专题07 分式方程的实际应用6大题型（压轴题专项训练）数学沪教版五四制2024七年级上册

专题07分式方程的实际应用 目录 典例详解 类型一、行程问题 类型二、工程问题 类型三、销售盈亏问题 类型四、电水费问题 类型五、配套问题 类型六、其他问题 压轴专练 类型一、行程问题 解行程问题，核心是抓“路程=速度×时间”公式。 先审题画线段图，标注路程、速度、时间未知量；再判断运动类型（相遇、追击、往返等），明确路程关系（和差、倍数）；最后根据等量关系列方程，注意单位统一，遇往返、分段运动需分类讨论，验证结果是否符合实际场景。 【例1】举世瞩目的港珠澳大桥于年月日建成通车，这对促进我国三地经济发展具有十分重要的战略意义，今后，香港、澳门、珠海三地之间的时空距离将大大缩短，大桥建成前，驾车从香港特别行政区到珠海某地路程为千米，大桥建成后，两地路程缩短为原来的一半，平均速度也比原来快千米/小时，这样，相同的两地行驶时间只需原来的，求港珠澳大桥建成前驾车行驶的平均速度？ 【答案】千米/小时 【详解】解：设港珠澳大桥建成前驾车行驶的平均速度是千米/小时， 根据题意得：， 解得，， 经检验， 是原方程的解且符合题意． 答：港珠澳大桥建成前驾车行驶的平均速度是千米/小时． 【例2】两地相距千米，一辆公共汽车从地出发开往地，小时后，又从地开来一辆小汽车，小汽车的速度是公共汽车的倍．结果小汽车比公共汽车早分钟到达地，求两种车的速度． 【答案】公共汽车的速度为千米/小时，小汽车的速度为千米/小时 【详解】解：设公共汽车的速度为千米/小时，则小汽车的速度为千米/小时， 由题意得，， 解得， 经检验，是原方程的解，且符合题意， ∴， 答：公共汽车的速度为千米/小时，小汽车的速度为千米/小时． 【变式1-1】甲、乙两名同学的家与某科技馆的距离均为．甲、乙两人同时从家出发去科技馆，甲同学先匀速步行，然后乘公交车（匀速），乙同学骑自行车（匀速）．已知乙同学骑自行车的速度是甲同学步行速度的4倍，公交车的速度是乙同学骑自行车速度的2倍，结果甲同学比乙同学晚到．乙同学到达科技馆时，甲同学离科技馆还有 m． 【答案】1600 【详解】设甲同学步行的速度为，则乙同学骑自行车的速度为，公交车的速度是．根据题意，得 ， 解得． 经检验，是所列分式方程的根，且符合题意． 所以． 故乙同学到达科技馆时，甲同学离科技馆还有． 故答案为：1600 【变式1-2】北极航道的打通为中国和欧洲海运开辟了新航线，北极航线的里程相比传统走巴拿马运河航线大大缩短，节省了时间和燃油成本，每年可以节省上百亿的运费．某海运公司集装箱货轮从中国天津港出发，走北极航线到德国汉堡港比走巴拿马运河航线能节省10天的航程，走北极航道海运里程约12000公里，走巴拿马运河航线大约20000公里．北极航线路近大陆，风浪较小，集装箱货轮走北极航线的速度是走巴拿马运河航线速度的1.2倍．求集装箱货轮走巴拿马运河航线每天能走多少公里？ 【答案】公里/天 【详解】解：设集装箱货轮走巴拿马运河航线每天能走公里， 根据题意可得：， 解得：， 经检验，是原分式方程的解，且符合题意， 答：集装箱货轮走巴拿马运河航线每天能走1000公里． 【变式1-3】随着国内快递业务量的迅速增长，通过无人机可打造短途航空物流网络，提高物流效率，小峰和小明对此非常感兴趣，相约明天去科技馆看展览了解情况，他们的谈话内容如图所示，若他们两人同时到达科技馆，求小峰骑自行车的平均速度和小明乘坐的公交车的平均速度． 【答案】小峰骑自行车的速度为每小时15千米，小明乘公交车的速度为每小时36千米，两人可同时到达． 【详解】解：他们两人能同时到达，理由如下： 设小峰骑自行车的速度为每小时千米，则小明乘公交车的速度为每小时千米，若两人同时到达，小明用时比小峰少30分钟，即小时， 根据题意，可得， 解得， 经检验，是原分式方程的解， 所以，小峰骑自行车的速度为每小时15千米，小明乘公交车的速度为每小时36千米，两人可同时到达． 类型二、工程问题 解工程问题，核心是围绕“工作量=工作效率×工作时间”展开。 先设总工作量为单位“1”（或具体总量），明确各主体工作效率；再分析工作方式（单独做、合作做、分段做），理清合作或分工；最后根据工作量关系列方程，统一时间单位，验证结果是否符合实际施工逻辑。 【例3】甲、乙两个工程队合修一条公路，已知甲工程队每天修，乙工程队每天修，其中，则甲工程队修900m所用时间是乙工程队修600m所用时间的多少倍？ 【答案】甲工程队修900m所用时间是乙工程队修600m所用时间的倍 【详解】解：①求甲工程队所用的时间： ． ②求乙工程队所用的时间： ． ③求甲所用时间是乙所用时间的倍数： ． 故答案为：甲工程队修所用时间是乙工程队修所用时间的倍． 【点睛】本题考查了分式的乘除运算以及平方差公式的应用，解题关键是熟练掌握分式乘除运算法则以及平方差公式，并能正确进行因式分解和分式运算． 【例4】喜迎熊猫丫丫回国，贵阳一玩具加工厂计划甲车间加工熊猫玩偶600个，工作5天后，增加了工人人数，每天比增加前多加工20个，又加工了两天完成了任务． (1)求甲车间增加工人人数后每天加工熊猫玩偶的个数； (2)由于该玩偶深受消费者喜欢，工厂决定扩大生产，安排乙车间加工生产该熊猫玩偶2 000个，该车间在加工完成一半后，改进了加工技术，每天比改进技术前多加工，结果提前2天完成任务，求乙车间改进技术前每天加工玩偶的个数． 【答案】(1)甲车间增加工人人数后每天加工熊猫玩偶的个数为100个； (2)乙车间改进技术前每天加工玩偶的个数为100个． 【分析】 【详解】（1）解：设甲车间增加工人人数前每天加工熊猫玩偶的个数为个，则增加工人人数后每天加工熊猫玩偶的个数为个， 由题意，得， 解得， ， 答：甲车间增加工人人数后每天加工熊猫玩偶的个数为100个； （2）解：设乙车间改进技术前每天加工玩偶的个数为个，则改进技术后每天加工玩偶的个数为个 ， 由题意，得， 解得， 经检验，是原方程的解， 答：乙车间改进技术前每天加工玩偶的个数为100个． 【点睛】本题考查一元一次方程和分式方程，弄清题意列出相应方程是解题的关键． 【变式2-1】某工厂计划生产个零件，但是在实际生产时，，求实际每天生产多少个零件？在这个题目中，若设实际每天生产个零件，可得方程，则题目中用“”表示的条件应是（    ） A．每天比原计划多生产个，结果延期天完成 B．每天比原计划多生产个，结果提前天完成 C．每天比原计划少生产个，结果延期天完成 D．每天比原计划少生产个，结果提前天完成 【答案】B 【详解】解：∵设实际每天生产个零件，则原计划每天生产个零件， ∴原计划时间为，实际时间为， ∵方程表示原计划时间减去实际时间等于天， ∴实际时间比原计划少天，即提前天完成， ∴条件为每天比原计划多生产个零件，结果提前天完成， 故选：． 【变式2-2】某项工程需要在规定的时间内完成，若甲队单独做正好可以如期完成，若乙队单独做，将会延期三天完成．现由甲乙两队合作两天，余下的工程由乙队单独做，恰好也如期完成． (1)问规定的工期是多少天？ (2)若先由甲乙两队合作两天，余下的工程再由甲队单独做三天能如期完成吗？为什么？ 【答案】(1)规定的工期为天 (2)能完成，理由见解析 【分析】 【详解】（1）解：设规定的工期为天，则乙完成需要天， 由题意可得：， 解得：， 经检验，是原分式方程的解，且符合题意， ∴规定的工期为天； （2）解：能完成，理由如下： 由（1）可得，甲完成需要天，乙完成需要天， ， 故先由甲乙两队合作两天，余下的工程再由甲队单独做三天能如期完成． 【变式2-3】 今年在防控流感期间，各单位部门积极部署，对生活环境进行消毒．某学校计划利用周末将教室及公共环境进行“喷药消毒”，若由甲小组单独消毒恰好在规定时间内完成，若由乙小组单独消毒需要超过规定时间小时才能完成．甲、乙两个小组合作1小时后，甲小组因另有任务退出，由乙小组单独消毒，正好可以按时完成．问消毒工作的规定时间是多少小时？ 【答案】消毒工作的规定时间是 小时 【分析】 【详解】解：设规定时间为小时，则甲单独完成需小时，乙单独完成需小时，甲的工作效率为，乙的工作效率为， 根据题意得， 方程化简为： 解得：， 经检验，是原方程的解， 答：消毒工作的规定时间是 小时． 类型三、销售盈亏问题 解销售盈亏问题，核心是掌握“利润=售价-成本”“利润率=利润/成本×100%”。 先明确成本、售价、折扣、利润率等关键量；再根据折扣转化实际售价，理清量与量的关系；最后通过利润正负判断盈亏，列方程求解，注意统一货币单位，验证结果是否符合实际销售场景。 【例5】列方程解答问题： 2025年9月第二十三届中国摩博会在重庆举行，本届摩博会参展企业数量创下历史新高，超过3000款摩托车型集中亮相．8月某摩托车专卖店售出、两款摩托车共120辆，其中款的销售额是20万元，款的销售额是80万元．已知每辆款摩托车售价是每辆款摩托车售价的2倍． (1)求款摩托车与款摩托车的售价分别为每辆多少万元； (2)该摩托车专卖店想在9月摩博会期间提高销量，决定对（1）中两款车进行降价促销，款每辆售价在8月的基础上降低了万元，销量增加了40辆；款每辆售价在8月的基础上降低了万元，销量增加了20辆；若两款摩托车的总销售额是8月的1.5倍还少万元，求的值． 【答案】(1)款摩托车的售价为每辆万元，款摩托车的售价为每辆1万元 (2) 【分析】 【详解】（1）解：设款摩托车的售价为每辆万元，则款摩托车的售价为每辆万元， 由题意得：， 解得， 经检验，是所列分式方程的解， 所以， 答：款摩托车的售价为每辆万元，款摩托车的售价为每辆1万元． （2）解：由（1）可知，在8月份，款摩托车的销量为辆，款摩托车的销量为辆， 则在9月份，款每辆售价为万元，销量为辆；款每辆售价为万元，销量为辆， 由题意得：， 解得， 答：的值为20． 【例6】在国庆黄金周中，熊猫基地游客络绎不绝，热闹非凡，附近商店的文创产品也深受小朋友喜爱．某商店分两次购入熊猫文创产品．第一次用2400元购进A款产品，1440元购进B款产品，B款产品购进单价比A款产品购进单价高20％，B款产品的购进数量比A款产品的购进数量少40个． (1)该商店A款产品的购进单价为多少元？ (2)第一批A款产品销售不错，售完后，该商店准备再购进一批A款产品（两次购进单价不变），为回馈顾客，决定降价销售，A款产品原售价40元，日销售量为20件，经调查发现，每降价1元，多售出2件A产品，当A款产品降价多少元时，每天可获利192元． 【答案】(1)款产品的购进单价为30元 (2)款产品降价2元时，每天可获利192元 【分析】 【详解】（1）解：设款产品的购进单价为元，则款产品的购进单价为元 解得： 经检验，是原分式方程的解． 答：款产品的购进单价为30元． （2）解：设款产品降价元． ， 不符合题意，应舍去． 答：款产品降价2元时，每天可获利192元． 【变式3-1】中秋吃月饼是中国传统的习俗，圆圆的月饼不仅承载着文化寓意，更藏着丰富的数学知识．某班举办将数学元素和传统文化结合的“月饼里的数学秘密”主题活动，其中购买25袋“云腿馅”与20袋“豆沙馅”一共花费420元，已知每袋“云腿馅”比每袋“豆沙馅”贵6元． (1)求一袋“云腿馅”和“豆沙馅”的价格分别是多少元？ (2)将数学文化与传统文化结合，提升了学生的跨学科素养，刘老师决定在她的班上也举行这个活动，但是单价发生了变化，每袋“云腿馅”增加的价格是每袋“豆沙馅”增加的价格的2倍，用108元买到的“云腿馅”的数量比用相同价格买到的“豆沙馅”的数量少6袋，此时一袋“云腿馅”和“豆沙馅”的价格分别是多少元？ 【答案】(1)一袋“豆沙馅”6元，一袋“云腿馅”12元 (2)一袋“豆沙馅”9元，一袋“云腿馅”18元 【分析】 【详解】（1）解：设一袋“豆沙馅”的价格是元，则一袋“云腿馅”的价格是元． 根据题意，得， 解方程，得， 则有， 答：一袋“豆沙馅”的价格是6元，则一袋“云腿馅”的价格是12元． （2）解：设每袋“豆沙馅”增加元，则每袋“云腿馅”增加元． 根据题意，得， 解得， 经检验，是方程的解． 则有， 答：此时，一袋“豆沙馅”的价格是9元，则一袋“云腿馅”的价格是18元． 【变式3-2】某文具店老板第一次用1000元购进一批文具，很快销售完毕；第二次购进时发现每件文具进价比第一次上涨了2.5元．老板用2500元购进了第二批文具，所购进文具的数量是第一次购进数量的2倍，同样很快销售完毕，两批文具的售价均为每件15元． (1)求第二次购进了多少件该文具； (2)文具店老板第一次购进的文具有3%的损耗，第二次购进的文具有5%的损耗，问文具店老板在这两批文具销售完后共盈利多少元？ 【答案】(1)第二次购进200件该文具 (2)文具店老板在这两批文具销售完后共盈利805元 【分析】 【详解】（1）解：设第一次购进x件文具，则第二次就购进件文具． 由题意，得，解得． 经检验，是原方程的解，且符合题意， 则（件）． 答：第二次购进200件该文具； （2）解：销售金额为（元）， 则盈利为（元）． 答：文具店老板在这两批文具销售完后共盈利805元． 【点睛】本题考查了分式方程的应用，解答本题的关键是读懂题意，设出未知数，找出合适的等量关系，列方程求解，注意检验． 【变式3-3】某书店老板去图书批发市场购买某种图书，第一次用元购书若干本，按该书定价7元出售，很快售完．由于该书畅销，第二次购书时，每本的进价比第一次提高了，他用元所购该书数量比第一次多本． (1)求第一次购书的进价； (2)第二次购书后，当按定价售出本时，出现滞销，便以定价的4折售完剩余的书．不考虑其他因素，试问该老板这两次售书总体上是赔钱了，还是赚钱了？若赔钱，赔多少？若赚钱，赚多少？ 【答案】(1)批发价为5元 (2)总体赚元 【分析】 【详解】（1）解：设批发价为元． 则第一次购书本． 第二次批发价为， 则第二次购书本， 则， 解得：， 经检验是分式方程的根， 所以第一次购书的进价为5元； （2）第一次获利 第二次批发价， 第二次购书本， 第二次获利， 则两次总获利， 即总体赚元． 类型四、电水费问题 解电水费应用题，核心是把握“分段计费”特点。 先明确计费标准（分段单价、起征点），区分不同用量区间的收费规则；再判断实际用量所属区间，或设未知数列方程；计算时注意单位统一，分段累加费用，验证结果是否符合用量与费用的逻辑关系，避免漏算或重复计费。 【例7】某市从今年1月1日起调整居民用水价格，每立方米水费上涨．小丽家去年月份的水费是元，而今年5月的水费则是元．已知小丽家今年5月的用水量比去年月的用水量多，求该市去年居民用水的价格．设去年居民用水价格为，根据题意列方程，正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：设去年水价为，今年水价上涨，即今年价格为． 根据题意，知去年12月用水量为，今年5月用水量为． 因为小丽家今年5月的用水量比去年月的用水量多，所以可列方程为 ． 故选：A． 【例8】经重庆市发改委统筹考虑重庆电力供需状况、电网负荷特性、居民用电习惯等，在保持价格总水平基本稳定的前提下，现制定分时电价标准，分成三个时段计费，即高峰时段、低谷时段和平段． 1．高峰时段：、，在平段电价基础上提高元/千瓦时． 2．低谷时段：，在平段电价基础上降低元/千瓦时． 3．平段：、、，平段电价为国家规定的销售电价． (1)某家庭8月份总电量400千瓦时，其中平段电量为总电量．低谷电量占总电量，根据相关政策，使用新方案计算电费，低谷时段电费恰好是高峰时段电费的，则平段电价为多少元/千瓦时？ (2)电力公司采用新能源节约成本，9月份将所有时段电费单价在（1）中的费用的情况下均降低相同费用，若该家庭9月份高峰时段费用与低谷时段费用一样，而低谷时段电量为高峰时段电量的2倍，则降价后高峰时段电价为多少元/千瓦时？ 【答案】(1)平段电价为元/千瓦时 (2)降价后高峰电价元/千瓦时 【分析】 【详解】（1）解：设平段电价为元/千瓦时，则高峰电价为元/千瓦时，低谷电价为元/千瓦时，则 解得； 答：平段电价为元/千瓦时． （2）解：高峰电价元/千瓦时，低谷电价为元/千瓦时， 设降价元/千瓦时，9月份高峰时段费用为万元， 则， 解得  经检验是原方程的解， 降价后高峰电价元/千瓦时， 答：降价后高峰电价元/千瓦时． 【变式4-1】某市为节约水资源，从2018年1月1日起调整居民用水价格，每立方米水费比2017年上涨．小明家2017年8月的水费是18元，而2018年8月的水费是33元．已知小明家2018年8月的用水量比2017年8月的用水量多5 m3． （1）求该市2017年居民用水的价格； （2）小明家2019年8月用水量比2018年8月份用水量多了20%，求小明家2019年8月份的水费． 【答案】(1)该市2017年的用水价格为每立方米元;（2）小明家2019年8月的水费为39.6元. 【分析】 【详解】解：(1)设该市2017年居民用水价格为每立方米x元，则2018年的用水价格为每立方米（1+）x元，根据题意得， ，解得， 经检验，是原方程的解． 答：该市2017年的用水价格为每立方米元； （2）根据题意得，小明家2019年8月用水量比2018年8月份用水量多了20%，则2019年8月的水费比2018年8月的水费多20%，则 33×（1+20%）=39.6（元）． 答：小明家2019年8月份的水费为39.6元． 【点睛】本题考查了分式方程的应用，分析题意，找到关键描述语，找到合适的等量关系是解决问题的关键．注意解分式方程必须检验． 【变式4-2】为了节约用水，石家庄物价局于年月日举行《市民用水阶梯价格分级用量听证会》，并提出超量加价．若民用自来水水费调整为每月用水量不超过包括时，则按规定标准2.8元（含污染费和排污费），若每月用水量超过，则超过的部分按收费（含污染费和排污费）． (1)小敏家为了响应政府节约用水的号召，决定从年月起计划平均每月用水量比年月到年月平均每月用水量减少，这使小敏家在相同的月数内，从计划前的用水量变为计划后的用水量，求小敏家从年月起计划平均每月用水量； (2)小敏家从年月到年月这一年中，有四个月超出现在计划月平均用水量的，有四个月超出现在计划月平均用水量的，其余的四个月的用水量与年月到年月的平均每月用水量相等．若按新的交费法，求小敏家从年月到年月这一年中应交的总水费． 【答案】(1) (2)元 【分析】 【详解】（1）解：设小敏家从年月起计划平均每月用水量为，则从年月到年月平均每月用水量为， 依题意有：， 解得：， 经检验，是原方程的解， ∴小敏家从年月起计划平均每月用水量为； （2）解：超出现在计划月平均用水量的的四个月平均用水量为， ∴这四个月的水费为元； 超出现在计划月平均用水量的的四个月平均用水量为， ∴这四个月的水费为元； 设年月到年月的平均每月用水量为， 根据题意有：， 解得： ∴其余四个月的平均用水量为， ∴这四个月的水费为元． ∴小敏家从年月到年月这一年中应交的总水费为元． 【点睛】本题考查分式方程和一元一次方程的实际应用．读懂题意，找出合适的等量关系，列出方程是解题关键． 【变式4-3】某自来水公司水费计算办法如下：若用户当月用水不超过，则每立方米收费元，若当月用水超过，则超出部分每立方米收取较高的定额费用，今年1月份，张家用水量是李家用水量的，张家当月水费是元，李家当月水费是元，问超出的部分每立方米收费多少元？ 【答案】2元 【详解】设超出部分的水，每立方米收费为x元，由题意得 ， 解得：， 经检验是方程的根且符合题意， 答：超出部分的水，每立方米收费2元. 【点睛】本题考查了分式方程的应用，解本题的关键是要表示出两家的用水量，根据题意建立等量关系列出方程. 类型五、和差倍分问题 【例9】研究表明：植物具有固碳能力，所谓固碳能力，具体表现为植物通过光合作用将大气中的二氧化碳转化为有机碳，并固定在植物体内的能力．生物兴趣小组的同学们通过查阅资料发现，洋槐一天固碳2700克所需的种植面积是垂柳一天固碳2150克所需种植面积的2倍，而垂柳一天平均每平方米固碳量比洋槐一天平均每平方米固碳量多克，求洋槐一天平均每平方米的固碳量． 【答案】洋槐一天平均每平方米固碳量是克 【详解】解：设洋槐一天平均每平方米固碳量是克，则垂柳一天平均每平方米固碳量是克． 由题意得：， 解得：， 经检验，是原方程的解，且符合题意， 答：洋槐一天平均每平方米固碳量是克． 【例10】为了节能环保，某超市为两个楼层分别更换了数量相同的甲、乙两种型号的节能灯．经过一段时间发现，安装甲型号节能灯的一楼月用电量为，安装乙型号节能灯的二楼月用电量为，已知，甲型号节能灯每个月的用电量比乙型号节能灯每个月用电量的2倍少，求这两种型号的节能灯每只每个月的用电量各是多少． 解法一：所列出的方程为； 解法二：所列出的方程为． (1)解法一中所列方程中的x表示 （填序号），解法二中所列方程中的x表示 （填序号）； ①每只甲型号节能灯每个月的用电量； ②每只乙型号节能灯每个月的用电量； ③乙型号节能灯的数量 (2)请你选择其中一种解法，写出完整的解答过程． 【答案】(1)，； (2)每只甲型号节能灯每个月用电量为，每只乙型号节能灯每个月的用电量为． 【分析】 【详解】（1）解： 由题意可得：解法一中的表示每只乙型号节能灯每个月的用电量，解法二中的表示乙型号节能灯的数量， 故答案为：，； （2）解：解法一，设每只乙型号节能灯每个月的用电量为，则每只甲型号节能灯每个月用电量为，依题意得： ， 整理得：， 解得：， 经检验，是原方程的解， ∴， ∴每只甲型号节能灯每个月用电量为，每只乙型号节能灯每个月的用电量为； 解法二，设甲、乙型号节能灯的数量为只，依题意得： ， 整理得：， 解得：， 经检验，是原方程的解， ∴乙型号的节能灯每只每个月的用电量各是， ∴甲型号的节能灯每只每个月的用电量各是， ∴每只甲型号节能灯每个月用电量为，每只乙型号节能灯每个月的用电量为． 【变式5-1】甲、乙、丙三个数依次相差，若乙数的倒数与丙数的倒数的倍之和与甲数的倒数的倍相等，则甲、乙、丙三个数分别是（   ） A．，， B．，， C．，， D．，， 【答案】C 【详解】解：设乙数为，则甲数为，丙数为， 根据题意可得， 解得：， 经检验，是原方程的解， ，， 即甲数为，乙数为，丙数为， 故选：C． 【变式5-2】某搬家公司现有甲、乙两种货车，已知甲种货车比乙种货车每辆车多装10袋物品，且甲种货车装运450袋物品所用车辆与乙种货车装运350袋物品所用车辆数相等． (1)求甲、乙两种货车每辆车可装多少袋物品？ (2)如果这批物品有593袋，用甲、乙两种货车共15辆来装运，甲种车辆刚好装满，乙种车辆最后一辆装载的物品只装了23袋，其它装满，求甲，乙两种货车各需要多少辆？ 【答案】(1)甲种货车每辆车可装45袋物品，乙种货车每辆车可装35袋物品 (2)需要甲种货车8辆，乙种货车7辆 【分析】 【详解】（1）解：设乙种货车每辆车可装袋物品，则甲种货车每辆车可装袋物品， 由题意，得， 解得：， 经检验：是方程的解，且符合题意， 则， 答：甲种货车每辆车可装45袋物品，乙种货车每辆车可装35袋物品； （2）解：设需要甲种货车辆，则需要乙种货车辆， ， 解得：， ， 答：需要甲种货车8辆，乙种货车7辆． 【变式5-3】近年来中国潮玩与动漫产业蓬勃发展，有分析人士预计2026年中国潮玩市场总价值将达到1101亿元．某小店老板非常看好这个用情绪价值撬动的千亿市场，购进了A型和B型两种潮玩玩具，每套A型玩具的进价比每套B型玩具的进价多2.5元，已知用200元购进A型玩具的套数与用150元购进B型玩具的套数是相同的． (1)求A型、B型玩具的进价分别是多少元； (2)老板以原进价再次购进这两种型号的玩具共100套，恰好用了950元，则购进A型玩具多少套？ 【答案】(1)A型玩具的进价是10元，B型玩具的进价是7.5元 (2)购进A型玩具80套 【分析】 【详解】（1）解：设A型玩具的进价是x元，则B型玩具的进价是元， 由题意得：， 解得：， 经检验，是原分式方程的解，且符合题意， ∴， 答：A型玩具的进价是10元，B型玩具的进价是7.5元； （2）解：设购进A型玩具a套，则购进B型玩具套， 由题意得：， 解得：， 答：购进A型玩具80套． 类型六、其他问题 双重非负性: 【例11】如下图，一幅书画在装裱前的大小是，装裱后，上、下、左、右边衬的宽度分别是．若装裱后与的比是，且，，求上边衬的宽度． 【答案】上边衬的宽度为0.1m． 【详解】解：由题意，得，． 装裱后与的比是， ，解得． 经检验，是原分式方程的解，且符合题意．故上边衬的宽度为． 故答案为：上边衬的宽度为． 【点睛】本题主要考查了一元二次方程的应用，审清题意、正确列出方程成为解题的关键． 【例12】一个圆柱形容器的容积为立方米，开始用一根小水管向容器内注水，水面高度达到容器高度一半后，改用一根口径为小水管倍的大水管注水．向容器中注满水的全过程共用时间分．求两根水管各自注水的速度． 【答案】小口径水管速度为立方米分，大口径水管速度为立方米分 【详解】解：假如小水管的半径为r，则大水管的半径2r，每分钟进水的长度是一样的为h；根据体积公式可知小水管的进水速度为立方米分，大水管的进水速度为立方米分，可设小水管进水速度为立方米分，则大水管进水速度为立方米分．由题意得： ， 解得： ， 经检验得：是原方程解， ∴， ∴小口径水管速度为立方米分，大口径水管速度为立方米分． 【变式6-1】每年的12月底至1月初，是韶关皇帝柑的最佳品尝期，某果园计划种植皇帝柑，原计划总产量30万千克，为了满足市场需求，现决定改良品种，改良后平均每亩产量是原来的倍，总产量比原计划增加6万千克，种植面积可减少30亩，求改良后的皇帝柑品种平均每亩产量是多少万千克？ 【答案】改良后的皇帝柑品种平均每亩产量是万千克 【分析】 【详解】解：设改良前的皇帝柑品种平均每亩产量是万千克，则改良后的皇帝柑品种平均每亩产量是万千克， 依题意得：， 解得：， 经检验：是原分式方程的解， ∴， 答：改良后的皇帝柑品种平均每亩产量是万千克． 【变式6-2】问题：“为了改善生态环境，某村计划在荒坡上种树960棵，由于青年志愿者支援，_________，结果提前4天完成任务，原计划每天种树多少棵？” 条件：①实际每天种树的棵树是原计划的倍；②实际每天比原计划多种20棵． 在上述的2个条件中选择1个条件补充在问题的横线上，并完成解答． 【答案】原计划每天种树棵． 【分析】 【详解】解：选择①， 设原计划每天种树棵，则实际每天种树棵， 由题意得， 解得， 经检验，是原方程的解，且符合题意， 答：原计划每天种树棵； 解：设原计划每天种棵，根据题意得 ， 整理得． 解得，， 经检验，，都是原方程的根，但不合题意，舍去， 答：原计划每天种树棵． 【变式6-3】下面是学习《分式方程的应用》时，老师板书的应用题和两名同学所列的方程． 分式方程 某校为迎接市中学生田径运动会需240面彩旗．计划由八年级（1）班的3个小组完成此任务，3个小组的人数相等．后因1个小组另有任务，剩余2个小组的每名学生要比原计划多做4面彩旗才能完成任务．那么每个小组有多少名学生？原计划每名学生做多少面彩旗？ 冰冰：， 庆庆： 根据以上信息，解答下列问题． (1)冰冰同学所列方程中的表示________，庆庆同学所列方程中的表示________； (2)请你选择其中的一个方程解决老师提出的问题． 【答案】(1)每个小组学生的人数；原计划每名学生做的彩旗数 (2)每个小组学生的人数为10人；原计划每名学生做8面彩旗 【分析】 【详解】（1）解：冰冰同学所列方程为，则表示每个小组学生的人数； 庆庆同学所列方程为，则原计划每名学生做的彩旗数； 故答案为：表示每个小组学生的人数； 表示原计划每名学生做的彩旗数； （2）解：方法一：解方程得：， 经检验是原方程的根， ∴（个），nn 答：每个小组学生的人数为10人；原计划每名学生做8面彩旗； 方法二：解方程得：， 经检验是原方程的根， ∴（人）， 答：每个小组学生的人数为10人；原计划每名学生做8面彩旗． 1．（2025·新疆·模拟预测）为治理新疆土地沙漠化，改善生态，某地区计划在沙漠边缘植树30万棵．因当地风沙大、气候特殊，为赶在风沙季前完成种植以保障树苗存活，实际每天植树棵数比原计划增加，提前3天完工．若设实际每天植树万棵，根据题意可得方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：设实际每天植树万棵，根据题意列方程为， 故答案为：A． 2．（2025·26八年级上·全国·课后作业）某工人原计划在规定时间内加工300个零件，因改进了工具和操作方法，现在每小时比原来多加工10个零件，结果现在加工300个零件的时间和原来加工240个零件的时间相同．原计划每小时加工 个零件． 【答案】40 【分析】 【详解】解：设原计划每小时加工个零件，则现在每小时加工个零件， 根据题意，得：， 解得：， 经检验，是原方程的解，且符合题意， 即原计划每小时加工个零件， 故答案为：． 3．（2024·25八年级上·四川德阳·期末）肖老师周末从市区某小区开车前往相距的成都天府国际机场，考虑到机场附近可能出现道路拥堵问题．为不耽误航班．实际开车的平均速度比原计划提高了，结果提前20分钟到达机场，则肖老师实际开车的平均速度是 ．    【答案】 【详解】解：设原计划的开车的平均速速为，由题意得 ， 解得：， 经检验：是所列方程的解，且符合实际意义， （）， 肖老师实际开车的平均速度是； 故答案为：． 4．（2025·重庆·模拟预测）在蛇年春晚的创意融合舞蹈《秧》中，机器人与舞者共舞，手绢花翻飞旋转，体现了中国科技企业的崛起．机器人在日常生活中的应用也日益广泛，某快递公司为提高分拣效率及准确性，引进了具有分拣功能的智能机器人，1台机器人1小时分拣的快递量比1个人1小时分拣快递量的5倍还多10件，已知1台机器人和1个人1小时共可以分拣快递730件． (1)求1个人和1台机器人1小时分别分拣快递的数量； (2)为了进一步提高效率，该快递公司又引进了甲、乙两款不同的机器人，已知1台甲型机器人比1台乙型机器人1小时多分拣200件快递，1台甲型机器人分拣9600件快递的时间和1台乙型机器人分拣7200件快递的时间相同，求1台甲型机器人1小时分拣快递的数量． 【答案】(1)1个人1小时分拣快递的数量为120件，1台机器人1小时分拣快递的数量为610件 (2)1台甲型机器人1小时分拣快递的数量为800件 【分析】 【详解】（1）解：设1个人1小时分拣快递件，则1台机器人1小时分拣快递件， 由题意可列方程， 解得， ∴（件）， 答：1个人1小时分拣快递的数量为120件，1台机器人1小时分拣快递的数量为610件； （2）解：设1台甲型机器人1小时分拣快递件，财1台乙型机器人1小时分拣快递件， 由题意得，解得：， 经检验，是原分式方程的解，且符合题意． 答：1台甲型机器人1小时分拣快递的数量为800件． 5．（2025·重庆·中考真题）列方程解下列问题： 某厂生产甲、乙两种文创产品．每天生产甲种文创产品的数量比每天生产乙种文创产品的数量多50个，3天时间生产的甲种文创产品的数量比4天时间生产的乙种文创产品的数量多100个． (1)求该厂每天生产的甲、乙文创产品数量分别是多少个？ (2)由于市场需求量增加，该厂对生产流程进行了改进．改进后，每天生产乙种文创产品的数量较改进前每天生产的数量增加同样的数量，且每天生产甲种文创产品的数量较改进前每天增加的数量是乙种文创产品每天增加数量的2倍．若生产甲、乙两种文创产品各1400个，乙比甲多用10天，求每天生产的乙种文创产品增加的数量． 【答案】(1)该厂每天生产的甲文创产品数量为个，乙文创产品数量是个 (2)每天乙文创产品增加的数量是个 【分析】 【详解】（1）解：设该厂每天生产的乙文创产品数量是x个，则甲文创产品数量为个． ， 解得：， 则甲文创产品数量为个， 答：该厂每天生产的乙文创产品数量是个，则甲文创产品数量为个． （2）解：设每天乙文创产品增加的数量是个，则甲文创产品增加的数量是个． ， 解得：， 经检验：是原方程的解， 答：每天乙文创产品增加的数量是个． 6．（2024·25八年级下·吉林长春·期中）习近平总书记说，读书可以让人保持思想活力，让人得到智慧启发，让人滋养浩然正气．某校为提高学生的阅读品味，决定购买获得茅盾文学奖的甲、乙两种书，已知每本甲种书比每本乙种书多10元，若购买相同数量的甲、乙两种书分别需花费1750元和1250元．求甲、乙两种书的单价． 【答案】甲种书的单价为元，乙种书的单价为元． 【详解】解：设乙种书的单价为元，则甲种书的单价为元． ∵ 购买甲、乙两种书数量相同，购买甲种书花费元，单价元；购买乙种书花费元，单价元，根据数量 = 总价÷单价， ∴ 可列方程． 方程两边同乘得：． 展开得：． 移项得：． 合并同类项得：． 解得：． 经检验，是原分式方程的解，且符合题意． 则甲种书单价为（元）． 答：甲种书的单价为元，乙种书的单价为元． 7．（2024·25八年级上·重庆秀山·期末）小强计划在2025年春节来临前，给街道2024年退伍军人及6位劳动模范每人送一张贺卡，网上购买贺卡的优惠条件是：购买25或25张以上享受团购价．小强发现：零售价与团购价的比是，经过分析，按计划购买贺卡张数只能享受零售价，如果比原计划多购买5张贺卡就能享受团购价，这样正好花100元，而且比原计划还节约20元． (1)贺卡的零售价是多少？ (2)街道2024年退伍军人有多少人？ 【答案】(1)零售价为6元； (2)街道2024年退伍军人有14名 【分析】 【详解】（1）解：根据题意设零售价为元，团购价为元，则 ， 解得，， 经检验：是原分式方程的解， ， 答：贺卡的零售价为6元； （2）解：街道2024年退伍军人为（人） 答：街道2024年退伍军人有14名． 8．（2025·山西临汾·二模）农业现代化是我国发展的必由之路，某地农民积极响应政府号召，自发成立现代新型农业合作社，适度扩大玉米种业规模，今年合作社玉米喜获丰收．合作社打算租用玉米收割机收割玉米，现有A，B两种型号收割机可供选择，已知每台B型号收割机每天的收割亩数是A型号的1.5倍，若收割600亩玉米，5台A型号收割机所用时间比4台B型号的收割机所用时间多1天，求A，B两种型号收割机每台每天收割玉米的亩数． 【答案】A，B两种型号收割机每台每天收割玉米的亩数分别为20亩和30亩 【详解】解：设型号收割机每台每天收割玉米亩，则型号收割机每台每天收割玉米亩， 得， 解得． 经检验，是原分式方程的解， ． 答：A，B两种型号收割机每台每天收割玉米的亩数分别为20亩和30亩． 9．（2024·北京·模拟预测）小芳打算在暑假和爸爸、妈妈一起去上海迪士尼乐园游玩，她综合考虑了交通、门票、住宿等方面的因素，得出如下结论： （1）如果选择在乐园内，会比住在乐园外少用1天的时间就能体验完他们感兴趣的项目； （2）一家三口住在乐园内的日均支出是住在乐园外的日均支出的1.5倍； （3）无论是住在乐园内还是乐园外，一家三口这次旅行的总费用都是9810元； 请问：如果小芳家选择住在乐园内，那么他们预计在迪士尼乐园游玩多少天？ 【答案】小芳家选择住在乐园内，那么他们预计在迪士尼乐园游玩2天 【详解】解：设小芳家选择住在乐园内，预计在迪士尼乐园游玩x天，根据题意得： ， 解得， 经检验，是原分式方程的解， 答：小芳家选择住在乐园内，那么他们预计在迪士尼乐园游玩2天． 10．（2024·25八年级上·河北沧州·期末）某学习小组计划到博物馆参观学习． (1)为达到更佳的参观学习效果，他们租了一个私家讲解团，团费为360元，后又临时增加3名同学，同时团费变为了420元，实际的人均费用只为原来人均费用的，求该学习小组实际参观博物馆的同学人数； (2)该博物馆的参观路线全长千米，分为“经典讲解”和“特色数字化体检”两个部分，其中“经典讲解”部分参观路线的长度为3千米，且他们参观“经典讲解”部分的平均速度是参观“特色数字化体验”部分的平均速度的3倍，加上在“特色数字化体验”部分排队的10分钟，整个参观学习过程共小时，求他们参观“经典讲解”部分的平均速度为多少千米／时． 【答案】(1)学习小组实际参观博物馆的同学人数为15人 (2)参观“经典讲解”部分的平均速度为千米/时 【分析】 【详解】（1）解：设该学习小组实际参观博物馆的同学人数为x人，则原计划参观人数为人， 根据题意，得：， 解得：， 经检验是原方程的解， 答：学习小组实际参观博物馆的同学人数为15人； （2）解：设参观“经典讲解”部分的平均速度为千米／时，则“特色数字化体验”分的平均速度为y千米/时， 根据题意，得， 解得：， 经检验是原方程的解， （千米/时） 答：参观“经典讲解”部分的平均速度为千米/时． 11．（2024·25九年级上·重庆沙坪坝·期末）火树银花不夜天，璀璨多姿中国年．沙坪坝区某街道计划在部分道路挂上迎春灯饰，已知甲种灯笼每个30元，乙种灯笼每个20元．若采购甲、乙两种灯笼共440个，且这两种灯笼的采购费共为11200元． (1)求采购甲、乙两种灯笼各多少个？ (2)某灯笼供应商为了支持迎春灯饰工作，现将甲、乙两种灯笼都降价a元．但街道在实际采购中分别用于这两种灯笼的采购费将保持不变，且采购甲、乙两种灯笼的数量相同，求a的值． 【答案】(1)采购甲种灯笼240个，乙种灯笼200个 (2)a的值为 【分析】 【详解】（1）解：设采购甲种灯笼x个，则采购乙种灯笼个． 根据题意，得， 解得． ． 答：采购甲种灯笼240个，乙种灯笼200个． （2）由（1）得，甲种灯笼的采购费用为：元， 乙种灯笼的采购费用为：元． 根据题意，得， 解得． 经检验，是原方程的解且符合题意． 答：a的值为． 12．（2025·26八年级上·河北邢台·阶段练习）为了推进五育并举，促进学生全面发展，各校积极建设劳动实践基地．某校有一块长方形劳动实践基地，长为米，宽为a米． (1)去年实践基地收获蔬菜，该校安排甲乙两组志愿者进行采摘，已知甲组每分钟采摘速度是乙组的2倍，而甲组单独完成采摘任务所需要的时间比乙组单独完成任务所需要的时间少10分钟，求甲、乙两组每分钟各采摘多少千克的蔬菜？ (2)如图，今年从该基地中截取出一个边长为a米的正方形地块，用来种植A类蔬菜，而剩余土地用来种植B类蔬菜，最终收获A类蔬菜，B类蔬菜，哪类蔬菜的单位面积产量大？请说明理由． 【答案】(1)甲组每分钟采摘千克的蔬菜，乙组每分钟采摘千克的蔬菜 (2)，理由见解析 【分析】 【详解】（1）解：设乙组每分钟采摘千克的蔬菜，则甲组每分钟采摘千克的蔬菜， 由题意得： ， 解得：， 经检验，是原分式方程的解，且符合题意， ， 答：甲组每分钟采摘千克的蔬菜，乙组每分钟采摘千克的蔬菜； （2）解：类蔬菜的单位面积产量大，理由如下： 类蔬菜的单位面积产量为：（千克）， 类蔬菜的单位面积产量为：（千克）， ， ， ， 又，， ， ， ， 答：类蔬菜的单位面积产量大． 1/10 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题07分式方程的实际应用 目录 典例详解 类型一、行程问题 类型二、工程问题 类型三、销售盈亏问题 类型四、电水费问题 类型五、配套问题 类型六、其他问题 压轴专练 类型一、行程问题 解行程问题，核心是抓“路程=速度×时间”公式。 先审题画线段图，标注路程、速度、时间未知量；再判断运动类型（相遇、追击、往返等），明确路程关系（和差、倍数）；最后根据等量关系列方程，注意单位统一，遇往返、分段运动需分类讨论，验证结果是否符合实际场景。 【例1】举世瞩目的港珠澳大桥于年月日建成通车，这对促进我国三地经济发展具有十分重要的战略意义，今后，香港、澳门、珠海三地之间的时空距离将大大缩短，大桥建成前，驾车从香港特别行政区到珠海某地路程为千米，大桥建成后，两地路程缩短为原来的一半，平均速度也比原来快千米/小时，这样，相同的两地行驶时间只需原来的，求港珠澳大桥建成前驾车行驶的平均速度？ 【例2】两地相距千米，一辆公共汽车从地出发开往地，小时后，又从地开来一辆小汽车，小汽车的速度是公共汽车的倍．结果小汽车比公共汽车早分钟到达地，求两种车的速度． 【变式1-1】甲、乙两名同学的家与某科技馆的距离均为．甲、乙两人同时从家出发去科技馆，甲同学先匀速步行，然后乘公交车（匀速），乙同学骑自行车（匀速）．已知乙同学骑自行车的速度是甲同学步行速度的4倍，公交车的速度是乙同学骑自行车速度的2倍，结果甲同学比乙同学晚到．乙同学到达科技馆时，甲同学离科技馆还有 m． 【变式1-2】北极航道的打通为中国和欧洲海运开辟了新航线，北极航线的里程相比传统走巴拿马运河航线大大缩短，节省了时间和燃油成本，每年可以节省上百亿的运费．某海运公司集装箱货轮从中国天津港出发，走北极航线到德国汉堡港比走巴拿马运河航线能节省10天的航程，走北极航道海运里程约12000公里，走巴拿马运河航线大约20000公里．北极航线路近大陆，风浪较小，集装箱货轮走北极航线的速度是走巴拿马运河航线速度的1.2倍．求集装箱货轮走巴拿马运河航线每天能走多少公里？ 【变式1-3】随着国内快递业务量的迅速增长，通过无人机可打造短途航空物流网络，提高物流效率，小峰和小明对此非常感兴趣，相约明天去科技馆看展览了解情况，他们的谈话内容如图所示，若他们两人同时到达科技馆，求小峰骑自行车的平均速度和小明乘坐的公交车的平均速度． 类型二、工程问题 解工程问题，核心是围绕“工作量=工作效率×工作时间”展开。 先设总工作量为单位“1”（或具体总量），明确各主体工作效率；再分析工作方式（单独做、合作做、分段做），理清合作或分工；最后根据工作量关系列方程，统一时间单位，验证结果是否符合实际施工逻辑。 【例3】甲、乙两个工程队合修一条公路，已知甲工程队每天修，乙工程队每天修，其中，则甲工程队修900m所用时间是乙工程队修600m所用时间的多少倍？ 【例4】喜迎熊猫丫丫回国，贵阳一玩具加工厂计划甲车间加工熊猫玩偶600个，工作5天后，增加了工人人数，每天比增加前多加工20个，又加工了两天完成了任务． (1)求甲车间增加工人人数后每天加工熊猫玩偶的个数； (2)由于该玩偶深受消费者喜欢，工厂决定扩大生产，安排乙车间加工生产该熊猫玩偶2 000个，该车间在加工完成一半后，改进了加工技术，每天比改进技术前多加工，结果提前2天完成任务，求乙车间改进技术前每天加工玩偶的个数． 【变式2-1】某工厂计划生产个零件，但是在实际生产时，，求实际每天生产多少个零件？在这个题目中，若设实际每天生产个零件，可得方程，则题目中用“”表示的条件应是（    ） A．每天比原计划多生产个，结果延期天完成 B．每天比原计划多生产个，结果提前天完成 C．每天比原计划少生产个，结果延期天完成 D．每天比原计划少生产个，结果提前天完成 【变式2-2】某项工程需要在规定的时间内完成，若甲队单独做正好可以如期完成，若乙队单独做，将会延期三天完成．现由甲乙两队合作两天，余下的工程由乙队单独做，恰好也如期完成． (1)问规定的工期是多少天？ (2)若先由甲乙两队合作两天，余下的工程再由甲队单独做三天能如期完成吗？为什么？ 【变式2-3】 今年在防控流感期间，各单位部门积极部署，对生活环境进行消毒．某学校计划利用周末将教室及公共环境进行“喷药消毒”，若由甲小组单独消毒恰好在规定时间内完成，若由乙小组单独消毒需要超过规定时间小时才能完成．甲、乙两个小组合作1小时后，甲小组因另有任务退出，由乙小组单独消毒，正好可以按时完成．问消毒工作的规定时间是多少小时？ 类型三、销售盈亏问题 解销售盈亏问题，核心是掌握“利润=售价-成本”“利润率=利润/成本×100%”。 先明确成本、售价、折扣、利润率等关键量；再根据折扣转化实际售价，理清量与量的关系；最后通过利润正负判断盈亏，列方程求解，注意统一货币单位，验证结果是否符合实际销售场景。 【例5】列方程解答问题： 2025年9月第二十三届中国摩博会在重庆举行，本届摩博会参展企业数量创下历史新高，超过3000款摩托车型集中亮相．8月某摩托车专卖店售出、两款摩托车共120辆，其中款的销售额是20万元，款的销售额是80万元．已知每辆款摩托车售价是每辆款摩托车售价的2倍． (1)求款摩托车与款摩托车的售价分别为每辆多少万元； (2)该摩托车专卖店想在9月摩博会期间提高销量，决定对（1）中两款车进行降价促销，款每辆售价在8月的基础上降低了万元，销量增加了40辆；款每辆售价在8月的基础上降低了万元，销量增加了20辆；若两款摩托车的总销售额是8月的1.5倍还少万元，求的值． 【例6】在国庆黄金周中，熊猫基地游客络绎不绝，热闹非凡，附近商店的文创产品也深受小朋友喜爱．某商店分两次购入熊猫文创产品．第一次用2400元购进A款产品，1440元购进B款产品，B款产品购进单价比A款产品购进单价高20％，B款产品的购进数量比A款产品的购进数量少40个． (1)该商店A款产品的购进单价为多少元？ (2)第一批A款产品销售不错，售完后，该商店准备再购进一批A款产品（两次购进单价不变），为回馈顾客，决定降价销售，A款产品原售价40元，日销售量为20件，经调查发现，每降价1元，多售出2件A产品，当A款产品降价多少元时，每天可获利192元． 【变式3-1】中秋吃月饼是中国传统的习俗，圆圆的月饼不仅承载着文化寓意，更藏着丰富的数学知识．某班举办将数学元素和传统文化结合的“月饼里的数学秘密”主题活动，其中购买25袋“云腿馅”与20袋“豆沙馅”一共花费420元，已知每袋“云腿馅”比每袋“豆沙馅”贵6元． (1)求一袋“云腿馅”和“豆沙馅”的价格分别是多少元？ (2)将数学文化与传统文化结合，提升了学生的跨学科素养，刘老师决定在她的班上也举行这个活动，但是单价发生了变化，每袋“云腿馅”增加的价格是每袋“豆沙馅”增加的价格的2倍，用108元买到的“云腿馅”的数量比用相同价格买到的“豆沙馅”的数量少6袋，此时一袋“云腿馅”和“豆沙馅”的价格分别是多少元？ 【变式3-2】某文具店老板第一次用1000元购进一批文具，很快销售完毕；第二次购进时发现每件文具进价比第一次上涨了2.5元．老板用2500元购进了第二批文具，所购进文具的数量是第一次购进数量的2倍，同样很快销售完毕，两批文具的售价均为每件15元． (1)求第二次购进了多少件该文具； (2)文具店老板第一次购进的文具有3%的损耗，第二次购进的文具有5%的损耗，问文具店老板在这两批文具销售完后共盈利多少元？ 【变式3-3】某书店老板去图书批发市场购买某种图书，第一次用元购书若干本，按该书定价7元出售，很快售完．由于该书畅销，第二次购书时，每本的进价比第一次提高了，他用元所购该书数量比第一次多本． (1)求第一次购书的进价； (2)第二次购书后，当按定价售出本时，出现滞销，便以定价的4折售完剩余的书．不考虑其他因素，试问该老板这两次售书总体上是赔钱了，还是赚钱了？若赔钱，赔多少？若赚钱，赚多少？ 类型四、电水费问题 解电水费应用题，核心是把握“分段计费”特点。 先明确计费标准（分段单价、起征点），区分不同用量区间的收费规则；再判断实际用量所属区间，或设未知数列方程；计算时注意单位统一，分段累加费用，验证结果是否符合用量与费用的逻辑关系，避免漏算或重复计费。 【例7】某市从今年1月1日起调整居民用水价格，每立方米水费上涨．小丽家去年月份的水费是元，而今年5月的水费则是元．已知小丽家今年5月的用水量比去年月的用水量多，求该市去年居民用水的价格．设去年居民用水价格为，根据题意列方程，正确的是（    ） A． B． C． D． 【例8】经重庆市发改委统筹考虑重庆电力供需状况、电网负荷特性、居民用电习惯等，在保持价格总水平基本稳定的前提下，现制定分时电价标准，分成三个时段计费，即高峰时段、低谷时段和平段． 1．高峰时段：、，在平段电价基础上提高元/千瓦时． 2．低谷时段：，在平段电价基础上降低元/千瓦时． 3．平段：、、，平段电价为国家规定的销售电价． (1)某家庭8月份总电量400千瓦时，其中平段电量为总电量．低谷电量占总电量，根据相关政策，使用新方案计算电费，低谷时段电费恰好是高峰时段电费的，则平段电价为多少元/千瓦时？ (2)电力公司采用新能源节约成本，9月份将所有时段电费单价在（1）中的费用的情况下均降低相同费用，若该家庭9月份高峰时段费用与低谷时段费用一样，而低谷时段电量为高峰时段电量的2倍，则降价后高峰时段电价为多少元/千瓦时？ 【变式4-1】某市为节约水资源，从2018年1月1日起调整居民用水价格，每立方米水费比2017年上涨．小明家2017年8月的水费是18元，而2018年8月的水费是33元．已知小明家2018年8月的用水量比2017年8月的用水量多5 m3． （1）求该市2017年居民用水的价格； （2）小明家2019年8月用水量比2018年8月份用水量多了20%，求小明家2019年8月份的水费． 【变式4-2】为了节约用水，石家庄物价局于年月日举行《市民用水阶梯价格分级用量听证会》，并提出超量加价．若民用自来水水费调整为每月用水量不超过包括时，则按规定标准2.8元（含污染费和排污费），若每月用水量超过，则超过的部分按收费（含污染费和排污费）． (1)小敏家为了响应政府节约用水的号召，决定从年月起计划平均每月用水量比年月到年月平均每月用水量减少，这使小敏家在相同的月数内，从计划前的用水量变为计划后的用水量，求小敏家从年月起计划平均每月用水量； (2)小敏家从年月到年月这一年中，有四个月超出现在计划月平均用水量的，有四个月超出现在计划月平均用水量的，其余的四个月的用水量与年月到年月的平均每月用水量相等．若按新的交费法，求小敏家从年月到年月这一年中应交的总水费． 【变式4-3】某自来水公司水费计算办法如下：若用户当月用水不超过，则每立方米收费元，若当月用水超过，则超出部分每立方米收取较高的定额费用，今年1月份，张家用水量是李家用水量的，张家当月水费是元，李家当月水费是元，问超出的部分每立方米收费多少元？ 类型五、和差倍分问题 【例9】研究表明：植物具有固碳能力，所谓固碳能力，具体表现为植物通过光合作用将大气中的二氧化碳转化为有机碳，并固定在植物体内的能力．生物兴趣小组的同学们通过查阅资料发现，洋槐一天固碳2700克所需的种植面积是垂柳一天固碳2150克所需种植面积的2倍，而垂柳一天平均每平方米固碳量比洋槐一天平均每平方米固碳量多克，求洋槐一天平均每平方米的固碳量． 【例10】为了节能环保，某超市为两个楼层分别更换了数量相同的甲、乙两种型号的节能灯．经过一段时间发现，安装甲型号节能灯的一楼月用电量为，安装乙型号节能灯的二楼月用电量为，已知，甲型号节能灯每个月的用电量比乙型号节能灯每个月用电量的2倍少，求这两种型号的节能灯每只每个月的用电量各是多少． 解法一：所列出的方程为； 解法二：所列出的方程为． (1)解法一中所列方程中的x表示 （填序号），解法二中所列方程中的x表示 （填序号）； ①每只甲型号节能灯每个月的用电量； ②每只乙型号节能灯每个月的用电量； ③乙型号节能灯的数量 (2)请你选择其中一种解法，写出完整的解答过程． 【变式5-1】甲、乙、丙三个数依次相差，若乙数的倒数与丙数的倒数的倍之和与甲数的倒数的倍相等，则甲、乙、丙三个数分别是（   ） A．，， B．，， C．，， D．，， 【变式5-2】某搬家公司现有甲、乙两种货车，已知甲种货车比乙种货车每辆车多装10袋物品，且甲种货车装运450袋物品所用车辆与乙种货车装运350袋物品所用车辆数相等． (1)求甲、乙两种货车每辆车可装多少袋物品？ (2)如果这批物品有593袋，用甲、乙两种货车共15辆来装运，甲种车辆刚好装满，乙种车辆最后一辆装载的物品只装了23袋，其它装满，求甲，乙两种货车各需要多少辆？ 【变式5-3】近年来中国潮玩与动漫产业蓬勃发展，有分析人士预计2026年中国潮玩市场总价值将达到1101亿元．某小店老板非常看好这个用情绪价值撬动的千亿市场，购进了A型和B型两种潮玩玩具，每套A型玩具的进价比每套B型玩具的进价多2.5元，已知用200元购进A型玩具的套数与用150元购进B型玩具的套数是相同的． (1)求A型、B型玩具的进价分别是多少元； (2)老板以原进价再次购进这两种型号的玩具共100套，恰好用了950元，则购进A型玩具多少套？ 类型六、其他问题 【例11】如下图，一幅书画在装裱前的大小是，装裱后，上、下、左、右边衬的宽度分别是．若装裱后与的比是，且，，求上边衬的宽度． 【例12】一个圆柱形容器的容积为立方米，开始用一根小水管向容器内注水，水面高度达到容器高度一半后，改用一根口径为小水管倍的大水管注水．向容器中注满水的全过程共用时间分．求两根水管各自注水的速度． 【变式6-1】每年的12月底至1月初，是韶关皇帝柑的最佳品尝期，某果园计划种植皇帝柑，原计划总产量30万千克，为了满足市场需求，现决定改良品种，改良后平均每亩产量是原来的倍，总产量比原计划增加6万千克，种植面积可减少30亩，求改良后的皇帝柑品种平均每亩产量是多少万千克？ 【变式6-2】问题：“为了改善生态环境，某村计划在荒坡上种树960棵，由于青年志愿者支援，_________，结果提前4天完成任务，原计划每天种树多少棵？” 条件：①实际每天种树的棵树是原计划的倍；②实际每天比原计划多种20棵． 在上述的2个条件中选择1个条件补充在问题的横线上，并完成解答． 【变式6-3】下面是学习《分式方程的应用》时，老师板书的应用题和两名同学所列的方程． 分式方程 某校为迎接市中学生田径运动会需240面彩旗．计划由八年级（1）班的3个小组完成此任务，3个小组的人数相等．后因1个小组另有任务，剩余2个小组的每名学生要比原计划多做4面彩旗才能完成任务．那么每个小组有多少名学生？原计划每名学生做多少面彩旗？ 冰冰：， 庆庆： 根据以上信息，解答下列问题． (1)冰冰同学所列方程中的表示________，庆庆同学所列方程中的表示________； (2)请你选择其中的一个方程解决老师提出的问题． 1．为治理新疆土地沙漠化，改善生态，某地区计划在沙漠边缘植树30万棵．因当地风沙大、气候特殊，为赶在风沙季前完成种植以保障树苗存活，实际每天植树棵数比原计划增加，提前3天完工．若设实际每天植树万棵，根据题意可得方程为（   ） A． B． C． D． 2．某工人原计划在规定时间内加工300个零件，因改进了工具和操作方法，现在每小时比原来多加工10个零件，结果现在加工300个零件的时间和原来加工240个零件的时间相同．原计划每小时加工 个零件． 3．肖老师周末从市区某小区开车前往相距的成都天府国际机场，考虑到机场附近可能出现道路拥堵问题．为不耽误航班．实际开车的平均速度比原计划提高了，结果提前20分钟到达机场，则肖老师实际开车的平均速度是 ．    4．在蛇年春晚的创意融合舞蹈《秧》中，机器人与舞者共舞，手绢花翻飞旋转，体现了中国科技企业的崛起．机器人在日常生活中的应用也日益广泛，某快递公司为提高分拣效率及准确性，引进了具有分拣功能的智能机器人，1台机器人1小时分拣的快递量比1个人1小时分拣快递量的5倍还多10件，已知1台机器人和1个人1小时共可以分拣快递730件． (1)求1个人和1台机器人1小时分别分拣快递的数量； (2)为了进一步提高效率，该快递公司又引进了甲、乙两款不同的机器人，已知1台甲型机器人比1台乙型机器人1小时多分拣200件快递，1台甲型机器人分拣9600件快递的时间和1台乙型机器人分拣7200件快递的时间相同，求1台甲型机器人1小时分拣快递的数量． 5．列方程解下列问题： 某厂生产甲、乙两种文创产品．每天生产甲种文创产品的数量比每天生产乙种文创产品的数量多50个，3天时间生产的甲种文创产品的数量比4天时间生产的乙种文创产品的数量多100个． (1)求该厂每天生产的甲、乙文创产品数量分别是多少个？ (2)由于市场需求量增加，该厂对生产流程进行了改进．改进后，每天生产乙种文创产品的数量较改进前每天生产的数量增加同样的数量，且每天生产甲种文创产品的数量较改进前每天增加的数量是乙种文创产品每天增加数量的2倍．若生产甲、乙两种文创产品各1400个，乙比甲多用10天，求每天生产的乙种文创产品增加的数量． 6．习近平总书记说，读书可以让人保持思想活力，让人得到智慧启发，让人滋养浩然正气．某校为提高学生的阅读品味，决定购买获得茅盾文学奖的甲、乙两种书，已知每本甲种书比每本乙种书多10元，若购买相同数量的甲、乙两种书分别需花费1750元和1250元．求甲、乙两种书的单价． 7．小强计划在2025年春节来临前，给街道2024年退伍军人及6位劳动模范每人送一张贺卡，网上购买贺卡的优惠条件是：购买25或25张以上享受团购价．小强发现：零售价与团购价的比是，经过分析，按计划购买贺卡张数只能享受零售价，如果比原计划多购买5张贺卡就能享受团购价，这样正好花100元，而且比原计划还节约20元． (1)贺卡的零售价是多少？ (2)街道2024年退伍军人有多少人？ 8．农业现代化是我国发展的必由之路，某地农民积极响应政府号召，自发成立现代新型农业合作社，适度扩大玉米种业规模，今年合作社玉米喜获丰收．合作社打算租用玉米收割机收割玉米，现有A，B两种型号收割机可供选择，已知每台B型号收割机每天的收割亩数是A型号的1.5倍，若收割600亩玉米，5台A型号收割机所用时间比4台B型号的收割机所用时间多1天，求A，B两种型号收割机每台每天收割玉米的亩数． 9．小芳打算在暑假和爸爸、妈妈一起去上海迪士尼乐园游玩，她综合考虑了交通、门票、住宿等方面的因素，得出如下结论： （1）如果选择在乐园内，会比住在乐园外少用1天的时间就能体验完他们感兴趣的项目； （2）一家三口住在乐园内的日均支出是住在乐园外的日均支出的1.5倍； （3）无论是住在乐园内还是乐园外，一家三口这次旅行的总费用都是9810元； 请问：如果小芳家选择住在乐园内，那么他们预计在迪士尼乐园游玩多少天？ 10．某学习小组计划到博物馆参观学习． (1)为达到更佳的参观学习效果，他们租了一个私家讲解团，团费为360元，后又临时增加3名同学，同时团费变为了420元，实际的人均费用只为原来人均费用的，求该学习小组实际参观博物馆的同学人数； (2)该博物馆的参观路线全长千米，分为“经典讲解”和“特色数字化体检”两个部分，其中“经典讲解”部分参观路线的长度为3千米，且他们参观“经典讲解”部分的平均速度是参观“特色数字化体验”部分的平均速度的3倍，加上在“特色数字化体验”部分排队的10分钟，整个参观学习过程共小时，求他们参观“经典讲解”部分的平均速度为多少千米／时． 11．火树银花不夜天，璀璨多姿中国年．沙坪坝区某街道计划在部分道路挂上迎春灯饰，已知甲种灯笼每个30元，乙种灯笼每个20元．若采购甲、乙两种灯笼共440个，且这两种灯笼的采购费共为11200元． (1)求采购甲、乙两种灯笼各多少个？ (2)某灯笼供应商为了支持迎春灯饰工作，现将甲、乙两种灯笼都降价a元．但街道在实际采购中分别用于这两种灯笼的采购费将保持不变，且采购甲、乙两种灯笼的数量相同，求a的值． 12．为了推进五育并举，促进学生全面发展，各校积极建设劳动实践基地．某校有一块长方形劳动实践基地，长为米，宽为a米． (1)去年实践基地收获蔬菜，该校安排甲乙两组志愿者进行采摘，已知甲组每分钟采摘速度是乙组的2倍，而甲组单独完成采摘任务所需要的时间比乙组单独完成任务所需要的时间少10分钟，求甲、乙两组每分钟各采摘多少千克的蔬菜？ (2)如图，今年从该基地中截取出一个边长为a米的正方形地块，用来种植A类蔬菜，而剩余土地用来种植B类蔬菜，最终收获A类蔬菜，B类蔬菜，哪类蔬菜的单位面积产量大？请说明理由． 1/10 学科网（北京）股份有限公司 $