专题03 二次根式5考点（期末真题汇编，湖南专用）八年级数学上学期新教材湘教版

命学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 专题03二次根式 ☆5大高频烤点概览 考点01二次根式的概念及性质 考点02最简二次根式 考点03同类二次根式 考点04二次根式的混合运算 考点05二次根式的应用 目目 考点01 二次根式的概念及性质 1,(2425八上湖南永州冷水滩区期末)式子公一1在实数范围内有意义，则x的取值范围是() A.x20 B.x>1 C.x≤1 D.x21 2.(24-25八下湖南长沙雨花区雅礼实验毓秀学校期末)若V及在实数范围内有意义，则实数x的取值范围为 () A.x≥0 B.x≤0 C.x>0 D.x<0 2 3.(24-25八上湖南邵阳第三中学期末)若一1在实数范围内有意义，则x的取值范围是(） A.x≥青 B.x>青 C.x≤1 D.x<1 4.(24-25八上湖南株洲炎陵县期末)若Vx-2025在实数范围内有意义，则x的取值范围是() A.x<2025B.x≤2025 C.x>2025 D.x≥2025 5.(24-25八上湖南邵阳新邵县期末)若二次根式V公-2在实数范围内有意义，则x的取值范围是】 6.(24-25八上湖南株洲二中初中部期末)若式子-2有意义，则x的取值范围是 7.(24-25八下湖南长沙阳期末若式子225在实数范围内有意义，则x的取值范围是 2024 8.(24-25八下-湖南长沙宁乡期末)若V4x+2+y-3引=0，求2x一y)的值， 2 9.(2425七下湖南邵阳武冈期末)已知|a-31+Va+b-1=0,求(Va-b)‘和6的值. 10.(24-25八上·湖南邵阳第三中学期末)小明在写作业时，不慎将墨水滴在作业上，有一道题的数据被沾 命学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 染后看不清了，题目为：“当x=■时，（高）+9 2 1 “小明查看答案发现该题的结果 为特，请你求出x的值，并说明理由。 11.2425八上湖南水州冷水滩区期末)像√4-25,48-V45,这样的根式叫做复合二次根式.有 一些复合二次根式可以借助构造完全平方式进行化简，如： 4-25=3-23+1=V(W5)2-23×1+12-V(5-1)=5-1再知： 5+2W5=3+2W6+2=V(V5)+2×5×2+(2)2=V(W5+2)2=5+2 请用上述方法探索并解决下列问题： (1)化简：V10+221: (2)化简：V14-8W3: (3)计算： V3-2W2+V5-2√6+V7-212+:.·+V2023-2W1023132+V2025-2W1012×1013. 12.(24-25八上湖南株洲二中初中部期末)我们定义：如果两个数或式子A与B的和为常数，且这个常数 为正数，则称A,B互为“H式”，这个常数称为A与B的H值”.如A十B=1>0,则A,B互为H式”， A与B的“H值”为1. (1)判断C,D是否互为“H式”.（在横线上填“是”或“不是”） ①C=2x-4,D=3-2x, ②C=2,D=10, 824 ； ③C=V1-2x,D=2+V2x-1, (2)设a1,2,3,,a22是从1,0，-1这三个数中取值的一列数，若a1+a2十a3十…+a22=3,且 (a1+1)2+（a2+1)2+…+（a22+1)2=35,则： ①a1,a2,a3,,a22中0的个数有几个？ ②a1,a2,a3,…,a22中两两互为“H式”的组数是多少？ 目目 考点02 最简二次根式 1.(24-25八上湖南长沙华益中学期末)下列二次根式中，是最简二次根式的是() 命学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 A.厚 B.V18 c.5 D.V25 2.(24-25八下，湖南益阳赫山区期末)下列二次根式中，是最简二次根式的是() A.50 B.V15 c.0.5 D.唱 3.(24-25九上·湖南衡阳衡东县·期末)下列式子是最简二次根式的是() A.V4x B.5 C.图 D.月 4.(24-25八上湖南长沙雅礼教育集团联考期末)下列二次根式中，最简二次根式是() A.5 B.得 c方 D.2 5.(24-25八上湖南邵阳隆回县期末)下列二次根式中，是最简二次根式的是() A.20 B.V0.1 c.得 D.10 目目 考点03 同类二次根式 1.(24-25八上湖南永州祁阳期末)已知V3a-10是最简二次根式，且它与V32是同类二次根式，则a=() A.4 B.14 c.9 D.号 2.(24-25九上·湖南衡阳常宁期末)下列各组二次根式，化简后可以合并的是() A.V12与V6 B.V2与⑧ c.5和V5 D.5与5 3.(24-25九上湖南衡阳常宁期末)如果最简二次根式2W2a+1与3√a+3是同类二次根式，那么 a=- 4.(23-24八上湖南桂阳县鹿峰中学期末)若最简二次根式出3b与V2a+b可以合并，则a=一 b=-, 5.(23-24八上湖南株洲天元区期末)若最简二次根式2√2a-1利√7是同类二次根式，则 va= 6.(23-24九上湖南衡阳城区·期末)若最简二次根式2W3x一1和3Wx+3是同类二次根式，则x的值为 函学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 7.(24-25八上湖南怀化五县六校联考期末)在，2，V5,,√1999这1999个式子中，与V2000可 以合并的所有项之和为 目目 考点04 二次根式的混合运算 1.心43八上湖青露色数学联型校川第：后×有-4婚-酒结果为 2.(24-25八上湖南怀化五县六校联考期末)对于任意不相等的两个数a,b,定义一种运算※如下： a勋=票， 如5※4=」 要-3，那么-同7) 3.(24-25八下·湖南益阳赫山区·期末)化简： E+2+5+…+5+g+59丽 4.(2425八下湖南长沙雨花区同升潮学校期末计算：V4⑧÷5+V月×V2-24-(-V)° 52425人下脑长沙乡期和i计：5国+5-2+2025-西×得 6.(2425八下湖南长沙浏阳期末)计算：V8-(告)+V2-3-(3+π) 7.(24-25八下湖南长沙长沙县期末)计算： )18÷8+(2+1)(2-1): 2(5-1)2-6 8.(24-25八上湖南娄底冷水江期末)计算 (1W8+(π-2024)°-(3)-V5-: (2W18-4W月+V24÷V3 9.2425八上潮南长沙雨花区期已知x=55,y=+5,求下列各式的值。 (1)皮+吉： (2)培+ 10.(24-25九上湖南衡阳常宁期末)已知x=V2+1,y=V2-1. (1)求代数式袁+吉的值： 命学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 (2②)先化简代数式二+ 2，再求它的值. 1N5-4) 11.(2425八上湖南邵阳武冈期末)阅读下列解题过程：5+=了 三后-9=5-4 5+45-④(5(4 ,请解答下列问题： 3 (①观察上面解题过程，计算0-万， (2)请直接写出+的结果.（n≥1) (同利用上面的解法，游化简：六十十中十…十38而十59 12.(24-25八上湖南娄底期末)设a=-1+V2,b=-1-V2 (1)求ab+号的值 (2)求2024a202462024+2023a2023b2023+2022a2022b2022+…+2a262+ab的值. 13.(24-25八上湖南岳阳华容县期末)阅读下面的文字，解答问题：大家都知道√2是无理数，而且 √<√2<√4，即1<V反<2，无理数是无限不循环小数，因此V2的小数部分我们不可能全部地写出来， 于是小明用V2一1来表示V2的小数部分，你同意小明的表示方法吗？事实上，小明的表示方法是有道理， 因为2的整数部分是1，将这个数减去其整数部分，差就是小数部分. 又例如：①：V<V<V4,即1<V5<2:“V5的整数部分为1，小数部分为(5-1) ②：√<5<5，即2<V5<3,“5的整数部分为2，小数部分为(5-2)： 请解答： (I)V10的整数部分为 ，小数部分为 (2)设2+V13的整数部分为a,小数部分为b,求（号a+V13)b的值。 14.(2425七下湖南邵阳新邵县期末)根据材料，解答下列问题：大家知道V2是无理数，而无理数是无限 不循环小数，因此2的小数部分我们不可能全部写出来，于是小明用√2一1来表示√2的小数部分，你同 意小明的表示方法吗？事实上，小明的表示方法是有道理的.因为√2的整数部分是1，将一个数减去其整 数部分，差就是小数部分 ()已知10+V3=x+y,其中x是整数，且0<y<1,求(x-y)(x+y)的值： 命学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 (2)已知6+√10的小数部分为a,6-V10的小数部分为b,求a+b的立方根. 15.(24-25八上湖南怀化期末)著名数学教育家G波利亚，有句名言：“发现问题比解决问题更重要”，这 句话启发我们：要想学会数学，就需要观察，发现问题，探索问题的规律性东西，要有一双敏锐的眼晴.请 先阅读下列材料，再解决问题： 数学上有一些被开方数带根号的数能通过完全平方公式及二次根式的性质化简. 例如： 3-22=2-2×1×2+1=V(2)2-2×1×V2+1=V(反-1)2=2-1解决问题： (1)在括号内填上适当的数： V14-65=V9-2×3×V5+①=V(3-②)2=③ ①： ，②： ③： (2)根据上述思路，化简并求出52-14y3+V7+4V3的值. (3)设51-V392的小数部分为b,求证：51-V392=2b+号+1： 16.(24-25八上湖南常德教学联盟校)阅读与思考 配方思想，是初中数学重要的思想方法之一，用配方思想方法，可以简化数学运算，常用的配方公式有： a2+b2=(a+b)2-2ab,a2+b2=(a-b)2+2ab.用配方思想方法，解答下面问题： (1)已知：x+是=5，求x2+意的值； c,y 7+5 5-5 7+5,求3x2-2xy+3y2的值； (3)已知：Va-V2b=3,Vab=2,(a≥0，b≥0)，求a+2b的值. 17.(24-25八上·湖南娄底娄星区·期末)阅读下列材料： 【材件-：分510应=0品可=号=巨-1： 5-5 ②5中=5*s-百 =9=5-5, ®★8雨等-2-5， 25 【材料二：分子有理化】 VF-VE=5-@+回 1 V3+W2 3+五 请结合上述材料，解答下列问题： (1)化简：6+5= 命学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 (2比较√17-V5和√5-V3的大小，并说明理由： (3)计算： （+3++…+22s22a +o26202s)×(V2026+1)】 目目 考点05 二次根式的应用 1.(24-25八上·湖南邵阳新邵县期末)我国南宋著名数学家秦九韶在他的著作《数书九章》一书中，给出了 著名的秦九韶公式；也叫三斜求积公式，即如果一个三角形的三边长分别为a,b,℃，那么该三角形的面积 为S=V2[a2b2-(4)].已知△ABC的三边长分别为2,2V5,4,则△ABC的面积为一 2.(24-25八上湖南永州祁阳期末)将一组数2,2，V6,2√2，√10,2W506按图中的方法排列： 2,2,6,22,V10,25, V14,4,32,2V5,V22,26, 26,25,30,,42,34,6 若3V2的位置记为(2,3)，2y7的位置记为(3,2)，则这组数中最大数的位置记为一 3.(23-24八上湖南长沙青竹湖湘一外国语学校期末)已知一个长方形相邻的两边长分别是a,b,且 a=8,b=72 (1)求此长方形的周长； (②)若一个正方形的周长与上述长方形的周长相等，求此正方形的面积. 4.(2425八上湖南邵阳第三中学·期末)电视塔越高，从塔顶发射出的电磁波传播得越远，从而能接收到电 视节目信号的区域就越广.已知电视塔高h(m)与电视节目的信号传播半径r(m)之间满足r=√2Rh, 其中R是地球半径，R≈6.4×10m, 命学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 广州塔 (1)已知广州塔高约600m,求广州塔发射节目信号的传播半径；(V76.8≈8.76) (2)设广州塔的高度是1，另一座塔高为h2,求广州塔与另外一塔发射节目信号的传播半径之比. 5.(24-25八上·湖南株洲攸县·期末)某居民小区有块形状为长方形ABCD的绿地，长方形绿地的长BC为 √162m,宽AB为√128m,现要在长方形绿地中修建一个长方形花坛（即图中阴影部分），长方形花坛的长 为(14+1m,宽为14-1m (1)长方形ABCD的周长是多少？（结果化为最简二次根式） (2)除修建花坛的地方，其它地方全修建成通道，通道上要铺上造价为5元/2的地砖（假设地砖没有损耗）， 要铺完整个通道，则购买地砖需要花费多少元？ 6.(24-25八下·湖南益阳赫山区·期末)阅读材料1： 在不等式领域，有一个叫基本不等式的工具，表述如下：对于任意的正数a、b,都有a+b≥2yab,当且 仅当a=b时等号成立，它是解决最值问题的有力工具. 例如：在x>0的条件下，x+是≥2√x京=2，当且仅当x=是时，即x=1时等号成立，从而x+专有最 小值2. 阅读材料2： 我们知道，假分数可以写成一个整数与一个真分数的和，如=牛=1十，当分式的分母次数小于分子 的次数时，也有类似的变换，如： （1)-斜出2-2-+扁=(++扁， x+1 +1 +1 学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 2=2出--x-)+3+点=（-+女+3。 x-1 -1 请根据阅读材料解答下列问题： (1)若x为正数，则x+的最小值为 ,此时，X= (2)若x为正数，则的最小值为 ，此时，X=一； (3)求下列分式在给定的x的取值范围内的最小值，并指出取得最小值时对应的x的值. ①4 (x>-1) ②学 x>2 7.(24-25八上湖南常德临澧县，期末)阅读下面材料： 将边长分别为a,a+6,a+26,a+3V6的正方形面积分别记为S1,S2,S3,S4·则 s2-s,=(a+V6-a2=[(a+V⑥)+a:[(a+V⑥-a]=2a+66=b+2av6 根据以上材料解答下列问题： (1)S3-S2=-,S4-S3=-: (2)把边长为a+yb的正方形面积记作S+1,其中n是正整数，从(1)中的计算结果，你能猜出 S+1-Sn等于多少吗？并证明你的猜想； (3)令t1=S2-S1,t2=S3-S2,t3=S4-S3,…tn=Sm1-Sn且T=t1+t2十t3+…+t50,求 T的值. 专题03 二次根式 5大高频考点概览 考点01 二次根式的概念及性质 考点02 最简二次根式 考点03 同类二次根式 考点04 二次根式的混合运算 考点05 二次根式的应用 地 城 考点01 二次根式的概念及性质 1．(24-25八上·湖南永州冷水滩区·期末)式子在实数范围内有意义，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了二次根式有意义的条件，熟练掌握二次根式的被开方数为非负数是解题的关键． 根据二次根式有意义的条件，被开方数为非负数，据此列不等式求解． 【详解】解：∵式子在实数范围内有意义， ∴， ∴． 故选：D． 2．(24-25八下·湖南长沙雨花区雅礼实验毓秀学校·期末)若在实数范围内有意义，则实数x的取值范围为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查二次根式有意义的条件；因此此题可根据二次根式有意义的条件“被开方数为非负数”求解． 【详解】解：由题意得：． 故选：A． 3．(24-25八上·湖南邵阳第三中学·期末)若在实数范围内有意义，则的取值范围是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了二次根式有意义的条件、分式有意义的条件、求一元一次不等式的解集，熟练掌握相关知识点是解题的关键．二次根式有意义的条件是被开方数非负，分式有意义的条件是分母不为零，据此即可求解． 【详解】解：∵在实数范围内有意义， ∴且， 解得：， ∴的取值范围是． 故选：B． 4．(24-25八上·湖南株洲炎陵县·期末)若在实数范围内有意义，则x的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了二次根式有意义的条件和一元一次不等式，解题的关键是熟练掌握二次根式有意义的条件． 根据二次根式被开方数为非负数，列出一元一次不等式，然后求解即可． 【详解】解：根据二次根式有意义的条件得，， ∴， 故选：D． 5．(24-25八上·湖南邵阳新邵县·期末)若二次根式在实数范围内有意义，则x的取值范围是 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了二次根式有意义的条件，熟练掌握二次根式中被开方数是非负数这一条件是解题的关键．根据二次根式有意义的条件，被开方数必须是非负数，由此建立关于的不等式，求解不等式得到的取值范围． 【详解】解：∵二次根式在实数范围内有意义，二次根式中被开方数须大于等于， ∴， 解不等式得：． 故答案为： ． 6．(24-25八上·湖南株洲二中初中部·期末)若式子有意义，则x的取值范围是 ． 【答案】 【分析】本题考查分式与二次根式有意义的条件，解题关键是熟练掌握分式有意义，则分母不等于0；二次根式有意义，则被开方数为非负数． 根据分式与二次根式有意义的条件得到，且，求解即可． 【详解】解：由题意，得 ，且， 解得：， 故答案为：． 7．(24-25八下·湖南长沙浏阳·期末)若式子在实数范围内有意义，则的取值范围是 ． 【答案】 【分析】本题考查二次根式有意义的条件，根据二次根式的被开方数为非负数求解即可． 【详解】解：要使式子在实数范围内有意义，则， 即． 故答案为： 8．(24-25八下·湖南长沙宁乡·期末)若，求的值． 【答案】 【分析】本题考查了非负数的性质：掌握几个非负数的和为0，则这几个非负数分别等于0，并正确得出未知数的值是解题的关键． 根据非负数的性质列出方程求出未知数的值，再代入所求代数式计算即可． 【详解】解：， ，， ，， 9．(24-25七下·湖南邵阳武冈·期末)已知，求和的值． 【答案】， 【分析】先根据非负性求出a，b的值，再进行化简求值即可求解． 本题主要考查二次根式的非负性以及绝对值的非负性，求一个数的算术平方根，熟练掌握相应的运算法则是解题的关键． 【详解】解：由题意得，， 解得，， 则， 10．(24-25八上·湖南邵阳第三中学·期末)小明在写作业时，不慎将墨水滴在作业上，有一道题的数据被沾染后看不清了，题目为：“当时，_______．“小明查看答案发现该题的结果为，请你求出的值，并说明理由． 【答案】的值为0，理由见解析 【分析】本题考查了利用二次根式的性质化简、解分式方程，熟练掌握相关知识点是解题的关键．利用二次根式的性质化简式子得到，根据题意可知，再分和两种情况解分式方程，求出的值即可得出答案． 【详解】解：的值为0，理由如下： ， 由题意得，， 当，即时， 则， 解得：（舍去）； 当，即时， 则， 解得：； ∴综上所述，的值为0． 11．(24-25八上·湖南永州冷水滩区·期末)像，，这样的根式叫做复合二次根式．有一些复合二次根式可以借助构造完全平方式进行化简，如： 再如： 请用上述方法探索并解决下列问题： (1)化简：； (2)化简：； (3)计算：． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查了完全平方公式，利用二次根式的性质进行化简，熟练掌握完全平方公式，利用二次根式的性质是解题的关键． （1）利用题中复合二次根式借助构造完全平方式的新方法求解； （2）利用题中复合二次根式借助构造完全平方式的新方法求解； （3）根据题意找出规律进行求解即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ； （3）解： ∵， ， ， ∴对第于n项，形式可表示为， ∴可化简为 式中最后一项为， ∵， ∴， ∴最后一项化简为： ． 12．(24-25八上·湖南株洲二中初中部·期末)我们定义：如果两个数或式子A与B的和为常数，且这个常数为正数，则称A，B互为“H式”，这个常数称为A与B的“H值”．如，则A，B互为“H式”，A与B的“H值”为1． (1)判断C，D是否互为“H式”．（在横线上填“是”或“不是”） ①，，______； ②，，______； ③，，______； (2)设，，，，是从1，0，这三个数中取值的一列数，若，且，则： ①，，，，中0的个数有几个？ ②，，，，中两两互为“H式”的组数是多少？ 【答案】(1)不是，是，是 (2)①有15个0②85组 【分析】本题考查新定义，分式的加减运算，二次根式的意义，三元一次方程组，熟练掌握新定义，是解题的关键： （1）根据新定义，分别计算出各组两式的和，进行判断即可； （2）①设有个1，个0和个，根据题意，列出三元一次方程组，进行求解即可； ②根据新定义，进行判断即可． 【详解】（1）解：①，故C，D不是互为“H式”； ②； 故C，D是互为“H式”； ③， ∵， ∴， ∴；故C，D是互为“H式”； （2）①设有个1，个0和个，由题意得： ，解得：， 故有15个0； ②当两数均为1时，，互为“H式”，共有组； 当两数为0，1时，，互为“H式”，共有组； 故共有组． 地 城 考点02 最简二次根式 1．(24-25八上·湖南长沙华益中学·期末)下列二次根式中，是最简二次根式的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了最简二次根式的定义，最简二次根式需满足：（1）被开方数不含分母；（2）被开方数中不含能开得尽方的因数或因式．据此逐项分析即可． 【详解】解：A．，故不是最简二次根式；     B．，故不是最简二次根式；     C．符合最简二次根式的2个条件，故是最简二次根式；     D．，故不是最简二次根式； 故选C． 2．(24-25八下·湖南益阳赫山区·期末)下列二次根式中，是最简二次根式的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查最简二次根式的判定条件：①被开方数中不含能开得尽方的因数或因式；②被开方数的因数是整数，因式是整式．根据最简二次根式的定义逐项分析即可得解． 【详解】解：A、中被开方数中含能开得尽方的因数，故不是最简二次根式，不符合意义； B、属于最简二次根式，符合题意； C、中被开方数的因数不是整数，故不是最简二次根式，不符合意义； D、中被开方数的因数不是整数，故不是最简二次根式，不符合意义； 故选：B． 3．(24-25九上·湖南衡阳衡东县·期末)下列式子是最简二次根式的是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了最简二次根式的定义，熟练掌握最简二次根式的定义是解题的关键． 根据最简二次根式的定义逐项判断即可． 【详解】解：A. ，不是最简二次根式，故该选项不符合题意； B. 是最简二次根式，故该选项符合题意； C. ，不是最简二次根式，故该选项不符合题意； D. ，不是最简二次根式，故该选项不符合题意； 故选： B． 4．(24-25八上·湖南长沙雅礼教育集团联考·期末)下列二次根式中，最简二次根式是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了最简二次根式，满足以下两个条件：①被开方数不含分母；②被开方数中不含能开得尽方的因数或因式，像这样的二次根式叫做最简二次根式，分母中含有二次根式的也不是最简二次根式，由此判断即可，熟练掌握最简二次根式的定义并能灵活运用是解决此题的关键． 【详解】解：A、是最简二次根式，故此选项符合题意； B、被开方数含有分母，不是最简二次根式，故此选项不符合题意； C、分母中含有二次根式，不是最简二次根式，故此选项不符合题意； D、被开方数含有能开得尽方的因数4，不是最简二次根式，故此选项不符合题意； 故选：A． 5．(24-25八上·湖南邵阳隆回县·期末)下列二次根式中，是最简二次根式的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了最简二次根式的问题，掌握最简二次根式的定义以及性质是解题的关键．根据最简二次根式的定义以及性质对各项进行判断即可． 【详解】解：选项A：，故不符合题意， 选项B：，故不符合题意， 选项C：，故不符合题意， 选项D：是最简二次根式，符合题意， 故选：D 地 城 考点03 同类二次根式 1．(24-25八上·湖南永州祁阳·期末)已知是最简二次根式，且它与是同类二次根式，则（   ） A．4 B．14 C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了同类二次根式的定义，如果被开方式相同，那么这几个二次根式叫做同类二次根式．先把化简，然后根据同类二次根式的定义列式求解即可． 【详解】解：， ∵最简二次根式与是同类二次根式， ∴， ∴， 故选：A． 2．(24-25九上·湖南衡阳常宁·期末)下列各组二次根式，化简后可以合并的是（   ） A．与 B．与 C．和 D．与 【答案】B 【分析】本题考查了同类二次根式的定义，熟练掌握同类二次根式的定义是解答本题的关键．根据同类二次根式的定义--化成最简二次根式后，如果被开方式相同，那么这几个二次根式叫做同类二次根式，逐项分析即可． 【详解】解：A．与，不是同类二次根式，不能合并，故A不符合题意； B．与，是同类二次根式，能合并，故B符合题意； C．与，整数和无理数不能合并，故C不符合题意； D．与，不是同类二次根式，不能合并，故D不符合题意． 故选：B． 3．(24-25九上·湖南衡阳常宁·期末)如果最简二次根式与是同类二次根式，那么 ． 【答案】2 【分析】此题主要考查了同类二次根式的定义，根据最简二次根式与同类二次根式的定义列方程求解，熟知二次根式化成最简二次根式后，被开方数相同的二次根式叫做同类二次根式是解题的关键． 【详解】解：由题意可得， 解得， 故答案为：2． 4．(23-24八上·湖南桂阳县鹿峰中学·期末)若最简二次根式与可以合并，则 ， ． 【答案】 1 1 【分析】本题考查合并同类二次根式，根据题意，最简二次根式与为同类二次根式，列出方程组，进行求解即可． 【详解】解：∵最简二次根式与可以合并， ∴与为同类二次根式， ∴，解得：， 故答案为：1，1 5．(23-24八上·湖南株洲天元区·期末)若最简二次根式利是同类二次根式，则 ． 【答案】2 【分析】本题考查同类二次根式的概念．同类二次根式是化为最简二次根式后，被开方数相同的二次根式称为同类二次根式．根据定义可得，即可求解． 【详解】解：最简二次根式与是同类二次根式， ， 解得：． ∴ 故答案为：2． 6．(23-24九上·湖南衡阳城区·期末)若最简二次根式和是同类二次根式，则的值为 ． 【答案】2 【分析】本题考查了同类二次根式，解一元一次方程．熟练掌握同类二次根式的定义是解题的关键． 由题意知，，计算求解即可． 【详解】解：由题意知，， 解得，， 故答案为：2． 7．(24-25八上·湖南怀化五县六校联考·期末)在，，，…，这1999个式子中，与可以合并的所有项之和为 【答案】 【分析】本题考查同类二次根式，最简二次根式等知识．先将化为最简二次根式，再找到规律即可解题． 【详解】解：∵，， ∴在，，，…，这1999个式子中，与可以合并的有，，，…，， ∴， 故答案为：． 地 城 考点04 二次根式的混合运算 1．(24-25八上·湖南常德教学联盟校·)计算：结果为 ． 【答案】/ 【分析】本题考查了二次根式的混合运算，先根据二次根式的乘除法法则和二次根式的性质化简，再算加减即可． 【详解】解：     ． 故答案为：． 2．(24-25八上·湖南怀化五县六校联考·期末)对于任意不相等的两个数，，定义一种运算如下：，如，那么 ． 【答案】 【分析】利用新定义的运算规则将原式转化为二次根式的运算，然后化简得出答案即可． 【详解】解：， ， 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了新定义下的实数运算，二次根式的混合运算，利用二次根式的性质化简，分母有理化等知识点，读懂题意，熟练掌握新定义的运算规则是解题的关键． 3．(24-25八下·湖南益阳赫山区·期末)化简： ． 【答案】9 【分析】本题考查二次根式分母有理化，以及二次根式的运算，解题的关键在于正确掌握相关运算法则．根据二次根式分母有理化方法化简各项，再结合二次根式的运算法则求解，即可解题． 【详解】解： ． 4．(24-25八下·湖南长沙雨花区同升湖学校·期末)计算： 【答案】 【分析】本题主要考查实数的混合运算和二次根式的混合运算，原式分别化简零指数幂、二次根式，计算二次根式的乘除法，然后再进行加减运算即可． 【详解】解：                  ． 5．(24-25八下·湖南长沙宁乡·期末)计算： 【答案】 【分析】先根据数的开方法则，零指数幂及绝对值的性质分别计算出各数，再算加减即可． 本题考查的是二次根式的混合运算，熟知二次根式混合运算的法则是解题的关键． 【详解】解：原式                6．(24-25八下·湖南长沙浏阳·期末)计算： 【答案】 【分析】本题考查了实数的计算，涉及零次幂、负整数指数幂，熟练掌握二次根式的化简，绝对值的计算是解题的关键． 根据实数的混合运算法则进行化简即可求解． 【详解】解： 7．(24-25八下·湖南长沙长沙县·期末)计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了二次根式的混合运算，二次根式的性质化简，乘法公式，掌握相关运算法则是解题关键． （1）先化简二次根式，再计算乘除法，最后计算加减法即可； （2）先根据完全平方公式展开， 化简二次根式，再计算乘法，最后计算加减法即可． 【详解】（1）解： ； （2）解：      ． 8．(24-25八上·湖南娄底冷水江·期末)计算 (1)； (2) 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了实数的混合运算，二次根式的混合运算，解题的关键是掌握各自的运算法则和运算顺序． （1）先化简二次根式，计算零指数幂，负指数幂，化简绝对值，再算加减法； （2）先化简二次根式，计算除法，再合并计算． 【详解】（1）解： ； （2）解：原式 ． 9．(24-25八上·湖南长沙雨花区·期末)已知，求下列各式的值． (1)； (2) 【答案】(1) (2)12 【分析】本题考查的是二次根式的化简求值，分式的加减法，分母有理化，熟知以上运算法则是解题的关键． （1）先根据题意得出与的值，代入代数式进行计算即可； （2）根据（1）中出与的值，代入代数式进行计算即可． 【详解】（1）解：∵， ∴， ； （2）解：． 10．(24-25九上·湖南衡阳常宁·期末)已知，． (1)求代数式的值； (2)先化简代数式，再求它的值． 【答案】(1) (2)； 【分析】此题主要考查了二次根式的化简求值，以及分式的化简计算，关键是正确把分式化简． （1）首先把代数式进行变形，然后再代入、的值，进而可得答案； （2）首先把代数式化简，化简后，再代入、的值即可． 【详解】（1）解：， 把，代入可得原式； （2）解：， 把，代入可得原式 11．(24-25八上·湖南邵阳武冈·期末)阅读下列解题过程：，请解答下列问题： (1)观察上面解题过程，计算 (2)请直接写出的结果． (3)利用上面的解法，请化简： 【答案】(1) (2) (3)9 【分析】本题考查分母有理化，熟练掌握分母有理化，是解题的关键： （1）利用分母有理化进行求解即可； （2）利用分母有理化进行求解即可； （3）先进行分母有理化，再进行求解即可． 【详解】（1）解：原式； （2）； （3）原式． 12．(24-25八上·湖南娄底·期末)设，． (1)求的值． (2)求的值． 【答案】(1) (2)1012 【分析】本题主要考查二次根式的混合运算，掌握二次根式的运算法则是解答本题的关键． （1）把，代入计算即可得到答案； （2）求出，将原式变形后代入计算即可． 【详解】（1）解：∵，， ∴ ； （2）解：∵，， ∴，则： 13．(24-25八上·湖南岳阳华容县·期末)阅读下面的文字，解答问题：大家都知道是无理数，而且，即，无理数是无限不循环小数，因此的小数部分我们不可能全部地写出来，于是小明用来表示的小数部分，你同意小明的表示方法吗？事实上，小明的表示方法是有道理，因为的整数部分是1，将这个数减去其整数部分，差就是小数部分． 又例如：①，即的整数部分为1，小数部分为． ②，即的整数部分为2，小数部分为． 请解答： (1)的整数部分为_______，小数部分为_______； (2)设的整数部分为a，小数部分为b，求的值． 【答案】(1)3； (2)4 【分析】本题主要考查了无理数的整数部分、小数部分、二次根式的混合运算等知识点，掌握求无理数的取值范围是解题的关键． （1）先求出的取值范围，进而求出其整数部分和小数部分即可； （2）先求出的取值范围，进而确定的取值部分，然后确定的整数部分a和小数部分b，然后代入运用二次根式的混合运算法则计算即可． 【详解】（1）解：， ， 的整数部分为3，小数部分是． 故答案为：3，； （2）解：， ，即， 的整数部分是， 小数部分是． ． 14．(24-25七下·湖南邵阳新邵县·期末)根据材料，解答下列问题：大家知道是无理数，而无理数是无限不循环小数，因此的小数部分我们不可能全部写出来，于是小明用来表示的小数部分，你同意小明的表示方法吗？事实上，小明的表示方法是有道理的．因为的整数部分是1，将一个数减去其整数部分，差就是小数部分． (1)已知，其中是整数，且，求的值； (2)已知的小数部分为，的小数部分为，求的立方根． 【答案】(1) (2)1 【分析】本题考查估算无理数的大小，二次根式的运算，立方根，代数式求值，熟练掌握二次根式的运算法则是解题的关键． （1）先通过估算的大小，从而估算出的大小，进而求出x、y值，再代入，然后根据二次根式的运算法则计算即可； （2）先通过估算的大小，从而估算出和的大小，进而求出a、b值，再代入，然后根据二次根式的运算法则计算，最后再求其立方根即可． 【详解】（1）解：∵ ∴ ∴的整数部分是11，小数部分为， ∵，其中是整数，且， ∴，， ∴ ； （2）解：∵， ∴，， ∴，， ∴． ∴的立方根． 15．(24-25八上·湖南怀化·期末)著名数学教育家G·波利亚，有句名言：“发现问题比解决问题更重要”，这句话启发我们：要想学会数学，就需要观察，发现问题，探索问题的规律性东西，要有一双敏锐的眼睛．请先阅读下列材料，再解决问题： 数学上有一些被开方数带根号的数能通过完全平方公式及二次根式的性质化简． 例如： 解决问题： (1)在括号内填上适当的数： ①：________，②：________，③：________． (2)根据上述思路，化简并求出的值． (3)设的小数部分为b，求证：． 【答案】(1)5；； (2)9 (3)证明见解析 【分析】本题考查了二次根式的混合运算，解决本题的关键是掌握完全平方公式． （1）根据题意即可作答； （2）根据题意分别将两个式子算出，进而即可求解； （3）根据题意得出值，进而得出b值，代入求出值证明结论． 【详解】（1）解：根据题意可得 ， 故答案为：5；；； （2）解：原式 ． （3）解：， 又， ， ， ， ． 16．(24-25八上·湖南常德教学联盟校·)阅读与思考 配方思想，是初中数学重要的思想方法之一，用配方思想方法，可以简化数学运算，常用的配方公式有：，．用配方思想方法，解答下面问题： (1)已知：，求的值； (2)已知：，，求的值； (3)已知：，，（，），求的值． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题主要考查完全平方公式的变形以及二次根式的混合运算，熟练掌握公式解答本题的关键． （1）运用完全平方公式的变形求解即可； （2）分别求出的值，再将所要求的式子变形，最后整体代入计算即可； （3）将变形为，最后整体代入计算即可． 【详解】（1）解：∵， ∴； （2）解： （3）解：∵，， ∴ ． 17．(24-25八上·湖南娄底娄星区·期末)阅读下列材料： 【材料一：分母有理化】①； ②； ； 【材料二：分子有理化】 ． 请结合上述材料，解答下列问题： (1)化简：__________，____________． (2)比较和的大小，并说明理由； (3)计算：． 【答案】(1)， (2) (3) 【分析】本题考查了二次根式的混合运算、分母有理化． （1）利用分母有理化计算即可得解； （2）先求出，，再比较即可得解； （3）根据分母有理化计算即可得解． 【详解】（1）解：由题意可得：，． （2）解： 同理 因为 所以． （3）解： ． 地 城 考点05 二次根式的应用 1．(24-25八上·湖南邵阳新邵县·期末)我国南宋著名数学家秦九韶在他的著作《数书九章》一书中，给出了著名的秦九韶公式；也叫三斜求积公式，即如果一个三角形的三边长分别为a，b，c，那么该三角形的面积为．已知的三边长分别为2，，4，则的面积为 ． 【答案】 【分析】本题考查代公式计算，熟练掌握代公式计算的方法、平方与开平方的计算方法是解题关键，其中认真细致的习惯和态度也是不可或缺的 ．把a、b、c的值代入所给公式即可得到答案． 【详解】解：由题意可得： = ， 故答案为：． 2．(24-25八上·湖南永州祁阳·期末)将一组数，2，，，…，按图中的方法排列： ，2，，，，， ，4，，，，， ，，，，，，6 … 若的位置记为，的位置记为，则这组数中最大数的位置记为 ． 【答案】 【分析】本题考查二次根式的性质，数字类规律探索，先将原数阵中的数全部化为算术平方根的形式，总结规律可得(m为正整数)在第m行的第4个，再由可得解．将原数阵中的数全部化为算术平方根的形式，从而发现规律是解题的关键． 【详解】将原数阵中的数全部化为算术平方根的形式，可得： ，2，，，，， ，4，，，，， ，，，，，，6 … 观察可知：(m为正整数)在第m行的第4个， ∴，在第169行的第4个， ∴这组数中最大数的位置记为， 故答案为： 3．(23-24八上·湖南长沙青竹湖湘一外国语学校·期末)已知一个长方形相邻的两边长分别是，，且，． (1)求此长方形的周长； (2)若一个正方形的周长与上述长方形的周长相等，求此正方形的面积． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查二次根式的实际应用．掌握二次根式的运算法则，正确的计算，是解题的关键． （1）根据长方形的周长公式列式计算即可． （2）周长除以4求出正方形的边长，进一步求出正方形的面积即可． 【详解】（1）解：由题意，得：长方形的周长为； （2）由题意，得：正方形的周长为， ∴正方形的边长为：， ∴正方形的面积为． 4．(24-25八上·湖南邵阳第三中学·期末)电视塔越高，从塔顶发射出的电磁波传播得越远，从而能接收到电视节目信号的区域就越广．已知电视塔高与电视节目的信号传播半径之间满足，其中是地球半径，．      (1)已知广州塔高约，求广州塔发射节目信号的传播半径；（） (2)设广州塔的高度是，另一座塔高为，求广州塔与另外一塔发射节目信号的传播半径之比． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了二次根式的应用，理解题意正确列出算式是解题的关键． （1）代入和到，即可求解； （2）根据题意，分别求出广州塔与另外一塔发射节目信号的传播半径，两者相比即可得出答案． 【详解】（1）解：当时， 则， 答：广州塔发射节目信号的传播半径为； （2）解：∵广州塔的高度是，另一座塔高为， ∴广州塔发射节目信号的传播半径为，另外一塔发射节目信号的传播半径为， ∴广州塔与另外一塔发射节目信号的传播半径之比为， 答：广州塔与另外一塔发射节目信号的传播半径之比为． 5．(24-25八上·湖南株洲攸县·期末)某居民小区有块形状为长方形的绿地，长方形绿地的长为，宽为，现要在长方形绿地中修建一个长方形花坛即图中阴影部分，长方形花坛的长为，宽为． (1)长方形的周长是多少？（结果化为最简二次根式） (2)除修建花坛的地方，其它地方全修建成通道，通道上要铺上造价为的地砖（假设地砖没有损耗），要铺完整个通道，则购买地砖需要花费多少元？ 【答案】(1) (2)元 【分析】本题考查二次根式的应用； （1）根据长方形的周长列出算式，再利用二次根式的混合运算顺序和运算法则计算即可； （2）先计算出空白部分的面积，然后再用空白部分的面积乘以单价即可得出结论． 【详解】（1）解：长方形的周长 答：长方形的周长是． （2）铺地砖的面积 故购买地砖的花费为(元) 答：购买地砖需要花费元． 6．(24-25八下·湖南益阳赫山区·期末)阅读材料1： 在不等式领域，有一个叫基本不等式的工具，表述如下：对于任意的正数a、b，都有，当且仅当时等号成立，它是解决最值问题的有力工具． 例如：在的条件下，，当且仅当时，即时等号成立，从而有最小值2． 阅读材料2： 我们知道，假分数可以写成一个整数与一个真分数的和，如，当分式的分母次数小于分子的次数时，也有类似的变换，如： （1）， （2）． 请根据阅读材料解答下列问题： (1)若为正数，则的最小值为______，此时，______； (2)若为正数，则的最小值为______，此时，______； (3)求下列分式在给定的的取值范围内的最小值，并指出取得最小值时对应的的值． ①                 ② 【答案】(1)6，3 (2)， (3)①时，原式有最小值4，②时，原式有最小值5 【分析】本题考查了分式的化简求值、二次根式的应用，熟练掌握运算法则，理解题干所给例子是解此题的关键． （1）由题意可得的最小值为，此时，计算即可得解； （2）由题意可得的最小值为，此时，计算即可得解； （3）①仿照题干所给例子，计算即可得解；②仿照题干所给例子，计算即可得解． 【详解】（1）解：∵对于任意的正数a、b，都有，当且仅当时等号成立， ∴为正数，则的最小值为，此时， 解得：或（不符合题意，舍去）； （2）解：∵对于任意的正数a、b，都有，当且仅当时等号成立， ∴为正数，则的最小值为，此时， 解得：或（不符合题意，舍去）； （3）解：① 当且仅当时取等号，得 或，即或， 又， 时取等号，即时，原式有最小值4． ② 当且仅当时取等号，得 或，即或， 又， ∴当时取等号，即时，原式有最小值5． 7．(24-25八上·湖南常德临澧县·期末)阅读下面材料： 将边长分别为，，，的正方形面积分别记为，，，．则． 根据以上材料解答下列问题： (1) ， ； (2)把边长为的正方形面积记作，其中n是正整数，从（1）中的计算结果，你能猜出等于多少吗？并证明你的猜想； (3)令，，， 且，求T的值． 【答案】(1)， (2) ，理由见详解 (3) 【分析】本题考查了规律探究，二次根式的应用； （1）由正方形的面积得 ， ，即可求解； （2）根据（1）的结果进行猜想得 ，即可求解； （3） ，代入、，即可求解； 找出规律，能熟练利用平方差公式进行二次根式混合运算是解题的关键． 【详解】（1）解： ； ； 故答案为：，； （2）解： ， 理由如下： ； （3）解： ． 试卷第1页，共3页 / 学科网（北京）股份有限公司 $