专题10 一元一次方程重难点题型汇编（二十三大题型）-2025-2026学年七年级数学上册高频考点题型归纳与满分必练（浙教版新教材）

专题10 一元一次方程重难点题型汇编 【题型1 元一次方程的定义】...............................................................1 【题型2 等式性质的应用】.................................................................1 【题型3 一元一次方程的解】】.............................................................1 【题型4 解一元一次方程】】..............................................................1 【题型5 同解方程】】....................................................................3 【题型6 解含绝对值的一元一次方程】】.....................................................4 【题型7 与一元一次方程有关的新定义问题】】...............................................5 【题型8 几何问题】.......................................................................6 【题型9 配套问题】........................................................................8 【题型10 调配问题】.......................................................................8 【题型11 利润问题】.......................................................................9 【题型12 行程问题】.......................................................................11 【题型13 工程问题】.......................................................................11 【题型14 古代算术问题】...................................................................12 【题型15储蓄、利息问题】..................................................................13 【题型16比赛积分问题】....................................................................14 【题型17数字问题】.......................................................................15 【题型18年龄问题】.......................................................................16 【题型19幻方问题】.......................................................................17 【题型20日历问题】.......................................................................18 【题型21分段计费问题】...................................................................19 【题型22方案选择问题】....................................................................21 【题型23数轴动点问题】...................................................................22 【题型1 元一次方程的定义】 1．下列是一元一次方程的是（   ）． A． B． C． D． 2．方程是一元一次方程，则的值为（ ） A．8 B． C． D．16 3．若是关于的一元一次方程，则的值为 ． 【题型2 等式性质的应用】 1．若，则下列等式错误的是（　　） A． B． C． D． 2．下列变形中，不正确的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 3．运用等式的基本性质，下列变形正确的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【题型3 一元一次方程的解】 1．已知关于的一元一次方程的解为，则的值为（　　） A．9 B．8 C．5 D．4 2．下列方程中，解为的是（    ） A． B． C． D． 3．若是关于的一元一次方程的解，则的值是 ． 【题型4 解一元一次方程】 1．解下列方程： (1)； (2)． 2．解方程． (1)． (2)． 3．解方程： (1)； (2)． 4．解一元一次方程： (1)； (2)． 【题型5 同解方程】 1．已知关于的方程与方程同解，求的值． 2．若方程与关于x的方程的解相同，求的值． 3．关于的方程与的解相同，求的值． 4.如果关于的两个方程与的解相同，求的值． 5．如果方程的解与方程的解相同，求a的值． 【题型6 解含绝对值的一元一次方程】 1．解方程：． 2.解方程：． 3．解方程：． 4．解方程 5．先阅读下列解题过程，然后解答后面的问题．解方程：． 解：因为，且， 所以原方程可化为或． 由，得； 由，得． 所以原方程的解是或． 试根据上面的思路解下列方程：． 【题型7 与一元一次方程有关的新定义问题】 1．定义新运算“⊕”，即对任意有理数a，b，满足规律，这种运算为“绝佳”运算，例如：；． (1)探究一：两个数“绝佳”运算 填空：①_______ ；②_______；③ _______；④ _______；⑤若，则_______；⑥，则_______． (2)探究二：三个数“绝佳”运算 类比有理数的加法结合律，判断“绝佳运算”是否满足结合律，验证等式是否成立，并归纳“绝佳运算”是否满足结合律． 2．在数学运算里，除了加、减、乘、除四则运算之外，还可以定义一些不同于四则运算但又借助四则运算的计算法则的新运算．比如： “△”是新定义的运算符号，“”为新运算的表达式．代入具体的值：；通过具体值的计算，发现：．所以四则运算中的运算律不一定适用于新运算．如果规定． (1)求的结果． (2)如果m是一个自然数且满足，求m是多少？ 3．对任意四个有理数a，b，c，d定义新运算：，如： (1)求的值； (2)已知，求x的值． 4．定义一种新运算“*”：，比如：． (1)； (2)已知，请根据上述运算，求值． 5．新定义：如果两个一元一次方程的解互为相反数，就称这两个方程为“友好方程”，如：方程和为“友好方程”． (1)若关于的方程与方程是“友好方程”，求的值； (2)若关于的方程与方程是“友好方程”，求的值； (3)若某“友好方程”的两个解的差为6，其中一个方程的解为，求的值． 6．用“”定义一种新运算：规定．如． (1)若（其中为有理数），试比较，的大小； (2)若，求的值． 【题型8 几何问题】 1．如图，某公园有一处长为，宽为的长方形空地，为美化环境，现计划在阴影部分种植花卉，在空白三角形部分修建一个游客观赏区，已知种植花卉的面积为，求长方形空地的长． 2．如图，小强将一个正方形纸片剪去一个宽为的长条后，再从剩下的长方形纸片剪去一个宽为的长条，如果第二次剪下的长条面积比第一次剪下的长条面积的一半还少，那么剪下两次后剩下的图形的面积是多少？ 3．如图将一张正方形纸片剪去一个宽为5厘米的长方形长条后，再从剩下的长方形纸片上按如图所示剪去一个宽3厘米的长方形长条．如果第一次剪下的面积是第二次剪下的面积的2倍，那么，原正方形的面积是多少？ 4．如图，用12米长的木方，做一个有一条横档的长方形窗子（横档面积忽略不计）． (1)如果要使窗子的长为宽的倍，求此窗子的长和宽及透光面积； (2)如果使窗子成为正方形，求此正方形窗子的透光面积； (3)如果要使窗子的长比宽多1米，求此窗子的长和宽，并计算此时窗子的透光面积． 【题型9 配套问题】 1．有一批生产桌椅的木料，已知一块木料可以生产桌子2张或椅子5把，现有39块木料，如何分配可使生产的桌子和椅子恰好配套（一张桌子配4把椅子）？ 2．“爱心暖人间，关爱老人我先行”志愿活动启动，学校假期组织52名同学做礼品盒送给敬老院的老人们．平均每人每天加工大礼品盒14个或小礼品盒10个．已知每个大礼品盒可以装3个小礼品盒，问需要分别安排多少名同学加工大、小礼品盒，才能使每天加工的大、小礼品盒刚好配套？ 3．冠状肺炎疫情正在全球蔓延肆虐，口罩成了人们生活中必不可少的物品．某口罩厂有26名工人，每人每天可以生产400个口罩面或500个口罩耳绳，一个口罩面需要配两个耳绳，为使每天生产的口罩面和口罩耳绳刚好配套， (1)应安排生产口罩面和口罩耳绳的工人各多少名？ (2)在（1）的条件下每天共生产了多少个口罩？ 【题型10 调配问题】 1．为了全面贯彻党的教育方针，培养学生劳动技能，学校组织七年级学生乘车前往某社会实践基地进行劳动实践活动．若单独调配37座客运班车若干辆，则有2人没有座位；若只调配25座客运班车，则用车数量增加4辆，并空出2个座位．该校七年级共有多少名学生？ 2．春节，即农历新年，是一年之岁首，传统意义上的年节，俗称新春，新年，新岁，岁旦，年禧，大年等，口头上又称度岁，庆岁，过年，过大年，春节历史悠久，由上古时代岁首祈年祭祀演变而来．为了喜迎新春，某市从A，B两地向甲，乙两个蔬菜市场运送蔬菜，A，B两地各有蔬菜14吨，甲，乙两个蔬菜市场分别需要蔬菜15吨和13吨．已知从A，B两地到甲，乙两个蔬菜市场的运输价格如下表：      甲，乙蔬菜市场A，B两地 甲蔬菜市场（元/吨） 乙蔬菜市场（元/吨） A地 50 30 B地 60 45 若从A地运到甲蔬菜市场的蔬菜为x吨． (1)用含x的代数式分别表示从A地运到乙蔬菜市场的蔬菜吨数和从B地运到乙蔬菜市场的运输费用； (2)求把全部蔬菜从A，B两地运到甲，乙两个蔬菜市场的总运输费用（用含x的代数式表示）； (3)当总运输费用为1305元时，蔬菜该如何运输调配． 3．学校组织植树活动，已知在甲处植树的有人，在乙处植树的有人，由于甲处植树任务较重，需调配部分乙处的人员去甲处支援，使在甲处植树的人数是乙处植树人数的倍，应从乙处调配多少人去甲处支援？ 【题型11 利润问题】 1．某超市开展促销活动，一次性购物满200元后将给购物者优惠，购物超过200元不足500元的，按9折优惠；购物超过500元的，500元以下（含500元）仍按9折优惠，而超过500元的部分按8折优惠．某人第一次和第二次购物分别用了134元和490元，问： (1)此人两次购物时．所购物品的原价是多少？ (2)在此次活动中他节省了多少钱？ (3)如果此人将两次购买的物品一次全部购买，是否更省钱？请说明你的理由． 2．某超市开业，为了吸引顾客，实行优惠，方案如下表： 购物标价 小于200元 满200元且不超过500元 超过500元 优惠方式 不予优惠 按标价9折优惠 500元部分（包括500元）给予9折优惠，超过500元部分给予8折优惠 (1)小张付款189元，则购买了标价为 元的商品； (2)小张购买标价为x（） 元的商品，则他付款 元；（用含x 的代数式表示） (3)小张两次购物，第一次购买了标价为260元的商品，商家获利，第二次购买了标价550元的商品，商家获利，如果他把两次购买的商品合并为一次，请你计算，商家获利多少元? 3．开发区新建篮球场，吸引很多篮球爱好者，王老板看准时机，需订购一批篮球，现有甲、乙两个供应商，均标价为每个篮球80元，促销情况见下表： 购买数量 甲 乙 不超60个 原价打九折 原价 超过60个 原价打九折 超过60个的部分打八折 (1)当购进多少个篮球时，去甲乙两家购买，进货价钱一样多？ (2)第一批购买100个，第二批购买的数量是第一批的2倍多10个，如果你是王老板该花多少钱进货最省钱？ (3)在（2）的条件下，第一次购进的篮球销售时加价，全部售出．如果第二次购进的篮球也能全部售出，则每个篮球售价是多少时，商场两批篮球的总利润率为？ 【题型12 行程问题】 1．一列匀速前进的火车，从它开始进入米长的隧道到完全通过隧道共用了秒，隧道顶部一盏固定的小灯的灯光在火车上照射了秒钟，求这列火车的长为多少米？ 2．甲、乙两人沿运动场中一条400米长的环形跑道匀速跑步，甲的速度是乙速度的1.5倍，他们从同一起点，朝同一方向同时出发，8分钟后甲第一次追上乙． (1)求甲、乙两人跑步的速度分别为多少？ (2)若甲、乙两人从同一起点，同时背向而行，经过多少时间两人恰好第五次相遇？ 3．甲骑车以12千米/时的速度从A地前往B地，同时乙步行以4千米/时的速度从B地前往A地，乙出发后小时遇到甲，相遇后二人继续前进，甲到达B地后休息了半小时立即返回A地，问甲离开B地多少小时后才能追上乙？ 【题型13 工程问题】 1．整理一批数据，由一人做需要，现在先安排一些人做，然后再增加3人做，刚好完成这项工作的．问先安排做的人数是多少？ 2．宇树科技的机器人接到一项紧急任务：在4小时内处理完1000条生产数据，以确保智能工厂生产线的高效运行．有两种工作模式：常规模式每小时能处理200条数据，增强模式每小时能处理300条数据．为了优化能耗，工程师让先以常规模式工作一段时间，再切换到增强模式．最终刚好在4小时内完成了全部任务．问：机器人在常规模式和增强模式下各工作了多少小时？ 3．为推进我国“碳达峰、碳中和”双碳目标的实现，各地大力推广分布式光伏发电项目．某公司计划建设一座小型光伏发电站，若由甲工程队单独施工需要3周，若由乙工程队单独施工需要6周． (1)若甲、乙两工程队全程合作施工，需要几周完成？ (2)若由甲、乙两工程队先合作施工，剩下的由乙工程队单独完成，恰好用了4周完成建设任务，求甲工程队施工了几周？ 【题型14 古代算术问题】 1．《九章算术》中有这样一段记载：今有善行者行一百步，不善行者行六十步．大意为：同样时间内，走路快的人能走100步，走路慢的人只能走60步．假定两者步长相等，据此回答以下问题： (1)走路慢的人先走100步，走路快的人开始追赶，当走路慢的人再走600步时，请问谁在前面？两人相隔多少步？ (2)走路慢的人先走200步，走路快的人走多少步才能追上走路慢的人？ 2《九章算术》中记载有一道关于“盈不足术”的经典问题，其原文表述如下：“今有共买鸡，人出九，盈一十一；人出六，不足十六．问：人数、鸡价各几何？”译文为：有若干人一起买一只鸡，若每人出9钱，则多出11钱；若每人出6钱，则还差16钱．求买鸡的人数、一只鸡的价格各是多少？ 3．古希腊有一位伟大的数学家叫丢番图，他的墓碑留下了可贵的资料，碑文大意如下：他一生的 是幸福的童年， 是无忧无虑的青年．又过了一生的 ，丢番图结了婚．再过5年儿子出生，可这孩子在世界上的时间只有他父亲的一半．儿子去世以后，丢番图在悲痛中又活了4年，也去世了．你能算出丢番图活了多少岁吗？ 4．《张丘建算经》由北魏数学家张丘建所著，其中有这样一个问题：“今有客不知其数．两人共盘，少两盘：三人共盘，长三盘．问客及盘各几何？”意思为：“现有若干名客人．若2个人共用1个盘子，则少2个盘子；若3个人共用1个盘子，则多出来3个盘子，问客人和盘子各有多少？”请你解答这个问题． 【题型15 储蓄、利息问题】 1．去年小张到银行存了一笔年利率为的普通储蓄，今年存满一年后，利息的正好够买一台随身听，已知随身听每台509元，问一年前小张存了多少元钱？（结果保留整数） 2．老王把10000元按一年期定期储蓄存入银行，到期支取时，扣去利息税后实得本利和为10160元．已知利息税税率为20%，问当时一年期定期储蓄的年利率为多少？ 3．1年定期储蓄年利率为， 所得利息要交纳利息税，老刘有一笔1年期定期储蓄， 到期纳税后得利息396元， 问老刘有多少本金？ 4．一年前，小芳的妈妈为小芳存了一份年利率为的教育储蓄，现在到期了，她取出的利息恰好购买一台学习机，已知学习机每台216元，问：一年前小芳的妈妈存入银行多少钱？ 【题型16 比赛积分问题】 1．开学初，张老师在七（2）班组织了一次“疫情防控”知识竞赛，共有30道题，答对一题得4分，不答或答错一题扣2分． (1)设小明同学参加了竞赛，共答对了x道题，则他的成绩是 (用含有x的字母表示) (2)小明同学参加了竞赛，竞赛成绩是84分，请问小明同学在竞赛中答对了多少道题？ 2．“小组互助”是花园中学办学特色之一．七年级10班的第一组6名同学，自行组织知识竞赛，共设20道选择题，各题分值相同，每题必答，下表记录的是5名同学的得分情况： 参赛者 A B C D E 答对题数 20 19 18 14 10 答错题数 0 1 2 6 10 得分 100 94 88 64 40 (1)由表格知，答对一题得_____分，答错一题得____分； (2)第6名同学F得了82分，请你帮他算一算，答对了几道题？ 3．甲、乙两队进行篮球比赛，比赛规则规定每队胜1场得3分，平1场得1分，负1场得0分．两队一共比赛了10场，甲队保持不败，且得分为24分．甲队胜了多少场？ 4．为提高学生的数学学习兴趣，某校组织了一次数学知识竞赛，共有20道选择题，各题分值相同，每题必答．下表记录了5位参赛同学的得分情况．根据以上信息，请你解答下列问题： 参赛者 答对题数 答错题数 得分 A 20 0 100 B 19 1 94 C 18 2 88 D 14 6 64 E 10 10 40 (1)填空：答对一题得_____分，答错一题扣______分； (2)参赛同学得76分，他答对了几题？ (3)参赛同学说他得了36分，你认为可能吗？为什么？ 【题型17 数字问题】 1．【阅读理解】 我们知道可以写成小数形式为，反之，无限循环小数可以转化成分数形式．方法如下：设，因为，所以， 则，解方程可得，所以． 【方法运用】 用上述方法把无限循环小数写成分数形式为__________： 【类比探究】 类比上述方法把无限循环小数写成分数形式，并写出求解过程； 【数学应用】 已知，请利用这个结论将写成分数形式，并写出求解过程． 2．有一个两位数，如果把数字1加写在它的前面，那么可以得到一个三位数，如果把1写在它的后面，那么也可以得到一个三位数，而且这两个三位数相差414，求原来的两位数． 3．一个三位数，十位上的数等于百位上的数的2倍，百位上的数的3倍减去个位上的数等于十位上的数的，且各数位上的数的和为11．求这个三位数． 【题型18 年龄问题】 1．父亲今年岁，儿子今年岁，多少年前父亲的年龄是儿子年龄的倍? 2．兄弟俩的年龄之和是32岁，当哥哥是弟弟现在这么大时，哥哥的年龄是当时弟弟年龄的3倍，求哥哥现在的年龄． 【题型19 幻方问题】 1．幻方是一个古老的数学问题，我国古代的《洛书》中记载了最早的三阶幻方——九宫图．如图所示的幻方中，每一横行、每一竖列以及两条对角线上的数字之和都相等，把这个和称为“幻和”． 1 9 (1)图中的“幻和”为_______； (2)求m，n的值． 2．幻方的历史悠久，传说最早出现在夏禹时代的“洛书”（如图1），洛书是一种关于天地空间变化的脉络图案，它是以黑点与白点为基本要素，以一定方式构成若干不同组合．把洛书用今天的数学符号表示出来就是一个三阶幻方（如图2）．将9个数填在（三行三列）的方格中，如果满足每行、每列、每条对角线上的三个数字之和都相等，就得到一个广义的三阶幻方． 【实践应用】 （1）改变图2幻方中数字的位置，可以得到一个新的三阶幻方（如图3），则_____， _____， ____； （2）图4的方格中填写了一些数字和字母，若能构成一个广义的三阶幻方，则_____， ____； 【拓展延伸】 （3）如图5，有三个正方形，每个正方形的顶点处都有一个“○”，将，，，，，，2，4，6，8，10，12 这12个数填入恰当的位置（数字不重复使用），使每个正方形的 四个顶点处“○”中的和都为2．试求m，n的值． 【题型20 日历问题】 1.一个数，请你仔细观察十字形框架中的数字的规律，并回答下列问题： (1)十字框中的五个数的和与中间的数16有什么关系？ (2)设中间的数为x，用代数式表示十字框中的五个数的和． (3)若将十字框上下左右移动，可框住另外的五个数，这五个数的和能等于2024吗？如能，写出这五个数；如不能，说明理由． 2．如图是某年3月的日历，用一长方形框在表中任意框住4个数． (1)用长方形框框出的四个数中左上角的数为18，右下角的数为______，这四个数之和为_______． (2)若记左上角的数为x，则另三个数用含x的代数式表示出来，从小到大依次是_______，_______，_______． (3)能否用长方形框框出这样的4个数，它们的和等于92？若能，则求出x的值，若不能，说明理由． 【题型21 分段计费问题】 1．小明在学习了第五章《一元一次方程》的“阅读材料”后，通过手机APP查到了自己家目前的水费收费标准如下： 用水性质和分级 到户价格（元/吨） 其中含污水处理价（元/吨） 居民生活用水 第1级（每户每月用水13吨及以下部分） 第2级（每户每月用水14~25吨部分） 第3级（每户每月用水26吨及以上部分） 每月用水量都以整数吨记录，到户价格包含污水处理价．如小明家9月份用水30吨，则总共支付水费：，其中含污水处理费用：．根据以上信息回答下列问题： (1)小明家10月份总共支付水费，求小明家10月份用水多少吨？支付的水费中包含的污水处理费为多少元？ (2)若7月与8月两个月共用水48吨，且8月份用水量超过26吨，两个月共缴水费213元，则该用户7、8月份各用水多少吨？ 2．随着出行方式的多样化，某市三种打车方式的收费标准如下： 出租车 滴滴快车 高德快车 3千米以内：10元 路程：元/千米 路程：元/千米 超过3千米的部分：元/千米 时间：元/分钟 时间：元/分钟 已知三种打车的平均车速均为40千米/小时，如：乘坐8千米．耗时分钟．出租车的收费为：（元）；滴滴快车的收费为：（元）；高德快车的收费为：（元）． (1)如果乘车路程20千米，使用高德快车，需支付的费用是 元． (2)如果乘车路程千米，使用出租车出行，需支付的费用是多少元？使用滴滴快车出行，需支付的费用是多少元？ (3)高德快车和滴滴快车为了竞争客户，分别推出了优惠方式：滴滴快车对于乘车路程在6千米以上（含6千米）的客户每次收费减免11元；高德快车车费半价优惠．若一个乘客通过计算发现乘车路程超过6千米时，使用高德快车比使用滴滴快车出行省20元，求这个乘客的乘车的路程是多少千米？ 3．某省实施居民阶梯电价，每户每月阶梯电量电价夏季收费标准划分如下： 阶梯（档次） 用电量（度） 电价（元/度） 第一档 0～260 0.59 第二档 261～600 0.64 第三档 601及以上 0.89 （执行居民阶梯电价总电费第一档电费第二档电费第三档电费；不足1度按1度计算收费） (1)第二档电价比第一档多 元； (2)已知李乐家6月份用电300度，请计算李乐家需要缴纳的电费． (3)已知陈阳家7月份缴纳电费307元，请通过计算判断陈阳家该月份用电收费属于哪个档次，并求出该月用电量． 【题型22 方案选择问题】 1．某超市开业，为了吸引顾客，实行优惠，方案如下表： 购物标价 小于200元 满200元且不超过500元 超过500元 优惠方式 不予优惠 按标价9折优惠 500元部分（包括500元）给予9折优惠，超过500元部分给予8折优惠 (1)小张付款189元，则购买了标价为 元的商品； (2)小张购买标价为x（） 元的商品，则他付款 元；（用含x 的代数式表示） (3)小张两次购物，第一次购买了标价为260元的商品，商家获利，第二次购买了标价550元的商品，商家获利，如果他把两次购买的商品合并为一次，请你计算，商家获利多少元? 2．因教学需要，学校准备订购个排球和若干根跳绳，经过市场调查后发现排球元个，跳绳 元根． 某体育用品商店提供两种优惠方案（顾客只能选择其中一种方案）： 方案： 买一个排球送一根跳绳； 方案：排球和跳绳都按定价的付款． 假设订购跳绳根（）． (1)若按方案购买，一共需付款 元； 若按方案购买，一共需付款 元；(用含的式子表示) (2)购买多少根跳绳时，两种方案所省的钱数一样多？ 3.【方案问题】某小学组织学生去春游，若租用45座客车，则有15人没有座位；若租用同样数目的60座客车，则一辆客车空车．已知45座客车的租金为220元，60座客车的租金为300元． (1)这个学校一共有学生多少人？ (2)怎样租车最经济合算？此时租金是多少？ 【题型23 数轴动点问题】 1．如图，数轴上的两点，所对应的数分别为，，点在数轴上，且点对应的数为． (1)若，求三点对应数的和； (2)若点在点的左侧，且，求的值． 2．如图，A，B分别为数轴上的两点，点A对应的数是，点B对应的数为80．现在有一只电子蚂蚁P从B点出发，以2个单位长度/秒的速度沿数轴向左运动，同时另一只电子蚂蚁Q恰好从A点出发，以3个单位长度/秒的速度沿数轴向右运动，设两只电子蚂蚁在数轴上的C点相遇．请解答下面问题： (1)点C在数轴上所对应的数在数轴的正半轴上还是负半轴上？ (2)在两只电子蚂蚁相遇前，何时两只电子蚂蚁在数轴上相距15个单位长度？ 3．如图，已知数轴上点A表示的数为6，B是数轴上在A左侧的一点，且A，B两点间的距离为10．动点P从点A出发，以每秒3个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动，设运动时间为秒． (1)数轴上点B表示的数是 ，点P表示的数是 （用含t的代数式表示）； (2)动点Q从点B出发，以每秒1个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动，若点P、Q同时出发．求： ①当点P运动多少秒时，点P与点Q相遇？ ②当点P运动多少秒时，点P与点Q间的距离为3个单位长度？ 4．【问题背景】如图①，将一根木棒放在数轴上，木棒左端与数轴上的点A重合，右端与数轴上的点B重合． 【问题探索】 （1）若将木棒沿数轴向右水平移动，则当它的左端移动到点B时，它的右端在数轴上所对应的点表示的数为30；若将木棒沿数轴向左水平移动，则当它的右端移动到点A时，它的左端在数轴上所对应的点表示的数为6，由此可得这根木棒的长为______． （2）图①中点A表示的数是______，点B表示的数是______． 【迁移应用】 （3）由【问题探索】的启发，请借助图②中的数轴解决下列问题： 一天，李明去问奶奶的年龄，奶奶说：“我若是你现在这么大，你还要37年才出生；你若是我现在这么大，我就119岁啦！”则奶奶现在多少岁？ 王芳的想法是：借助图②中的数轴，将一根木棒放在数轴上，两端分别与点A，B重合，把李明和奶奶的年龄差看作木棒的长，奶奶是李明现在这么大时，可看作木棒沿数轴向左水平移动后，其右端移动到点A，此时左端在数轴上所对应的点C表示的数为． ①李明是奶奶现在这么大时，可看作木棒沿数轴向右水平移动后，其左端移动到点B，此时右端在数轴上所对应的点D表示的数为______． ②求奶奶现在的年龄． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！6 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题10 一元一次方程重难点题型汇编 【题型1 元一次方程的定义】...............................................................1 【题型2 等式性质的应用】.................................................................3 【题型3 一元一次方程的解】】.............................................................4 【题型4 解一元一次方程】】..............................................................5 【题型5 同解方程】】....................................................................8 【题型6 解含绝对值的一元一次方程】】.....................................................10 【题型7 与一元一次方程有关的新定义问题】】...............................................13 【题型8 几何问题】.......................................................................18 【题型9 配套问题】........................................................................21 【题型10 调配问题】.......................................................................23 【题型11 利润问题】.......................................................................25 【题型12 行程问题】.......................................................................28 【题型13 工程问题】.......................................................................30 【题型14 古代算术问题】...................................................................31 【题型15储蓄、利息问题】..................................................................33 【题型16比赛积分问题】....................................................................35 【题型17数字问题】.......................................................................38 【题型18年龄问题】.......................................................................40 【题型19幻方问题】.......................................................................41 【题型20日历问题】.......................................................................44 【题型21分段计费问题】...................................................................46 【题型22方案选择问题】....................................................................50 【题型23数轴动点问题】...................................................................52 【题型1 元一次方程的定义】 1．下列是一元一次方程的是（   ）． A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了一元一次方程的识别，解题的关键是掌握一元一次方程的定义． 根据一元一次方程的定义（只含有一个未知数，且未知数的最高次数为1的整式方程）判断各选项． 【详解】解：∵ 一元一次方程需满足：①只含一个未知数；②未知数的最高次数为1；③整式方程； 选项A：，不是整式方程，不符合题意； 选项B：，未知数次数为2，不符合题意； 选项C：，含两个未知数，不符合题意； 选项D：，只含一个未知数，且次数为1，是整式方程，符合题意； 故选：D． 2．方程是一元一次方程，则的值为（ ） A．8 B． C． D．16 【答案】D 【分析】根据一元一次方程的定义得到，，求解可得答案． 本题考查了一元一次方程的定义，含有一个未知数且未知数的次数是一次的方程是一元一次方程． 【详解】解：是关于x的一元一次方程， ，， ，， ． 故选：D． 3．若是关于的一元一次方程，则的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查了一元一次方程的定义，由题意可得且，解之即可，掌握一元一次方程的定义是解题的关键． 【详解】解：∵是关于的一元一次方程， ∴且， ∴， 故答案为：． 【题型2 等式性质的应用】 1．若，则下列等式错误的是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了等式的性质，运用等式性质时，注意除以一个数必须确保该数不为零．选项A、B、C在时均根据等式性质成立，但选项D中c可能为零，导致分母为零，等式无意义．据此即可判断． 【详解】解：∵， ∴ 对于A：（等式两边加同一数，等式成立）； 对于B：（等式两边乘同一数，等式成立）； 对于C：（等式两边除以同一非零数，等式成立）； 对于D：当时，成立，但当时，分母为零，等式无意义，故错误． 故选：D． 2．下列变形中，不正确的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【答案】D 【分析】本题考查等式的性质，平方的非负性，掌握相关知识是解决问题的关键．等式两边同时加上或减去同一个数，或者同时乘以或除以同一个非零数，等式仍然成立．据此逐项判断即可． 【详解】解：A：等式两边加3，得，正确； B：等式两边乘2，得，正确； C：∵ ，分母恒不为零，等式两边除以，成立； D：当时，恒成立，但a与b可能不相等，故不正确． 故选：D． 3．运用等式的基本性质，下列变形正确的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【答案】D 【分析】本题主要考查了等式的性质，根据等式的基本性质，等式两边同时加、减、乘或除以同一个数（除数不为0），等式仍成立．选项A两边操作不一致；选项B变形错误；选项C中a可能为0；选项D两边同乘，正确． 【详解】解：A：若，则或，但不成立； B：若，两边同乘6，得，而非； C：若，当时成立，但a可能为0，故不一定成立， D：若，则两边同乘，得，成立． 故选D． 【题型3 一元一次方程的解】 1．已知关于的一元一次方程的解为，则的值为（　　） A．9 B．8 C．5 D．4 【答案】B 【分析】本题主要考查了一元一次方程的定义，一元一次方程的解的定义，只含有一个未知数，且未知数的次数为1的整式方程叫做一元一次方程，据此可求出a的值，再把代入原方程求出m的值即可得到答案． 【详解】解：∵方程是关于的一元一次方程， ∴， ∴， ∵关于的一元一次方程的解为， ∴， ∴， ∴， 故选：B． 2．下列方程中，解为的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了一元一次方程的解，掌握解一元一次方程的步骤是关键．把代入每个方程，当左边等于右边时，是该方程的解；当左边不等于右边时，不是该方程的解，据此判断即可． 【详解】解：A．把代入方程得：左边，右边，左边≠右边，不符合题意； B．把代入方程得：左边，右边，左边≠右边，不符合题意； C．把代入方程得：左边，右边，左边≠右边，不符合题意； D．把代入方程得：左边，右边，左边=右边，符合题意． 故选：D． 3．若是关于的一元一次方程的解，则的值是 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了一元一次方程的解，代数式求值，先把是代入方程得，再将代数式变形得，然后代入计算即可，掌握方程的解，代数式求值是解题的关键． 【详解】解：∵是关于的一元一次方程的解， ∴，即， ∴ ， 故答案为：． 【题型4 解一元一次方程】 1．解下列方程： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了解一元一次方程． （1）先去括号，再移项，合并同类项，最后系数化为1即可； （2）先去分母，再去括号，移项，合并同类项，最后系数化为1即可． 【详解】（1）解： 去括号，得 移项，得 合并同类项，得 系数化为1，得． （2）解： 去分母，两边同乘6，得 去括号，得 移项，得 合并同类项，得 系数化为1，得． 2．解方程． (1)． (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了一元一次方程的解法，熟悉掌握运算法则是解题的关键． （1）根据运算法则运算求解即可； （2）根据运算法则运算求解即可． 【详解】（1） 解： （2） 解： 3．解方程： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了一元一次方程的解法，解题的关键是掌握解一元一次方程的基本步骤（移项、去分母、合并同类项、系数化为1），并注意移项时要变号、去分母时方程两边每一项都需乘各分母的最小公倍数． （1）方程不含分母和括号，先通过移项将含未知数的项移到右边、常数项留在左边（移项要变号），再合并同类项，最后将未知数系数化为1； （2）方程含分母，先找分母2和3的最小公倍数6去分母（每一项均乘6，避免漏乘常数项），再移项、合并同类项即可． 【详解】（1）解：移项，得， 合并同类项，得， 系数化为1，得． （2）解：去分母（两边同乘6），得， 去括号，得， 移项，得， 合并同类项，得． 4．解一元一次方程： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】（）根据解一元一次方程的步骤解答即可； （）根据解一元一次方程的步骤解答即可； 本题考查了解一元一次方程，掌握解一元一次方程的步骤是解题的关键． 【详解】（1）解：移项，得， 合并同类项，得， 系数化为，得； （2）解：去分母，得， 去括号，得， 移项，得， 合并同类项，得， 系数化为，得． 【题型5 同解方程】 1．已知关于的方程与方程同解，求的值． 【答案】 【分析】本题考查解一元一次方程．根据题意先解，得到，再将代入中即可求出的值． 【详解】解：， 去括号得：， 移项合并同类项得：， 把代入中得， 解得：． 2．若方程与关于x的方程的解相同，求的值． 【答案】27 【分析】本题考查一元一次方程的解法（同解问题）及代数式求值，解题关键是通过第一个方程求出公共解，再代入第二个方程求a的值． 解第一个方程：通过去分母、去括号、移项合并，求出x的值（公共解）；代入第二个方程：将公共解代入含a的方程，解关于a的一元一次方程；计算代数式：用求得的a值代入，算出结果． 【详解】解：解第一个方程 两边同乘（分母最小公倍数），得： 去括号： 合并同类项： 移项得：， 解得． 将代入，得： 两边同乘6消分母： 去括号： 合并同类项： 移项得：， 解得． ∴． 3．关于的方程与的解相同，求的值． 【答案】 【分析】本题考查一元一次方程的解和解一元一次方程，掌握方程的解就是使方程成立的未知数的值和解一元一次方程的步骤是解题关键．先求出的解，再代入中，求出m的值即可． 【详解】解： 所以． ∵关于的方程与的解相同， 所以， 所以． 4.如果关于的两个方程与的解相同，求的值． 【答案】 【分析】本题考查了同解方程，解决本题的关键是能够求解关于x的方程，要正确理解方程解的含义．先求出方程的解，然后把x的值代入方程，求解m的值． 【详解】解：解方程得：， 把代入方程， 得：， 解得：． 5．如果方程的解与方程的解相同，求a的值． 【答案】 【分析】本题考查了方程的解的概念及解一元一次方程，熟练掌握解一元一次方程的一般步骤及注意事项是解题的关键．求出第一个方程的解得到x的值，代入第二个方程求出a的值即可． 【详解】解：， 去分母得：， 移项合并得：， 解得：， 把代入方程得：， 解得：． 【题型6 解含绝对值的一元一次方程】 1．解方程：． 【答案】 【分析】本题考查了解一元一次方程，解绝对值方程，熟练掌握解绝对值方程是解题的关键．当时，解方程得；当时，解方程，得，但此时不满足，应舍去． 【详解】解：若，则， 解得， 此时，符合题意； 若，则， 解得， 此时，与假设不符， 所以不符合题意，舍去； 所以方程的解为：． 2.解方程：． 【答案】 【分析】本题主要考查的是含有绝对值符号的一元一次方程的解法．根据绝对值的性质分几种情况进行简化方程解答即可． 先找零点，为，再分段去绝对值． 【详解】解：当时， 原方程可化为：， 解得：，不符合题意，舍去； 当时， 原方程可化为：， 解得：，不符合题意，舍去， 当时， 原方程可化为：， 解得：x取的实数； 当时， 原方程可化为：， 解得：．不符合题意，舍去， 综上：． 3．解方程：． 【答案】或6 【分析】本题考查解一元一次方程，化简绝对值，正确掌握方法和步骤是解题的关键． 根据题意分情况讨论，然后分别解方程即可． 【详解】解析：当时，， 解得，不符合题意，舍去 当时，， 解得，符合题意； 当时，， 解得，符合题意． 综上，或6． 4．解方程 【答案】或 【分析】本题主要考查绝对值的应用、解一元一次方程和分类讨论思想的应用，根据题干已知的绝对值将x分为三种情况，分情况讨论使用绝对值的意义化简求解即可． 【详解】解：若，则，化简得，解得（舍去）； 若，则，化简得，解得； 若，则，化简得，解得； 综上所述，或． 5．先阅读下列解题过程，然后解答后面的问题．解方程：． 解：因为，且， 所以原方程可化为或． 由，得； 由，得． 所以原方程的解是或． 试根据上面的思路解下列方程：． 【答案】或 【分析】本题主要考查了绝对值方程，解一元一次方程等知识点，熟练掌握绝对值的意义是解题的关键． 根据题中提供的思路解方程，即：利用绝对值的意义将原方程化为两个一元一次方程，然后求解即可． 【详解】解：， ， ，且， 原方程可化为或， 由，解得：， 由，解得：， 原方程的解是或． 【题型7 与一元一次方程有关的新定义问题】 1．定义新运算“⊕”，即对任意有理数a，b，满足规律，这种运算为“绝佳”运算，例如：；． (1)探究一：两个数“绝佳”运算 填空：①_______ ；②_______；③ _______；④ _______；⑤若，则_______；⑥，则_______． (2)探究二：三个数“绝佳”运算 类比有理数的加法结合律，判断“绝佳运算”是否满足结合律，验证等式是否成立，并归纳“绝佳运算”是否满足结合律． 【答案】(1)①1；②1；③；④；⑤4或；⑥1或 (2)等式不成立，“绝佳运算”不满足结合律 【分析】本题考查有理数的知识，解题的关键是掌握有理数的加法运算，绝对值的意义． （1）①②③④根据“⊕”运算的运算法则求解即可；⑤⑥根据“⊕”运算的运算法则建立方程求解即可； （2）根据“⊕”运算法则分别计算出等式两边的结果，看是否相等即可得到结论． 【详解】（1）解：①； ②； ③； ④； ⑤∵， ∴， ∴或， ∴或； ⑥∵， ∴， ∴或， ∴或； （2）解：∵， ∴ ； ∵， ∴ ， ∴， ∴等式不成立， ∴“绝佳运算”不满足结合律． 2．在数学运算里，除了加、减、乘、除四则运算之外，还可以定义一些不同于四则运算但又借助四则运算的计算法则的新运算．比如： “△”是新定义的运算符号，“”为新运算的表达式．代入具体的值：；通过具体值的计算，发现：．所以四则运算中的运算律不一定适用于新运算．如果规定． (1)求的结果． (2)如果m是一个自然数且满足，求m是多少？ 【答案】(1)58 (2) 【分析】本题考查的是有理数的混合运算，解一元一次方程，熟练掌握计算法则是解题的关键． （1）原式利用已知的新定义计算即可得到结果； （2）利用已知的新定义列出关于m的方程，然后解方程即可． 【详解】（1）解：∵， ∴ （2）解：∵， ∴， 解得． 3．对任意四个有理数a，b，c，d定义新运算：，如： (1)求的值； (2)已知，求x的值． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了一元一次方程，利用新定义法则将代求项转化为一元一次方程是解题的关键． （1）利用新定义法则进行计算即可； （2）利用新定义法则将代求项转化为一元一次方程，再利用解一元一次方程的一般步骤进行求解即可． 【详解】（1）解：； （2）解：， 可化为： ， 去括号得：， 合并得：， 系数化为1得：． 4．定义一种新运算“*”：，比如：． (1)； (2)已知，请根据上述运算，求值． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了定义新运算，整式的加减运算，解一元一次方程的方法，解题的关键是： （1）根据“”列式计算即可； （2）先根据列出方程，再根据解一元一次方程的方法，求出x的值即可． 【详解】（1）解：∵， ∴ ； （2）解：∵，， ∴， ∴， 解得． 5．新定义：如果两个一元一次方程的解互为相反数，就称这两个方程为“友好方程”，如：方程和为“友好方程”． (1)若关于的方程与方程是“友好方程”，求的值； (2)若关于的方程与方程是“友好方程”，求的值； (3)若某“友好方程”的两个解的差为6，其中一个方程的解为，求的值． 【答案】(1) (2) (3)3或 【分析】本题考查一元一次方程的解，解一元一次方程，理解“友好方程”的定义是解题的关键． （1）先求出方程的解，根据“友好方程”的定义得出的解，代入得到关于m的方程，解方程即可； （2）先解和，根据得出两个解互为相反数，列式计算即可； （3）设该“友好方程”的一个解为n，则另一个解为，分和两种情况，分别解方程即可． 【详解】（1）解：解方程，得：， 则的解为， 将代入，得：， 解得； （2）解：解，得：， 解，得：， 则， 解得； （3）解：设该“友好方程”的一个解为n，则另一个解为， 当时，解得， 当时，解得， 综上可知，的值为3或． 6．用“”定义一种新运算：规定．如． (1)若（其中为有理数），试比较，的大小； (2)若，求的值． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了新定义，解一元一次方程，理解新定义是解答本题的关键． （1）先根据新定义变形，再用作差法比较； （2）根据新定义转化为一元一次方程求解即可． 【详解】（1）解：∵， ， ∴ ， ∵为有理数， ∴， ， ∴ ； （2）解：∵ ， 又∵， ∴， ∴． 【题型8 几何问题】 1．如图，某公园有一处长为，宽为的长方形空地，为美化环境，现计划在阴影部分种植花卉，在空白三角形部分修建一个游客观赏区，已知种植花卉的面积为，求长方形空地的长． 【答案】15m 【分析】本题主要考查了一元一次方程的应用，先求出空白三角形的两直角边长分别为：，，然后根据种植花卉的面积为，列出方程，解方程即可． 【详解】解：空白三角形的两直角边长分别为： ，， 根据题意可得：， 解得：， ∴， 答：长方形空地的长为． 2．如图，小强将一个正方形纸片剪去一个宽为的长条后，再从剩下的长方形纸片剪去一个宽为的长条，如果第二次剪下的长条面积比第一次剪下的长条面积的一半还少，那么剪下两次后剩下的图形的面积是多少？ 【答案】 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，理解题意、列出方程并正确求解是解题的关键；设正方形的边长为，则可分别表示两次剪下的长条的面积，根据第二次剪下的长条面积比第一次剪下的长条面积的一半还少，列出方程并求解，再用正方形面积减去再次剪下的长条面积即可求得剪下两次后剩下的图形的面积． 【详解】解：设正方形的边长为，则第一次剪下长条面积为，第二次剪下长条面积为， 由题意得：， 解得：； 剪下两次后剩下的图形的面积为． 答：剪下两次后剩下的图形的面积为． 3．如图将一张正方形纸片剪去一个宽为5厘米的长方形长条后，再从剩下的长方形纸片上按如图所示剪去一个宽3厘米的长方形长条．如果第一次剪下的面积是第二次剪下的面积的2倍，那么，原正方形的面积是多少？ 【答案】原正方形的面积为 【分析】本题考查一元一次方程的应用，设原正方形的边长为，根据第一次剪下的面积是第二次剪下的面积的2倍，列一元一次方程，解方程求出边长，进而求出正方形的面积． 【详解】解：设原正方形的边长为， 则， 解得：， 故原正方形的面积为． 答：原正方形的面积为． 4．如图，用12米长的木方，做一个有一条横档的长方形窗子（横档面积忽略不计）． (1)如果要使窗子的长为宽的倍，求此窗子的长和宽及透光面积； (2)如果使窗子成为正方形，求此正方形窗子的透光面积； (3)如果要使窗子的长比宽多1米，求此窗子的长和宽，并计算此时窗子的透光面积． 【答案】(1)长3米，宽2米，透光面积为6平方米 (2)平方米 (3)长3米，宽2米，透光面积为6平方米 【分析】本题主要考查了一元一次方程的应用，根据题意得到等量关系是解题的关键． （1）设宽为x米，则长为米，根据“用12米长的木方，”列出方程，即可求解； （2）设正方形的边长为m米，根据“用12米长的木方，”列出方程，即可求解； （3）设宽为a米，则长为米，根据“用12米长的木方，”列出方程，即可求解． 【详解】（1）解：设宽为x米，则长为米，根据题意得： ， 解得：， 此时， ， 答：长为3米，宽为2米，透光面积为6平方米； （2）解：设正方形的边长为m米，根据题意得： ， 解得：， ， 答：此正方形窗子的透光面积为平方米； （3）解：设宽为a米，则长为米，根据题意得： ， 解得：， 此时， ， 答：长为3米，宽为2米，透光面积为6平方米． 【题型9 配套问题】 1．有一批生产桌椅的木料，已知一块木料可以生产桌子2张或椅子5把，现有39块木料，如何分配可使生产的桌子和椅子恰好配套（一张桌子配4把椅子）？ 【答案】应该用15块木料生产桌子，用24块木料生产椅子 【分析】此题重点考查一元一次方程的应用，正确地用代数式表示生产桌子的数量和生产椅子的数量是解题的关键．设用x块木料生产桌子，则用块木料生产椅子，生产桌子张，生产椅子把，根据椅子的数量是桌子数量的4倍列方程得，解方程求出x的值，再求出代数式的值即可． 【详解】解：设用x块木料生产桌子，则用块木料生产椅子， 根据题意得， 解得， ∴， 答：应该用15块木料生产桌子，用24块木料生产椅子． 2．“爱心暖人间，关爱老人我先行”志愿活动启动，学校假期组织52名同学做礼品盒送给敬老院的老人们．平均每人每天加工大礼品盒14个或小礼品盒10个．已知每个大礼品盒可以装3个小礼品盒，问需要分别安排多少名同学加工大、小礼品盒，才能使每天加工的大、小礼品盒刚好配套？ 【答案】需安排10名同学加工大礼品盒，42名同学加工小礼品盒，才能使每天加工的大小礼品盒刚好配套． 【分析】此题主要考查了一元一次方程的应用，关键是正确理解题意，找出题目中的等量关系，列出方程． 设需安排x名同学加工大礼品盒，则名同学加工小礼品盒，由每个大礼品盒可以装3个小礼品盒从而得出等量关系，列出方程求出即可． 【详解】解：设需安排x名同学加工大礼品盒，则名同学加工小礼品盒， 根据题意得， ， ∴（名） 答：需安排10名同学加工大礼品盒，42名同学加工小礼品盒，才能使每天加工的大小礼品盒刚好配套． 3．冠状肺炎疫情正在全球蔓延肆虐，口罩成了人们生活中必不可少的物品．某口罩厂有26名工人，每人每天可以生产400个口罩面或500个口罩耳绳，一个口罩面需要配两个耳绳，为使每天生产的口罩面和口罩耳绳刚好配套， (1)应安排生产口罩面和口罩耳绳的工人各多少名？ (2)在（1）的条件下每天共生产了多少个口罩？ 【答案】(1)安排10人生产口罩面，16人生产口罩耳绳； (2)4000个 【分析】本题考查一元一次方程的知识，解题的关键是理解题意，找到等量关系，列出方程． （1）设安排人生产口罩面，则有人生产口罩耳绳，根据题意，列出方程，解出方程，即可． （2）根据（1）中求出的生产口罩面的工人数，计算出每天生产口罩面的数量，也就是每天生产口罩的数量． 【详解】（1）解：设安排人生产口罩面，则有人生产口罩耳绳，由题意则有： 解得：． 答：安排10人生产口罩面，16人生产口罩耳绳； （2）解：由（1）知，生产口罩面的工人有10名，每人每天生产400个口罩面，那么每天生产口罩面的数量为个， 因为一个口罩面对应一个口罩， 所以每天共生产4000个口罩． 答：在（1）的条件下每天共生产了4000个口罩． 【题型10 调配问题】 1．为了全面贯彻党的教育方针，培养学生劳动技能，学校组织七年级学生乘车前往某社会实践基地进行劳动实践活动．若单独调配37座客运班车若干辆，则有2人没有座位；若只调配25座客运班车，则用车数量增加4辆，并空出2个座位．该校七年级共有多少名学生？ 【答案】298名 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，理解题意，找出等量关系是解题关键．设该校七年级共有x名学生，根据若单独调配37座客运班车若干辆，则有2人没有座位；若只调配25座客运班车，则用车数量增加4辆，并空出2个座位．列出方程，解方程即可求解． 【详解】解：设该校七年级共有x名学生，根据题意得， 解得． 答：设该校七年级共有298名学生． 2．春节，即农历新年，是一年之岁首，传统意义上的年节，俗称新春，新年，新岁，岁旦，年禧，大年等，口头上又称度岁，庆岁，过年，过大年，春节历史悠久，由上古时代岁首祈年祭祀演变而来．为了喜迎新春，某市从A，B两地向甲，乙两个蔬菜市场运送蔬菜，A，B两地各有蔬菜14吨，甲，乙两个蔬菜市场分别需要蔬菜15吨和13吨．已知从A，B两地到甲，乙两个蔬菜市场的运输价格如下表：      甲，乙蔬菜市场A，B两地 甲蔬菜市场（元/吨） 乙蔬菜市场（元/吨） A地 50 30 B地 60 45 若从A地运到甲蔬菜市场的蔬菜为x吨． (1)用含x的代数式分别表示从A地运到乙蔬菜市场的蔬菜吨数和从B地运到乙蔬菜市场的运输费用； (2)求把全部蔬菜从A，B两地运到甲，乙两个蔬菜市场的总运输费用（用含x的代数式表示）； (3)当总运输费用为1305元时，蔬菜该如何运输调配． 【答案】(1)从A地运到乙蔬菜市场的蔬菜为吨，从B地运到乙蔬菜市场的运输费用为元 (2)元 (3)方案见解析 【分析】本题考查了列代数式、整式的加减、一元一次方程的应用，依据题意，正确列出各代数式是解题关键． （1）根据题意列代数式即可． （2）从A地运到甲蔬菜市场的蔬菜为x吨，则从A地运到乙蔬菜市场的蔬菜为吨，从B地运到甲蔬菜市场的蔬菜为吨，则从A地运到乙蔬菜市场的蔬菜为吨，分别乘上运输费用相加即可； （3）结合（2）的结果，根据总运输费用为1305元可建立一个关于x的一元一次方程，再解方程即可得答案． 【详解】（1）解：由题意，得从A地运到乙蔬菜市场的蔬菜吨数为：（吨）， 从B地运到乙蔬菜市场的运输费用为：（元）； （2）解：由题意，得蔬菜全部从A，B两地运到甲，乙两个蔬菜市场的总运输费用为： 所以，蔬菜全部从A，B两地运到甲，乙两个蔬菜市场的总运输费用为元． （3）（3）由题意，得， 解得， 所以，当总运输费用为1305元时，蔬菜的运输调配方案如下： 从A地运送蔬菜到甲蔬菜市场：6吨； 从A地运送蔬菜到乙蔬菜市场：（吨）； 从B地运送蔬菜到甲蔬菜市场：（吨）； 从B地运送蔬菜到乙蔬菜市场：（吨）． 3．学校组织植树活动，已知在甲处植树的有人，在乙处植树的有人，由于甲处植树任务较重，需调配部分乙处的人员去甲处支援，使在甲处植树的人数是乙处植树人数的倍，应从乙处调配多少人去甲处支援？ 【答案】应从乙处调配9人去甲处支援 【分析】根据从乙处调配人去甲处支援，则甲处植树的人数是乙处植树人数的2倍，列出等量关系，解出，即可． 【详解】从乙处调配人去甲处支援， ∴ 解得：． 答：应从乙处调配9人去甲处支援． 【点睛】本题考查一元一次方程的知识，解题的关键是理解题意，找准等量关系，列出方程． 【题型11 利润问题】 1．某超市开展促销活动，一次性购物满200元后将给购物者优惠，购物超过200元不足500元的，按9折优惠；购物超过500元的，500元以下（含500元）仍按9折优惠，而超过500元的部分按8折优惠．某人第一次和第二次购物分别用了134元和490元，问： (1)此人两次购物时．所购物品的原价是多少？ (2)在此次活动中他节省了多少钱？ (3)如果此人将两次购买的物品一次全部购买，是否更省钱？请说明你的理由． 【答案】(1)两次购物时，所购物品的原价分别为134元和550元 (2)节省了60元 (3)更省钱，理由见解析 【分析】本题考查了有理数的混合运算的应用，一元一次方程的应用，理解题意，正确列式计算是解此题的关键． （1）此人第一次购物用了134元，没有享受优惠，即可得出所购买物品的原价为134元，由得出第二次所购物品超过500元，设第二次所购物品的原价为元，根据题意列出一元一次方程，解方程即可得解； （2）将两次购买的原价相加减去实际付的钱即可得解； （3）计算得出一次全部购买可以节省的钱，比较即可得解． 【详解】（1）解：此人第一次购物用了134元，没有享受优惠，即所购买物品的原价为134元， 第二次购物用了490元， ， 所购物品超过500元． 设第二次所购物品的原价为元， 则， 解得． 答：此人两次购物时，所购物品的原价分别为134元和550元． （2）解：（元）． 答：在此次活动中他节省了60元． （3）解：更省钱． 如果一次全部购买可以节省（元）， 因为， 所以，如果此人将两次购买的物品一次全部购买会更省钱． 2．某超市开业，为了吸引顾客，实行优惠，方案如下表： 购物标价 小于200元 满200元且不超过500元 超过500元 优惠方式 不予优惠 按标价9折优惠 500元部分（包括500元）给予9折优惠，超过500元部分给予8折优惠 (1)小张付款189元，则购买了标价为 元的商品； (2)小张购买标价为x（） 元的商品，则他付款 元；（用含x 的代数式表示） (3)小张两次购物，第一次购买了标价为260元的商品，商家获利，第二次购买了标价550元的商品，商家获利，如果他把两次购买的商品合并为一次，请你计算，商家获利多少元? 【答案】(1)189或210 (2) (3)商家获利168元 【分析】本题主要考查了列一元一次方程解决实际问题，列代数式，解题的关键是理解题意，找准等量关系． （1）根据题意分两种情况进行求解即可； （2）根据题意列出代数式即可； （3）列出方程求出每次的成本，然后再合并起来求商家获得的利润即可． 【详解】（1）解：当小张购买了小于200元物品时，不予优惠，小张付款为189元； 当小张购买了满200元且不超过500元物品时，设购物标价为元，根据题意得， ， 解得； 故答案为：189或210； （2）解：根据题意得，他付款为元， 故答案为：； （3）解：设第一次的成本为元，第二次的成本为元，根据题意得， ，， 解得， ∴（元）， 所以，商家获利168元． 3．开发区新建篮球场，吸引很多篮球爱好者，王老板看准时机，需订购一批篮球，现有甲、乙两个供应商，均标价为每个篮球80元，促销情况见下表： 购买数量 甲 乙 不超60个 原价打九折 原价 超过60个 原价打九折 超过60个的部分打八折 (1)当购进多少个篮球时，去甲乙两家购买，进货价钱一样多？ (2)第一批购买100个，第二批购买的数量是第一批的2倍多10个，如果你是王老板该花多少钱进货最省钱？ (3)在（2）的条件下，第一次购进的篮球销售时加价，全部售出．如果第二次购进的篮球也能全部售出，则每个篮球售价是多少时，商场两批篮球的总利润率为？ 【答案】(1) (2)王老板该花进货最省钱 (3)第二次购进的篮球售价是元/个时，商场两批篮球的总利润率为 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，有理数的四则混合运算的应用，解题的关键是找准等量关系，正确列出一元一次方程． （1）设购进个时，去甲乙两家购买，进货价钱一样多，，根据总价=单价×数量结合两供应商的优惠政策，即可得出关于x的一元一次方程，解之即可得出结论； （2）分别计算第一、二批甲、乙两个供应商的花费，然后比较，再相加后即可得出结论； （3）设第二次购进的篮球售价为y元/个，根据利润=销售收入成本，即可得出关于y的一元一次方程，解之即可得出结论． 【详解】（1）解：设购进个时，去甲乙两家购买，进货价钱一样多， 根据题意得：， 解得：． 答：购进个时，去甲乙两家购买，进货价钱一样多． （2）解：第一批： 选择甲供应商，需要（元）， 选择乙供应商，需要（元）， ∴选择甲供应商，花费元； 第二批： 选择甲供应商，需要（元） 选择乙供应商，需要（元）， ∴选择乙供应商，花费元； （元）， 答：王老板该花进货最省钱． （3）解：设第二次购进的篮球售价为元/个， 根据题意得：， 解得：． 答：第二次购进的篮球售价是元/个时，商场两批篮球的总利润率为． 【题型12 行程问题】 1．一列匀速前进的火车，从它开始进入米长的隧道到完全通过隧道共用了秒，隧道顶部一盏固定的小灯的灯光在火车上照射了秒钟，求这列火车的长为多少米？ 【答案】这列火车的长为400米 【分析】设这列火车的长为x米，根据题意表示出火车的速度：或者，根据速度的相等关系列出方程，解方程即可． 【详解】解：设这列火车的长为x米，由题意得： ， 解得：； 答：这列火车的长为400米． 2．甲、乙两人沿运动场中一条400米长的环形跑道匀速跑步，甲的速度是乙速度的1.5倍，他们从同一起点，朝同一方向同时出发，8分钟后甲第一次追上乙． (1)求甲、乙两人跑步的速度分别为多少？ (2)若甲、乙两人从同一起点，同时背向而行，经过多少时间两人恰好第五次相遇？ 【答案】(1)乙的速度为每分钟米，甲的速度为每分钟150米 (2)分钟 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元一次方程是解题的关键． （1）设乙的速度为，则甲的速度为，根据二者速度之差时间环形跑道的长度，列出方程求解即可； （2）设经过分钟两人恰好第五次相遇，根据二者速度之和时间环形跑道长度的倍，列出方程求解即可； 【详解】（1）解：设乙的速度为，则甲的速度为， 根据题意得：， 解得：， ∴， 答：乙的速度为每分钟米，甲的速度为每分钟150米． （2）解：设经过分钟两人恰好第五次相遇， 根据题意得：， 解得： 答：经过分钟两人恰好第五次相遇． 3．甲骑车以12千米/时的速度从A地前往B地，同时乙步行以4千米/时的速度从B地前往A地，乙出发后小时遇到甲，相遇后二人继续前进，甲到达B地后休息了半小时立即返回A地，问甲离开B地多少小时后才能追上乙？ 【答案】甲离开B地小时后才能追上乙 【分析】本题考查一元一次方程的应用，掌握知识点是解题的关键． 设甲离开B地x小时后才能追上乙，根据题意列出方程，再解方程即可． 【详解】解：设甲离开B地x小时后才能追上乙，依题意，得 ， 解得 答：甲离开B地小时后才能追上乙． 【题型13 工程问题】 1．整理一批数据，由一人做需要，现在先安排一些人做，然后再增加3人做，刚好完成这项工作的．问先安排做的人数是多少？ 【答案】4 【分析】设先安排做的人数是x人，根据题意，得，解方程即可． 本题考查了一元一次方程的应用之工程问题，熟练掌握解题方法是解题的关键． 【详解】解：设先安排做的人数是x人， 根据题意，得， 解得． 答：先安排做的人数是4． 2．宇树科技的机器人接到一项紧急任务：在4小时内处理完1000条生产数据，以确保智能工厂生产线的高效运行．有两种工作模式：常规模式每小时能处理200条数据，增强模式每小时能处理300条数据．为了优化能耗，工程师让先以常规模式工作一段时间，再切换到增强模式．最终刚好在4小时内完成了全部任务．问：机器人在常规模式和增强模式下各工作了多少小时？ 【答案】在常规模式工作了2小时，在增强模式下工作了2小时 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，理解题意找准等量关系列出方程是解题的关键．设机器人在常规模式工作了小时，则在增强模式下工作了小时，根据题意列出方程，求出的值即可解答． 【详解】解：设机器人在常规模式工作了小时，则在增强模式下工作了小时， 由题意得，， 解得：， 则， 答：机器人在常规模式工作了2小时，在增强模式下工作了2小时． 3．为推进我国“碳达峰、碳中和”双碳目标的实现，各地大力推广分布式光伏发电项目．某公司计划建设一座小型光伏发电站，若由甲工程队单独施工需要3周，若由乙工程队单独施工需要6周． (1)若甲、乙两工程队全程合作施工，需要几周完成？ (2)若由甲、乙两工程队先合作施工，剩下的由乙工程队单独完成，恰好用了4周完成建设任务，求甲工程队施工了几周？ 【答案】(1)甲、乙两工程队全程合作施工，需要2周完成 (2)甲工程队施工了1周 【分析】本题主要考查了一元一次方程的实际应用，正确理解题意找到等量关系建立方程是解题的关键． （1）设甲、乙两工程队全程合作施工，需要x周完成，把工作总量看做单位“1”，求出两个工程队的工作效率，根据工作总量等于工作效率乘以工作时间建立方程求解即可． （2）设甲工程队施工了y周，分别求出两个施工队的工作量，二者的和为1，据此建立方程求解即可． 【详解】（1）解；设甲、乙两工程队全程合作施工，需要x周完成， 由题意得，， 解得， 答：甲、乙两工程队全程合作施工，需要2周完成； （2）解；设甲工程队施工了y周， 由题意得，， 解得：， 答：甲工程队施工了1周． 【题型14 古代算术问题】 1．《九章算术》中有这样一段记载：今有善行者行一百步，不善行者行六十步．大意为：同样时间内，走路快的人能走100步，走路慢的人只能走60步．假定两者步长相等，据此回答以下问题： (1)走路慢的人先走100步，走路快的人开始追赶，当走路慢的人再走600步时，请问谁在前面？两人相隔多少步？ (2)走路慢的人先走200步，走路快的人走多少步才能追上走路慢的人？ 【答案】(1)走路快的人在前面，两人相隔300步 (2)500步 【分析】本题考查了列一元一次方程解实际问题的运用，一元一次方程的解法的运用，解决本题的关键是根据题意列出正确的方程． （1）设当走路慢的人再走600步时，走路快的人走x步，根据同样时间内，走路快的人能走100步，走路慢的人只能走60步，列方程求解即可； （2）设走路快的人走y步才能追上走路慢的人，根据同样时间内，走路快的人能走100步，走路慢的人只能走60步，及追及问题可列方程求解． 【详解】（1）解：设当走路慢的人再走600步时，走路快的人走x步， 由题意得： 解得：， ∴两人相隔（步）， 答：当走路慢的人再走600步时，走路快的人在前面，两人相隔300步； （2）解：设走路快的人走y步才能追上走路慢的人， 由题意得： 解得：， 答：走路快的人走500步才能追上走路慢的人． 2《九章算术》中记载有一道关于“盈不足术”的经典问题，其原文表述如下：“今有共买鸡，人出九，盈一十一；人出六，不足十六．问：人数、鸡价各几何？”译文为：有若干人一起买一只鸡，若每人出9钱，则多出11钱；若每人出6钱，则还差16钱．求买鸡的人数、一只鸡的价格各是多少？ 【答案】买鸡的人数为9人，一只鸡的价格为70钱 【分析】本题主要考查了列一元一次方程解决实际问题，解题的关键是找出等量关系，列出方程求解． 设买鸡的人数为人，根据两种购买方式，列出方程求解即可． 【详解】解：设买鸡的人数为人，根据题意得， ， 解得， ， ∴买鸡的人数为9人，一只鸡的价格为70钱． 3．古希腊有一位伟大的数学家叫丢番图，他的墓碑留下了可贵的资料，碑文大意如下：他一生的 是幸福的童年， 是无忧无虑的青年．又过了一生的 ，丢番图结了婚．再过5年儿子出生，可这孩子在世界上的时间只有他父亲的一半．儿子去世以后，丢番图在悲痛中又活了4年，也去世了．你能算出丢番图活了多少岁吗？ 【答案】84岁 【分析】本题考查了一元一次方程的实际应用，解题的关键是根据丢番图一生各阶段的时间占比和具体年数，找出等量关系列出方程求解． 设丢番图活了x岁，分别表示出童年、青年、结婚后到儿子出生前、儿子在世及悲痛中生活的时间，根据各阶段时间之和等于他的总年龄列方程求解即可． 【详解】解：设丢番图活了x岁，根据题意得： ， 解得：． 答：丢番图活了84岁． 4．《张丘建算经》由北魏数学家张丘建所著，其中有这样一个问题：“今有客不知其数．两人共盘，少两盘：三人共盘，长三盘．问客及盘各几何？”意思为：“现有若干名客人．若2个人共用1个盘子，则少2个盘子；若3个人共用1个盘子，则多出来3个盘子，问客人和盘子各有多少？”请你解答这个问题． 【答案】客人共有30位，盘子共有13个． 【分析】本题考查一元一次方程的实际应用，设共有x位客人，根据盘子的数量为定值，列出方程进行求解即可． 【详解】解：设共有x位客人． 依题意，得，解得， 所以． 答：客人共有30位，盘子共有13个． 【题型15 储蓄、利息问题】 1．去年小张到银行存了一笔年利率为的普通储蓄，今年存满一年后，利息的正好够买一台随身听，已知随身听每台509元，问一年前小张存了多少元钱？（结果保留整数） 【答案】一年前小张存了大约28278元钱 【分析】本题考查利率问题，一元一次方程解决实际问题．设一年前小张存了x元钱，利息的等于随身听的价格，列出方程求解即可． 【详解】解：设一年前小张存了x元钱，由题意得， ， 解得， 答：一年前小张存了大约28278元钱． 2．老王把10000元按一年期定期储蓄存入银行，到期支取时，扣去利息税后实得本利和为10160元．已知利息税税率为20%，问当时一年期定期储蓄的年利率为多少？ 【答案】 【分析】本题考查一元一次方程的应用，解答本题的关键是明确题意，列出相应的方程． 根据题意设出未知数，利用本利和本金利息利息税，列出方程，解之即可得出结论． 【详解】解：设当时一年期定期储蓄的年利率为， ， 解得：， 答：当时一年期定期储蓄的年利率为． 3．1年定期储蓄年利率为， 所得利息要交纳利息税，老刘有一笔1年期定期储蓄， 到期纳税后得利息396元， 问老刘有多少本金？ 【答案】老刘有25000元本金 【分析】本题考查了一元一次方程的实际应用，设本金是x元，根据利息本金×年利率即可列出方，解方程就可以求出本金． 【详解】解：设本金是x元． 根据题意得：， 解得：． 答：老刘有25000元本金． 4．一年前，小芳的妈妈为小芳存了一份年利率为的教育储蓄，现在到期了，她取出的利息恰好购买一台学习机，已知学习机每台216元，问：一年前小芳的妈妈存入银行多少钱？ 【答案】8000元 【分析】设一年前小芳的妈妈存入银行元钱，根据利息本金存期利率，得出关于的一元一次方程，解出即可得出结论． 【详解】解：设一年前小芳的妈妈存入银行元钱， 依题意，得：， 解得：． 答：一年前小芳的妈妈存入银行8000元钱． 【点睛】本题考查了一元一次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元一次方程是解本题的关键． 【题型16 比赛积分问题】 1．开学初，张老师在七（2）班组织了一次“疫情防控”知识竞赛，共有30道题，答对一题得4分，不答或答错一题扣2分． (1)设小明同学参加了竞赛，共答对了x道题，则他的成绩是 (用含有x的字母表示) (2)小明同学参加了竞赛，竞赛成绩是84分，请问小明同学在竞赛中答对了多少道题？ 【答案】(1)分 (2)小明在竞赛中答对了24道题 【分析】本题考查了列代数式，一元一次方程的应用，根据题意列出正确的代数式为解题关键． （1）小明共答对了x道题，则不答或答错了道题，根据题意列出代数式即可； （2）根据题意列出一元一次方程求解即可． 【详解】（1）解：设小明共答对了x道题，则不答或答错了道题， 根据题意：他的成绩为：分， 故答案为：分； （2）根据题意：， 解得：， 答：小明在竞赛中答对了24道题． 2．“小组互助”是花园中学办学特色之一．七年级10班的第一组6名同学，自行组织知识竞赛，共设20道选择题，各题分值相同，每题必答，下表记录的是5名同学的得分情况： 参赛者 A B C D E 答对题数 20 19 18 14 10 答错题数 0 1 2 6 10 得分 100 94 88 64 40 (1)由表格知，答对一题得_____分，答错一题得____分； (2)第6名同学F得了82分，请你帮他算一算，答对了几道题？ 【答案】(1)5， (2)17道题 【分析】本题考查的是一元一次方程的应用，解题的关键是： （1）根据表格中参赛者A的成绩和参赛者B的成绩即可求出每答对一道题的得分和每答错一道题的得分； （2）设答对了x道题，则答错了道题，根据题意列一元一次方程即可求出结论． 【详解】（1）解：由表格中参赛者A的成绩可知：每答对一道题得分， 由表格中参赛者B的成绩可知：每答错一道题得分， 故答案为：5，； （2）解：设答对了x道题，则答错了道题， 根据题意，得， 解得， 答：答对了17道题． 3．甲、乙两队进行篮球比赛，比赛规则规定每队胜1场得3分，平1场得1分，负1场得0分．两队一共比赛了10场，甲队保持不败，且得分为24分．甲队胜了多少场？ 【答案】7场 【分析】根据题意找出等量关系，设未知数，解方程，即可解答． 【详解】解：设甲队胜了场，则平了场， 根据题意，得， 解得． 答：甲队胜了7场． 【点睛】本题考查了解一元一次方程的实际应用，找出题中的等量关系是解题关键． 4．为提高学生的数学学习兴趣，某校组织了一次数学知识竞赛，共有20道选择题，各题分值相同，每题必答．下表记录了5位参赛同学的得分情况．根据以上信息，请你解答下列问题： 参赛者 答对题数 答错题数 得分 A 20 0 100 B 19 1 94 C 18 2 88 D 14 6 64 E 10 10 40 (1)填空：答对一题得_____分，答错一题扣______分； (2)参赛同学得76分，他答对了几题？ (3)参赛同学说他得了36分，你认为可能吗？为什么？ 【答案】(1)5 ，1； (2)参赛者F答对了16道题； (3)不可能，理由见详解 【分析】本题考查了一元一次方程的实际运用，解答时抓住“答对题所得分−−答错题所扣分=总得分”是关键． （1）先由选手A算出答对一题所得分数，再由选手B算出答错一题扣分即可； （2）设答对了x道题，答错了道题，根据题意构造方程，解方程即可； （3）设答对了y道题，答错了道题，根据“答对的得分+答错的得分分”列方程即可求解． 【详解】（1）解：由题意得： （分）， 答错一题的得分是：（分）， 答对一题的得5分；答错一题扣1分； （2）设参赛者F答对了x道题，答错了道题，由题意得： 解得： ∴参赛者F答对了16道题； （3）不可能，理由如下： 假设参赛者G得36分，设答对了y道题，答错了道题， 由题意得：， 解得：， ∵y为整数， ∴参赛者G说他的得分为36分，是不可能的． 【题型17 数字问题】 1．【阅读理解】 我们知道可以写成小数形式为，反之，无限循环小数可以转化成分数形式．方法如下：设，因为，所以， 则，解方程可得，所以． 【方法运用】 用上述方法把无限循环小数写成分数形式为__________： 【类比探究】 类比上述方法把无限循环小数写成分数形式，并写出求解过程； 【数学应用】 已知，请利用这个结论将写成分数形式，并写出求解过程． 【答案】方法运用：；类比探究：；数学应用： 【分析】本题考查一元一次方程的应用，根据题意理解并运用无限循环小数化为分数的方法是解题的关键． 方法运用：设，则，那么，解得x的值即可； 类比探究：设，则，那么，解得m的值即可； 数学应用：根据得，再根据计算即可． 【详解】解：方法运用： 设， 则， 那么， 解得：， 即， 故答案为：； 类比探究： 设， 则， 那么， 解得：， 即； 数学应用： ∵， ∴， ∴． 2．有一个两位数，如果把数字1加写在它的前面，那么可以得到一个三位数，如果把1写在它的后面，那么也可以得到一个三位数，而且这两个三位数相差414，求原来的两位数． 【答案】57 【分析】本题主要考查了一元一次方程的应用．设原来的两位数为，根据“这两个三位数相差414”，列出方程，即可求解． 【详解】解：设原来的两位数为，根据题意得： 解得：， 答：原来的两位数为57． 3．一个三位数，十位上的数等于百位上的数的2倍，百位上的数的3倍减去个位上的数等于十位上的数的，且各数位上的数的和为11．求这个三位数． 【答案】245 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，设百位上的数字为x，则十位上的数字为，个位上的数字为，根据“位上的数的3倍减去个位上的数等于十位上的数的” 列出关于x的一元一次方程，解之即可． 【详解】解：设百位上的数字为x，则十位上的数字为， ∵各数位上的数的和为11， 所以，个位上的数字为， 根据题意得，， 解得：， ∴百位上的数字为2， 十位上的数字为， 个位上的数字为， 所以，这个三位数为245． 【题型18 年龄问题】 1．父亲今年岁，儿子今年岁，多少年前父亲的年龄是儿子年龄的倍? 【答案】年前 【分析】本题主要考查了一元一次方程的实际应用，根据题意找出等量关系是解题的关键．设年前父亲的年龄是儿子年龄的倍，根据年前父亲的年龄是儿子年龄的倍列出方程求解即可． 【详解】设年前父亲的年龄是儿子年龄的倍， 由题意得， 解得， 答：年前父亲的年龄是儿子年龄的倍． 2．兄弟俩的年龄之和是32岁，当哥哥是弟弟现在这么大时，哥哥的年龄是当时弟弟年龄的3倍，求哥哥现在的年龄． 【答案】哥哥现在20岁 【分析】本题考查一元一次方程的应用，理解题意，正确列出方程是解答的关键．设当哥哥是弟弟现在这么大时，弟弟的年龄是x岁，则哥哥当时岁，两人的年龄差是岁，根据题意列方程求解即可． 【详解】解：设当哥哥是弟弟现在这么大时，弟弟的年龄是x岁，则哥哥当时岁，两人的年龄差是岁． 根据题意，得 解得 今年哥哥：（岁） 答：哥哥现在20岁． 【题型19 幻方问题】 1．幻方是一个古老的数学问题，我国古代的《洛书》中记载了最早的三阶幻方——九宫图．如图所示的幻方中，每一横行、每一竖列以及两条对角线上的数字之和都相等，把这个和称为“幻和”． 1 9 (1)图中的“幻和”为_______； (2)求m，n的值． 【答案】(1)3 (2)， 【分析】本题主要考查了一元一次方程的数字应用，仔细阅读题意列出方程是解题的关键． （1）根据题意把表格中间三个数相加即可； （2）根据每一横行、每一竖列以及对角线上的数字之和都为定值，列出方程运算求解即可． 【详解】（1）解：根据题意得，图中的“幻和”为， 故答案为：3； （2）解：根据题意得， 解得， 九宫图右下角的数为， ∴， ∴，． 2．幻方的历史悠久，传说最早出现在夏禹时代的“洛书”（如图1），洛书是一种关于天地空间变化的脉络图案，它是以黑点与白点为基本要素，以一定方式构成若干不同组合．把洛书用今天的数学符号表示出来就是一个三阶幻方（如图2）．将9个数填在（三行三列）的方格中，如果满足每行、每列、每条对角线上的三个数字之和都相等，就得到一个广义的三阶幻方． 【实践应用】 （1）改变图2幻方中数字的位置，可以得到一个新的三阶幻方（如图3），则_____， _____， ____； （2）图4的方格中填写了一些数字和字母，若能构成一个广义的三阶幻方，则_____， ____； 【拓展延伸】 （3）如图5，有三个正方形，每个正方形的顶点处都有一个“○”，将，，，，，，2，4，6，8，10，12 这12个数填入恰当的位置（数字不重复使用），使每个正方形的 四个顶点处“○”中的和都为2．试求m，n的值． 【答案】（1）6；5；4；（2）7；0；（3）3或． 【分析】本题主要考查了一元一次方程的应用，有理数混合运算的应用，数字规律探索，解题的关键是理解题意，找出幻方中的数字规律． （1）根据图2先确定，每行、列和对角线上的数字和都相等列出方程，求解即可； （2）设底边两角的数分别为，再根据广义的三阶幻方可得和，再解方程即可； （3）根据使每个正方形的4个顶点处“”中的数的和都为2求出m、n的值，然后求出结果即可． 【详解】（1）解：根据图2中的幻方可知，图中填的是到9这9个数，根据幻方规律可知，中间一个数应该为5， ∴， ∴， 解得：， ， 解得：， 2 7 6 9 5 1 4 3 8 故答案为：6；5；4； （2）解：设如图两个数分别为， 根据广义的三阶幻方定义， ，解得， ，解得， 故答案为：7；0； （3）解：如图，设另外两个圆圈中的数分别为、q， 根据题意得：， 解得：， ， 解得：， ， ∴， ∵圆圈中的12个数为：、、2、4、6、8、10、12， ∴，或，， ∴或． 【题型20 日历问题】 1.一个数，请你仔细观察十字形框架中的数字的规律，并回答下列问题： (1)十字框中的五个数的和与中间的数16有什么关系？ (2)设中间的数为x，用代数式表示十字框中的五个数的和． (3)若将十字框上下左右移动，可框住另外的五个数，这五个数的和能等于2024吗？如能，写出这五个数；如不能，说明理由． 【答案】(1)十字框中的五个数的和是中间的数16的5倍 (2) (3)这五个数的和不能等于2024，理由见解析 【分析】此题考查整式的加减，一元一次方程的应用． （1）将5个数相加，找出其与16的关系即可； （2）设中间的数为x，则另外四个数分别为，，，，将五个数相加即可得出结论； （3）假设能够框出满足条件的五个数，设中间的数为x，由（2）的结论可得出关于x的一元一次方程，解之即可得出x的值． 【详解】（1）解：∵， ∴十字框中的五个数的和是中间的数16的5倍； （2）解：设中间的数为x，则另外四个数分别为，，，， ∴； （3）解：不能，理由如下： 设中间的数为x， 根据题意得：， 解得：， ∵x是正数， ∴这五个数的和不能等于2024． 2．如图是某年3月的日历，用一长方形框在表中任意框住4个数． (1)用长方形框框出的四个数中左上角的数为18，右下角的数为______，这四个数之和为_______． (2)若记左上角的数为x，则另三个数用含x的代数式表示出来，从小到大依次是_______，_______，_______． (3)能否用长方形框框出这样的4个数，它们的和等于92？若能，则求出x的值，若不能，说明理由． 【答案】(1)， (2)，， (3)不能用长方形框框出这样的4个数，它们的和等于92，理由见解析 【分析】本题考查了一元一次方程的应用、列代数式； （1）找到表格中的，结合表格可得答案； （2）观察图形，根据各数之间的关系，用含的代数式表示出另外三个数； （3）不能用长方形框框出这样的4个数，它们的和等于92，假设能用长方形框框出这样的4个数，它们的和等于92，根据四个数之和为92，可列出关于的一元一次方程，解之可得出的值，结合19在第七列，可得出假设不成立，即不能用长方形框框出这样的4个数，它们的和等于92． 【详解】（1）解：用长方形框框出的四个数中左上角的数为18， 右下角的数为，这四个数之和为. （2）解：记左上角的数为，则另外三个数分别为，，． （3）解：不能用长方形框框出这样的4个数，它们的和等于92，理由如下： 假设能用长方形框框出这样的4个数，它们的和等于92， 根据题意得：， 解得：， 在第七列，不符合题意， 假设不成立，即不能用长方形框框出这样的4个数，它们的和等于92． 【题型21 分段计费问题】 1．小明在学习了第五章《一元一次方程》的“阅读材料”后，通过手机APP查到了自己家目前的水费收费标准如下： 用水性质和分级 到户价格（元/吨） 其中含污水处理价（元/吨） 居民生活用水 第1级（每户每月用水13吨及以下部分） 第2级（每户每月用水14~25吨部分） 第3级（每户每月用水26吨及以上部分） 每月用水量都以整数吨记录，到户价格包含污水处理价．如小明家9月份用水30吨，则总共支付水费：，其中含污水处理费用：．根据以上信息回答下列问题： (1)小明家10月份总共支付水费，求小明家10月份用水多少吨？支付的水费中包含的污水处理费为多少元？ (2)若7月与8月两个月共用水48吨，且8月份用水量超过26吨，两个月共缴水费213元，则该用户7、8月份各用水多少吨？ 【答案】(1)10月份用水16吨，支付的水费中包含的污水处理费为元 (2)小明家七月份用水15吨，八月份用水33吨 【分析】本题考查了一元一次方程的应用． （1）设小明家10月份用水x吨，根据小明家10月份总共支付水费60.5元，可列出关于x的一元一次方程，解之即可得出x的值，再将其代入中，即可求出结论； （2）设8月份用水吨，则7月份用水吨，分两种情况考虑，根据两个月共缴水费213元，可列出关于y的一元一次方程，解之取其符合题意的值，即可得出结论． 【详解】（1）解：当用水量为13吨时，水费为， 当用水量为25吨时，水费为．所以水费为第2级． 设用水量为吨，， 解得， 其中污水处理费元 答：明家10月份用水16吨，支付的水费中包含的污水处理费为元； （2）解：设8月份用水吨，则7月份用水吨， 由题意可得，8月份用水超过26吨， 若7月份用水在13吨及以下，则可得， ， 此时七月份用水14吨超过13吨，所以不符合，舍去， 若7月份用水在14~25吨， 则可得， 符合题意， 所以小明家七月份用水15吨，八月份用水33吨． 2．随着出行方式的多样化，某市三种打车方式的收费标准如下： 出租车 滴滴快车 高德快车 3千米以内：10元 路程：元/千米 路程：元/千米 超过3千米的部分：元/千米 时间：元/分钟 时间：元/分钟 已知三种打车的平均车速均为40千米/小时，如：乘坐8千米．耗时分钟．出租车的收费为：（元）；滴滴快车的收费为：（元）；高德快车的收费为：（元）． (1)如果乘车路程20千米，使用高德快车，需支付的费用是 元． (2)如果乘车路程千米，使用出租车出行，需支付的费用是多少元？使用滴滴快车出行，需支付的费用是多少元？ (3)高德快车和滴滴快车为了竞争客户，分别推出了优惠方式：滴滴快车对于乘车路程在6千米以上（含6千米）的客户每次收费减免11元；高德快车车费半价优惠．若一个乘客通过计算发现乘车路程超过6千米时，使用高德快车比使用滴滴快车出行省20元，求这个乘客的乘车的路程是多少千米？ 【答案】(1)44 (2)使用出租车出行，需支付的费用是元；使用滴滴快车出行，需支付的费用是元 (3)31千米 【分析】本题主要考查了一元一次方程的应用以及列代数式． （1）利用使用高德快车出行需支付的费用路程路程，即可求出结论； （2）利用使用出租车出行需支付的费用超过3千米的部分，可用含x的代数式表示出使用出租车出行需支付的费用；利用使用滴滴快车出行需支付的费用路程路程，即可用含x的代数式表示出使用滴滴快车出行需支付的费用； （3）设这个乘客的乘车的路程是s千米，根据使用高德快车比使用滴滴快车出行省20元，可列出关于s的一元一次方程，解之即可得出结论． 【详解】（1）解：根据题意，得： （元）． 故答案为：44； （2）解：根据题意，得： 使用出租车出行，需支付的费用是（元）； 使用滴滴快车出行，需支付的费用是（元）； （3）解：设这个乘客的乘车的路程是s千米， 根据题意，得， 解方程，得． 答：这个乘客的乘车的路程是31千米． 3．某省实施居民阶梯电价，每户每月阶梯电量电价夏季收费标准划分如下： 阶梯（档次） 用电量（度） 电价（元/度） 第一档 0～260 0.59 第二档 261～600 0.64 第三档 601及以上 0.89 （执行居民阶梯电价总电费第一档电费第二档电费第三档电费；不足1度按1度计算收费） (1)第二档电价比第一档多 元； (2)已知李乐家6月份用电300度，请计算李乐家需要缴纳的电费． (3)已知陈阳家7月份缴纳电费307元，请通过计算判断陈阳家该月份用电收费属于哪个档次，并求出该月用电量． 【答案】(1)0.05 (2)李乐家需要缴纳的电费为179元 (3)陈阳家该月份用电收费属于第二档，该月用电量为500度 【分析】本题考查有理数运算的运用，以及一元一次方程的实际运用，解题的关键在于理解阶梯电量电价夏季收费标准，根据标准列式计算． （1）直接利用第二档电价减去第一档电价，即可解题； （2）根据表格进行计算，即可解题； （3）先计算出第一档电费和第二档电费，确定档次，再设该月用电量为x度，列出方程计算． 【详解】（1）解：（元）， 故答案为：； （2）解：（元）， 答：李乐家需要缴纳的电费为179元； （3）解：（元）， （元）， ， 陈阳家该月份用电收费属于第二档， 设该月用电量为x度， ， ， 答：陈阳家该月份用电收费属于第二档，该月用电量为500度． 【题型22 方案选择问题】 1．某超市开业，为了吸引顾客，实行优惠，方案如下表： 购物标价 小于200元 满200元且不超过500元 超过500元 优惠方式 不予优惠 按标价9折优惠 500元部分（包括500元）给予9折优惠，超过500元部分给予8折优惠 (1)小张付款189元，则购买了标价为 元的商品； (2)小张购买标价为x（） 元的商品，则他付款 元；（用含x 的代数式表示） (3)小张两次购物，第一次购买了标价为260元的商品，商家获利，第二次购买了标价550元的商品，商家获利，如果他把两次购买的商品合并为一次，请你计算，商家获利多少元? 【答案】(1)189或210 (2) (3)商家获利168元 【分析】本题主要考查了列一元一次方程解决实际问题，列代数式，解题的关键是理解题意，找准等量关系． （1）根据题意分两种情况进行求解即可； （2）根据题意列出代数式即可； （3）列出方程求出每次的成本，然后再合并起来求商家获得的利润即可． 【详解】（1）解：当小张购买了小于200元物品时，不予优惠，小张付款为189元； 当小张购买了满200元且不超过500元物品时，设购物标价为元，根据题意得， ， 解得； 故答案为：189或210； （2）解：根据题意得，他付款为元， 故答案为：； （3）解：设第一次的成本为元，第二次的成本为元，根据题意得， ，， 解得， ∴（元）， 所以，商家获利168元． 2．因教学需要，学校准备订购个排球和若干根跳绳，经过市场调查后发现排球元个，跳绳 元根． 某体育用品商店提供两种优惠方案（顾客只能选择其中一种方案）： 方案： 买一个排球送一根跳绳； 方案：排球和跳绳都按定价的付款． 假设订购跳绳根（）． (1)若按方案购买，一共需付款 元； 若按方案购买，一共需付款 元；(用含的式子表示) (2)购买多少根跳绳时，两种方案所省的钱数一样多？ 【答案】(1)，； (2)购买根跳绳时，两种方案所省的钱数一样多． 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，列代数式，找准等量关系，正确列出一元一次方程是解题的关键． （）利用“总价单价数量”，结合商店给出的两种优惠方案，可求出选择各方案所需费用； （）根据选择两种方案所省的钱数一样多，可列出关于的一元一次方程，解之即可得出结论． 【详解】（1）解：按方案购买，一共需付款（元）， 按方案购买，一共需付款（元）， 故答案为：，； （2）解：由题意得， 解得：， 答：购买根跳绳时，两种方案所省的钱数一样多． 3.【方案问题】某小学组织学生去春游，若租用45座客车，则有15人没有座位；若租用同样数目的60座客车，则一辆客车空车．已知45座客车的租金为220元，60座客车的租金为300元． (1)这个学校一共有学生多少人？ (2)怎样租车最经济合算？此时租金是多少？ 【答案】(1)240人 (2)租用4辆45座客车，1辆60座客车时，最经济合算，租金为元． 【分析】本题主要考查了一元一次方程的实际应用，有理数四则混合计算的实际应用： （1）设这个学校一共有学生x人，根据租用45座客车，则有15人没有座位，若租用同样数目的60座客车，刚刚好有一辆客车空车列出方程求解即可； （2）求出45座客车每人的平均租金比60座客车的每人的平均租金要低，则在保证全部坐完学生的情况下，45座客车要尽可能的多，据此计算求解即可． 【详解】（1）解：设这个学校一共有学生x人， 由题意得，， 解得， 答：这个学校五年级一共有学生240人； （2）解：， 所以45座客车每人的平均租金比60座客车的每人的平均租金要低， 所以在保证全部坐完学生的情况下，45座客车要尽可能的多， 辆， 当租用6辆45座客车时的租金为元， 人， 当租用4辆45座客车，1辆60座客车时的租金为元， 因为， 所以租用4辆45座客车，1辆60座客车时，最经济合算，租金为元． 答：租用4辆45座客车，1辆60座客车时，最经济合算，租金为元． 【题型23 数轴动点问题】 1．如图，数轴上的两点，所对应的数分别为，，点在数轴上，且点对应的数为． (1)若，求三点对应数的和； (2)若点在点的左侧，且，求的值． 【答案】(1)； (2)或． 【分析】本题考查了有理数的加法，数轴上两点间的距离，解一元一次方程等知识，掌握知识点的应用是解题的关键． （）由，可得表示的数为，然后列式即可求解； （）分当点在点右侧时，则和当点在点的左侧时，则，两种情况分析即可． 【详解】（1）解：若，则表示的数为， ∴三点对应数的和为； （2）解：由于点在点的左侧，则； 当点在点右侧时，则 ∵ ∴， 解得； 当点在点的左侧时，则, ∵ ∴, 解得； ∴的值为或． 2．如图，A，B分别为数轴上的两点，点A对应的数是，点B对应的数为80．现在有一只电子蚂蚁P从B点出发，以2个单位长度/秒的速度沿数轴向左运动，同时另一只电子蚂蚁Q恰好从A点出发，以3个单位长度/秒的速度沿数轴向右运动，设两只电子蚂蚁在数轴上的C点相遇．请解答下面问题： (1)点C在数轴上所对应的数在数轴的正半轴上还是负半轴上？ (2)在两只电子蚂蚁相遇前，何时两只电子蚂蚁在数轴上相距15个单位长度？ 【答案】(1)正半轴 (2)当两只蚂蚁运动17秒时，两只电子蚂蚁在数轴上相距15个单位长度 【分析】本题主要考查了数轴上两点距离计算，一元一次方程的应用，熟知数轴上两点距离计算公式是解题的关键． （1）根据两点相遇时，两点表示的数相同建立方程求解即可； （2）设两只电子蚂蚁运动的时间为，根据两点所走的距离加上15等于点A和点B的距离建立方程求解即可． 【详解】（1）解：设经过秒时，两只电子蚂蚁相遇， 由题意得， 解得， ∴点在数轴上所对应的数为， ∴点在数轴上所对应的数在数轴的正半轴上． （2）解：设两只电子蚂蚁运动的时间为， 由题意可得， 解得， 答：当两只蚂蚁运动17秒时，两只电子蚂蚁在数轴上相距15个单位长度． 3．如图，已知数轴上点A表示的数为6，B是数轴上在A左侧的一点，且A，B两点间的距离为10．动点P从点A出发，以每秒3个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动，设运动时间为秒． (1)数轴上点B表示的数是 ，点P表示的数是 （用含t的代数式表示）； (2)动点Q从点B出发，以每秒1个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动，若点P、Q同时出发．求： ①当点P运动多少秒时，点P与点Q相遇？ ②当点P运动多少秒时，点P与点Q间的距离为3个单位长度？ 【答案】(1)； (2)①当点P运动5秒时，点P与点Q相遇；②当点P运动秒或秒时，点P与点Q间的距离为3个单位长度． 【分析】此题考查的知识点是数轴上两点间的距离，绝对值的几何意义，理解并运用绝对值的几何意义是解题的关键． （1）由已知得，则，因为点B在原点左边，从而写出数轴上点B所表示的数；动点P从点A出发，运动时间为秒，所以运动的单位长度为，因为沿数轴向左匀速运动，所以点P所表示的数是； （2）由题意可得点Q表示的数为．①点P与点Q相遇，则点P与点Q表示的数相同，即，解得；②点P与点Q间的距离为3个单位长度，则，根据绝对值的几何意义有，据此求解即可． 【详解】（1）解：∵数轴上点A表示的数为6， ∴， ∵A，B两点间的距离为10， ∴， ∴， ∵点B在原点左边， ∴数轴上点B所表示的数为； ∵动点P从点A出发，以每秒3个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动， ∴点P所表示的数为：； 故答案为：；； （2）解：∵动点Q从点B出发，以每秒1个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动， ∴运动t秒时，点Q表示的数为：． ①点P与点Q相遇，则点P与点Q表示的数相同，即 ， 解得：， ∴当点P运动5秒时，点P与点Q相遇； ②点P与点Q间的距离为3个单位长度，则， 即， 解得：或， ∴当点P运动秒或秒时，点P与点Q间的距离为3个单位长度． 4．【问题背景】如图①，将一根木棒放在数轴上，木棒左端与数轴上的点A重合，右端与数轴上的点B重合． 【问题探索】 （1）若将木棒沿数轴向右水平移动，则当它的左端移动到点B时，它的右端在数轴上所对应的点表示的数为30；若将木棒沿数轴向左水平移动，则当它的右端移动到点A时，它的左端在数轴上所对应的点表示的数为6，由此可得这根木棒的长为______． （2）图①中点A表示的数是______，点B表示的数是______． 【迁移应用】 （3）由【问题探索】的启发，请借助图②中的数轴解决下列问题： 一天，李明去问奶奶的年龄，奶奶说：“我若是你现在这么大，你还要37年才出生；你若是我现在这么大，我就119岁啦！”则奶奶现在多少岁？ 王芳的想法是：借助图②中的数轴，将一根木棒放在数轴上，两端分别与点A，B重合，把李明和奶奶的年龄差看作木棒的长，奶奶是李明现在这么大时，可看作木棒沿数轴向左水平移动后，其右端移动到点A，此时左端在数轴上所对应的点C表示的数为． ①李明是奶奶现在这么大时，可看作木棒沿数轴向右水平移动后，其左端移动到点B，此时右端在数轴上所对应的点D表示的数为______． ②求奶奶现在的年龄． 【答案】（1）8；（2）14，22；（3）①119；②67岁 【分析】本题主要考查数轴上两点之间距离的计算，解一元一次方程的运用，理解数轴上动点的运动，解一元一次方程的方法是解题的关键． （1）根据木棒的长度不变，设木棒长为，分别用表示出点的数，结合木棒的长度为，根据两点之间距离的计算即可求解； （2）根据两点之间距离的计算即可求解； （3）①根据题意，妙妙和奶奶的年龄差看作木棒，设年龄差为：，根据对话即可求解；②根据题意分别表示出点的数，结合年龄差的计算，两点之间距离的计算方法，列方程求解即可． 【详解】（1）解：根据题意，设木棒长为， 当木棒沿数轴向右水平移动，则当它的左端移动到点时，它的右端在数轴上所应的数为时，点表示的数为：； 木棒沿数轴向左水平移动，则当它的右端移动到点时，它的左端在数轴上所对应的数为时，点表示的数为：； ∵一根木棒放在数轴（单位长度为）上，木棒左端与数轴上的点重合，右端与数轴上的点重合 ∴， 解得，； 故答案为：； （2）根据上述计算，点表示的数为：；点表示的数为：， 故答案为：；； （3）解：根据题意，妙妙和奶奶的年龄差看作木棒，设年龄差为：， ①根据题意，点表示的数为：， 故答案为：； ②点表示的数为：，点表示的数为：， ∴， 解得，， ∴点表示的数为：，点表示的数为：， ∴奶奶现在岁． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！6 1 学科网（北京）股份有限公司 $