专题04 相似三角形 9大高频考点（期末真题汇编，浙江专用）九年级数学上学期

专题04 相似三角形 9大高频考点概览 考点01 比例的性质及其应用；黄金分割 考点02 平行线分线段成比例 考点03 相似三角形的判定 考点04 相似三角形的性质及其应用；图形的位似 考点05 面积问题；重心 考点06 尺规作图；网格或格点问题 考点07 相似三角形在圆、函数中的应用 考点08 相似三角形的综合应用 考点09 解答题 地 城 考点01 比例的性质及其应用；黄金分割 1．（24-25九年级上·浙江金华·期末）若，则下列等式成立的是（   ） A． B． C． D． 2．（24-25九年级上·浙江金华·期末）若，则的值为（   ） A．4 B． C． D． 3．（24-25九年级下·浙江温州·期末）已知，则的值为（   ） A． B． C． D． 4．（24-25九年级上·浙江杭州·期末）已知线段，线段，则线段，的比例中项线段的长度为 ． 5．（24-25九年级上·浙江杭州·期末）在比例尺为的地图上，A，B两地间的图上距离为2厘米，则A，B两地间的实际距离是 千米． 6．（24-25九年级上·浙江宁波·期末）已知，且，则的值为 ． 7．（24-25九年级下·浙江温州·期末）已知点P是线段的黄金分割点，且．若，则的长度为（   ） A． B． C． D． 8．（23-24九年级上·浙江宁波·期末）已知线段，点C是线段的黄金分割点，且，则线段的长是（    ） A． B． C． D． 地 城 考点02 平行线分线段成比例 1．（24-25九年级上·浙江金华·期末）如图，直线，分别交，，于点A，B，C；分别交，，于点D，E，F．若，，，则的长为（   ） A．6 B．8 C．9 D．12 2．（24-25九年级上·浙江嘉兴·期末）如图，，与相交于点（点在，之间），若，，，则的值为 ． 3．（23-24九年级上·浙江·期末）如图，直线，则（    ） A． B． C． D． 地 城 考点03 相似三角形的判定 1．（24-25九年级上·浙江温州·期末）已知如图所示，则下列三角形中，与相似的是（   ） A． B． C． D． 2．（23-24九年级上·浙江嘉兴·期末）如图，与交于点，连接和，要使，请添加一个条件： ． 3．（23-24九年级上·浙江湖州·期末）如图，在中，点，分别在的边，上，如果添加一个条件，不一定能使与相似，那么这个条件可能是（    ） A． B． C． D． 4．（23-24九年级上·浙江温州·期末）如图，在纸片中，，将纸片沿某直线剪开，下列四种方式中剪下的阴影三角形与相似的是（    ）    A．①② B．②④ C．③④ D．①③ 地 城 考点04 相似三角形的性质及其应用；图形的位似 1．（24-25九年级上·浙江绍兴·期末）已知两个相似三角形的相似比是，则它们的面积之比为 ． 2．（24-25九年级上·浙江金华·期末）如图，地面上的点处放置平面镜，光线从点射出经平面镜（点处）反射后照射到点．已知，，垂足分别为、，米，米，米，则长为 米． 3．（24-25九年级上·浙江宁波·期末）图1是《墨经》中记载的“小孔成像”实验图，图2是其示意图，其中物距，像距．若像的高度是m，则物体的高度AB为（   ） A． B． C． D． 4．（24-25九年级上·浙江杭州·期末）如图是用卡钳测量容器内径的示意图，已知，现量得卡钳上A，D两端点的距离为，则该容器内径的长是 ． 5．（24-25九年级上·浙江·期末）如图，在平面直角坐标系中，和是位似三角形，且，若点，则点B的坐标为（　　） A． B． C． D． 6．（24-25九年级上·浙江金华·期末）如图，线段的端点坐标分别为、，以为位似中心，将线段放大到原来的两倍得到线段，则点、点的坐标分别为（   ） A．   B．   C．   D．   地 城 考点05 面积问题；重心 1．（24-25九年级上·浙江金华·期末）如图，和是以点为位似中心的位似图形，点在线段上．若，则和的面积之比为（   ） A． B． C． D． 2．（23-24九年级上·浙江杭州·期末）如图，P为平行四边形边上一点，E、F分别为、的中点，的面积分别为．若，则 ． 3．（24-25九年级上·浙江杭州·期末）如图，在中，点，分别在边，上，，，，那么 ． 4．（24-25九年级上·浙江宁波·期末）如图，中，平分分别交，，延长线于点F，G，E，分别记与的面积为和．若，则的值是（   ） A． B． C． D． 5．（24-25九年级上·浙江绍兴·期末）如图，在中，，分别是边，上的点，，重心在上，若，则四边形的面积为 ． 地 城 考点06 尺规作图；网格或格点问题 1．（24-25九年级上·浙江金华·期末）如图，在的、边上分别取点、使得与以、、为顶点的三角形相似，则下列三种尺规作图确定、的方法，正确的有（   ）． A．3种 B．2种 C．1种 D．全部错误 2．（24-25九年级上·浙江宁波·期末）如图，点为边上一点（可与点重合），已知．以点为圆心，适当长为半径作弧，分别交于点；再以点为圆心，长为半径作弧，交于点（点在点下方）；最后以点为圆心，长为半径作弧，两弧交于点，连结并延长且交于点．以下个结论：①；②；③的最大值为；④若为中点，则．其中正确的结论有（    ） A．个 B．个 C．个 D．个 3．（24-25九年级上·浙江宁波·期末）如图，在的正方形网格中，点，，，都是网格的格点，点是的重心．则下列说法正确的是（   ） A．连接，则 B．连接，，则 C．连接，则DG∥BC D．连接，，则 4．（24-25九年级上·浙江湖州·期末）数学课上，老师布置了一个习题：“如图，在菱形格点图中有两个固定格点，连结，在线段上找一点，使得点把线段分成的两条线段”．以下分别是小吴和小王的作法，则（    ） A．只有小吴的作法正确 B．只有小王的作法正确 C．小吴和小王的作法都正确 D．小吴和小王的作法都错误 5．（24-25九年级上·浙江杭州·期末）如图，在方格中，点，，，，点均在格点上，若与相似，则符合条件的格点是（   ） A．点 B．点 C．点 D．点 地 城 考点07 相似三角形在圆、函数中的应用 1．（24-25九年级上·浙江绍兴·期末）如图，中，，，以为直径的分别交于点，连接，则的长为（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 2．（24-25九年级上·浙江金华·期末）如图，是的半径，弦，是上一点，交于点，，，则的长是（   ） A．1 B． C． D． 3．（24-25九年级上·浙江宁波·期末）如图，正十边形内接于，，交于点，则的值为（　　） A． B． C． D． 4．（24-25九年级上·浙江杭州·期末）如图，点在反比例函数的图象上，过点作轴于点，轴于点，以点为位似中心把四边形放大得到四边形，过点的反比例函数表达式为，则四边形和四边形的位似比为（   ） A． B． C． D． 5．（24-25九年级上·浙江·期末）如图，在平面直角坐标系中，与轴交于两点（A在的左侧），与轴交于点，点是上方抛物线上一点，连结交于点，连结，记的面积为，的面积为，则的最大值为（    ） A． B． C． D．1 地 城 考点08 相似三角形的综合应用 1．（24-25九年级上·浙江金华·期末）如图，是边上一点，且，，若，，则 ． 2．（24-25九年级上·浙江嘉兴·期末）如图，的两条中线相交于点，过点作交于点，则的值为 ． 3．（24-25八年级上·浙江杭州·期末）如图，在中，，的平分线交于点，连接，过点作，交于点，过点作，交于点．若，，则 ． 4．（24-25九年级下·浙江温州·期末）如图，在矩形中，点在上，，以为圆心，为半径的圆弧交于点，交于点．若是的中点，，则的长为 ． 5．（24-25九年级下·浙江台州·期末）如图，在矩形中，为中点，连接，G为边上一点，将沿折叠，使点刚好落在线段的中点处，则 ． 6．（24-25九年级上·浙江湖州·期末）如图，点在等腰直角的腰上运动，以为腰，点为直角顶点作等腰直角与交于点，连结，当与的面积比为时，的值是（    ） A． B． C． D． 7．（24-25九年级上·浙江金华·期末）如图，在菱形中，，点在上，以为边作菱形，使点在的延长线上，连结，，延长交于点．若是的中点，则 ． 8．（24-25九年级上·浙江绍兴·期末）如图，在中，，以为边分别向外作正方形和正方形，交于点交于点．若，则（    ） A． B． C． D． 1．（24-25九年级上·浙江金华·期末）如图，在四边形中，平分，且．地 城 考点09 解答题 (1)求证：； (2)若，求的度数． 2．（24-25九年级上·浙江绍兴·期末）如图，在中，是的中点，，交于点为上一点，连结，交于点． (1)求证：； (2)若，，求的长． 3．（24-25九年级上·浙江绍兴·期末）如图，在中，延长至点，使，在上取一点，连接交于点，过点作交于点，已知，． (1)求的值； (2)求的长． 4．（24-25九年级上·浙江·期末）如图是由边长为1的小正方形组成的的网格，每个小正方形的顶点叫做格点，三个顶点都是格点．仅用无刻度的直尺在给定网格中完成两个画图任务． (1)在图1中，画，使点E在格点上，且与相似；（只需画出一个即可） (2)在图2中，线段上找一点D，使． 5．（23-24九年级上·浙江宁波·期末）如图，在的正方形网格中，每个小正方形的顶点叫做格点，的三个顶点均在格点上，仅用无刻度的直尺在给定网格中画图（保留作图痕迹）．    (1)在图中画，使得与的相似比为． (2)在图中画出的重心． 6．（24-25九年级上·浙江杭州·期末）如图，中，于，于，设与相交于点． (1)求证： (2)求证：． 7．（24-25九年级上·浙江宁波·期末）如图，内接于，的角平分线交于点，交于点，点在边上，且． (1)求证：． (2)求证：． (3)若，点是的黄金分割点，求的度数． 8．（24-25九年级下·浙江温州·期末）如图，在菱形中，连接对角线，点在边上，过点作交于点，连结交于点． (1)若，，求的度数． (2)若，，求的长． (3)求证∶ ． 9．（24-25九年级上·浙江宁波·期末）如图1，四边形为圆内接四边形，对角线与交于点，点在上，． (1)求证：． (2)如图2，若点为的中点，求证：． (3)在（2）的条件下，的面积为2，求的长． 试卷第1页，共3页 2 / 14 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题04 相似三角形 9大高频考点概览 考点01 比例的性质及其应用；黄金分割 考点02 平行线分线段成比例 考点03 相似三角形的判定 考点04 相似三角形的性质及其应用；图形的位似 考点05 面积问题；重心 考点06 尺规作图；网格或格点问题 考点07 相似三角形在圆、函数中的应用 考点08 相似三角形的综合应用 考点09 解答题 1．（24-25九年级上·浙江金华·期末）若，则下列等式成立的是（   ）地 城 考点01 比例的性质及其应用；黄金分割 A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了比例的性质，利用比例的性质逐一判断即可．熟练掌握比例的性质是解题的关键． 【详解】解：A．因为，所以，，故A不符合题意； B．因为，所以，，故B不符合题意； C．因为，所以，故C符合题意； D．因为，所以，，故D不符合题意； 故选：C． 2．（24-25九年级上·浙江金华·期末）若，则的值为（   ） A．4 B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了比例的性质，关键是比例性质定理的应用．将化为代入即可求解． 【详解】解：∵ ， ∴， ∴ ． 故选：B． 3．（24-25九年级下·浙江温州·期末）已知，则的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据已知条件得出，再代入要求的式子进行计算即可得出答案． 此题考查了比例的性质，熟练掌握比例的性质是解题的关键． 【详解】解：， ， 故选：D 4．（24-25九年级上·浙江杭州·期末）已知线段，线段，则线段，的比例中项线段的长度为 ． 【答案】 【分析】本题考查了成比例的线段．熟练掌握比例中项是解题的关键．根据题意得出，代入数据进行计算即可求解． 【详解】解：依题意， ∴（负值舍去） 故答案为：． 5．（24-25九年级上·浙江杭州·期末）在比例尺为的地图上，A，B两地间的图上距离为2厘米，则A，B两地间的实际距离是 千米． 【答案】180 【分析】本题考查的是比例尺，熟练掌握比例尺和比例的性质是解题的关键； 设A，B两地间的实际距离是x厘米，根据比例尺的定义得到，再利用比例的性质求出x，然后把单位化为千米即可． 【详解】解：设A，B两地间的实际距离是x厘米， 根据题意得， 解得， 18000000厘米千米． 故答案为：180． 6．（24-25九年级上·浙江宁波·期末）已知，且，则的值为 ． 【答案】或 【分析】本题考查了比例的性质，根据已知条件得出再把三式相加得出，然后分两种情况讨论，即可得出k的值． 【详解】解：由已知得， ∴， ∴当时，得， 当时，则 ∴， ∴k的值为1或． 故答案为：1或． 7．（24-25九年级下·浙江温州·期末）已知点P是线段的黄金分割点，且．若，则的长度为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了黄金分割，熟练掌握黄金分割的定义是解题的关键． 根据黄金分割的定义进行计算，即可解答． 【详解】解：点P是线段的黄金分割点，且， ， ， ， 故选：A． 8．（23-24九年级上·浙江宁波·期末）已知线段，点C是线段的黄金分割点，且，则线段的长是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查黄金分割，把线段分成两条线段和，且使是和的比例中项，即，叫做把线段黄金分割，点C叫做线段的黄金分割点．其中，并且线段的黄金分割点有两个． 直接利用黄金分割的定义计算出即可． 【详解】解：∵点C是线段的黄金分割点，且， ∴． 故选A． 地 城 考点02 平行线分线段成比例 1．（24-25九年级上·浙江金华·期末）如图，直线，分别交，，于点A，B，C；分别交，，于点D，E，F．若，，，则的长为（   ） A．6 B．8 C．9 D．12 【答案】D 【分析】本题考查平行线分线段成比例，根据，即可得出，求出，进而可得出． 【详解】解：∵， ∴， 即， ∴， ∴， 故选：D 2．（24-25九年级上·浙江嘉兴·期末）如图，，与相交于点（点在，之间），若，，，则的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查的是平行线分线段成比例定理，先求出，再根据平行线分线段成比例定理即可求解． 【详解】∵，，， ∴， ∵ ∴ 故答案为：． 3．（23-24九年级上·浙江·期末）如图，直线，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查平行线分线段成比例：两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例．利用平行线分线段成比例定理解决问题即可． 【详解】解：∵， ∴，， 观察四个选项，选项A正确，符合题意， 故选：A． 1．（24-25九年级上·浙江温州·期末）已知如图所示，则下列三角形中，与相似的是（   ）地 城 考点03 相似三角形的判定 A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查相似三角形的判定，等腰三角形的性质，是等腰三角形，顶角是，看各个选项是否符合相似的条件即可． 【详解】解：∵由图可知，， A、三角形各角的度数都是， B、三角形各角的度数分别为， C、三角形各角的度数分别为， D、三角形各角的度数分别为， ∴只有C选项中三角形各角的度数与题干中三角形各角的度数相等， 故选：C． 2．（23-24九年级上·浙江嘉兴·期末）如图，与交于点，连接和，要使，请添加一个条件： ． 【答案】(答案不唯一) 【分析】本题考查了相似三角形的判定．根据相似三角形的判定方法可增加角或边的条件即可． 【详解】解：可添加一个条件是：． ∵，， ∴ 故答案为：(答案不唯一)． 3．（23-24九年级上·浙江湖州·期末）如图，在中，点，分别在的边，上，如果添加一个条件，不一定能使与相似，那么这个条件可能是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了相似三角形的判定：“①有两个对应角相等的两个三角形相似；②有两个对应边的比相等，且其夹角相等，则两个三角形相似；③三组对应边的比相等的两个三角形相似”．根据相似三角形的判定方法逐一判断即可． 【详解】解：由题意得：， A、当时，，故该选项不符合题意； B、当时，，故该选项不符合题意； C、当时，，故该选项不符合题意； D、当时，不能推出与相似，故该选项符合题意； 故选：D． 4．（23-24九年级上·浙江温州·期末）如图，在纸片中，，将纸片沿某直线剪开，下列四种方式中剪下的阴影三角形与相似的是（    ）    A．①② B．②④ C．③④ D．①③ 【答案】D 【分析】本题考查了相似三角形的判定．根据相似三角形的判定定理逐个判断即可． 【详解】解：图①中，∵， ∴相似； 图②中，只有，不符合相似三角形的判定，不能推出和相似； 图③中，， ∴； 图④中，只有，不符合相似三角形的判定， 不能推出和相似； 综上所述，阴影三角形与原三角形相似的有①③，故D正确． 故选：D． 地 城 考点04 相似三角形的性质及其应用；图形的位似 1．（24-25九年级上·浙江绍兴·期末）已知两个相似三角形的相似比是，则它们的面积之比为 ． 【答案】 【分析】此题考查了相似三角形的性质，理解相似三角形面积比等于相似比的平方是解题关键．根据相似三角形面积比等于相似比的平方进行解答即可． 【详解】解：∵两个相似三角形的相似比是， ∴它们的面积之比为． 故答案为：． 2．（24-25九年级上·浙江金华·期末）如图，地面上的点处放置平面镜，光线从点射出经平面镜（点处）反射后照射到点．已知，，垂足分别为、，米，米，米，则长为 米． 【答案】/ 【分析】此题考查了相似三角形的判定与性质，解题的关键是根据物理性质找到求得的长度．设米，则米，由物理性质可得入射角等于反射角、，证明，得出，代入数据求得，即可求解． 【详解】解：设米， 米， 米， 由物理性质可得入射角等于反射角，， ∴， ∴， 即， ∵， ∴ ∴， ∴， 即， 解得，即米． 故答案为：． 3．（24-25九年级上·浙江宁波·期末）图1是《墨经》中记载的“小孔成像”实验图，图2是其示意图，其中物距，像距．若像的高度是m，则物体的高度AB为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了相似三角形的判定与性质，根据题意得出进而根据列出比例式，代入数据，即可求解． 【详解】解：由题意得：， ∴， ∴， ∵，．， ∴， ∴物体的高度为． 故选：C． 4．（24-25九年级上·浙江杭州·期末）如图是用卡钳测量容器内径的示意图，已知，现量得卡钳上A，D两端点的距离为，则该容器内径的长是 ． 【答案】8 【分析】本题主要考查了相似三角形的判定与性质的实际应用及分析问题、解决问题的能力，解决此问题的关键在于正确理解题意的基础上建立数学模型，把实际问题转化为数学问题． 依题意得，，则由对应边成比例，由此得出的长度． 【详解】解：如图根据题意可得 ， ， ， 故答案为：8． 5．（24-25九年级上·浙江·期末）如图，在平面直角坐标系中，和是位似三角形，且，若点，则点B的坐标为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了位似三角形的性质，根据题意可得位似比为，将点的横纵坐标都乘以，即可求解． 【详解】解：和是位似三角形，且，则位似比为，点， ∴点B的坐标为， 故选：A． 6．（24-25九年级上·浙江金华·期末）如图，线段的端点坐标分别为、，以为位似中心，将线段放大到原来的两倍得到线段，则点、点的坐标分别为（   ） A．   B．   C．   D．   【答案】A 【分析】本题考查位似变换，坐标与图形性质，利用中点坐标公式求出点、点的坐标即可． 【详解】解：由题意， 设，， ∵，，， ∴，， ∴；， ∴，． 故选：A． 地 城 考点05 面积问题；重心 1．（24-25九年级上·浙江金华·期末）如图，和是以点为位似中心的位似图形，点在线段上．若，则和的面积之比为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查的是位似变换的概念和性质，掌握位似图形的对应边互相平行是解题的关键．根据题意求出，根据相似三角形的性质求出，根据相似三角形的性质计算即可． 【详解】解：， ， ∵和是以点O为位似中心的位似图形， ， ∴， 则与的面积之比为 故选D． 2．（23-24九年级上·浙江杭州·期末）如图，P为平行四边形边上一点，E、F分别为、的中点，的面积分别为．若，则 ． 【答案】4 【分析】本题考查三角形的中位线定理，相似三角形的判定和性质，易得是的中位线，进而得到，证明，根据相似三角形的面积比等于相似比的平方，求出的面积，根据平行四边形的性质，得到的面积为平行四边形的面积的一半，进而求出的值即可． 【详解】解：∵E、F分别为、的中点， ∴是的中位线， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵P为平行四边形边上一点， ∴平行四边形的面积， ∴； 故答案为：4． 3．（24-25九年级上·浙江杭州·期末）如图，在中，点，分别在边，上，，，，那么 ． 【答案】 【分析】本题考查了相似三角形的判定和性质，熟练掌握相似三角形的面积比等于相似比的平方是解题的关键． 由题意得，进而得出，计算即可得到答案． 【详解】解：. ， ， ， （负值舍去）， ， ， 故答案为： ． 4．（24-25九年级上·浙江宁波·期末）如图，中，平分分别交，，延长线于点F，G，E，分别记与的面积为和．若，则的值是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了相似三角形的性质与判定，平行四边形的性质，掌握相似三角形面积之比等于相似比的平方是解题的关键．根据平行四边形的性质得到，，，，由平分，得到，推出，由，可得，得到，再由，得到， 求出，代入计算即可． 【详解】解：∵， ∴，，，， ∵， ∴设，， ∵平分， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∴，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 故选：A． 5．（24-25九年级上·浙江绍兴·期末）如图，在中，，分别是边，上的点，，重心在上，若，则四边形的面积为 ． 【答案】10 【分析】此题考查了平行线分线段成比例，相似三角形的性质和判定，三角形重心的性质，解题的关键是掌握以上知识点． 如图所示，连接并延长交于点D，根据重心的性质得到，然后得到，然后证明出，根据相似三角形的性质求解即可． 【详解】如图所示，连接并延长交于点D    ∵点G是的重心 ∴ ∵ ∴ ∴ ∵ ∴ ∴ ∴ ∴ ∴四边形的面积． 故答案为：10． 地 城 考点06 尺规作图；网格或格点问题 1．（24-25九年级上·浙江金华·期末）如图，在的、边上分别取点、使得与以、、为顶点的三角形相似，则下列三种尺规作图确定、的方法，正确的有（   ）． A．3种 B．2种 C．1种 D．全部错误 【答案】A 【分析】本题主要考查相似三角形的判定、圆内接四边形的性质、作图-基本作图等知识点，掌握相似三角形的判定方法以及基本作图的方法是解题的关键． 第一种情况，由圆内接四边形的性质推出，而可判定；第二种情况：由作图知：，即可判定；第三种情况：由作图知：平分，E在的垂直平分线上，得到，推出，判定，进而完成解答． 【详解】解：第一种情况： ∵四边形是圆内接四边形， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴； 第二种情况： 由作图知：， ∵， ∴； 第三种情况： 由作图知：平分，E在的垂直平分线上， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴使得与以A、E、F为顶点的三角形相似，三种尺规作图确定E、F的三种方法都正确． 故选：A． 2．（24-25九年级上·浙江宁波·期末）如图，点为边上一点（可与点重合），已知．以点为圆心，适当长为半径作弧，分别交于点；再以点为圆心，长为半径作弧，交于点（点在点下方）；最后以点为圆心，长为半径作弧，两弧交于点，连结并延长且交于点．以下个结论：①；②；③的最大值为；④若为中点，则．其中正确的结论有（    ） A．个 B．个 C．个 D．个 【答案】C 【分析】本题考查了作一个角等于已知角，相似三角形的判定和性质，由作图可判定①；进而可得，再根据相似三角形的性质可判定②③④，据此即可求解，掌握相似三角形的判定和性质是解题的关键． 【详解】解析：①由尺规作图可得，，故①正确； ② ，， ， ， 故②错误； ③ 当与重合时，最大，此时， 由，得， 解得，故③正确； ④ 当为中点时，，由尺规作图可得， 由 ，可得， ∴，故④正确； 综上所述，①③④正确， 故选：． 3．（24-25九年级上·浙江宁波·期末）如图，在的正方形网格中，点，，，都是网格的格点，点是的重心．则下列说法正确的是（   ） A．连接，则 B．连接，，则 C．连接，则DG∥BC D．连接，，则 【答案】C 【分析】如图，连接并延长交于，连接，证明，再结合相似三角形的性质可判断A，C，D，再结合三角形的外角的性质可判断B，从而可得答案． 【详解】解：如图，连接并延长交于，连接， ∵为的重心， ∴，， 由图形可得：，则， ∵， ∴， ∴，， ∴，，故C符合题意； ∴，故A不符合题意； ∵，， ∴， ∴，故D不符合题意； ∵，， ∴，故B不符合题意； 故选：C． 【点睛】本题考查的是三角形的外角的性质，三角形的重心的性质，相似三角形的判定与性质，熟记三角形的重心的性质是解本题的关键． 4．（24-25九年级上·浙江湖州·期末）数学课上，老师布置了一个习题：“如图，在菱形格点图中有两个固定格点，连结，在线段上找一点，使得点把线段分成的两条线段”．以下分别是小吴和小王的作法，则（    ） A．只有小吴的作法正确 B．只有小王的作法正确 C．小吴和小王的作法都正确 D．小吴和小王的作法都错误 【答案】C 【分析】题目主要考查相似三角形的判定和性质，理解题意，作出辅助线，熟练掌握运用相似三角形的判定和性质是解题关键 小吴的作法，连接，取格点H，K，组成，再由相似三角形的判定和性质即可得出结果；小王的作法，连接并延长交网格于点D，再由相似三角形的判定和性质即可得出结果． 【详解】解：如图所示，小吴的作法，连接，取格点H，K，组成， 根据题意得：， ∵， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 即，小吴的作法正确； 小王的作法，连接并延长交网格于点D，如图所示： 根据题意得：点M和点A分别为的中点， ∴， 由网格得：，， ∴， ∴，小王的作法正确； 故选：C． 5．（24-25九年级上·浙江杭州·期末）如图，在方格中，点，，，，点均在格点上，若与相似，则符合条件的格点是（   ） A．点 B．点 C．点 D．点 【答案】C 【分析】本题考查了网格与勾股定理、相似三角形的判定，先分别算出每条边的长度，再根据三边成比例进行判定两个三角形相似，据此进行作答即可． 【详解】解：依题意，，，， 则 ∵， ∴与不相似， 故A选项不符合题意； 则 ∵， ∴与不相似， 故B选项不符合题意； 则 ∵， ∴与相似， 故C选项符合题意； 则 ∵， ∴与不相似， 故D选项不符合题意； 故选：C． 地 城 考点07 相似三角形在圆、函数中的应用 1．（24-25九年级上·浙江绍兴·期末）如图，中，，，以为直径的分别交于点，连接，则的长为（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】B 【分析】本题考查了相似三角形的判定与性质，等腰三角形的性质，圆周角定理，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键． 连接，根据直径所对的圆周角是直角可得：，然后利用等腰三角形的三线合一性质可得，再利用圆的内接四边形对角互补可得：，最后利用等角的补角相等可得，从而证明，再利用相似三角形的性质进行计算，即可解答． 【详解】解：连接， ∵为的直径， ∴， ∵， ∴， ∵四边形是的内接四边形， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 故选：B． 2．（24-25九年级上·浙江金华·期末）如图，是的半径，弦，是上一点，交于点，，，则的长是（   ） A．1 B． C． D． 【答案】B 【分析】此题重点考查垂径定理、圆周角定理、相似三角形的判定与性质等知识，正确地作出辅助线是解题的关键．连结，由是的半径，弦，根据垂径定理得，则，而，可证明，得，由，，得，则，求得，于是得到问题的答案． 【详解】解：连结， 是的半径，弦， ， ， ， ， ， ， ， ，， ， ， 或（不符合题意，舍去）， 故选：B． 3．（24-25九年级上·浙江宁波·期末）如图，正十边形内接于，，交于点，则的值为（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查正多边形与圆，相似三角形的判定和性质，连接，．首先证明，设，，利用相似三角形的性质求出可得结论．解题的关键是学会利用参数，正确寻找相似三角形解决问题． 【详解】解：如图，连接，． 正十边形内接于， ，， ， ， ， ，， ， 设，， ， ， ， ， ， ， ， （负根已经舍去）， ，， ． 故选：D． 4．（24-25九年级上·浙江杭州·期末）如图，点在反比例函数的图象上，过点作轴于点，轴于点，以点为位似中心把四边形放大得到四边形，过点的反比例函数表达式为，则四边形和四边形的位似比为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了反比例函数与几何图形面积的关系，位数图形的性质，相似多边形的性质，掌握反比例函数与几何图形面积的计算，相似多边形的性质是解题的关键． 根据题意，四边形，是矩形，，，由相似多边形的性质“面积比等于相似比的平方”即可求解． 【详解】解：∵过点作轴于点，轴于点， ∴四边形是矩形， ∵点在反比例函数的图象上， ∴， ∵以点为位似中心把四边形放大得到四边形，点在反比例函数的图象上， ∴四边形也是矩形，， ∴相似比为， 故选：A ． 5．（24-25九年级上·浙江·期末）如图，在平面直角坐标系中，与轴交于两点（A在的左侧），与轴交于点，点是上方抛物线上一点，连结交于点，连结，记的面积为，的面积为，则的最大值为（    ） A． B． C． D．1 【答案】C 【分析】先将转化为，再过点P作x轴的平行线交的延长线于点M，利用相似三角形的性质将转化为，再借助点P坐标表示出即可解决问题． 【详解】解：由题知，， 如图，过点P作x轴的平行线交的延长线于点M， ∵轴， ∴， ∴． 令，则有，解得， ∴， ∴． 将代入，得：， ∴点C的坐标为． 令直线的函数解析式为， 则， 解得， ∴直线的函数解析式为． ∵， 令点P坐标为， 则， ∴ ∴， 则， ∴， 则当时，有最大值为：， 即的最大值为． 故选：C． 【点睛】本题主要考查了相似三角形的判定与性质、抛物线与x轴的交点及二次函数图象上点的坐标特征，熟知二次函数的图象与性质是解题的关键． 1．（24-25九年级上·浙江金华·期末）如图，是边上一点，且，，若，，则 ．地 城 考点08 相似三角形的综合应用 【答案】 【分析】此题重点考查相似三角形的判定与性质、勾股定理等知识，正确地作出辅助线是解题的关键． 作交的延长线于点，则，，所以，则，因为，，所以，求得，则，，所以，，则，于是得到问题的答案． 【详解】解：作交的延长线于点， ，， ，， ， ， ，， ， ， ，， ，， ， 故答案为：． 2．（24-25九年级上·浙江嘉兴·期末）如图，的两条中线相交于点，过点作交于点，则的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查了与三角形中位线有关的三角形相似问题，利用三角形中位线性质与平行线的性质得到相似三角形是解题关键．根据题意得，和，可证，有，由得，设，则，，即可求得比值． 【详解】解：∵、是的中线，， ∴，，， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 设，则，， ∴． 故答案为：． 3．（24-25八年级上·浙江杭州·期末）如图，在中，，的平分线交于点，连接，过点作，交于点，过点作，交于点．若，，则 ． 【答案】 【分析】如图所示，过点作于点，则，可证，得到，证明，得到，再证，得到，在中由勾股定理得到，由此即可求解． 【详解】解：如图所示，过点作于点，则， ∵平分，，即， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴，则（负值舍去）， ∴， ∵， ∴， ∴，即， ∴， 在中，， ∴，即， 整理得，， 解得，或（舍去）， ∴， 故答案为：72 ． 【点睛】本题考查了角平分线的性质定理，全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，勾股定理的运用，掌握相似三角形的判定和性质是解题的关键． 4．（24-25九年级下·浙江温州·期末）如图，在矩形中，点在上，，以为圆心，为半径的圆弧交于点，交于点．若是的中点，，则的长为 ． 【答案】 【分析】由是的中点可想到垂径定理以及弧相等则弧所对的弦相等，进而作辅助线、、，可得到等腰三角形和直角三角形，由矩形的性质，同角或等角的余角相等可推出，又有，可得，利用相似三角形的性质可求出，设，在中，用勾股定理列方程即可求出． 【详解】解：如图，连接、、， ∵是的中点，点是圆心， ∴，（垂径定理）， ∴， 作于， ∵四边形是矩形， ∴， ∴四边形是矩形， ∴，， ∴， 设，则，， ∵， ∴（等边对等角），（等腰三角形三线合一）， ∴，， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴：：， ∴， ∴在中，， 即， 解得， 故答案为：． 【点睛】本题考查了圆的圆心角、弧、弦的性质、垂径定理，矩形的性质以及勾股定理．相似三角形的性质和判定，是一道几何综合题，需要熟练掌握相关的性质并能熟练应用． 5．（24-25九年级下·浙江台州·期末）如图，在矩形中，为中点，连接，G为边上一点，将沿折叠，使点刚好落在线段的中点处，则 ． 【答案】 【分析】方法一：延长、交于，过作交于，结合矩形的性质，由平行线的判定方法得，由平行线分线段成比例定理及相似三角形的判定方法得，，由相似三角形的性质得，由可判定，由全等三角形的性质得，由勾股定理得，即可求解． 方法二：过点F作于点D，设，根据平行线截三角形相似推出，利用相似三角形对应边成比例求出，得到，根据勾股定理求出k，即可得到答案． 【详解】解：方法一，延长、交于，过作交于， 四边形是矩形， ，， ，， ， ， ， ， ， 为中点， ， ， ， 为中点， ， ， （）， ， ， ， ， ， 由折叠得：， 在中，， ， 整理得：， 解得：， ； 方法二：过点F作于点D，设，则， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ； 故答案为：． 【点睛】本题考查了矩形的性质，折叠的性质，平行线分线段成比例定理，相似三角形的判定及性质，全等三角形的判定及性质，勾股定理等；掌握矩形的性质，折叠的性质，平行线分线段成比例定理，相似三角形的判定及性质，全等三角形的判定及性质，能构建全等三角形，并能熟练利用勾股定理进行求解是解题的关键． 6．（24-25九年级上·浙江湖州·期末）如图，点在等腰直角的腰上运动，以为腰，点为直角顶点作等腰直角与交于点，连结，当与的面积比为时，的值是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查等腰直角三角形的性质，相似三角形的判定及旋转，勾股定理，熟练掌握相似三角形的判定及性质是解题的关键． 由等腰直角三角形可得，，，，进而得到，，从而证得，因此，即可得到，根据相似三角形的面积之比等于相似比的平方得到，从而，根据勾股定理求出，再根据得到，进而即可解答． 【详解】解：∵，是等腰直角三角形， ∴，，，， ∴，即， ，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴在中，， ∵， ∴， ∵在等腰直角中，， ∴． 故选：D 7．（24-25九年级上·浙江金华·期末）如图，在菱形中，，点在上，以为边作菱形，使点在的延长线上，连结，，延长交于点．若是的中点，则 ． 【答案】 【分析】如图，延长，交于点H，设，，先证明，得，再证明，列比例式，解方程即可解答． 【详解】解：如图，延长，交于点H， 设，， ∵四边形和四边形都是菱形， ∴，，，， ∴， ∴，， ∵M是的中点， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，即， ∴， 解得：（舍），， ∴． 故答案为：． 【点睛】本题考查了菱形的性质，全等三角形的性质与判定，相似三角形的性质与判定，并与一元二次方程相结合，利用参数方程解决问题． 8．（24-25九年级上·浙江绍兴·期末）如图，在中，，以为边分别向外作正方形和正方形，交于点交于点．若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】设，，由“”可证，可得，，利用相似三角形的性质分别求出，的长，即可求解． 【详解】解：如图，过点D作，交的延长线于点P，交的延长线于点H， 在正方形和正方形中， ，， ∴， ∴， ∴， 设，， ∵， ∴， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 设， ∴， ∴， ∴， ∴， 故选：D． 【点睛】本题考查了相似三角形的判定和性质，正方形的性质，全等三角形的判定和性质，添加恰当辅助线构造相似三角形是解题的关键． 1．（24-25九年级上·浙江金华·期末）如图，在四边形中，平分，且．地 城 考点09 解答题 (1)求证：； (2)若，求的度数． 【答案】(1)见解析 (2)的度数是． 【分析】此题重点考查角平分线的定义、相似三角形的判定与性质、三角形内角和定理等知识． （1）由，得，由平分，得，即可根据“两边成比例且夹角相等的两个三角形相似”证明； （2）由相似三角形的性质得，则，所以． 【详解】（1）证明：∵， ∴， ∵平分， ∴， ∴； （2）解：∵，， ∴， ∴， ∴， ∴的度数是． 2．（24-25九年级上·浙江绍兴·期末）如图，在中，是的中点，，交于点为上一点，连结，交于点． (1)求证：； (2)若，，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题主要考查相似三角形的判定与性质． （1）由，易证，，由相似三角形的性质得，，得出，从而可得结论； （2）由（1）知，推出，求出 ，再根据，即可求解． 【详解】（1）证明：∵， ∴，， ∴ ，， ∵是的中点，即， ∴，即， ∴即； （2）解：由（1）知， ∵， ∴， ∴ ， ∵， ∴， ∵， ∴． 3．（24-25九年级上·浙江绍兴·期末）如图，在中，延长至点，使，在上取一点，连接交于点，过点作交于点，已知，． (1)求的值； (2)求的长． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了平行线分线段成比例，熟知平行线分线段成比例是解题的关键． （1）根据和的长度，再结合平行线分线段成比例即可解决问题； （2）根据题意得出，进而得出，再结合的长即可解决问题． 【详解】（1）解：因为， 所以． 又因为， 所以， 故答案为：； （2）解：因为， 所以， 因为， 所以， 又因为， 所以． 4．（24-25九年级上·浙江·期末）如图是由边长为1的小正方形组成的的网格，每个小正方形的顶点叫做格点，三个顶点都是格点．仅用无刻度的直尺在给定网格中完成两个画图任务． (1)在图1中，画，使点E在格点上，且与相似；（只需画出一个即可） (2)在图2中，线段上找一点D，使． 【答案】(1)见解析； (2)见解析． 【分析】本题主要考查了作图-相似变换，相似三角形的判定和性质等知识点，解题的关键是熟练掌握相似三角形的判定方法． (1)根据两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似，进行画图即可； (2)取格点，连接，交于点，则点即为所求作的点． 【详解】（1）解：如图，，点即为所求作的点（任需画出一个即可）， ，， ， ，， ； （2）解：如图， ， ， ， ， 点即为所求作的点． 5．（23-24九年级上·浙江宁波·期末）如图，在的正方形网格中，每个小正方形的顶点叫做格点，的三个顶点均在格点上，仅用无刻度的直尺在给定网格中画图（保留作图痕迹）．    (1)在图中画，使得与的相似比为． (2)在图中画出的重心． 【答案】(1)见解析； (2)见解析． 【分析】（）根据相似三角形的性质作出图形即可； （）根据三角形重心的定义即可得到结论； 本题考查了作图-相似变换，三角形的重心，正确地作出图形是解题的关键． 【详解】（1）画图如图，    由网格可知：，，， ，，， ∴， ∴与相似且相似比为， ∴即为所求； （2）画图如图，    由和为的中线， ∴点是的重心， ∴点即为所求． 6．（24-25九年级上·浙江杭州·期末）如图，中，于，于，设与相交于点． (1)求证： (2)求证：． 【答案】(1)见解析； (2)见解析． 【分析】本题主要考查了相似三角形的判定与性质，解决本题的关键是根据相似三角形的性质找边之间的关系． 根据垂直定义可知，又因为是公共角，可证； 根据可证，根据对顶角相等可知，从而可证，根据相似三角形对应边成比例可知，根据对顶角相等可知，根据两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似可证，从而可证，又因为是公共角，可证，根据相似三角形对应边成比例可证结论成立． 【详解】（1）证明：于点， ， 于点， ， 在和中，，， ； （2）证明：， ， 又， ， ， 又， ， ， ， ， ， ， ， ， 又， ， ， ． 7．（24-25九年级上·浙江宁波·期末）如图，内接于，的角平分线交于点，交于点，点在边上，且． (1)求证：． (2)求证：． (3)若，点是的黄金分割点，求的度数． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3)或 【分析】（1）利用两角相等即可证得； （2）连结，利用角平分线的定义和相似三角形的性质证出角相等，再加上公共边即可证得，进而即可得解； （3）分①当和②当时，两种情况讨论即可得解． 【详解】（1）解： ， . ， ； （2）解：连结． 平分， ， ， ， ， ， ， ， ； （3）解：连结． ， ， ， ，， ， ， ， ， ①当时， 是的黄金分割点， ， ， ， ， ，， 设，则， 在中，， ， 解得． ． ②当时， 是的黄金分割点， ，即， ， ， ， 在上截取，则有， ， ， ，即 ， ， ， ， 设，则，， 在中，， 解得， ， ， ， . 综上所述，或． 【点睛】本题主要考查了相似三角形的判定和性质，黄金分割比，等腰三角形的判定和性质，圆周角定理，全等三角形的判定和性质等知识点，熟练掌握以上知识点并能正确添加辅助线是解决此题的关键． 8．（24-25九年级下·浙江温州·期末）如图，在菱形中，连接对角线，点在边上，过点作交于点，连结交于点． (1)若，，求的度数． (2)若，，求的长． (3)求证∶ ． 【答案】(1) (2) (3)见解析 【分析】本题考查了相似三角形的判定和性质，菱形的性质，平行线分线段成比例定理，等腰三角形的性质，熟练掌握以上内容以及熟练进行中间比转化证明比例式是解题关键． （1）由菱形性质知，由知，，由菱形对角相等可得，从而． （2）由，可得，则，，由，可得，，因为，则，再证明，，从而． （3）由菱形性质证明，再证明，列出比例式，由（2）中知，故，化为乘积式即． 【详解】（1）解：，， ， ， ， ， 由菱形对角相等可得， ； （2）解：， ， ， ， ∵， ∴， ， ， ， ， ， ， 故； （3）证明：由菱形性质知， ， ， ， ． ， ， ， 由（2）中知， ， ． 9．（24-25九年级上·浙江宁波·期末）如图1，四边形为圆内接四边形，对角线与交于点，点在上，． (1)求证：． (2)如图2，若点为的中点，求证：． (3)在（2）的条件下，的面积为2，求的长． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3) 【分析】（1）证明，得出； （2）先证，得到，再根据，证出，，即可得证； （3）连接 ，作，证明，得出，得出，设，得出，根据勾股定理得出，求出（舍去），设，根据勾股定理得出．根据，得出，求出t即可． 【详解】（1）解：， ， ， ， ， ∵， ， ． （2）证明：∵，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴，， ∵点为的中点， ∴， ∴， ∴， ∴； （3）解：如图，连接 ，作， ， ， ∴， ， 又， ， ， ， 设， ， 在中，， ， 解得：（舍去）， ， 设， 在 中， ． ， ， 解得 （舍去）， 的长为 ． 【点睛】本题主要考查了弧、弦、圆心角的关系，相似三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理，平行线的判定和性质，熟练掌握相关知识是解题的关键． 试卷第1页，共3页 2 / 45 学科网（北京）股份有限公司 $