精品解析：江苏省常州高级中学2025-2026学年高二上学期11月期中质量调研数学试题

江苏省常州高级中学2025-2026学年高二上学期11月期中质量调研数学试题 命题人：缪峰美 审卷人：吴莉娜 2025.11 说明：1.请将所有题目的答案填涂在答卷纸上. 2.本卷总分150分，考试时间120分钟. 一、单项选择题：（本题共8小题，每小题5分，共计40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.） 1. 抛物线的准线方程是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】利用抛物线准线方程定义求解即可． 【详解】抛物线的准线方程为，焦点在轴上，，即，， 准线方程是． 故选：A. 2. 方程表示的曲线的标准方程是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】由已知等式的几何意义结合椭圆的定义可求曲线的标准方程 【详解】表示到点的距离之和为10， 又，故点的轨迹满足椭圆的定义， 设其标准方程为：， 显然，又，解得， 则标准方程为：. 故选：C. 3. 若两直线平行，则实数的取值集合是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据两直线平行得到方程和不等式，求出. 【详解】由题意得且， 解得. 故选：B 4. 已知圆关于直线对称，则圆的半径为（ ） A. B. 2 C. D. 4 【答案】A 【解析】 【分析】先由圆的一般式得到圆心坐标，再利用圆的对称性得到关于的方程，进而再将圆的一般式化为标准方程，从而得解. 【详解】由，可得圆的圆心为. 因为圆关于直线对称， 所以由圆的对称性可知，圆心在直线上， 则，解得， 故圆，可化为， 所以圆的半径为. 故选：A. 5. “”是“直线与双曲线只有一个公共点”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】A 【解析】 【分析】根据题意，联立直线与双曲线方程，由直线与双曲线只有一个公共点代入计算，即可得到的取值，再由充分条件，必要条件的定义，即可得到结果. 【详解】联立方程，整理可得， 当时，即，方程有一解，即只有一个公共点； 当时，，解得； 所以直线与双曲线只有一个公共点时，或， 所以“”是“直线与双曲线只有一个公共点”的充分不必要条件， 故选：A 6. 若圆上总存在两个点到原点的距离均为2，则正实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】问题转化为圆与圆有两个交点，利用圆与圆的位置关系，即得所求的取值范围. 【详解】到原点的距离为2的点的轨迹为圆， 因此问题转化为圆与圆有两个交点， 易知，，，，， 所以，即， 解得或， 又因为 所以实数的取值范围为. 故选：A. 7. 设为双曲线上两点，若线段AB的中点是，则直线方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】设，通过点差法求解直线的斜率，从而得直线方程． 【详解】设，线段的中点是， ，， ，在双曲线上，则， 两式相减得， 即， 则，所以直线方程为，即， 联立，，故直线与双曲线有两个交点， 故经检验直线方程为. 故选：D． 8. 过点作直线的垂线，垂足为M，已知点，则当变化时，的取值范围是　　 A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】化已知直线为，即有且，解方程可得定点Q，可得M在以PQ为直径的圆上运动，求得圆心和半径，由圆的性质可得最值． 【详解】解：直线，即， 由，求得，直线经过定点． 由为直角三角形，斜边为PQ，M在以PQ为直径的圆上运动， 可得圆心为PQ的中点，半径为， 则与M的最大值为， 则与M的最小值为， 故MN的范围为：， 故选B． 【点睛】本题考查直线恒过定点，以及圆的方程的运用，圆外一点与圆上的点的距离的最值求法，考查运算能力，属于中档题． 二、多项选择題：（本题共3小题，每小题6分，共计18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.） 9. 如图所示，下列四条直线，，，，斜率分别是，，，，倾斜角分别是，，，，则下列关系正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】BC 【解析】 【分析】根据直线的图像特征，结合直线的斜率与倾斜角定义，得出结论. 【详解】直线，，，，斜率分别是，，，，倾斜角分别是，，，， 由倾斜角定义知，，，，故C正确； 由，知，，，，故B正确； 故选：BC 10. 已知是椭圆和双曲线的公共焦点，是该椭圆和双曲线的一个公共点，的外接圆半径为2，且，记椭圆的离心率为，双曲线的离心率为，则下列说法正确的是（ ） A. B. C. D. 的最小值为 【答案】BCD 【解析】 【分析】由椭圆与双曲线中参数之间的关系得到，判断A选项；由三角形正弦定理求得角，由椭圆和双曲线定义表示出线段，，再用余弦定理求得关系，由三个参数的关系式，判断B选项；由两边同除再化简，判断C选项；用离心率公式代入数值后利用基本不等式求得最小值，判断D选项． 【详解】对于A，，是椭圆和双曲线的公共焦点， 双曲线，则焦点在轴，所以椭圆中， ，，即，即，故A选项错误； 对于B，由正弦定理可知在中，，， ，， 由椭圆和双曲线的定义可知：，解得，， ， 即，， ，故B选项正确； 对于C，，，即，，故C选项正确； 对于D，由得，所以 ， 当且仅当，即时取等号，所以最小值为，故D选项正确． 故选：BCD． 11. 已知曲线，点为曲线上任意一点，则（ ） A. 曲线的图象由两个圆构成 B. 的最大值为 C. 的取值范围为 D. 直线与曲线有且仅有3个交点 【答案】AC 【解析】 【分析】根据题意，化简方程为，结合圆的标准方程，可判定A正确；由表示点到原点距离的平方，可判定B错误；设过点且与圆相切的直线方程为，结合点到直线的距离公式，以及直线与圆的位置关系，可判定C正确；由直线与圆均相切，可判定D错误． 【详解】对于A中，由，得， 即，即， 所以或， 即或， 所以曲线表示以为圆心，为半径的两个圆，所以A正确； 对于B中，由表示点到原点距离的平方， 最大值为，所以B错误； 对于C中，如图所示，设过点且与圆相切的直线方程为， 则点到该直线的距离，解得， 即图中直线的斜率为1，可得直线的方程为， 点到直线的距离，则直线与圆相切， 设过点且与圆相切的直线方程为， 则点到该直线的距离，解得， 又由表示的是点到点的斜率， 故的取值范围为，所以C正确； 对于D中，由C项可知直线与圆均相切， 所以直线与曲线有且仅有2个交点，所以D错误． 故选：AC． 【点睛】方法点睛：有关与圆有关的最值问题的求解策略： 1、借助几何性质与圆的有关最值问题，根据代数式的几何意义，结合数形结合思想求解： ①形如：形式的最值问题，可转化为动直线截距的最值问题； ②形如：形式的最值问题，可转化为动直线斜率的最值问题； ③形如：的最值问题，可转化为动点到定点的距离平方的最值问题； 2、几何方法：若题目中的条件和结论能明显体现几何特征和意义，则考虑利用圆、圆锥曲线的定义、图形，以及几何性质求解； 3、代数方法：当题目给出的条件和结论的几何特征不明显，则可以建立目标函数，再求这个目标函数的最值（或值域），常用方法：①配方法；②基本不等式；③单调性法；④三角换元法；⑤导数法等，要特别注意自变量的取值范围. 三、填空题：（本题共3小题，每小题5分，共计15分.） 12. 已知圆和圆，则圆与公切线段的长度为__________. 【答案】2 【解析】 【分析】由圆和圆的圆心和半径确定两圆位置关系，从而得到轴为与的一条公切线，确定与轴相切的点坐标，即可得公切线段的长度. 【详解】圆的圆心为，半径， 则轴为的切线，切点为， 圆的圆心，半径， 则轴为的切线，切点为， 如图所示： 又， 则，故两圆相交，则轴为圆与的一条公切线， 公切线段的长度为. 故答案为：2. 13. 若双曲线经过点，两条渐近线方程是，该双曲线的实轴长为__________. 【答案】6 【解析】 【分析】根据题意可设双曲线的方程为，将点的坐标代入双曲线的方程，求出，即可得出双曲线的标准方程，从而得双曲线的实轴长． 【详解】由题意可设该双曲线的方程为， 将点的坐标代入双曲线的方程可得， 即双曲线的方程为，化为标准方程为， 故双曲线的，所以双曲线的实轴长为． 故答案为：． 14. 如图，已知半椭圆与半椭圆组成的曲线称为“果圆”，其中.“果圆”与轴的交点分别为，与轴的交点分别为，点为半椭圆上一点（不与重合），若存在，则半椭圆的离心率的取值范围为__________. 【答案】 【解析】 【分析】利用椭圆上点的坐标从而得到向量坐标，利用向量坐标表示数量积得到相应等量关系，再由点的变化范围得到相应不等式，进而求得取值范围． 【详解】设，，则，所以， 因为，，所以， 所以． 由，可得． 因为存在，所以在上有解， 因为，且， 所以在上有解， 即在上有解． 因为，所以，即解得． 故答案为：. 四、解答题：（本题共5小题，共计77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 15. 平面直角坐标系中，过点的直线与两坐标轴分别交于两点，面积记为. （1）若直线在轴上的截距为5，求的值； （2）若时，求直线的斜截式方程. 【答案】（1） （2）或 【解析】 【分析】（1）根据题意可知直线过点，由此可得斜率，再由点斜式得解； （2）设直线在轴上的截距为，由此建立关于的方程，解出即可得直线的斜截式方程. 【小问1详解】 依题意，直线过点， 则其斜率为，方程为， 令，可得， 则； 【小问2详解】 设直线在轴上的截距为， 则直线过点， 故其斜率为，方程为， 令，可得， 则，解得或， 则直线的斜截式方程为或． 16. 已知圆的方程为，直线. （1）求圆关于直线对称的圆的方程； （2）若为直线上的动点，为圆上的动点，为坐标原点，求的最小值. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）求得圆心关于直线的对称点，可得圆的方程； （2）由，可得所求最小值． 【小问1详解】 由圆的方程为知圆心，半径． 设圆心关于直线的对称点为，则， 解得， 所以圆的方程为； 【小问2详解】 因为， 所以当，，三点共线时，取得最小值． 因为，所以的最小值为． 17. 已知椭圆，四点中恰有三点在椭圆上. （1）求椭圆的方程； （2）过椭圆的左顶点作斜率不等于零的直线与椭圆的另一个交点为，若点是线段AB垂直平分线上一点，且满足，求实数的值. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据椭圆的对称性，得到三点在椭圆上，把代入椭圆求出，即可得椭圆方程； （2）设直线的方程为，与椭圆联立并利用韦达定理求得的坐标，继而得的中点的坐标.再利用及列式求解即得解. 【小问1详解】 ∵椭圆， 根据椭圆的对称性，，两点必在椭圆上， 又的横坐标为1，所以椭圆必不过， 则、、在椭圆上， 所以，，解得， ∴椭圆的方程为． 【小问2详解】 由（1）得，设，令是的中点. 由题意知，直线的斜率一定存在，设直线的方程为， 联立，得， 且， ∴，， ， 由，得，，即， 所以，， 由，得，化简得 解得，所以. 18. 双曲线，左、右顶点分别为为的右焦点. （1）是双曲线右支上一动点（不与顶点重合），直线交轴于点，若的面积是面积的2倍，求直线的方程. （2）已知点，直线与交于A，B两点.当时，上存在点使得，其中依次为直线PA，PB，PM的斜率，证明：在定直线上. 【答案】（1）或； （2）证明见解析 【解析】 【分析】（1）根据为的中点得的面积是面积的2倍，进而的面积等于的面积，求得轴，与双曲线方程联立求得点坐标，然后求出直线斜率，代入点斜式直线方程求解即可； （2）分别设，表示出，再由直线与双曲线联立，得出根与系数的关系代入求出即可得证. 【小问1详解】 由题意，所以为的中点，所以的面积是面积的2倍， 所以的面积等于的面积，所以，所以轴， 故直线方程为，联立得，即或， 又，所以直线的斜率为或， 所以直线的方程为或， 即或； 【小问2详解】 不妨设， 则， 因为均在上， 所以， 所以， 欲使，只需， 故只需，即， 联立整理得， 因为，所以且， 所以，所以只需，即，解得， 所以， 所以，即上存在点满足题设， 显然在定直线上，证毕. 19. 已知椭圆的离心率为，且过点. （1）求椭圆的方程； （2）已知点，设是椭圆上的一点，过E，F两点的直线交轴于点，若，求的取值范围； （3）若斜率为的直线与椭圆交于A、B两点（直线PA斜率为正），直线PA、PB（若、重合，直线PB即为椭圆在点处的切线）分别与轴交于M、N两点，为PN中点.求的最大值. 【答案】（1）； （2）； （3）. 【解析】 【分析】（1）由题意联立方程求解即可； （2）设，由可得，结合计算可得的取值范围； （3）设出直线方程，与椭圆方程联立利用韦达定理，结合斜率坐标公式推证得，再利用余弦定理建立函数关系求出正弦最大值. 【小问1详解】 由题意可得，解得， 所以椭圆的方程为； 【小问2详解】 设， 则，， 若，则， 即，解得， 因为在椭圆上，则， 化简可得， 因为，所以，解得或， 即的取值范围； 【小问3详解】 设直线，由消去得， 设，则，直线的斜率分别为， 则 ，则，即， 在中，令，则， 在中，， 在中，, 因为， 所以， 即，解得， ， 当且仅当时取等号， 因为在上单调递减，在上单调递增， 所以取最小值时， 有最大值为. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 江苏省常州高级中学2025-2026学年高二上学期11月期中质量调研数学试题 命题人：缪峰美 审卷人：吴莉娜 2025.11 说明：1.请将所有题目的答案填涂在答卷纸上. 2.本卷总分150分，考试时间120分钟. 一、单项选择题：（本题共8小题，每小题5分，共计40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.） 1. 抛物线的准线方程是（ ） A. B. C. D. 2. 方程表示的曲线的标准方程是（ ） A. B. C. D. 3. 若两直线平行，则实数的取值集合是（ ） A. B. C. D. 4. 已知圆关于直线对称，则圆的半径为（ ） A. B. 2 C. D. 4 5. “”是“直线与双曲线只有一个公共点”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 6. 若圆上总存在两个点到原点的距离均为2，则正实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 7. 设为双曲线上两点，若线段AB的中点是，则直线方程为（ ） A. B. C. D. 8. 过点作直线的垂线，垂足为M，已知点，则当变化时，的取值范围是　　 A. B. C. D. 二、多项选择題：（本题共3小题，每小题6分，共计18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.） 9. 如图所示，下列四条直线，，，，斜率分别是，，，，倾斜角分别是，，，，则下列关系正确的是（ ） A. B. C. D. 10. 已知是椭圆和双曲线的公共焦点，是该椭圆和双曲线的一个公共点，的外接圆半径为2，且，记椭圆的离心率为，双曲线的离心率为，则下列说法正确的是（ ） A. B. C. D. 的最小值为 11. 已知曲线，点为曲线上任意一点，则（ ） A. 曲线的图象由两个圆构成 B. 的最大值为 C. 的取值范围为 D. 直线与曲线有且仅有3个交点 三、填空题：（本题共3小题，每小题5分，共计15分.） 12. 已知圆和圆，则圆与公切线段的长度为__________. 13. 若双曲线经过点，两条渐近线方程是，该双曲线的实轴长为__________. 14. 如图，已知半椭圆与半椭圆组成的曲线称为“果圆”，其中.“果圆”与轴的交点分别为，与轴的交点分别为，点为半椭圆上一点（不与重合），若存在，则半椭圆的离心率的取值范围为__________. 四、解答题：（本题共5小题，共计77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 15. 平面直角坐标系中，过点的直线与两坐标轴分别交于两点，面积记为. （1）若直线在轴上的截距为5，求的值； （2）若时，求直线的斜截式方程. 16. 已知圆的方程为，直线. （1）求圆关于直线对称的圆的方程； （2）若为直线上的动点，为圆上的动点，为坐标原点，求的最小值. 17. 已知椭圆，四点中恰有三点在椭圆上. （1）求椭圆的方程； （2）过椭圆的左顶点作斜率不等于零的直线与椭圆的另一个交点为，若点是线段AB垂直平分线上一点，且满足，求实数的值. 18. 双曲线，左、右顶点分别为为的右焦点. （1）是双曲线右支上一动点（不与顶点重合），直线交轴于点，若的面积是面积的2倍，求直线的方程. （2）已知点，直线与交于A，B两点.当时，上存在点使得，其中依次为直线PA，PB，PM的斜率，证明：在定直线上. 19. 已知椭圆的离心率为，且过点. （1）求椭圆的方程； （2）已知点，设是椭圆上的一点，过E，F两点的直线交轴于点，若，求的取值范围； （3）若斜率为的直线与椭圆交于A、B两点（直线PA斜率为正），直线PA、PB（若、重合，直线PB即为椭圆在点处的切线）分别与轴交于M、N两点，为PN中点.求的最大值. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $