3.2.2二次根式的除法（教学设计）-2025-2026学年八年级数学上册（湘教版）

2026年祁阳市优质教学资源评选活动 ---八年级上册3.2二次根式的乘法和除法《第2课时二次根式的除法》教学设计 课程基本信息 主备人 曹增锋 课型 新授课 学科 数学 年级 八年级 学段 初中 版本章节 湘教版第3章 教学目标 1.情境与问题：通过回顾二次根式的乘法，引导学生思考、探索、论证并得出二次根式除法法则，激发学生对数学规律的好奇心和探究欲望。 2.知识与技能：掌握二次根式的除法法则：；能熟练运用该法则进行计算，并能灵活运用根式乘除法法则将二次根式化简。 3.思维与表达：通过类比二次根式除法，发展学生的类比迁移能力（二次根式的除法法则）；在探讨例题时发现二次根式的最简化问题（最后结果分母不含根式），培养灵活选择策略的逻辑思维；能准确用数学语言表达二次根式除法的运算法则及其推广形式。 4.交流与反思：在小组练习、例题讨论和课堂小结中鼓励学生分享解题思路，进一步理解数学知识的合理运用，发展创新意识和合作交流能力，养成反思优化解题方法的习惯。 教学重难点 1.教学重点：掌握二次根式的除法法则，能熟练应用于计算和化简。 2.教学难点：灵活运用二次根式除法法则，熟练将二次根式化简，尤其涉及系数和多个二次根式计算的情形。 学情分析 学生已具备算术平方根、单项式乘法、积的算术平方根性质等知识基础。但对二次根式的除法法则了解不够，缺乏对法则本质的理解和灵活运用的能力。部分学生对根号内外的运算易混淆，需通过类比和对比强化理解。 教学准备 多媒体课件、板书设计图、课堂练习小页、计算器（备用）。 教学过程 教学环节 师生活动 设计意图 复习导入 师：二次根式的乘法法则：=（a≥0，b≥0） 二次根式的乘法法则的推广。 通过回顾二次根式的乘法法则方法，已发对二次根式知识的思考。 探究新知 （二次根式的除法法则） 探究新知 （二次根式的乘法法则） 活动1：观察与猜想 师：同学们，我们先来看两道计算题。 （出示题目） 师：请回忆之前学过的化简方法——将被开方数分解因数，找出平方数。第一题怎样做？像4、9这样的整数比较好找出是谁平方，那这样的分数如何赵是谁的平方？引发学生对根式计算的知识回顾。 生： 是 的平方，所以；4是2的平方，9是3的平方，所以原式=2÷3=。 师：（板书过程）很好。第二题同样请同学来说，看是否熟练掌握分解方法？ 生： 是 的平方，所以= ；16是4的平方，25是5的平方，所以原式=4÷5=。 师：（板书过程）非常好。观察与是什么关系，同样与是什么关系？ 生：=，= 师：若将数字换成字母会是什么样的？ 生： 师有要注意的条件吗？ 生： 师：因此我们可以得到式子 商的算术平方根性质。 师：刚刚我们通过观察探索发现了商的算术平方根性质，但是否成立还要通过数学的探索证明来进一步验证发现规律的可行性，通过以前的知识进行推导论证。一般地，如果 > 0，则·＝＝＝1，因此， = (a > 0). 设 > 0，b≥0，则 ＝＝·＝·＝ . 师：由此可知商的算术平方根性质：（ > 0，b≥0）即：商的算术平方根，等于被除式的算术平方根除以除式的算术平方根.注意：分母不能含二次根式 例题3分析：化简二次根式：（1） （2） 师：第一题你是如何想的？ 生：先根据商的算术平方根性质进行转换，=，再将化简，最后得到， 师：（板书）原式=== 师：哪位同学来说说第二题你是如何思考的？ 生：先根据商的算术平方根性质计算，发现分式有根号，我是这样处理的，分子分母同时乘得到，经过二次根式的乘法运算去掉了分母的二次根式，最后结果是 师：（板书）原式====. 师：经过刚刚的分析发现同学们能较好的运用商的算术平方根性质现在我们来练一练。 练一练：1、化简下列二次根式： （1）；（2）；（3） 2、 化简下列二次根式： （1）；（2）（＞0）；（3） 师：请同学上台展示。 生：1、（1）；（2）；（3） 2、（1）；（2）；（3） 师;前面我们学习了积的算术平方根的性质：（a≥0，b≥0）推导出了二次根式的乘法法则：=（a≥0，b≥0），以此类推我们是否可以通过商的算术平方根的性质：（ > 0，b≥0）得到二次根式的除法法则？ 生;可以，二次根式的除法法则是（ > 0，b≥0）。 师：二次根式的除法法则是各因式的算术平方根的商，等于商的算术平方根. 师：若二次根式前有系数改然后处理？？ 生：系数单独拿出来系数相除得到，同样有条件（，n）。 师：（板书）=（，n） 师：根据刚刚的发现我们一起来看一下下面各题。 例题4分析：计算：（1）÷；（2） 生：先根据二次根式的除法法则得到，约分得到，（师：板书：原式=÷==） 生：先约分得到，再去分母根式，结果为.（师：板书：原式= = ） 师：根据刚刚的发现我们一起来看一下下面各题。 练一练：3、计算：8÷2；(2)；（3） 4、计算：（1）÷；（2）÷ 生：3、（1）4；（2）；（3） 4、（1）2；（2）12 师：有两位同学在学习时发现这样一个问题，小华与小楠两名同学在计算 时，做法分别如下： （1） ===3； （2）==3。你更喜欢哪种做法? 生1：方法（1）：计算简洁和可以快速得出结果. 生2：方法（2）：更注重计算的准确性，尤其是在复杂运算场景下，可能更合适. 例题5分析：例3 电视塔越高，从塔顶发射出的电磁波传播得越远，从而能接收到电视节目信号的区域就越广. 已知电视塔高 h (km)与电视节目信号的传播半径 r (km)之间满足r=(其中 R 是地球半径). 现有两座塔高分别为=600m，=450m的电视塔，问它们的传播半径之比等于多少？ 生：解：设两座电视塔的信号传播半径分别为 ，.∵r= ，600m=0.6km ，450m=0.45km ∴ = = == = . 答：两座电视塔的信号传播半径之比等于 师：本节课的内容已经讲完，下面我们一起来挑战一下，是否能将知识很好的进行应用。 能力提升：计算：（1）×； （2）÷(m＞0） 生：（1）；（2） 作业： 1、 计算： （1）÷ ；（2） ； （3） ；（4）÷. 2、当a=3，b=4时，求下列各式的值： （1） ; （2）. 3、（选做题）如图，从一个大正方形中 裁去面积为12和15的两个小正 方形，求留下部分的面积. 通过观察发现发现两式子之间计算方式迥异，已发对二次根式计算的思考。 从具体计算抽象出商的算术平方根性质，并关注正用与逆用，为学习二次根式除法法则做铺垫。 通过具体数值计算，让学生从感性认识出发，自主发现二次根式除法规律，培养观察、归纳和猜想能力，同时自然引出除法运算方法，体现从特殊到一般的数学思想。 化简二次根式时，最后结果要求分母中不含有二次根式. 先运用商的算术平方根的性质，再运用积的平方根性质 引出：各因式的算术平方根的商，等于商的算术平方根. 引导学生将法则从两个根式推广到多个根式，并处理系数相除的情形，类比单项式乘除法则，发展类比迁移能力；通过追问和举例，帮助学生建立完整的运算法则结构，为后续灵活运算奠定基础。 强化对最简二次根式的理解。 除式是分数或分式时，先要转化为乘法再进行运算. 类似（2）中被开方数中含有带分数，应先将带分数化成假分数，再运用二次根式除法法则进行运算. 板书设计/课堂小结 通过这节课的学习，你有什么收获呢？ 商的算术平方根→ （逆运用） （ > 0，b≥0）→计算与化简→最简二次根式 教学反思 本课以“观察—猜想—验证—推广”为主线，引导学生从具体计算中自主发现二次根式的除法法则，将抽象的运算规律变得直观可感。复习环节通过二次根式的乘法法则的辨析，自然强化了二次根式的乘法的条件，为法则的严谨运用扫清了障碍。在探究新知识时，学生通过两组对比计算，同学较好的归纳出，并主动注意到字母的取值范围，体现出良好的数学抽象与概括能力。顺势追问多个根式相除及系数相除的情形，学生能够类比单项式乘法法则进行迁移，课堂反应积极，表明类比思想的渗透有效到位。 例题设计分层递进，从基础计算到系数处理再到方法讨论，覆盖了法则正用、逆用及灵活变式。处理例3时，学生能清晰进行商的算术平方根运算，书写规范；例4中，师生进一步理解除式是分数或分式时，先要转化为乘法再进行运算.被开方数中含有带分数，应先将带分数化成假分数，再运用二次根式除法法则进行运算.学生主动发表看法，在交流中体会到方法多样性与结果化简的必要性，合作学习氛围浓厚。巩固练习第5题时，部分学生一开始感到困难，但在小组讨论和教师点拨下，利用除法法则的灵活运用顺利完成，成就感强。整体看，教学目标较好完成，能熟练计算，顺利化成最简式。 不足之处：在练习中，个别学生仍忽略最简式的要求略，导致计算结果不是最简；后续教学中可增设对比纠错环节，帮助学生进一步优化解题细节。 学科网（北京）股份有限公司 $