精品解析：湖北省十堰市东风高级中学2025-2026学年高一上学期期中考试数学试题

东风高中2025级高一上学期期中考试 数学试题 考试时间：11月13日 14:30-16:30 一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共计40分.每小题给出的四个选项中，只有一个选项是正确的. 1. 已知全集，集合，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】先把全集和集合中的元素用列举法表示出来，再根据集合的补集的概念，即可求解. 【详解】由题意，， ，所以. 故选：B. 2. 已知函数的定义域为，则函数的定义域为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】先求出的定义域，再结合，从而可求解. 【详解】由函数的定义域为， 有意义，则得，解得， 有意义，需满足且，即且， 所以函数的定义域为. 故选：B. 3. 下列各组函数表示相同函数的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据相同函数的定义一一判定即可. 【详解】对于A项，两函数的对应关系不同，故A错误； 对于B项，，两函数定义域不一样，故B错误； 对于C项，的定义域为，的定义域为， 两函数定义域不一样，故C错误； 对于D项，，与， 两函数定义域一样，对应关系一样，故D正确. 故选：D 4. 已知函数是幂函数，且在上递增，则实数（ ） A. 2 B. C. 4 D. 2或 【答案】B 【解析】 【分析】利用幂函数的定义求出m值，再由单调性验证即得. 【详解】因函数是幂函数，则，即，解得或， 当时，函数上递增，则， 当时，函数在上递减，不符合要求， 实数. 故选：B 5. 函数的单调递减区间为（ ） A B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由复合函数的单调性求解， 【详解】由得或，即的定义域为， 而在上单调递减，在上单调递增， 由复合函数单调性得，的单调递减区间为， 故选：B 6. 设，若恒成立，则k的最小值为（ ） A. 9 B. 8 C. －1 D. －2 【答案】C 【解析】 【分析】用“1”的代换及基本不等式求得的最小值为9，解不等式，求出范围得最值. 【详解】因为，当且仅当时取等号， 所以，解得， 所以的最小值为. 故选：C. 7. 我国著名数学家华罗庚曾说过：“数缺形时少直观，形少数时难入微”，在数学学习和研究中，常用函数的图象来研究函数的性质，也常用函数的解析式来琢磨函数的图象特征，如函数的图象大致形状是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】首先判断函数的奇偶性，再由时函数的符号及排除法，即可得. 【详解】由，且函数的定义域为R，故为奇函数，排除B、C； 当时，恒成立，排除D. 故选：A 8. 已知是定义在上的奇函数，当且时，都有成立，，则不等式的解集为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】构造函数，其中，分析该函数的单调性与奇偶性，结合已知条件得出，然后将所求不等式转化为、，解之即可. 【详解】构造函数，其中，则， 故函数为偶函数， 当且时，都有成立， 不妨设，则， 则，即， 故函数在上为增函数，即该函数在上为减函数， 因为，则， 当时，由得，即，解得； 当时，由得，即，解得. 综上所述，不等式的解集为. 故选：B 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 下列说法正确的是（ ） A. 命题“”的否定是“” B. “”是“”成立的充分不必要条件 C. 若，，则 D. 【答案】BCD 【解析】 【分析】选项A，直接写出全称量词命题的否定即可，根据充分不必要条件判断即可得出B选项，利用基本不等式结合一元二次不等式的解即可判断C，利用根式的性质判断选项D即可. 【详解】对于A，命题“”的否定是“”， 故选项A不正确， 对于B，当时，所以充分性成立， 反之取， 则，但是不满足， 故必要性不成立， 所以“”是“”成立的充分不必要条件，故B选项正确； 对于C，因为，所以， 令，所以有， 解得：或（舍去）， 即，当且仅当， 即时等号成立，故C选项正确， 对于D，由，故D选项正确， 故选：BCD. 10. 已知关于的不等式的解集为或，则下列说法正确的是（ ） A. B. 不等式的解集为 C. 不等式的解集为或 D. 【答案】AC 【解析】 【分析】根据题中不等式取两边且是大于等于号判断二次函数的开口方向，即可判断选项A；根据题意由韦达定理可得，代入不等式，根据即可判断选项B；根据，代入不等式求解，即可判断选项C；根据，代入不等式，根据即可判断选项D. 【详解】关于的不等式的解集为， 所以二次函数的开口方向向上，即，故A正确； 且方程的两根为、4， 由韦达定理得，解得. 对于B，，由于，所以， 所以不等式的解集为，故B不正确； 对于C，因为，所以，即， 所以，解得或， 所以不等式的解集为或，故C正确； 对于D，，故D不正确. 故选：AC. 11. 设函数，其中，则下列命题是真命题的是（ ） A. 存在实数，使得； B. 存在实数，当时，有成立； C. 对任意实数，当时，都有成立； D. 若，则实数的取值范围为. 【答案】ACD 【解析】 【分析】当时，求得，可判定A正确；分类讨论，结合二次函数的性质，求得为单调递增函数，可判定B不正确；转化为，结合为单调递增函数，可判定C正确；令，结合函数的单调性和奇偶性，不等式转化为，可判定D正确. 【详解】对于A，当时，，则， 所以存在，使得，所以A正确； 对于B，当时，，其图象开口向上，且对称轴的方程为， 所以在上单调递增，则； 当时，，其图象开口向下，且对称轴的方程为， 所以在上单调递增，则， 所以函数为单调递增函数，所以不存在，使得，所以B不正确； 对于C，要证， 即证，即证， 由B项知，函数为单调递增函数，所以恒成立，所以C正确； 对于D，令，则， 可得，所以为奇函数，且为上的递增函数， 由，可得， 即，即， 因为为上的递增函数，所以，解得，所以D正确. 故选：ACD. 二、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共计15分. 12. 若函数（是自变量）是指数函数，则的取值范围是__________ 【答案】 【解析】 【分析】根据指数函数定义求解. 【详解】因为函数（是自变量）是指数函数， 所以且，解得且. 故答案为： 13. 已知函数，，若对任意，总存在，使得成立，则实数的取值范围是__________ 【答案】 【解析】 【分析】分别求在上的值域A和在上的值域B，根据题意可知 ，进而根据关于的不等式组，解不等式组即可. 【详解】因为，则，， 可得， 可知在上的值域为， 又因为，可知在上是增函数， 且，， 可知在上的值域， 若对任意的，总存在，使得成立， 则 ，可得，解得， 所以实数的取值范围是. 故答案为: . 14. 设定义域为的函数，若关于的方程有5个不同的解，，，，，则______ 【答案】 【解析】 【分析】先画出的图象，再利用换元法结合图象得到五个解的对称关系，进而得到结果. 【详解】解：作出的图象如下图所示 设，由图象知， 当时，方程有三个根， 当或者时，方程有两个根 则方程等价于 则方程有5个不同的解，，，，等价于方程有两个根和或 由图象可得，五个根，，，，中，有四个根关于关于直线对称，还有一个根为 所以 【点睛】关键点睛：求复合函数的零点时，关键在于利用数形结合找到内层函数和外层函数根之间的关系，进而求解. 三、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知全集，集合，集合. （1）若，求； （2）若“”是“”的必要不充分条件，求实数的取值范围. 【答案】（1） （2）. 【解析】 【分析】（1）根据一元二次不等式解法，先求得集合A，进而可得，当，可得集合B，根据交集运算的定义，计算即可得答案； （2）由题意可得且，根据集合的包含关系，列出不等式，可得的取值范围. 【小问1详解】 由得，解得， 所以集合； 又全集，所以或， 当时，集合， 所以. 【小问2详解】 因为“”是“”的必要不充分条件， 所以且， 因为， 所以， 所以且等号不同时成立，解得， 故实数的取值范围为. 16. （1）已知函数是一次函数，若，求的解析式. （2）已知函数对任意实数，满足，求的解析式. （3）已知且，解关于的不等式 【答案】（1）或 （2） （3）当时，不等式解集为；当时，不等式解集为. 【解析】 【分析】（1）利用待定系数法求解即可； （2）利用解方程组法求解即可； （3）利用指数函数单调性对底数进行分类讨论等价出不等式，解出即可. 【小问1详解】 因为函数是一次函数， 设， 所以， 又， 所以， 解得或， 所以函数或. 【小问2详解】 由，① 将代替得出： ，② ①②得：， 即， 【小问3详解】 因为且， 所以当时，函数在上单调递增函数， 所以， 即，解得：， 此时不等式解集为：， 所以当时，函数在上单调递减函数， 所以， 即，解得：或 此时不等式解集为：. 综上所述，当时，不等式解集为， 当时，不等式解集为. 17. 函数对任意的都有，并且当时， （1）判断函数是否为奇函数， （2）证明：在上是增函数， （3）若，解不等式； 【答案】（1）不可能是奇函数；（2）见解析；（3） 【解析】 【分析】 【详解】试题分析:(1)由，可得函数不可能是奇函数； (2)根据函数增函数的定义, 任取，且，，即函数在上是增函数； (3) 令，则，则，根据函数的单调性去掉，解出范围. 试题解析: 解：（1） 当时，解得，显然函数不可能是奇函数， （2）任取,且 ， 在上为单调增函数. （3）解：令， 由题，则 ， 在上为单调增函数.， ，即， 18. 在日常生活中，经济学家们通常将函数的边际函数定义为．现已知某高科技企业每月生产某种特殊设备最多11台，根据以往经验：生产台（，）这种特殊设备的月收入函数为（单位：千万元），其月成本函数为（单位：千万元）．求： （1）月收入函数的最小值及此时的值； （2）月成本函数的边际函数的定义域及最大值（精确到0.01千万元）； （3）生产台这种特殊设备的月利润的最小值（月利润=月收入-月成本）． 【答案】（1）最小值为88千万元，此时 （2），，（千万元） （3）（千万元） 【解析】 【分析】（1）由给定函数模型，利用基本不等式求解即可； （2）由给定函数直接求解定义域；由函数的单调性求最值即可； （3）由月利润=月收入-月成本，再令，分别求出，，，即可； 【小问1详解】 ， 当且仅当，即时取到等号， 即的最小值为88千万元，此时； 【小问2详解】 由，可知定义域为，， ，，， 由函数单调性可知：在，上单调递增， 当时，（千万元）； 【小问3详解】 ， ，，． 令， ，，，， （千万元），此时． 19. 对于定义在上的函数，若其在区间上存在最小值和最大值，且满足，则称是区间上的“聚集函数”.现给定函数. （1）当时，求函数在上的最大值和最小值，并判断是否是“聚集函数”； （2）若函数是上的“聚集函数”，求实数的取值范围; （3）已知，若函数是上的“聚集函数”，求的最大值. 【答案】（1）最小值，最大值为；是 （2） （3）8 【解析】 【分析】（1）结合二次函数的图象即可求得； （2）根据题意，讨论对称轴和区间的位置关系，，，，分别求得即可； （3）根据题意，在对称轴取得最小值，讨论对称轴和区间的最大值，再根据和，分别求得. 【小问1详解】 根据题意：，则， 因为，则当时，， 当时，，且， 即函数为上的“聚集函数”. 【小问2详解】 ①若，则，， 根据题意：，无解； ②若，则，， 根据题意：，解得：； ③若，则，， 根据题意：，解得：； ④若，则，， 根据题意：，解得：无解； 综上：实数的取值范围为：. 【小问3详解】 因为，则， ①若，则由图象可得：， ，设，即求的最大值. ， 因为，则，，代入上式，得，则. ②若，则由图象可得：， ，设，即求的最大值. ， 因为，则，，代入上式，得，则. 综上：的最大值为，当且仅当时取等号， 即或时取等号. 因此的最大值为. 【点睛】含参数的二次函数在给定区间上求最值问题主要有三种类型： 轴定区间定、轴动区间定、轴定区间动，不论哪种类型，解决的关键是考虑对称轴和区间的关系，当含有参数时，要根据对称轴和区间的关系进行分类讨论，当确定了对称轴和区间的关系，就明确了函数的单调性，从而确定了函数的最值. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 东风高中2025级高一上学期期中考试 数学试题 考试时间：11月13日 14:30-16:30 一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共计40分.每小题给出的四个选项中，只有一个选项是正确的. 1 已知全集，集合，则（ ） A B. C. D. 2. 已知函数的定义域为，则函数的定义域为（ ） A. B. C. D. 3. 下列各组函数表示相同函数的是（ ） A. B. C. D. 4. 已知函数是幂函数，且在上递增，则实数（ ） A. 2 B. C. 4 D. 2或 5. 函数的单调递减区间为（ ） A. B. C. D. 6. 设，若恒成立，则k的最小值为（ ） A. 9 B. 8 C. －1 D. －2 7. 我国著名数学家华罗庚曾说过：“数缺形时少直观，形少数时难入微”，在数学学习和研究中，常用函数的图象来研究函数的性质，也常用函数的解析式来琢磨函数的图象特征，如函数的图象大致形状是（ ） A. B. C. D. 8. 已知是定义在上奇函数，当且时，都有成立，，则不等式的解集为（ ） A. B. C. D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 下列说法正确的是（ ） A. 命题“”的否定是“” B. “”是“”成立充分不必要条件 C. 若，，则 D. 10. 已知关于的不等式的解集为或，则下列说法正确的是（ ） A. B. 不等式的解集为 C. 不等式的解集为或 D. 11. 设函数，其中，则下列命题是真命题的是（ ） A. 存在实数，使得； B. 存实数，当时，有成立； C. 对任意实数，当时，都有成立； D. 若，则实数的取值范围为. 二、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共计15分. 12. 若函数（是自变量）是指数函数，则的取值范围是__________ 13. 已知函数，，若对任意的，总存在，使得成立，则实数的取值范围是__________ 14. 设定义域为的函数，若关于的方程有5个不同的解，，，，，则______ 三、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知全集，集合，集合. （1）若，求； （2）若“”是“”的必要不充分条件，求实数的取值范围. 16. （1）已知函数是一次函数，若，求的解析式. （2）已知函数对任意实数，满足，求的解析式. （3）已知且，解关于的不等式 17. 函数对任意的都有，并且当时， （1）判断函数是否为奇函数， （2）证明：在上是增函数， （3）若，解不等式； 18. 在日常生活中，经济学家们通常将函数的边际函数定义为．现已知某高科技企业每月生产某种特殊设备最多11台，根据以往经验：生产台（，）这种特殊设备的月收入函数为（单位：千万元），其月成本函数为（单位：千万元）．求： （1）月收入函数的最小值及此时的值； （2）月成本函数的边际函数的定义域及最大值（精确到0.01千万元）； （3）生产台这种特殊设备的月利润的最小值（月利润=月收入-月成本）． 19. 对于定义在上的函数，若其在区间上存在最小值和最大值，且满足，则称是区间上的“聚集函数”.现给定函数. （1）当时，求函数在上的最大值和最小值，并判断是否是“聚集函数”； （2）若函数是上的“聚集函数”，求实数的取值范围; （3）已知，若函数是上的“聚集函数”，求的最大值. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $