专题08 一次函数与几何综合压轴题型汇编（十九大高频题）-2025-2026学年八年级数学上册高频考点题型归纳与满分必练（浙教版新教材）

专题08 一次函数与几何综合压轴题型汇编 【题型一 一次函数种求三角形面积（铅锤法】 1 【题型二 一次函数中已知面积求动点坐标】 2 【题型三 一次函数已知面积相等求动点坐标】 8 【题型四 一次函数存在等腰三角形求动点坐标】 16 【题型五 一次函数存在直角三角形求动点坐标】 33 【题型六 一次函数存在全等三角形求动点坐标】 44 【题型七 一次函数存在45°求动点坐标】 54 【题型八 一次函数存在等角求动点坐标】 76 【题型九 一次函数存在2倍角求动点坐标】 83 【题型十一 次函数存在等腰直角三角形问题】 86 【题型十一 一次函数过定点问题】 91 【题型十二 一次函数与线段结合求动点问题】 92 【题型十三 一次函数与动点线段比例问题】 96 【题型十四 一次函数存在线段和最小值求动点坐标】 100 【题型十五 一次函数求点到直线距离最小值问题】 105 【题型十六 一次函数存在平行四边形求动点坐标】 108 【题型十七 一次函数存在矩形求动点坐标】 118 【题型十八 一次函数存在菱形求动点坐标】 123 【题型十九 一次函数存在正方形求动点坐标】 125 【题型一 一次函数种求三角形面积（铅锤法】 1.如图，在平面直角坐标系中，点坐标为，点坐标为，过点作轴垂线，点是一次函数图象上的一个动点． (1)直接写出直线的函数解析式是： ； (2)在图1中，连接，，当的面积等于10时，求点D的坐标； 【详解】（1）解：设直线的函数解析式是， 点坐标为，点坐标为， ，解得， 直线的函数解析式是， 故答案为：； （2）解：过点作轴，交于， 点是一次函数图象上的一个动点， 设点，则， ， 则， 解得， 点的坐标为，； 【题型二 一次函数中已知面积求动点坐标】 1．如图，在平面直角坐标系中，直线与x轴交于点A，直线交直线于点B，若的面积是，试求的解析式 【答案】 【分析】本题考查待定系数法求一次函数的解析式． 先求出点A的坐标，进而根据面积求出点B的坐标，代入直线的解析式求出k值解答即可. 【详解】解：令时，， 解得， ∴点A的坐标为， ∴， 又∵， 解得， 将代入，则， 解得， ∴点B的坐标为， 把代入得， 解得， ∴直线的解析式为； 2．如图，直线与x轴、y轴分别交于两点，为直线上一点，另一直线经过点P． (1)求点的坐标； (2)求点P的坐标和k的值； (3)若C是直线与x轴的交点，Q是直线上一点，当的面积等于3时，求出点Q的坐标． 【答案】(1)． (2)， (3)点Q的坐标为或． 【分析】本题主要考查了待定系数法求一次函数解析式，一次函数的综合运用和面积问题，解决此题的关键是正确的计算； （1）根据一次函数的解析分别令，即可得到答案； （2）先把点的纵坐标代入解析式，即可求得点的横坐标，再根据待定系数法求出即可； （3）根据三角形的面积公式列出方程即可； 【详解】（1）解：在中，令，得；令，得， 所以． （2）解：∵为直线上一点， ∴，解得， ∴点P的坐标为， 将点代入，得，解得． （3）解：∵直线与x轴的交点为C， ∴， ∴． 设点Q的坐标为， 则． ∵， ∴， 解得或， ∴点Q的坐标为或． 3．在直角坐标系内，一次函数的图象经过三点，，． (1)求这个一次函数解析式； (2)求m的值； (3)若轴上有一点，且，求点的坐标． 【答案】(1) (2) (3)点的坐标或 【分析】本题考查一次函数图象与性质，涉及待定系数法确定一次函数表达式、求函数图象上点的坐标、直线与坐标轴围成三角形面积等知识，熟记一次函数图象与性质是解决问题的关键． （1）由待定系数法确定一次函数表达式即可得到答案； （2）由（1）知一次函数，将代入求解即可得到答案； （3）作出图形，设点的坐标，由，列方程求解即可得到答案． 【详解】（1）解：一次函数的图象经过三点，， 把，代入中得， 解得， 这个一次函数解析式为； （2）解：一次函数的图象经过三点， 把代入中得，解得； （3）解：如图所示： 设点的坐标， ，，， ，即， 解得或， 点的坐标或． 4．如图，直线l过点，． (1)求直线l的函数解析式． (2)若直线l与x轴交于点A，与y轴交于点B，点C在x轴上，且的面积为10，求点C的坐标． 【答案】(1) (2)或 【分析】本题主要考查待定系数法求函数解析式，三角形的面积，注意由三角形面积求点坐标分情况讨论是关键． （1）把两点坐标代入函数解析式得到关于k、b的二元一次方程组并求解即可得到函数解析式； （2）先求出B、A点坐标，再根据的面积求出的长，即可求出点C的坐标． 【详解】（1）设直线l的函数关系式为， 把和代入得， 解得， 直线l的函数关系式为； （2）设， 当时，， 当时，，解得， ∴，， ∴，， ∵的面积为10， ∴， ∴， ∴，； ∴或． 5．如图，已知直线经过点，交轴于点，直线与直线交于点，交轴于点． (1)求的值； (2)求的面积； (3)若在轴上存在一点，使得的面积为6，求点坐标． 【答案】(1)5； (2)； (3)或 【分析】本题主要考查了待定系数法求一次函数解析式，一次函数与几何综合，两直线围成的面积等等，解题的关键在于能够熟练掌握相关知识进行求解． （1）把A点坐标代入中求解即可； （2）先求出C点和D点坐标，然后求出的长，计算面积即可； （3）由三角形面积公式即可求出，再由的坐标即可求解点坐标． 【详解】（1）解：把代入， 得， 解得； （2）解：由（1）知，直线，且． 根题意知，． 解得， 即． 又由知，当， ∴． ∴． 所以； （3）解：∵，由（2）可知，ACP的面积为6 ∴， ∴ 即P点坐标为或． 【题型三 一次函数已知面积关系求动点坐标】 1．如图，在平面直角坐标系中，直线经过原点和点，经过点的另一条直线交轴于点． (1)求直线的函数表达式； (2)若在直线上存在一点，使，求点的坐标． 【答案】(1) (2)或 【分析】本题考查了待定系数法求一次函数解析式、一次函数图象上点的坐标特征、三角形的面积，解题时要熟练掌握并能灵活运用一次函数的图象与性质是关键． （1）待定系数法求解析式，即可求解； （2）先求得，得出，设，进而根据三角形的面积公式，即可求解． 【详解】（1）解：设直线的表达式为： 代入， ∴ 解得： ∴ （2）解：∵， ∴ ∴ ∵在直线上， ∴或． 设， ∴ 或 ∴或． ∴或． 2．如图，直线与、轴分别交于、两点，直线与轴交于点，直线与直线相交于点． (1)求点的坐标； (2)点在直线上，若，求点的坐标． 【答案】(1)点的坐标为 (2)点的坐标为或 【分析】本题主要考查了两条直线相交或平行问题、一次函数的性质，解题时要熟练掌握并能灵活运用一次函数的性质是关键． （1）依据题意，联立方程组，则，可得点P的坐标； （2）依据题意，由直线与x轴交于点C，则，又直线与x于A点，可得，故，又M在直线上，则可设，结合，从而可分两种情形分析计算可以得解． 【详解】（1）解：由题意，联立方程组， 点的坐标为； （2）由题意，∵直线与x轴交于点C， ∴当时，， ∴． 又∵直线与x于A点， ∴当时，， ∴． ∴． ∵M在直线上， ∴可设． ∵， ∴M在P上方或在上． ①当M在P上方， ∴． ∴． ∴． ②当M在上， ∴． ∴． ∴． 综上，或． ． 3．如图，在平面直角坐标系中，一次函数图象与轴、轴分别交于点A，B，与正比例函数图象交于点． (1)求点的坐标，并求的面积； (2)若直线与轴交于点，与直线或交于点，且的面积为的面积的2倍，求的值． 【答案】(1)点的坐标为，的面积为2 (2)的值为或或或 【分析】本题考查了一次函数图象的性质，一次函数图象交点问题，求平面直角坐标系中三角形的面积等，熟练掌握相关知识点，并灵活运用是解题的关键； （1）联立函数解析式求得点C的坐标为，再求的面积； （2）设点的横坐标为，根据的面积为的面积的2倍，解得，再分点为直线与直线的交点，直线与直线的交点进行求解． 【详解】（1）解方程组，解得：， 点坐标为； 对于，当时，由得：， 点坐标为，， ； （2）对于，当时，， 点A坐标为． 对于，当时，， 点D坐标为． ， 由题知， 设点的横坐标为，则， 解得：． 当点为直线与直线的交点时， 将代入得：，则， 将代入得； 将代入得：，则， 将代入得； 当点为直线与直线的交点时， 将代入得：，则， 将代入得； 将代入得：，则， 将代入得； 综上，满足条件的的值为或或或． 4．如图，已知函数的图像为直线，函数的图像为直线，直线，分别交x轴于点B，，分别交y轴于点D，E，和相交于点 (1)求m，k，b的值； (2)若点P在x轴上且在点C的右侧，连接，当的面积是面积的2倍时，直接写出符合条件的点P的坐标． 【答案】(1)，， (2) 【分析】本题考查了两条直线相交问题，一次函数和几何综合，熟练掌握该知识点是关键． （1）利用待定系数法求出m、k、b的值即可； （2）根据直线解析式分别求出点B、C坐标，利用条件可得，继而可得点P的坐标． 【详解】（1）解：∵函数的图象过、， ， 解得， ，， 函数的图象过点， ， 解得， 故，，； （2）解：由（1）可知：的解析式为，的解析式为， 由函数可知，由函数可知， ， 的面积是面积的2倍时， ， ． 5．如图，在平面直角坐标系中，直线与轴、轴分别交于两点，直线与轴交于点，，与交于点． (1)求直线的函数表达式； (2)当时，的函数最大值为4，求的值； (3)连接，在第一象限内，直线上是否存在一点，使得和的面积相等？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2) (3)存在， 【分析】本题考查一次函数，求一次函数的解析式，正确理解题意是解题关键： （1）利用待定系数法求解即可得出答案； （2）由（1）得，直线的函数表达式的一次项系数大于0，得出随的增大而增大，所以当时，取得最大值为4，再求出，进而得出答案； （3）设与轴交于点．因为直线与轴、轴分别交于两点，所以．求出点的坐标为，再根据求出，即可得出答案． 【详解】（1）解：设直线的函数表达式为， 将点代入中， 得， 解得， 所以直线的函数表达式为． （2）由（1）得，直线的函数表达式的一次项系数大于0， 所以随的增大而增大， 所以当时，取得最大值为4， 将代入， 得， 解得， 所以． （3）存在．如图，设与轴交于点．因为直线与轴、轴分别交于两点， 所以． 将代入， 得， 所以点的坐标为， 所以． 因为， 所以． 因为 ， 解得， 所以点的坐标为． 【题型四 一次函数存在等腰三角形求动点坐标】 1．如图1，已知直线分别交x轴、y轴于A，C两点，直线交x轴于点B，且，． (1)求k的值； (2)如图2，D为线段上一点，设点D的横坐标为m，过点D作轴交于点E，使，求m的值； (3)在（2）的条件下，探究x轴上是否存在一个动点P，使得以点D、O、P为顶点的三角形是等腰三角形，若存在，直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2) (3)、 、、 【分析】本题主要考查了一次函数的应用、求一次函数解析式、等腰三角形的性质等知识点，掌握分类讨论思想是解题的关键． （1）先求得，进而求得，即，然后代入求得k的值即可； （2）先求得，再求得直线的解析式为．由题意可得，进而求得，即的长度为；进而得到求得或，再根据已知条件验证可得； （3）由（2）可得，即，设轴上动点的坐标为，则，，，然后再分、、三种情况求解即可． 【详解】（1）解：∵直线交y轴于点C， ∴，即， ∵， ∴，即， 将代入可得：， 解得：． （2）解：∵， ∴，即， 设直线的解析式为， 将代入，得： ， 解得， ∴直线的解析式为， ∵D为线段上一点，设点D的横坐标为m， ∴， ∵轴， ∴点E的纵坐标与点D的纵坐标相同， 将代入直线的解析式，得， 解得：， ∴， ∴ 的长度为， 由，得， 解得：或， ∵D在线段上，， ∴， ∴． （3）解：由（2）可得，即， 设轴上动点的坐标为，则，，， ①当时，即， 解得：或， ∴对应点的坐标为和； ②当时，即， 解得：或， 当时，P与O重合，不能构成三角形，舍去； 当时，P的坐标为，符合条件； ③当时，， 解得：， ∴对应点的坐标为． 综上，满足条件的点P坐标为、 、、． 2．如图，一次函数与轴、轴分别相交于点和点． (1)求点和点的坐标； (2)点在轴上，若的面积为6，求点的坐标； (3)点在轴上，若等腰三角形，求点的坐标； 【答案】(1)， (2)或 (3)或或或． 【分析】本题考查一次函数的综合应用．正确的求出直线与坐标轴的交点坐标，利用数形结合和分类讨论的思想，进行求解，是解题的关键． （1）令，求出x的值，得到点A的坐标，令，求出y的值，得到点B的坐标； （2）分点在点上方和点在点下方两种情况讨论． （3）若是等腰三角形，且点P在x轴上，分，，三种情况，由等腰三角形的性质，结合勾股定理分别求解即可． 【详解】（1）解：当时，， ； 当时，，， ； （2）解：∵点在轴上，的面积为6， ， ， ， 当点在点上方时，； 当点在点下方时，． （3）解：∵，， ∴，， ∴， 当时，， 则点P的坐标为或； 当时，根据等腰三角形的三线合一性质得， ∴点P的坐标为； 当时，设点P的坐标为， 根据题意，得， 解得：， ∴点P的坐标为； 综上所述，点P的坐标为或或或． 3．如图，在平面直角坐标系中，，过点A的直线与过点B的直线交于点C，直线交y轴于点D，连接，． (1)求a的值及点C的坐标； (2)点M是直线上的一个动点，若的面积是的面积的3倍，求点M的坐标； (3)在直线上是否存在点N使得是等腰三角形？若存在，直接写出符合条件的点N的坐标． 【答案】(1)；C点坐标为 (2)或 (3)符合条件的点N的坐标为或或或 【分析】本题考查了一次函数与几何图形的综合应用，包括函数解析式求解、利用角度和坐标求点的位置、三角形面积计算与转换、以及等腰三角形存在性问题的分类讨论．掌握数形结合思想，能够将几何条件准确转化为代数方程是解题的关键． （1）求直线的比例系数a和交点C坐标时，关键在于利用点A在直线上的条件求出a值，再通过构造含30°、60°的直角三角形，设参数表示点C坐标并代入直线方程求解． （2）处理面积倍数关系时，核心步骤是先求出基准三角形ABD的面积，再通过设动点M坐标，利用三角形面积公式建立关于坐标的方程，注意绝对值符号的处理． （3）解决等腰三角形存在性问题时，必须系统分类讨论三种情况（、、），运用距离公式列方程，并注意验证解的合理性，舍去重合点的情况． 【详解】（1）解：∵， ∴，，， ∴直线过点A，将代入得：， 解得， ∴直线， 过点C作轴交x轴于点E， ∵， ∴，在中，，， 设，则，由勾股定理得， ∴C点坐标为， ∵直线与直线交于点C， 将代入得， ， 解得， ∴C点坐标为 ， 故答案为：；C点坐标为． （2）设直线的解析式为：，代入，得， ， 解得：， ∴直线的解析式为， 令，， ∴， ∴， ∵的面积是的面积的3倍， ∴， 设点M的坐标为， ∴， 即， 解得或， 若，，，点M坐标为， 若，，，点M坐标为， ∴点M的坐标为或． 故答案为：或． （3）设点N坐标为， ∵，， ∴， ， ， ①    若， 则， 解得或， 此时或； ②    若， 则 ， （舍）或， 此时； ③    若， 则 ， ， ， 此时． 综上所述，符合条件的点N的坐标为或或或． 4．如图，点O为坐标原点，已知直线经过点，与x轴交于点A． (1)求b的取值； (2)若直线与直线相交于点C，求的面积； (3)在x轴上存在一点P，使得是等腰三角形，请直接写出点P的坐标． 【答案】(1) (2)5 (3)、、、 【分析】本题主要考查了待定系数法、平面直角坐标系中求三角形面积、等腰三角形、一次函数与方程组等知识点，准确地运用坐标系下点的坐标特征以及分类讨论思想是解题的关键． （1）把代入求解即可； （2）如图：连接，求出点C坐标，再利用以及坐标系和三角形面积公式求解即可； （3）根据勾股定理得 ，再分、、三种情况求解即可． 【详解】（1）解：把代入可得： ，解得：． （2）解：如图，连接， 由（1）可得：， ∴，即， ∵，解得：， ∴， ∴ ． （3）解：∵，， ∴， 设点P坐标为， ①当时 ，即 ， ∴， ∴ 或 ； ②当时，则点P和点A关于对称， ∴ ； ③当时 ， ∴，解得：， ∴． 综上，点P的坐标为、、、． 5．如图，直线与轴、轴分别交于点A、B，且与直线相交于点，已知直线经过点，且与轴交于点． (1)求点A、B的坐标以及直线m的解析式； (2)若P为直线m上一动点，，求点P的坐标； (3)在x轴上是否存在一个动点Q，使得为等腰三角形？若存在．请求出Q点的所有坐标，若不存在，请说明理由． 【答案】(1)、，直线的解析式为 (2)或 (3)存在， 【分析】本题考查一次函数的图象与性质，一次函数面积问题，一次函数与全等综合； （1）分别令和求出点A、B的坐标，设直线的解析式为，代入，计算即可求出解析式； （2）过作轴交于，利用铅锤法表示面积，根据列方程求解即可； （3）先求出，设，则，，分类讨论：①当时，②当时，③当时，逐项分析求解即可． 【详解】（1）解：令则； 令则，解得， ∴直线与轴、轴分别交于点、； 设直线的解析式为，代入，得 ，解得， ∴直线的解析式为； （2）解：∵直线经过点，且与轴交于点． ∴， ∴，， ∵为直线上一动点， ∴设， 过作轴交于，则，， ∴ ∵， ∴， 整理得， 解得或， ∴或； （3）解：∵， ∴， 由勾股定理，得 ， ∵Q在x轴上， ∴设，则，， ①当时， ∵， ∴， 解得或， ∴点Q的坐标为或． ②当时， ∵， ∴， 两边平方，得 ，即， 解得（与A重合，舍去）或， ∴点Q的坐标为， ③当时， ∵， ∴， 两边平方，得 ， 即， 解得， ∴点Q的坐标为． 综上所述，满足条件的Q点坐标为：． 6．如图，平面直角坐标系中，点和，点为坐标平面内一动点． (1)求斜边上的高； (2)若为等腰三角形，求点的坐标． 【答案】(1) (2)或 【分析】本题考查勾股定理的应用，等腰三角形的定义，一次函数的应用，清晰的分类讨论是解本题的关键． （1）根据勾股定理得出，再由，即可求解； （2）根据等腰三角形的性质可分三种情况讨论，利用两边相等建立方程求解即可得出结论． 【详解】（1）解：∵点和， ∴， 设斜边上的高为h， ∵， ∴， 解得：， 即斜边上的高为； （2）解：∵为等腰三角形， ∴或或， 当时，不成立； 当时， 此时， 解得：或3， ∴点M的坐标为或， 设直线的解析式为，则 ，解得：， ∴直线的解析式为， 当时，， ∴点在直线上，不符合题意，舍去； 当时， 此时， 解得：， ∴点M的坐标为； 综上所述，点M的坐标为或． 7．如图，直线与x轴，y轴分别交于点A和点B，M是上的一点，若将沿折叠，点B恰好落在x轴上的点处． (1)求A，B两点坐标; (2)求M点坐标; (3)在x轴上找一点P，使得以点P，M，为顶点的三角形是等腰三角形，请直接写出所有点P的坐标． 【答案】(1)， (2) (3)点P的坐标为或或或 【分析】本题考查一次函数、勾股定理、等腰三角形的定义等知识点，将图形与数学知识相结合是解题的关键． （1）令可求得A点坐标；令，得B点坐标； （2）由勾股定理可得线段，由折叠的性质可知，，进而得到，设，则，在中，由勾股定理可得m值，即可确定点M坐标； （3）由勾股定理可得，然后分三种情况分别画出图形并运用等腰三角形的定义和勾股定理求解即可． 【详解】（1）解： ， 令，则；，则； ，； （2）解： ，， ，， ， 由折叠的性质可知，， ， 设，则， 在中，由勾股定理可得， 解得， ； （3）解：由（2）知，， ； 以点M为圆心，长为半径画圆交x轴于一点P，此时， ； ； 以点为圆心，长为半径画圆交x轴于一点P，此时， 或， 或； 如图：作线段的垂直平分线交x轴于一点P，此时，， 设，则， 在中，由勾股定理可得， 解得， ； 综上所述，点P的坐标为或或或． 8．如图，一次函数的图象与x轴，y轴分别相交于点和点． (1)求一次函数的解析式； (2)在y轴上有一动点P，若的面积为3，请求出点P的坐标； (3)在x轴上是否存在点Q，使得是以为一腰的等腰三角形，若存在，请直接写出点Q的坐标，若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)或 (3)存在，或或 【分析】本题考查了一次函数的几何应用、勾股定理、等腰三角形的定义、利用平方根解方程等知识，熟练掌握一次函数的定义是解题关键． （1）根据点的坐标，利用待定系数法求解即可得； （2）设点的坐标为，则，的边上的高为2，利用三角形的面积公式建立方程，求出的值，由此即可得； （3）设点的坐标为，先分别求出的长，再分两种情况：①和②，建立方程，解方程即可得． 【详解】（1）解：设一次函数的解析式为， 将点和点代入得：，解得， 所以一次函数的解析式为． （2）解：如图，点在轴上， 设点的坐标为， ∵，， ∴，的边上的高为， ∵的面积为3， ∴， 解得或， 所以点的坐标为或． （3）解：设点的坐标为， ∵，， ∴，，， 由题意，分以下两种情况： ①当时，是以为一腰的等腰三角形， 则， 解得或， 此时点的坐标为或； ②当时，是以为一腰的等腰三角形， 则，即， 解得或（此时点与点重合，不符合题意，舍去）， 此时点的坐标为； 综上，在轴上存在点，使得是以为一腰的等腰三角形，此时点的坐标为或或． 【题型五 一次函数存在直角三角形求动点坐标】 1．如图，已知直线：经过点，交轴于点，交轴于点，直线交直线于点，点到轴的距离为． (1)求直线的函数表达式和点、点的坐标； (2)求的面积； (3)在轴上是否存在点，使得是直角三角形？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)，， (2) (3)存在点，使得是直角三角形；点的坐标为或 【分析】本题主要考查了一次函数的图象和性质，勾股定理，利用数形结合思想和分类讨论思想解答是解题的关键． （1）先求出点B的坐标，利用待定系数求出直线的函数表达式，即可求出点A的坐标； （2）先求出点C的坐标，根据，即可求解； （3）根据题意可得当是直角三角形时，需分和两种情况，即可求解． 【详解】（1）解：交直线于点，点到轴的距离为， 点的横坐标， 把代入得：， ； 直线的函数表达式为，把代入得： ， 解得， 直线的函数表达式为， 令得：， 解得：， ； （2）解：直线：交轴于点， 当时，， ， ； （3）解：在轴上存在点，使得是直角三角形；理由如下： 点在轴上， ， 当是直角三角形时，需分和两种情况： 如图， 当时，点在图中的位置： 点和点均在轴上， 轴． ， ； 当时，点在图中的位置： 设，， ，，， ，，，， ， 在中，， 在中，， ， 即， 解得， ， 综上可知，在轴上存在点，使得是直角三角形；点的坐标为或． 2．如图，直线与过点的直线交于点，与轴交于点． (1)求的值； (2)求的面积； (3)若点在直线上，且使得是直角三角形，直接写出点的坐标． 【答案】(1) (2) (3)或 【分析】（1）根据函数图象上点的坐标特征，将点代入求解即可； （2）先确定，根据两点间的距离得，，，继而得到，推出，再利用三角形的面积公式即可得出结论； （2）分两种情况：①当时，②当时，分别求解即可． 【详解】（1）解：∵点在直线上， ∴， ∴， ∴的值为； （2）∵直线与轴交于点， 当时，得：，解得：， ∴， 由（1）知：， ∴，，， 又∵，， ∴， ∴， ∴， ∴的面积为； （3）①当时， 由（2）知：， 此时点与点重合， ∴点的坐标为， ②当时，即，此时点的横坐标为，如图， ∵直线， 当时，得：， ∴点的坐标为， 综上所述，点的坐标为或． 【点睛】本题考查函数图象点的坐标特征，勾股定理的逆定理，两点间的距离，直角三角形的定义等知识点．利用分类讨论的思想解决问题是解题的关键． 3．如图，在平面直角坐标系中，直线分别交轴，轴于，两点，与直线交于点． (1)求点，的坐标． (2)若第一象限内的点到轴的距离为，求直线的函数表达式． (3)若是轴上一动点，是否存在点，使是直角三角形？若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)，的坐标分别为、 (2) (3)存在．点的坐标为或 【分析】本题考查一次函数与几何的综合，解题的关键是掌握一次函数的图象和性质，勾股定理的应用，直角三角形的判定和性质，进行解答，即可． （1）根据题意，直线分别交轴，轴于，两点，当时，求出点，当时，求出点，即可； （2）根据第一象限内的点到轴的距离为，则点的纵坐标为，根据点在直线上，求出点的坐标，设直线的解析式为，即可； （3）根据是直角三角形，分类讨论：当边为斜边，；当边为直角边，；当边为直角边，；进行解答，即可． 【详解】（1）解：∵直线分别交轴，轴于，两点, ∴当时，, ∴点； ∵当时，, ∴点． （2）解：∵第一象限内的点到轴的距离为， ∴点的纵坐标为， ∵点在直线上， ∴， ∴点， ∴直线的解析式为， ∴， ∴． （3）解：存在，理由如下： 当边为斜边，； ∵， ∴点与点重合， ∴当点时，是直角三角形； 当边为直角边，； ∵线段在第一象限， ∴点在的负半轴， ∴设点， ∴， ∵，， ∴，， ∴，，， ∵是直角三角形， ∴， ∴， 解得：， ∴当点时，是直角三角形； 当边为直角边，； ∵点在上，点是轴上一动点， ∴； 综上所述，当点，时，是直角三角形． 4．如图，将直线：向上平移个单位后得到直线，直线与直线：和轴分别相交于点、点． (1)求直线l2的函数表达式； (2)点P是x轴上任意一点，若以点A、B、P为顶点的三角形为直角三角形，请求出点P的坐标． 【答案】(1) (2)或 【分析】（1）先求出点A的坐标，再利用待定系数法求出直线的表达式即可； （2）分两种情况：当为直角时，当为直角时，分别画出图形，求出结果即可． 【详解】（1）解：∵直线：经过点， ∴，，即点． 依题意设直线的表达式为． 将点的坐标代入， 得， 解得， ∴． （2）解：若以点A、、为顶点的三角形为直角三角形，由题意可知为锐角，故只有或可能为直角． 当为直角时，将点设为点， 过点A作轴于点，则， ∵点， ∴此时点为； 当为直角时，将点设为点． 过点A作于交轴于点，则， 在中，令，得， ∴点为，即， ∵点， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴点． 故点的坐标为或． 【点睛】本题主要考查了待定系数法求一次函数解析式，一次函数的平移，一次函数与几何综合，等腰三角形的判定和性质，熟知相关知识是解题的关键． 5．如图，在平面直角坐标系中，直线的关系式为，直线的关系式为，与轴、轴分别交于点、点，直线与交于点．    (1)求直线的关系式，若直线上存在点（不与重合），满足，求点的坐标； (2)若在轴上存在点，满足为直角三角形，求点的坐标． 【答案】(1)， (2)或 【分析】（1）首先利用待定系数法解得直线的关系式；求得点坐标，设点， 当，易得，利用面积公式求解即可； （2）然后设点，分为斜边、为斜边、为斜边三种情况分别进行分析计算，即可获得答案． 【详解】（1）解：将点代入直线的关系式为， 可得，解得， ∴直线的关系式为， 令，可得， ∴， 令，可得， 解得，即， ∴，，，， 如下图，设点，    根据题意，， 则有，即点在之间， ∴， 解得， 此时， ∴； （2）由（1）可知，，设点， 如下图，      ∵为直角三角形， ∴①当为斜边时，即有， ∴； ②当为斜边时， ，， 此时可有， 解得； ∴； ③∵， ∴不可能为斜边． 综上所述，点坐标为或． 【点睛】本题主要考查了坐标与图形、待定系数法求一次函数解析式、一次函数应用、勾股定理等知识，解题关键是运用数形结合和分类讨论的思想分析并解决问题． 【题型六 一次函数存在全等三角形求动点坐标】 1．如图，直线与x轴、y轴分别交于A、B两点，在y轴上有一点，动点M从A点以每秒1个单位的速度沿x轴向左移动． (1)求A、B两点的坐标； (2)求的面积S与M的移动时间t之间的函数关系式； (3)在M运动过程中，当时，直接写出此时M点的坐标． 【答案】(1)； (2)； (3)当时，此时M点的坐标为或． 【分析】本题主要考查了求一次函数值，一次函数与几何图形，全等三角形的性质和判定， 对于（1），由直线l的函数解析式，令求A点坐标，求B点坐标； 对于（2），由面积公式求出S与t之间的函数关系式； 对于（3），当时，可得并得到M点坐标． 【详解】（1）解：对于直线， 当时，；当时，， 则A、B两点的坐标分别为； （2）解：∵， ∴， 当时，； 当时，， 综上， ； （3）解：M点的坐标为或； 理由如下： ∵， ∴只需，则， 即， 此时，若M在x轴的正半轴时，M点的坐标为； M在x轴的负半轴，则M点的坐标为， 综上，当时，此时M点的坐标为或． 2．在平面直角坐标系内，直线与x轴、y轴分别交于A，B两点． (1)求A、B两点的坐标； (2)在y轴上有一点，在x轴上有一动点D，它从A点以每秒1个单位长度的速度沿x轴向左移动，当的面积为16时，确定直线的表达式； (3)若点P为点B上方y轴上的点，在直线上是否存在点Q使得与全等，若存在，求出此时点Q的坐标． 【答案】(1)， (2)或 (3)存在，点Q的坐标为或 【分析】（1）根据一次函数的解析式求得与坐标轴的交点即可； （2）根据面积求得点D的坐标，利用待定系数法求得解析式即可； （3）分为两种情况：①当；②当时，根据全等三角形的性质和等面积法，以及勾股定理求解即可． 【详解】（1）解：由， 当时，；当时，， 则A、B两点的坐标分别为，； （2）解：∵， ∴， ∵的面积为16， ∴， ∴， ∴或， 设直线的表达式为， ∴或， 解得或， ∴直线的表达式为或； （3）解：分为两种情况：①当时， 则， ∴， ∴Q； ②当时， ， ， ， 过点作轴于H， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴； 综上所述：点Q的坐标为或． 【点睛】本题主要考查一次函数与几何的结合，涉及利用待定系数法求解析式、一次函数或坐标轴的交点、全等三角形的性质和勾股定理的应用，解题的关键是熟悉一次函数的性质和分类讨论思想． 3．如图所示，直线与x轴，y轴分别交于B，C两点，点A为y轴上定点． (1)请求出直线的解析式； (2)若F为直线上一动点，连接，当时，求点F的坐标； (3)在（2）问条件下，点F在第一象限时，在平面内有点H（不与F重合），以点O，B，H为顶点的三角形与全等，直接写出点H的坐标． 【答案】(1) (2)的坐标为或； (3)的坐标为或或. 【分析】（1）先求解，，结合点A为y轴上定点，设直线为，再进一步求解即可； （2）先求解，结合，可得，可得，，当时，则，由中点坐标公式可得：； （3）如图，以点O，B，H为顶点的三角形与全等，当沿轴对折可得，满足，当沿直线对折可得，则，当沿轴对折可得，满足，再进一步求解即可. 【详解】（1）解：∵直线与x轴，y轴分别交于B，C两点， ∴当时，， 当时，则， 解得：， ∴，， ∵点A为y轴上定点， 设直线为， ∴， 解得：， ∴直线为； （2）解：如图， ∵，，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 当时，则， ∵， ∴由中点坐标公式可得：； 综上：的坐标为或； （3）解：如图， ∵以点O，B，H为顶点的三角形与全等， 当沿轴对折可得，满足， ∴， 当沿直线对折可得，则， ∴， ∴， 当沿轴对折可得，满足， ∴； 综上：的坐标为或或. 【点睛】本题考查的是一次函数的图象与性质，求解一次函数的解析式，坐标与图形面积，全等三角形的判定，轴对称的性质，作出图形利用数形结合的方法解题是关键. 4．如图，直线与轴、轴分别交于、两点，，点是直线上与、不重合的动点． (1)求直线的解析式； (2)作直线，当的面积被直线分成的两部分时，求直线的解析式； (3)过点作直线与轴相交于点，是否存在点使与全等？若存在，求出点的坐标；若不存在，说明理由． 【答案】(1) (2)或 (3)存在；点的坐标为或或 【分析】（1）由得，根据，得，利用待定系数法即得直线的解析式为； （2）可得的面积为，当时，，可得，解得，即得，再求值直线的解析式；当时，同理可得，待定系数法求出直线的解析式即可； （3）在中，，，，分两种情况①若，②若时，分别求解即可． 【详解】（1）解：在中，令得， ， ∴， ， ， ， 把代入得： ， 解得：， 直线的解析式为； （2）解：，， 的面积为， 当时，如图：    此时， ， 即， 解得：， 在中令，得， ∴， 设直线的解析式为：，把代入得： ， 解得：， ∴此时直线的解析式为：； 当时，如图：    此时， ， 即， ， 在中令，得， ∴， 设直线的解析式为：，把代入得： ， 解得：， ∴此时直线的解析式为：； 综上所述，当的面积被直线分成的两部分时，直线的解析式为或； （3）解：存在点，使与全等， 在中，，， ， ①若，过作交轴于，过作于，如图：   ，， ，， 设，则，，， 而， ， 解得或， 当时，，此时，符合题意， 当时，，此时，不符合题意，舍去， ∴， 同理可知，时，， ∴， ∴点B为的中点， ∴，， ∴； ②若时，如图：   ，， ， 在中，令得， ， 此时，，符合题意， ， 综上所述，点的坐标为或或． 【点睛】本题考查一次函数综合应用，涉及待定系数法、三角形面积、全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是分别画出图形，分类讨论，利用数形结合解决问题． 【题型七 一次函数存在45°求动点坐标】 1．如图，在平面直角坐标系中，直线与y轴交于点A，与直线交于点．    (1)求m和b的值； (2)求证：是直角三角形； (3)直线上是否存在点D，使得，若存在，请求出点D的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)， (2)见解析， (3)存在，或 【分析】（1）将代入得，，即，将代入得，，计算求解即可； （2）由（1）可知，，可求，则，，，利用勾股定理逆定理证明即可； （3）由（2）可知，，则，，如图，设，则，，计算求解，然后作答即可． 【详解】（1）解：将代入得，， ∴， 将代入得，， 解得，， ∴，； （2）证明：由（1）可知，， 当时，，即， ∴，，， ∵， ∴， ∴是直角三角形，且； （3）解：由（2）可知，， ∵， ∴， ∴， 如图，设， ∴， ∴， 解得，或， ∴存在，点坐标为或． 【点睛】本题考查了一次函数解析式，勾股定理，勾股定理的逆定理，等角对等边，利用平方根解方程．熟练掌握一次函数解析式，勾股定理，勾股定理的逆定理，等角对等边，利用平方根解方程是解题的关键． 2．如图，在平面直角坐标系中，直线；与直线交于点，与y轴交于点 (1)求直线的函数表达式； (2)若点P是直线上一点，且点P在y轴左侧，，求点P的坐标； (3)若点M在射线OA上，且∘，求点M的坐标． 【答案】(1) (2) (3)点M的坐标为 【分析】本题考查一次函数综合应用，涉及待定系数法，三角形面积，等腰直角三角形的判定与性质，全等三角形判定与性质等，解题的关键是作辅助线，构造全等三角形解决问题． （1）设直线的函数表达式为，把，代入解出k，b的值，即可得直线的函数表达式为； （2）设，其中，利用面积公式建立方程求出； （3）在x轴正半轴上取点K，使，连接，过A作于H，过H作轴，过B作于T，过A作于G，延长交x轴于N，证明，得，设，建立方程组求出点的坐标，即可求得直线的解析式为，求出点的坐标，再根据角的关系可得，即知和N关于y轴的对称点，即，故直线的解析式为，联立求出点M的坐标 【详解】（1）设直线的函数表达式为， 把，代入得：， 解得， 直线的函数表达式为； （2）设，其中，如图： ，， ， ∵， ∴； ∴， 解得 ， ∴； （3）在x轴正半轴上取点K，使，连接，过A作于H，过H作轴，过B作于T，过A作于G，延长交x轴于N，如图： ∴，AH⊥BK， 是等腰直角三角形， ，， ∴， ∵， ， ∴， 设， 又，， ∴， 解得， ∴， 由，得直线的解析式为， 令得，， 解得， ∴， ∵，，即， ∴， 为关于y轴的对称点， ∴， 由，得直线BM的解析式为， 联立，解得， 点M的坐标为． 3．如图1，在平面直角坐标系中，已知点A在x轴的负半轴上，直线与x轴、y轴分别交于点C，B，且． (1)求直线的解析式； (2)P为线段上一个动点，若，求此时点P的坐标； (3)如图2，点M是的中点，N为直线上的一个动点，连接．若，求点N的坐标． 【答案】(1)直线的解析式为 (2)此时点P的坐标为 (3)点N的坐标为或 【分析】（1）先求出直线与坐标轴交点坐标，再求出点坐标，再由待定系数法求解； （2）求出，则可得到，进而可求出．设，则，解方程即可答案． （3）当点在点下方时，过点作交直线于，过点作于，过点作直线于，过点作直线于，证明，设点，表示出，再代入，求解；当点在点上方时，构造同样辅助线，同理可求解． 【详解】（1）解：由题意，令，得， ． 令，得，解得， ， ． ， ． ∵点A在x轴的负半轴上， ． 设直线的解析式为． 把代入， 得， 解得， ∴直线的解析式为． （2）解：， ， ． ， ， ． 设， 则， 解得， ∴此时点P的坐标为． （3）解：如图，当点N在点B的下方时，过点M作交于点H，过点M作于点D，过点N作直线于点F，过点H作直线于点E， 则， ， ． ， 是等腰直角三角形， ， ， ． ∵点M是的中点，， ． 设，则， ， ， 解得：， ∴点N的坐标为； 当点N在点B的上方时，构造同样辅助线， 同理， ， ∵点是的中点，点，点， ， 设点． ， ， ， ， ∴点坐标为； 综上所述，点N的坐标为或． 【点睛】本题考查了一次函数与几何综合，涉及待定系数法求函数解析式，直线与坐标轴的交点问题，全等三角形的判定与性质等知识点，熟练掌握各知识点并灵活运用是解题的关键． 4．已知，如图1，直线分别交平面直角坐标系中x轴和y轴于A，B两点，点A坐标为，点B坐标为，点C在直线上，且点C坐标为． (1)求直线的表示式和点C的坐标； (2)点D是x轴正半轴上的一点，连接，当时，求点D坐标； (3)在第（2）问条件下，若点P为直线上一点，且，求点P坐标． 【答案】(1)， (2) (3)或 【分析】本题考查了一次函数与几何综合，涉及待定系数法求函数解析式，两条直线的交点问题，两点之间距离公式，勾股定理，全等三角形的判定与性质等知识点． （1）设直线为，代入点坐标，点坐标，即可求解解析式，进而可得C的坐标； （2）可得为的中点，那么得到，则，求出，即可求解的坐标； （3）当点在点上方时，过点作交射线于，过点作轴于点，过点作交延长线于点，则，证明，求出，再求出直线，联立，求出；当点在点下方时，此时记为点，点上方的点记为，连接，设，可得，则由勾股定理得，则建立关于的方程求解即可． 【详解】（1）解：设直线为，点坐标为，点坐标为， ∴， 解得：， ∴直线为， ∵点坐标为． ∴，解得：， ∴； （2）解：如图： ∵点A坐标为，点B坐标为，， ∴为的中点， ∴， ∵， ∴ ∴， ∴， ∴， ∵，点D是x轴正半轴上的一点， ∴； （3）解：当点在点上方时，过点作交射线于，过点作轴于点，过点作交延长线于点，则， ∴， ∵， ∴为等腰直角三角形， ∴， ∴ ∴，， ∴， ∵， ∴， 设直线， 则， 解得：， ∴直线， 联立， 解得：， ∴； 当点在点下方时，此时记为点，点上方的点记为，连接， 设 ∵， ∴， ∴， ∴ 解得：， ∴， 综上：点P坐标或． 5．【基础模型】如图，等腰直角三角形中， ，，直线经过点，过点作于点，过点作于点，易证明．我们将这个模型称为“K形图”． (1)【模型应用】 如图1所示，已知，，连接，以为直角边，点为直角顶点作等腰直角三角形，点A在第一象限，则点A的坐标为___________． (2)【模型构建】： 如图2，在平面直角坐标系中，直线与轴，轴分别交于点，，交轴于点． ①请求出直线的函数解析式； ②P为x轴上一点，连接，若，求点P的坐标． (3) 【答案】(1) (2)①；②或 【分析】本题是一次函数综合题，考查了全等三角形的判定与性质、坐标与图形性质、等腰直角三角形的判定与性质、待定系数法求一次函数的解析式等知识，本题综合性强，熟练掌握等腰直角三角形的性质，证明三角形全等是解题的关键，属于中考常考题型． （1）过作轴于，证，得，，即可得出答案； （2）①设，由直线与轴，轴分别交于点，，可得，，利用勾股定理可得，则，利用待定系数法即可求解； ②分两种情况：当点在左侧时，当点在右侧时，过点作交于，过作轴于，根据全等三角形的判定和性质求出的坐标，利用待定系数法求出直线的解析式，即可求解． 【详解】（1）解：如图，过作轴于，如图1， 则， ， 是等腰直角三角形， ，， ， ， ，又，， ，， ， 点的坐标为， 故答案为：； （2）解：①设， 直线与轴，轴分别交于点，， 当时，， 当时，可得，解得， ，， ，，，，， 根据勾股定理可得，即， 解得， ， 设直线的函数解析式为， 把，代入可得，， 解得， 直线的函数解析式为； ②分两种情况： 当点在左侧时，过点作交于，过作轴于， ， 为等腰直角三角形， 同（1）得， ，， ， 点的坐标为， 设直线的解析式为， 把，代入可得， 解得， 直线的解析式为， 令，则，解得， 的坐标为； 当点在右侧时，过点作交于，过作轴于， 则为等腰直角三角形， ， ， ， ， ， ，， ， 点的坐标为， 设直线的解析式为， 把，代入可得， 解得， 直线的解析式为， 令，则，解得， 的坐标为； 综上所述，的坐标为或． 6．如图，一次函数的图像与轴交于点，与轴交于点． (1)求该一次函数的表达式； (2)若点是坐标轴上一点，使得，求点的坐标； (3)如果轴上有一动点，当时，请直接写出符合条件的点坐标． 【答案】(1) (2)或 (3)或 【分析】（1）用待定系数法求出一次函数解析式即可； （2）分两种情况：当点C在y轴上时，当点C在x轴上时，根据两点间距离公式列出方程，解方程即可； （3）分两种情况讨论：当点D在点A左侧时，当点D在点A右侧时，分别画出图形，求出结果即可． 【详解】（1）解：把点，点代入得： ， 解得：， ∴该一次函数的表达式为； （2）解：当点C在y轴上时，设点C的坐标为，则： ， ， ∵， ∴， ∴， 解得：， ∴此时点C的坐标为； 当点C在x轴上时，设点C的坐标为，则： ， ， ∵， ∴， ∴， 解得：， ∴此时点C的坐标为； 综上分析可知：点C的坐标为或． （3）解：当点D在点A左侧时，过点D作于点E，过点E作轴于点F，延长，过点B作于点G，如图所示： 则， 设点E的坐标为，则，， ∵，， ∴为等腰直角三角形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴，， ∴， 解得：， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴此时点D的坐标为； 当点D在点A右侧时，过点D作于点E，过点E作轴于点F，延长，过点D作于点G，如图所示： 则， 设点E的坐标为，则，， ∵，， ∴为等腰直角三角形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴，， ∴， 解得：， ∴， ∴， ∴， ∴此时点D的坐标为； 综上分析可知：点D的坐标为或． 【点睛】本题主要考查了一次函数的综合应用，三角形全等的判定和性质，余角的性质，坐标与图形，等腰三角形的判定和性质，求一次函数解析式，两点间距离公式，解题的关键是数形结合，注意进行分类讨论． 7．如图1，等腰直角三角形中，，过点A作交于点D，过点B作交于点E，易得，我们称这种全等模型为“k型全等”．如图2，在直角坐标系中，直线分别与y轴，x轴交于点A、． (1)求k的值和点A的坐标； (2)在第二象限构造等腰直角，使得，求点E的坐标； (3)将直线绕点A旋转得到，求的函数表达式． 【答案】(1)，点 (2)点E的坐标为 (3)或 【分析】本题考查一次函数的图象及性质，熟练掌握一次函数的图象及性质，三角形全等的判定及性质，正确利用模型是解题的关键． （1）由待定系数法即可求解； （2）过点C作轴交于点F，证明，据此即可求解； （3）当直线绕点A顺时针旋转得到时，过点B作交直线于点C，过点C作轴交于点D，证明，求得，利用待定系数法即可求解；当直线绕点A逆时针旋转得到时，同理可求． 【详解】（1）解：将点B的坐标代入得：， 解得：， 则该函数的表达式为：， 令，则； ∴， 即，点 （2）解：过点E作轴交于点F， ∵， ∴由K型全等模型可得， ∴，则， ∴点E的坐标为； （3）解：当直线绕点A顺时针旋转得到时， 过点B作交直线于点C，过点C作轴交于点D， ∵， ∴， ∴由K型全等模型可得， ∵与x轴的交点， ∴， ∴， 设直线的解析式为， ∴， 解得：， ∴； 当直线绕点A逆时针旋转得到时， 同理可得； 综上所述：直线的解析式为或． 【题型八 一次函数存在等角求动点坐标】 1．如图1，平面直角坐标系中，一次函数的图象分别交x轴、y轴于点A、B，一次函数的图象经过点B，并与x轴交于点C． (1)直线的表达式为__________，并直接写出点A的坐标__________，点C的坐标__________； (2)若点F为直线上的动点，当时，请求出点F的坐标； (3)如图2，已知点，点F在直线上运动，连接，直线与直线交于点E，当与面积相等时，求出点E的坐标． 【答案】(1)；；； (2)或； (3) 【分析】（1）先根据直线的解析式求出与坐标轴的交点、的坐标，再利用待定系数法求出直线的表达式即可； （2）①当点在的延长线上时，由得到，先得到点的横坐标，再求纵坐标即可；②当点在的延长线上时，令与y轴交于点H，由等角对等边得到，设，利用勾股定理列方程求出的值，得到点的坐标，再利用待定系数法求出直线的解析式，联立直线和求解即可． （3）先求出，，再根据与面积相等，得到与面积相等，利用三角形面积公式求出点的纵坐标，，再求出横坐标即可． 【详解】（1）解：一次函数的图象分别交x轴、y轴于点A、B， 令，则；令，则， ，， 一次函数的图象经过点B， , 直线的表达式为， 故答案为：；；； （2）解：①如图1，当点在的延长线上时， ， ， 点的横坐标与点的横坐标相同，即， ， ； ②如图2，当点在的延长线上时，令与y轴交于点H， ， ， 设，则， 在中，， ， ， ， 设直线的解析式为， 则，解得：， ， 联立，解得： ， 综上可知点F的坐标为或； （3）解：如图3，， ， ， 令，解得：， ， ， 与面积相等， 与面积相等， ， ， 令，解得：， ．   【点睛】本题考查了坐标与图形，一次函数解析式，一次函数的图象和性质，一次函数与坐标轴的交点问题，两直线的交点问题，等腰三角形的判定和性质，勾股定理等知识，利用数形结合的思想解决问题是关键． 2．在平面直角坐标系中，直线与轴相交于点，与轴相交于点，，点是直线上的一点． (1)求出直线的解析式； (2)如图1，当的面积为9时，求点的坐标； (3)如图2，直线交轴于点．若，求点的坐标． 【答案】(1) (2)或 (3)或 【分析】本题考查一次函数与几何的实际应用，熟练掌握一次函数的图象和性质，利用数形结合的思想进行求解，是解题的关键： （1）待定系数法求出函数解析式即可； （2）利用三角形的面积公式进行求解即可； （3）证明，求出点坐标，进而求出直线的解析式，再求出直线和直线的交点坐标即可． 【详解】（1）解：把，代入，得： ，解得：， ∴； （2）∵，， ∴， ∵， ∴， ∴； ∵点是直线上的一点， ∴当时，；当时，， ∴或； （3）∵，，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴或， 当时，同（1）法可得，直线的解析式为：， 联立，解得：； ∴； 当时，同（1）法可得，直线的解析式为：， 联立，解得：； ∴； 综上：或． 3．如图，一次函数的图象与x轴交于点A， 与y轴交于点B， 点C在x轴正半轴上， ． (1)求的长； (2)如图1， 点D在y轴正半轴上，， 求点D的坐标； (3)如图2， 点H在上， 过H作交于点P， 将点P向下平移 长度到点Q，连接，当点H从O点运动至C点过程中，求的最小值． 【答案】(1) (2) (3)的最小值为 【分析】本题考查一次函数的图象及性质，熟练掌握一次函数的图象及性质，三角形全等的判定及性质是解题的关键． （1）分别求出，，再求的长即可； （2）过点作，过点作交于点，过点作轴交于点，先判断出是等腰直角三角形，再证明，求出，再求直线的解析式为，设直线的解析式为，将点代入可得，求出的值即可求点坐标； （3）设，则，当时，， ，，当时，有最小值；当时，，，，当时，QO有最小值；即可求QO的最小值为． 【详解】（1）解：当时，， ∴， 当时，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴； （2）解：过点作，过点作交于点，过点作轴交于点，如图： ， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴，， ∵，， ∴， ∴， ∴，， ∴， 设直线的解析式为， ∴， 解得， ∴， 设直线的解析式为， 将点代入，可得， 解得， ∴， ∴； （3）解：∵， ∴直线的解析式为， 设，则， 当时，，则， ∴， ∴， ∴当时，有最小值； 当时，，则， ∴， ∴， 当时，QO有最小值； 综上所述：由于， ∴的最小值为； 【题型九 一次函数存在2倍角求动点坐标】 1．如图，直线和直线与轴分别相交于两点，且两直线相交于点，直线与轴相交于点，．    (1)求出直线的函数表达式； (2)在轴上有一点，使得最小，求点的坐标； (3)若是直线上方且位于轴上一点，满足，请求出点的坐标，判断的形状并说明理由． 【答案】(1) (2) (3)，的形状为：等腰直角三角形，理由见解析 【分析】本题考查待定系数法求一次函数解析式，已知函数值求自变量值，一次函数交点问题，轴对称求最短路径问题，等腰直角三角形判定及性质等． （1）先求出，再将和代入中得到的函数表达式； （2）过点作轴的对称点，连接交轴于，此时有最小值，再求出，再设直线解析式为：，求出后令即可得到本题答案； （3）设直线与轴交于，过点作轴，证明和全等，继而得到，即可求出，再将，，，即可得到本题答案． 【详解】（1）解：∵与轴交于点， ∴令，即，解得：， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵直线与轴相交于点， ∴设直线的解析式为：， 将和代入中得： ，解得：， ∴， ∴直线的函数表达式：； （2）解：过点作轴的对称点，连接交轴于，此时有最小值，   ， ∵， ∴， ∵，的函数表达式：， ∴，解得：， ∴， ∴设直线解析式为：， ∴将，代入中得， ，解得：， ∴， ∵轴上有一点， ∴令，即， ∴点的坐标：； （3）解：是等腰直角三角形，理由如下： 设直线与轴交于，过点作轴，   ， ∴，轴，， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∵， ∴在和中， ， ∴， ∴， ∴， ∴，，， ∴，， ∴是等腰直角三角形． 【题型十一 次函数存在等腰直角三角形问题】 1．如图，在平面直角坐标系中，函数的图象与轴，轴分别交于点、，与函数的图象交于点．函数的图象与轴交于点． (1)求和的值； (2)求的面积； (3)在轴上是否存在一点，使为等腰直角三角形？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)， (2) (3)存在，点为或 【分析】本题考查了一次函数的性质、三角形的面积、等腰直角三角形的性质，熟练掌握以上知识点是解题的关键． （1）求出点坐标，代入解析式即可； （2）根据点、坐标结合三角形面积公式即可计算； （3）由（2）知，分两种情况分类讨论，或，进而求解． 【详解】（1）解：∵点在函数的图象上， ∴， 又在函数的图象上， ∴． （2）解：∵函数的图象与轴交于点， ∴， 又函数与轴，轴分别交于点、两点， 当时，；当时，； ∴． ∴． ∴． （3）解：存在，理由如下： 由（2）知，， ∴， ①若，则， ∴， ∵， ∴； ②若，则， ∴， 过点作交轴于点， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 综上所述，当点为或时，为等腰直角三角形． 2．如图1，在平面直角坐标系中，直线：与轴交于点且经过点，点． (1)求直线的函数解析式； (2)在线段上找一点，使得与的面积相等，求出点的坐标； (3)轴上有一动点，直线上有一动点，若是以线段为斜边的等腰直角三角形，求出点的坐标． 【答案】(1) (2) (3)点的坐标为或 【分析】（1）先求出点的坐标，再利用待定系数法求解即可； （2）过点作交于，则点为所求，求出直线的表达式，然后联立直线与的函数表达式进行求解即可； （3）设点的坐标为，点的坐标为，分两种情况：当点在上方时，过点作轴的平行线分别和过与轴的平行线交于点，证明，得出，，据此列方程组求解；当点在下方时，同理求解． 【详解】（1）解：∵直线：与轴交于点且经过点，点， 当，， ∴， 令，，解得， ∴， 设直线的函数解析式为， 将，代入得：， 解得：， ∴直线的函数解析式为． （2）解：由平行线间距离相等可知，当时，与的面积相等， 如图1，过点作交于，则点为所求， 又∵直线的表达式为， ∴直线的表达式为， 联立方程组，解得， ∴． （3）解：①当点在上方时，过点作轴的平行线分别和过与轴的平行线交于点，如图： 设点的坐标为，点的坐标为， ∵，， ∴， 又∵，， ∴， ∴，， ∴，解得， ∴点的坐标为； ②当点在下方时，过点作轴的平行线分别和过与轴的平行线交于点，如图： 设点的坐标为，点的坐标为， ∵，， ∴， 又∵，， ∴， ∴，， ∴，解得， ∴点的坐标为； 综上，点的坐标为或． 【点睛】本题考查了一次函数解析式，一次函数图象与坐标轴的交点，平行线的性质，等腰三角形的性质，全等三角形的判定与性质等知识，解题的关键在于对知识的熟练掌握与灵活运用． 【题型十一 一次函数过定点问题】 1．已知关于x的一次函数y=mx+4m﹣2． （1）若这个函数的图象经过原点，求m的值； （2）若这个函数的图象不过第四象限，求m的取值范围； （3）不论m取何实数这个函数的图象都过定点，试求这个定点的坐标． 【答案】（1）m=；（2）m≥；（3）则不论m取何实数这个函数的图象都过定点（﹣4，﹣2）． 【分析】（1）直接把（0，0）代入求出m的值即可； （2）根据一次函数的性质列出关于m的不等式组，求出m的取值范围即可； （3）把一次函数解析式化为关于m的一元一次方程，根据方程有无数解解答． 【详解】解：（1）∵这个函数的图象经过原点， ∴当x=0时，y=0，即4m﹣2=0， 解得m=； （2）∵这个函数的图象不经过第四象限， ∴ 解得，m≥； （3）一次函数y=mx+4m﹣2变形为：m（x+4）=y+2， ∵不论m取何实数这个函数的图象都过定点， ∴x+4=0，y+2=0， 解得，x=﹣4，y=﹣2， 则不论m取何实数这个函数的图象都过定点（﹣4，﹣2）． 【点睛】本题考查的知识点是一次函数图象与系数的关系，解题的关键是熟练的掌握一次函数图象与系数的关系. 【题型十二 一次函数与线段结合求动点问题】 1．如图，直线与直线交于点A． (1)直接写出点A的坐标是_______； (2)为x轴上一动点，过点T作x轴的垂线分别交，于点C、D，当时，求t的值． 【答案】(1) (2)或 【分析】本题主要考查了了两条直线交点的求法、两点间的距离、一次函数的图象上点的坐标特征等知识点，掌握一次函数图象上点的坐标特征是解题的关键． （1）联立两直线解析式得到解方程组求解即可求出点A的坐标； （2）设，根据，然后解绝对值方程即可解答． 【详解】（1）解：联立两直线解析式可得： ，解得：， ∴点A的坐标是． 故答案为：． （2）解：设， ∵， ∴，解得：或1． 2．如图，已知在平面直角坐标系中，直线与直线相交于点． (1)求的值及直线的表达式； (2)已知点是直线上的一个动点，过点作轴的垂线，与直线交于点，设点的横坐标为．当时，求的值； 【答案】(1) (2)或 【分析】该题考查了一次函数的几何综合，一次函数解析式求解，菱形的性质，解一元二次方程等知识点，解题的关键是数形结合． （1）将点代入，求出t的值，再把将代入，可求出k的值，即可； （2）根据题意得，，  从而得到，再结合，可得到关于m的方程，即可求解． 【详解】（1）解：将点代入得： ， ∴， 将代入得：， 解得：， 所以直线的表达式为：． （2）解：根据题意得，，   ∴， ∵， ∴， 即或， 解得：或． 3．如图，平面直角坐标系中，一次函数的图象分别与轴及轴分别交于两点，正比例函数的图象与交于点． (1)点坐标为_____，点坐标为_____。 (2)求正比例函数的表达式； (3)点为轴负半轴上的一个动点，过点作轴的垂线分别交和于点，，当时，求的值． 【答案】(1)，； (2) (3) 【分析】本题主要考查一次函数的综合应用，解决问题的关键是掌握一次函数的性质． （1）中，分别令，，构造方程求解即可； （2）把代入即可求得，进而求正比例函数的表达式； （3）根据题意得出，，由得出，解方程，即可求解． 【详解】（1）解：中，令，则，解得， ∴点坐标为， 中，当时，， ∴点坐标， 故答案为：，； （2）解：把代入得， ， ∴， ∴， 将代入得， 解得： ∴； （3）解：∵点，，过点作轴的垂线分别交和于点，， ∴， ∴ ∵ ∴ 解得：（舍去）或 【题型十三 一次函数与动点线段比例问题】 1.如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象交x轴与y轴分别于点A，B，且，与直线交于． (1)求函数的表达式； (2)求的表达式及A点的坐标； (3)点D为直线上一点，其横坐标为，过点D作轴于点F，交交于点E，且，求点D的坐标． 【答案】(1) (2)， (3)或 【分析】（1）根据待定系数法即可求得 （2）根据待定系数法求得的表达式，进而可求得A的坐标 （3）点D的坐标为，点E的坐标为，得出EF，DE的长度，再由题意得出关于m的一元二次方程，解方程即可 【详解】（1）解：将代入得：1=2a ∴a=， ∴函数 （2）由题意设y=kx+2，将代入得：1=2k+2， 解得k=， ∴ 令y=0，则，解得x=4， ∴ （3）∵点D为直线上一点，其横坐标为， ∴点D的坐标为，点E的坐标为， 分两种情况： 当时，，解得， ∴， ∴D的坐标为 当时，，解得 ∴， ∴D的坐标为 综上所述：D的坐标为或 【点睛】本题考查了待定系数法求一次函数的解析式，一次函数图像上点的坐标特征以及解一元一次方程，求得函数的解析式以及分类讨论思想的运用是解题关键 2.如图，在平面直角坐标系中，点M的坐标为，一次函数经过点M，分别交x轴于点A，交y轴于点B．x轴上有一点P，其横坐标为．过点P作x轴的垂线交射线OM于点C，交一次函数的图象于点D． (1)求点A的坐标； (2)若，求t的值； (3)若，求t的值． 【答案】(1)， (2) (3)或 【分析】本题主要考查了一次函数的交点问题，解题的关键是熟练掌握一次函数与二元一次方程组的关系，准确计算． （1）把利用待定系数法求出直线的解析式； （2）根据点C、D的解析式，表示出，，根据列方程求解即可； （3）根据点C、D的解析式，表示出，，根据，分两种情况列方程求解即可； 【详解】（1）解：∵点M的坐标为，一次函数经过点M， ∴，解得：, ∴一次函数为， 当时，，解得， ∴点， （2）依题意得：的解析式为， ∵点， ∴点，点， ∴， ， 若，，解得：， （3）当时； ，， 当，即，解得， 当时； ，， 当，即，解得， 3.如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象交x轴与y轴分别于点A，B，且，与直线交于． (1)函数和的表达式分别为______________________________； (2)点D为直线上一点，其横坐标为．过点D作轴于点F，与直线交于点E，且，求点D的坐标． 【答案】(1)， (2) 【分析】本题考查了一次函数，熟练掌握一次函数的性质是解题关键． （1）根据点可求出直线的解析式，根据可得点的坐标，再利用待定系数法可求出直线的解析式； （2）求出点的坐标，从而可得点的坐标，代入直线求解即可得． 【详解】（1）解：将点代入直线得：，解得， 则， ∵，且点位于轴正半轴上， ∴， 将点，代入直线得：，解得， 则． （2）解：由题意得：， ∴， ∵， ∴， ∵轴于点， ∴， 将点代入得：， 解得， 则， 所以点的坐标为． 【题型十四 一次函数存在线段和最小值求动点坐标】 1．在平面直角坐标系中，已知一次函数（，都是常数，且）的图象经过点和． (1)求和的值； (2)当时，求的取值范围； (3)是在轴上的一动点，当取得最小值时，求点的坐标． 【答案】(1)， (2) (3) 【分析】本题考查的是一次函数综合运用，涉及到待定系数法求函数表达式、线段和的最值确定、点的对称性等，有一定的综合性，难度适中． （1）由待定系数法即可求解； （2）当时，，当时，，即可求解； （3）作点B关于y轴的对称点，连接交y轴于点P，则此时取得最小值，进而求解． 【详解】（1）解：将，代入得：， 解得：， 这个函数的解析式为：； （2）把代入得，， 把代入得，， 的取值范围是． （3）作点B关于y轴的对称点，连接交y轴于点P，则此时取得最小值， 设直线的解析式为， 把，代入解析式得，， 解得：， 直线的解析式为， 当时，， 的坐标为． 2．如图，已知一次函数图象分别与轴交于点两点，正比例函数图象与交于点，已知点的横坐标是． (1)求该一次函数的表达式； (2)轴上有一动点，连接，求当周长取最小值时点的坐标． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查待定系数法求一次函数解析式，已知自变量值求函数值，求最短路径问题等． （1）先求出，再设的表达式为，继而代入和两点即可求出； （2）作点关于轴对称点，连接交轴于点，则，当、、三点共线，即当在点处时，的周长最小，再设直线的解析式为，求出后令，继而求出． 【详解】（1）解：的横坐标是， 代入中得， ， 设的表达式为， 将和两点坐标代入得，解得， 一次函数的表达式为． （2）解：作点关于轴对称点，连接交轴于点， ， 则，当、、三点共线，即当在点处时，的周长最小， ∵的表达式为， ∴令，即， ∴，则， 设：直线的解析式为， 将和坐标代入得， 解得， 直线的解析式为， 是直线与轴交点， 令，得， ． 3．如图，在平面直角坐标系中，直线与y轴交于点A，与x负半轴交于点B，，直线与直线交于点C． (1)求直线的表达式； (2)如图1，点P为直线上一动点，连接，，求的最小值及此时点P的坐标； 【答案】(1) (2)的最小值为， 【分析】（1）由待定系数法即可求解； （2）作点B关于直线的对称点，直线交直线于点N，连接交直线于点P，则点P为所求点，即可求解； 【详解】（1）解：∵，则点， 将点B的坐标代入函数表达式得：， 解得：， 则直线的表达式为：； （2）解：作点B关于直线的对称点，直线交直线于点N，连接交直线于点P，则点P为所求点， 理由：为最小， 点B与点关于直线的对称， ， 设， ，则， 解得：或（舍去，不符合题意） ， ， ， ， 的最小值为：， 设直线的解析式为， 则， 解得：， 直线的解析式为， 联立， 解得：， ； 【题型十五 一次函数求点到直线距离最小值问题】 1.如图，一次函数的图象与轴和轴分别交于点和点，以线段为边在第一象限内作等腰直角，使. （1）直接写出点和点的坐标：（ ， ）（ ， ）； （2）求点到直线的距离； （3）求出点的坐标. 【答案】（1）（0,4）；（3,0）；（2）2.4；（3）的坐标是． 【分析】（1）根据一次函数解析式与坐标轴的交点坐标即可求解； （2）先求出AB的长度，再根据等面积法求出高，即点到直线的距离； （3）作轴于点，证明，即可求出C的坐标. 【详解】解：（1）令x=0,得y=4,∴ 令y=0,解得x=3， ∴ （2）由图知 设点到直线的距离为 则： （3）如图，作轴于点． ∵， ∴， 又∵， ∴． 在与中， ∵， ∴， ∴，，． 则的坐标是． 【点睛】此题主要考查一次函数与几何综合，解题的关键是熟知一次函数的图像与性质及全等三角形的判定与性质. 2.已知直线l1：y=kx﹣4的图象与直线l2：y=x+1的图象平行． （1）求直线l1的图象与x轴，y轴所围成图形的面积； （2）求原点到直线l1的距离． 【答案】（1）6；（2）． 【分析】（1）根据平行得出k=，求出与想、y轴的交点坐标，即可求出面积； （2）根据垂直求出a的值，求出组成的方程组的解，即可求出答案． 【详解】解：（1）∵直线l1：y=kx﹣4的图象与直线l2：y=x+1的图象平行， ∴k=， 即直线l1：y=x﹣4， 当x=0时，y=﹣4， 当y=0时，x=3， 所以直线l1的图象与x轴，y轴所围成图形的面积是=6； （2）设过原点且垂直于直线l1的直线的解析式为y=ax， 则a•=﹣1， 解得：a=﹣， 即y=﹣x， 解方程组 得： ， = ， 即原点到直线l1的距离是 ． 【点睛】本题考查了用待定系数法求函数的解析式、一次函数图象上点的坐标特征等知识点，解题关键是能根据两直线平行和垂直求出k和a的值． 3.已知一次函数y=kx+b的图象经过点A（0，3）、B（-4，0）． （1）求此函数的解析式． （2）若点（a，6）在此函数的图象上，求a的值为多少？ （3）求原点到直线AB的距离． 【答案】（1）一次函数解析式为y=x+3；（2）a=4；（3）原点到直线AB的距离为． 【分析】(1)把A、B两点坐标代入y＝ kx ＋ b中得到关于k、b的方程组，然后解方程组求出k、b，即可得到一次函数解析式； (2)根据一次函数图象上点的坐标特征,把(a，6)代入一次函数解析式中可求出a的值； (3)先利用勾股定理计算出AB的长，然后利用面积法求原点到直线AB的距离. 【详解】把代入得， 解得． 所以一次函数解析式为； 把代入得， 解得； ， 设原点到直线AB的距离为h， 则， 解得， 所以原点到直线AB的距离为． 【点睛】本题考查了待定系数法求一次函数解析式，解本题的要点在于能否求出一次函数的解析式. 【题型十六 一次函数存在平行四边形求动点坐标】 1.如图， 直线 分别与轴、轴交于、两点，与直线 交于点． (1)求直线和直线的解析式； (2)点是射线上一动点， 其横坐标为，过点作轴， 交直线于点， 若以、、、为顶点的四边形是平行四边形，求值； 【答案】(1)直线的解析式为，直线的解析式为 (2) 或 【分析】此题主要考查一次函数的图像与性质，解题的关键是熟知一次函数的图像与性质． （1）利用待定系数法确定函数关系式即可求解； （2）根据点的横坐标为，得，根据轴，得，求出，得出，再分当与当分别进行求解即可. 【详解】（1）解∶ 将点代入 中， 得∶， 解得∶， 直线为， 将点代入中， 得∶， 解得：， 直线为； （2）横坐标为， 则， 轴， 点在直线上， ， 直线 与轴交于点， ， ， 四边形是平行四边形， ， ①当时，， 解得：， ②当时，， 解得：， 以、、、为顶点的四边形是平行四边形时， 或 ． 2.如图1，矩形摆放在平面直角坐标系中，点在轴上，点在轴上，，，过点的直线交矩形的边于点，且点不与点重合，过点作，交轴于点，交轴于点． (1)若为等腰直角三角形 直接写出此时点的坐标：　　；直线的解析式为　　． 在轴上另有一点的坐标为，请在直线和轴上分别找一点，使的周长最小，并求出此时点的坐标和周长的最小值； (2)如图，过点作交轴于点，若以为顶点的四边形是平行四边形，求直线的解析式． 【答案】(1) ，； ，； (2)． 【分析】本题考查了待定系数法，全等三角形判定和性质，平行四边形的性质，灵活运用这些性质是解题的关键． （）根据题意可求，用待定系数法可求直线解析式； 作点关于轴的对称点，作点关于直线的对称点，连接交轴于点，交于，根据两点之间线段最短，可得此时的周长最小，求出解析式，可求点坐标和周长的最小值； （）作于，可证，由题意可证，可求，，即可得点，点坐标，即可求直线解析式． 【详解】（1）①∵矩形，，， ∴，，， ，，，， ∵为等腰直角三角形， ∴ ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 设直线解析式，过点，点， ∴， ∴， ∴直线解析式， 故答案为，； 作点关于轴的对称点，作点关于直线的对称点，连接交轴于点，交于，根据两点之间线段最短，可得此时的周长最小， ∵，， ∴设直线解析式， ∴，解得 ∴直线解析式， 当时，y， ∴， ∵， ∴周长的最小值为． （2）如图：作于， ∵， ∴且， ∴，且， ∴， ∵四边形是平行四边形， ∴， 又∵，， ∴， ∴，， ∴， ∵，， ∴，， ∴，， 设直线的解析式， 则有， ∴， ∴直线解析式． 3.综合与探究 如图，已知直线与直线相交于点C，直线分别与x轴于点A，B． (1)求的面积． (2)点是x轴上一动点，过点P作x轴的垂线，分别交直线于点M，N．当时，求m的值． (3)过点B作x轴的垂线，交直线于点D，过点D作x轴的平行线，交直线于点E，是否存在一点F，使以F，E，D，C为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请直接写出点F的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)36 (2)4或 (3)存在， 或或 【分析】本题主要考查一次函数，方程组，三角形的面积以及平行四边形的性质： （1）分别令直线的解析式中，求出x的值，从而得出点A、B的坐标，联立直线的解析式成方程组，解方程组即可求出交点C的坐标，利用三角形的面积公式即可求出的面积． （2）分两种情况分别用含有m的代数式表示出根据列出方程,求出m的值即可； （3）分别求出点的坐标，分为对角线, 为对角线，为对角线，分别讨论求解即可, 【详解】（1）解：令直线中，则， 解得，， ∴； 令直线中，则， 解得，， ∴, ∴． 联立直线的解析式成方程组，， 解得， ∴交点C的坐标为 ∴． （2）①当时，， ∴ ∴， ∵ ∴， 解得，； 当时， ∴ ∴ ∵ ∴， 解得，； 综上所述，m的值为4或； （3）解：∵，且轴，点D在上， ∴， ∴, 同理可得：， 又， 设 ①当为对角线，的交点重合，即对角线的交点， ∴的中点坐标为即，则有： 解得， 所以，点坐标为； ②当为对角线时， ∴的中点坐标为即，则有： 解得， 所以，点坐标为； ③当为对角线时， ∴的中点坐标为即，则有： 解得， 所以，点坐标为； 综上所述，存在这样的点坐标为或或 4.如图，在平面直角坐标系中，直线与x轴、y轴分别相交于A、B两点，点C在线段上，将线段绕着点C逆时针旋转90°得到线段，此时点D恰好落在直线上． (1)求出线段的长度； (2)求出直线的函数关系式； (3)若点E是x轴上的一个动点，点F是线段上的点(不与点B、C重合)，找一点E，使得以C、D、E、F为顶点的四边形是平行四边形？请直接写出所有E点的坐标． 【答案】(1)； (2)； (3)E点坐标或 【分析】（1）分别求出A、B点坐标，再求的长即可； （2）过D点作轴交于G点，证明 ，设，，则，由D点在直线上，将D点坐标代入直线解析式求出t的值，可得C点坐标，再由待定系数法求直线的解析式即可； （3）由（2）可知，设，，，分三种情况讨论：①当为平行四边形的对角线时；②当为平行四边形的对角线时；③为平行四边形的对角线时；根据平行四边形的对角线互相平分性质建立方程求出x的值即可． 【详解】（1）解：当时，， ∴， 当时，， ∴， ∴； （2）过D点作轴交于G点， ∴ ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 设，， ∴， ∵D点在直线上， ∴ 解得， ∴， 设直线的解析式为， 把代入，得 ， 解得， ∴直线的解析式为； （3）存在以C、D、E、F为顶点的四边形是平行四边形， E点坐标 或 理由如下： 由(2)可知， 设，，， ①当为平行四边形的对角线时，，， 解得， ∴； ②当为平行四边形的对角线时，，， 解得， ∴； ③为平行四边形的对角线时，，， 解得， ∴； 综上所述：E点坐标或． 【点睛】本题考查一次函数的图象及性质，熟练掌握一次函数的图象及性质，平行四边形的性质，利用平行四边形的对角线互相平分的性质建立方程是解题的关键． 【题型十七 一次函数存在矩形求动点坐标】 1.如图，一次函数的图象与x轴交于点，与y轴交于点B，且与正比例函数的图象交于点．    (1)求m的值和一次函数的解析式； (2)点P为坐标平面内的点，在x轴上是否存在点M，使得四边形是矩形？若存在，请求出符合条件的点M的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)， (2) 【分析】（1）将点代入，可得，再用待定系数法求一次函数的解析式即可； （2）根据矩形的性质得，设，利用勾股定理求解即可得到答案． 【详解】（1）解：∵将点代入， ∴ ∴， ∴， 将，代入一次函数的解析式为得：， 解得， ∴一次函数的表达式为； （2）解：在x轴上存在点M，平面内存在一点P，使得四边形是矩形， 设， ∵四边形是矩形 ∴， ∴， ∴， ∴， ∴点M的坐标为． 【点睛】本题是一次函数综合题，考查一次函数的性质，待定系数法求函数的解析式，矩形的性质，勾股定理等，熟练掌握待定系 数法，矩形的性质是解题的关键． 2.已知，A（0，a）是y轴上一点，直线l：与x轴交于点（-16，0），与y轴交于点D． (1)b= ，点D的坐标为 ； (2)如图1，过点A作AB⊥l于点B，作∠BAC=45°，AC交直线l于点C（点C在点B右侧）， ①当a=-3时，求点B，C的坐标； ②如图2，过点A作AE∥BC，交x轴于点E，求当a为何值时，四边形ABDE为矩形． 【答案】(1)8，D（0，8） (2)①B（，），C（，）； ②a=2 【分析】（1）待定系数法求解析式即可； （2）①过点B作BG⊥x轴，过点A作AG⊥BG于点G，过点C作CH⊥BG，交GB的延长线于点H，易证△BGA≌△CHB（AAS），进一步可得BG=CH，AG=BH，设B（m，m+8），表示出点C坐标，将点C坐标代入直线l解析式即可求出m，进一步确定点B和点C坐标； ②过点B作BM⊥y轴于点M，设CH交y轴于点N，同①中的方法可得点B和点C坐标，进一步可知BM=CN，从而△BDM≌△CDN（AAS），易证四边形ADCE为平行四边形，根据平行四边形的性质可知点C横坐标等于点E横坐标，可得−a+=-2a，即可求出a的值． 【详解】（1）将点（-16，0）代入y＝x+b， 得-8+b=0， 解得b=8， ∴点D（0，8）， 故答案为：8，（0，8）； （2）①过点B作BG⊥x轴，过点A作AG⊥BG于点G，过点C作CH⊥BG，交GB的延长线于点H，如图所示： 则∠G=∠H=90°， ∴∠GBA+∠GAB=90°， ∵AB⊥BC，∠BAC=45°， ∴∠ABC=90°，∠ACB=45°， ∴AB=AC，∠HBC+∠GBA=90°， ∴∠HBC=∠GAB， ∴△BGA≌△CHB（AAS）， ∴BG=CH，AG=BH， 设B（m，m+8）， 则BG=CH=m+11，AG=BH=-m， ∴C（m+11，-m+8）， ∵点C在直线l上， ∴（m+11）+8=-m+8， 解得m=−， ∴B(−，)，C（，）； ②过点B作BM⊥y轴于点M，设CH交y轴于点N，如图所示： 设B（n，n+8）， 则BG=n+8-a，AG=-n， ∴CH=BG=n+8-a，BH=AG=-n， ∴点C（n+n+8-a，n+8-n）， 将点C坐标代入直线l解析式， 得（n+n+8-a）+8=n+8-n， 解得n=a−， ∴点C的横坐标为−a+， ∴BM=CN， 在△BDM和△CDN中， ∴△BDM≌△CDN（AAS）， ∴BD=CD， 若四边形ABDE为矩形， 则BD=AE， ∴CD=AE， ∵AE∥BC， ∴四边形ADCE为平行四边形， ∴CE∥AD， ∴xC=xE， ∵直线AE的解析式为：y＝x+a， 当y＝x+a=0时，x=-2a， ∴xE=-2a， ∴−a+=-2a， 解得a=-2， 即当a=-2时，四边形ABDE为矩形． 【点睛】本题考查了一次函数与几何的综合，涉及待定系数法求解析式，全等三角形的判定和性质，平行四边形的性质，矩形的性质等，本题综合性较强，难度较大． 【题型十八 一次函数存在菱形求动点坐标】 1.在平面直角坐标系中，直线与x轴、y轴分别交于A，B两点，经过点A的直线与y轴交于点．    (1)求直线的函数表达式； (2)如图1，点P为直线上一动点，若的面积为18，求点P的坐标； (3)如图2，将沿着x轴向右平移得到，在坐标平面内是否存在点M，使得以、、B、M为顶点的四边形是菱形？若存在，直接写出点M的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)或 (3)存在，，， 【分析】（1）运用待定系数法，将点坐标代入解析式，求解方程组即可； （2）先注意判定点P的位置，如图，，于是点P在第二象限，或第四象限．设，分点P在第二象限，或点P在第四象限，运用组合图形求面积的思路分别求解； （3）存在；由平移知，，，轴；设平移距离为s，则，，分情况讨论：①若以为对角线构成菱形，如图，则点M应在x轴上，②若以为对角线构成菱形，则，点M在x轴上，③若以为对角线构成菱形，根据菱形的判定方法，由边相等构造方程求解； 【详解】（1）解：，时，；时，，得； ∴点． 直线经过点A，C，所以 ，解得． ∴； （2）解：如图，，， ∴． ∵的面积为18， ∴点P在第二象限，或第四象限．设， 若点P在第二象限，则 ， 解得，，；    若点P在第四象限，则 ， 解得，,；    ∴点P的坐标为或． （3）解：存在；由平移知，，，轴； 设平移距离为s，则，， ①若以为对角线构成菱形，则,点M应在x轴上，令， 由,得，； 由,得； ∴ ∴时，，构成菱形． 此时，    ②若以为对角线构成菱形，则，点M在x轴上，令 由，得，，解得， ∴, 由,得， ∴， ； ∴时，，四边形是菱形． 此时，    ③若以为对角线构成菱形， 由，得， 解得（舍去）或， ∴, 由,设，由，得， 解得，（舍去）或， 此时, ∴时，，四边形构成菱形 ． 此时，．    【点睛】本题考查待定系数法确定函数解析式，菱形的判定，直角坐标系内求解三角形面积；由菱形的判定方法转化为线段间的数量关系从而求解点坐标是解题的关键． 2.如图，在平面直角坐标系中，直线与分别交x轴于点A、B，两直线交于y轴上同一点C，点D的坐标为，点E是的中点，连接交于点F．    (1)求点F的坐标． (2)若，求k的值． (3)在（2）的条件下，过点F作x轴的垂线l，点M是直线上的动点，点N是x轴上的动点，点P是直线l上的动点，使得以B，P，M、N为顶点的四边形是菱形，求点P的坐标. 【答案】(1) (2) (3)满足条件的P的坐标为或或或 【分析】（1）求出直线，的解析式，构建方程组即可解决； （2）利用证明，则，，求出点T的坐标，利用待定系数法即可求解； （3）如图，分四种情况：当四边形为菱形时；当四边形是菱形时；当四边形是菱形时；当点N在B的右侧，为菱形时；分别画出图形求解即可． 【详解】（1）   解：令直线中的，则， 则， ∴点A的坐标为，点的坐标为， ∵点是的中点， ∴由中点坐标公式得, 设直线为：，代入得， 解得：， ∴直线的解析式为：， 设直线为，代入可得， ， 解得：， ∴直线为：， 联立， 解得：， ∴点的坐标为． （2）解：过点D作交于T，过点T作轴于H，如图所示：    ∵，， ∴， ∵， ∴， 故为等腰直角三角形，则， ∵，， ∴， ∵，， ∴， ∴，， 则， ∴， 把代入， 解得：． （3）解：如图所示，    当时，直线的解析式为：， 把代入得：， 解得：， ∴， 当四边形为菱形时，连接交于，作于， ∵，，， ∴由角平分线定理得：， 又∵，， ∴， ∴，设， ∵在中，由勾股定理得，， ∴， 在中，， ∴， 解得：， 设直线为，代入,得： ， 解得：， ∴直线为：， 当时，， ∴的坐标为； 当四边形是菱形时，可得直线的解析式， 当时，， ， 当四边形是菱形时，在直线时， ∴， ∵与关于x轴对称， ； 当点N在B的右侧，为菱形时， 设点的坐标为，则点的坐标为， 则， 即， 解得或（舍去）， 此时； 综上所述，满足条件的P的坐标为或或或． 【点睛】本题考查了一次函数的性质，等腰直角三角形的性质，菱形的判定和性质等知识点，综合性较强，解题的关键是学会用分类讨论的思想思考问题，属于中考压轴题． 3.如图，在平面直角坐标系中，直线：分别x轴，y轴交于点B，C，且与直线：交于点A．    (1)分别求出点A，B，C的坐标． (2)若D是线段上的点，且的面积为6，求直线的函数解析式． (3)（2）的条件下，设P是射线上的点，在平面内是否存在点Q，使以O，C，P，Q为顶点的四边形是菱形?若存在，直接写出点Q的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)，，； (2)； (3)存在，点Q的坐标为或或． 【分析】（1）对于直线的解析式，分别令与为求出与的值，确定出与B的坐标，再联立两直线解析式即可求出A的坐标； （2）设点坐标为，由三角形的面积公式可求点坐标，利用待定系数法可求解析式； （3）若以为边，设点，分情况利用菱形的性质和两点间距离公式列式求出a的值，然后可得点P坐标，进而可得点Q的坐标；若为对角线，由菱形的性质可得与互相垂直平分，求出点P坐标，进而可得点Q的坐标． 【详解】（1）解：分别与轴、轴交于点、， 当时，； 当时，； 点坐标为，点坐标为， 直线：与直线：交于点， ， 解得：， 当时，， 点A坐标为， （2）解：设点坐标为， 的面积为，， ， ， 点， 设直线解析式为：， 代入得：， ， 直线的解析式为：； （3）解：存在； 若以为边，设点，如图，    当四边形是菱形时， ，， ， ，舍去， 点， ∵， 点； 当四边形是菱形时， ∵，， ， （舍去），， 点， 点； 若为对角线， 以、、、为顶点的四边形是菱形， 与互相垂直平分， 点的纵坐标为， 当时， 解得：， 点， 点坐标为； 综上所述：存在点Q，使以O，C，P，Q为顶点的四边形是菱形，点的坐标为或或． 【点睛】本题是一次函数综合题，考查了一次函数的图象和性质，函数图象的交点坐标，待定系数法求解析式，菱形的性质，两点间距离公式等知识，利用分类讨论思想解决问题是本题的关键． 【题型十九 一次函数存在正方形求动点坐标】 1.综合与探究 如图，在平面直角坐标系中，直线与轴、轴分别交于、两点．把沿过点的直线折叠，使点落在轴上的点处，折痕交轴于点．直线与直线相交于点． (1)求的长： (2)求直线的解析式： (3)在轴上存在点，当的值最小时，点的坐标为__________； (4)在轴上方的平面内存在一点，平面内存在一点，使以、、、为顶点的四边形是正方形，请直接写出点的坐标． 【答案】(1) (2) (3) (4)点的坐标为 【分析】（1）由折叠得，结合点的坐标得，运用勾股定理列式计算，即可作答． （2）运用全等性质以及勾股定理列式，得出，再运用待定系数法解直线的解析式为，即可作答． （3）取点B的对称点，连接交轴于一点，把和代入，得直线的解析式为，令，则，得； （4）结合正方形的性质运用分类讨论思想，则当为对角线时，当为对角线时；当为对角线时，结合勾股定理列式计算，即可作答． 【详解】（1）解：∵把沿过点的直线折叠，使点落在轴上的点处， ∴ ∴ ∵直线与轴、轴分别交于、两点 ∴当 ∴ ∴ ∴在中， ∴； （2）解： 依题意， ∴ 由（1）知 ∴ 设 则 ∴ 解得 ∴ 设直线的解析式为 把和代入 得出 解得、 ∴直线的解析式为 （3）解：依题意， 解得 把代入 解得 ∴ 如图：取点B的对称点，连接交轴于一点 该点P是满足的值是最小的 则 ∵ ∴ ∵ ∴设直线的解析式为 把和代入 得出 解得、 ∴直线的解析式为 令，则 ∴ ∴ （4）解：设点 ∵点在轴上方 ∴ 当为对角线时，则是等腰直角三角形 ∴ ∴ ∴ 把，，代入 整理得 解得（舍去） ∴ ∴ 当为对角线时，则是等腰直角三角形 ∴ ∴ ∴ 把，，代入 整理得 解得（舍去） ∴ ∴ 当为对角线时，则是等腰直角三角形 ∴ ∴ ∴ 把，，代入 整理得 解得（舍去） ∴ ∴ 综上：点的坐标为 【点睛】本题考查了一次函数的几何运用，正方形的性质，勾股定理，最短路径，轴对称的性质，正确掌握相关性质内容是解题的关键． 2.如图，在平面直角坐标系中，直线，为常数且与轴交于点，与直线相交于点． (1)求直线的函数解析式； (2)点在直线上，使的面积为3，求出点的坐标； (3)若点在线段上，点在直线上，点在轴上，当四边形是正方形时，求点的坐标． 【答案】(1)； (2)点的坐标为或； (3)点的坐标为 【分析】本题综合考查一次函数的应用． （1）把点的坐标代入直线可得的值，进而把点的坐标和点的坐标代入直线可得和的值，即可求得所求的函数解析式； （2）设点的横坐标为，则的面积可用为底边，点的横坐标的绝对值为高表示，求得的值后进而求得点的纵坐标； （3）易得点和点的横坐标相同，根据点在直线上，点在直线上可得点和点的纵坐标，进而根据列出方程，求解后即可判断出点的横坐标，进而可得点的纵坐标． 【详解】（1）解：点在直线上， ． 即． 将点，代入中， 得：． 解得：． 直线的函数解析式为：； （2）解：设点的横坐标为，则点的纵坐标为． 点的坐标为， ． 则， 解得：或． 当时，； 当时，． 点的坐标为或； （3）解：如图，连接交于点， 四边形是正方形， ，，． 点在直线上， 设． 点在直线上， 设点的坐标为：． ，． ， ， 点的坐标为． 3.如图，在平面直角坐标系中，直线分别与轴、轴交于点，且与直线交于点． (1)求出点的坐标． (2)若是线段上的点，且的面积为12，求直线的函数表达式． (3)在（2）的条件下，设是射线上的点，在轴的上方是否存在点，使以为顶点的四边形是正方形？若存在，试求出点的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2) (3)存在满足条件的点的Q，其坐标为或 【分析】本题为一次函数的综合应用，涉及一次函数与坐标轴的交点、待定系数法确定一次函数解析式、一次函数图象的交点、一次函数图象与性质、正方形的性质及分类讨论思想等．其中（3），确定出P点的位置是解题的关键． （1）令，求出的值即可得出点C的坐标； （2）设点，根据三角形面积公式结合的面积为12列式求出m的值即可得出点D的坐标，再运用待定系数法求出直线的解析式即可； （3）在（2）的条件下，设P是射线上的点，在平面内存在点Q，使以为顶点的四边形是正方形，如图所示，分两种情况考虑：（i）当四边形为菱形时，由，得到四边形为正方形；（ii）当四边形为正方形时分别求出P坐标即可． 【详解】（1）解：对于直线，当时，， ∴点C的坐标为 （2）解：∵是线段上的点， ∴设， ∵， ∴， ∵ ∴， ∴， ∴， ∴ 设直线的解析式为 把点代入得， ， 解得，， ∴直线的解析式为； （3）解：存在点Q，使以为顶点的四边形是正方形， 如图所示，分两种种情况考虑： （i）对于，当时，， ∴, ∴ 当四边形为正方形，此时， ∴； （ii）当四边形为正方形时，直线 ∵ ∴是中点， ∵ ∴，即 由对称性可得， 综上可知存在满足条件的点的Q，其坐标为或． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！6 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题08 一次函数与几何综合压轴题型汇编 【题型一 一次函数种求三角形面积（铅锤法】 1 【题型二 一次函数中已知面积求动点坐标】 2 【题型三 一次函数已知面积相等求动点坐标】 4 【题型四 一次函数存在等腰三角形求动点坐标】 6 【题型五 一次函数存在直角三角形求动点坐标】 11 【题型六 一次函数存在全等三角形求动点坐标】 13 【题型七 一次函数存在45°求动点坐标】 15 【题型八 一次函数存在等角求动点坐标】 19 【题型九 一次函数存在2倍角求动点坐标】 20 【题型十一 次函数存在等腰直角三角形问题】 21 【题型十一 一次函数过定点问题】 22 【题型十二 一次函数与线段结合求动点问题】 22 【题型十三 一次函数与动点线段比例问题】 23 【题型十四 一次函数存在线段和最小值求动点坐标】 25 【题型十五 一次函数求点到直线距离最小值问题】 27 【题型十六 一次函数存在平行四边形求动点坐标】 28 【题型十七 一次函数存在矩形求动点坐标】 30 【题型十八 一次函数存在菱形求动点坐标】 31 【题型十九 一次函数存在正方形求动点坐标】 33 【题型一 一次函数种求三角形面积（铅锤法】 1.如图，在平面直角坐标系中，点坐标为，点坐标为，过点作轴垂线，点是一次函数图象上的一个动点． (1)直接写出直线的函数解析式是： ； (2)在图1中，连接，，当的面积等于10时，求点D的坐标； 【题型二 一次函数中已知面积求动点坐标】 1．如图，在平面直角坐标系中，直线与x轴交于点A，直线交直线于点B，若的面积是，试求的解析式 2．如图，直线与x轴、y轴分别交于两点，为直线上一点，另一直线经过点P． (1)求点的坐标； (2)求点P的坐标和k的值； (3)若C是直线与x轴的交点，Q是直线上一点，当的面积等于3时，求出点Q的坐标． 3．在直角坐标系内，一次函数的图象经过三点，，． (1)求这个一次函数解析式； (2)求m的值； (3)若轴上有一点，且，求点的坐标． 4．如图，直线l过点，． (1)求直线l的函数解析式． (2)若直线l与x轴交于点A，与y轴交于点B，点C在x轴上，且的面积为10，求点C的坐标． 5．如图，已知直线经过点，交轴于点，直线与直线交于点，交轴于点． (1)求的值； (2)求的面积； (3)若在轴上存在一点，使得的面积为6，求点坐标． 【题型三 一次函数已知面积关系求动点坐标】 1．如图，在平面直角坐标系中，直线经过原点和点，经过点的另一条直线交轴于点． (1)求直线的函数表达式； (2)若在直线上存在一点，使，求点的坐标． 2．如图，直线与、轴分别交于、两点，直线与轴交于点，直线与直线相交于点． (1)求点的坐标； (2)点在直线上，若，求点的坐标． 3．如图，在平面直角坐标系中，一次函数图象与轴、轴分别交于点A，B，与正比例函数图象交于点． (1)求点的坐标，并求的面积； (2)若直线与轴交于点，与直线或交于点，且的面积为的面积的2倍，求的值． 4．如图，已知函数的图像为直线，函数的图像为直线，直线，分别交x轴于点B，，分别交y轴于点D，E，和相交于点 (1)求m，k，b的值； (2)若点P在x轴上且在点C的右侧，连接，当的面积是面积的2倍时，直接写出符合条件的点P的坐标． 5．如图，在平面直角坐标系中，直线与轴、轴分别交于两点，直线与轴交于点，，与交于点． (1)求直线的函数表达式； (2)当时，的函数最大值为4，求的值； (3)连接，在第一象限内，直线上是否存在一点，使得和的面积相等？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由． 【题型四 一次函数存在等腰三角形求动点坐标】 1．如图1，已知直线分别交x轴、y轴于A，C两点，直线交x轴于点B，且，． (1)求k的值； (2)如图2，D为线段上一点，设点D的横坐标为m，过点D作轴交于点E，使，求m的值； (3)在（2）的条件下，探究x轴上是否存在一个动点P，使得以点D、O、P为顶点的三角形是等腰三角形，若存在，直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由． 2．如图，一次函数与轴、轴分别相交于点和点． (1)求点和点的坐标； (2)点在轴上，若的面积为6，求点的坐标； (3)点在轴上，若等腰三角形，求点的坐标； 3．如图，在平面直角坐标系中，，过点A的直线与过点B的直线交于点C，直线交y轴于点D，连接，． (1)求a的值及点C的坐标； (2)点M是直线上的一个动点，若的面积是的面积的3倍，求点M的坐标； (3)在直线上是否存在点N使得是等腰三角形？若存在，直接写出符合条件的点N的坐标． 4．如图，点O为坐标原点，已知直线经过点，与x轴交于点A． (1)求b的取值； (2)若直线与直线相交于点C，求的面积； (3)在x轴上存在一点P，使得是等腰三角形，请直接写出点P的坐标． 5．如图，直线与轴、轴分别交于点A、B，且与直线相交于点，已知直线经过点，且与轴交于点． (1)求点A、B的坐标以及直线m的解析式； (2)若P为直线m上一动点，，求点P的坐标； (3)在x轴上是否存在一个动点Q，使得为等腰三角形？若存在．请求出Q点的所有坐标，若不存在，请说明理由． 6．如图，平面直角坐标系中，点和，点为坐标平面内一动点． (1)求斜边上的高； (2)若为等腰三角形，求点的坐标． 7．如图，直线与x轴，y轴分别交于点A和点B，M是上的一点，若将沿折叠，点B恰好落在x轴上的点处． (1)求A，B两点坐标; (2)求M点坐标; (3)在x轴上找一点P，使得以点P，M，为顶点的三角形是等腰三角形，请直接写出所有点P的坐标． 8．如图，一次函数的图象与x轴，y轴分别相交于点和点． (1)求一次函数的解析式； (2)在y轴上有一动点P，若的面积为3，请求出点P的坐标； (3)在x轴上是否存在点Q，使得是以为一腰的等腰三角形，若存在，请直接写出点Q的坐标，若不存在，请说明理由． 【题型五 一次函数存在直角三角形求动点坐标】 1．如图，已知直线：经过点，交轴于点，交轴于点，直线交直线于点，点到轴的距离为． (1)求直线的函数表达式和点、点的坐标； (2)求的面积； (3)在轴上是否存在点，使得是直角三角形？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由． 2．如图，直线与过点的直线交于点，与轴交于点． (1)求的值； (2)求的面积； (3)若点在直线上，且使得是直角三角形，直接写出点的坐标． 3．如图，在平面直角坐标系中，直线分别交轴，轴于，两点，与直线交于点． (1)求点，的坐标． (2)若第一象限内的点到轴的距离为，求直线的函数表达式． (3)若是轴上一动点，是否存在点，使是直角三角形？若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由． 4．如图，将直线：向上平移个单位后得到直线，直线与直线：和轴分别相交于点、点． (1)求直线l2的函数表达式； (2)点P是x轴上任意一点，若以点A、B、P为顶点的三角形为直角三角形，请求出点P的坐标． 5．如图，在平面直角坐标系中，直线的关系式为，直线的关系式为，与轴、轴分别交于点、点，直线与交于点．    (1)求直线的关系式，若直线上存在点（不与重合），满足，求点的坐标； (2)若在轴上存在点，满足为直角三角形，求点的坐标． 【题型六 一次函数存在全等三角形求动点坐标】 1．如图，直线与x轴、y轴分别交于A、B两点，在y轴上有一点，动点M从A点以每秒1个单位的速度沿x轴向左移动． (1)求A、B两点的坐标； (2)求的面积S与M的移动时间t之间的函数关系式； (3)在M运动过程中，当时，直接写出此时M点的坐标． 2．在平面直角坐标系内，直线与x轴、y轴分别交于A，B两点． (1)求A、B两点的坐标； (2)在y轴上有一点，在x轴上有一动点D，它从A点以每秒1个单位长度的速度沿x轴向左移动，当的面积为16时，确定直线的表达式； (3)若点P为点B上方y轴上的点，在直线上是否存在点Q使得与全等，若存在，求出此时点Q的坐标． 3．如图所示，直线与x轴，y轴分别交于B，C两点，点A为y轴上定点． (1)请求出直线的解析式； (2)若F为直线上一动点，连接，当时，求点F的坐标； (3)在（2）问条件下，点F在第一象限时，在平面内有点H（不与F重合），以点O，B，H为顶点的三角形与全等，直接写出点H的坐标． 4．如图，直线与轴、轴分别交于、两点，，点是直线上与、不重合的动点． (1)求直线的解析式； (2)作直线，当的面积被直线分成的两部分时，求直线的解析式； (3)过点作直线与轴相交于点，是否存在点使与全等？若存在，求出点的坐标；若不存在，说明理由． 【题型七 一次函数存在45°求动点坐标】 1．如图，在平面直角坐标系中，直线与y轴交于点A，与直线交于点．    (1)求m和b的值； (2)求证：是直角三角形； (3)直线上是否存在点D，使得，若存在，请求出点D的坐标；若不存在，请说明理由． 2．如图，在平面直角坐标系中，直线；与直线交于点，与y轴交于点 (1)求直线的函数表达式； (2)若点P是直线上一点，且点P在y轴左侧，，求点P的坐标； (3)若点M在射线OA上，且∘，求点M的坐标． 3．如图1，在平面直角坐标系中，已知点A在x轴的负半轴上，直线与x轴、y轴分别交于点C，B，且． (1)求直线的解析式； (2)P为线段上一个动点，若，求此时点P的坐标； (3)如图2，点M是的中点，N为直线上的一个动点，连接．若，求点N的坐标． 4．已知，如图1，直线分别交平面直角坐标系中x轴和y轴于A，B两点，点A坐标为，点B坐标为，点C在直线上，且点C坐标为． (1)求直线的表示式和点C的坐标； (2)点D是x轴正半轴上的一点，连接，当时，求点D坐标； (3)在第（2）问条件下，若点P为直线上一点，且，求点P坐标． 5．【基础模型】如图，等腰直角三角形中， ，，直线经过点，过点作于点，过点作于点，易证明．我们将这个模型称为“K形图”． (1)【模型应用】 如图1所示，已知，，连接，以为直角边，点为直角顶点作等腰直角三角形，点A在第一象限，则点A的坐标为___________． (2)【模型构建】： 如图2，在平面直角坐标系中，直线与轴，轴分别交于点，，交轴于点． ①请求出直线的函数解析式； ②P为x轴上一点，连接，若，求点P的坐标． (3) 6．如图，一次函数的图像与轴交于点，与轴交于点． (1)求该一次函数的表达式； (2)若点是坐标轴上一点，使得，求点的坐标； (3)如果轴上有一动点，当时，请直接写出符合条件的点坐标． 7．如图1，等腰直角三角形中，，过点A作交于点D，过点B作交于点E，易得，我们称这种全等模型为“k型全等”．如图2，在直角坐标系中，直线分别与y轴，x轴交于点A、． (1)求k的值和点A的坐标； (2)在第二象限构造等腰直角，使得，求点E的坐标； (3)将直线绕点A旋转得到，求的函数表达式． 【题型八 一次函数存在等角求动点坐标】 1．如图1，平面直角坐标系中，一次函数的图象分别交x轴、y轴于点A、B，一次函数的图象经过点B，并与x轴交于点C． (1)直线的表达式为__________，并直接写出点A的坐标__________，点C的坐标__________； (2)若点F为直线上的动点，当时，请求出点F的坐标； (3)如图2，已知点，点F在直线上运动，连接，直线与直线交于点E，当与面积相等时，求出点E的坐标． 2．在平面直角坐标系中，直线与轴相交于点，与轴相交于点，，点是直线上的一点． (1)求出直线的解析式； (2)如图1，当的面积为9时，求点的坐标； (3)如图2，直线交轴于点．若，求点的坐标． 3．如图，一次函数的图象与x轴交于点A， 与y轴交于点B， 点C在x轴正半轴上， ． (1)求的长； (2)如图1， 点D在y轴正半轴上，， 求点D的坐标； (3)如图2， 点H在上， 过H作交于点P， 将点P向下平移 长度到点Q，连接，当点H从O点运动至C点过程中，求的最小值． 【题型九 一次函数存在2倍角求动点坐标】 1．如图，直线和直线与轴分别相交于两点，且两直线相交于点，直线与轴相交于点，．    (1)求出直线的函数表达式； (2)在轴上有一点，使得最小，求点的坐标； (3)若是直线上方且位于轴上一点，满足，请求出点的坐标，判断的形状并说明理由． 【题型十一 次函数存在等腰直角三角形问题】 1．如图，在平面直角坐标系中，函数的图象与轴，轴分别交于点、，与函数的图象交于点．函数的图象与轴交于点． (1)求和的值； (2)求的面积； (3)在轴上是否存在一点，使为等腰直角三角形？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由． 2．如图1，在平面直角坐标系中，直线：与轴交于点且经过点，点． (1)求直线的函数解析式； (2)在线段上找一点，使得与的面积相等，求出点的坐标； (3)轴上有一动点，直线上有一动点，若是以线段为斜边的等腰直角三角形，求出点的坐标． 【题型十一 一次函数过定点问题】 1．已知关于x的一次函数y=mx+4m﹣2． （1）若这个函数的图象经过原点，求m的值； （2）若这个函数的图象不过第四象限，求m的取值范围； （3）不论m取何实数这个函数的图象都过定点，试求这个定点的坐标． 【题型十二 一次函数与线段结合求动点问题】 1．如图，直线与直线交于点A． (1)直接写出点A的坐标是_______； (2)为x轴上一动点，过点T作x轴的垂线分别交，于点C、D，当时，求t的值． 2．如图，已知在平面直角坐标系中，直线与直线相交于点． (1)求的值及直线的表达式； (2)已知点是直线上的一个动点，过点作轴的垂线，与直线交于点，设点的横坐标为．当时，求的值； 3．如图，平面直角坐标系中，一次函数的图象分别与轴及轴分别交于两点，正比例函数的图象与交于点． (1)点坐标为_____，点坐标为_____。 (2)求正比例函数的表达式； (3)点为轴负半轴上的一个动点，过点作轴的垂线分别交和于点，，当时，求的值． 【题型十三 一次函数与动点线段比例问题】 1.如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象交x轴与y轴分别于点A，B，且，与直线交于． (1)求函数的表达式； (2)求的表达式及A点的坐标； (3)点D为直线上一点，其横坐标为，过点D作轴于点F，交交于点E，且，求点D的坐标． 2.如图，在平面直角坐标系中，点M的坐标为，一次函数经过点M，分别交x轴于点A，交y轴于点B．x轴上有一点P，其横坐标为．过点P作x轴的垂线交射线OM于点C，交一次函数的图象于点D． (1)求点A的坐标； (2)若，求t的值； (3)若，求t的值． 3.如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象交x轴与y轴分别于点A，B，且，与直线交于． (1)函数和的表达式分别为______________________________； (2)点D为直线上一点，其横坐标为．过点D作轴于点F，与直线交于点E，且，求点D的坐标． 【题型十四 一次函数存在线段和最小值求动点坐标】 1．在平面直角坐标系中，已知一次函数（，都是常数，且）的图象经过点和． (1)求和的值； (2)当时，求的取值范围； (3)是在轴上的一动点，当取得最小值时，求点的坐标． 2．如图，已知一次函数图象分别与轴交于点两点，正比例函数图象与交于点，已知点的横坐标是． (1)求该一次函数的表达式； (2)轴上有一动点，连接，求当周长取最小值时点的坐标． 3．如图，在平面直角坐标系中，直线与y轴交于点A，与x负半轴交于点B，，直线与直线交于点C． (1)求直线的表达式； (2)如图1，点P为直线上一动点，连接，，求的最小值及此时点P的坐标； 【题型十五 一次函数求点到直线距离最小值问题】 1.如图，一次函数的图象与轴和轴分别交于点和点，以线段为边在第一象限内作等腰直角，使. （1）直接写出点和点的坐标：（ ， ）（ ， ）； （2）求点到直线的距离； （3）求出点的坐标. 2.已知直线l1：y=kx﹣4的图象与直线l2：y=x+1的图象平行． （1）求直线l1的图象与x轴，y轴所围成图形的面积； （2）求原点到直线l1的距离． 3.已知一次函数y=kx+b的图象经过点A（0，3）、B（-4，0）． （1）求此函数的解析式． （2）若点（a，6）在此函数的图象上，求a的值为多少？ （3）求原点到直线AB的距离． 【题型十六 一次函数存在平行四边形求动点坐标】 1.如图， 直线 分别与轴、轴交于、两点，与直线 交于点． (1)求直线和直线的解析式； (2)点是射线上一动点， 其横坐标为，过点作轴， 交直线于点， 若以、、、为顶点的四边形是平行四边形，求值； 2.如图1，矩形摆放在平面直角坐标系中，点在轴上，点在轴上，，，过点的直线交矩形的边于点，且点不与点重合，过点作，交轴于点，交轴于点． (1)若为等腰直角三角形 直接写出此时点的坐标：　　；直线的解析式为　　． 在轴上另有一点的坐标为，请在直线和轴上分别找一点，使的周长最小，并求出此时点的坐标和周长的最小值； (2)如图，过点作交轴于点，若以为顶点的四边形是平行四边形，求直线的解析式． 3.综合与探究 如图，已知直线与直线相交于点C，直线分别与x轴于点A，B． (1)求的面积． (2)点是x轴上一动点，过点P作x轴的垂线，分别交直线于点M，N．当时，求m的值． (3)过点B作x轴的垂线，交直线于点D，过点D作x轴的平行线，交直线于点E，是否存在一点F，使以F，E，D，C为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请直接写出点F的坐标；若不存在，请说明理由． 4.如图，在平面直角坐标系中，直线与x轴、y轴分别相交于A、B两点，点C在线段上，将线段绕着点C逆时针旋转90°得到线段，此时点D恰好落在直线上． (1)求出线段的长度； (2)求出直线的函数关系式； (3)若点E是x轴上的一个动点，点F是线段上的点(不与点B、C重合)，找一点E，使得以C、D、E、F为顶点的四边形是平行四边形？请直接写出所有E点的坐标． 【题型十七 一次函数存在矩形求动点坐标】 1.如图，一次函数的图象与x轴交于点，与y轴交于点B，且与正比例函数的图象交于点．    (1)求m的值和一次函数的解析式； (2)点P为坐标平面内的点，在x轴上是否存在点M，使得四边形是矩形？若存在，请求出符合条件的点M的坐标；若不存在，请说明理由． 2.已知，A（0，a）是y轴上一点，直线l：与x轴交于点（-16，0），与y轴交于点D． (1)b= ，点D的坐标为 ； (2)如图1，过点A作AB⊥l于点B，作∠BAC=45°，AC交直线l于点C（点C在点B右侧）， ①当a=-3时，求点B，C的坐标； ②如图2，过点A作AE∥BC，交x轴于点E，求当a为何值时，四边形ABDE为矩形． 【题型十八 一次函数存在菱形求动点坐标】 1.在平面直角坐标系中，直线与x轴、y轴分别交于A，B两点，经过点A的直线与y轴交于点．    (1)求直线的函数表达式； (2)如图1，点P为直线上一动点，若的面积为18，求点P的坐标； (3)如图2，将沿着x轴向右平移得到，在坐标平面内是否存在点M，使得以、、B、M为顶点的四边形是菱形？若存在，直接写出点M的坐标；若不存在，请说明理由． 2.如图，在平面直角坐标系中，直线与分别交x轴于点A、B，两直线交于y轴上同一点C，点D的坐标为，点E是的中点，连接交于点F．    (1)求点F的坐标． (2)若，求k的值． (3)在（2）的条件下，过点F作x轴的垂线l，点M是直线上的动点，点N是x轴上的动点，点P是直线l上的动点，使得以B，P，M、N为顶点的四边形是菱形，求点P的坐标. 3.如图，在平面直角坐标系中，直线：分别x轴，y轴交于点B，C，且与直线：交于点A．    (1)分别求出点A，B，C的坐标． (2)若D是线段上的点，且的面积为6，求直线的函数解析式． (3)（2）的条件下，设P是射线上的点，在平面内是否存在点Q，使以O，C，P，Q为顶点的四边形是菱形?若存在，直接写出点Q的坐标；若不存在，请说明理由． 【题型十九 一次函数存在正方形求动点坐标】 1.综合与探究 如图，在平面直角坐标系中，直线与轴、轴分别交于、两点．把沿过点的直线折叠，使点落在轴上的点处，折痕交轴于点．直线与直线相交于点． (1)求的长： (2)求直线的解析式： (3)在轴上存在点，当的值最小时，点的坐标为__________； (4)在轴上方的平面内存在一点，平面内存在一点，使以、、、为顶点的四边形是正方形，请直接写出点的坐标． 2.如图，在平面直角坐标系中，直线，为常数且与轴交于点，与直线相交于点． (1)求直线的函数解析式； (2)点在直线上，使的面积为3，求出点的坐标； (3)若点在线段上，点在直线上，点在轴上，当四边形是正方形时，求点的坐标． 3.如图，在平面直角坐标系中，直线分别与轴、轴交于点，且与直线交于点． (1)求出点的坐标． (2)若是线段上的点，且的面积为12，求直线的函数表达式． (3)在（2）的条件下，设是射线上的点，在轴的上方是否存在点，使以为顶点的四边形是正方形？若存在，试求出点的坐标；若不存在，请说明理由． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！6 1 学科网（北京）股份有限公司 $