第13章 分式（知识清单）数学新教材沪教版五四制七年级上册

第13章 分式 一、分式的认识 1.分式的定义：一般地，对于两个整式A、B（B是非零整式），A÷B可以表示为的形式，叫作分式，也称为有理式，其中A称为分子，B称为分母。本章主要讨论分母中含有字母的分式. 2.分式有、无意义和分式的值为零的条件 （1）分式有意义的条件：分母不等于零，即； （2）分式无意义的条件：分母等于零，即 （3）分式的值为零的条件：分子等于零且分母不等于零，即且。 3.分式值为正和为负的条件 （1）分式的值为正数的条件：分式的分子与分母同号，即或 （2）分式的值为负数的条件：分式的分子与分母异号号，即或 二、分式的基本性质 1.分式的基本性质：分式的分子与分母都乘以（或除以）同一个不等于的整式，分式的值不变。 用式子表示是： （为整式且） 2.约分 （1）约分的定义： 把一个分式的分子和分母中的公因式约去的过程，叫作约分。 （2） 最简分式的定义：这样的分式叫作最 简式. 约分可以化简分式．如果分式的分子和分母是几个因式的积的形式，可约去相同因式．有时，需要先对分子、分母因式分解，再约分．分式的约分一般要使结果成为最简分式. （3）约分的方法： 当分式的分子和分母都是单项式时，先找出分子与分母的最大公因式，然后将分子和分母的最大公因式约去。 当分式的分子与分母是多项式时，应先把多项式分解因式，然后约去分子和分母的公因式。 3.分式的变号法则：分式的分子、分母及分式本身的符号改变其中任意两个，分式的值不变。 即： 三、分式的运算 1.分式的乘法法则 （1）分式的乘法法则：两个分式相乘，把分子相乘的积作为积的分子，把分母相乘的积作为积的分母。 即：。 （2）分式乘法运算的技巧： 两个分式相乘，如果分子分母都是单项式，可以直接利用分式的乘法法则进行计算，计算结果要通过约分化为最简分式或整式。 如果分子分母都是多项式，那么先对分子分母进行分解因式，然后运用分式的乘法法则进行计算，计算结果要通过约分化为最简分式或整式。 2.分式的除法法则 （1）分式的除法法则：两个分式相除，把除式的分子和分母颠倒位置后再与被除式相乘。 即：。 （2）分式除法运算的技巧： 两个分式相除，如果分子分母都是单项式，可以直接利用分式的除法法则进行计算，计算结果要通过约分化为最简分式或整式。 如果分子分母都是多项式，那么先对分子分母进行分解因式，然后运用分式的除法法则进行计算，计算结果要通过约分化为最简分式或整式。 3.同分母分式的加减法法则： 同分母分式相加减，分母不变，把分子相加减，即； 特别提醒： （1）分子相加减时，如果分子是单项式且符号为“”或分子是多项式，一定要给分式的分子加上括号。 （2）分式加减运算的结果，必须化成最简分式或整式 4.通分 Ⅰ通分的定义：根据分式的基本性质，异分母的分式可以化为同分母的分式，这一过程称为分式的通分。 Ⅱ确定最简公分母的步骤： （1）把多项式的分母能分解因式的要先分解因式； （2）取各分母系数的最小公倍数； （3）凡出现的字母或含有字母的式子为底的幂的因式都要取； （4）相同字母或含有字母的式子的幂的因式取指数最高的。 按上述步骤取的因式的积，即为最简公分母。 Ⅲ通分的步骤： （1）确定最简公分母； （2）在确定公分母后，还要确定各分式的分子、分母应乘以的因式，这个因式就是最简公分母除以原分母的商。 5.异分母分式的加减法 异分母分式相加减，先通分化为同分母的分式，然后按同分母分式的加减法法则进行计算。 6.分式的四则混合运算 分式的加、减、乘、除、乘方混合运算，要先算乘方，再乘除，最后算加减，如果有括号就先算括号里的。 四、整数指数幂 1、 零指数：； 2、负整数指数幂：； 五、分式方程 一.定义：分母中含有未知数的方程叫分式方程。 二．解分式方程的步骤： （1）去分母，即在方程两边同时乘以最简公分母，把原方程化为整式方程； （2）解这个整式方程； （3）验根：把整式方程的根代入最简公分母中，使最简公分母不等于的根是原方程的根，否则，便是增根，必须舍去。 三．增根和无解问题 1. 把整式方程的根代入最简公分母中，使最简公分母等于的根是原方程的增根。 2. 方程无解问题：一是方程解出来，不存在，二是解出来的是增根。 四．列方程解应用题的一般步骤： 1、 审题：就是弄清题意，弄明白哪些量是已知的，哪些量是未知的，要求的量是什么。 2、 设未知数：在题目中一般设欲求的量为x，这种设法叫直接设未知数；有时为了列方程简便，也常常设其他的量为x，这种设法叫间接设未知数法。 3、 列方程：根据题目的实际意义找出等量关系，并把这个等量关系用已知数与未知数表示出来，这就是列方程。 4、 解方程并求出未知数的值，分式方程一定验根。 检验：这里的检验有两重含义，一是检验解方程是否正确，二是检验所解出的根是否符合题意。 易错点1：忽略分式有意义及值为 0 的条件 1．（24-25七年级上·上海·阶段练习）使分式有意义的x的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：∵分式有意义，   ∴， 解得：． 故选：B． 2．（24-25七年级上·上海青浦·阶段练习）当x 时，分式有意义． 【答案】且 【详解】解：由题意得：， 解得：且； 故答案为：且． 3．（24-25七年级上·上海·阶段练习）当 时，分式的值为0． 【答案】 【详解】解：∵分式的值为0， ∴，， ∴， 当时，，符合题意； 当时，，不符合题意； ∴时，分式的值为0． 故答案为：2． 4．（25-26七年级上·上海·期中）当 时，分式的值为0． 【答案】 【详解】解：由分式的值为零的条件，得 且 ． 解 ，得 ， ∴或． 由 ， 得 ． ∴． 故答案为： 易错点2：分式基本性质类易错点 （1）错误运用性质变形（2）分子分母扩缩倍数判断错误 5．（24-25七年级上·上海浦东新·阶段练习）对于分式，当、都扩大到原来的倍时，分式的值（   ） A．不变 B．扩大到原来的3倍 C．扩大到原来的9倍 D．不能确定 【答案】B 【详解】解：分式，当、都扩大到原来的倍， ∴扩大后的分式为， ∴扩大到原来的3倍， 故选：B ． 6．（24-25七年级上·上海闵行·阶段练习）下列分式中，是最简分式的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：A、，故原式不是最简分式，不符合题意； B、，故原式不是最简分式，不符合题意； C、，故原式不是最简分式，不符合题意； D、无法化简，是最简分式，故符合题意； 故选：D． 7．（24-25七年级上·上海青浦·阶段练习）下列各式中是最简分式的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：，，， 只有不能约分，它是最简分式； 故选：A． 8．（24-25七年级上·上海·期中）下列代数式，，，，中，最简分式的个数有（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 【详解】解：， ， ， 和，都不能化简，所以是最简分式，共2个． 故选：B． 9．（24-25七年级上·上海普陀·阶段练习）小陈同学计算了四个分式，其中有一个结果忘记约分了，是下面的（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：，，都是最简分式，不符合题意； ， 故选：D． 10．（24-25七年级上·上海·期中）化简： ， 【答案】 【详解】解：， ， 故答案为：，． 易错点3：分式运算类易错点 （1）约分与通分失误（2）分式加减法符号出错（3）乘除及混合运算顺序混乱 11．（24-25七年级上·上海虹口·阶段练习）计算：． 【详解】解： ． 12．（25-26七年级上·上海·期中）计算： 【详解】解： ． 13．（24-25七年级上·上海普陀·阶段练习）计算：． 【详解】解： ． 14．（25-26七年级上·上海·期中）计算： 【详解】解：根据题意且，即且， 原式 （其中且）． 15．（24-25七年级上·上海·阶段练习）计算： 【详解】解： 16．（24-25七年级上·上海虹口·阶段练习）化简： 【详解】解： ． 17．（24-25七年级上·上海·阶段练习）计算： 【详解】解： ． 18．计算： 【详解】解： ． 19．（25-26七年级上·上海·期中）先化简，再求值：，其中． 【详解】解：原式 ， ， 原式． 20．（25-26七年级上·上海·期中）下面是小明同学在作业计算的过程，请仔细阅读后解答下列问题： 小明的作业     第一步    第二步     第三步    第四步 (1)小明的作业是从第___________步开始出现错误的，错误的原因是___________； (2)已知，求的值． 【详解】（1）解：根据题意，得第二步出现错误，漏了分母， 故答案为：二；漏掉了分母． （2）解：                 ， 由 得 故原式． 易错点4：分式方程类易错点 （1）忘记验根（2）分式方程应用中列错式子 21．（24-25七年级上·上海·阶段练习）解方程： 【详解】解：， 原方程化为：， 去分母，得：， 解得：， 检验：当时，，是增根， ∴原方程无解． 22．（24-25七年级上·上海·阶段练习）解方程：． 【详解】解： 去分母得： 去括号得：， 移项合并同类项得：， 解得： 检验：当时，， 故是原分式方程的解． 23．（24-25七年级上·上海青浦·阶段练习）解方程：． 【详解】解：， 去分母得， 去括号得， 解得， 检验：把代入所以为增根， 所以原方程无解． 24．（24-25七年级上·上海闵行·阶段练习）解方程； 【详解】解： 方程两边同乘得：， 去括号，得：， 移项，合并得：， 系数化1，得：， 经检验是原方程得根； ∴方程的解为：． 25．解方程：． 【答案】 【详解】解：， ， 方程两边都乘以， 得：， 去括号得：， 移项得：， 合并同类项得：， 系数化为1得：， 经检验，是分式方程的解， 原方程的解是． 26．（25-26七年级上·上海·期中）解分式方程： (1) (2) 【详解】（1）解：， ， 解这个整式方程得：， 检验：当 时，分母，原方程无意义 ∴ 是增根，原方程无解 （2）解： ， ， 解得，， 检验：当时，，，原方程有意义 ∴是原方程的根 27．（25-26七年级上·上海浦东新·期中）小明乘出租车去体育场，有两条路线可供选择：路线一的全程是20千米，但交通比较拥堵；路线二的全程是27千米，平均车速比走路线一的平均车速能提高，因此比走路线一少用10分钟到达．求路线一的平均车速． 【详解】解：设路线一的平均车速为千米/小时， 则路线二的平均车速为千米/小时， 依题意，， ∴， ∴， 解得， 经检验：当时，， 故是原分式方程的解． ∴路线一的平均车速是千米/小时 28．（24-25七年级上·上海·阶段练习）某工程队承接了60万平方米的荒山绿化任务，为了迎接雨季的到来，实际工作时每天的工作效率比原计划提高了，结果提前30天完成了这一任务，求实际工作时每天绿化的面积． 【详解】解：设原计划工作时每天绿化的面积为x万平方米，则实际每天绿化的面积为万平方米， 根据题意得：， 解得， 经检验是原方程的解，且符合题意， 实际每天绿化的面积为， 答：实际每天绿化的面积为0.5万平方米． 29．（24-25七年级上·上海青浦·阶段练习）某工人原计划在规定时间内加工1500个零件，在加工了1小时后，改进了操作方法，工作效率提升到原来的两倍．因此加工完成后，比预定的时间提前了2个小时．求原计划每小时加工多少个零件？ 【详解】解：设原计划每小时加工x个零件，则改进了操作方法后每小时加工个零件， 根据题意得：， 解得：， 经检验，是原方程的解，且符合题意， 答：原计划每小时加工300个零件． 30．（24-25七年级上·上海·阶段练习）甲乙两车从A地前往相距120千米的B地，甲车的速度是乙车的倍，乙车比甲车早出发1小时，乙车到达B地20分钟后甲车才到，求甲乙两车各自的速度． 【详解】解：设乙车的速度为，则甲车的速度为， 由题意得，， 解得， 经检验，是原方程的解，且符合题意， ∴， ∴，． 答：乙车的速度为，甲车的速度为． 一、单选题 1．（24-25七年级上·上海闵行·期末）下列分式中最简分式是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查最简分式的定义，利用最简分式的意义：一个分式的分子与分母没有非零次的公因式时（即分子与分母互素）叫最简分式最简分式；由此逐一分析探讨得出答案即可． 【详解】解：A、分子、分母不含有公因式，所以是最简分式，符合题意； B、分子、分母含有公因式，所以不是最简分式，不符合题意； C、∵，所以，分子、分母含有公因式，所以不是最简分式，不符合题意； D、∵，所以，分子、分母含有公因式，所以不是最简分式，不符合题意． 故选：A． 2．（24-25七年级上·上海静安·期末） 是下列哪个分式方程的根？（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了分式方程的根和解法，掌握以上知识是解题的关键； 解分式方程步骤去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为，注意分式方程最后要写检验，分式方程分母不为，根据分式方程的定义对各选项进行逐一分析即可求解 【详解】解：A、，当时，分母为，错误； B、，是该分式方程的根，正确； C、，该分式方程根为，错误； D、，当时，分母为，错误； 故选：B 3．（24-25七年级上·上海松江·期末）如果使分式有意义的和的值都扩大为原来的2倍，则分式的值也扩大为原来的2倍，那么整式可以是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了分式的基本性质，熟练掌握分式的基本性质是解题的关键．利用分式的基本性质逐项判断即可． 【详解】解：当表示时，，它的值与原分式的值相等，故A不符合题意； 当表示时，，它的值是原分式的值的相等，故B不符合题意； 当表示时，，它的值是原分式的值的2倍，故C符合题意； 当表示时，，它的值是原分式的值的8倍，故D不符合题意； 故选：C． 4．（24-25七年级上·上海普陀·期末）现有一杯浓度为的食盐水500g，要将食盐水浓度提升到，需要加入多少克食盐？如果设要加入克食盐，那么根据题意可列出的方程是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了由实际问题抽象出分式方程．根据溶质质量÷溶液质量=浓度，列出分式方程即可． 【详解】解：由题意得：， 故选：D． 5．（24-25七年级上·上海·阶段练习）已知x是整数，且 为整数，则所有符合条件的x的值的和为（        ） A．12 B．15 C．18 D．20 【答案】A 【分析】本题考查了分式的加法运算；先把分式通分化简得，根据分母为2的因数即可求得x的值，再把所有这些值相加即可． 【详解】解： ； 由于x为整数，且原式为整数， 所以或， 解得：或2或5或1， ∴， 故选：A． 6．（25-26七年级上·上海浦东新·期中）关于x的分式方程会产生增根，则m的值为（   ） A． B．6或 C．或4 D．6 【答案】B 【分析】本题主要考查分式方程的解法，熟练掌握分式方程的解法是解题的关键；分式方程产生增根时，增根为使分母为零的值，即或，代入去分母后的整式方程求解m即可． 【详解】解：方程两边同乘公分母，得： ， 化简得：， ∵增根为或， 当时，代入得：，解得； 当时，代入得：，解得； ∴m的值为6或； 故选B． 二、填空题 7．（24-25七年级上·上海徐汇·期末）当x 时，分式有意义． 【答案】 【分析】本题考查了分式有意义的条件，关键是掌握分式有意义的条件为分母不等于0．根据分式有意义的条件解得即可． 【详解】解：根据题意，当分式有意义时，， 解得x， 故答案为：， 8．（24-25七年级上·上海闵行·期末）将表示成只含正整数指数幂的形式是 ． 【答案】 【分析】本题考查了负整数指数幂，根据负整数指数幂的运算法则计算即可． 【详解】解： 故答案为：． 9．（24-25七年级上·上海普陀·期末）将分式表示成不含分母的形式为 ． 【答案】 【分析】本题考查负整数指数幂．根据负整数指数幂的计算方法进行计算即可． 【详解】解： ， 故答案为：． 10．（24-25七年级上·上海徐汇·期末）已知，则 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了分式的值，解题关键是熟练掌握如何利用求分式倒数的方法求出分式的值，先根据已知条件，求出的值，从而求出，再求出，最后求出的值，从而求出答案即可． 【详解】解：∵， ∴， ， ， ∴， ， ， ∵ ， ∴， 故答案为：． 11．（24-25七年级上·上海青浦·期末）若关于的分式方程有增根，则的值是 ． 【答案】 【分析】本题考查了解分式方程，分式方程的增根，去分母，化分式方程为整式方程，由分式方程产生增根， 可知，然后把代入整式方程即可求得a的值． 【详解】解∶分式方程去分母，得， ∵分式方程有增根， ∴， ∴， 把代入，得， 解得， 故答案为：． 12．（24-25七年级上·上海·期末）已知关于的方程的解不小于1，那么的取值范围是 ． 【答案】且 【分析】本题考查分式方程的解，先解分式方程可得，由题意得，再由，得，求出m的取值范围即可． 【详解】解：， 去分母得， ， 解得， ∵方程的解不小于1， ∴， 解得，， ∵， ∴， ∴，即， ∴m的取值范围为：且， 故答案为：且． 13．（24-25七年级上·上海杨浦·期末）若关于的方程无解，则的值为 ． 【答案】或 【分析】本题考查了分式方程无解的问题，分式方程无解分为分式方程有增根、化简后的整式方程无解两种情况，据此即可求解． 【详解】解： 方程两边同时乘以得：， 解得：， 关于的方程无解， 或， ，， 当时，， 解得：， 综上所述：的值为或， 故答案为：或． 14．（24-25七年级上·上海·期末）对于代数式m和n，定义运算“”：，例如：，若，则 ． 【答案】 【分析】本题考查了新定义运算，分式的加减运算，正确理解新定义运算的方法是解题的关键．根据新定义运算，求得，再计算得，即得方程组，即得答案． 【详解】， ， ， ． 故答案为：． 15．（24-25七年级上·上海闵行·期末）在学校组织的一次汉字打字比赛中，“阳光”中队的小聪输入1000个字的时间比小明输入1200字的时间少2分钟，小聪与小明平均每分钟打字个数之比是，设小聪平均每分钟打字为个，根据题意可列方程是 ． 【答案】 【分析】本题考查了列分式方程，找准等量关系，正确建立方程是解题关键．先求出小明平均每分钟打字为个，再根据小聪输入1000个字的时间比小明输入1200字的时间少2分钟建立方程即可得． 【详解】解：由题意得：小明平均每分钟打字为个， 则可列方程是， 故答案为：． 16．（24-25七年级上·上海宝山·期末）通过教材中分式单元的的阅读材料，我们知道了一个分式可以写成几个分式的和， 如：． 观察下列解方程的过程：． ． ． ． 在上述的解方程过程中，应用了，使解方程的过程变得简捷． 类似的，解方程， 这个方程的解是 ． 【答案】 【分析】本题考查解分式方程，根据题目提供的方法解方程即可． 【详解】解：， ， ， 解得：， 经检验是原方程的解， 故答案为：． 17．（23-24七年级上·上海松江·期末）我们知道假分数可以化成整数或者整数与真分数的和的形式．如果一个分式的分子的次数大于或等于分母的次数，那么这个分式可以化成一个整式或整式与“真分式”的和的形式．（我们规定：分子的次数低于分母的次数的分式称为“真分式”）． 如；又如：．若可以写成一个整式与“真分式”的和的形式，则a＋b = ． 【答案】 【分析】由真分式的定义得的结果是整式，对此进行化简得，要使其为整式、需满足的条件，即可求解． 【详解】解：由题意得 是整式， ，， ； 故答案：． 三、解答题 18．（24-25七年级上·上海宝山·期末）计算：． 【答案】 【分析】本题考查分式的混合运算，原式括号中两项通分，然后把除法转化为乘法，约分即可得到结果． 【详解】解： ． 19．（24-25七年级上·上海杨浦·期末）解方程： 【答案】 【分析】本题考查了解分式方程，解题的关键是掌握分式方程的解法．根据去分母、去括号、合并同类项、化系数为1，即可求解． 【详解】解： 经检验，是原方程的解， ． 20．（24-25七年级上·上海杨浦·期末）计算：（结果不含负整数指数幂） 【答案】 【分析】本题主要考查了负整数指数幂，分式的混合计算，先把负整数指数幂化为分式的形式，再根据分式的混合计算法则求解即可． 【详解】解： ． 21．（24-25七年级上·上海徐汇·期末）计算：． 【答案】． 【分析】本题考查了分式的乘除法，分式的乘方，负整数指数幂，先根据负整数指数幂，分式的乘方法则进行运算，然后由分式的乘除法即可求解，掌握相关运算法则是解题的关键． 【详解】解：原式 ． 22．（24-25七年级上·上海·期末）先化简代数式，然后在、0、1、2、3中选取一个使原式有意义的x的值代入求值． 【答案】；4 【分析】本题考查了分式的化简与求值，熟练掌握分式的运算法则是解题的关键．先根据分式的混合运算法则化简，再根据分式有意义的条件确定出符合题意的x的值，最后代入求值即可． 【详解】解： ， 由题意得，， 代入，原式． 23．（24-25七年级上·上海松江·期末）我们规定符号的意义是：．先化简，后求值：，其中． 【答案】， 【分析】本题考查新定义，分式的化简求值，根据负整数指数幂的意义，把问题转化为分式的化简求值．解题的关键是理解新定义，掌握分式的运算法则． 【详解】解： ， 当时，原式． 24．（24-25七年级上·上海松江·期末）水果店第一次用500元购进某种苹果，由于销售状况良好，该店又用1650元购进该品种苹果，所购数量是第一次购进数量的3倍，但进货价比第一次每千克多了0.5元． (1)第一次所购苹果的进货价是每千克多少元？ (2)水果店以每千克8元的售价销售这些苹果，问该水果店售完这些苹果共可获利多少元？ 【答案】(1)5元 (2)1050元 【分析】本题考查了分式方程的应用以及有理数的混合运算，找准等量关系，正确列出分式方程是解题的关键． （1）设第一次所购苹果的进货价是每千克x元，则第二次所购苹果的进货价是每千克元，利用进货数量=进货总价÷进货单价，结合第二次所购数量是第一次购进数量的3倍，可列出关于x的分式方程，解之经检验后，即可得出结论； （2）利用进货数量=进货总价÷进货单价，可求出第一次所购苹果的数量，结合第二次所购数量是第一次购进数量的3倍，可求出第二次所购苹果的数量，再利用销售总利润=销售单价×两次所购苹果的数量之和-两次所购苹果的进货总价，即可求出结论． 【详解】（1）解：设第一次所购苹果的进货价是每千克x元， 第二次所购苹果的进货价是每千克元， 根据题意，列方程得： 解得， 经检验：是方程的解，且符合实际． 答：第一次所购苹果的进货价是每千克5元． （2）解：第一次数量：千克；第二次数量：300千克 总获利：元 答：该水果店售完这些苹果共可获利1050元． 25．（24-25七年级上·上海宝山·期末）腊八节喝腊八粥是中华民族的传统习俗．市场上玫瑰味腊八粥每罐的进价比原味腊八粥每罐的进价多5元，某商家用4000元购进玫瑰味腊八粥的罐数与3000元购进的原味腊八粥的罐数相同． (1)玫瑰味腊八粥和原味腊八粥每罐的进价分别是多少元？ (2)在两种口味腊八粥销售中，该商家都增加了进价的20%作为售价，最后两种口味的腊八粥全部售完，那么商家总共盈利多少元？ 【答案】(1)玫瑰味腊八粥每罐的进价是元，原味腊八粥每罐的进价是元 (2)商家总共盈利元 【分析】本题主要考查了分式方程的应用，找准等量关系，正确列出分式方程是解题的关键． （1）设玫瑰味腊八粥每罐的进价是元，则原味腊八粥每罐的进价是元，根据商家用元购进玫瑰味腊八粥的罐数与元购进的原味腊点八粥的罐数相同，列出分式方程，解方程即可； （2）求出购进玫瑰味腊八粥的数量原味腊八粥的数量灌，再根据该商家都增加了进价的作为售价，列式计算即可． 【详解】（1）解：设玫瑰味腊八粥每罐的进价是元，则原味腊八粥每罐的进价是元， 由题意得：， 解得：， 经检验，是原方程的解，且符合题意， ， 答：玫瑰味腊八粥每罐的进价是元，原味腊八粥每罐的进价是元； （2）解：由（1）可知，购进玫瑰味腊八粥的数量原味腊八粥的数量：(罐)， ∴商家总共盈利： (元) 答：商家总共盈利元． 26．（24-25七年级上·上海普陀·期末）小普在化简一个分式的时候，书写过程如下：        ①        ②        ③ (1)小普在检查时发现，这道题解错了．现请你指出：小普从第_____步开始出现错误；（填入表示解题步骤的序号①②③即可） (2)小普对这道题进行了探究，发现虽然自己的解题过程出现了错误，但当，时，按照上述错误的化简方法所求得的值与的值相等，他将满足这一情况的数对，称为“巧数对”，小普发现，这样的“巧数对”不止一对，请再写出一对“巧数对”：_____，______． (3)小普与同学一起运用所学的数学知识对“巧数对”进行进一步探究，找到了确定“巧数对”的方法．请写出确定“巧数对”的方法，并说明理由． 【答案】(1)① (2)，2（答案不唯一） (3)当，或时，可以找到“巧数对”． 【分析】本题考查了约分，解决本题的关键是将分式进行化简． （1）根据立方差公式，可以发现小普从第①步开始出现错误； （2）只要符合即可，a、b的值不止一组，比如，； （3）将化简，可得，化简得，即或，即当，或时，可以找到“巧数对”． 【详解】（1）解：因为， 所以小普从第①步开始出现错误． 故答案为：①； （2）解：将，代入可得： ， ， 即， 所以，． 故答案为：，2．（答案不唯一） （3）解：∵， 即， 即， 得， ， 即或， 得或， 即当，或时，可以找到“巧数对”． 27．（24-25七年级上·上海·期末）如果两个分式P与Q的差为常数k，且k是整数．则称P是Q的“差整分式”，常数k称为“差整值”．例如：分式，，所以，则P是Q的“差整分式”，“差整值”． (1)已知分式，，判断A是不是B的“差整分式”；若不是，请说明理由；若是，请求出“差整值”； (2)已知分式，，C是D的“差整分式”，且“差整值”．若x为整数，则分式D的值为正整数a． ①求M所代表的代数式； ②求x的值； (3)在（2）的条件下，已知分式，，若关于y的方程无解，求实数m的值． 【答案】(1)A是B的“差整分式”，“差整值”为3 (2)①；② (3)1或4 【分析】本题考查了新定义运算、分式的加减、分式方程的无解问题，熟练掌握以上知识点，根据新定义运算法则按要求计算是解题的关键． （1）先计算，根据计算结果即可解答； （2）①由题意得，，代入式子再化简即可得出M所代表的代数式；②由，结合分式D的值为正整数，且x为整数，得出，即可解答； （3）由题意得，，可得，整理得，由方程无解，可得或者方程有增根，再分别求解即可． 【详解】（1）解：， 是B的“差整分式”，“差整值”为3． （2）解：①C是D的“差整分式”，且“差整值” ， ， 解得：； ②， 分式D的值为正整数，且x为整数 ， ． （3）解：由（2）得，， ， ， 整理得：， 当时，整式方程无解，符合题意； 当时，， 方程无解， （无解，舍去）或， 解得：， 综上所述，实数m的值为1或4． 28．（24-25七年级上·上海杨浦·期末）阅读材料：我们知道，分子比分母小的分数叫做“真分数”：分子比分母大，或者分子、分母同样大的分数，叫做“假分数”．类似的，我们定义：在分式中，对于只含有一个字母的分式，当分子的次数大于或等于分母的次数时，我们称之为“假分式”；当分子的次数小于分母的次数时，我们称之为“真分式”．例如：、这样的分式就是假分式；如：、这样的分式就是真分式，假分数可以化成（即）带分数的形式，类似的；假分式也可以化为带分式（即整式与真分式相加）． 如：；． 根据上面材料回答下列问题： (1)分式是______；（填“真分式”或“假分式”） (2)假分式可化为带分式形式______；如果分式的值为整数，则满足条件的整数x是______； (3)将假分式化为带分式． 【答案】(1)真分式 (2)；或或或； (3) 【分析】本题主要考查了分式的约分： （1）根据当分子的次数小于分母的次数时，我们称之为“真分式”，假分式化为带分式的方法，即可求解； （2）仿照题意可得，则是整数，据此可得或，解之即可得到答案； （3）把原式先变形为，再仿照题意进行求解即可． 【详解】（1）解：由题意得，分式是真分式； （2）解：； ∵的值是整数， ∴是整数， ∴是整数， ∴或， ∴或或或； （3）解： ． 1 / 6 学科网（北京）股份有限公司 $ 第13章 分式 一、分式的认识 1.分式的定义：一般地，对于两个整式A、B（B是非零整式），A÷B可以表示为的形式，叫作分式，也称为有理式，其中A称为分子，B称为分母。本章主要讨论分母中含有字母的分式. 2.分式有、无意义和分式的值为零的条件 （1）分式有意义的条件： （2）分式无意义的条件： （3）分式的值为零的条件： 3.分式值为正和为负的条件 （1）分式的值为正数的条件：分式的分子与分母同号，即或 （2）分式的值为负数的条件：分式的分子与分母异号号，即或 二、分式的基本性质 1.分式的基本性质：分式的分子与分母 ，分式的值 。 用式子表示是： （为整式且） 2.约分 （1）约分的定义： 把一个分式的分子和分母中的 约去的过程，叫作约分。 （2） 最简分式的定义：这样的分式叫作最 简式. 约分可以化简分式．如果分式的分子和分母是几个因式的积的形式，可约去相同因式．有时，需要先对分子、分母因式分解，再约分．分式的约分一般要使结果成为 . （3）约分的方法： 当分式的分子和分母都是单项式时，先找出分子与分母的最大公因式，然后将分子和分母的最大公因式约去。 当分式的分子与分母是多项式时，应先把多项式分解因式，然后约去分子和分母的公因式。 3.分式的变号法则：分式的分子、分母及分式本身的符号改变其中任意两个，分式的值不变。 即： 三、分式的运算 1.分式的乘法法则 （1）分式的乘法法则：两个分式相乘，把 作为积的分子，把 作为积的分母。 即：。 （2）分式乘法运算的技巧： 两个分式相乘，如果分子分母都是单项式，可以直接利用分式的乘法法则进行计算，计算结果要通过约分化为最简分式或整式。 如果分子分母都是多项式，那么先对分子分母进行分解因式，然后运用分式的乘法法则进行计算，计算结果要通过约分化为最简分式或整式。 2.分式的除法法则 （1）分式的除法法则：两个分式相除，把除式的 后再与被除式相乘。 即：。 （2）分式除法运算的技巧： 两个分式相除，如果分子分母都是单项式，可以直接利用分式的除法法则进行计算，计算结果要通过约分化为最简分式或整式。 如果分子分母都是多项式，那么先对分子分母进行分解因式，然后运用分式的除法法则进行计算，计算结果要通过约分化为最简分式或整式。 3.同分母分式的加减法法则： 同分母分式相加减， 不变，把 相加减，即； 特别提醒： （1）分子相加减时，如果 ，一定要给 加上括号。 （2）分式加减运算的结果，必须化成 4.通分 Ⅰ通分的定义：根据分式的基本性质， 可以化为同分母的分式，这一过程称为分式的通分。 Ⅱ确定最简公分母的步骤： （1）把多项式的分母能分解因式的要先分解因式； （2）取各分母系数的最小公倍数； （3）凡出现的字母或含有字母的式子为底的幂的因式都要取； （4）相同字母或含有字母的式子的幂的因式取指数最高的。 按上述步骤取的因式的积，即为最简公分母。 Ⅲ通分的步骤： （1）确定最简公分母； （2）在确定公分母后，还要确定各分式的分子、分母应乘以的因式，这个因式就是最简公分母除以原分母的商。 5.异分母分式的加减法 异分母分式相加减，先 化为 的分式，然后按同分母分式的加减法法则进行计算。 6.分式的四则混合运算 分式的加、减、乘、除、乘方混合运算，要先算乘方，再乘除，最后算加减，如果有括号就先算括号里的。 四、整数指数幂 1、 零指数：； 2、负整数指数幂：； 五、分式方程 一.定义： 中含有 的方程叫分式方程。 二．解分式方程的步骤： （1）去分母，即在方程两边同时乘以最简公分母，把原方程化为整式方程； （2）解这个整式方程； （3）验根：把整式方程的根代入最简公分母中，使最简公分母不等于的根是原方程的根，否则，便是增根，必须舍去。 三．增根和无解问题 1. 把整式方程的根代入最简公分母中，使最简公分母等于的根是原方程的增根。 2. 方程无解问题：一是方程解出来，不存在，二是解出来的是增根。 四．列方程解应用题的一般步骤： 1、 审题：就是弄清题意，弄明白哪些量是已知的，哪些量是未知的，要求的量是什么。 2、 设未知数：在题目中一般设欲求的量为x，这种设法叫直接设未知数；有时为了列方程简便，也常常设其他的量为x，这种设法叫间接设未知数法。 3、 列方程：根据题目的实际意义找出等量关系，并把这个等量关系用已知数与未知数表示出来，这就是列方程。 4、 解方程并求出未知数的值，分式方程一定验根。 检验：这里的检验有两重含义，一是检验解方程是否正确，二是检验所解出的根是否符合题意。 易错点1：忽略分式有意义及值为 0 的条件 1．（24-25七年级上·上海·阶段练习）使分式有意义的x的取值范围是（   ） A． B． C． D． 2．（24-25七年级上·上海青浦·阶段练习）当x 时，分式有意义． 3．（24-25七年级上·上海·阶段练习）当 时，分式的值为0． 4．（25-26七年级上·上海·期中）当 时，分式的值为0． 易错点2：分式基本性质类易错点 （1）错误运用性质变形（2）分子分母扩缩倍数判断错误 5．（24-25七年级上·上海浦东新·阶段练习）对于分式，当、都扩大到原来的倍时，分式的值（   ） A．不变 B．扩大到原来的3倍 C．扩大到原来的9倍 D．不能确定 6．（24-25七年级上·上海闵行·阶段练习）下列分式中，是最简分式的是（   ） A． B． C． D． 7．（24-25七年级上·上海青浦·阶段练习）下列各式中是最简分式的是（   ） A． B． C． D． 8．（24-25七年级上·上海·期中）下列代数式，，，，中，最简分式的个数有（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 9．（24-25七年级上·上海普陀·阶段练习）小陈同学计算了四个分式，其中有一个结果忘记约分了，是下面的（    ） A． B． C． D． 10．（24-25七年级上·上海·期中）化简： ， 易错点3：分式运算类易错点 （1）约分与通分失误（2）分式加减法符号出错（3）乘除及混合运算顺序混乱 11．（24-25七年级上·上海虹口·阶段练习）计算：． 12．（25-26七年级上·上海·期中）计算： 13．（24-25七年级上·上海普陀·阶段练习）计算：． 14．（25-26七年级上·上海·期中）计算： 15．（24-25七年级上·上海·阶段练习）计算： 16．（24-25七年级上·上海虹口·阶段练习）化简： 17．（24-25七年级上·上海·阶段练习）计算： 18．计算： 19．（25-26七年级上·上海·期中）先化简，再求值：，其中． 20．（25-26七年级上·上海·期中）下面是小明同学在作业计算的过程，请仔细阅读后解答下列问题： 小明的作业     第一步    第二步     第三步    第四步 (1)小明的作业是从第___________步开始出现错误的，错误的原因是___________； (2)已知，求的值． 易错点4：分式方程类易错点 （1）忘记验根（2）分式方程应用中列错式子 21．（24-25七年级上·上海·阶段练习）解方程： 22．（24-25七年级上·上海·阶段练习）解方程：． 23．（24-25七年级上·上海青浦·阶段练习）解方程：． 24．（24-25七年级上·上海闵行·阶段练习）解方程； 25．解方程：． 26．（25-26七年级上·上海·期中）解分式方程： (1) (2) 27．（25-26七年级上·上海浦东新·期中）小明乘出租车去体育场，有两条路线可供选择：路线一的全程是20千米，但交通比较拥堵；路线二的全程是27千米，平均车速比走路线一的平均车速能提高，因此比走路线一少用10分钟到达．求路线一的平均车速． 28．（24-25七年级上·上海·阶段练习）某工程队承接了60万平方米的荒山绿化任务，为了迎接雨季的到来，实际工作时每天的工作效率比原计划提高了，结果提前30天完成了这一任务，求实际工作时每天绿化的面积． 29．（24-25七年级上·上海青浦·阶段练习）某工人原计划在规定时间内加工1500个零件，在加工了1小时后，改进了操作方法，工作效率提升到原来的两倍．因此加工完成后，比预定的时间提前了2个小时．求原计划每小时加工多少个零件？ 30．（24-25七年级上·上海·阶段练习）甲乙两车从A地前往相距120千米的B地，甲车的速度是乙车的倍，乙车比甲车早出发1小时，乙车到达B地20分钟后甲车才到，求甲乙两车各自的速度． 一、单选题 1．（24-25七年级上·上海闵行·期末）下列分式中最简分式是（    ） A． B． C． D． 2．（24-25七年级上·上海静安·期末） 是下列哪个分式方程的根？（　　） A． B． C． D． 3．（24-25七年级上·上海松江·期末）如果使分式有意义的和的值都扩大为原来的2倍，则分式的值也扩大为原来的2倍，那么整式可以是（   ） A． B． C． D． 4．（24-25七年级上·上海普陀·期末）现有一杯浓度为的食盐水500g，要将食盐水浓度提升到，需要加入多少克食盐？如果设要加入克食盐，那么根据题意可列出的方程是（    ） A． B． C． D． 5．（24-25七年级上·上海·阶段练习）已知x是整数，且 为整数，则所有符合条件的x的值的和为（        ） A．12 B．15 C．18 D．20 6．（25-26七年级上·上海浦东新·期中）关于x的分式方程会产生增根，则m的值为（   ） A． B．6或 C．或4 D．6 二、填空题 7．（24-25七年级上·上海徐汇·期末）当x 时，分式有意义． 8．（24-25七年级上·上海闵行·期末）将表示成只含正整数指数幂的形式是 ． 9．（24-25七年级上·上海普陀·期末）将分式表示成不含分母的形式为 ． 10．（24-25七年级上·上海徐汇·期末）已知，则 ． 11．（24-25七年级上·上海青浦·期末）若关于的分式方程有增根，则的值是 ． 12．（24-25七年级上·上海·期末）已知关于的方程的解不小于1，那么的取值范围是 ． 13．（24-25七年级上·上海杨浦·期末）若关于的方程无解，则的值为 ． 14．（24-25七年级上·上海·期末）对于代数式m和n，定义运算“”：，例如：，若，则 ． 15．（24-25七年级上·上海闵行·期末）在学校组织的一次汉字打字比赛中，“阳光”中队的小聪输入1000个字的时间比小明输入1200字的时间少2分钟，小聪与小明平均每分钟打字个数之比是，设小聪平均每分钟打字为个，根据题意可列方程是 ． 16．（24-25七年级上·上海宝山·期末）通过教材中分式单元的的阅读材料，我们知道了一个分式可以写成几个分式的和， 如：． 观察下列解方程的过程：． ． ． ． 在上述的解方程过程中，应用了，使解方程的过程变得简捷． 类似的，解方程， 这个方程的解是 ． 17．（23-24七年级上·上海松江·期末）我们知道假分数可以化成整数或者整数与真分数的和的形式．如果一个分式的分子的次数大于或等于分母的次数，那么这个分式可以化成一个整式或整式与“真分式”的和的形式．（我们规定：分子的次数低于分母的次数的分式称为“真分式”）． 如；又如：．若可以写成一个整式与“真分式”的和的形式，则a＋b = ． 三、解答题 18．（24-25七年级上·上海宝山·期末）计算：． 19．（24-25七年级上·上海杨浦·期末）解方程： 20．（24-25七年级上·上海杨浦·期末）计算：（结果不含负整数指数幂） 21．（24-25七年级上·上海徐汇·期末）计算：． 22．（24-25七年级上·上海·期末）先化简代数式，然后在、0、1、2、3中选取一个使原式有意义的x的值代入求值． 23．（24-25七年级上·上海松江·期末）我们规定符号的意义是：．先化简，后求值：，其中． 24．（24-25七年级上·上海松江·期末）水果店第一次用500元购进某种苹果，由于销售状况良好，该店又用1650元购进该品种苹果，所购数量是第一次购进数量的3倍，但进货价比第一次每千克多了0.5元． (1)第一次所购苹果的进货价是每千克多少元？ (2)水果店以每千克8元的售价销售这些苹果，问该水果店售完这些苹果共可获利多少元？ 25．（24-25七年级上·上海宝山·期末）腊八节喝腊八粥是中华民族的传统习俗．市场上玫瑰味腊八粥每罐的进价比原味腊八粥每罐的进价多5元，某商家用4000元购进玫瑰味腊八粥的罐数与3000元购进的原味腊八粥的罐数相同． (1)玫瑰味腊八粥和原味腊八粥每罐的进价分别是多少元？ (2)在两种口味腊八粥销售中，该商家都增加了进价的20%作为售价，最后两种口味的腊八粥全部售完，那么商家总共盈利多少元？ 26．（24-25七年级上·上海普陀·期末）小普在化简一个分式的时候，书写过程如下：        ①        ②        ③ (1)小普在检查时发现，这道题解错了．现请你指出：小普从第_____步开始出现错误；（填入表示解题步骤的序号①②③即可） (2)小普对这道题进行了探究，发现虽然自己的解题过程出现了错误，但当，时，按照上述错误的化简方法所求得的值与的值相等，他将满足这一情况的数对，称为“巧数对”，小普发现，这样的“巧数对”不止一对，请再写出一对“巧数对”：_____，______． (3)小普与同学一起运用所学的数学知识对“巧数对”进行进一步探究，找到了确定“巧数对”的方法．请写出确定“巧数对”的方法，并说明理由． 27．（24-25七年级上·上海·期末）如果两个分式P与Q的差为常数k，且k是整数．则称P是Q的“差整分式”，常数k称为“差整值”．例如：分式，，所以，则P是Q的“差整分式”，“差整值”． (1)已知分式，，判断A是不是B的“差整分式”；若不是，请说明理由；若是，请求出“差整值”； (2)已知分式，，C是D的“差整分式”，且“差整值”．若x为整数，则分式D的值为正整数a． ①求M所代表的代数式； ②求x的值； (3)在（2）的条件下，已知分式，，若关于y的方程无解，求实数m的值． 28．（24-25七年级上·上海杨浦·期末）阅读材料：我们知道，分子比分母小的分数叫做“真分数”：分子比分母大，或者分子、分母同样大的分数，叫做“假分数”．类似的，我们定义：在分式中，对于只含有一个字母的分式，当分子的次数大于或等于分母的次数时，我们称之为“假分式”；当分子的次数小于分母的次数时，我们称之为“真分式”．例如：、这样的分式就是假分式；如：、这样的分式就是真分式，假分数可以化成（即）带分数的形式，类似的；假分式也可以化为带分式（即整式与真分式相加）． 如：；． 根据上面材料回答下列问题： (1)分式是______；（填“真分式”或“假分式”） (2)假分式可化为带分式形式______；如果分式的值为整数，则满足条件的整数x是______； (3)将假分式化为带分式． 1 / 6 学科网（北京）股份有限公司 $