精品解析：云南省昭通市镇雄县以勒中学2025-2026学年上学期九年级数学期中考试题

以勒中学九年级数学2025-2026年秋期期中考试题 一、选择题（36分） 1. 下列方程中，是一元二次方程的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据一元二次方程的定义对各选项进行逐一分析即可． 【详解】A选项：，是二元二次方程，故A不符合题意． B选项：，是一元二次方程，故B符合题意． C选项：，是一元二一次方程，故C不符合题意． D选项：，是分式方程，故D不符合题意． 故选：B． 【点睛】本题考查的是一元二次方程的定义，熟知只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的整式方程叫一元二次方程是解答此题的关键． 2. 下列四个图案中，是中心对称图形的是（　　） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据中心对称图形的概念求解． 【详解】解：A、不是中心对称图形； B、不是中心对称图形； C、不是中心对称图形； D、是中心对称图形； 故选：D． 【点睛】本题考查中心对称图形的识别，掌握中心对称图形的定义是解题的关键． 3. 若是关于x的一元二次方程的解，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】把x=1代入方程，得到a与b的式子，整体代入即可． 【详解】解：将代入原方程可得： 故选：C． 【点睛】本题考查了一元二次方程的解和求代数式的值，解题关键是明确方程解的意义，树立整体代入思想． 4. 抛物线的对称轴是（ ） A. 直线 B. 直线 C. 直线 D. 直线 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的性质，对于二次函数的对称轴为直线，熟练掌握此知识点是解题的关键．根据二次函数的对称轴公式进行计算即可． 【详解】解：， 抛物线的对称轴是直线， 故选：C． 5. 若关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，则k的取值范围是（ ） A. B. C. D. 且 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的定义及根的判别式的应用，解题的关键是同时满足一元二次方程的二次项系数不为0和根的判别式大于0的条件． 先根据一元二次方程的定义确定二次项系数；再由方程有两个不相等的实数根，利用根的判别式计算的取值范围，最后结合两者得到的最终范围． 【详解】解：∵方程是一元二次方程， ∴； ∵方程有两个不相等的实数根， ∴， 即， 解得； 综上，且． 故选：D． 6. 按一定规律排列的单项式：，第个单项式为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查数字的变化规律，解决本题的关键是明确题意，发现单项式的变化特点． 分别从符号、符号后的数字、以及字母的指数三方面找规律即可． 【详解】解：根据一列单项式，可以发现系数的符号由奇偶性决定，所以为，其后的数字为，字母为，所以第个单项式为． 故选：C． 7. 三角形两边的长是3和4，第三边的长是方程的根，则该三角形的周长为（ ） A. 14 B. 12 C. 12或14 D. 以上都不对 【答案】B 【解析】 【分析】解方程得x＝5或x＝7，由三角形三边满足的条件可知x＝7不合题意，x＝5符合题意，由此即可求得周长． 【详解】解：解方程x2−12x＋35＝0 得x＝5或x＝7， 又3＋4＝7， 故长度为3，4，7的线段不能组成三角形， ∴x＝7不合题意， ∴三角形的周长为3＋4＋5＝12． 故选：B． 【点睛】本题考查一元二次方程的解，三角形三边满足的条件，解题关键是掌握三角形三边满足的条件． 8. 如图，圆锥形的烟囱帽的底面圆的周长是，其侧面展开图是圆心角为的扇形，则它的母线长是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了圆锥的计算：圆锥的侧面展开图为扇形，扇形的弧长等于圆锥的底面圆的周长，扇形的半径等于圆锥的母线长．也考查了弧长和勾股定理．根据弧长公式列方程求解即可． 【详解】解：∵圆锥的底面圆的周长为， ∴它的侧面展开图的弧长为， 设母线的长为， ∴， 解得， ∴母线长是． 故选：D． 9. 如图，点是的角平分线上一点，，垂足为，且，点是射线上一动点，则的值可能是（　　） A. 3 B. 4 C. 5 D. 6 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查角平分线的性质定理，熟练掌握角平分线的性质定理是解题的关键．根据点到直线垂线段最短可得当时，的值最小，然后根据角平分线的性质定理可求解的最小值． 【详解】解：当时，的值最小， ，点P是的角平分线上一点，， ， ， ， 即， 故选：D． 10. 为了解学生的视力情况，从甲、乙两班各随机抽取8名学生进行调查，并将统计数据绘制成如图所示的折线统计图，图中视力值均在格线上，则下列说法错误的是（ ） A. 乙班视力值的众数是 B. 甲、乙两班视力值的平均数相等 C. 甲、乙两班视力值的中位数相等 D. 视力值的波动程度甲班大于乙班 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查折线图，求平均数，中位数，方差和众数，从折线图中获取信息，求出每组数据的平均数，中位数，方差和乙班的众数，再进行判断即可． 【详解】解：甲班的数据为：， ∴平均数为：； 中位数为：； 方差为： 乙班的数据为：， ∴众数为， 平均数为：； 中位数为：； 方差为：； 故：乙班视力的众数为，甲班视力值的平均数等于乙班视力值的平均数，甲班视力值的中位数等于乙班视力值的中位数，视力值的波动程度甲班小于乙班； ∴D选项描述错误； 故选：D． 11. 如图，在中，是直径，点是圆上一点，在的延长线上取一点，是的切线，若，则图中阴影部分的面积是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】连接，由切线的性质，三角形内角和定理求出，再利用圆周角定理和圆的性质求得是等边三角形，结合直径所对的圆周角，利用勾股定理求得， 然后利用直角三角形的面积减去扇形的面积求解． 【详解】解：连接，如下图 ∵是的切线， ∴，即， ∴， ， ． ， ， ． ∴，， 是等边三角形， ． 在中，是直径， ， ， 即， ， ， ∴阴影部分的面积 ． 故选：D． 【点晴】本题主要考查圆周角定理，切线的性质，扇形的面积公式，等腰三角形的性质，三角形的面积，等边三角形的判定和性质，勾股定理，熟练掌握性质，作出辅助线是解题关键． 12. 已知直线经过点和点，若点与点关于原点对称，则这条直线对应的函数解析式是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查正比例函数的图象，坐标与中心对称，根据关于原点对称的两个点的横纵坐标均互为相反数，求出点与点的坐标，进而利用待定系数法求出函数表达式即可． 【详解】解：∵点和点关于原点对称， ∴，直线经过原点， ∴，， 设正比例函数的解析式为：，把代入，得：， ∴； 故选B． 二、填空题（12分） 13. 在平面直角坐标系中，若点和点关于原点中心对称，则的值为_______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了成中心对称的点的特征，求代数式的值，根据成中心对称的点的横纵坐标互为相反数可得，，代入代数式求解即可． 【详解】解：∵点和点关于原点中心对称， ∴，， ∴， 故答案为：． 14. 二次函数的图象的顶点坐标是___________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查二次函数顶点坐标，熟记的顶点坐标为是解题的关键． 【详解】解：二次函数的图象的顶点坐标是， 故答案为：． 15. 如图，在中，，根据下列步骤作图，并保留作图痕迹： （1）分别以点，为圆心，大于的长为半径作弧，两弧相交于，两点，作直线，该直线交于点，交于点，连接； （2）以点为圆心，适当长为半径作弧，交于点，交于点，分别以点，为圆心，大于的长为半径作弧，两弧在的内部相交于点，连接并延长交于点．若，则________°． 【答案】15 【解析】 【分析】本题考查了对“线段垂直平分线”与“角平分线”的作法理解，解题的关键是知晓作法的过程． 由作法过程可知垂直平分线段，由对称性可得出；再由作法过程知平分，于是得出，故的度数可求． 【详解】解：根据作图过程可知，是线段的垂直平分线， ∴点A与点C关于直线对称， 则， ∵，且由作图过程知平分， ∴， ∴． 故答案为：15． 16. 若关于的方程有两个相等的实数根，则的值为________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了根的判别式，根据根的判别式的意义得到，所以，然后利用降次的方法和整体代入的方法进行计算． 【详解】解：∵关于的方程有两个相等的实数根， ∴， 整理得， ∴，，即， ∴ ， 故答案为：． 三、解答题（52分） 17. 解方程： （1） （2） 【答案】（1）， （2）， 【解析】 【分析】本题主要考查了利用配方法和因式分解法解一元二次方程，准确计算是解题的关键． （1）根据配方法解一元二次方程计算即可； （2）根据因式分解法解一元二次方程即可； 【小问1详解】 解：， ， ， ， ，， ，； 【小问2详解】 解：， ， ， ，， ，． 18. 如图，方格纸中的每个小正方形的边长都为1，在建立平面直角坐标系后，△ABC的顶点均在格点上． （1）以点A为旋转中心，将△ABC绕点A逆时针旋转90°得到△AB1C1，画出△AB1C1． （2）画出△ABC关于原点O成中心对称的△A2B2C2，若点C的坐标为（﹣4，﹣1），则点C2的坐标为　 　． 【答案】 (1)所画图形如下所示，△A1B1C1即为所求； （2）所画图形如下所示，△AB2C2即为所求． 点C2的坐标为（4，1）， 【解析】 【分析】（1）让三角形的各顶点都绕点A顺时针旋转90°后得到对应点，顺次连接即可； （2）根据△ABC的各顶点关于原点的中心对称，得出A2、B2、C2的坐标，连接各点，即可得到结论． 【详解】解：（1）略 （2）略 【点睛】本题主要考查了旋转变换图形的方法，图形的中心对称问题和平移的性质，考查了利用直角坐标系解决问题的能力，关于原点对称的两个点的横坐标和纵坐标都互为相反数． 19. 已知关于x的方程x2+ax+a﹣2=0． （1）求证：不论a取何实数，该方程都有两个不相等的实数根； （2）若该方程的一个根为1，求a的值及该方程的另一根． 【答案】 （1）证明：∵△=a2﹣4（a﹣2）=a2﹣4a+8=a2﹣4a+4+4=（a﹣2）2+4>0， ∴不论a取何实数，该方程都有两个不相等的实数根． （2）a=，x1=﹣ 【解析】 【分析】（1）根据根的判别式即可求解； （2）将x=1代入方程x2+ax+a﹣2=0，求出a，再利用根与系数的关系求出方程的另一根． 【详解】解：（1）略 （2）将x=1代入方程x2+ax+a﹣2=0 得1+a+a﹣2=0， 解得a=； ∴方程为x2+x﹣=0， 即2x2+x﹣3=0， 设另一根为x1，则1×x1==﹣， ∴另一根x1=﹣． 【点睛】此题主要考查一元二次方程根的求解，解题的关键是熟知根的判别式与根与系数的关系． 20. 某地区2013年投入教育经费2500万元，2015年投入教育经费3025万元. （1）求2013年至2015年该地区投入教育经费的年平均增长率； （2）根据（1）所得的年平均增长率，预计2016年该地区将投入教育经费多少万元. 【答案】10%；3327.5万元 【解析】 【分析】（1）一般用增长后的量=增长前的量×（1+增长率），2014年要投入教育经费是2500（1+x）万元，在2014年的基础上再增长x，就是2015年的教育经费数额，即可列出方程求解． （2）利用2015年的经费×（1+增长率）即可． 【详解】解：（1）设增长率为x，根据题意2014年为2500（1+x）万元，2015年为． 则， 解得（不合题意舍去）． 答：这两年投入教育经费的平均增长率为10%． （2）3025×（1+10%）=3327.5（万元）． 故根据（1）所得的年平均增长率，预计2016年该地区将投入教育经费3327.5万元． 21. 如图，四边形是平行四边形，相交于点O，E为的中点，连接，过点E作于点F，过点O作于点G． （1）求证：四边形是矩形； （2）若四边形是菱形，，求的长． 【答案】（1） 证明：四边形是平行四边形， ， 点是的中点， ． ， ， 于点，于点， ， 四边形是平行四边形 ， ， 四边形是矩形； （2） 【解析】 【分析】（1）根据平行四边形的性质可知，根据已知可得，所以，于点，于点，则，先证明四边形是平行四边形，再证是直角即可； （2）根据菱形的性质可知，根据已知可求出，然后利用等面积法求出即可． 本题主要考查了菱形的性质，矩形的判定和性质，平行四边形的性质，熟记菱形的性质，矩形的判定和性质，平行四边形的性质是解题的关键． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：四边形是菱形， ，，，， ，， ，， 在中，， ， 即， ． 22. 如图，四边形内接于，是的直径，，连接，过点的直线与的延长线交于点，且． （1）求证：是的切线； （2）以下与线段，线段，线段有关的三个结论：①，②，③，你认为哪个正确？请说明理由． 【答案】（1） 证明：如图1，连接， ∵是的直径， ∴，即， ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴，即， ∴， 又∵是半径， ∴直线是的切线； （2） 解：②正确，理由如下： 过点B作交延长线于点G，如图2， ∴， ∵是的直径， ∴， ∴， ∴， ∵四边形内接于， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∴， ∵，， ∴， 则， ∴． 【解析】 【分析】本题考查圆周角定理，切线的判定，全等三角形的判定与性质． （1）先由圆的性质得，即，，再由推出，进而得，即，即可得出结论； （2）证明，得到，，则，进而求解． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 23. 在平面直角坐标系中，，是抛物线上任意两点，设抛物线的对称轴为直线． （1）若，，求的值； （2）求证：当点，的坐标是，时，； （3）若对于任意，都有，求的取值范围． 【答案】（1） （2） 证明：由题意得，即， 把代入， 得， 即， 整理得，， ∴， ∴； （3）当时，；当时， 【解析】 【分析】本题主要考查二次函数的性质，二次函数图象上点的坐标特征，解题关键是根据数形结合求解． （1）把，代入，得到，再根据代入数据计算即可求解； （2）利用对称轴的性质求得，把代入，求得，得到，再代入计算即可得出结论； （3）先求得，分当和时，两种情况讨论，即可求解． 【小问1详解】 解：由题意得，把，代入， 得， 得， 即， ∴； 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：∵，， ∴，且， 当时， ∵， ∴离对称轴更近，则与的中点在对称轴左侧， ∴，； 当时， ∵， ∴离对称轴更近，则与的中点在对称轴右侧， ∴，； 综上，当时，；当时，． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 以勒中学九年级数学2025-2026年秋期期中考试题 一、选择题（36分） 1. 下列方程中，是一元二次方程的是（ ） A. B. C. D. 2. 下列四个图案中，是中心对称图形的是（　　） A. B. C. D. 3. 若是关于x的一元二次方程的解，则（ ） A. B. C. D. 4. 抛物线的对称轴是（ ） A. 直线 B. 直线 C. 直线 D. 直线 5. 若关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，则k的取值范围是（ ） A. B. C. D. 且 6. 按一定规律排列的单项式：，第个单项式为（ ） A. B. C. D. 7. 三角形两边的长是3和4，第三边的长是方程的根，则该三角形的周长为（ ） A. 14 B. 12 C. 12或14 D. 以上都不对 8. 如图，圆锥形的烟囱帽的底面圆的周长是，其侧面展开图是圆心角为的扇形，则它的母线长是（ ） A. B. C. D. 9. 如图，点是的角平分线上一点，，垂足为，且，点是射线上一动点，则的值可能是（　　） A. 3 B. 4 C. 5 D. 6 10. 为了解学生的视力情况，从甲、乙两班各随机抽取8名学生进行调查，并将统计数据绘制成如图所示的折线统计图，图中视力值均在格线上，则下列说法错误的是（ ） A. 乙班视力值的众数是 B. 甲、乙两班视力值的平均数相等 C. 甲、乙两班视力值的中位数相等 D. 视力值的波动程度甲班大于乙班 11. 如图，在中，是直径，点是圆上一点，在的延长线上取一点，是的切线，若，则图中阴影部分的面积是（ ） A. B. C. D. 12. 已知直线经过点和点，若点与点关于原点对称，则这条直线对应的函数解析式是（ ） A. B. C. D. 二、填空题（12分） 13. 在平面直角坐标系中，若点和点关于原点中心对称，则的值为_______． 14. 二次函数的图象的顶点坐标是___________． 15. 如图，在中，，根据下列步骤作图，并保留作图痕迹： （1）分别以点，为圆心，大于的长为半径作弧，两弧相交于，两点，作直线，该直线交于点，交于点，连接； （2）以点为圆心，适当长为半径作弧，交于点，交于点，分别以点，为圆心，大于的长为半径作弧，两弧在的内部相交于点，连接并延长交于点．若，则________°． 16. 若关于的方程有两个相等的实数根，则的值为________． 三、解答题（52分） 17. 解方程： （1） （2） 18. 如图，方格纸中的每个小正方形的边长都为1，在建立平面直角坐标系后，△ABC的顶点均在格点上． （1）以点A为旋转中心，将△ABC绕点A逆时针旋转90°得到△AB1C1，画出△AB1C1． （2）画出△ABC关于原点O成中心对称的△A2B2C2，若点C的坐标为（﹣4，﹣1），则点C2的坐标为　 　． 19. 已知关于x的方程x2+ax+a﹣2=0． （1）求证：不论a取何实数，该方程都有两个不相等的实数根； （2）若该方程的一个根为1，求a的值及该方程的另一根． 20. 某地区2013年投入教育经费2500万元，2015年投入教育经费3025万元. （1）求2013年至2015年该地区投入教育经费的年平均增长率； （2）根据（1）所得的年平均增长率，预计2016年该地区将投入教育经费多少万元. 21. 如图，四边形是平行四边形，相交于点O，E为的中点，连接，过点E作于点F，过点O作于点G． （1）求证：四边形是矩形； （2）若四边形是菱形，，求的长． 22. 如图，四边形内接于，是的直径，，连接，过点的直线与的延长线交于点，且． （1）求证：是的切线； （2）以下与线段，线段，线段有关的三个结论：①，②，③，你认为哪个正确？请说明理由． 23. 在平面直角坐标系中，，是抛物线上任意两点，设抛物线的对称轴为直线． （1）若，，求的值； （2）求证：当点，的坐标是，时，； （3）若对于任意，都有，求的取值范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $