精品解析：吉林省长春市农安县第十中学2025-2026学年高二上学期11月期中数学试题

2025-2026学年度第一学期普通高中期中考试 高二数学试卷 一、单选题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知空间向量，若，则（ ） A. 2 B. 1 C. D. 2. 若直线的倾斜角的大小为，则实数（ ） A. B. C. D. 3. 如图，在空间四边形中，，，，点在上，且，为的中点，则等于（    ） A. B. C. D. 4. 已知点，，若直线与线段AB相交，则k取值范围是（ ） A. B. C. D. 5. 过点作圆的切线，切点为，则的最小值为（ ） A. B. 5 C. D. 6. 已知平行六面体的所有棱长均为，，则对角线的长为（ ） A B. C. D. 7. 已知点A是椭圆C：（）的下顶点，F是C的右焦点，延长AF交C于点B，若，则C的离心率为（ ） A. B. C. D. 8. 如图，边长为1的正方形所在平面与正方形所在平面互相垂直，动点，分别在正方形对角线和上移动，且．则下列结论正确的是（ ） A. B. 当时，与相交 C. 异面直线与所成的角为 D. 始终与平面平行 二、多选题：本大题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 如图，在正三棱柱中，为棱的中点，，则下列结论正确的是（ ） A. B. 直线与面所成角为 C. 线段 D. 直线面 10. 下列结论正确的是（ ） A. 若、、三点共线，则的值为 B. “”是“直线与直线互相垂直”充要条件 C. 直线：恒过定点 D. 经过：和：的交点，且和原点相距为的直线只有一条 11. 椭圆的左右焦点分别为，，为椭圆上动点，下列说法正确的是（ ） A. 椭圆离心率为 B. 面积的最大值为 C. 的取值范围为 D. 若，则的最大值为 三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 若分别为与上任一点，则的最小值为___________. 13. 若直线与曲线有一个交点，则实数的取值范围是 _______． 14. 已知，分别是椭圆的左､右焦点，点在椭圆上运动，当的值最小时，的内切圆的半径为__________. 四、解答题：本大题共5小题，共77分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 已知直线. （1）求经过点且与直线垂直的直线方程； （2）求经过直线与交点，且在两坐标轴上的截距互为相反数的直线方程. 16. 已知空间中三点． （1）若，求a的值； （2）若与的夹角为，求a的值. 17. 已知圆，圆． （1）若圆与圆外切，求实数的值； （2）设时，圆与圆相交于、两点，求． 18. 如图所示，在四棱锥中，，，，底面，为的中点. （1）求证：平面； （2）侧面内找一点，使平面； （3）求直线与平面所成角的正弦. 19. 在平面直角坐标系中，椭圆E的两个焦点分别是，，并且经过点. （1）求椭圆E的标准方程； （2）直线：与椭圆E交于不同的两点. （ⅰ）求k的取值范围； （ⅱ）若，求k的值. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年度第一学期普通高中期中考试 高二数学试卷 一、单选题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知空间向量，若，则（ ） A 2 B. 1 C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用空间向量垂直的数量积性质即可解出的值. 【详解】由，有， 则， 即，解得. 故选：C. 2. 若直线的倾斜角的大小为，则实数（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】先由直线倾斜角求出直线斜率，再由直线方程列出关于m的方程即可求解. 【详解】若直线的倾斜角的大小为，则直线的斜率为， 则，所以直线即直线， 所以，解得. 故选：D 3. 如图，在空间四边形中，，，，点在上，且，为的中点，则等于（    ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用向量加法和减法的定义及题设几何条件即可求解. 【详解】由点在上，且，知； 由为的中点，知. 所以. 故选：C. 4. 已知点，，若直线与线段AB相交，则k的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由直线方程易得直线过定点，结合图形进行求解即可. 【详解】直线过定点， 而，， 由图可知，要使直线与线段AB相交， 则或，即k的取值范围是. 故选：B. 5. 过点作圆的切线，切点为，则的最小值为（ ） A. B. 5 C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据圆的标准方程得出圆心坐标与半径，再利用切线的性质得到与的关系，最后根据的最小值求出的最小值. 【详解】已知圆的方程为，可得圆心，半径.  因为PQ为圆的切线，所以， 在中，根据勾股定理可得. 已知，则.  点，根据两点间距离公式，可得. 因为，当且仅当时，，此时取得最小值，.  因，当取最小值时，， 则.  的最小值为. 故选：A. 6. 已知平行六面体的所有棱长均为，，则对角线的长为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据向量的线性运算，可得的表达式，两边平方即可求得. 【详解】由已知：平行六面体所有棱长均为， ，则， 又因为：， 同理可得：， 则 ，则. 故选：. 7. 已知点A是椭圆C：（）的下顶点，F是C的右焦点，延长AF交C于点B，若，则C的离心率为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据，用表示点B的坐标，代入椭圆C的方程结合，利用椭圆的离心率求解即可. 【详解】设椭圆C的焦距为2c，，则，， 所以，， 因为，所以，即，即， 因为点B在椭圆C上，所以， 则，得到C的离心率为． 故选：B． 8. 如图，边长为1的正方形所在平面与正方形所在平面互相垂直，动点，分别在正方形对角线和上移动，且．则下列结论正确的是（ ） A. B. 当时，与相交 C. 异面直线与所成的角为 D. 始终与平面平行 【答案】D 【解析】 【分析】建立空间直角坐标系，求出各点坐标，然后A、C、D选项均可以用空间坐标处理；B选项找到与相交时的值，进而作出判断. 【详解】 ∵边长为1的正方形所在平面与正方形所在平面互相垂直 ∴以点B为坐标原点，所在直线为x轴，所在直线为y轴，所在直线为z轴建立空间直角坐标系，所以，，，， ∵ ∴过点M作MP⊥AB于点P，连接EP，CN，ME， 则， ， 显然，与不一定相等，选项A错误. B选项：当时，即M为AC中点，N为BF中点时，如图所示， 此时与相交，故当时， 与不相交，选项B错误 C选项：， ∴ ∴异面直线与所成的角为，C选项错误 D选项： 平面BCE的法向量为 ∴ ∴ ∴始终与平面平行 ∴选项D正确 故选：D 二、多选题：本大题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 如图，在正三棱柱中，为棱的中点，，则下列结论正确的是（ ） A. B. 直线与面所成角为 C. 线段 D. 直线面 【答案】ABD 【解析】 【分析】对于A，利用线面垂直的判定定理与性质定理即可得证；对于B，利用线面角的定义即可得解；对于C，正中求解即可；对于D，利用线面平行的判定理证得即可. 【详解】对于A，因为在正三棱柱中，面，而面，所以， 因为底面是正三角形，为棱的中点，所以， 又面，所以面， 因为面，所以，故A正确； 对于B，因为在正三棱柱中，面，所以为直线与面所成角， 因为面，所以，又， 所以，则，故B正确； 对于C，在正中，，则， 所以，故C错误； 对于D，记的中点为，连接，如图， 因为是的中点，又易知四边形是平行四边形，所以， 因为，所以，所以四边形是平行四边形，则， 又面，面，所以直线面，故D正确. 故选：ABD. 10. 下列结论正确的是（ ） A. 若、、三点共线，则的值为 B. “”是“直线与直线互相垂直”的充要条件 C. 直线：恒过定点 D. 经过：和：的交点，且和原点相距为的直线只有一条 【答案】AC 【解析】 【分析】对于选项A，根据三点共线的直线斜率关系即可列方程求解；对于选项B，根据直线一般方程垂直的系数关系列方程求解，结合充分必要条件，求解即可；对于选项C，根据含参直线的一般方程，按照参数无数个解列方程组求解，的值，即可确定直线的定点；对于选项D，根据直线与直线相交得交点坐标，再根据点到直线的距离公式列方程求解直线方程即可得结论. 【详解】对于A，由，，三点共线，可知所在的直线与所在的直线斜率相等， 而，，则，解得，故A正确； 对于B，由两直线互相垂直得，，解得或， 可知“”是两直线互相垂直的充分不必要条件，选项B错误； 对于C，由：，则， 令，解得，则直线恒过定点，故C正确； 对于D，联立，解得，可知直线与的交点坐标为， 即所求直线过点，若所求直线斜率不存在，则直线方程为，符合题意， 若所求直线斜率存在，设直线方程为，即， 则原点到该直线的距离，解得，此时方程为， 综上所述：所求直线方程为或，故D错误． 故选：AC． 11. 椭圆的左右焦点分别为，，为椭圆上动点，下列说法正确的是（ ） A. 椭圆离心率为 B. 面积的最大值为 C. 的取值范围为 D. 若，则的最大值为 【答案】BC 【解析】 【分析】根据椭圆方程可得离心率，知A错误；当为椭圆短轴端点，面积最大，知B正确；结合椭圆定义可将化为关于的二次函数，根据的范围可求得C正确；利用椭圆定义可知，由此可求得D错误. 【详解】对于A，由椭圆方程知：长半轴长，短半轴长，半焦距， 椭圆离心率，A错误； 对于B，设，则， 当为椭圆短轴端点时，面积取得最大值，B正确； 对于C，由椭圆定义知：， ； ，， 当时，；当或时，； 的取值范围为，C正确； 对于D，由椭圆定义知：， （当且仅当三点共线时取等号，即位于图中处时取等号）， 又，，即的最大值为，D错误. 故选：BC. 三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 若分别为与上任一点，则的最小值为___________. 【答案】##1.5 【解析】 【分析】先判断两直线互相平行，再利用两平行直线间的距离公式计算即得. 【详解】因，则直线与互相平行， 而分别为与上任一点， 故当线段为两直线的公垂线段时，的值最小， 此时的最小值即这两平行直线之间的距离， 而即，故. 故答案为：. 13. 若直线与曲线有一个交点，则实数的取值范围是 _______． 【答案】 【解析】 【分析】转化为直线与曲线有一个交点，数形结合求解即可. 【详解】由可得，得， 所以曲线表示圆的上半圆， 直线表示过点且斜率为的直线，如下图所示： 当直线与半圆相切且切点位于第二象限时， 则，解得； 当直线过点时，则，解得. 又与圆相切， 由图可知，直线与曲线有一个交点， 则实数的取值范围是 14. 已知，分别是椭圆的左､右焦点，点在椭圆上运动，当的值最小时，的内切圆的半径为__________. 【答案】## 【解析】 【分析】根据给定条件，利用椭圆的定义，结合基本不等式“1”的妙用求出目标式取最小值的条件，再利用面积法求出三角形内切圆半径. 【详解】椭圆的焦点，且， 则， 因此，当且仅当，即时取等号， 而，则等腰的面积， 所以的内切圆半径. 故答案为： 四、解答题：本大题共5小题，共77分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 已知直线. （1）求经过点且与直线垂直的直线方程； （2）求经过直线与的交点，且在两坐标轴上的截距互为相反数的直线方程. 【答案】（1） （2）或 【解析】 【分析】（1）根据直线的斜率可设所求直线方程为，代入点即可求解； （2）联立直线与的方程可得交点坐标，分截距为0和截距不为0两种情况分别求解. 【小问1详解】 由直线可得斜率为， 所以根据垂直关系可设所求直线方程为， 则依题意有，解得， 所以所求直线方程为，整理得； 【小问2详解】 联立，解得，即直线与的交点为， 当直线经过原点时，满足题意，设直线方程为， 代入得，此时； 当直线的截距都不为0时，设直线方程为， 依题意，解得，此时直线方程为， 综上所述：所求直线方程为或. 16. 已知空间中三点． （1）若，求a值； （2）若与的夹角为，求a的值. 【答案】（1）或 （2）或 【解析】 【分析】（1）由向量的线性运算、数量积的坐标运算列方程即可求解； （2）由向量数量积的坐标运算列方程即可求解. 【小问1详解】 因为，所以， 则． 因为，所以， 所以，即，解得或． 【小问2详解】 由（1）可知，则， ． 因为与的夹角为，所以， 即，所以， 解得或． 17. 已知圆，圆． （1）若圆与圆外切，求实数的值； （2）设时，圆与圆相交于、两点，求． 【答案】（1）或 （2） 【解析】 【分析】（1）由两圆外切得，直接可得实数的值； （2）将两圆方程相减得相交弦AB的方程，再由圆的弦长公式即可求公共弦长. 【小问1详解】 因圆，得圆心，半径. 又圆，得圆心，半径. 所以圆心距，， 因圆与圆外切，所以，得，解得或. 故实数的值为或. 【小问2详解】 当时，圆，此时两圆的圆心距，此时两圆相交. 将两圆方程相减得直线AB的方程为. 所以圆心到直线AB的距离，且半径， 由圆的弦长公式得. 故. 18. 如图所示，在四棱锥中，，，，底面，为的中点. （1）求证：平面； （2）侧面内找一点，使平面； （3）求直线与平面所成角正弦. 【答案】（1）证明见解析；（2）答案见解析；（3）. 【解析】 【分析】 （1）取的中点，连接、，证明出四边形为平行四边形，可得出，再利用线面平行的判定定理可证得结论成立； （2）以为原点，以、、所在直线为轴、轴、轴建立空间直角坐标系，设点，由题意得出，求出、的值，求出点的坐标，可确定点的位置； （3）利用空间向量法可求得直线与平面所成角的正弦. 【详解】（1）取的中点，连接、， 为的中点，为的中点，则且， 在平面中，，，，由已知条件可得， 且，所以，四边形为平行四边形，， 平面，平面，平面； （2）底面，， 以为原点，以、、所在直线为轴、轴、轴建立空间直角坐标系， 则、、、、， 在平面内设， ，，， 由，可得，， 由，可得，，所以，， 所以，当是的中点，此时平面； （3），由（2）可知，平面的一个法向量为， ， 故直线与平面所成角的正弦值为. 【点睛】求直线与平面所成的角，可先求出平面的法向量与直线的方向向量的夹角，则. 19. 在平面直角坐标系中，椭圆E的两个焦点分别是，，并且经过点. （1）求椭圆E的标准方程； （2）直线：与椭圆E交于不同的两点. （ⅰ）求k的取值范围； （ⅱ）若，求k的值. 【答案】（1） （2）（ⅰ）；（ⅱ） 【解析】 【分析】（1）由条件确定，再由椭圆的定义求得，即可求解； （2）设，，（ⅰ）联立直线椭圆方程，由判别式大于0即可求解； （ⅱ）由即可求解. 【小问1详解】 因为椭圆E的焦点在轴上， 所以设椭圆E的标准方程为. 由椭圆的定义可得：， ， 所以，. 所以椭圆E的标准方程为. 【小问2详解】 （ⅰ）设，. 联立， 整理得. 依题意得，. 解得，或. 所以，k的取值范围为. （ⅱ）由（ⅰ）知，，. . 因为，所以， 即. 所以. 解得. 所以的值为. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $