八年级数学上学期第二次月考·拔尖卷（华东师大版2024，举一反三，测试范围：第10章 数的开方～第13章 勾股定理）

八年级数学上学期第二次月考·拔尖卷 【华东师大版2024】 测试范围：第10章 数的开方~第13章 勾股定理 姓名：___________班级：___________考号：___________ 考卷信息： 本卷试题共25题，单选10题，填空6题，解答9题，满分150分，限时120分钟，本卷题型针对性较高，覆盖面广，选题有深度，可量化学生的掌握程度！ 一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，满分40分） 1．（25-26八年级上·上海·期中）如果，那么的结果约是（   ） A． B． C． D． 2．（25-26八年级上·河南周口·月考）已知，代数式的值是（    ） A．24 B．30 C．35 D．36 3．（25-26八年级上·福建福州·期中）已知，，则的值是（    ） A． B． C． D．4 4．（25-26八年级上·广东珠海·期中）如图，是的中线，点E是边上一点，且满足，与交于点F，已知，则是（       ） A． B．2 C． D．3 5．（24-25八年级上·江苏南通·期末）如果m表示大于1的整数，设，，，，其中任选三个数能构成勾股数的为（   ）． A．a，b，c B．a，b，d C．a，c，d D．b，c，d 6．（2025·北京石景山·模拟预测）当一个三角形的三边长是连续偶数，则对这样的三角形描述正确的是（） A．只有1个钝角三角形 B．只有2个钝角三角形 C．只有1个锐角三角形 D．只有2个锐角三角形 7．（25-26八年级上·广西柳州·期中）如图，在等边三角形中，是中线，点分别在，上，且，动点在上，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 8．（25-26八年级上·河北·阶段练习）如图，在方格纸中，为的平分线，从，，，四个点中找出符合条件的点，则点有（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 9．如图，在，D为上的一点，，在的右侧作，使得，连接交于点O，若，求的度数为（ ） A． B． C． D． 10．（25-26八年级上·浙江嘉兴·期中）已知等腰中，边上的高恰好等于的一半，则的度数是（） A． B．或或 C．或 D．或或 二、填空题（本大题共6小题，每小题4分，满分24分） 11．（25-26八年级上·福建福州·期中）已知，则 ． 12．（25-26八年级上·陕西汉中·月考）如图，在中，，点、分别在边、上，连接，将沿直线折叠，点恰好落在边上的点处，且，若，则线段的长为 ． 13．（2025七年级上·全国·专题练习）任何实数a，可用表示不超过a的最大整数，如，现对72进行如下操作：，这样对72只需进行3次操作后变为1．类似地，对81只需进行3次操作后变为1，那么只需进行3次操作后变为1的所有正整数中，最大的是 ． 14．（25-26八年级上·江苏徐州·期中）如图，，平分，且．若点M，N分别在、上，且为等边三角形，则满足上述条件的有 ． 15．（25-26八年级上·重庆·阶段练习）如图，在等腰中，点为内部一点，连接，，，，记，若，则 ．（用表示） 16．（24-25九年级上·安徽合肥·月考）如图，在中，，将绕边的中点O逆时针旋转得到，顶点E落在边上，边交边于点G． （1）的长为 ； （2）连接，则的面积为 ． 三、解答题（本大题共9小题，满分86分） 17．（8分）如图，，，分别在，上，，且，点是的中点，与相交于点． (1)求证：． (2)与垂直吗？请说明理由． 18．（8分）（24-25七年级上·重庆·开学考试）阅读材料：把一个自然数所有数位上的数字先平方再求和得到一个新数，叫做第一次运算，再把所得新数所有数位上的数字先平方再求和又将得到一个新数，叫做第二次运算，…，如此重复下去，若最终结果为，我们把具有这种特征的自然数称为“快乐数”．例如：，所以是快乐数．根据上述材料，解决以下问题： (1)试说明：是“快乐数”； (2)若一个三位“快乐数”经过两次运算后结果为，把这个三位“快乐数”与它的各位上的数字相加所得的和被8除余数是，求出这个“快乐数”． 19．（8分）（25-26七年级上·浙江宁波·期中）如图，在的小正方形组成的图形中有一个阴影部分（阴影部分也是正方形）．若每个小正方形的边长为1，点表示的数为． (1)图中正方形的面积为多少？它的边长为多少？这个值在哪两个连续整数之间？ (2)若阴影正方形的边长的值的整数部分为，小数部分为，求的值， (3)若正方形从当前状态沿数轴正方向翻滚，我们把点滚到与数轴上的点重合时，记为第一次翻滚，如图所示，翻滚到数轴上时，记为第二次翻滚…以此类推，请回答： ①点表示的数为多少？ ②是否存在正整数，使得该正方形次翻滚后，其顶点，，，中的某个点与2025重合？ 20．（8分）（24-25八年级上·江苏无锡·期中）定义：在中，若，，，a，b，c满足则称这个三角形为“类勾股三角形”．请根据以上定义解决下列问题： (1)命题：“直角三角形都是类勾股三角形”是______（填“真”或“假”）命题． (2)如图1所示、若等腰三角形是“类勾股三角形”，其中，，请求的度数． (3)如图2所示，在中，，且．请证明为“类勾股三角形”． 21．（8分）（25-26八年级上·四川内江·期中）（1）若，，求的值； （2）若满足，求的值． （3）阅读材料，若，求的值． 解：由，可得． 整理得．得． 根据上述方法的启发，完成下列问题：已知，求的值． 22．（10分）（25-26七年级上·上海杨浦·期中）如图，线段长度为，在线段上截取线段，再延长至，使，，分别做正方形、正方形和正方形． (1)分别计算图中长方形和阴影部分图形的面积，可以发现一个乘法公式_________； (2)如果已知图中正方形、正方形的面积分别是7和3，计算长方形的面积； (3)分别连接、、、，如果已知正方形的面积是，正方形的面积是，用含、的代数式表示四边形的面积． 23．（10分）已知是等边三角形，点是边上一点，点是边上一点，且满足 ，连接、交于点． (1)①如图1，直接写出的度数； ②如图2，过点作于点，当时，求证：； (2)如图3，当时，求的度数． 24．（12分）（25-26八年级上·河南平顶山·阶段练习）（1）如图1，长方体的长为，宽为，高为．求该长方体中能放入木棒的最大长度； （2）如图1，现有一只蚂蚁从点处沿长方体的表面爬到点处，求它爬行的最短路程．小明沿长方体的棱剪开（如图2），求得最短距离为，请你判断是否正确，并说明理由； （3）如图3，若将题中的长方体换成透明圆柱形容器（容器厚度忽略不计），容器的高为，底面周长为，在容器内壁离底部的点处有一饭粒，此时一只蚂蚁正好在容器外壁且离容器上沿与饭粒相对的点处．此时蚂蚁吃到饭粒需要爬行的最短路程是___________． 25．（14分）（24-25八年级上·河北唐山·期中）如图1，图2，已知在中，，，，为的平分线，且，是边上一动点（点不与点重合），连接，过点作于点，交射线于点． (1)当点在点的左侧运动时（如图1所示），求证：； (2)若，，求的长； (3)当点的位置如图2所示时，过点分别作，，且，点在的延长线上，连接，与交于点，写出，与之间的数量关系． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $ 八年级数学上学期第二次月考·拔尖卷 【华东师大版2024】 参考答案与试题解析 一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，满分40分） 1．（25-26八年级上·上海·期中）如果，那么的结果约是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了立方根，如果把一个数扩大倍，则它的立方根扩大倍，如果把一个数缩小倍，则它的立方根缩小倍，做题的关键是掌握以上规律．根据立方根的变化特点和给出的数据进行解答即可． 【详解】解： ，且，， ． 故选：A． 2．（25-26八年级上·河南周口·月考）已知，代数式的值是（    ） A．24 B．30 C．35 D．36 【答案】C 【分析】本题考查了一元二次方程的解，代数式求值，巧用整体思想是解题的关键． 由得到，再整体代入变形后的代数式即可求得． 【详解】解：， ， ． ， ， ． 故选：C． 3．（25-26八年级上·福建福州·期中）已知，，则的值是（    ） A． B． C． D．4 【答案】A 【分析】本题考查了同底数幂的乘除法逆运算，幂的乘方运算，解题的关键是熟练掌握运算法则． 利用指数运算性质，将已知条件转化为以9为底的幂，然后代入所求表达式求解． 【详解】解： 故选：A． 4．（25-26八年级上·广东珠海·期中）如图，是的中线，点E是边上一点，且满足，与交于点F，已知，则是（       ） A． B．2 C． D．3 【答案】A 【分析】本题主要考查了三角形的中线． 先根据三角形的中线、求得、，设，进而求得、，最后代入计算即可． 【详解】解：∵是的中线，， ∴， ∵， ∴， ∴， 设，则，， ∴． 故选：A． 5．（24-25八年级上·江苏南通·期末）如果m表示大于1的整数，设，，，，其中任选三个数能构成勾股数的为（   ）． A．a，b，c B．a，b，d C．a，c，d D．b，c，d 【答案】B 【分析】本题考查勾股定理、勾股数，解题的关键是掌握勾股定理的逆定理． 根据勾股定理的逆定理逐项判断即可． 【详解】解：∵，，，， ∴；； ； ． A．，因为（当时，），，，所以，，不能构成勾股数，故本选项不符合题意； B．，所以，，能构成勾股数，故本选项符合题意； C． ，，，所以，，不能构成勾股数，故本选项不符合题意； D．，，，所以，，不能构成勾股数，故本选项不符合题意； 故选：B． 6．（2025·北京石景山·模拟预测）当一个三角形的三边长是连续偶数，则对这样的三角形描述正确的是（） A．只有1个钝角三角形 B．只有2个钝角三角形 C．只有1个锐角三角形 D．只有2个锐角三角形 【答案】A 【分析】本题考查了三角形三边关系，完全平方公式，整式的加减，勾股定理的逆定理及应用，理解三角形的两条较小的边的平方和大于最大边的平方时为锐角三角形，反之则为钝角三角形． 由三角形的三边长是连续偶数，分三边为2，4，6；4，6，8；6，8，10；8，10，12；逐一判断，再当三角形的最小边不小于8时，设三角形的三边分别为，再根据三角形的两条较小的边的平方和大于最大边的平方时为锐角三角形，反之则为钝角三角形进行判断即可． 【详解】解：由三角形的三边长是连续偶数， 当三边为2，4，6时， ∵， ∴2，4，6不能组成三角形； 当三边为4，6，8时， ∵， ∴最大角为钝角，则三边为4，6，8时三角形是钝角三角形； 当三边为6，8，10， ∵， ∴三边为6，8，10时三角形是直角三角形； 当三边为8，10，12， ∵， ∴三边为8，10，12时，三角形是锐角三角形（最大角为锐角）； 当三角形的最小边不小于8时，设三角形的三边分别为，有 ，解得， ∵， ∴最小边为8且三边长是连续偶数的三角形都是锐角三角形； 综上，只有1个钝角三角形． 故选A． 7．（25-26八年级上·广西柳州·期中）如图，在等边三角形中，是中线，点分别在，上，且，动点在上，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了等边三角形的判定和性质，轴对称的性质，由等边三角形的性质可得，，，即得，作点关于的对称点，连接交于，则，可得，即得的最小值即为线段的长，再证明是等边三角形即可求解，正确作出辅助线是解题的关键． 【详解】解：∵是等边三角形， ∴，， ∵是中线， ∵，，， ∵， ∴， ∴， 如图，作点关于的对称点，连接交于，则， ∴ 由两点之间线段最短，可知此时的值最小，最小值即为线段的长， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴是等边三角形， ∴， ∴的最小值为， 故选：． 8．（25-26八年级上·河北·阶段练习）如图，在方格纸中，为的平分线，从，，，四个点中找出符合条件的点，则点有（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】A 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，网格与勾股定理，角平分线的判定，，，利用勾股定理求出，证明得到从而得出结论． 【详解】解：如图，连接，， 设每个方格的长度为1， ，，，， ， 又， ， ，即为的平分线， 点符合题意，，，不符合题意， 故选：A． 9．如图，在，D为上的一点，，在的右侧作，使得，连接交于点O，若，求的度数为（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据题意可证，得到，结合两直线平行，同旁内角互补和等边对等角可推出，从而得到是等边三角形，进而推出是等边三角形，可知，结合，由三角形外角的性质即可求得答案． 【详解】解：∵， ∴， 即， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴是等边三角形， ∴， ∵， ∴是等边三角形， ∴， ∵， ∴， ∴． 故选：C． 【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质，等边三角形的判定与性质，等腰三角形的性质，平行线的性质，三角形外角的定义与性质，熟练掌握以上知识点是解题的关键． 10．（25-26八年级上·浙江嘉兴·期中）已知等腰中，边上的高恰好等于的一半，则的度数是（） A． B．或或 C．或 D．或或 【答案】D 【分析】本题考查了等腰三角形的性质，等边三角形的性质与判定，直角三角形中斜边上的中线等于斜边的一半，三角形的外角的性质；本题考查等腰三角形的性质，需分情况讨论：当为底边时，；当为腰且高在三角形内部时，；当为腰且高在三角形外部时，． 【详解】解：设边上的高为，为垂足，则 ． ①当为底边（）时： ，， ， 又 ， 为等腰直角三角形，， 同理， ． ②当为腰且，高在三角形内部时： 在中， ， 取的中点，连接， ∴ ∴是等边三角形， ∴ ， ， 又，， 设，则，解得， ． ③当为腰且，高在三角形外部时： 在中， ， 同理可得， ，且， ， 设，则，解得， ． 综上，的度数为或或， 故选：D． 二、填空题（本大题共6小题，每小题4分，满分24分） 11．（25-26八年级上·福建福州·期中）已知，则 ． 【答案】4 【分析】本题考查了完全平方公式，由已知条件可得，，代入中，根据完全平方公式计算，得出的值． 【详解】解：∵， ∴，， ∵， ∴， 展开得 ， 即， ∴． 故答案为：4． 12．（25-26八年级上·陕西汉中·月考）如图，在中，，点、分别在边、上，连接，将沿直线折叠，点恰好落在边上的点处，且，若，则线段的长为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了勾股定理，折叠的性质，先由勾股定理求出的长，进而求出的长，由折叠的性质可得，设，则，由勾股定理得，解方程即可得到答案． 【详解】解：∵在中，，， ∴， ∴， 由折叠的性质可得， 设，则， 在中，由勾股定理得， ∴， 解得， ∴， 故答案为：． 13．（2025七年级上·全国·专题练习）任何实数a，可用表示不超过a的最大整数，如，现对72进行如下操作：，这样对72只需进行3次操作后变为1．类似地，对81只需进行3次操作后变为1，那么只需进行3次操作后变为1的所有正整数中，最大的是 ． 【答案】255 【分析】本题考查了估算无理数的大小的应用． 根据操作过程分别求出255和256进行几次操作，即可得出答案． 【详解】解：∵，，， ∴对255只需进行3次操作后变为1， 从后向前推，找到需要4次操作得到1的最小整数， ∵ ，，，， ∴对256只需进行4次操作后变为1， ∴只需进行3次操作后变为1的所有正整数中，最大的是255， 故答案为：255． 14．（25-26八年级上·江苏徐州·期中）如图，，平分，且．若点M，N分别在、上，且为等边三角形，则满足上述条件的有 ． 【答案】无数个 【分析】本题主要考查角平分线的性质、等边三角形的判定、全等三角形的判定与性质，熟练掌握角平分线的性质、等边三角形的判定是解决本题的关键． 如图，过点P作于M，于N．根据角平分线的性质，由平分，于M，于N，得，，那么．此时，是等边三角形．然后再进行分类讨论． 【详解】解：如图，过点P作于M，于N，    ∵平分， ∴，， ∴， 此时，是等边三角形． 当M向方向移动，N向方向移动，且， ∴， 在和中， ， ∴， ∴． ∴是等边三角形， 即当M向方向移动，N向方向移动，且， ∴是等边三角形． 同理：当M向方向移动，N向方向移动，都有是等边三角形． 综上：满足条件的有无数个． 故答案为：无数个． 15．（25-26八年级上·重庆·阶段练习）如图，在等腰中，点为内部一点，连接，，，，记，若，则 ．（用表示） 【答案】/ 【分析】本题考查了全等三角形的性质与判定，等边三角形的性质与判定，垂直平分线的性质，三角形的外角的性质，过点作于点，在上取点使得，连接，设，根据已知得出，进而得出，则，证明，进而得出是等边三角形，得出，则，根据三角形的外角的性质得出，进而求得． 【详解】解：如图所示，过点作于点，在上取点使得，连接， ∵，， ∴垂直平分， ∴，， 设， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 在和中， ∴， ∴， ∴， ∴是等边三角形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， 故答案为：． 16．（24-25九年级上·安徽合肥·月考）如图，在中，，将绕边的中点O逆时针旋转得到，顶点E落在边上，边交边于点G． （1）的长为 ； （2）连接，则的面积为 ． 【答案】 【分析】（1）利用勾股定理的逆定理推出，根据旋转的性质和中点的定义得到，根据旋转的性质和等腰三角形的性质得到，得出，再利用直角三角形的性质推出，得出，再利用直角三角形的性质即可求出的长； （2）连接、，由（1）得，，，推出四边形是矩形，则有，，利用等面积法求出的长，利用勾股定理求出的长，进而得出的长，再利用三角形的面积公式即可求出的面积． 【详解】解：（1）， ， ， 将绕边的中点O逆时针旋转得到， ，，，，， 点O是边的中点， ， ， ， ， ， ， ，， ， ， ， ， ． 故答案为：． （2）如图，连接、， 由（1）得，，， 四边形是矩形， ，， 是的高， ， ， ，， ， ， 的面积为． 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了旋转的性质、勾股定理及其逆定理、直角三角形的性质、矩形的判定与性质，熟练掌握相关知识点是解题的关键．本题属于几何综合题，需要较强的几何推理论证能力，适合有能力解决几何难题的学生． 三、解答题（本大题共9小题，满分86分） 17．（8分）如图，，，分别在，上，，且，点是的中点，与相交于点． (1)求证：． (2)与垂直吗？请说明理由． 【答案】(1)见解析 (2)垂直，见解析 【分析】本题考查了等腰直角三角形的性质与判定以及全等三角形的判定与性质；熟练掌握全等三角形的判定方法，证明三角形全等是解决问题的关键． （1）根据等腰直角三角形的性质得出，，再证明，得出，即可证出结论； （2）由（1）得：，，，再证明，即可得出结论． 【详解】（1）证明：是等腰直角三角形，是的中点， ，， ， ， ， ， ， 在和中， ， ， ； （2）；理由如下： 由（1）得：，，， ， ， ， ． 18．（8分）（24-25七年级上·重庆·开学考试）阅读材料：把一个自然数所有数位上的数字先平方再求和得到一个新数，叫做第一次运算，再把所得新数所有数位上的数字先平方再求和又将得到一个新数，叫做第二次运算，…，如此重复下去，若最终结果为，我们把具有这种特征的自然数称为“快乐数”．例如：，所以是快乐数．根据上述材料，解决以下问题： (1)试说明：是“快乐数”； (2)若一个三位“快乐数”经过两次运算后结果为，把这个三位“快乐数”与它的各位上的数字相加所得的和被8除余数是，求出这个“快乐数”． 【答案】(1)见解析 (2)或 【分析】本题考查了新定义下的实数运算，有理数的乘方运算，明确“快乐数”的含义是解决本题的关键。 （1）按照“快乐数”的定义，进行计算即可求解； （2）根据“快乐数”的定义可得当一个三位“快乐数”经过两次运算后结果为时，这个三位数经过第一次运算结果可以是或，分别结合“快乐数”的定义，求出这个数，再根据这个三位“快乐数”与它的各位上的数字相加所得的和被除余数是，确定这个“快乐数”即可． 【详解】（1）解： ， ， ， ， 则是“快乐数”． （2）解：因为，， 故当一个三位“快乐数”经过两次运算后结果为时，这个三位数经过第一次运算结果可以是或； 当经过第一次运算结果是时，， 此时这个“快乐数”可以是，，，， 其与它的各位上的数字相加所得的和为，； 其与它的各位上的数字相加所得的和为，； 其与它的各位上的数字相加所得的和为，； 其与它的各位上的数字相加所得的和为，； 符合题意的“快乐数”是； 当经过第一次运算结果为时，， 此时这个“快乐数”可以是，，，， 其与它的各位上的数字相加所得的和为，； 其与它的各位上的数字相加所得的和为，； 其与它的各位上的数字相加所得的和为，； 其与它的各位上的数字相加所得的和为，； 符合题意的“快乐数”是； 综上，这个“快乐数”为或． 19．（8分）（25-26七年级上·浙江宁波·期中）如图，在的小正方形组成的图形中有一个阴影部分（阴影部分也是正方形）．若每个小正方形的边长为1，点表示的数为． (1)图中正方形的面积为多少？它的边长为多少？这个值在哪两个连续整数之间？ (2)若阴影正方形的边长的值的整数部分为，小数部分为，求的值， (3)若正方形从当前状态沿数轴正方向翻滚，我们把点滚到与数轴上的点重合时，记为第一次翻滚，如图所示，翻滚到数轴上时，记为第二次翻滚…以此类推，请回答： ①点表示的数为多少？ ②是否存在正整数，使得该正方形次翻滚后，其顶点，，，中的某个点与2025重合？ 【答案】(1)10，，这个值在3与4之间 (2) (3)①点P表示的数为；②不存在，理由见解析 【分析】本题考查实数与数轴，算术平方根，正方形的面积，无理数的估算．掌握等面积法是解决（1）的关键，（2）中需注意小数部分=原数-整数部分． （1）根据阴影部分的面积等于正方形的面积减去四周四个小直角三角形的面积列式计算，再利用算术平方根的定义求出边长，最后利用无理数的估算方法即可得到答案； （2）利用无理数估算的方法即可求得x和y；将x和y代入计算即可； （3）①根据点A表示的数和正方形的边长即可得到点P表示的数，②判断是否是正方形边长的整数倍，即可得出结论． 【详解】（1）解：正方形的面积为， 正方形的边长为， ， ， 这个值在3与4之间； （2）， ，， （3）①点A表示的数为，正方形的边长为， 点P表示的数为； ②不存在． 理由：假设存在正整数n,则， ， ， 为正整数， 为有理数，而为无理数， 上式等式不成立．即不存在正整数n 20．（8分）（24-25八年级上·江苏无锡·期中）定义：在中，若，，，a，b，c满足则称这个三角形为“类勾股三角形”．请根据以上定义解决下列问题： (1)命题：“直角三角形都是类勾股三角形”是______（填“真”或“假”）命题． (2)如图1所示、若等腰三角形是“类勾股三角形”，其中，，请求的度数． (3)如图2所示，在中，，且．请证明为“类勾股三角形”． 【答案】(1)假 (2) (3)见解析 【分析】本题是三角形综合题，考查等腰三角形的判定、勾股定理、“类勾股三角形”的定义等知识． （1）根据“类勾股三角形”的定义、勾股定理计算，得出直角三角形是等腰直角三角形，根据假命题的概念判断即可； （2）根据题意得到，根据“类勾股三角形”的定义得到，得到是等腰直角三角形，根据等腰直角三角形的定义求出； （3）在线段上取一点，使，连，过作交于，根据等腰三角形的性质、三角形的外角性质得到，根据等腰三角形的性质得到，根据勾股定理计算，得到，根据“类勾股三角形”的定义证明结论． 【详解】（1）解：在类勾股中，， 在中，， 由勾股定理得：， ， ， 当直角三角形是等腰直角三角形时，这个直角三角形是类勾股三角形， 命题：“直角三角形都是类勾股三角形”是假命题， 故答案为：假； （2）解：，， ，， 是类勾股三角形， ， ， 是等腰直角三角形， ； （3）证明：在线段上取一点，使，连，过作交于， ， ， ， ， ， ， ， ∵， ， ， ， ， ， 在中，， 在中，， ， 整理得， 是“类勾股三角形”． 21．（8分）（25-26八年级上·四川内江·期中）（1）若，，求的值； （2）若满足，求的值． （3）阅读材料，若，求的值． 解：由，可得． 整理得．得． 根据上述方法的启发，完成下列问题：已知，求的值． 【答案】（1）；（2）；（3） 【分析】（1）利用完全平方公式变形求值即可； （2）将和分别看作一个整体，由可得，利用完全平方公式变形求值即可； （3）将变形为，利用完全平方公式化简为，然后利用整体代入的方法计算即可． 本题考查了完全平方公式的运用，熟练掌握是解题的关键． 【详解】解：（1）∵，， ∴； ∵， ∴； （2）∵，， ∴， ∴， ∴， ∴； （3） ， ， ∴原式 ． 22．（10分）（25-26七年级上·上海杨浦·期中）如图，线段长度为，在线段上截取线段，再延长至，使，，分别做正方形、正方形和正方形． (1)分别计算图中长方形和阴影部分图形的面积，可以发现一个乘法公式_________； (2)如果已知图中正方形、正方形的面积分别是7和3，计算长方形的面积； (3)分别连接、、、，如果已知正方形的面积是，正方形的面积是，用含、的代数式表示四边形的面积． 【答案】(1) (2)2 (3) 【分析】本题考查了整式运算的应用． （1）根据题意可以得到； （2）由题意得，，计算得到，据此求解即可； （3）根据四边形的面积等于中间小正方形的面积和四个直角三角形面积和，据此求解即可． 【详解】（1）解：由题意得，长方形的面积， 阴影部分图形的面积， ∴可以发现一个乘法公式为； 故答案为：； （2）解：∵正方形、正方形的面积分别是7和3， ∴，， ∴， 整理得，，即， 长方形的面积； （3）解：∵正方形的面积是，正方形的面积是， ∴，， ∴四边形的面积 ． ． 23．（10分）已知是等边三角形，点是边上一点，点是边上一点，且满足 ，连接、交于点． (1)①如图1，直接写出的度数； ②如图2，过点作于点，当时，求证：； (2)如图3，当时，求的度数． 【答案】(1)①②见详解 (2) 【分析】（1）①通过证明，得，即可知道； ②把绕着点A顺时针旋转60°，与重合，点M的对应点为点N，连接，先证明，然后得到是等边三角形，进行等边代换，即可得证； （2）先得到，过点G作交于点H，交于点M，通过“”证明，得，，然后连接，再通“”证明，进行角的等量代换以及角和和差关系，即可作答． 【详解】（1）解：因为是等边三角形， 所以，， 因为， 所以， 则， 那么； ②把绕着点A顺时针旋转60°，与重合，点M的对应点为点N，连接，如图所示： 易得，，， 因为， 所以 故 即 因为，， 所以 则， 所以， 因为 所以 即是等边三角形， 所以 因为， 则； （2）解：过点E作， 因为， 所以 即 因为 所以， 则 过点作交于点，交于点，则， 设，则， ∴，， 在中，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， 连接，如图， ∵ ∴ 又∵， ∴， 在和中， ∴ ∴， ∴， ∴， ∴． 即． 【点睛】本题考查了全等三角形的综合，等边三角形的性质，三角形的外角性质，三角形的内角和，作辅助线（作垂线）以及一系列的辅助线，难度大，综合强，对学生具备较强的作辅助线能力有较高要求，正确掌握相关性质内容是解题的关键． 24．（12分）（25-26八年级上·河南平顶山·阶段练习）（1）如图1，长方体的长为，宽为，高为．求该长方体中能放入木棒的最大长度； （2）如图1，现有一只蚂蚁从点处沿长方体的表面爬到点处，求它爬行的最短路程．小明沿长方体的棱剪开（如图2），求得最短距离为，请你判断是否正确，并说明理由； （3）如图3，若将题中的长方体换成透明圆柱形容器（容器厚度忽略不计），容器的高为，底面周长为，在容器内壁离底部的点处有一饭粒，此时一只蚂蚁正好在容器外壁且离容器上沿与饭粒相对的点处．此时蚂蚁吃到饭粒需要爬行的最短路程是___________． 【答案】（1）该长方体中能放入木棒的最大长度是（2）不正确，见解析（3）10 【分析】本题考查了平面展开—最短路径问题，将图形展开，利用轴对称的性质和勾股定理进行计算是解题的关键． （1）利用勾股定理直接求出木棒的最大长度即可． （2）将长方体展开，利用勾股定理解答即可； （3）将容器侧面展开，建立关于的对称点，根据两点之间线段最短可知的长度即为所求． 【详解】解：（1）由题意得：如图，该长方体中能放入木棒的最大长度是： ； （2）不正确，理由如下： ①如图，， ②如图，， ③如图，， ， ∴最短路程为； （3）∵高为，底面周长为，在容器内壁离容器底部的点处有一饭粒，此时蚂蚁正好在容器外壁，离容器上沿与饭粒相对的点处， 将容器沿侧面展开，作点关于的对称点， ， 连接，则即为最短距离， ∴ 故答案为：10． 25．（14分）（24-25八年级上·河北唐山·期中）如图1，图2，已知在中，，，，为的平分线，且，是边上一动点（点不与点重合），连接，过点作于点，交射线于点． (1)当点在点的左侧运动时（如图1所示），求证：； (2)若，，求的长； (3)当点的位置如图2所示时，过点分别作，，且，点在的延长线上，连接，与交于点，写出，与之间的数量关系． 【答案】(1)见详解 (2)1或7 (3) 【分析】（1）首先证明，，然后利用“”证明即可； （2）分点在点的左侧和点在点的右侧两种情况，结合求解即可； （3）首先证明，由全等三角形的性质可得，，再证明，易得，进而可得，即可证明结论． 【详解】（1）证明：∵，， ∴， ∴， ∵，为的平分线， ∴， 在和中， ， ∴； （2）解：当点在点的左侧时，如下图， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴； 当点在点的右侧时，如下图， ∵，，为的平分线， ∴，，， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， 综上所述，的长为1或7； （3），理由如下： ∵， ∴， 又∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴， ∴． 【点睛】本题主要考查了全等三角形的判定与性质、等腰三角形的性质等知识，熟练掌握全等三角形的性质与判定定理是解题关键． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $