的坐标特征，熟练掌握一次函数图象的特征，是解题的关键． （1）分别求出直线与x轴、y轴的交点，用两点法即可作出图象； （2）根据函数图象即可判断； （3）把代入即可求解． 【详解】（1）解：函数与坐标轴的交点坐标为，， 函数经过点，， 函数与坐标轴的交点坐标为，， 在平面直角坐标系中描点、连线，如图所示： （2）解：根据图象可知，点在所画的函数的图象上，点不在所画的三个函数的图象上； （3）解：将点代入，得， 解得：． 5．在学习函数的过程中，我们经历了通过列表，描点，连线来画函数图象，观察分析图象特征，从而概括出函数性质的过程．下面是探究函数的图象与性质的部分过程．列表如下： … -3 -2 -1 0 1 2 3 … … 0 -2 -1 0 2 … (1)直接写出表格中___________，___________； (2)在平面直角坐标系中画出函数的图象，并结合所画图象写出该函数的一条性质：___________； (3)已知一次函数的图象如图所示，请直接写出方程的近似解___________（精确到0.1） 【答案】(1)，1; (2)图见解析；图象是关于所在直线为对称轴的轴对称图形； (3)或 【分析】本题主要考查一次函数图象的性质和新函数的图象，会用描点法画出新函数图象是解题的关键； （1）分别把的代入解析式，即可得到答案； （2）利用描点作图法作出图象，并写出一条性质即可； （3）根据图象的交点求出即可； 【详解】（1）解：当时，， 当时，， 故答案为：，； （2）解：画出函数图形如图： 有图象可知：此函数图象是关于对称的轴对称图形； （3）解：由图象可知：的近似解为或 6．(24-25八下·广西南宁第八中学·期中)在如图所示的正方形网格中，每个小正方形的边长都是1． (1)先列表，再用“两点法”画出一次函数在平面直角坐标系中的图象； (2)若点A、B的坐标分别为、，请你利用尺规作图在直线上确定一点P，使得； (3)连接、，并求出的面积． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3) 【分析】本题考查了一次函数图像的绘制、线段垂直平分线的性质与三角形面积计算，解题的关键是熟练运用相关知识进行操作与计算． （1）当、时，求出y值，在平面直角坐标系中，描出点和，然后用直线连接这两个点，就得到一次函数图像． （2）作线段的垂直平分线，与直线的交点即为点． （3）先求出的长度，再确定中边上的高（即点的纵坐标），最后根据三角形面积公式计算面积． 【详解】（1）解：列表如下图： x 0 y 1 0 一次函数的图像如右图所示 （2）作线段的垂直平分线，与直线的交点即为点． 因为，， 所以线段中点坐标为，在轴上， 所以的垂直平分线是直线． 将代入，得， 所以． 点P如图所示 （3）解：因为，， 所以． 点的纵坐标为， 所以中边上的高就是点的纵坐标的绝对值，即． 所以． 7．(24-25八下·河北衡水故城县·月考)在平面直角坐标系中，一次函数的图象与x轴，y轴分别交于点A， (1)在如图所示的平面直角坐标系中画出该一次函数的图象，并标出点A，B； (2)①若点，在该一次函数的图象上，且，则______（用“>”或“<”填空）； ②当时，y的取值范围是______ (3)将一次函数的图象沿y轴向上平移个单位长度，所得直线与x轴交于点E，若，求m的值． 【答案】(1)见解答图 (2)①>；② (3)m的值为 【分析】本题考查了一次函数图象与几何变换，一次函数的图象与性质，数形结合是解题的关键． （1）根据直线与坐标轴的交点即可求得A、B的坐标，根据两点确定一条直线，作出一次函数的图象即可； （2）①根据图象即可判断；②根据图象即可求得； （3）求得平移后的函数解析式，进一步求得E点的坐标，利用即可求得m的值． 【详解】（1）解：已知一次函数的图象与x轴，y轴分别交于点A，B， 当时，， ， 当时，解得， ， 函数图象如图． （2）解：①由图象可知，一次函数随x的增大而减小， 点，在该一次函数的图象上，且， ， 故答案为：>； ②由图象可知，当时，y的取值范围是， 故答案为：； （3）解：将一次函数的图象沿y轴向上平移个单位长度，得到， 令，则求得， ， ， ， ， 的值为 题型九：一次函数图象的平移 1．(25-26九上·浙江杭州外国语学校·月考)将直线向上平移3个单位，再向右平移2个单位，则所得直线的解析式是（    ） A．； B．； C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查图象的平移规律，属于基础题型，熟练掌握和运用平移规律是做题的关键．根据平移规律“左加右减，上加下减”，即可求出平移后的函数解析式． 【详解】解：由平移得直线的解析式为， ． 故选：C． 2．(25-26八上·江苏盐城鹿鸣路中学·月考)要从直线得到直线，就要把直线（   ） A．向上平移个单位 B．向下平移个单位 C．向左平移个单位 D．向右平移个单位 【答案】D 【分析】本题考查的是一次函数图象的平移，掌握一次函数图象的平移规律是解题的关键．先将一次函数的解析式整理为，再根据平移的规律“上加下减，左加右减”，即可求解． 【详解】解：∵将一次函数的解析式整理，得， 将一次函数向下平移个单位，平移后的一次函数的解析式为； 将一次函数向右平移个单位，平移后的一次函数的解析式为， 故一次函数向下平移个单位或向右平移个单位，平移后的一次函数的解析式均为． 故选：D． 3．(25-26八上·浙江金华兰溪聚仁中学·月考)将向右平移2个单位长度，再向上平移2个单位，所得的直线的解析式是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了一次函数图象的平移问题，根据“上加下减，左加右减”的平移规律求解即可． 【详解】解：将向右平移2个单位长度，再向上平移2个单位，所得的直线的解析式是， 故选：A． 4．(24-25八下·四川德阳·期末)将函数的图象向上平移3个单位长度得到函数的图象，那么的图象也可以看成是由的图象（    ） A．向左平移个单位长度得到 B．向右平移个单位长度得到 C．向左平移3个单位长度得到 D．向右平移3个单位长度得到 【答案】A 【分析】本题考查了一次函数图象的平移：上加下减，左加右减，掌握此平移特征是关键；根据平移特征即可求解． 【详解】解：将函数的图象向上平移3个单位长度得到函数的图象，则， ∵， ∴的图象也可以看成是由的图象向左平移个单位长度得到函数的图象． 故选：A． 5．(25-26八上·吉林第二实验学校教育集团·期中)将函数向上平移5个单位长度，则平移后得到的一次函数表达式为 ． 【答案】 【分析】本题考查的是一次函数图象的平移，根据一次函数图象平移的规律求解，向上平移是“上加”． 【详解】解：将函数 向上平移5个单位长度， 根据“上加下减”的法则，在函数值上加5， 得到新函数表达式为 ，即 ． 故答案为 ． 题型十：已知一次函数的平移求参数的范围 1．(25-26八上·安徽蚌埠G5联考·月考)将直线向上平移个单位长度，若平移后的直线经过第一、二、三象限，则的值可以是 （    ） A． B．0 C．1 D．2 【答案】D 【分析】本题考查一次函数图象的平移，根据直线经过的象限，求参数的范围，根据平移规则求出新的解析式，根据图象经过第一、二、三象限，得到，进行求解即可． 【详解】解：由题意，平移后的解析式为：， ∵平移后的直线经过第一、二、三象限， ∴， ∴； ∴的值可以是2． 故选：D． 2．(25-26八上·安徽合肥第四十五中学·月考)在平面直角坐标系中，将函数的图象向下平移个单位，使其与函数的交点位于第四象限，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了一次函数图象与几何变换、两直线的交点坐标，将直线的图象向下平移m个单位可得，求出直线与直线的交点，再由此点在第四象限可得出m的取值范围． 【详解】解：将直线的图象向下平移m个单位可得， 联立两直线解析式得：， 解得：， 即交点坐标为， ∵交点在第四象限， ∴， 解得：． 故选：A． 3．在平面直角坐标系中，若将一次函数的图像向左平移个单位长度后，得到一个正比例函数的图像，则的值为（   ） A． B． C．2 D．4 【答案】C 【分析】本题考查的是一次函数图像的平移，根据平移的性质可得平移后的解析式为，再结合正比例函数图像过原点可得答案． 【详解】解：将一次函数的图像向左平移个单位长度后， 得到， 把代入， 得， 解得， 故选C 4．(25-26八上·陕西西安碑林区西安交通大学附属中学·月考)在平面直角坐标系中，若将一次函数的图象向上平移2个单位长度后，得到一个正比例函数的图象，则的值为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查的是一次函数图象与几何变换，用平移规律“左加右减，上加下减”直接代入函数解析式求得平移后的函数解析式是解题的关键．根据平移的规律得到平移后直线的解析式为，然后把原点的坐标代入求值即可． 【详解】解：将一次函数的图象向上平移2个单位后，得到， 把代入，得到：， 解得． 故答案为：． 5．一次函数的图像过点，将函数的图像向上平移3个单位长度，所得函数的表达式为 ． 【答案】/ 【分析】本题主要考查了求一次函数关系式，一次函数图像的平移， 先将点代入一次函数求出关系式，再根据平移法则“左加右减，上加下减”，可得答案. 【详解】解：将点代入一次函数， 得， ∴一次函数的表达式为． 将函数的图像向上平移3个单位长度， ∴所得函数的表达式为. 故答案为：. 6．(25-26八上·安徽淮北·月考)已知直线向上平移个单位长度后经过点，则m的值为 ． 【答案】14 【分析】本题考查的是一次函数的图象与几何变换，熟知“上加下减”的法则是解题的关键． 先求出函数平移后的解析式，再把点代入求出m的值即可． 【详解】解：直线向上平移个单位长度后得到函数的解析式为， 平移后经过点， ， 解得， 故答案为：． 7．(24-25八下·广东广州越秀区·期末)将直线沿轴向下平移6个单位后得到直线，则直线与轴的交点坐标是 【答案】 【分析】本题考查的是一次函数的图象的平移，一次函数与坐标轴的交点，熟知函数图象平移的法则是解答此题的关键． 根据“上加下减”的原则求出平移后新直线的解析式，再把代入所得的解析式解答即可． 【详解】解：将直线沿y轴向下平移6个单位后，得到， 把代入得，， 所以该直线与y轴的交点坐标是． 故答案为：． 题型十一：根据两直线的位置关系求解 1．(23-24八上·甘肃张掖临泽县第二中学·月考)直线与直线的位置关系是（      ） A．相交 B．垂直 C．平行 D．重合 【答案】C 【分析】此题考查了一次函数平移中两直线的位置关系，根据，，， 即可判定位置关系，解题的关键是正确理解直线平行时的值相等． 【详解】∵，， ∴直线与直线两直线平行， 故选：． 2．将直线平移，使平移后的直线经过点，所得直线的表达式是 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了一次函数的平移，待定系数法求一次函数解析式，根据平移的性质设平移后的直线解析式为，再利用待定系数法求解即可． 【详解】解：设平移后的直线解析式为：， 把代入， 得：， 解得， 则平移后的直线解析式为， 故答案为：． 3．(24-25八下·吉林白山长白朝鲜族自治县·期末)已知直线是由直线平移得到的，则直线与轴的交点坐标是 ． 【答案】 【分析】本题考查了一次函数的平移，明确平行直线的解析式的k值相等是解题的关键．先结合直线是由直线平移得到的，则，故，再令，求出对应的的值，即可作答． 【详解】解：∵直线是由直线平移得到的， ∴， 故， 令，所以， 解得， 即直线与轴的交点坐标是， 故答案为： 4．(24-25八下·河南洛阳新安县·期末)一次函数的图象与正比例函数的图象平行，且将一次函数的图象向下平移3个单位后经过点，则 ． 【答案】 【分析】根据图象平行，得，于是向下平移3个单位后为，把代入解析式解答即可． 本题考查了一次函数图象平行的条件，平移，图象过点，熟练掌握图象平行的条件和平移是解题的关键． 【详解】解：∵一次函数的图象与正比例函数的图象平行， ∴， ∴一次函数解析式为， ∵一次函数的图象向下平移3个单位， ∴平移后的解析式为， ∵新解析式经过点， ∴ 解得， 故答案为：． 5．(24-25八下·山东滨州惠民县·期末)已知直线的解析式为，若直线与直线平行，且过点，则直线的解析式为 ． 【答案】 【分析】本题考查了两直线平行的问题，设出直线的解析式，代入点，求出直线的解析式即可． 【详解】解：设直线的解析式为， ∵直线与直线平行， ∴， 把代入得， 解得， ∴线的解析式为． 故答案为：． 6．(24-25八上·江苏无锡江阴青阳初级中学·)已知直线l与直线平行，且经过点，直线l的函数表达式为 ． 【答案】 【分析】本题考查了两直线平行的问题，熟记两平行直线的解析式的k值相等是解题的关键． 根据两平行直线的解析式的k值相等可设直线的函数表达式为，再把经过的点的坐标代入函数解析式计算求出b，从而得解． 【详解】解：∵直线与直线平行， ∴设直线的函数表达式为， ∵直线经过点， ∴， 解得：， ∴直线的函数表达式为． 故答案为：． 7．(23-24八上·安徽宣城第六中学·期中)与直线垂直且过点的直线解析式是 ． 【答案】 【分析】根据互相垂直的两条直线的值的乘积为，设直线的解析式为：，再将点，代入求解即可． 【详解】解：由题意，设直线的解析式为，将点代入，得：， ∴； 故答案为：． 8．(24-25八上·辽宁沈阳新民·期中)如图，一次函数的图象分别与x轴，y轴交于A，B两点，点C在第一象限，与垂直，且，则点C的坐标为 ．    【答案】 【分析】先求出，得到，如图所示，过点C作轴于D，通过证明得到，进而得到，则． 【详解】解：在中，当时，，当时，， ∴， ∴， 如图所示，过点C作轴于D， ∴， ∵，即， ∴， 又∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 故答案为：．    【点睛】本题主要考查了求一次函数与坐标轴的交点坐标，全等三角形的性质与判定，正确作出辅助线构造全等三角形是解题的关键． 题型一：根据平移求取值范围 1．(24-25八下·浙江台州三门县·期末)如图，，将直线以每秒2个单位长度向右平移秒，当直线与四边形有公共点时，的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了一次函数图象与几何变换及一次函数的性质，根据题意，分别求出平移后的直线经过点B和点D时的函数解析式，进而可得出平移的距离，据此可解决问题． 【详解】解：将代入得， 解得， 所以直线l与x轴的交点坐标为． 令平移后的直线函数解析式为， 当平移后的直线经过点B时，， 解得， 所以此时直线的函数解析式为， 则． 当平移后的直线经过点D时， ， 解得， 所以此时直线的函数解析式为， 令得，， 解得， 所以， 所以当直线l与四边形有公共点时，t的取值范围是：． 故选：A． 2．(2025·广东省广州市·模拟)如图，在平面直角坐标系中，点，点，若将直线向上平移d个单位长度后与线段有交点，则d的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查一次函数图象的平移以及一次函数与线段的交点问题，正确掌握相关性质内容是解题的关键． 先求出直线平移后的解析式，再根据直线与线段有交点，分别求出直线经过点A和点B时d的值，进而确定d的取值范围，据此进行分析，即可作答． 【详解】解：依题意，将直线向上平移d个单位长度后得 ∵点，点，且直线向上平移d个单位长度后与线段有交点， ∴把代入得，解得； 把代入得，解得； 则， 故选：D． 3．(24-25八下·河北石家庄栾城区·期末)如图，在平面直角坐标系中，边长为3的正方形在第一象限内，轴，点的坐标为，直线的表达式为：．将直线沿轴向下平移个单位，使平移后的直线与正方形有交点，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了一次函数图象的平移． 根据题意求得正方形各顶点的坐标，根据一次函数图象的平移规律可知平移后的直线方程为；把点B和D的坐标代入进行解答即可． 【详解】解：∵点的坐标为，正方形边长为3， ∴，，， 将直线沿轴向下平移个单位， 则平移后解析式为， 当过时，，解得； 当过时，，解得； ∴平移后的直线与正方形有交点，的取值范围是， 故选：D． 4．(24-25八上·浙江嘉兴一中实验学校·月考)如图，是由直线围成的封闭图形，若直线与没有交点，则k的取值范围是 ． 【答案】/ 【分析】本题考查了一次函数的图象与系数的关系，直线相交或平行问题，熟练掌握直线相交或平行问题的特点是解题的关键．分别利用当直线过点C时及当直线过点A时的值，据此即可求解． 【详解】解：一次函数中，令，得， ， 将联立方程组得： ，解得：， ， 一次函数中，令，则， 故， 直线过定点，如图， 当直线过点C时，将代入得： ，解得：， 当直线过点A时，则直线与轴平行， 所以将直线绕点D从直线位置逆时针旋转到直线位置时，与没有交点， 故直线与没有交点，则k的取值范围是， 故答案为：． 题型二：一次函数的图形综合解答题 1．(24-25八下·河北保定易县·期末)如图，线段两个端点的坐标分别为，一次函数的图象与x轴交于点，与y轴交于点． (1)求一次函数的解析式． (2)将直线向上平移a个单位长度，使平移后的直线与线段有交点，求a的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了一次函数的图象与几何变换，一次函数的性质，灵活运用所学知识解决问题并认真计算是解题的关键． （1）把和代入可求得解析式； （2）设平移后的直线的解析式为ya，把分别代入，求出a的值，进一步即可求得a的取值范围． 【详解】（1）解：∵一次函数的图象与x轴交于点，与y轴交于点． ∴把和代入可得， ， 解得， ∴这个一次函数的解析式为：； （2）解：将直线向上平移a个单位长度，得直线的解析式为：， 把分别代入， 得，解得， 得，解得， ∴a的取值范围是． 2．在平面直角坐标系中，将函数向上平移2个单位，与的图象交于点． (1)求的值； (2)当时，对于的每一个值，函数的值大于函数的值，且小于函数的值，直接写出的取值范围． 【答案】(1)，； (2)且． 【分析】本题考查了一次函数的应用，一次函数的平移，两直线的交点问题，确定不等式的取值范围，掌握一次函数的图象和性质是解题关键． （1）根据一次函数的平移得到新函数，再求出两直线的交点坐标，得到的值，再代入函数解析数求出的值即可； （2）根据题意得：当时，且，然后对每个不等式分两种情况分析求解，最后确定取值范围即可． 【详解】（1）解：将函数向上平移2个单位，得到新函数， 当时，， 即函数与函数的图象交于点， 将点代入函数， 则， 解得：； （2）解：由（1）得：， 根据题意得：当时，且， ， 当时，，最大值在时，得， 当时，，恒成立，得， 综合得：； ， 当时，，最小值在时，得， 当时，，恒成立，得， 综合得：； 综上可得：且． 3．把函数的图象分别沿轴向上或向下平移3个单位长度，就得到函数或的图象． 【阅读理解】 小尧阅读这段文字后有个疑问：把函数的图象沿轴向右平移3个单位长度，如何求平移后的函数表达式？ 老师给了以下提示：如图1，在函数的图象上任意取两个点，分别向右平移3个单位长度，得到，直线就是函数的图象沿轴向右平移3个单位长度后得到的图象． 请你帮助小尧解决他的困难． （1）将函数的图象沿轴向右平移3个单位长度，平移后的函数表达式为___________． 【解决问题】 （2）已知某一次函数的图象与直线关于轴对称，求此一次函数的表达式． 【拓展探究】 （3）一次函数的图象绕点逆时针方向旋转后得到的图象对应的函数表达式为___________．（直接写结果） 【答案】（1）；（2）；（3） 【分析】（1）平移时k的值不变，只有b发生变化．可以先确定平移后与x轴的交点坐标，然后利用待定系数法即可求得； （2）直接根据平面直角坐标系中，点关于x轴对称的特点得出答案； （3）在直线取两点，，根据旋转性质求得旋转后对应点，，然后利用待定系数法求出直线的解析式即可． 【详解】解：（1）将函数的图象沿x轴向右平移3个单位长度， 平移后与x轴的交点为，将代入中，得 ， 解得， 所以平移后的函数表达式为， 故答案为：； （2）解：在函数的图象上取两个点、， 关于x轴对称的点的坐标、， 设直线的解析式为， 把代入，得 ， ∴一次函数的表达式为； （3）解：如图，在直线上取两点，， 一次函数的图象绕点逆时针方向旋转， 点、绕点逆时针方向旋转后对应点为点、， 过点作轴于，过点作轴于，过点作于， ， ，， 由旋转可得，， ， ，， ， ， ， ， ，， 轴， 四边形是矩形， ，， ， ， 同理可求得点， 设直线解析式为， 把、代入，得 ， 解得：， ∴旋转后得到函数解析式为：． 故答案为：． 4．(24-25八上·河南郑州郑州经济技术开发区外国语学校·月考)探究与应用 【探究发现】 晓豫和他的同学们在学习完函数及一次函数后，成立了一个数学研究小组，准备用他们已经掌握的函数的探究路径，即：定义图象性质应用，他们尝试沿着此路径探究下列情景问题：点是数轴上一点，表示的数是1；点是数轴上一动点，若它表示的数是，的距离为，随着的变化，的距离会如何变化呢？ （1）数学小组通过列表得到以下数据： … 0 1 2 3 4 5 … … 3 1 0 1 2 3 4 … 其中 ． 数学小组发现给定一个的值，就会有唯一的一个值与之对应，是的函数吗？ （填“是”或“不是”） （2）请通过描点，连线画出该函数图象，并根据函数图象写出该函数的一条性质： ； 【应用拓展】 （3）若点，均在该函数图象上，请直接写出，满足的数量关系： ； （4）将该函数图象在直线上方的部分保持不变，下方的图象沿直线进行翻折，得到新函数图象，若一次函数与该函数图象只有一个交点，则的取值范围为 ．（备注：直线即过点且与轴平行的直线） 【答案】（1）2，是；（2）见解析；（3）；（4）或 【分析】本题主要考查函数的图象和性质，涉及一次函数的图象与性质，利用数形结合思想求解是解答的关键． （1）根据数轴上两点间距离公式求m，根据函数的定义判断是否为函数； （2）根据表格中数据描点连线，再根据所得图象写出一条性质即可； （3），关于直线对称，据此求解； （4）作出翻折后新函数图象，如图，求出一次函数图象与直线重合及平行时的k值，即可得出答案． 【详解】解：（1）点B表示的数是，的距离为， 给定一个x的值，就会有唯一的一个y值与之对应，因此y是x的函数， 故答案为：2，是； （2）依题意得： 描点、连线，则所画函数图象如图所示： 函数的性质：①该函数图象关于直线对称；②当时，函数有最小值0；③当时，y随x的增大而增大；④当时，y随x的增大而减小；（以上写对一条或言之有理即得分） （3）由（2）中函数图象可得：，关于直线对称， ， ， 故答案为：； （4）翻折后新函数图象如下图所示： 则，，， 对于一次函数，无论k取何值，当时，值一定为3， 因此一次函数图象过定点， 设直线的解析式为， 则，解得， ∴直线的解析式为； 同理，直线的解析式为，则点在直线上， 由图知，若一次函数图象与直线平行，则，此时一次函数与该函数图象只有一个交点， 若一次函数图象与直线重合时，则，此时一次函数与该函数图象有无数个交点， 当或时，一次函数与该函数图象只有一个交点， 故答案为：或． 5．(24-25八下·河北邢台襄都区·期末)如图是个台阶的示意图（各拐角均为，每个台阶宽、高分别为和，为第一个台阶面，为第二个台阶面，以此类推，为第八个台阶面，建立如图所示的平面直角坐标系． (1)求直线的解析式，并判断点是否在直线上； (2)点在直线 上（填直线的解析式）； (3)嘉琪同学拿着激光笔照射台阶，射出的光线都可以用直线表示，若使光线刚好照到所有台阶（包含点），求的取值范围． 【答案】(1)，在直线上； (2)； (3)． 【分析】本题考查了一元一次函数的实际应用，用待定系数法求函数解析式，规律探索，解题关键是关键题意得出点的坐标． （）设直线的解析式为，将，代入解析式即可求解，再将代入判断； （）由每个台阶宽、高分别为和得，，将直线直线向上平移即可求解； （）将和代入即可求解． 【详解】（1）解：设直线的解析式为， ∵每个台阶宽、高分别为和， ∴，， 将和代入解析式得， 解得， ∴直线的解析式为， 当时，， ∴在直线上； （2）解：由每个台阶宽、高分别为和得，， 根据图象可知， 将直线向上平移个单位，得到， 同理：在直线上， 故答案为：； （3）解：由题意可得，得， 把代入可得， 解得， ∴． 6．(24-25八下·湖北咸宁通城县·期末)如图，在平面直角坐标系中，正比例函数的图象与一次函数的图象的交点为． (1)求和的值； (2)不等式的解集为________； (3)设一次函数的图象与轴交于点，将一次函数的图象向右平移个单位长度，交的图象于点，交轴于点，四边形的面积为________． 【答案】(1)，； (2)； (3)． 【分析】本题主要考查了一次函数的图象与性质、解一元一次不等式、一次函数图象的平移． （1）因为正比例函数的图象与一次函数的图象的交点为，把点的坐标代入正比例函数，可以求出，从而可得点的坐标是，把点的坐标代入，即可求出的值； （2）由（1）可知，从而可得不等式，解不等式即可求出的取值范围； （3）首先求出直线与轴的交点的坐标为，根据平移的方向和距离可知点的坐标为，从而求出直线的解析式，解方程组求出点的坐标，再根据即可求出结果． 【详解】（1）解：把点代入， 可得：， 点的坐标为， 把点的坐标为的坐标代入， 可得：， 解得：； （2）解：由（1）可知， ， ， ， 解得：； （3）解：由（1）可知一次函数的解析式为， 当时，可得：， 解得：， 点的坐标是， ， 把一次函数向右平移了个单位长度， 平移后的函数解析式经过点， ， 设平移后的函数解析式是， 可得：， 解得：， 平移后的函数解析式是， 解方程组， 解得：， 点的坐标是， ，， ， 故答案为：. 7．(2025·四川省德阳市·模拟)如图，已知，，将线段平移到第一象限得线段，点的横坐标为，若作直线交轴于点． (1)求线段所在直线的解析式； (2)直线上一点，求出、之间的数量关系； (3)若点在轴上，求的取值范围． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查待定系数法，函数图象与点的平移，轴对称的性质，综合运用相关知识是解题的关键． （1）运用待定系数法求解即可； （2）将点P的坐标代入直线的解析式即可解答； （3）求出直线后的直线的解析式为，进而求出，根据点A与点的坐标变化得到平移方式，从而得到点．作点关于轴的对称点，连接，交轴于，此时，最小为的长，根据两点间距离公式求出，即可解答． 【详解】（1）解：设线段所在直线的解析式为， 将，代入中，， ， 线段所在直线的解析式为； （2）解：点在直线上， ； （3）解：设直线平移后的直线的解析式为， 点在直线上， ， ， 直线的解析式为， 点的横坐标为， ∴把代入函数，得 ∴， ， 点是点向右移动个单位，再向上平移个单位所得， 点也是由点B向右移动7个单位，再向上平移个单位所得， ， ， 作点关于轴的对称点， 连接，交轴于，此时，最小，为， ． 8．(24-25八下·湖北武汉东湖高新区·期末)平面直角坐标系中，直线的解析式为：过定点，分别交轴、轴于点、． (1)直接写出定点的坐标________； (2)如图（1），当时，点在线段上，点在轴上，满足且，求点的坐标； (3)如图（2），平移直线交轴负半轴于点，交轴负半轴于点，使得，连接交于点，过点作于点，求的值． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）根据解析式过定点，即可求解； （2）证明得出，进而设，根据勾股定理建立方程，解方程，即可求解； （3）过作于点，先证，得到，可得解析，求出点坐标，进而求出解析式，、，再代入求证即可． 【详解】（1）解：∵过定点， ∴ （2）当时，， 当时，，当时，， ∴，， ∴ ∴是等腰直角三角形， ∴， ∵， ∴， 又∵， ∴， 又∵， ∴， ∴， 设， ∴， 解得：， ∴； （3）过作于点，则， ∵平移直线交轴负半轴于点，交轴负半轴于点， ∴， ∴， 又∵ ∴ ， ∴， ∴， ∵直线的解析式为：， ∴直线的解析式为， 当时，，则， 当时，，则， 设的解析式为，代入和得： 解得： ∴的解析式． 当时，，则， ∵，． ∴， ∴，． ∴ ． 【点睛】点睛片段本题考查了一次函数与几何综合，全等三角形的性质与判定，勾股定理，平移的性质，熟练掌握待定系数法求一次函数解析式是解题的关键． 1．(24-25八下·黑龙江绥化望奎县·期末)已知一次函数的图象经过一、二、四象限，则直线的图象可能是（　　） A．B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查一次函数的图象与性质，熟练掌握一次函数的性质是解题的关键，根据函数的图象经过第一、二、四象限，得到，从而得到，再根据一次函数的性质判断的图象． 【详解】解：∵函数的图象经过第一、二、四象限， ∴， ∴， ∴的图象过第一、二、三象限， 故选：B． 2．(25-26八上·安徽合肥第四十二中学·期中)已知过点的直线不经过第四象限．设，则（   ） A．有最大值，最大值为6 B．有最小值，最小值为6 C．有最大值，最大值为 D．有最小值，最小值为 【答案】D 【分析】本题主要考查了一次函数图象上点的坐标特征，直线过点且不经过第四象限，可得，且．将用m表示，根据m的取值范围确定S的最值． 【详解】∵ 直线过点， ∴，即． ∵ 直线不经过第四象限， ∴， ∴，解得， ∴． ． ∵， ∴ S随m增大而减小． ∴ 当时，S取最小值，； 当时，，但无法取到6，故S无最大值． ∴ S有最小值，最小值为． 故选：D． 3．(2025·陕西省咸阳市·二模)已知一次函数（k、b为常数，且）的图象不经过第一象限，则k、b的值可能是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查的是一次函数的性质，能根据题意判断出k，b的符号是解答此题的关键． 先根据一次函数的图象经过一、二、四象限判断出函数k及b的符号，再写出符合条件的一次函数解析式即可． 【详解】解：∵一次函数（k、b为常数，且）的图象不经过第一象限， ∴， ∴， ∴k、b的值可能是． 故选：D 4．(24-25八下·福建泉州晋江·期中)若直线经过点和，且，则的值可以是(　 ) A．4 B．5 C．6 D．7 【答案】D 【分析】本题考查了一次函数的图象上点的坐标特征，根据坐标特征列出方程组是解题的关键．根据题意列方程组得到，由于，于是得到，即可得到结论． 【详解】解：依题意得：， ∴， ∵， ∴， ∴， 故选：D． 5．(2025·安徽省合肥市·三模)如图，小云同学在“探索一次函数中与图象的关系”活动中，已知点，点在第一象限内，若一次函数图象经过，则下列判断不正确的是（　　） A．当时， B．当时， C．当时， D．当时， 【答案】D 【分析】本题考查了一次函数上点的特征，平面直角坐标系及不等式的性质，根据题意可得，且，再根据各选项条件利用不等式的性质逐一判断即可 ． 【详解】解：根据题意得，且， 解得：， A、当时，，故A正确，不符合题意； B、当时，则，则，故B正确，不符合题意； C、当时，则，且， ∴，故C正确，不符合题意； D、当时，则， 当时，则，当时，则，故D错误，符合题意， 故选：D． 6．(24-25八下·四川南充南部县第二中学·期末)如图，直线与x轴和y轴分别交于A，B两点，E、F分别是的中点，P是x轴上的一个动点，则的最小值是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查一次函数图象与性质，中点坐标公式，两点间距离公式，先求出A，B两点坐标，得中点F的坐标，求得点E关于x轴的对称点，求出直线的解析式，交x轴于点P，则，当三点在同一条直线上时最小，最小值为，由两点间距离公式求出即可． 【详解】解：对于直线 ， 当时，；当时，， ∴，， 由中点坐标公式得，， 则点Ｅ关于ｘ轴对称的点的坐标为， 连接交ｘ轴于点Ｐ，则， 当三点在同一条直线上时最小，最小值为， ∵ 故选：A． 7．(23-24八上·安徽合肥第三十中学·)一次函数 无论k取任何非0值，它的图像总是过一个定点，此点坐标为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了一次函数图像与系数的关系及一次函数图像上点的坐标特征，熟知一次函数图像与性质是解题的关键． 根据题意，将一次函数改写为关于k的关系式，再令k的系数为零即可解决问题． 【详解】解：由 则： 当，解得： ∴此点坐标为 故答案为：． 8．(23-24九上·湖南怀化洪江实验中学·期末)已知且，那么直线必经过第 象限． 【答案】二、三 【分析】本题考查了一次函数的性质，根据，列出方程，然后根据一次函数的性质即可得出答案，解题的关键是根据列出方程，然后讨论求解． 【详解】解：由题意可得：，，， 三式相加得：， ∴或， 当时，，直线通过第一、二、三象限， 当时，则， ∴， ，则直线通过第二、三、四象限， 综合上述两种情况，直线一定通过第二、三象限， 故答案为：二、三． 9．(24-25八下·重庆南川区三校联盟·期中)已知整数a使得不等式组的解集为，且使得一次函数的图象不经过第四象限，则满足条件的整数a的和为 ． 【答案】 【分析】本题考查了一次函数与一元一次不等式，一元一次不等式组，利用一次函数的性质确定的取值范围是解决问题的关键． 先利用不等式组的解集的确定方法得到，再根据一次函数的性质得到，从而得到的取值范围，然后确定整数的值，从而计算满足条件的整数的和． 【详解】解：解不等式，得， ∵不等式组的解集为， ∴， ∵一次函数的图象不经过第四象限， ∴， 解得， ∴的范围为， ∵为整数， ∴为、、， ∴满足条件的整数的和为． 故答案为：． 10．(24-25七上·山东东营利津县（五四制）·期末)已知一次函数的图象经过点，且与直线平行，求此一次函数的图象与y轴的交点坐标为 ． 【答案】 【分析】本题考查求一次函数的解析式，一次函数与坐标轴的交点问题，根据两直线平行，得到，待定系数法求出函数解析式，进而求出时的函数值，即可得出结果． 【详解】解：∵一次函数的图象经过点，且与直线平行， ∴， 把代入，得：，解得：， ∴， ∴当时，， ∴此一次函数的图象与y轴的交点坐标为； 故答案为：． 11．(24-25八下·福建厦门第一中学·期末)关于函数，有下列结论：①函数过定点；②函数的对称轴在轴左侧；③若，则；④若，则，其中正确结论的序号为 ． 【答案】① 【分析】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征，熟练掌握该知识点是关键． 画出函数大致图象，根据图象上点的坐标特征逐项分析判断即可． 【详解】解：画出函数大致图象： 由图象可得函数过定点，故①正确，符合题意 由图象可得函数的对称轴在轴右侧，故②错误，不符合题意； 当，，如图： ∴由图象可得，则，故③错误，不符合题意； 当，与大小无法比较，故④错误，不符合题意； 正确的说法是． 故答案为：①． 12．(25-26八上·江苏盐城鹿鸣路中学·月考)对于函数，在如图所示的平面直角坐标系中． (1)画出函数的图象； (2)填空：写出图象与x轴的交点A的坐标（____，____），与y轴交点B的坐标（____）； (3)在（2）的条件下，求出的面积． (4)直接写出该函数图象绕原点旋转后图象的函数表达式． 【答案】(1)见解析 (2)1，0； (3) (4) 【分析】本题考查了怎样在坐标轴上画函数，函数与坐标轴相交点的坐标，三角形面积的计算． （1）分别令，，可求出与x轴、y轴的交点坐标，过两交点作直线即可． （2）直接由（1）即可求解； （3）根据三角形的面积公式解答即可； （4）根据旋转的性质可得旋转后点A的对应点的坐标为，点B的对应点的坐标为，再利用待定系数法解答，即可求解． 【详解】（1）解：（1）当时，；当时，，画出图形如下： （2）解：由（1）得：图象与x轴的交点A的坐标为，与y轴交点B的坐标为； 故答案为：1，0； （3）解： （4）解：∵该函数图象绕原点旋转， ∴旋转后点A的对应点的坐标为，点B的对应点的坐标为， 设旋转后的图象的解析式为， ∴，解得：， ∴该函数图象绕原点旋转后图象的函数表达式为． 13．(24-25八下·湖南长沙长沙县城区联考·期中)一次函数 (1)若函数图象经过原点，求m的值； (2)若函数图象平行于直线，求该函数解析式，并在所给的平面直角坐标系中画出函数的图象； (3)在（1）的条件下，将正比例函数的图象向下平移4个单位，求出平移后的直线解析式． 【答案】(1)3 (2)，见解析 (3) 【分析】本题考查一次函数图象的平移，画一次函数图象，熟练掌握平移规则，是解题的关键： （1）根据图象过原点，得到，进行求解即可； （2）根据两直线平行，值相等，得到，进行求解，描点，连线画出函数图象即可； （3）根据平移规则，上加下减，进行求解即可． 【详解】（1）解：因为函数图象经过原点， 所以， 解得， 故m的值为3． （2）因为函数图象平行于直线， 所以， 解得， 所以一次函数解析式为． 当时，；当时，， 画出函数图象如图所示， （3）由（1）知，正比例函数的解析式为， 所以此函数图象向下平移4个单位所得函数图象的解析式为． 14．如图，在平面直角坐标系中，直线与轴、轴分别交于，两点，以线段为一直角边向直线左侧作等腰直角． (1)求直线的函数表达式； (2)将直线向上平移个单位长度，当直线与线段有交点时，求的取值范围； (3)已知点与点关于对称，若直线上存在一点，使得是以为腰的等腰三角形，请求出点的坐标． 【答案】(1) (2) (3)或或 【分析】（1）利用待定系数法求解即可； （2）先求得点的坐标，再求得平移后直线的解析式为，根据题意，结合图形即可求解； （3）根据轴对称的特点求得点，分三种情况讨论，利用等腰三角形的性质结合图形求解即可． 【详解】（1）解：∵直线经过点，， ∴设直线的解析式为， 将代入得， 解得， ∴直线的解析式为； （2）解：∵点，， ∴， ∴，， ∵是等腰直角三角形， ∴，， ∴，， ∴点的坐标为， ∵将直线向上平移个单位长度，则平移后直线的解析式为， 将代入得， 解得， ∴的取值范围是； （3）解：∵点与点关于对称，点， ∴点， ∴， 当时，此时是等腰直角三角形， ∴点的横坐标为， ∴点的纵坐标为， ∴点的坐标为； 当时， 作轴于点， ∵， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∵， ∴， ∴点的坐标为； 同理点的坐标为； 综上，点的坐标为或或． 【点睛】本题考查了待定系数法求函数解析式，等腰三角形的判定和性质，勾股定理，一次函数图象的平移，数形结合是解题的关键． 15．(24-25八下·内蒙古赤峰·期末)对于函数（m为常数），小明用特殊到一般的方法，探究了它的图象及部分性质，请将小明的探究过程补充完整，并解决问题． (1)当时，函数为；当时，函数为，用描点法画出了这两个函数的图象，如图所示． 观察函数图象可知：函数的图象关于_______对称： 对于函数，当_______时，； (2)当时，函数为 ①在图中画出函数的图象： ②对于函数，当时，的取值范围是________； (3)结合函数，和的图象，可知函数的图象可由函数的图象平移得到，它们具有类似的性质．若，写出由函数的图象得到函数的图象的平移方式． 【答案】(1)y轴，或； (2)①见解析；② (3)将函数的图象向左平移个单位长度，得到函数的图象 【分析】（1）根据时，，时，，得到函数的图象关于y轴对称； 根据函数中，，得到，或； （2）①在中，取作射线，即得函数的图象；②根据函数图象关于直线对称，点对称，在范围内，； （3）根据函数图象的平移规律进行解答即可． 【详解】（1）∵中，当时，，当时，， ∴函数的图象关于y轴对称； ∵函数中，， ∴， ∴， 解得，，或， ∴当，或时，； 故答案为：y轴，或； （2）①在中，令，则，令，则，令，则， 过作射线，即得函数的图象； ②由函数图象看出，函数图象关于直线对称，点对称，顶点是， ∴当时，； 故答案为： ； （3）将函数的图象向左平移个单位长度，得到函数即的图象 【点睛】本题主要考查了分段函数．熟练掌握绝对值性质，两点法画一次函数图象，一次函数的图象和性质，函数的对称性，函数的增减性，函数的平移，是解决问题在关键． 1 / 19 学科网（北京）股份有限公司 $