第21章 一元二次方程（压轴题专项训练）数学沪教版五四制2024八年级上册

第21章 一元二次方程（压轴题专项训练） 一、单选题 1．嘉嘉在求解关于的一元二次方程时，抄错了值的正负号，解出的一个根为，则下列结论说法正确的是（   ） 结论一：原方程有两个不相等的实数根； 结论二：原方程的两根之和． A．结论一正确、结论二不正确 B．结论一不正确、结论二正确 C．结论一正确、结论二正确 D．结论一不正确、结论二不正确 【答案】A 【详解】解：嘉嘉抄错后的方程为，代入根得： ， 解得：， 因此，原方程为， ∴，故原方程有两个不相等的实数根，结论一正确； 根据根与系数关系，两根之和为，但结论二写为，符号错误，故结论二不正确； 综上，结论一正确、结论二不正确， 故选A 2．韦达是法国杰出的数学家，其贡献之一是发现了多项式方程根与系数的关系，如一元二次方程的两实数根分别为，，则方程可写成，即，容易发现根与系数的关系：，，设一元三次方程三个非零实数根分别，，，现给出以下结论：；；；，其中正确的是______（写出所有正确结论的序号）． A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：三次方程可表示为， ∴， ∴，，， ∴，，，故结论正确； 由，结论正确， 综上正确， 故选：． 3．已知菱形的边长为5，其中一条对角线的长恰好是一元二次方程的一个根，则这个菱形的面积是（） A．24 B．48 C．24或 D．48或 【答案】C 【详解】解：方程可分解为， 解得或， ∴菱形的一条对角线可能为6或4， 设菱形边长为5，两条对角线分别为和，根据菱形的性质，对角线互相垂直且平分，故有：， 整理得． 当时，代入得，解得（负值舍去），此时面积为； 当时，代入得，解得（负值舍去），此时面积为． ∴菱形的面积可能为24或， 故选：C． 4．已知关于的一元二次方程有一个实数根为，且，则下列说法错误的是（   ） A．当时， B．当，时， C．方程的另一个实数根不可能是 D．方程的另一个实数根有可能是1 【答案】D 【详解】解：∵关于的一元二次方程有一个实数根为， ∴， 即， ∵， ∴与符号相反， 当时，，，即，得到，故选项A正确； 当，时，则，则，即，得到，故选项B正确； 若方程的另一个实数根是，则方程有两个相等的实数根，则，即， 即，则，与已知矛盾， ∴方程的另一个实数根不可能是， 故选项C正确； 若方程的另一个实数根是1，则，即，， ∴，与已知矛盾， 即方程的另一个实数根不可能是1， 故选项D错误，符合题意． 故选：D 5．点在第四象限，点P到x轴的距离为，到y轴的距离为，若m，，满足，则常数m的值为（   ） A． B． C． D．0 【答案】C 【详解】解：∵点在第四象限， ∴， 解得：， ∵点P到x轴的距离为，到y轴的距离为， ∴， ∵， ∴， 整理得：， 解得：（舍去），， 故选：C． 6．满足方程的所有正整数解有：（    ） A．一组 B．二组 C．三组 D．四组 【答案】C 【详解】解：原方程变形为： 将其视为关于x的一元二次方程，判别式为： ， ∵方程有正整数解， 即判别式为非负完全平方数， 即，且y为正整数， 解得y的可能取值为,,,： 当时，则， 此时，不是正整数，不符合题意，故舍去； 当时，则， 此时， ∴ （舍去）， 即方程组的正整数解为； 当时，则， 此时，不是正整数，不符合题意，故舍去； 当时，则， 此时， ∴ ， 即方程组的正整数解为 或 ； 综上，共有三组正整数解， 故选：C 二、填空题 7．已知两个关于x的一元二次方程：(b，c均为常数)，．其中，方程的一个根是，方程有两个相等的实数根，则b的值是 ． 【答案】 【详解】解：由题意，∵方程的一个根是， ∴， ∴， ∵方程有两个相等的实数根， ∴方程有两个相等的实数根， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 8．如果，是方程的两根，那么的值为 ． 【答案】 【详解】解：∵，是方程的两根， ∴，， ∴， 故答案为：． 9．若，是关于的一元二次方程的两个根，且，则的值 ． 【答案】1 【详解】解：∵，是关于的一元二次方程的两个根， ∴， ∵， ∴， ∴， 解得或， ， ∴， ∴， 故答案为：1． 10．若关于x的一元二次方程的根为有理数，则整数k的值为 ． 【答案】0，1，9，10 【详解】解：∵， ∴， ∵一元二次方程的根为有理数， ∴是完全平方数， 设， 变形为， ∴， ∴， 解得； ， 解得k＝0， ， 解得k＝9； ， 解得， 综上，整数k的值为0，1，9，10． 故答案为：0，1，9，10． 11．已知，则式子的值为 ． 【答案】 【详解】解：设，， ∵， ∴，则， 又， ∴，整理，得， 解得或， 当时，，则，此时， ∴； 当时，，则不成立，舍去， ∴， 古答案为：． 12．若关于的两个方程都有实数根，其中为实数，则代数式的最小值等于 ． 【答案】3 【详解】解∶ 根据题意，得 关于x的两个方程都有实数根， 解得： 当时，取得最小值3． 故答案为∶3． 13．若、是方程的两个实数根，则的值为 ． 【答案】 【详解】解：∵、是方程的两个实数根， ∴，， ∴ ∴ ， 故答案为：． 14．如图，将正方形沿图中虚线（其中）剪成①②③④四块图形，用这四块图形恰能拼成一个矩形（非正方形），则的值为 ． 【答案】 【详解】解：根据题意，正方形的面积为， 拼成一个矩形（非正方形）如下图， ∴矩形的面积为， ∴， ∴， ∵， ∴等式两边同时除以，整理得，， 令，则， 解得，， ∴（负值舍去）， ∴， 故答案为： ． 15．如图1，四个全等的直角三角形围成一个大正方形，中间是个小正方形，这个图形是我国汉代赵爽在注解《周髀算经》时给出的，人们称它为“赵爽弦图”．在此图形中连接四条线段得到如图2的图案，记阴影部分的面积为，空白部分的面积为，若，则大正方形的边长与小正方形的边长的比值为 ． 【答案】/ 【详解】解：设图2阴影直角三角形中与小正方形不重合的直角边为x，与小正方形重合的直角边的为y，则大正方形的边长为， ∴阴影部分的面积为，空白部分的面积为， ∵， ∴，即，解得：或（舍弃）， ∴， ∴大正方形的边长为， ∴大正方形的边长与小正方形的边长的比值为． 故答案为：． 16．代数基本定理是代数学中的一个核心定理，它指出：任何一个一元n次复系数多项式方程在复数域内都恰好有n个根（重根按重数计算）．对于给定的方程，这是一个3次方程，根据代数基本定理可知它在复数范围内有3个根．已知其中一个根为，请你运用代数基本定理所蕴含的数学思想，求出该方程剩下的两个实数根 和 ，并在解题过程中深入体会代数基本定理在求解多项式方程时所起到的重要作用． 【答案】 【详解】设另外两根是的根， ∵已知其中一个根为， ∴可化为， 即， 计算得， 可得，， ∴， 解得，， 故答案为：，． 17．某数学学习小组在综合实践《猜想、证明、拓广》中探究了矩形的“减半”问题，课后对其他问题进行探究，发现当已知矩形的相邻两边分别为和，和，和，和，和，和，和，和时，都不存在这样的矩形，它的周长和面积分别为已知矩形的周长和面积的；当已知矩形的相邻两边分别为和时，他们发现存在一个矩形使它的周长和面积分别为已知矩形的周长和面积的，请你帮助他们写出这个矩形较短边的长为 ；当已知矩形的长和宽分别为和时，若存在一个矩形使它的周长和面积分别为已知矩形的，则和应满足的关系式为 ． 【答案】 / 【详解】解：设所求的矩形的两边分别是和，由题意得方程组 解得：或 这个矩形较短边的长为 当已知矩形的长和宽分别为和时，由题意得方程组 ∴ 即 ∵存在一个矩形使它的周长和面积分别为已知矩形的， ∴方程有实数根， ∴ 即 ∴ 故答案为：． 18．如图1，矩形纸片裁去等腰直角三角形，将剩余部分分割为五块图形后，拼成如图2的正方形．则的值为 ． 【答案】/ 【详解】解：设，， 根据图1，可得， 四边形为正方形， ，即， 三角形为直角三角形， ， 图1中， 则，， 矩形纸片为正方形， 根据图2中正方形的面积等于图1中正方形面积减去等腰直角三角形的面积可得， ， ， 解得（负值舍去）， 故可得， 故答案为：． 三、解答题 19．已知关于x的一元二次方程（p为常数）有两个不相等的实数根和，且，求p的值． 【答案】 【详解】解：∵关于x的一元二次方程（p为常数）有两个不相等的实数根和， ∴，， ∵，， ∴，即 解得，， 当时，方程为，此时，方程无实数根，故舍去； 当时，方程为，此时，满足方程有两个不相等的实数根， 综上，． 20．在数学学习中，运用整体思想能将运算变得简单． 例如，在计算时就可以将看成一个整体，式子转化为：．请借助整体思想完成： (1)___________； (2)，求___________； (3)已知，求 【答案】(1) (2)9 (3) 【详解】（1）解： ； （2）解：， ， ， ， ； （3）解：令， 原方程变形为：， ， ， ， ， ． 21．阅读下列材料： 【材料1】若一元二次方程的两根为， 则． 【材料2】已知实数满足，且，求的值． 解：由题知是方程的两个不相等的实数根， ∴； ∴    ． 根据上述材料，解答下列问题： (1)关于的方程的两个根是和1，则的值为___________； (2)若关于的方程的两个实数根的平方和等于4，求实数的值； (3)已知：，，且．求的值为______________． 【答案】(1)2 (2)的值为 (3)3 【详解】（1）解：∵关于的方程的两个根是和1， ∴，即：， ∴． 故答案为2． （2）解：设关于的方程的两个实数根分别为， 根据根与系数的关系得， ∵， ∴， ∴， ∴， 解得：， 当时，原方程化为， 则，此方程没有实数解； 当时，原方程化为， 则，此方程有两个不相等的实数解． 综上所述，的值为． （3）解：∵， ∴， ∴，即， ∵ ∴是方程的两个的实数根，且． ∵， ∴． 22．如图，在中，，，，点从点出发，以的速度沿着运动；点从点出发，以的速度沿着运动．已知两点同时出发，当点运动到点时，点和点的运动停止． (1)经过多长时间，的长为？ (2)经过多长时间，的面积为？ (3)的面积会等于面积的一半吗？若会，请求出此时的运动时间；若不会，请说明理由． 【答案】(1) (2)或 (3)不会，理由见解析 【详解】（1）解：设运动时间为，则，，， ∵，的长为， ∴在中，，即， 解得， 即经过，的长为； （2）解：由（1）得，， ∵的面积为， ∴，即， 解得或， ∵当点运动到点时，点和点的运动停止， ∴，即， ∴经过或，的面积为； （3）解：不会，理由如下： 由（2）知， ， 当的面积会等于面积的一半时，则 ， 整理得， 此时， ∴的面积不会等于面积的一半． 23．阅读材料：已知实数满足，且，求的值． 解：由题意知是方程的两个不相等的实数根， 根据上述材料解决以下问题： (1)已知实数满足，，且，求的值． (2)已知实数分别满足，，且．求的值． 【答案】(1) (2)-1 【详解】（1）解：由题意知是方程的两个不相等的实数根， 故答案为：． （2）解：把两边同时除以，得 ． 又， 实数和可看作方程的两个不相等的实数根， ． 故答案为：． 24．一元二次方程两根分别为且（） (1)若此方程一根为1，则__________； (2)当，时，求a，b的值； (3)若，，且时，求证：． 【答案】(1)6 (2)； (3)见解析 【详解】（1）解：∵一元二次方程两根分别为，其中一根为， ∴将代入，则， ∴； （2）解：∵，， ∴，， 解得：，； （3）解：当，且， ① ② ①－②得： 即 因， ∴， ∴ 由题知： ∴即，故． 25．配方法是数学中非常重要的一种思想方法，它是指将一个式子或将一个式子的某一部分通过恒等变形化为完全平方式或几个完全平方式的和的方法，这种方法常被用到代数式的变形中，并结合非负数的意义来解决问题． 定义：若一个整数能表示成（为整数）的形式，则称这个数为“美丽数”．例如，5是“美丽数”，理由：因为，所以5是“美丽数”． 解决问题： (1)已知53是“美丽数”，请将它写成（为整数）的形式． (2)若可配方成（，为常数），求的值； (3)已知（是整数，是常数），要使为“美丽数”，试求出的值． 【答案】(1) (2)8 (3)13 【详解】（1）解：， 故 （2）解：， ，， ， （3）解： ， 为“美丽数”， ， ． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第21章 一元二次方程（压轴题专项训练） 一、单选题 1．嘉嘉在求解关于的一元二次方程时，抄错了值的正负号，解出的一个根为，则下列结论说法正确的是（   ） 结论一：原方程有两个不相等的实数根； 结论二：原方程的两根之和． A．结论一正确、结论二不正确 B．结论一不正确、结论二正确 C．结论一正确、结论二正确 D．结论一不正确、结论二不正确 2．韦达是法国杰出的数学家，其贡献之一是发现了多项式方程根与系数的关系，如一元二次方程的两实数根分别为，，则方程可写成，即，容易发现根与系数的关系：，，设一元三次方程三个非零实数根分别，，，现给出以下结论：；；；，其中正确的是______（写出所有正确结论的序号）． A． B． C． D． 3．已知菱形的边长为5，其中一条对角线的长恰好是一元二次方程的一个根，则这个菱形的面积是（） A．24 B．48 C．24或 D．48或 4．已知关于的一元二次方程有一个实数根为，且，则下列说法错误的是（   ） A．当时， B．当，时， C．方程的另一个实数根不可能是 D．方程的另一个实数根有可能是1 5．点在第四象限，点P到x轴的距离为，到y轴的距离为，若m，，满足，则常数m的值为（   ） A． B． C． D．0 6．满足方程的所有正整数解有：（    ） A．一组 B．二组 C．三组 D．四组 二、填空题 7．已知两个关于x的一元二次方程：(b，c均为常数)，．其中，方程的一个根是，方程有两个相等的实数根，则b的值是 ． 8．如果，是方程的两根，那么的值为 ． 9．若，是关于的一元二次方程的两个根，且，则的值 ． 10．若关于x的一元二次方程的根为有理数，则整数k的值为 ． 11．已知，则式子的值为 ． 12．若关于的两个方程都有实数根，其中为实数，则代数式的最小值等于 ． 13．若、是方程的两个实数根，则的值为 ． 14．如图，将正方形沿图中虚线（其中）剪成①②③④四块图形，用这四块图形恰能拼成一个矩形（非正方形），则的值为 ． 15．如图1，四个全等的直角三角形围成一个大正方形，中间是个小正方形，这个图形是我国汉代赵爽在注解《周髀算经》时给出的，人们称它为“赵爽弦图”．在此图形中连接四条线段得到如图2的图案，记阴影部分的面积为，空白部分的面积为，若，则大正方形的边长与小正方形的边长的比值为 ． 16．代数基本定理是代数学中的一个核心定理，它指出：任何一个一元n次复系数多项式方程在复数域内都恰好有n个根（重根按重数计算）．对于给定的方程，这是一个3次方程，根据代数基本定理可知它在复数范围内有3个根．已知其中一个根为，请你运用代数基本定理所蕴含的数学思想，求出该方程剩下的两个实数根 和 ，并在解题过程中深入体会代数基本定理在求解多项式方程时所起到的重要作用． 17．某数学学习小组在综合实践《猜想、证明、拓广》中探究了矩形的“减半”问题，课后对其他问题进行探究，发现当已知矩形的相邻两边分别为和，和，和，和，和，和，和，和时，都不存在这样的矩形，它的周长和面积分别为已知矩形的周长和面积的；当已知矩形的相邻两边分别为和时，他们发现存在一个矩形使它的周长和面积分别为已知矩形的周长和面积的，请你帮助他们写出这个矩形较短边的长为 ；当已知矩形的长和宽分别为和时，若存在一个矩形使它的周长和面积分别为已知矩形的，则和应满足的关系式为 ． 18．如图1，矩形纸片裁去等腰直角三角形，将剩余部分分割为五块图形后，拼成如图2的正方形．则的值为 ． 三、解答题 19．已知关于x的一元二次方程（p为常数）有两个不相等的实数根和，且，求p的值． 20．在数学学习中，运用整体思想能将运算变得简单． 例如，在计算时就可以将看成一个整体，式子转化为：．请借助整体思想完成： (1)___________； (2)，求___________； (3)已知，求 21．阅读下列材料： 【材料1】若一元二次方程的两根为， 则． 【材料2】已知实数满足，且，求的值． 解：由题知是方程的两个不相等的实数根， ∴； ∴    ． 根据上述材料，解答下列问题： (1)关于的方程的两个根是和1，则的值为___________； (2)若关于的方程的两个实数根的平方和等于4，求实数的值； (3)已知：，，且．求的值为______________． 22．如图，在中，，，，点从点出发，以的速度沿着运动；点从点出发，以的速度沿着运动．已知两点同时出发，当点运动到点时，点和点的运动停止． (1)经过多长时间，的长为？ (2)经过多长时间，的面积为？ (3)的面积会等于面积的一半吗？若会，请求出此时的运动时间；若不会，请说明理由． 23．阅读材料：已知实数满足，且，求的值． 解：由题意知是方程的两个不相等的实数根， 根据上述材料解决以下问题： (1)已知实数满足，，且，求的值． (2)已知实数分别满足，，且．求的值． 24．一元二次方程两根分别为且（） (1)若此方程一根为1，则__________； (2)当，时，求a，b的值； (3)若，，且时，求证：． 25．配方法是数学中非常重要的一种思想方法，它是指将一个式子或将一个式子的某一部分通过恒等变形化为完全平方式或几个完全平方式的和的方法，这种方法常被用到代数式的变形中，并结合非负数的意义来解决问题． 定义：若一个整数能表示成（为整数）的形式，则称这个数为“美丽数”．例如，5是“美丽数”，理由：因为，所以5是“美丽数”． 解决问题： (1)已知53是“美丽数”，请将它写成（为整数）的形式． (2)若可配方成（，为常数），求的值； (3)已知（是整数，是常数），要使为“美丽数”，试求出的值． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $$