专题04 三角形9考点（期末真题汇编，湖南专用）八年级数学上学期新教材湘教版

专题04 三角形 3大高频考点概览 考点01 三角形三边关系 考点02 三角形的高、中线、角平分线 考点03 三角形的角度计算 考点04 命题与证明 考点05 全等三角形的性质与判定 考点06 尺规作图 考点07 等腰三角形的性质与判定 考点08 线段的垂直平分线 考点09“将军饮马”问题 地 城 考点01 三角形三边关系 1．(24-25八上·湖南邵阳第三中学·期末)以下列各组线段为边，能构成三角形的是（　　） A．，， B．，， C．，， D．，， 2．(24-25七下·湖南衡阳祁东县·期末)以下列各组线段为边，能组成三角形的是（   ） A．，, B．,, C．，, D．,, 3．(24-25七下·湖南长沙师大附中集团·期末)下列长度的四根木棒中，能与长度分别为和长的木棒构成三角形的是（   ） A． B． C． D． 4．(24-25七下·湖南衡阳四校·期末)若是三角形的三边长，则化简的结果为（    ） A． B． C． D． 5．(24-25七下·湖南长沙雅礼教育集团联考·期末)如图，在同一平面内将长的细铁丝弯折成一个三角形． （1）量出； （2）在点P右侧取一点Q，使； （3）将向右翻折，向左翻折． 若要使A，B两点能在点M处重合，则长可能为（   ） A． B． C． D． 6．(24-25八上·湖南邵阳第三中学·期末)已知等腰三角形的两边长分别为，，则等腰三角形的周长为 ． 7．(24-25七下·湖南衡阳一中教育集团·期末)数学来源于生活，并应用于生活．如图是常见的剪刀及其平面示意图，小明测量发现厘米，且两点可以重合．设剪刀两端点的距离厘米，则的取值范围是 ． 8．(24-25七下·湖南长沙明德教育集团联考·期末)已知，如图，中，根据“两点之间的所有连线中，线段最短”可得：，，从而可得到结论：三角形中任意两边之和大于第三边． (1)一个三角形的三边长都是整数，最长边为10，另两边边长相差3，求该三角形最短边的最小值； (2)在中，，已知这个三角形的周长不大于30，求的长度范围． 地 城 考点02 三角形的高、中线、角平分线 1．(24-25七下·湖南衡阳一中教育集团·期末)如图，中，，，，下列选项不正确的是（    ）． A．是的角平分线 B．是的高 C．是的中线 D． 2．(24-25七下·湖南永州道县·期末)在中，，，，，则点到的距离是（   ） A． B． C． D． 3．(24-25七下·湖南衡阳祁东县·期末)如图，在中，，分别为的中线和高，为的角平分线． (1)若，，求的大小． (2)若的面积为30，，求的长． 4．(24-25七下·湖南长沙明德教育集团联考·期末)如图，中，，是的角平分线． (1)若，求的度数； (2)若D是的中点，的面积为27，，求的长． 5．(24-25七下·湖南长沙雨花区稻田中学·期末)如图，在中，是角平分线，是高，它们相交于点O． (1)若，求的度数； (2)若，，用含α的式子表示． 6．(24-25七下·湖南长沙雨花区雅境中学·期末)如图，在中，是角平分线，点D在边上（不与点A，B重合），与交于点O． (1)若是中线，则，则与的周长差为 ___________，与的面积差为 ___________ ； (2)若，是的高，求的度数． 7．(24-25七下·湖南长沙湖南师大附中教育集团联考·期末)如图，在中，点D是上的一点，点E是上的一点，相交于一点F． (1)如图1，若，求的度数； (2)如图1，若为的中线．求的值； (3)如图2，若是的角平分线． P、Q分别是线段上的点，射线分别与直线交于点M，与的平分线所在的直线相交于点H (不与点P重合)，设． 当时，请自行补全图形， 求出之间的数量关系． 地 城 考点03 三角形的角度计算 1．(24-25七下·湖南长沙湖南师大附中教育集团联考·期末)如图，， 点 D 是边延长线上的点， 则的度数为（   ） A． B． C． D． 2．(24-25七下·湖南长沙雨花区明德洞井中学·期末)将一副三角板按照如图方式摆放，点，，共线，，则的度数为(    ) A． B． C． D． 3．(24-25七下·湖南长沙西雅中学·期末)如图，在中，分别平分，，，，下列结论：①；②；③；④，其中正确的有（   ） A．①②③ B．①③④ C．①④ D．①③ 4．(24-25七下·湖南长沙雨花区华益中学·期末)在中，，，则 ． 5．(24-25七下·湖南衡阳一中教育集团·期末)如图，已知翻折得到，若，，则 °． 6．(24-25七下·湖南郴州宜章县第八中学·期末)如图，在中，，，为边上一点，将沿直线翻折后，点落到点处．若，则的度数为 ． 7．(24-25七上·湖南衡阳耒阳正源学校·期末)如图，将一角折叠，若，则 ． 8．(24-25七下·湖南长沙湖南师大附中教育集团联考·期末)如图，点C为线段上一点，分别以、为边在线段同侧作 和 且，，，若的平分线与的平分线交于点 P，则的度数为 ． 9．(24-25七上·湖南湘西土家族苗族吉首雅思实验学校·期末)阅读并填空，将三角尺（，）放置在上（点在内），如图所示，三角尺的两边、恰好经过点和点．我们来探究：与是否存在某种数量关系． （1）特例探索：若，则 度； 度； （2）类比探索：、、的关系是 ； （3）变式探索：如图所示，改变三角尺的位置，使点在外，三角尺的两边、仍恰好经过点和点，则、、的关系是 ． 10．(24-25七上·湖南衡阳耒阳正源学校·期末)已知：如图，在中，点D是边上的一点，，求． 11．(24-25七下·湖南衡阳一中教育集团·期末)如图，是边上的一点，，． (1)求的度数：请在解答过程的空白处填上适当的内容．（理由或数学式） 解：（1）∵是的外角，（已知）， ∴______（______）． 又∵（已知）， ∴______°．（等量代换） (2)若平分，求的度数．（请写出完整的解答过程） 12．(24-25七下·湖南衡阳一中教育集团·期末)【结论发现】（1）如图1，在中，，点E是的内角平分线与外角平分线的交点，求的度数； （2）如图2，在中，，延长至点E，延长至点D，已知的角平分线与的角平分线交于点P，的角平分线与的角平分线反向延长线交于点F，求的度数； 【拓展延伸】（3）如图3，是四边形的内角的角平分线，是四边形的外角的角平分线，形成如图所示形状，已知，，求的度数． 13．(24-25七下·湖南衡阳八中教育集团·期末)翻折是一种常见的图形变换，请利用轴对称和角平分线的知识解答下列问题： (1)如图1，在中，点D在的延长线上，的角平分线与的角平分线相交于点P． ①若，，求的度数； ②如图2，将以直线为对称轴翻折得到，的角平分线与的角平分线交于点M，请写出与的数量关系，并说明理由； (2)如图，，点D为上一定点，点E为上一动点，F、G为上两动点，当最小时，直接写出的值（用含有的代数式表示）． 地 城 考点04 命题与证明 1．(24-25七下·湖南长沙西雅中学·期末)下列命题是假命题的是（   ） A．过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行 B．两条直线被第三条直线所截，同位角相等 C．三角形的三条中线交于一点 D．三角形的外角和为 2．(24-25八上·湖南怀化·期末)下列命题中是真命题的是（   ） A．有一个角相等的两个等腰三角形全等 B．有一个角是的等腰三角形是等边三角形 C．等腰三角形一定是锐角三角形 D．等腰三角形一条边上的高线也是这条边上的中线 3．(23-24八上·湖南郴州桂阳县·期末)下列命题中假命题的是（      ） A．同位角相等 B．同旁内角互补，两直线平行 C．等角的余角相等 D．过直线外一点能且只能作一条直线和已知直线平行 4．(23-24八上·湖南衡阳常宁·期末)下列命题中，真命题是（    ） A．两直线平行，同旁内角相等 B．两点之间，线段最短 C．相等的角是对顶角 D．三角形的外角和是180度 5．(23-24八上·湖南邵阳邵阳县·期末)在下列命题中，是真命题的是（    ） A．相等的角是对顶角 B．若，则 C．两个锐角的和是钝角 D．有两个角相等的三角形是等腰三角形 6．(24-25八上·湖南衡阳城区初中联考·期末)用反证法证明命题：“一个三角形中不能有两个直角”的过程可以归纳为以下三个步骤： ①，这与三角形内角和为相矛盾，所以不成立； ②所以一个三角形中不能有两个直角； ③假设三角形的三个内角，，中有两个直角，不妨设．正确的顺序应为（   ） A．①②③ B．①③② C．②③① D．③①② 地 城 考点05 全等三角形的性质与判定 1．(23-24八上·湖南怀化通道县·期末)如图，已知，要证，我们将用到全等三角形的判定理或基本事实是（   ） A． B． C． D． 2．(24-25七下·湖南长沙开福区长沙立信中学·期末)甲、乙两位同学进行一种数学游戏．游戏规则是：两人轮流给及对应的边或角添加等量条件（点，，分别是点A，B，C的对应点），某轮添加条件后，若能判定与全等，则当轮添加条件者失败，另一人获胜． 轮次 行动者 添加条件 1 甲 2 乙 3 甲 … 上表记录了两人游戏的部分过程，则下列说法正确的是（   ） ①若第3轮甲添加，则乙获胜； ②若甲想获胜，第3轮可以添加条件； ③若乙想获胜，可修改第2轮添加条件为． A．①② B．①③ C．②③ D．①②③ 3．(23-24八上·湖南邵阳大祥区·期末)如图，，只需添加一个条件即可证明．这个条件可以是 ．（写出一个即可） 4．(24-25八上·湖南娄底双峰县·期末)如图，在与中，已知，在不添加任何辅助线的前提下，依据“”证明，需再添加一个条件是 ． 5．(23-24八上·湖南衡阳常宁·期末)如图，已知，若以“”为依据证明，还要添加的条件是 ． 6．(24-25八上·湖南永州冷水滩区·期末)小强为了测量一幢高楼高，在旗杆与楼之间选定一点P．测得旗杆顶C视线与地面夹角，测楼顶A视线与地面夹角，量得P到楼底距离与旗杆高度相等，等于10米，量得旗杆与楼之间距离为米，小强计算出了楼高，楼高是 米． 7．(24-25八上·湖南常德临澧县·期末)如图，已知，点E，F在线段上，且．请从“①，②，③”中，选择一个合适的选项作为已知条件，使得． 你添加的条件是： （只填写一个序号）．添加条件后，请证明． 8．(24-25八上·湖南娄底娄星区·期末)如图，，，，在同一直线上，，，下列三个条件中：①②；③；请选择其中一个合适的条件证明与全等． 9．(23-24八上·湖南株洲·期末)已知：如图，点在同一直线上，． (1)求证：； (2)求证： 10．(23-24八上·湖南长沙宁乡·期末)如图，点在外部，点在边上，交于点，若，，求证： (1)； (2)． 11．(24-25七下·湖南长沙西雅中学·期末)如图，在四边形中，，M为的中点，连接并延长交的延长线于点E，点F在边上，且． (1)求证：； (2)连接，若，求的度数． 12．(23-24八上·湖南长沙湖南师大附中凌云中学·期末)如图，在四边形中，平分，点E在线段上，，． (1)求证：； (2)当时，求的度数． 13．(24-25八下·湖南湘潭湘乡·期末)在一个支架的横杆点处用一根绳悬挂一个小球，小球可以摆动，如图，表示小球静止时的位置，当小球从摆到位置时，过点作于点，当小球摆到位置时，与恰好垂直，过点作于点，测得，，求的长． 14．(23-24八上·湖南邵阳大祥区·期末)如图，在等边中，点、分别是、上的点，，与交于点． (1)填空：_____度； (2)如图，以为边作等边，与相等吗？并说明理由； (3)在（）的条件下，如图，若点是的中点，连接，请写出与的数量关系：__________．（不需要说明理由） 15．(24-25八上·湖南株洲天元中学·期末)如图，在中，于，，是上的一点，且，连接，． (1)求证：； (2)如图，若将绕点旋转一定的角度后，试判断与的位置关系和数量关系，并说明理由； (3)如图，若将（）中的等腰直角三角形都换成等边三角形，其他条件不变． 试猜想与的数量关系，并说明理由； 你能求出与的夹角度数吗？如果能，请直接写出夹角度数；如果不能，请说明理由． 16．(24-25八上·湖南株洲渌口区、芦淞区·期末)综合与实践： 【问题情境】课外数学社团开展活动时，辅导老师提出了如下问题：如图，中，若，点为边上的中点，试求中线的取值范围． 【探究方法】小明同学在组内和同学们合作交流后，得到了如下的解决方法：延长到E，使，连接，如图1.请根据小明同学的方法思考： （1）由已知条件和作辅助线，能得到，理由是 ． A．             B．             C．             D． （2）由“三角形的三边关系定理”，可以得到中线的取值范围为 ． 【方法提炼】在解决三角形相关问题时，题目中出现“中点”、“中线”等条件，可考虑延长中线构造全等三角形，把分散的已知条件和所求证的结论集合到同一个三角形中． 【解决问题】 （3）如图2，在四边形中，M是边的中点，已知平分，且，垂足为，若，试求的长度． 地 城 考点06 尺规作图 1．(22-23八上·湖南邵阳新邵县·期末)请仔细观察用直尺和圆规作一个角等于已知角的示意图如图所示，请你根据所学的三角形全等有关的知识，说明画出的依据是（    ） A． B． C． D． 2．(22-23九上·湖南株洲建宁实验中学·期末)在中，，用直尺和圆规在AC上确定点D，使，如下四个尺规作图，正确的是（    ）． A．（作一个角的平分线） B．（作线段的垂直平分线） C．（作高） D．（作等腰三角形） 3．(24-25八·人教版·期中)如图，已知 ，用直尺和圆规按照以下步骤作图：   ①以点为圆心，任意长为半径画弧，分别交 、 于点 、 ； ②画射线 ，以点为圆心， 长为半径画弧，交于点 ； ③以点为圆心， 长为半径画弧，与第②步中所画的弧相交于点 ； ④过点画射线 ； 根据以上操作，可以判定，其判定的依据是（　　） A． B． C． D． 4．(22-23七下·湖南长沙湖南师大附中梅溪湖中学·期末)人教版初中数学教科书八年级上册第页告诉我们一种作已知角的平分线的方法： 已知：． 求作：的平分线． 作法：以点为圆心，适当长为半径画弧，交于点，交于点． 分别以点，为圆心，大于的长为半径画弧，两弧在的内部相交于点． 画射线，射线即为所求如图． 请你根据提供的材料完成下面问题． （1）这种作已知角的平分线的方法的依据是______（填序号）． （2）请你完成下面证明过程（将正确答案填在相应的空上）： 证明：由作图可知， 在和中， ______ ． ______ ． 为的角平分线．    5．(24-25七下·湖南长沙西雅中学·期末)如图，在中，点D在边的延长线上，过点D作射线，点E是射线上一个定点． (1)尺规作图：在射线上方求作，使得，与的延长线交于点F．（不用写作图步骤，保留作图痕迹） (2)在（1）问条件下，若，求证：．请把以下的解题过程补充完整． 证明：∵（已知）， ∴（①______） ∵（已知）， ∴②______（等式的性质），即， 在和中，， ∴（④______）， 6．(24-25七下·湖南长沙雅礼教育集团联考·期末)人教版初中数学教科书八年级上册第40页告诉我们一种过直线外一点作平行线的方法： 已知：直线及直线外一点C． 求作：过点C作直线的平行线． 作法：①过点C作一条直线，与直线相交于点E； ②以点E为圆心，任意长为半径画弧，分别交，于点M，N； ③以点C为圆心，长为半径画弧，交于点； ④以点为圆心，长为半径画弧，与上一步作的弧相交于点； ⑤连接，并两端延长为直线，则直线即为所求作的平行线． 请你根据以上材料完成下面的证明过程（将正确答案填在相应的空上）： 证明：由作图可知，在和中， ， （____________）， ， （____________）． 地 城 考点07 等腰三角形的性质与判定 1．(24-25八上·湖南邵阳邵东·期末)等腰三角形的两边分别为和，则它的周长是（    ） A． B．或 C． D． 2．(24-25七下·四川雅安中学·期中)若，则以a、b为边长的等腰三角形的周长为（    ） A． B． C． D．或 3．(24-25八上·湖南娄底娄星区·期末)如图1所示是我们生活中常见的晾衣架，其形状可以近似的看成等腰三角形（如图2），若，，则的度数为（   ） A． B． C． D． 4．(24-25八上·湖南永州道县·期末)如图，的周长是，，，垂足为点，则的长为（    ） A．5cm B．4cm C．3cm D．2cm 5．(24-25八上·湖南怀化·期末)如图，在中，，点D为边上一点，且，若，则的度数是（   ） A． B． C． D． 6．(24-25八上·湖南永州蓝山县·期末)如图，是等边三角形，BD是中线，延长BC至，使，则下列结论错误的是（   ） A． B． C． D． 7．(24-25八上·湖南邵阳第三中学·期末)已知等腰三角形的两边长分别为，，则等腰三角形的周长为 ． 8．(24-25八上·湖南湘西·期末)如图，是等边三角形；，平分交于点，则线段的长为 ． 9．等腰三角形的一个底角为，则它的顶角的度数是 ． 10．(24-25八上·湖南邵阳邵东·期末)中，，，点为边上任意一点（不与点、重合），当为等腰三角形时，的度数是 ．    11．(24-25八上·湖南衡阳八中教育集团初中校·期末)如图，是等边三角形的高线，，则 ． 12．(24-25八上·湖南邵阳新邵县·期末)如图，在中，，，，将绕点A按顺时针旋转一定角度得到，当点B的对应点D恰好落在边上时，则的长为 ．    13．(24-25八上·湖南怀化·期末)如图，在中，，，点D在线段上运动（D不与A，B重合），连接，作，交于点E．若是等腰三角形，则的度数是 ． 14．(24-25八上·湖南邵阳隆回县·期末)定义：一个三角形的一边长是另一边长的2倍，这样的三角形叫做“倍长三角形”．若等腰是“倍长三角形”，它一边长为4，则等腰的腰为 ． 15．(24-25八上·湖南株洲天元中学·期末)如图，在中，,，在上取一点，延长到点，使得；连接，再在上取一点，延长到点，使得；连接，按此作法进行下去，的度数为 ． 16．(24-25八上·湖南邵阳武冈·期末)如图，在等边中，D是边上一点，连接，将绕点B逆时针旋转，得到，连接，若，则以下四个结论中：①是等边三角形；②；③的周长是9； ④．其中正确的序号是 17．(24-25八下·湖南株洲攸县·期末)在中，是的中点，交于点． (1)求的度数； (2)求证： 18．(24-25八上·湖南邵阳邵东·期末)如图，在等边中，与的平分线相交于点，且交于点，交于点． (1)试判定的形状，并说明你的理由； (2)若，求的周长． 19．(24-25八上·湖南衡阳常宁·期末)如图，在中，平分，过线段上一点作，交于点，交的延长线于点． (1)求证：是等腰三角形； (2)若，，求的度数． 20．(24-25八上·湖南长沙长沙县·期末)如图，在Rt中，，，点是边上一点且不与点重合，点是边上一点且不与点重合，的延长线交的延长线于点． (1)求证：； (2)若，求的度数． 地 城 考点8 线段的垂直平分线 1．(24-25八上·湖南株洲炎陵县·期末)如图，在中，，，直线垂直平分，垂足为，交于点，则的周长是（   ） A．12 B．15 C．10 D．7 2．(24-25八上·湖南岳阳华容县·期末)如图，在中，，是的垂直平分线，的周长为，，则的周长为（    ） A．14 B．20 C．22 D．18 3．(24-25八上·湖南株洲荷塘区·期末)如图，直线是的边的垂直平分线，已知，的周长为，则的长为（　　） A． B． C． D． 4．(24-25八上·湖南衡阳衡阳四校·期末)如图，在中，按以下步骤：①分别以点，为圆心，大于长为半径作弧，两弧交于点，；②作直线交于点，连接，若，，则的周长是（   ） A．20 B．16 C．12 D．10 5．(24-25八上·湖南长沙长沙县·期末)美术课上，周老师和同学们一起玩折纸游戏，学生李星将三角形纸片折叠，如图所示，使得点正好落在边上的点处，折痕为，则下列结论正确的是（    ） A． B． C． D． 6．(24-25八上·湖南娄底·期末)如图，在中，，为内一点，过点的直线分别交，于点，，若在的垂直平分线上，在的垂直平分线上，则的度数为（   ） A． B． C． D． 7．(24-25八上·湖南株洲二中初中部·期末)如图，中，，垂直平分，垂直平分，则的度数为 ． 8．(24-25八上·湖南邵阳武冈·期末)如图，在中，， 的垂直平分线分别交、于点D、E，则 9．(24-25八上·湖南长沙宁乡·期末)如图， 等腰三角形的底边长为， 面积是， 腰的垂直平分线 分别交，边于，点． 若点为边的中点，点 为线段上一动点，则 周长的最小值为 ． 10．(24-25八上·湖南衡阳祁东县·期末)如图，在中，，，垂直平分于，交于，连接．则的周长为 ． 11．(24-25八上·湖南衡阳常宁·期末)如图，已知的周长为14，根据图中尺规作图的痕迹，若，则的周长为 ． 12．(24-25八上·湖南长沙长沙县·期末)如图，在中，，于点，点是上一点，连接，，若，则线段的长度为 ． 13．(23-24七下·湖南长沙华益中学·期末)如图，在中，，的垂直平分线分别交，于点E，F，的垂直平分线分别交，于点M，N，直线，MN交于点P． (1)求证：点P在线段的垂直平分线上； (2)已知，求的度数． 14．(24-25八上·湖南怀化·期末)已知：如图，在中，，分别以点A、C为圆心，大于长为半径画弧，两弧相交于点P和点Q，过P、Q两点作直线分别交于点D、E． (1)根据作图过程判断：直线是线段的_______； (2)当时，求的度数； (3)若，，求的周长． 15．(24-25八上·湖南邵阳隆回县·期末)如图，在中，，． (1)通过观察尺规作图的痕迹，可以发现射线是的_________；直线是线段的__________． (2)在（1）所作的图中，求的度数． 地 城 考点9 “将军饮马”问题 1．(2025·湖南省张家界市·二模)(2025·湖南省张家界市)材料：在古罗马时代，传说在亚历山大城有一位精通数学和物理的学者，名叫海伦．一天，一位罗马将军专程去拜访他，向他请教一个百思不得其解的问题．将军每天从营地甲出发，先到河边饮马，再去河岸同侧的营地乙开会，应该怎样走才能使路程最短？从此、这个被称为“将军饮马”的问题广泛流传． (1)在解决日常生活中遇到的问题时，我们常常把问题数学化，将问题抽象归纳为一个数学模型，将军饮马问题也不例外．在这个问题中，我们把营地甲、营地乙分别抽象为点、点，把河岸抽象为直线，把距离抽象为线段的长度，这样，一个生活问题就转化为一个数学问题．现有如下四种设计方案，则所走路程最短的是___________． A．        B．  C．       D． (2)如图所示，牧童在处放牛，其家在处，米，米，米，牧童从处把牛牵到河边饮水再回家，求牧童需要走的最短路程为多少米． (3)已知，求的最小值．（可结合图形） 2．(25-26八上·湖南湘西土家族苗族花垣县华鑫学校·开学考)(25-26八上·湖南湘西土家族苗族花垣县华鑫学校)（综合与实践）【提出问题】唐代诗人李颀的诗《古从军行》开头两句“白日登山望烽火，黄昏饮马傍交河．”诗中隐含着一个有趣的数学问题——“将军饮马”问题．如图1，将军从山脚下的点A出发，到达河岸上点C饮马后再回到点B宿营，他时常想，怎么走，才能使他每天走的路程之和最短呢？ (1)【数学理解】如图2，小亮作出了点B关于直线l的对称点，连接与直线l（即河岸）交于点C，点C就是饮马的地方，此时所走的路程就是最短的． 他的思考过程如下，请你横线上填写理由、依据或内容． 如图3，在直线上任意找与点不重合的一点，连接，，． 在△中，　 　 点与点关于直线对称，直线垂直平分 　　 ，　　 ， ． (2)【解决问题】如图4，将军牵马从军营处出发，到河流饮马，再到草地吃草，最后回到点处，试分别在和上各找一点、，使得将军走过的路程最短．（保留画图痕迹，辅助线用虚线，最短路径用实线） 3．(23-24八上·湖南株洲天元区长沙一中株洲实验学校·月考)(23-24八上·湖南株洲天元区长沙一中株洲实验学校)早在古罗马时代，传说亚历山大城有一位精通数学和物理的学者，名叫海伦．一天，一位罗马将军专程去拜访他，向他请教一个百思不得其解的问题：将军每天从军营A出发，先到河边饮马，然后再去河岸同侧的军营B开会，应该怎样走才能使路程最短？这个问题的答案并不难，据说海伦略加思索就解决了它．从此以后，这个被称为“将军饮马”的问题便流传至今．大数学家海伦是用轴对称的方法巧妙地解决了这个问题． 如下图，作B关于直线l的对称点，连接AB与直线l交于点C，点C就是所求的位置． 证明：如下图，在直线l上另取任一点，连接，，， ∵直线l是点B，的对称轴，点C，在l上， ∴，， ∴______=______． 在中，∵， ∴即最小． 本问题实际上是利用轴对称变换的思想，把A，B在直线同侧的问题转化为在直线的两侧，从而可利用“两点之间线段最短”，即“三角形两边之和大于第三边”的问题加以解决（其中C在与l的交点上，即A、C、三点共线）．本问题可归纳为“求定直线上一动点与直线外两定点的距离和的最小值”的问题的数学模型． 【简单应用】 （1）如下图，在等边中，，，E是AC的中点，M是上的一点，求的最小值； （2）如下图，在四边形中，，，在上分别找一点M、N当周长最小时，求的值． 【拓展应用】 如下图，是一个港湾，港湾两岸有A、B两个码头，，千米，千米，现有一艘货船从码头A出发，根据计划，货船应先停靠岸C处装货，再停靠岸D处装货，最后到达码头B．怎样安排两岸的装货地点，使货船行驶的水路最短？请画出最短路线并求出最短路程．（注：在直角三角形中有直角边的平方和等于斜边的平方，如图即在直角中，有 ） 试卷第1页，共3页 / 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题04 三角形 3大高频考点概览 考点01 三角形三边关系 考点02 三角形的高、中线、角平分线 考点03 三角形的角度计算 考点04 命题与证明 考点05 全等三角形的性质与判定 考点06 尺规作图 考点07 等腰三角形的性质与判定 考点08 线段的垂直平分线 考点09“将军饮马”问题 地 城 考点01 三角形三边关系 1．(24-25八上·湖南邵阳第三中学·期末)以下列各组线段为边，能构成三角形的是（　　） A．，， B．，， C．，， D．，， 【答案】C 【分析】本题考查了构成三角形的条件，熟练掌握三角形任意两边之和大于第三边是解题的关键．根据三角形任意两边之和大于第三边，逐项分析判断即可得出答案． 【详解】解：A、因为，所以，，不能构成三角形，不符合题意； B、因为，所以，，不能构成三角形，不符合题意； C、因为，，，所以，，能构成三角形，符合题意； D、因为，所以，，不能构成三角形，不符合题意； 故选：C． 2．(24-25七下·湖南衡阳祁东县·期末)以下列各组线段为边，能组成三角形的是（   ） A．，, B．,, C．，, D．,, 【答案】C 【分析】本题考查三角形三边关系定理，熟练掌握三角形三边关系定理是解题的关键，根据三角形三边关系定理，任意两边之和大于第三边进行判断． 【详解】解：A.，不满足两边之和大于第三边，不能组成三角形； B.，不满足两边之和大于第三边，不能组成三角形； C.，且任意两边之和均大于第三边，能组成等边三角形； D.，不满足两边之和大于第三边，不能组成三角形． 故选：C． 3．(24-25七下·湖南长沙师大附中集团·期末)下列长度的四根木棒中，能与长度分别为和长的木棒构成三角形的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查构成三角形的条件，根据三角形的三边关系进行求解即可． 【详解】解：设能与长度分别为和长的木棒构成三角形的木棒的长为， 则：， ∴； 故能与长度分别为和长的木棒构成三角形的是的木棒； 故选D． 4．(24-25七下·湖南衡阳四校·期末)若是三角形的三边长，则化简的结果为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了三角形的三边关系，绝对值的化简，根据三角形的三边关系得出之间的大小关系，再根据绝对值的性质化简即可，熟练掌握以上知识点是关键． 【详解】解：由三角形的三边关系得，，，， ∴，，， ∴原式， 故选：． 5．(24-25七下·湖南长沙雅礼教育集团联考·期末)如图，在同一平面内将长的细铁丝弯折成一个三角形． （1）量出； （2）在点P右侧取一点Q，使； （3）将向右翻折，向左翻折． 若要使A，B两点能在点M处重合，则长可能为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查三角形的三边关系，根据三角形的三边关系列出不等式即可得到答案． 【详解】解：设， ∵， ∴， 将向右翻折，向左翻折， ∴， ∵符合三角形三边关系， ∴， 即， 解得， 解得， 故选：A． 6．(24-25八上·湖南邵阳第三中学·期末)已知等腰三角形的两边长分别为，，则等腰三角形的周长为 ． 【答案】25 【分析】本题考查了等腰三角形的定义、三角形三边关系的应用，熟练掌握三角形任意两边之和大于第三边是解题的关键．根据等腰三角形的定义，分两种情况讨论，再结合三角形三边关系即可求解． 【详解】解：若等腰三角形的边长分别为，，， 因为， 所以，，不能构成三角形，不合题意，舍去； 若等腰三角形的边长分别为，，， 因为， 所以，，能构成三角形， 此时等腰三角形的周长为； 综上所述，等腰三角形的周长为． 故答案为：25． 7．(24-25七下·湖南衡阳一中教育集团·期末)数学来源于生活，并应用于生活．如图是常见的剪刀及其平面示意图，小明测量发现厘米，且两点可以重合．设剪刀两端点的距离厘米，则的取值范围是 ． 【答案】 【分析】本题考查三角形三边关系的实际应用．由题意知，结合构成三角形的三边关系即可得到，代值求解即可得到答案，熟记三角形三边关系是解决问题的关键． 【详解】解：∵， ∴， 两点可以重合， 可以为， 故答案为：． 8．(24-25七下·湖南长沙明德教育集团联考·期末)已知，如图，中，根据“两点之间的所有连线中，线段最短”可得：，，从而可得到结论：三角形中任意两边之和大于第三边． (1)一个三角形的三边长都是整数，最长边为10，另两边边长相差3，求该三角形最短边的最小值； (2)在中，，已知这个三角形的周长不大于30，求的长度范围． 【答案】(1)该三角形最短边的最小值4； (2) 【分析】本题主要考查了三角形的三边关系、解不等式、解不等式组等知识点，掌握三角形的三边关系成为解题的关键． （1）设最短的边的长度为x，较长边的长度为，然后根据题意列不等式求得，然后根据三边长都是整数即可解答； （2）设，然后根据题意列不等式组求解即可． 【详解】（1）解：设最短的边的长度为x，较长边的长度为， 由题意可得：，解得：， ∵一个三角形的三边长都是整数， ∴该三角形最短边的最小值4； （2）解：设， 由题意可得：， 解得：． 地 城 考点02 三角形的高、中线、角平分线 1．(24-25七下·湖南衡阳一中教育集团·期末)如图，中，，，，下列选项不正确的是（    ）． A．是的角平分线 B．是的高 C．是的中线 D． 【答案】A 【分析】此题考查了三角形的角平分线、中线和高， 根据三角形的角平分线、中线和高的定义判断即可． 【详解】解：∵， ∴是的中线，，C、D选项正确． ∵， ∴是的角平分线；没有条件能证明是的角平分线；A选项错误． ∵， ∴是的高． 故选：A． 2．(24-25七下·湖南永州道县·期末)在中，，，，，则点到的距离是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】在直角三角形中，点到斜边的距离可以通过面积法求解；利用两种不同的面积表达式建立方程，解出高即可. 【详解】解：∵ 为直角三角形，直角边，， ∴ ∵设点 到的距离为， ∴ ∴，解得： 故选：C. 3．(24-25七下·湖南衡阳祁东县·期末)如图，在中，，分别为的中线和高，为的角平分线． (1)若，，求的大小． (2)若的面积为30，，求的长． 【答案】(1) (2)6 【分析】本题考查三角形的外角性质，三角形的中线，角平分线和高，关键由三角形的外角性质得到． （1）由三角形的外角性质得到，由角平分线定义得到； （2）由三角形的中线等于得到，由三角形的面积公式得到的面积，求出． 【详解】（1）∵，，， ∴， ∵平分， ∴； （2）∵为中线，， ∴， ∵， ∴的面积， ∴． 4．(24-25七下·湖南长沙明德教育集团联考·期末)如图，中，，是的角平分线． (1)若，求的度数； (2)若D是的中点，的面积为27，，求的长． 【答案】(1) (2)9 【分析】本题考查三角形的内角和定理、角平分线的定义、线段的中点定义、三角形的面积，理解角平分线和中点定义是解答的关键． （1）先根据三角形的内角和定理求得，再根据角平分线的定义求解即可； （2）根据线段中点定义求得，再根据三角形的面积公式求解即可． 【详解】（1）解：∵中，，， ∴， ∵是的角平分线， ∴； （2）解：∵D是的中点，， ∴， ∵，的面积为27， ∴， 解得． 5．(24-25七下·湖南长沙雨花区稻田中学·期末)如图，在中，是角平分线，是高，它们相交于点O． (1)若，求的度数； (2)若，，用含α的式子表示． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了三角形内角和定理、三角形的高和角平分线，掌握三角形的内角和为是解题的关键． （1）利用是高，可得，求出，再根据角平分线的定义求出，即可求出的度数； （2）求解，，可得即可． 【详解】（1）解： 是高， ， 又， ， 是角平分线， ， 的度数为． （2）解：∵，是角平分线 ∴， 是高， ， ∵， ∴， ∴． 6．(24-25七下·湖南长沙雨花区雅境中学·期末)如图，在中，是角平分线，点D在边上（不与点A，B重合），与交于点O． (1)若是中线，则，则与的周长差为 ___________，与的面积差为 ___________ ； (2)若，是的高，求的度数． 【答案】(1)1，0 (2) 【分析】本题考查三角形的三线，熟练掌握三角形的三线的定义和性质，是解题的关键： （1）根据中线的定义，以及三角形的中线平分面积，进行求解即可； （2）根据角平分线平分角，高线的定义，以及三角形的内角和定理进行求解即可． 【详解】（1）解：∵是中线， ∴，， ∴与的周长差为； 与的面积差为0； （2）∵是角平分线，， ∴， ∵是的高， ∴， ∴， ∴． 7．(24-25七下·湖南长沙湖南师大附中教育集团联考·期末)如图，在中，点D是上的一点，点E是上的一点，相交于一点F． (1)如图1，若，求的度数； (2)如图1，若为的中线．求的值； (3)如图2，若是的角平分线． P、Q分别是线段上的点，射线分别与直线交于点M，与的平分线所在的直线相交于点H (不与点P重合)，设． 当时，请自行补全图形， 求出之间的数量关系． 【答案】(1) (2) (3)或 【分析】本题主要考查了三角形内角和定理，三角形外角的性质，角平分线的定义，三角形中线的性质，利用分类讨论的思想求解是解题的关键． （1）由三角形外角的性质可得的度数，进而可得的度数； （2）连接，根据，可得 ，设，，则，由三角形中线的性质得到，则，即可得到，解方程即可得到答案； （3）设，由三角形内角和定理和角平分线的定义可得，再分点P在点E下方和点P在点E上方，两种情况画出示意图，讨论求解即可． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∵， ∴； （2）解：如图所示，连接， ∵， ∴ ， 设，， ∴， ∵为的中线， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴； （3）解：设， ∴， ∵是的角平分线， ∴， ∴， ∴； 如图所示，当点P在点E下方时， ∵， ∴，， ∵的平分线所在的直线与射线交于H， ∴， ∴ ， ∴， 即； 如图所示，当点P在点E上方时， 同理可得， ∴， ∴， ∴， 即； 综上所述，或． 地 城 考点03 三角形的角度计算 1．(24-25七下·湖南长沙湖南师大附中教育集团联考·期末)如图，， 点 D 是边延长线上的点， 则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了三角形外角的定义和性质，根据是的一个外角可知，即可求出的度数． 【详解】解：根据题意可知：是的一个外角， ∴， ∵， ∴， 解得：， 故选：A 2．(24-25七下·湖南长沙雨花区明德洞井中学·期末)将一副三角板按照如图方式摆放，点，，共线，，则的度数为(    ) A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了三角形外角的性质，熟知三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和是解题的关键．根据三角形外角的性质得出，即可求出的度数，再根据平角的定义即可求出的度数． 【详解】解：是的一个外角， ， ，， ， ， 故选：B． 3．(24-25七下·湖南长沙西雅中学·期末)如图，在中，分别平分，，，，下列结论：①；②；③；④，其中正确的有（   ） A．①②③ B．①③④ C．①④ D．①③ 【答案】B 【分析】本题考查与角平分线有关的三角形的内角和问题，三角形的外角，平行线的性质，角平分线的定义结合平角的定义，求出，判断①，三角形的外角的性质，结合角平分线的定义推出，判断②，平行线的性质结合三角形的外角的性质，判断③，平行线的性质，等量代换判断④． 【详解】解：∵分别平分，，， ∴， ∴， ∴；故①正确； ∵，，， ∴， ∴；故②错误； ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴；故③正确； ∵，，， ∴；故④正确； 故选B． 4．(24-25七下·湖南长沙雨花区华益中学·期末)在中，，，则 ． 【答案】75 【分析】本题考查了三角形内角和定理，熟练掌握三角形三个内角的和是是解题的关键． 根据三角形内角和定理计算即可． 【详解】解：在中，，， ， 故答案为：． 5．(24-25七下·湖南衡阳一中教育集团·期末)如图，已知翻折得到，若，，则 °． 【答案】97 【分析】此题主要考查的是折叠的性质及三角形的内角和的性质等有关知识，题目难度适中，通过考查，了解学生对折叠的性质及三角形的内角和等知识的掌握程度．熟练掌握折叠的性质及三角形的内角和并灵活运用是解决本题的关键． 根据翻折得，再根据三角形的内角和等于列式计算，由此即可解答． 【详解】解：由翻折得，， ∴， ∵在中，，， ∴． 故答案为：97． 6．(24-25七下·湖南郴州宜章县第八中学·期末)如图，在中，，，为边上一点，将沿直线翻折后，点落到点处．若，则的度数为 ． 【答案】/度 【分析】本题考查了折叠的性质，平行线的性质，三角形外角的性质．由折叠的性质可得，由可得，由三角形外角性质可得，即可求解． 【详解】解：折叠的性质可得， ∵， ∴， ∵为的外角， ∴， 故答案为：． 7．(24-25七上·湖南衡阳耒阳正源学校·期末)如图，将一角折叠，若，则 ． 【答案】/144度 【分析】本题考查了折叠的性质，平角以及三角形内角和定理，掌握折叠的性质是解题关键．由翻折的性质可知，，，，求出的大小，再利用三角形内角和定理即可求解． 【详解】解：由翻折的性质可知，，，， ，， ， ， ， ， ， ， 故答案为：． 8．(24-25七下·湖南长沙湖南师大附中教育集团联考·期末)如图，点C为线段上一点，分别以、为边在线段同侧作 和 且，，，若的平分线与的平分线交于点 P，则的度数为 ． 【答案】/148度 【分析】设，，根据角的平分线，三角形内角和定理解答即可． 本题考查了角的平分线，三角形内角和定理，熟练掌握定理是解题的关键． 【详解】解：设，， ∵的平分线与的平分线交于点 P， ∴，， ∵，， ∴，， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． 故答案为：148度 9．(24-25七上·湖南湘西土家族苗族吉首雅思实验学校·期末)阅读并填空，将三角尺（，）放置在上（点在内），如图所示，三角尺的两边、恰好经过点和点．我们来探究：与是否存在某种数量关系． （1）特例探索：若，则 度； 度； （2）类比探索：、、的关系是 ； （3）变式探索：如图所示，改变三角尺的位置，使点在外，三角尺的两边、仍恰好经过点和点，则、、的关系是 ． 【答案】 90 【分析】本题主要考查了三角形内角和定理以及三角形外角性质的应用，熟练掌握三角形内角和定理和外角性质是解题的关键． （1）先在中利用三角形内角和定理求出，再在中求出，最后通过两者相减得到． （2）通过三角形内角和定理，将和用和表示，进而推导出与的关系． （3）利用三角形外角性质，将和用、和表示，再结合推导出与的关系． 【详解】解：（1）在中，， ． 在中，， ． ． 故答案为：；． （2）在中， 三角形内角和为， ． 在中，， 三角形内角和为， ． ． 故答案为：． （3），， ，， ． 故答案为：． 10．(24-25七上·湖南衡阳耒阳正源学校·期末)已知：如图，在中，点D是边上的一点，，求． 【答案】 【分析】本题考查三角形内角和定理，三角形外角的性质，根据三角形外角的性质结合已知求出，再利用三角形内角和定理即可求解． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∵， ∴． 11．(24-25七下·湖南衡阳一中教育集团·期末)如图，是边上的一点，，． (1)求的度数：请在解答过程的空白处填上适当的内容．（理由或数学式） 解：（1）∵是的外角，（已知）， ∴______（______）． 又∵（已知）， ∴______°．（等量代换） (2)若平分，求的度数．（请写出完整的解答过程） 【答案】(1)答案见解析 (2) 【分析】本题考查三角形的外角性质、角平分线的定义、三角形内角和定理等知识．熟记三角形的外角性质、角平分线的定义、三角形内角和定理等知识，并灵活运用是解决问题的关键． （1）由是的外角，利用“三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和”，可求出的度数； （2）利用角平分线的定义和“三角形的内角和等于”，可求出的度数． 【详解】（1）解：∵是的外角，（已知）， ∴（三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和）． 又∵（已知）， ∴．（等量代换）； （2）解：∵平分，（已知）， ∴（角平分线的定义）． ∵在中，，（已证）， ∴（三角形的内角和定理）． 12．(24-25七下·湖南衡阳一中教育集团·期末)【结论发现】（1）如图1，在中，，点E是的内角平分线与外角平分线的交点，求的度数； （2）如图2，在中，，延长至点E，延长至点D，已知的角平分线与的角平分线交于点P，的角平分线与的角平分线反向延长线交于点F，求的度数； 【拓展延伸】（3）如图3，是四边形的内角的角平分线，是四边形的外角的角平分线，形成如图所示形状，已知，，求的度数． 【答案】（1）；（2）；（3） 【分析】（1）设，由角平分线定义得，由三角形外角定理得，则，据此得，因此当时可得的度数； （2）先求出，进而得，再由（1）可知，据此可得的度数； （3）延长交于，延长交于，先求出，再根据得，则，由此可得的度数． 【详解】解：（1）设， ∵平分平分， ， ， ， 整理得：， ∴当时，； （2）∵和是邻补角， ， ∵平分平分， ， ， 即， ， 由（1）可知， ； （3）延长交于，延长交于，如下图所示： ， ， ， 即， 同理：， ， ， 由（1）可知：， ． 【点睛】此题主要考查了角平分线定义，邻补角定义，三角形的内角和定理，三角形的外角定理，准确识图，理解角平分线定义，邻补角定义，熟练掌握三角形的内角和定理，三角形的外角定理是解决问题的关键． 13．(24-25七下·湖南衡阳八中教育集团·期末)翻折是一种常见的图形变换，请利用轴对称和角平分线的知识解答下列问题： (1)如图1，在中，点D在的延长线上，的角平分线与的角平分线相交于点P． ①若，，求的度数； ②如图2，将以直线为对称轴翻折得到，的角平分线与的角平分线交于点M，请写出与的数量关系，并说明理由； (2)如图，，点D为上一定点，点E为上一动点，F、G为上两动点，当最小时，直接写出的值（用含有的代数式表示）． 【答案】(1)①；②，理由见解析； (2)． 【分析】本题考查了轴对称的性质，三角形的外角性质，三角形的内角和定理等知识． （1）①利用角平分线的定义结合三角形的外角性质求解即可；②由外角定理和角平分线的定义，得，求得，同理求得，结合轴对称性质，得； （2）作点G关于的对称点，连接，作点关于的对称点，连接，当，E，F，四点在同一直线上，且时，的值最小，据此利用轴对称的性质以及三角形内角和定理求解即可． 【详解】（1）解：①∵是的角平分线，， ∴， ∵是的角平分线，， ∴， ∴； ②猜想． 证明如下： 是的外角， ， 同理可证：， 分别平分， ， ， ∵平分，平分， ∴， ∴ ． 又由轴对称性质知：， ∴； （2）解：如图，作点G关于的对称点，连接，作点关于的对称点，连接， ∵点是定点， ∴点也是定点， ∴当，E，F，四点在同一直线上，且时，的值最小， 由轴对称性质可得：， ∴，， ∴， 由轴对称性质可得：， ∴， ∴． 地 城 考点04 命题与证明 1．(24-25七下·湖南长沙西雅中学·期末)下列命题是假命题的是（   ） A．过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行 B．两条直线被第三条直线所截，同位角相等 C．三角形的三条中线交于一点 D．三角形的外角和为 【答案】B 【分析】根据平行定理、同位角的性质、三角形中线和外角和进行判断即可． 【详解】解：A：在平面内，过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行，是真命题，故不符合题意； B：两条直线被第三条直线所截，同位角相等，是假命题，故符合题意； C：三角形的三条中线交于一点，是真命题，故不符合题意； D：三角形的外角和为，是真命题，故不符合题意； 故选：B． 【点睛】本题考查判断真假命题、平行定理、同位角的性质、三角形中线和外角和，熟练掌握相关性质定理是解题的关键． 2．(24-25八上·湖南怀化·期末)下列命题中是真命题的是（   ） A．有一个角相等的两个等腰三角形全等 B．有一个角是的等腰三角形是等边三角形 C．等腰三角形一定是锐角三角形 D．等腰三角形一条边上的高线也是这条边上的中线 【答案】B 【分析】此题考查等腰三角形的性质，等边三角形的判定与性质．根据等腰三角形的性质，等边三角形的判定与性质解答即可． 【详解】解：A、有一个角相等的两个等腰三角形不一定全等，原说法错误，不是真命题，本选项不符合题意； B、有一个角是的等腰三角形是等边三角形，原说法正确，是真命题，本选项符合题意； C、等腰三角形不一定是锐角三角形，原说法错误，不是真命题，本选项不符合题意； D、等腰三角形底边上的高线也是这条边上的中线，原说法错误，不是真命题，本选项不符合题意； 故选：B． 3．(23-24八上·湖南郴州桂阳县·期末)下列命题中假命题的是（      ） A．同位角相等 B．同旁内角互补，两直线平行 C．等角的余角相等 D．过直线外一点能且只能作一条直线和已知直线平行 【答案】A 【分析】本题考查了命题的知识，解题的关键是理解余角的性质、平行线的判定与性质等知识，难度不大．根据余角的性质、平行线的判定与性质等知识分别判断后即可确定正确的选项． 【详解】解：A．两直线平行，同位角相等，原命题错误，是假命题，符合题意； B．同旁内角互补，两直线平行，正确，是真命题，不符合题意； C．等角的余角相等，正确，是真命题，不符合题意； D．过直线外一点能且只能作一条直线和已知直线平行，正确，是真命题，不符合题意． 故选：A． 4．(23-24八上·湖南衡阳常宁·期末)下列命题中，真命题是（    ） A．两直线平行，同旁内角相等 B．两点之间，线段最短 C．相等的角是对顶角 D．三角形的外角和是180度 【答案】B 【分析】本题考查真假命题的判断，分别分析各题设是否能推出结论，即可得出答案． 【详解】解：两直线平行，同旁内角互补，可知A选项为假命题，不合题意； 两点之间，线段最短， 可知B选项为真命题，符合题意； 相等的角不一定是对顶角，可知C选项为假命题，不合题意； 三角形的外角和是360度，不是180度，可知D选项为假命题，不合题意； 故选：B． 5．(23-24八上·湖南邵阳邵阳县·期末)在下列命题中，是真命题的是（    ） A．相等的角是对顶角 B．若，则 C．两个锐角的和是钝角 D．有两个角相等的三角形是等腰三角形 【答案】D 【分析】本题主要考查了命题的真假熟知对顶角、等式的性质、锐角和钝角、等腰三角形的定义是，解题的关键． 根据对顶角、等式的性质、锐角和钝角、等腰三角形的定义依次判断即可． 【详解】解：A、相等的角不一定是对顶角，原命题错误，不符合题意； B、若且，则，若,则原命题错误，不符合题意； C、两个锐角的和可能是锐角、直角或钝角，原命题错误，不符合题意； D、有两个角相等的三角形是等腰三角形，正确，是真命题，符合题意． 故选D． 6．(24-25八上·湖南衡阳城区初中联考·期末)用反证法证明命题：“一个三角形中不能有两个直角”的过程可以归纳为以下三个步骤： ①，这与三角形内角和为相矛盾，所以不成立； ②所以一个三角形中不能有两个直角； ③假设三角形的三个内角，，中有两个直角，不妨设．正确的顺序应为（   ） A．①②③ B．①③② C．②③① D．③①② 【答案】D 【分析】本题考查反证法、记住反证法的把步骤先假设结论成立，然后推出矛盾，最后推出假设不成立，结论成立． 根据反证法的步骤即可判断． 【详解】解：反证法的步骤是先假设结论成立，然后推出矛盾，最后推出假设不成立，结论成立． 所以，正确的步骤是③①②． 故选：D． 地 城 考点05 全等三角形的性质与判定 1．(23-24八上·湖南怀化通道县·期末)如图，已知，要证，我们将用到全等三角形的判定理或基本事实是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，作辅助线构造出全等三角形是解题的关键．连接，利用“边边边”证明和全等，根据全等三角形对应角相等证明即可． 【详解】证明：如图，连接， 在和中， ， ∴， ∴． 故选D． 2．(24-25七下·湖南长沙开福区长沙立信中学·期末)甲、乙两位同学进行一种数学游戏．游戏规则是：两人轮流给及对应的边或角添加等量条件（点，，分别是点A，B，C的对应点），某轮添加条件后，若能判定与全等，则当轮添加条件者失败，另一人获胜． 轮次 行动者 添加条件 1 甲 2 乙 3 甲 … 上表记录了两人游戏的部分过程，则下列说法正确的是（   ） ①若第3轮甲添加，则乙获胜； ②若甲想获胜，第3轮可以添加条件； ③若乙想获胜，可修改第2轮添加条件为． A．①② B．①③ C．②③ D．①②③ 【答案】D 【分析】本题考查全等三角形的判定定理，掌握全等三角形的判定定理是解题关键．根据全等三角形的判定定理逐一分析判断即可． 【详解】解：①如果甲添加， 又 ，， ， 乙获胜，故结论①正确； ②如果甲添加， 又 ，，则组成不能判定全等， 第四轮乙无论添加什么条件均可判定全等，则甲获胜，故结论②正确； ③如果第二轮条件修改为，则第3轮甲无论添加任何对应的边或角的等量条件，都能判定，则甲失败，乙获胜，故结论③正确． 故答案选：D． 3．(23-24八上·湖南邵阳大祥区·期末)如图，，只需添加一个条件即可证明．这个条件可以是 ．（写出一个即可） 【答案】或（写出一个即可） 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定，根据全等三角形的判定方法进行求解即可，灵活运用全等三角形的判定方法是解题的关键． 【详解】解：添加， 在和中， ， ∴， 添加， 在和中， ， ∴， 故答案为：或（写出一个即可）． 4．(24-25八上·湖南娄底双峰县·期末)如图，在与中，已知，在不添加任何辅助线的前提下，依据“”证明，需再添加一个条件是 ． 【答案】（答案不唯一） 【分析】此题考查了三角形全等的判定方法，由于，加上为公共边，所以当添加时，依据“”可判断， 【详解】解：∵，， ∴当添加时，． 也可添加，则可证明，得到， 故答案为：（答案不唯一）． 5．(23-24八上·湖南衡阳常宁·期末)如图，已知，若以“”为依据证明，还要添加的条件是 ． 【答案】 【分析】本题考查了全等三角形的判定，根据全等三角形的判定定理可直接得出答案． 【详解】解：添加的条件， 在与中， ， ． 故答案为：． 6．(24-25八上·湖南永州冷水滩区·期末)小强为了测量一幢高楼高，在旗杆与楼之间选定一点P．测得旗杆顶C视线与地面夹角，测楼顶A视线与地面夹角，量得P到楼底距离与旗杆高度相等，等于10米，量得旗杆与楼之间距离为米，小强计算出了楼高，楼高是 米． 【答案】26 【分析】本题考查全等三角形的应用；由题意可得，从而得出对应边，最后得出结果. 【详解】解：∵，，， ∴， 在和中， ∴， ∴， ∵米，米， ∴（米）， 故答案为：26． 7．(24-25八上·湖南常德临澧县·期末)如图，已知，点E，F在线段上，且．请从“①，②，③”中，选择一个合适的选项作为已知条件，使得． 你添加的条件是： （只填写一个序号）．添加条件后，请证明． 【答案】①或②，证明见解析 【分析】本题考查了全等三角形的判定，熟练掌握全等三角形的判定并灵活运用是解题的关键．利用全等三角形的判定定理进行分析，选取合适的条件进行证明即可． 【详解】证明：当选择添加的条件是①， 在和中， ， ； 当选择添加的条件是②， 在和中， ， ； 当选择添加的条件是③，添加的条件与已知条件结合不满足全等三角形的判定定理，故不能选择③． 8．(24-25八上·湖南娄底娄星区·期末)如图，，，，在同一直线上，，，下列三个条件中：①②；③；请选择其中一个合适的条件证明与全等． 【答案】选②或③；证明见解析 【分析】本题主要考查了三角形全等的判定，平行线的性质，解题的关键是熟练掌握三角形全等的判定方法．根据或证明三角形全等即可． 【详解】解：选②， ∵， ， ， ， 即， 在和中，， ； 选③， ∵， ， ， ， 即， ， ， 在和中，， ． 9．(23-24八上·湖南株洲·期末)已知：如图，点在同一直线上，． (1)求证：； (2)求证： 【答案】(1)证明见解析； (2)证明见解析． 【分析】（）利用即可证明； （）由可得，进而可得，得到，再根据平行线的判定即可求证； 本题考查了全等三角形的判定和性质，平行线的判定，掌握全等三角形的判定和性质是解题的关键． 【详解】（1）证明：∵， ∴； （2）证明：∵， ∴， 即， 在和中， ， ∴， ∴， ∴． 10．(23-24八上·湖南长沙宁乡·期末)如图，点在外部，点在边上，交于点，若，，求证： (1)； (2)． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题主要考查了三角形内角和定理的推论、全等三角形的判定与性质，熟练掌握全等三角形的判定方法是解题的关键． （1）通过角的等量代换，结合三角形内角和定理的推论，推导得出． （2）先证明角相等，再结合已知边相等，利用全等三角形判定定理证明三角形全等，进而得出． 【详解】（1）证明：，，， （2）证明： ，即 又， （） ． 11．(24-25七下·湖南长沙西雅中学·期末)如图，在四边形中，，M为的中点，连接并延长交的延长线于点E，点F在边上，且． (1)求证：； (2)连接，若，求的度数． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）根据平行线的性质，结合中点的意义，选择适当判定定理证明即可； （2）根据全等三角形的性质，等腰三角形的判定和性质，直角三角形的锐角互余性质解答即可． 本题考查了平行线的性质，三角形全等的判定和性质，等腰三角形的判定和性质，直角三角形的性质，熟练掌握判定和性质是解题的关键． 【详解】（1）证明：∵， ∴，， ∵M为的中点， ∴， 在和中， ， ∴． （2）解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴． 12．(23-24八上·湖南长沙湖南师大附中凌云中学·期末)如图，在四边形中，平分，点E在线段上，，． (1)求证：； (2)当时，求的度数． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查全等三角形的判定和性质，三角形的内角和定理，解题的关键是掌握全等三角形的判定方法． （1）由平分．得出，结合已知条件即可证明； （2）根据全等三角形的性质得出，，根据三角形的内角和定理即可求解． 【详解】（1）证明：∵平分， ∴， ∵，， ∴； （2）解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 13．(24-25八下·湖南湘潭湘乡·期末)在一个支架的横杆点处用一根绳悬挂一个小球，小球可以摆动，如图，表示小球静止时的位置，当小球从摆到位置时，过点作于点，当小球摆到位置时，与恰好垂直，过点作于点，测得，，求的长． 【答案】 【分析】本题考查了全等三角形的判定及性质、三角形的内角和定理、余角性质，根据直角三角形的特征及可得，进而可得，再根据即可求解，熟练掌握全等三角形的判定及性质是解题的关键． 【详解】解： 和是由摆动得到， ， ， ， ，， ， ，， ， 在和中， ， ， ， ， ． 14．(23-24八上·湖南邵阳大祥区·期末)如图，在等边中，点、分别是、上的点，，与交于点． (1)填空：_____度； (2)如图，以为边作等边，与相等吗？并说明理由； (3)在（）的条件下，如图，若点是的中点，连接，请写出与的数量关系：__________．（不需要说明理由） 【答案】(1)； (2)相等，理由见解析； (3)． 【分析】本题考查了等边三角形的性质，全等三角形的判定和性质，三角形外角性质，平行线的判定和性质，掌握知识点的应用，正确作出辅助线是解题的关键． （）由是等边三角形，得，，证明，然后通过全等三角形性质可得结论； （）由，都是等边三角形，则，，，证明，然后通过全等三角形性质可得结论； （）延长到，使得，连接，，证明，则有，，，再证明，推出，可得结论． 【详解】（1）解：如图中， ∵是等边三角形， ∴，， 在和中， ， ∴， ∴， ∴， ∴， 故答案为：； （2）解：相等，理由，如图中， ∵，都是等边三角形， ∴，，， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴； （3）解：，理由， 如图中，延长到，使得，连接，， ∵点是的中点， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴． 15．(24-25八上·湖南株洲天元中学·期末)如图，在中，于，，是上的一点，且，连接，． (1)求证：； (2)如图，若将绕点旋转一定的角度后，试判断与的位置关系和数量关系，并说明理由； (3)如图，若将（）中的等腰直角三角形都换成等边三角形，其他条件不变． 试猜想与的数量关系，并说明理由； 你能求出与的夹角度数吗？如果能，请直接写出夹角度数；如果不能，请说明理由． 【答案】(1)证明见解析； (2)，，理由见解析； (3) ，理由见解析；能，与的夹角度数为，理由见解析． 【分析】本题考查了等边三角形的性质，全等三角形的判定和性质，三角形内角和定理，掌握相关性质，证明三角形全等是解题的关键． （）由，则，证明，然后通过全等三角形性质即可求证； （）设与交于点，与交于点，同（）理证明，则有，，然后通过三角形内角和定理即可求解； （）同（）理证明，然后通过全等三角形性质即可求证； 设与交于点，由得，则，然后通过三角形内角和定理即可求解． 【详解】（1）证明：∵， ∴， 在和中， ∴， ∴； （2）解：，，理由， 如图，设与交于点，与交于点， ∵， ∴ ， ∴ ， 在和中， ， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； （3）解： ，理由， ∵和是等边三角形， ∴，，， ∴， ∴， 在和中， ∴， ∴； 能，与的夹角度数为，理由， 如图，设与交于点， 由得， ∴， ∴ ， ∴与的夹角度数为． 16．(24-25八上·湖南株洲渌口区、芦淞区·期末)综合与实践： 【问题情境】课外数学社团开展活动时，辅导老师提出了如下问题：如图，中，若，点为边上的中点，试求中线的取值范围． 【探究方法】小明同学在组内和同学们合作交流后，得到了如下的解决方法：延长到E，使，连接，如图1.请根据小明同学的方法思考： （1）由已知条件和作辅助线，能得到，理由是 ． A．             B．             C．             D． （2）由“三角形的三边关系定理”，可以得到中线的取值范围为 ． 【方法提炼】在解决三角形相关问题时，题目中出现“中点”、“中线”等条件，可考虑延长中线构造全等三角形，把分散的已知条件和所求证的结论集合到同一个三角形中． 【解决问题】 （3）如图2，在四边形中，M是边的中点，已知平分，且，垂足为，若，试求的长度． 【答案】（1）A；（2）；（3） 【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，三角形三边关系； （1）由全等三角形的判定定理解答即可； （2）根据三角形的三边关系计算； （3）延长，交于点，证明，得出，，由证得，得出，进而根据即可得出答案． 【详解】解：（1）∵是边上的中线， ∴， 在和中， ， ∴， 故选：A； （2）∵，即， ∴， ∵， ∴， 故答案为：； （3）延长，交于点， ∵平分， ∴， ∵， ∴ 在和中， ， ∴. ∴，. 在和中， ， ∴. ∴， ∴， ∵， ∴． 地 城 考点06 尺规作图 1．(22-23八上·湖南邵阳新邵县·期末)请仔细观察用直尺和圆规作一个角等于已知角的示意图如图所示，请你根据所学的三角形全等有关的知识，说明画出的依据是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由作法易得，依据定理得到，由全等三角形的对应角相等得到． 【详解】解：由作法易得， 在与中， ， ∴（）， ∴（全等三角形的对应角相等）． 故选：C． 【点睛】本题考查了作图-基本作图，全等三角形的判定与性质，熟练掌握三角形全等的判定定理是正确解答本题的关键． 2．(22-23九上·湖南株洲建宁实验中学·期末)在中，，用直尺和圆规在AC上确定点D，使，如下四个尺规作图，正确的是（    ）． A．（作一个角的平分线） B．（作线段的垂直平分线） C．（作高） D．（作等腰三角形） 【答案】C 【分析】当是的垂线时，根据相似三角形的判定定理，即可得出，据此对选项进行分析，即可得出答案． 【详解】解：当是的垂线时，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 根据作图痕迹可知： A、是的角平分线，不与垂直，故不符合题意； B、是的中线，不与垂直，故不符合题意； C、是的垂线，故符合题意； D、，不与垂直，故不符合题意． 故选：C 【点睛】本题考查了尺规作图、相似三角形的判定，熟练掌握相似三角形的判定是解本题的关键． 3．(24-25八·人教版·期中)如图，已知 ，用直尺和圆规按照以下步骤作图：   ①以点为圆心，任意长为半径画弧，分别交 、 于点 、 ； ②画射线 ，以点为圆心， 长为半径画弧，交于点 ； ③以点为圆心， 长为半径画弧，与第②步中所画的弧相交于点 ； ④过点画射线 ； 根据以上操作，可以判定，其判定的依据是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据基本作图，结合三角形全等的判定解答即可． 本题考查了已知角的等角的基本作图，三角形全等的判定，熟练掌握基本作图，三角形全等的判定是解题的关键． 【详解】解：根据基本作图，由作图得，， 判定的依据是， 故选A． 4．(22-23七下·湖南长沙湖南师大附中梅溪湖中学·期末)人教版初中数学教科书八年级上册第页告诉我们一种作已知角的平分线的方法： 已知：． 求作：的平分线． 作法：以点为圆心，适当长为半径画弧，交于点，交于点． 分别以点，为圆心，大于的长为半径画弧，两弧在的内部相交于点． 画射线，射线即为所求如图． 请你根据提供的材料完成下面问题． （1）这种作已知角的平分线的方法的依据是______（填序号）． （2）请你完成下面证明过程（将正确答案填在相应的空上）： 证明：由作图可知， 在和中， ______ ． ______ ． 为的角平分线．    【答案】（1）；（2）， 【分析】（1）根据证明，即可； （2）由作图可知，，利用证明，即可． 【详解】解：（1）这种作已知角的平分线的方法的依据是． 故答案为： （2）由作图可知：，， 在和中， ， ， ． 为的角平分线， 【点睛】本题主要考查了尺规作图——作已知角的平分线，全等三角形的判定和性质，熟练掌握作已知角的平分线的作法，全等三角形的判定和性质是解题的关键． 5．(24-25七下·湖南长沙西雅中学·期末)如图，在中，点D在边的延长线上，过点D作射线，点E是射线上一个定点． (1)尺规作图：在射线上方求作，使得，与的延长线交于点F．（不用写作图步骤，保留作图痕迹） (2)在（1）问条件下，若，求证：．请把以下的解题过程补充完整． 证明：∵（已知）， ∴（①______） ∵（已知）， ∴②______（等式的性质），即， 在和中，， ∴（④______）， 【答案】(1)见解析 (2)①两直线平行，同位角相等；②；③；④ 【分析】本题考查了尺规作图．熟练掌握作平行线，作角，平行线性质和判定，是解题的关键． （1）根据基本作图——作一个角等于已知角，作图即可： （2）根据平行线的性质，全等三角形的判定和性质填空． 【详解】（1）解：按要求作出，如图， （2）证明：∵（已知）， ∴（两直线平行，同位角相等） ∵（已知）， ∴（等式的性质），即， 在和中，， ∴（）， 故答案为：两直线平行，同位角相等；；； 6．(24-25七下·湖南长沙雅礼教育集团联考·期末)人教版初中数学教科书八年级上册第40页告诉我们一种过直线外一点作平行线的方法： 已知：直线及直线外一点C． 求作：过点C作直线的平行线． 作法：①过点C作一条直线，与直线相交于点E； ②以点E为圆心，任意长为半径画弧，分别交，于点M，N； ③以点C为圆心，长为半径画弧，交于点； ④以点为圆心，长为半径画弧，与上一步作的弧相交于点； ⑤连接，并两端延长为直线，则直线即为所求作的平行线． 请你根据以上材料完成下面的证明过程（将正确答案填在相应的空上）： 证明：由作图可知，在和中， ， （____________）， ， （____________）． 【答案】；；；；同位角相等，两直线平行 【分析】本题考查作图—应用与设计作图、全等三角形的判定与性质，平行线的判定，根据全等三角形的判定与性质、平行线的判定填空即可． 【详解】证明：由作图可知，在和中， ， ∴， ∴， （同位角相等，两直线平行）． 故答案为：；；；；同位角相等，两直线平行． 地 城 考点07 等腰三角形的性质与判定 1．(24-25八上·湖南邵阳邵东·期末)等腰三角形的两边分别为和，则它的周长是（    ） A． B．或 C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了等腰三角形的周长．解题关键是会分成两种情况讨论三角形的三条边，并且能够利用三角形的三边关系即三角形任意两边之和大于第三边进行判断．分类讨论等腰三角形的三边，再将三边相加即可． 【详解】解：已知等腰三角形的两边长分别为和，有两种情况： 第一种是以为腰，三边分别为，显然，故不能构成三角形， 第二种是以为腰，三边分别为，显然，符合三角形的三边关系， 故这个等腰三角形的周长为， 故选：D． 2．(24-25七下·四川雅安中学·期中)若，则以a、b为边长的等腰三角形的周长为（    ） A． B． C． D．或 【答案】C 【分析】本题考查了偶次方的非负性，绝对值的非负性，等腰三角形的性质，解题关键是熟悉上述知识并能熟练运用求解． 先根据偶次方的非负性，绝对值的非负性，求出，的值，再根据等腰三角形的腰的不同，分两种情况求解． 【详解】解：∵， ∴，，解得：，， 当腰长为时，，不能构成三角形； 当腰长为时，，能构成三角形，此时等腰三角形的周长为． 故选：C ． 3．(24-25八上·湖南娄底娄星区·期末)如图1所示是我们生活中常见的晾衣架，其形状可以近似的看成等腰三角形（如图2），若，，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了等腰三角形的性质，三角形的内角和，解题的关键是掌握等腰三角形的性质．根据等腰三角形的两个底角相等，结合三角形的内角和即可求解． 【详解】解：∵是等腰三角形，且底角， 故选：C． 4．(24-25八上·湖南永州道县·期末)如图，的周长是，，，垂足为点，则的长为（    ） A．5cm B．4cm C．3cm D．2cm 【答案】B 【分析】本题主要考查了等腰三角形的性质．根据“三线合一”可得，由题意求出的长，即可求解． 【详解】解：，， 点是的中点，， 的周长是，， ， ， 故选． 5．(24-25八上·湖南怀化·期末)如图，在中，，点D为边上一点，且，若，则的度数是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】此题考查了等腰三角形的性质，三角形内角和定理，解题的关键是熟练掌握等腰三角形的性质，三角形内角和定理．根据，得到，然后根据，可求出的度数，即可求出的度数． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴． 故选：A． 6．(24-25八上·湖南永州蓝山县·期末)如图，是等边三角形，BD是中线，延长BC至，使，则下列结论错误的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由是等边三角形，得，由，得，则，所以，可判断A正确； 由是等边三角形的中线，得，而，则，可判断B正确； 由，得，可判断C正确； 由，根据垂线段最短得，所以，可判断D错误，于是得到问题的答案． 【详解】解：A、是等边三角形， ， ， ， ， ， ， 故A正确，不符合题意； B、是等边三角形的中线， ，， ， 故B正确，不符合题意； C、， ， 故正确，不符合题意； D、， ， ， 故D错误，符合题意 故选：D． 【点睛】此题重点考查等边三角形的性质、等腰三角形的判定与性质、三角形内角和定理、三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和、垂线段最短等知识，正确地求出的度数和的度数是解题的关键． 7．(24-25八上·湖南邵阳第三中学·期末)已知等腰三角形的两边长分别为，，则等腰三角形的周长为 ． 【答案】25 【分析】本题考查了等腰三角形的定义、三角形三边关系的应用，熟练掌握三角形任意两边之和大于第三边是解题的关键．根据等腰三角形的定义，分两种情况讨论，再结合三角形三边关系即可求解． 【详解】解：若等腰三角形的边长分别为，，， 因为， 所以，，不能构成三角形，不合题意，舍去； 若等腰三角形的边长分别为，，， 因为， 所以，，能构成三角形， 此时等腰三角形的周长为； 综上所述，等腰三角形的周长为． 故答案为：25． 8．(24-25八上·湖南湘西·期末)如图，是等边三角形；，平分交于点，则线段的长为 ． 【答案】3 【分析】本题考查等边三角形性质，以及“三线合一”，灵活运用性质即可解题．由等边三角形的性质得，然后根据三线合一可求出线段的长． 【详解】解：是等边三角形，且， ， 平分交于点， ， 故答案为：3． 9．等腰三角形的一个底角为，则它的顶角的度数是 ． 【答案】/100度 【分析】本题主要考查了等腰三角形的性质，三角形内角和定理等知识点，掌握等腰三角形两底角相等是解题的关键．根据三角形内角和定理结合等腰三角形两底角相等，求出它的顶角度数即可． 【详解】解：∵等腰三角形的一个底角的度数为， ∴它的顶角度数为：． 故答案为：． 10．(24-25八上·湖南邵阳邵东·期末)中，，，点为边上任意一点（不与点、重合），当为等腰三角形时，的度数是 ．    【答案】或 【分析】本题考查等腰三角形的性质，以及三角形内角和定理，解题的关键在于熟练掌握相关知识．根据为等腰三角形分情况当时，当时，结合等腰三角形的性质，以及三角形内角和定理求解，即可解题． 【详解】解： ，， ， 为等腰三角形， 当时，， ， ； 当时，， ， ； 故答案为：或． 11．(24-25八上·湖南衡阳八中教育集团初中校·期末)如图，是等边三角形的高线，，则 ． 【答案】/15度 【分析】本题考查了等腰三角形的性质，三角形内角和定理，三角形的外角性质，先根据等边三角形的性质得，又是等边三角形的高线，则，再通过等边对等角得，最后由三角形的外角性质即可求解，熟练掌握知识点是解题的关键． 【详解】解：∵是等边三角形， ∴， ∵是等边三角形的高线， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， 故答案为：． 12．(24-25八上·湖南邵阳新邵县·期末)如图，在中，，，，将绕点A按顺时针旋转一定角度得到，当点B的对应点D恰好落在边上时，则的长为 ．    【答案】7 【分析】本题考查旋转的性质，等边三角形的判定和性质，根据旋转的性质，得到，进而推出为等边三角形，得到，再根据线段的和差关系，进行求解即可． 【详解】解：∵旋转， ∴， ∵， ∴为等边三角形， ∴， ∵点B的对应点D恰好落在边上， ∴； 故答案为：7． 13．(24-25八上·湖南怀化·期末)如图，在中，，，点D在线段上运动（D不与A，B重合），连接，作，交于点E．若是等腰三角形，则的度数是 ． 【答案】或 【分析】本题主要考查了等腰三角形的性质和三角形的内角和定理．分类讨论：当时；当时；当时；然后利用等腰三角形的性质和三角形的内角和定理进行计算． 【详解】解：∵，， ∴， 分三种情况： ①当时， ∵， ∴， ∴； ②当时， ∵， ∴， ∴； ③当时， ， ∵， ∴此时，点D与点A重合，不合题意． 综上所述，若是等腰三角形，则的度数为或． 故答案为：或． 14．(24-25八上·湖南邵阳隆回县·期末)定义：一个三角形的一边长是另一边长的2倍，这样的三角形叫做“倍长三角形”．若等腰是“倍长三角形”，它一边长为4，则等腰的腰为 ． 【答案】或 【分析】本题考查了等腰三角形的性质，三角形的三边关系，根据“倍长三角形”的定义得到另两边长，然后根据三角形的三边关系解题即可． 【详解】解：一边长为4，三角形的另两边为,；,；,；,； ∵三角形的三边关系得到：,；,； 故答案为：或． 15．(24-25八上·湖南株洲天元中学·期末)如图，在中，,，在上取一点，延长到点，使得；连接，再在上取一点，延长到点，使得；连接，按此作法进行下去，的度数为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了等腰三角形的性质，三角形外角的性质，三角形内角和定理，理解题意、找到数字规律是解题关键． 根据等腰三角形的性质，得，根据三角形外角的性质，得，依此类推，可得、、，则得． 【详解】解：在中，，， ， ，是的一个外角， ，， 同理可得：，， ，， ……， 依次类推，． 故答案为：． 16．(24-25八上·湖南邵阳武冈·期末)如图，在等边中，D是边上一点，连接，将绕点B逆时针旋转，得到，连接，若，则以下四个结论中：①是等边三角形；②；③的周长是9； ④．其中正确的序号是 【答案】①②③④ 【分析】本题考查等边三角形的判定和性质，旋转的性质，根据等边三角形的性质和旋转的性质，得到，即可得到是等边三角形判断①；根据，得到，判断②；将的周长转化为，判断③；根据三角形的外角和角的和差关系判断④即可． 【详解】解：∵等边， ∴， ∵将绕点B逆时针旋转，得到， ∴，，，， ∴是等边三角形；故①正确； ∵， ∴；故②正确； ∵是等边三角形， ∴，， ∵， ∵的周长；故③正确； ∵， 又∵， ∴；故④正确； 故答案为：①②③④． 17．(24-25八下·湖南株洲攸县·期末)在中，是的中点，交于点． (1)求的度数； (2)求证： 【答案】(1) (2)见解析 【分析】本题考查的是等腰三角形的性质与判定、平行线的性质，掌握等腰三角形的性质是解题的关键． （1）根据等腰直角三角形的性质可得，根据已知，即可求解； （2）根据平行线的性质得出，，根据垂直的定义得出，进而得出，根据等角对等边，即可求解． 【详解】（1）解：，是的中点        即   又     （2）证明：∵，， ∴， ，， ∴ ∵ ∴ ∴ ∴ 18．(24-25八上·湖南邵阳邵东·期末)如图，在等边中，与的平分线相交于点，且交于点，交于点． (1)试判定的形状，并说明你的理由； (2)若，求的周长． 【答案】(1)为等边三角形，理由见解析 (2)20 【分析】本题考查等边三角形的判定与性质、等腰三角形的判定与性质、角平分线定义、平行线性质及三角形周长等知识，熟记等边三角形的判定与性质、等腰三角形的判定与性质是解决问题的关键． （1）由等边三角形的判定与性质，再结合平行线的性质即可得到答案； （2）由角平分线定义、平行线性质得到，由等腰三角形性质可得，同理，再由的周长，数形结合即可得到答案． 【详解】（1）解：为等边三角形． 理由如下： ∵为等边三角形， ∴， ∵，， ∴，， ∴， ∴为等边三角形； （2）解： 平分，， ∴，， ∴， ∴， 同理， ∴的周长． 19．(24-25八上·湖南衡阳常宁·期末)如图，在中，平分，过线段上一点作，交于点，交的延长线于点． (1)求证：是等腰三角形； (2)若，，求的度数． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】本题考查了角平分线的定义，平行线的性质，等腰三角形的判定和性质，三角形内角和定理，掌握等腰三角形的判定和性质是解题的关键． （）证明，得到，即可求证； （）证明，得到，再根据三角形内角和定理即可求解； 【详解】（1）证明：∵平分， ∴， ∵， ∴，， ∴， ∴， ∴是等腰三角形； （2）解：∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵，平分， ∴， ∴， ∴． 20．(24-25八上·湖南长沙长沙县·期末)如图，在Rt中，，，点是边上一点且不与点重合，点是边上一点且不与点重合，的延长线交的延长线于点． (1)求证：； (2)若，求的度数． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查了等腰直角三角形的性质，等腰三角形的性质，外角的性质． （1）先由直角三角形的性质得，再由等边对等角得，进而得，即可得出结论； （2）先由等腰直角三角形的性质得，再利用外角的性质得，再结合（1）的结论得，最后根据外角的性质得，即可求出的度数． 【详解】（1）证明：在中，， ， ， ， ， ； （2）解：在中，， ， ， 由（1）得，， ， ． 地 城 考点8 线段的垂直平分线 1．(24-25八上·湖南株洲炎陵县·期末)如图，在中，，，直线垂直平分，垂足为，交于点，则的周长是（   ） A．12 B．15 C．10 D．7 【答案】A 【分析】本题考查中垂线性质：中垂线上一点到线段两端点距离相等．将所求周长转化为的和即可． 根据据垂直平分线的性质得，进而可把△ABD周长转化为求解． 【详解】解：∵垂直平分， ∴． ∴的周长 ． 故选A． 2．(24-25八上·湖南岳阳华容县·期末)如图，在中，，是的垂直平分线，的周长为，，则的周长为（    ） A．14 B．20 C．22 D．18 【答案】C 【分析】本题考查垂直平分线的性质，三角形的周长．根据垂直平分线的性质得到，根据的周长为14，得到，从而求得，进而即可解答． 【详解】解：∵是的中垂线， ∴， ∵的周长为14， ∴， ∵， ∴， ∴． ∴的周长为． 故选：C． 3．(24-25八上·湖南株洲荷塘区·期末)如图，直线是的边的垂直平分线，已知，的周长为，则的长为（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查的是线段的垂直平分线的性质，熟记线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等是解题的关键．根据线段垂直平分线的性质得到， 再根据三角形周长公式计算，得到答案． 【详解】解：直线是的垂直平分线， 的周长为， 故选：D． 4．(24-25八上·湖南衡阳衡阳四校·期末)如图，在中，按以下步骤：①分别以点，为圆心，大于长为半径作弧，两弧交于点，；②作直线交于点，连接，若，，则的周长是（   ） A．20 B．16 C．12 D．10 【答案】C 【分析】本题考查了线段垂直平分线的尺规作图和性质，根据题意得到是线段的垂直平分线是解题关键． 根据作图得到是线段的垂直平分线，得到，再根据周长公式进行线段代换即可求解． 【详解】解：由作图可知是线段的垂直平分线， ∴， ∴的周长 ∵，， ∴的周长 故选： 5．(24-25八上·湖南长沙长沙县·期末)美术课上，周老师和同学们一起玩折纸游戏，学生李星将三角形纸片折叠，如图所示，使得点正好落在边上的点处，折痕为，则下列结论正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查翻折变换的性质，推出垂直平分是解题的关键． 由折叠得点与点B关于直线对称，则垂直平分，而点在边上，所以，可判断A正确；由可得，因为与不一定相等，所以与不一定相等，可判断B错误；的条件是，与已知条件不符，可判断C错误；的条件是，与已知条件不符，可判断D错误． 【详解】解：∵将三角形纸片折叠，点正好落在边上的点处，折痕为， ∴与点B关于直线对称， ∴垂直平分， ∴，故A正确； ∵， ∴， ∵点与点C不一定重合， ∴与不一定相等， ∴与不一定相等，故B错误； ∵， ∴的条件是，显然与已知条件不符， ∴不成立，故C错误； ∵， ∴的条件是，显然与已知条件不符， ∴不成立，故D错误． 故选：A． 6．(24-25八上·湖南娄底·期末)如图，在中，，为内一点，过点的直线分别交，于点，，若在的垂直平分线上，在的垂直平分线上，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了线段垂直平分线的性质，三角形的内角和定理，三角形的外角性质，解题的关键是掌握线段垂直平分线的性质．由，可得，根据线段垂直平分线的性质可得：，，推出，，再结合三角形的外角性质可得，最后根据，即可求解． 【详解】解： ， ， 在的垂直平分线上，在的垂直平分线上， ，， ，， ，，， ， ， 故选：B． 7．(24-25八上·湖南株洲二中初中部·期末)如图，中，，垂直平分，垂直平分，则的度数为 ． 【答案】 【分析】本题考查的是线段的垂直平分线的性质，等腰三角形的性质，三角形内角和定理，解题关键是掌握线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等． 根据线段垂直平分线的性质得到，，得到，，，再根据三角形内角和定理计算即可． 【详解】解：垂直平分， ， ， ∵垂直平分， ∴， ∴，， ， ， ， ， 故答案为：． 8．(24-25八上·湖南邵阳武冈·期末)如图，在中，， 的垂直平分线分别交、于点D、E，则 【答案】 【分析】本题考查等边对等角，中垂线的性质，根据等边对等角，求出的度数，中垂线的性质，推出的度数，再根据角的和差关系，求出的度数即可． 【详解】解：在中，， ， ∴， ∵垂直平分， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 9．(24-25八上·湖南长沙宁乡·期末)如图， 等腰三角形的底边长为， 面积是， 腰的垂直平分线 分别交，边于，点． 若点为边的中点，点 为线段上一动点，则 周长的最小值为 ． 【答案】 【分析】本题考查的是轴对称—最短路线问题，垂直平分线的性质；连接，由于是等腰三角形，点是边的中点，故，再根据三角形的面积公式求出的长，再根据是线段的垂直平分线，可知点关于直线的对称点为点，故的长为的最小值，由此即可得出结论． 【详解】解：如图，连接， 是等腰三角形，点是边的中点， ， ， 解得：， 是线段的垂直平分线， 点关于直线的对称点为点， ∴， 周长的最小值． 故答案为：． 10．(24-25八上·湖南衡阳祁东县·期末)如图，在中，，，垂直平分于，交于，连接．则的周长为 ． 【答案】 【分析】题考查了线段垂直平分线性质，根据线段垂直平分线得出，推出，即可求出答案，掌握线段垂直平分线上的点到线段两个端点的距离相等是解题的关键． 【详解】解：∵垂直平分于， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴的周长是， 故答案为：． 11．(24-25八上·湖南衡阳常宁·期末)如图，已知的周长为14，根据图中尺规作图的痕迹，若，则的周长为 ． 【答案】10 【分析】本题考查了线段的垂直平分线的性质，尺规作图线段垂直平分线，熟练掌握线段垂直平分线的性质是解题的关键． 由作图得，垂直平分，则，，那么的周长：，再根据的周长为14以及即可求解． 【详解】解：由作图得，垂直平分， ∴，， ∴的周长：， ∵的周长为14，， ∴， ∴的周长为10， 故答案为：10． 12．(24-25八上·湖南长沙长沙县·期末)如图，在中，，于点，点是上一点，连接，，若，则线段的长度为 ． 【答案】27 【分析】本题考查了等腰三角形的三线合一，垂直平分线的判定与性质，先因为，于点，则，故是线段的垂直平分线，即可作答． 【详解】解：∵，于点， ∴， ∴是线段的垂直平分线， ∴， 故答案为：27． 13．(23-24七下·湖南长沙华益中学·期末)如图，在中，，的垂直平分线分别交，于点E，F，的垂直平分线分别交，于点M，N，直线，MN交于点P． (1)求证：点P在线段的垂直平分线上； (2)已知，求的度数． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）连接，，，根据线段垂直平分线的性质证明，从而证明结论即可； （2）先根据垂直平分线的性质证明，，，再设，，然后根据三角形内角和定理，求出，再根据直角三角形的性质求出和，再根据对顶角的性质求出，，最后利用三角形内角和定理求出答案即可． 【详解】（1）证明：如图所示：连接，，， ∵垂直平分，垂直平分， ∴，， ∴， ∴点P在线段的垂直平分线上； （2）解：，，   ，，，   ，   设，，   ，，，，   ，，   ，   ，   ∴，   ，   ，   ． 【点睛】本题主要考查了线段的垂直平分线的性质，三角形内角和定理，直角三角形的性性质，，对顶角相等等知识点，熟练掌握其性质并能正确添加辅助线是解决此题的关键． 14．(24-25八上·湖南怀化·期末)已知：如图，在中，，分别以点A、C为圆心，大于长为半径画弧，两弧相交于点P和点Q，过P、Q两点作直线分别交于点D、E． (1)根据作图过程判断：直线是线段的_______； (2)当时，求的度数； (3)若，，求的周长． 【答案】(1)垂直平分线 (2)； (3)的周长为． 【分析】本题考查了垂直平分线作图和垂直平分线的性质，三角形的外角性质以及三角形内角和定理． （1）利用作已知线段的垂直平分线的方法进行判断； （2）根据线段垂直平分线的性质得，再得到，利用三角形的外角性质结合三角形内角和定理得，据此即可求得答案； （3）根据垂直平分线性质求解即可． 【详解】（1）解：由作图痕迹可知，直线是线段的垂直平分线； 故答案为：垂直平分线； （2）解：根据（1）得，，则， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， 解得； （3）解：∵，， ∴的周长 ， 即：的周长为． 15．(24-25八上·湖南邵阳隆回县·期末)如图，在中，，． (1)通过观察尺规作图的痕迹，可以发现射线是的_________；直线是线段的__________． (2)在（1）所作的图中，求的度数． 【答案】(1)角平分线，垂直平分线 (2) 【分析】本题主要考查了三角形内角和定理，角平分线的性质与尺规作图，线段垂直平分线的性质与尺规作图，等边对等角： （1）根据作图方法可知射线是的角平分线；直线是线段的垂直平分线； （2）先由三角形内角和定理得到，再由线段垂直平分线的性质得到，则，求出，由角平分线的定义可得，再由三角形外角的性质即可求出的度数．． 【详解】（1）解：由作图方法可知射线是的角平分线；直线是线段的垂直平分线， 故答案为：角平分线；垂直平分线； （2）解：∵在中，，． ∴， ∵直线是线段的垂直平分线， ∴， ∴， ∴， ∵射线是的角平分线， ∴． ∴ 地 城 考点9 “将军饮马”问题 1．(2025·湖南省张家界市·二模)(2025·湖南省张家界市)材料：在古罗马时代，传说在亚历山大城有一位精通数学和物理的学者，名叫海伦．一天，一位罗马将军专程去拜访他，向他请教一个百思不得其解的问题．将军每天从营地甲出发，先到河边饮马，再去河岸同侧的营地乙开会，应该怎样走才能使路程最短？从此、这个被称为“将军饮马”的问题广泛流传． (1)在解决日常生活中遇到的问题时，我们常常把问题数学化，将问题抽象归纳为一个数学模型，将军饮马问题也不例外．在这个问题中，我们把营地甲、营地乙分别抽象为点、点，把河岸抽象为直线，把距离抽象为线段的长度，这样，一个生活问题就转化为一个数学问题．现有如下四种设计方案，则所走路程最短的是___________． A．        B．  C．       D． (2)如图所示，牧童在处放牛，其家在处，米，米，米，牧童从处把牛牵到河边饮水再回家，求牧童需要走的最短路程为多少米． (3)已知，求的最小值．（可结合图形） 【答案】(1)D (2)50米 (3)10 【分析】本题考查了轴对称的性质，两点之间线段最短，三角形三边关系，勾股定理等知识，解题的关键是理解轴对称的性质． （1）如图，根据轴对称的性质作点关于直线的对应点，连接交直线于点，则点就是所要求作点．在直线在任取另一点，连接，根据三角形三边关系可解本题； （2）如图，延长至点，使得 ，连接，则的长度为牧童需要走的最短路程．过点作，与的延长线交于点．根据勾股定理求得即可求解； （3）如图，设线段，作，取，，的值可看作 的值． 【详解】（1）解：选：D， 理由：如图，作点关于直线的对应点，连接交直线于点，则点就是所要求作点．在直线在任取另一点，连接， 由轴对称的性质可得：， ，， 在中，， ， 故选：D． （2）如图，延长至点，使得 ，连接，则的长度为牧童需要走的最短路程． 过点作，与的延长线交于点， 则． 在中，米，米． （米）． （3）如图，设线段， 作，取，， 的值可看作 的值． 当三点共线时，的值最小， 即的最小值为的长． 作于点， ∴ 则， ， 的最小值为10． 2．(25-26八上·湖南湘西土家族苗族花垣县华鑫学校·开学考)(25-26八上·湖南湘西土家族苗族花垣县华鑫学校)（综合与实践）【提出问题】唐代诗人李颀的诗《古从军行》开头两句“白日登山望烽火，黄昏饮马傍交河．”诗中隐含着一个有趣的数学问题——“将军饮马”问题．如图1，将军从山脚下的点A出发，到达河岸上点C饮马后再回到点B宿营，他时常想，怎么走，才能使他每天走的路程之和最短呢？ (1)【数学理解】如图2，小亮作出了点B关于直线l的对称点，连接与直线l（即河岸）交于点C，点C就是饮马的地方，此时所走的路程就是最短的． 他的思考过程如下，请你横线上填写理由、依据或内容． 如图3，在直线上任意找与点不重合的一点，连接，，． 在△中，　 　 点与点关于直线对称，直线垂直平分 　　 ，　　 ， ． (2)【解决问题】如图4，将军牵马从军营处出发，到河流饮马，再到草地吃草，最后回到点处，试分别在和上各找一点、，使得将军走过的路程最短．（保留画图痕迹，辅助线用虚线，最短路径用实线） 【答案】(1)三角形任意两边之和大于第三边，，线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等 (2)见解析 【分析】本题主要考查了轴对称的性质，中垂线的性质，两点之间线段最短，正确画出图形是解题关键． （1）根据所给推理正确填空即可； （2）如图所示，分别作点关于，的对称点、，连接分别交，于、，则路线，，即为所求． 【详解】（1）解：如图3，在直线上任意找与点不重合的一点，连接，，． 在中，（三角形任意两边之和大于第三边） 点与点关于直线对称， 直线垂直平分 ，（线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等） ， ． 故答案为：三角形任意两边之和大于第三边； ；线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等； （2）如图所示，分别作点关于，的对称点、，连接分别交，于、，则路线，，即为所求． ，，则， 根据两点之间线段最短可得路线，，即为所求． 3．(23-24八上·湖南株洲天元区长沙一中株洲实验学校·月考)(23-24八上·湖南株洲天元区长沙一中株洲实验学校)早在古罗马时代，传说亚历山大城有一位精通数学和物理的学者，名叫海伦．一天，一位罗马将军专程去拜访他，向他请教一个百思不得其解的问题：将军每天从军营A出发，先到河边饮马，然后再去河岸同侧的军营B开会，应该怎样走才能使路程最短？这个问题的答案并不难，据说海伦略加思索就解决了它．从此以后，这个被称为“将军饮马”的问题便流传至今．大数学家海伦是用轴对称的方法巧妙地解决了这个问题． 如下图，作B关于直线l的对称点，连接AB与直线l交于点C，点C就是所求的位置． 证明：如下图，在直线l上另取任一点，连接，，， ∵直线l是点B，的对称轴，点C，在l上， ∴，， ∴______=______． 在中，∵， ∴即最小． 本问题实际上是利用轴对称变换的思想，把A，B在直线同侧的问题转化为在直线的两侧，从而可利用“两点之间线段最短”，即“三角形两边之和大于第三边”的问题加以解决（其中C在与l的交点上，即A、C、三点共线）．本问题可归纳为“求定直线上一动点与直线外两定点的距离和的最小值”的问题的数学模型． 【简单应用】 （1）如下图，在等边中，，，E是AC的中点，M是上的一点，求的最小值； （2）如下图，在四边形中，，，在上分别找一点M、N当周长最小时，求的值． 【拓展应用】 如下图，是一个港湾，港湾两岸有A、B两个码头，，千米，千米，现有一艘货船从码头A出发，根据计划，货船应先停靠岸C处装货，再停靠岸D处装货，最后到达码头B．怎样安排两岸的装货地点，使货船行驶的水路最短？请画出最短路线并求出最短路程．（注：在直角三角形中有直角边的平方和等于斜边的平方，如图即在直角中，有 ） 【答案】简单应用：（1）6；（2）；拓展应用：千米 【分析】本题主要考查了轴对称最短路径问题，勾股定理，等边三角形的性质等等，正确理解题意利用轴对称的性质构造最短路径是解题的关键． 简单应用：（1）根据等边三角形的性质可得垂直平分线，则，故当三点共线且时，最小，即此时最小，则此时都是等边的高，即，故的最小值为6； （2）如图5所示，作A关于和的对称点，连接，连接，由轴对称的性质可得，故当四点共线时，的值最小，即此时的周长的周长最小，由三角形内角和定理得到，再由等边对等角和三角形外角的性质可得； 拓展应用：如图6所示，分别作点A关于的对称点，点B关于的对称点，连接，由轴对称的性质可得，当四点共线时，的值最小，即此时货船行驶的水路长最小， 由轴对称的性质可得，则，利用勾股定理即可求出答案． 【详解】解：简单应用：（1）∵是等边三角形，， ∴垂直平分线， ∴， ∴， ∴当三点共线且时，最小，即此时最小， ∵， ∴都是等边的高， ∴， ∴的最小值为6； （2）如图5所示，作A关于和的对称点，连接，连接， 由轴对称的性质可得， ∴的周长， ∴当四点共线时，的值最小，即此时的周长的周长最小， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴；    拓展应用：如图6所示，分别作点A关于的对称点，点B关于的对称点，连接， 由轴对称的性质可得， ∴货船行驶的水路长， ∴当四点共线时，的值最小，即此时货船行驶的水路长最小， 由轴对称的性质可得， ∴， ∴， ∴， ∴货船行驶的水路最短路程为千米． 试卷第1页，共3页 / 学科网（北京）股份有限公司 $