精品解析：河南省郑州市第一中学2026届高三上学期期中数学试题

2025~2026学年上期期中考试26届 高三（数学）试题 说明： 1．本试卷分第I卷（选择题）和第II卷（非选择题），满分150分． 2．考试时间：120分钟． 3．将第I卷的答案代表字母填（涂）在答题卡上． 第I卷（选择题，共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知集合，若，则（ ） A. 1 B. C. 2 D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据题意得到，讨论和，解方程并验证得到答案． 【详解】若，则，故或. 当时，，此时，集合A不满足元素的互异性，舍去； 当时，或， 时，，集合A不满足元素的互异性，舍去； 时，，满足条件． 综上所述：． 故选：C． 2. 若复数与都是纯虚数，则是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】设复数，利用复数的乘方运算，结合纯虚数与共轭复数的概念求解即得． 【详解】因为复数是纯虚数，所以设复数， 则， 因为是纯虚数，所以，解得， 所以，． 故选：B． 3. 已知变量和满足经验回归方程，且变量和之间的一组相关数据如右表所示，则下列说法错误的是（ ） 5 6 9 12 8 7 2.4 A. B. 当时， C. 变量和呈负相关 D. 该经验回归直线必过点 【答案】D 【解析】 【分析】利用回归直线方程必过样本中心点，可判断出A和D的正误；对B，代入回归方程，即可求解；对C，利用回归方程的系数的正负，即可判断正误. 【详解】对于A，因为变量和满足经验回归方程， 又，，所以， 解得，所以A正确； 对于B，因为变量和满足经验回归方程， 当时，，所以B正确； 对于C，因为变量和满足经验回归方程， ，所以变量和呈负相关，所以C正确； 对于D，由选项A知，，，该经验回归直线必过点，所以D错误. 故选：D. 4. 盲盒是指消费者不能提前得知具体产品款式商品盒子．已知某盲盒产品共有3种玩偶，且每个盲盒中出现任意一种玩偶的概率均相等，小明购买4个盲盒，则他能集齐3种玩偶的概率是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据给定的条件，求出买4个盲盒的基本事件数，再求出集齐3种玩偶的基本事件数即可. 【详解】总情况数：每个盲盒有3种可能，4个盲盒的总情况数为，即81种， 符合条件的情况数：要集齐三种玩偶，需在4个盲盒中包含所有3种玩偶， 即一种玩偶出现2次，其余两种出现1次. 选择出现2次的种类：种，分配位置：将4个位置中选2个给该种类， 剩余2个位置分别给另外两种：种， 总符合条件的情况数：种， 因此，总概率为. 故选：C． 5. 设双曲线的右焦点为，为坐标原点，以为直径的圆与双曲线的两条渐近线分别交于（除原点外）、两点，若，则双曲线的离心率为（ ） A. B. 2 C. D. 3 【答案】A 【解析】 【分析】根据条件求得点坐标，利用点在圆上，满足圆的方程得到关系式，进一步计算即可. 【详解】双曲线的渐近线方程为， 不妨设点在第一象限，又, 则点的纵坐标为，又点在直线上， 则点横坐标为，所以. 又以为直径的圆的方程为，即， 把点代入并化简，可得， 又，所以， 所以离心率. 故选：A. 6. 已知分别是等差数列的前项和，，设点是直线外一点，点是直线上一点，满足，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】利用等差数列求和公式的性质及三点共线的推论计算参数即可. 【详解】根据等差数列前项和公式的二次函数特性，且， 不妨设， 则， 又，三点共线， 则， 所以. 故选：B 7. 在三棱锥中，是边长为2的等边三角形，三棱锥的外接球的表面积为，则三棱锥的体积为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】结合题意确定球心位置，再利用球的表面积公式建立方程得到，再合理作出辅助线并结合线面垂直的判定定理得到平面，结合余弦定理和三角形面积公式得到，最后利用三棱锥的体积公式求解即可. 【详解】作中点，连接， 因为，，所以， 则三棱锥的外接球的球心为的中点， 因为三棱锥的外接球的表面积为， 所以，解得， 因为是边长为2的等边三角形，所以， 由勾股定理得， 如图，取的中点，连接，，可得，    则结合三线合一性质得，， 因为，平面，所以平面， 在中，由勾股定理得，，且， 由余弦定理得， 由同角三角函数的基本关系得， 由三角形面积公式得， 由三棱锥体积公式得，故D正确. 故选：D 8. 已知函数，若对任意，恒成立，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】构造函数，，利用导数与函数的单调性，分别求出的单调区间，进而求出其最值，再结合题设条件，得到或，即可求解 【详解】令，，则， 则，因为，，当，即时，恒成立， 此时在上单调递增，所以， 当，即时，由，得到， 当时，，当时，， 即在区间上单调递减，在区间上单调递增， 所以时，， 又，当时，在区间上恒成立， 即在区间上单调递增， 又时，，时，， 所以时，，不恒成立，所以不合题意， 当时，由，得到（舍）或， 所以时，，时，， 即在区间上单调递增，在区间上单调递减， 所以时，， 要使对任意，恒成立，也即对任意，， 则或，解得或， 所以， 故选：A. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 关于空间向量，下列选项正确的是（ ） A. 空间向量及其模都可以比大小 B. 若，且，则 C. 若空间向量，且，则实数 D. 已知空间向量和，则在上的投影向量是 【答案】BCD 【解析】 【分析】根据空间向量及模的概念可判断A；利用空间向量垂直的坐标表示可判断B；利用空间向量共线的坐标表示可判断C；利用投影向量的定义可判断D. 【详解】对于A：空间向量既有大小又有方向，不能比较大小；空间向量的模是一个非负实数，可以比较大小，故A错误； 对于B：若且，则，故B正确； 对于C：若空间向量，且，则，解得，故C正确； 对于D：空间向量和，则在上的投影向量是；故D正确， 故选：BCD. 10. 若首项为1的数列的前项和为，且，则下列结论正确的有（ ） A. B. 数列是等比数列 C. 数列为递增数列 D. 中存在三项构成等差数列 【答案】AC 【解析】 【分析】由已知得出是以2为公比的等比数列，表示出和，再分别判断各选项即可． 【详解】由得，， 所以是以首项为，公比为2的等比数列， 所以，即，所以，故A正确； 当时，， 所以，所以数列不是等比数列，故B错误； 对于C，因为，当时，， 所以，数列为递增数列，故C正确； 对于D，取，且， 假设存在能构成等差数列，则， 有，即，所以， 因为，所以，与矛盾； 假设存在能构成等差数列，则，即， 则，即，显然当时无解， 所以中任意三项不能构成等差数列，故D错误； 故选：AC． 11. 已知函数，则下列结论正确的是（ ） A. 若函数图象向左平移个单位，则函数图象关于轴对称 B. 若，则 C. 若方程在内恰有两个根和，则 D. 若函数在上单调递减，在上有且只有一个零点，则的取值范围是 【答案】ABD 【解析】 【分析】先对函数进行化简得，根据三角函数图象平移规律可得平移后的函数解析式，进而可判断A；由求得，进而可求，，然后利用两角和的正弦公式求，即可判断B；由得和关于对称，求得，代入求解可判断C；根据条件及三角函数的性质列出的不等式，求解可判断D. 【详解】 . 将函数的图象向左平移个单位， 可得平移后的函数为：， 因为是偶函数，其图象关于y轴对称，故A正确； 若，则，. ， ， 所以 ，故B正确； 由得，即， 时，，又，则， 方程在内恰有两个根和， 则和关于对称，故，即， 由题意，，， 则， 所以 ，故C错误； 因为， 由，解得， 故函数的单调递减区间为， 因为函数在上单调递减， 所以， 则且， 因为，则时符合，即且，解得， 令，得，解得， 若函数在上有且只有一个零点， 所以有且只有一个整数解. 即有且只有一个整数解，则，解得， 综上可得，即的取值范围是，故D正确， 故选：ABD. 第II卷（非选择题，共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知随机变量，正实数满足，则的最小值为___________． 【答案】 【解析】 【分析】根据正态分布曲线的性质可得，结合基本不等式“1”的代换求最值即可. 【详解】由题意，随机变量的分布图象关于直线对称， 又，所以，得， 所以， 当且仅当，即时，等号成立 所以的最小值为. 故答案为： 13. 在的展开式中按的升幂排列的第3项是___________． 【答案】 【解析】 【分析】将问题转化为求项，再利用二项展开的通项公式，即可求解. 【详解】易知，展开式中有常数项、一次项、二次项等，由题知，所求的项为项， 又的二项展开式的通项公式为， 的二项展开式的通项公式为， 故所求为， 故答案为：. 14. 已知是定义在上的奇函数，当时，，若､､是平面内三个不同的单位向量，且满足，则的最小值与最大值之差为__________. 【答案】 【解析】 【分析】由已知条件求出函数的解析式. 根据､､是平面内三个不同的单位向量，且满足，分析､､两两夹角的余弦值，结合求向量模的方法，求得的最小值与最大值，从而得到最小值与最大值之差. 【详解】当时，，所以. 因为是定义在上的奇函数，所以. 当时，，所以. 所以. 又. 所以. 所以当时，；当时，；当时，. 设与､与的夹角分别为，则. 由，得，即， 所以. 将､､三个向量的起点平移到同一起点，作. 所以点A在弧运动，不同于点B ，且； 点C在弧运动，三点共线，且； 如图1所示，当，时，最短， 此时，，. 与反向，所以取最小值，最小值为. 如图2所示，当，时，最长，此时，. 与同向，所以取最大值，最大值为2. 综上所述，的最小值与最大值之差为. 故答案为：. 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或验算步骤． 15. 已知某市组建了一支300人的志愿者队伍，并由其中200人组成“志愿模范队”．经过一年的实践，全队共有200人的周平均服务时长超过2小时，其中有150人来自“志愿模范队”，如下表所示． 是“志愿模范队”成员 不是“志愿模范队”成员 总计 周平均服务时长超过2小时 150 200 周平均服务时长不超过2小时 总计 200 300 （1）请完成2×2列联表，并根据表中数据回答：根据小概率值的独立性检验，能否认为“是“志愿模范队”成员”与“周平均服务时长超过2小时”有关系？ （2）由于该市志愿者工作成效优异，现向全省推广该市经验，在全省每个市县都成立志愿者队伍，请以该市志愿者队伍的样本频率作为概率的值，在全省的志愿者队伍中任选3人，记周平均服务时长超过2小时且不是“志愿模范队”成员的人数为，求的分布列和数学期望． 附录：，其中． 0.100 0.050 0.010 0.001 2.706 3.841 6.635 10.828 【答案】（1）列联表见解析，认为“是‘志愿模范队’成员”与“周平均服务时长超过2小时”有关 （2）分布列见解析，数学期望为 【解析】 【分析】（1）根据卡方公式，结合列联表进行求解即可； （2）写出二项分布的性质写出其分布列，利用二项分布的期望公式即可求解. 【小问1详解】 由题可得如下列联表： 是“志愿模范队”成员 不是“志愿模范队”成员 总计 周平均服务时长超过2小时 150 50 200 周平均服务时长不超过2小时 50 50 100 总计 200 100 300 设零假设“是“志愿模范队”成员”与“周平均服务时长超过2小时”无关， 可得， 所以根据小概率值的独立性检验，可以认为不成立， 即认为“是‘志愿模范队’成员”与“周平均服务时长超过2小时”有关. 【小问2详解】 依题意，的可能取值为0，1，2，3，从全省的志愿者队伍中随机抽取一位志愿者，取到周平均服务时长超过2小时且不是“志愿模范队”成员的志愿者的概率为 故， 故的分布列为 0 1 2 3 ，则数学期望． 16. 在中，内角对边分别为．已知． （1）求； （2）若，点在边上，，求面积的最大值． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据条件，利用正弦定理边转角及正弦的和角公式得到，进而可得，即可求解； （2）根据条件，利用（1）中结果及三角形面积公式，得，再由余弦定理及基本不等式，即可求解. 【小问1详解】 由， 根据正弦定理可得， 由，则， 可得，所以， 由，即，则，即， 根据，解得. 【小问2详解】 由（1）有， 由，有， 由余弦定理， 当且仅当时，等号成立，所以， 所以， 所以面积的最大值为. 17. 如图在四棱锥中，平面平面，，是中点，是上一点． （1）当时，证明：平面； （2）平面与平面夹角的余弦值为，求的值． 【答案】（1）证明见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）建立空间直角坐标系，求出平面的法向量以及直线的方向向量，证明其数量积为0即可证明线面平行； （2）利用空间向量求空间角即可求解. 【小问1详解】 如图，以为坐标原点，所在直线为轴，所在直线为轴，过点与平面垂直的直线为轴建立空间直角坐标系， 则由题意得， ， 由，可得 证明：设平面的法向量为， 则，解得， 令，得. 因为， 所以 又平面，所以平面 【小问2详解】 ， 设，， 则 设平面的法向量为， 则， 取，则， 则， 化简得：， 解得， 所以. 18. 已知椭圆，左右焦点分别为，上下顶点分别为，左右顶点分别为，是上异于椭圆顶点的两点. （1）求的周长； （2）若点在第一象限且满足的面积比的面积大，求点的横坐标的取值范围； （3）记点在直线上的投影为，且直线的斜率是直线的斜率的3倍，试判断：过点为坐标原点三点的圆是否为定圆？若是，求出该圆的方程；若不是，请说明理由. 【答案】（1） （2） （3）是定圆 【解析】 【分析】（1）求出，结合椭圆的定义即可得解； （2）设，由，可得，再根据点在椭圆上即可得解； （3）设直线的方程为，直线的方程为，分布于椭圆方程联立，利用韦达定理求出两点的坐标，进而可求出的方程，进而可得出答案. 【小问1详解】 由椭圆， 得，所以， 所以的周长为； 【小问2详解】 设， 由，得， 所以，即， 又因为，所以， 解得， 即点的横坐标的取值范围为； 【小问3详解】 ， 设直线的方程为，直线的方程为， 联立，消得， 则，所以，所以， 故， 联立，消得， 则，所以，所以， 故， 当，即时， ， 则直线的方程为， 即，过定点， 当，即时， 此时，直线过定点， 设，因为， 所以过点为坐标原点三点的圆即为过点为坐标原点三点的圆， 因为过原点，点，点， 所以过点为坐标原点三点圆是定圆. 19. 已知函数（）的极值点构成数列为（）． （1）求证：当时，； （2）求函数的单调区间，并证明为等差数列； （3）若不等式对一切恒成立，求实数的取值范围． 【答案】（1）证明见解析； （2）单调区间见解析，证明见解析； （3） 【解析】 【分析】（1）根据已知构造函数再求出导函数正负得出函数的单调性即可得出即可证明； （2）根据导函数的正负得出函数的单调区间，再根据极值点是，最后应用等差数列的定义证明； （3）先根据（2）得出进而参数分离构造函数，再作差得出单调递减，即可计算求参. 【小问1详解】 当时，令，， 令所以单调递增， 当时， 所以在上单调递增，所以， 即得，所以； 小问2详解】 因为，所以，又因为， 当时，即或，单调递增； 当时，即单调递减； 所以函数的单调增区间为，，单调减区间； 令，即得，所以， 结合单调区间知函数的极值点为， 因为，所以， 即得，所以是以为首项，以为公差的等差数列； 【小问3详解】 由（2）知，则， 因为不等式对一切恒成立，即不等式对一切恒成立， 令， 因为， 令，当单调递增，当单调递减， 当时， 当时， 所以当时，， 所以单调递减，所以， 所以的取值范围是 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025~2026学年上期期中考试26届 高三（数学）试题 说明： 1．本试卷分第I卷（选择题）和第II卷（非选择题），满分150分． 2．考试时间：120分钟． 3．将第I卷的答案代表字母填（涂）在答题卡上． 第I卷（选择题，共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知集合，若，则（ ） A. 1 B. C. 2 D. 2. 若复数与都是纯虚数，则是（ ） A. B. C. D. 3. 已知变量和满足经验回归方程，且变量和之间的一组相关数据如右表所示，则下列说法错误的是（ ） 5 6 9 12 8 7 24 A. B. 当时， C. 变量和呈负相关 D. 该经验回归直线必过点 4. 盲盒是指消费者不能提前得知具体产品款式的商品盒子．已知某盲盒产品共有3种玩偶，且每个盲盒中出现任意一种玩偶的概率均相等，小明购买4个盲盒，则他能集齐3种玩偶的概率是（ ） A B. C. D. 5. 设双曲线的右焦点为，为坐标原点，以为直径的圆与双曲线的两条渐近线分别交于（除原点外）、两点，若，则双曲线的离心率为（ ） A. B. 2 C. D. 3 6. 已知分别是等差数列的前项和，，设点是直线外一点，点是直线上一点，满足，则（ ） A. B. C. D. 7. 在三棱锥中，是边长为2的等边三角形，三棱锥的外接球的表面积为，则三棱锥的体积为（ ） A. B. C. D. 8. 已知函数，若对任意，恒成立，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 关于空间向量，下列选项正确是（ ） A. 空间向量及其模都可以比大小 B. 若，且，则 C. 若空间向量，且，则实数 D. 已知空间向量和，则在上的投影向量是 10. 若首项为1的数列的前项和为，且，则下列结论正确的有（ ） A. B. 数列是等比数列 C. 数列为递增数列 D. 中存在三项构成等差数列 11. 已知函数，则下列结论正确的是（ ） A. 若函数图象向左平移个单位，则函数图象关于轴对称 B. 若，则 C. 若方程在内恰有两个根和，则 D. 若函数在上单调递减，在上有且只有一个零点，则的取值范围是 第II卷（非选择题，共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知随机变量，正实数满足，则的最小值为___________． 13. 在的展开式中按的升幂排列的第3项是___________． 14. 已知是定义在上的奇函数，当时，，若､､是平面内三个不同的单位向量，且满足，则的最小值与最大值之差为__________. 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或验算步骤． 15. 已知某市组建了一支300人的志愿者队伍，并由其中200人组成“志愿模范队”．经过一年的实践，全队共有200人的周平均服务时长超过2小时，其中有150人来自“志愿模范队”，如下表所示． 是“志愿模范队”成员 不是“志愿模范队”成员 总计 周平均服务时长超过2小时 150 200 周平均服务时长不超过2小时 总计 200 300 （1）请完成2×2列联表，并根据表中数据回答：根据小概率值的独立性检验，能否认为“是“志愿模范队”成员”与“周平均服务时长超过2小时”有关系？ （2）由于该市志愿者工作成效优异，现向全省推广该市经验，在全省每个市县都成立志愿者队伍，请以该市志愿者队伍样本频率作为概率的值，在全省的志愿者队伍中任选3人，记周平均服务时长超过2小时且不是“志愿模范队”成员的人数为，求的分布列和数学期望． 附录：，其中． 0.100 0.050 0.010 0.001 2706 3.841 6.635 10.828 16. 在中，内角的对边分别为．已知． （1）求； （2）若，点在边上，，求面积的最大值． 17. 如图在四棱锥中，平面平面，，是中点，是上一点． （1）当时，证明：平面； （2）平面与平面夹角的余弦值为，求的值． 18. 已知椭圆，左右焦点分别为，上下顶点分别为，左右顶点分别为，是上异于椭圆顶点的两点. （1）求的周长； （2）若点在第一象限且满足的面积比的面积大，求点的横坐标的取值范围； （3）记点在直线上的投影为，且直线的斜率是直线的斜率的3倍，试判断：过点为坐标原点三点的圆是否为定圆？若是，求出该圆的方程；若不是，请说明理由. 19. 已知函数（）的极值点构成数列为（）． （1）求证：当时，； （2）求函数的单调区间，并证明为等差数列； （3）若不等式对一切恒成立，求实数的取值范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $