第12章　全等三角形 专题训练八　巧作辅助线构造全等三角形 2025-2026学年 华东师大版（2024）八年级数学上册

专题训练七　全等三角形的基本模型 平移模型 模型展示 模型解读:把△ABC沿着某一条直线l平行移动,所得到的△DEF与△ABC称为平移型全等三角形,图1、图2是常见的平移型全等三角形. 常见模型: 1.如图,点B、C、E、F在同一条直线上,BE=CF,AC⊥BC,DF⊥EF,垂足分别为C、F,AB=DE. 求证:AC=DF. 2.如图,点B、E、C、F在一条直线上,AC与DE相交于点O,AB=DE,AB∥DE,BE=CF. (1)求证:AC∥DF; (2)若∠B=65°,∠F=35°,求∠EOC的度数. 轴对称模型 模型展示 模型解读:将原图形沿着某一条直线折叠后,直线两边的部分能够完全重合,这两个三角形称之为轴对称型全等三角形,此类图形中要注意其隐含条件,即公共边或公共角相等. 常见模型: 3.如图,CA=CB,点E、D分别是CA、CB的中点. 求证:∠A=∠B. 4.(2025合肥瑶海区期末)如图,已知∠A=∠D,AB=DC,∠ACE=∠DBF. 求证:CE=BF. 旋转模型 模型展示 模型解读:将三角形绕着公共顶点旋转一定角度后,两个三角形能够完全重合,则称这两个三角形为旋转型全等三角形,识别旋转型全等三角形时,涉及对顶角相等、等角加(减)公共角的条件. 常见模型: 5.如图,点E在CD上,BC与AE交于点F,AB=CB,BE=BD,AE=CD. 求证:∠1=∠2. 6.如图,已知AB=AC,AD=AE,∠BAC=∠DAE,且B、D、E三点在同一条直线上. 求证:(1)△ABD≌△ACE; (2)∠3=∠1+∠2. 一线三等角模型 模型展示 模型解读:基本图形如图所示,此类图形通常告诉BD⊥DE,AB⊥AC,CE⊥DE,那么一定有∠B=∠CAE. 常见模型: 7.如图,在Rt△ABC中,∠BAC=90°,AB=AC,分别过点B、C作经过点A的直线的垂线段BD、CE,若BD=2,CE=4,求DE的长. 8.如图,AC=BC,D、C、E三点都在直线l上,并且有∠ADC=∠ACB=∠CEB. 求证:DE=AD+BE. 【详解答案】 1.证明:∵BE=CF, ∴BE-CE=CF-CE,即BC=EF. 在Rt△ABC和Rt△DEF中, ∴Rt△ABC≌Rt△DEF(HL). ∴AC=DF. 2.(1)证明:∵AB∥DE, ∴∠B=∠DEF. ∵BE=CF, ∴BE+EC=CF+EC. ∴BC=EF. 在△ABC和△DEF中, ∴△ABC≌△DEF(SAS). ∴∠ACB=∠F. ∴AC∥DF. (2)解:由(1),得∠B=∠DEF,∠ACB=∠F, ∴∠DEF=∠B=65°,∠ACB=∠F=35°. 在△EOC中,∠DEF+∠ACB+∠EOC=180°, ∴∠EOC=180°-∠DEF-∠ACB=180°-65°-35°=80°. 3.证明:∵点E、D分别是CA、CB的中点, ∴CE=CA,CD=CB. ∵CA=CB,∴CE=CD. 在△ACD和△BCE中, ∴△ACD≌△BCE(SAS). ∴∠A=∠B. 4.证明:∵AB=DC, ∴AB+BC=DC+BC. ∴AC=DB. 在△ACE和△DBF中, ∴△ACE≌△DBF(ASA). ∴CE=BF. 5.证明:在△ABE和△CBD中, ∴△ABE≌△CBD(SSS). ∴∠ABE=∠CBD. ∴∠ABE-∠CBE=∠CBD-∠CBE. 又∵∠1=∠ABE-∠CBE,∠2=∠CBD-∠CBE, ∴∠1=∠2. 6.证明:(1)∵∠BAC=∠DAE, ∴∠BAC-∠DAC=∠DAE-∠DAC, 即∠BAD=∠1. 在△ABD和△ACE中, ∴△ABD≌△ACE(SAS). (2)由(1)可知,△ABD≌△ACE, ∴∠ABD=∠2. ∴∠3=∠BAD+∠ABD=∠1+∠2. 7.解:∵BD⊥DE,CE⊥DE, ∴∠BDA=∠BAC=∠AEC=90°. ∴∠BAD+∠CAE=90°. ∵∠BAD+∠ABD=90°, ∴∠ABD=∠CAE. 在△ABD和△CAE中, ∴△ABD≌△CAE(AAS). ∴AE=BD=2,AD=CE=4, ∴DE=AD+AE=4+2=6. 8.证明:∵∠ADC=∠ACB=∠CEB, ∠ADC+∠DAC+∠ACD=180°,∠ACD+∠ACB+∠ECB=180°, ∴∠DAC=∠ECB. 在△ADC和△CEB中, ∴△ADC≌△CEB(AAS). ∴AD=CE,CD=BE. ∵DE=CD+CE, ∴DE=AD+BE. 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题训练八　巧作辅助线构造全等三角形 连结对角线法 方法点睛 当题目中出现多边形时,一般连结多边形的对角线,构造全等三角形来解决问题. 1.如图,在四边形ABCD中,AB=CB,AD=CD. 求证:∠C=∠A. 2.如图,AB=AE,BC=ED,∠B=∠E,F为CD的中点. 求证:AF⊥CD. 倍长中线法 方法点睛 在已知三角形的中线时,我们经常把中线延长使延长部分等于中线的长(即“倍长中线”)来构造全等三角形,并进一步解决一些相关的计算或证明题.尤其是在涉及线段的等量关系时,倍长中线的应用更是较为常见. 3.如图,AD是△ABC的中线,AB=AE,AC=AF,∠BAE=∠CAF=90°,用等式表示EF和AD的数量关系并证明. 4.如图,在△ABC中,AD是中线.AE是△ACD的中线,CA=CD. 求证:AB=2AE. (注:等腰三角形的两个底角相等) 截长补短法 方法点睛 截长补短法是利用全等三角形证明两条线段之和等于第三条线段的一种常用方法.所谓“截长”,就是将三者中最长的那条线段一分为二,使其中的一条线段等于已知的两条较短线段中的一条,然后证明所截得的另一条线段与已知的另一条较短线段相等;所谓“补短”,就是将一条已知的较短的线段延长,使延长部分与另一条已知的较短的线段的长度相等,然后证明延长后的线段与最长的已知线段相等.有的是采取截长补短后,使之构成某种特定的三角形进行求解. 5.(2025漳州东山县期中)如图,在五边形ABCDE中,AB=AE,CA平分∠BCD,2∠CAD=∠BAE. (1)求证:CD=BC+DE; (2)若∠B=75°,求∠E的度数. 旋转变换法 方法点睛 当题目的已知条件里有边相等或者有角度拼起来为特殊角的时候可以考虑旋转法来构造全等三角形,这里的“旋转”只是一个思路,具体操作时常常作垂线或作平行线或延长线段使延长部分等于已知线段. 说明:(1)边相等时常见图形为正方形、等腰三角形和等边三角形等;(2)角度能拼成的特殊角指的是180°角、90°角等. 6.如图,在四边形ABCD中,∠B与∠D互补,且BC=CD. 求证:AC平分∠BAD. 7.如图,在△ABC中,E、F分别在AB、AC上,DE⊥DF,D是BC的中点,试比较BE+CF与EF的大小,并说明理由. 【详解答案】 1.证明:如图,连结BD, 在△ABD和△CBD中, ∴△ABD≌△CBD(SSS). ∴∠C=∠A. 2.证明:如图,连结AC、AD. 在△ABC和△AED中, ∴△ABC≌△AED(SAS). ∴AC=AD. ∵F为CD的中点, ∴CF=DF. 在△ACF和△ADF中, ∴△ACF≌△ADF(SSS). ∴∠AFC=∠AFD. ∵∠AFC+∠AFD=180°, ∴∠AFC=∠AFD=90°. ∴AF⊥CD. 3.解:EF=2AD.证明: 如图,延长AD到K,使DK=AD,连结BK, ∴AK=2AD. ∵AD是△ABC的中线, ∴BD=CD. ∵DK=DA,∠BDK=∠CDA, ∴△BDK≌△CDA(SAS). ∴BK=CA,∠K=∠CAD. ∴AC∥BK. ∴∠ABK+∠BAC=180°. ∵∠BAE=∠CAF=90°, ∴∠EAF+∠BAC=180°. ∴∠ABK=∠EAF. ∵AF=AC, ∴BK=AF. ∵∠ABK=∠EAF,AB=AE, ∴△BAK≌△AEF(SAS). ∴EF=AK. ∴EF=2AD. 4.证明:如图,延长AE到点H,使HE=AE,连结HD,则AH=2AE, ∵AD是△ABC的中线,AE是△ACD的中线,CA=CD, ∴DB=CD=CA,DE=CE,∠CDA= ∠CAD. 在△HED和△AEC中, ∴△HED≌△AEC(SAS). ∴DH=CA=DB,∠HDE=∠C. ∴∠ADH=∠CDA+∠HDC=∠CAD+∠C. ∵∠ADB=∠CAD+∠C, ∴∠ADH=∠ADB. 在△ADH和△ADB中, ∴△ADH≌△ADB(SAS). ∴AH=AB. ∴AB=2AE. 5.(1)证明:如图,在CD上截取CF=CB,连结AF. ∵CA平分∠BCD, ∴∠BCA=∠FCA. 在△BCA和△FCA中, ∴△BCA≌△FCA(SAS). ∴AB=AF,∠BAC=∠FAC. 又∵AB=AE, ∴AF=AE. 又∵∠CAD=∠BAE, ∴∠BAC+∠EAD=∠FAC+∠FAD. ∴∠FAD=∠EAD. 在△ADF和△ADE中, ∴△ADF≌△ADE(SAS). ∴DE=DF. ∴CD=CF+DF=BC+DE. (2)解:∵△BCA≌△FCA, ∴∠B=∠CFA. ∵△ADF≌△ADE, ∴∠E=∠AFD. ∴∠B+∠E=∠CFA+∠AFD=180°. ∴∠E=180°-∠B=180°-75°=105°. 6.证明:如图,过点C作CQ⊥AB于点Q,CP⊥AD交AD的延长线于点P, ∴∠BQC=∠AQC=∠APC=90°. ∵∠B与∠ADC互补, ∴∠B+∠ADC=180°. ∵∠ADC+∠CDP=180°, ∴∠B=∠CDP. ∵∠BQC=∠DPC,BC=CD, ∴△BQC≌△DPC(AAS). ∴CQ=CP. ∵∠APC=∠AQC=90°,且AC=AC, ∴Rt△ACP≌Rt△ACQ(HL). ∴∠BAC=∠PAC. ∴AC平分∠BAD. 7.解:BE+CF>EF. 理由如下:延长ED至P,使DP=DE,连结FP、CP, ∵D是BC的中点, ∴BD=CD. 在△BDE和△CDP中, ∴△BDE≌△CDP(SAS). ∴BE=CP. ∵DE⊥DF,∴∠EDF=∠PDF=90°,又DE=DP,DF=DF, ∴△EFD≌△PFD(SAS). ∴EF=PF. 在△CFP中,CP+CF=BE+CF>PF=EF.∴BE+CF>EF. 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题训练九　分类讨论思想在等腰三角形中的应用 当顶角或底角不确定时,分类讨论 1.已知等腰三角形ABC,若有一个内角为40°,求这个等腰三角形另外两个角的度数. 当底或腰不确定时,分类讨论 2.(2025宣城宣州区期中)已知a、b、c为△ABC的三边长.若△ABC为等腰三角形,且周长为16,已知a=4,求b、c的值. 当高的位置不确定时,分类讨论 3.已知AC是等腰三角形ABD腰BD上的高,且∠CAB=60°,求等腰三角形ABD底角的度数. 由腰上的中线引起的分类讨论 4.在等腰三角形ABC中,一腰上的中线将这个等腰三角形的周长分成15 cm和6 cm两部分,求等腰三角形的底边长. 由腰的垂直平分线引起的分类讨论 5.在△ABC中,AB=AC,AB的垂直平分线与AC所在直线相交所得的锐角为50°,求∠B的度数. 由点的位置引起的分类讨论 6.如图,已知线段AB的端点B在直线l上(AB与l不垂直),请在直线l上另找一点C,使△ABC是等腰三角形,这样的点能找几个?请你找出所有符合条件的点. 【详解答案】 1.解:①当40°角是顶角时,另外两个内角的度数都为(180°-40°)÷2=70°; ②当40°角是底角时,另一底角为40°,顶角为180°-40°-40°=100°. 综上,这个等腰三角形另外两个角的度数为70°,70°或40°,100°. 2.解:∵△ABC为等腰三角形,且周长为16, 分两种情况: ①当a=4为腰长时, 底边长=16-4-4=8, ∵4+4=8, ∴不能构成三角形,故a=4为腰长舍去; ②当a=4为底边长时, 腰长==6, ∵4为底边长,6为腰长符合三角形的三边关系, ∴b=c=6. 3.解:当△ABD为锐角三角形时,如图1, ∵∠CAB=60°,∴∠B=30°. ∴∠ADB=∠BAD=75°; 当△ABD为钝角三角形,且BA=BD时,如图2, ∵∠CAB=60°,∴∠CBA=30°. ∴∠D=∠BAD=15°; 当△ABD为钝角三角形,且DA=BD时,如图3, ∵∠CAB=60°,∴∠B=30°. ∴∠DAB=∠B=30°. 综上,等腰三角形ABD底角的度数是75°或15°或30°. 4.解:∵一腰上的中线将这个等腰三角形的周长分成15 cm和6 cm两部分, ∴等腰三角形的周长是15+6=21(cm), 设等腰三角形的腰长、底边长分别为x cm、y cm, 由题意可得: 或 解得或(不合题意,舍去), ∴等腰三角形的底边长为1 cm. 5.解:①当∠A为锐角时,如图1. ∵AB的垂直平分线与AC所在的直线相交所得的锐角为50°, ∴∠ADE=90°,∠AED=50°. ∴∠A=40°. ∴∠B=(180°-∠A)÷2=70°; ②当∠A为钝角时,如图2. ∵AB的垂直平分线与AC所在的直线相交所得的锐角为50°, ∴∠ADE=90°,∠AED=50°. ∴∠1=40°.∴∠BAC=140°. ∴∠B=∠C=(180°-140°)÷2=20°. 综上所述,∠B的度数为70°或20°. 6.解:当线段AB为腰时,存在3个等腰三角形,如图, 同理,当线段AB为底边时,存在1个等腰三角形,如图. ∴共有4个点使△ABC为等腰三角形. 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题训练十　基本图形见等腰 等腰见“三线”,对折有全等 1.(2025济宁兖州区期中)如图,AD是等腰三角形ABC底边BC上的中线,BC=10 cm,∠B=48°,求∠BAD的度数和BD的长度. 2.如图,在△ABC中,AB=AC,∠BAC=80°,AD为△ABC的角平分线.以点A为圆心,AD的长为半径作弧,与AB、AC分别交于点E、F,连结DE、DF.求∠BDE的度数. 平分见垂直,对折有全等 3.如图,D为△ABC内一点,CD平分∠ACB,BE⊥CD,垂足为D,交AC于点E,∠A=∠ABE,AC=5,BC=3,则BD的长为　　　　.  4.如图,在△ABC中,BP平分∠ABC,AP⊥BP于点P,连结PC,若△PAB的面积为6 cm2,△PAC的面积为2 cm2,则△PBC的面积为　　　　 cm2.  平分遇平行,等腰自会现 5.如图,已知AB=AC=AD,且AD∥BC.求证:∠C=2∠D. 6.如图,在△ABC中,AB=AC,CD是∠ACB的平分线,DE∥BC,交AC于点E,且∠CDE=25°,求∠A、∠B的度数. 【详解答案】 1.解:∵AD是等腰三角形ABC底边BC上的中线, ∴AD⊥BC,BD=CD. ∴∠ADB=90°. ∴∠BAD=90°-∠B=90°-48°=42°. ∵BC=10 cm,∴BD=5 cm. 2.解:在△ABC中,AB=AC,∠BAC=80°,AD为△ABC的角平分线, ∴AD⊥BC,∠BAD=∠CAD=∠BAC=40°. ∴∠ADB=∠ADC=90°. ∵以点A为圆心,AD的长为半径作弧,与AB、AC分别交于点E、F, ∴AD=AE=AF. ∴∠ADE=∠AED=(180°-∠BAD)=×(180°-40°)=70°, ∴∠BDE=∠ADB-∠ADE=90°-70°=20°. 3.1　解析:∵CD平分∠ACB,BE⊥CD, ∴∠CDB=∠CDE=90°,∠BCD= ∠ECD. 又∵CD=CD, ∴△BCD≌△ECD. ∴BC=EC. 又∵∠A=∠ABE,∴AE=BE. ∴BD=BE=AE=(AC-CE). ∵AC=5,BC=3, ∴BD=×(5-3)=1. 4.8　解析:如图,延长AP交BC于点D, ∵BP平分∠ABC, ∴∠ABP=∠DBP. ∵BP⊥AP, ∴∠BPA=∠BPD=90°. 在△ABP和△DBP中, ∴△ABP≌△DBP(ASA). ∴AP=DP. ∴△PBD的面积=△PAB的面积,△PCD的面积=△PAC的面积. ∴△PBC的面积=△PAB的面积+△PAC的面积=6+2=8(cm2). 5.证明:∵AD∥BC,∴∠D=∠DBC. ∵AB=AD,∴∠D=∠ABD. ∴∠ABD=∠DBC. ∴∠ABC=2∠D. ∵AB=AC,∴∠ABC=∠C. ∴∠C=2∠D. 6.解:∵CD是∠ACB的平分线, ∴∠ACD=∠BCD. ∵DE∥BC, ∴∠CDE=∠DCB. ∴∠CDE=∠ACD=25°. ∴∠ACB=50°. ∵AB=AC, ∴∠B=∠ACB=50°. ∴∠A=180°-∠B-∠ACB=80°. 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题训练十一　最短路径问题 “将军饮马”问题(轴对称法) 类型解读: 将军饮马问题 作法 作B关于l的对称点B',连结AB',与l交点即为P 图形 原理 两点之间线段最短. PA+PB最小值为AB' 1.如图,在正方形网格中,M、N为小正方形的顶点,直线l经过小正方形顶点A、B、C、D,在直线l上求一点P,使PM+PN最短,则点P应位于 (　　) A.点A处 B.点B处 C.点C处 D.点D处 2.如图,在等边三角形ABC中,CD是AB边上的高,点N是BC边的中点,点P是CD上的一个动点,当BP+PN的值取最小时,∠ABP的度数为 (　　) A.15° B.30° C.45° D.60° 3.如图,在四边形ABCD中,∠A=∠C=90°,M、N分别是BC、AB边上的动点,∠B= 58°,当△DMN的周长最小时,∠MDN的度数是 (　　) A.122° B.64° C.62° D.58° 4.如图,等腰三角形ABC的底边BC长为4,面积是12,腰AC的垂直平分线EF分别交AC、AB边于点E、F.若点D为BC边的中点,点M为线段EF上一动点,则△CDM周长的最小值为　　　　.  5.如图,∠ABN=60°,点C为射线BN上一定点,E为线段AB延长线上一定点,且BE=AB=12,点A关于射线BN的对称点为D,连结BD、CD、DE. (1)求证:∠BAC=∠BDC; (2)若P为直线BC上一个动点,求△PDE周长最小时,点P所在的位置,并求出△PDE周长的最 小值. 6.已知点P在∠MON内. (1)如图1,点P关于射线OM的对称点是G,点P关于射线ON的对称点是H,连结OG、OH、OP. ①若∠MON=50°,则∠GOH=　　　　;  ②若OP=5,连结GH,请说明当∠MON为多少度时,GH=10. (2)如图2,若∠MON=60°,A、B分别是射线OM、ON上的任意一点,当△PAB的周长最小时,求∠APB的度数. “造桥选址”问题(平移法) 类型解读: 造桥选址问题 作法 直线m∥n,在m、n上分别求点M、N,使MN⊥m,且AM+MN+BN的值最小 将点A向下平移MN的长度得A',连结A'B,交n于点N,过N作NM⊥m于M 图形 原理 两点之间线段最短,AM+MN+BN的最小值为A'B+MN 7.如图,A和B两地在一条河的两岸,现要在河上造一座桥MN,使从A到B的路径AMNB最短的是(假定河的两岸是平行直线,桥要与河岸垂直) (　　) 8.请阅读以下材料. 如图1,A、B两村之间有一条两岸互相平行的河,河宽为a.现要在河上造一座桥(桥必须与河岸垂直),使A、B之间的路程最短,试画出造桥位置. 对于此题,我们可以这样解决: 如图2,把点A向下平移a个单位到点A',连结A'B交l2于点C;过点C作CD⊥l1于点D,则CD就是造桥位置. 请仿照以上材料解决如下问题: 如图3,A、B两村之间有两条互相平行的河.一条河宽a,另一条河宽b,现欲在两条河上各造一座桥(桥必须与河岸垂直),使A、B之间的路程最短,试画出造桥的位置. 【详解答案】 1.C　解析:如图,作N关于l的对称点E,连结ME,交l于点C, ∴NE的垂直平分线为l. ∴CN=CE. ∴PM+PN=PM+PE≥ME, 即P与C重合. 故选C. 2.B　解析:∵在等边三角形ABC中,CD是AB边上的高, ∴∠BAC=60°,AD=BD. ∴CD垂直平分AB. ∴BP=AP. ∴BP+PN=AP+PN≥AN. ∵点N是BC边的中点, ∴AN平分∠BAC. ∴∠ABP=∠BAC=30°. 故选B. 3.B　解析:如图,延长DA到E,使DA=AE,延长DC到F,使CF=DC,连结EF交AB于N,交BC于M.此时,△DMN的周长最小, ∵∠DAN=∠DCM=90°, ∴DN=EN,DM=FM. ∴∠E=∠ADN,∠F=∠CDM. ∵∠B=58°, ∴∠ADC=122°. 设∠MDN=α, ∴∠ADN+∠CDM=122°-α, ∠DNM+∠DMN=2(122°-α). ∴α+2(122°-α)=180°. 解得α=64°. 故选B. 4.8　解析:如图,连结AD、AM,因为△ABC是等腰三角形,点D是BC边的中点,所以AD⊥BC.因为EF是线段AC的垂直平分线,所以点C关于直线EF的对称点为点A.因为CM+MD=AM+MD≥AD,当A、M、D三点在同一条直线上时取等号,即AD与EF的交点为点M时,△CDM的周长最小,故AD的长为CM+MD的最小值.在△ABC中,BC=4,S△ABC=12,所以S△ABC=BC·AD=×4·AD=12,解得AD=6,因为CD=BC=2,所以△CDM周长的最小值为AD+CD=6+2=8. 5.(1)证明:连结AD,如图, ∵点A关于射线BN的对称点为D, ∴BN垂直平分AD. ∴BA=BD,CA=CD. ∵BC=BC, ∴△BAC≌△BDC. ∴∠BAC=∠BDC. (2)解:∵△BAC≌△BDC, ∴∠DBN=∠ABN=60°. ∵BE=BA,BA=BD, ∴BE=BD. ∴∠BED=∠BDE. ∵∠ABD=∠BED+∠BDE, ∴∠BED=∠BDE=60°. ∴△BDE为等边三角形. ∴DE=BE=12. ∵BN垂直平分AD, ∴PA=PD. ∴PE+PD=PE+PA. ∵PE+PA≥AE(当且仅当P、A、E在同一条直线上时取等号), ∴点P运动到点B时,PE+PA的最小值为24,此时△PDE周长的最小值为36. 6.解:(1)①100° ②∵OP=5, ∴OG=OH=5. 当∠MON=90°时,∠GOH=180°, ∴点G、O、H在同一条直线上. ∴GH=OG+OH=10. (2)如图所示,分别作点P关于OM、ON的对称点P'、P″,连结PP'、PP″、OP、OP'、OP″、P'P″,P'P″分别交OM、ON于点A、B, 连结PA、PB,则AP=AP',BP=BP″,此时△PAB周长的最小值等于P'P″的长. 由轴对称的性质可得,OP'=OP″=OP,∠P'OA=∠POA,∠P″OB=∠POB, ∴∠P'OP″=2∠MON=2×60°=120°. ∴∠OP'P″=∠OP″P'=(180°-120°)÷2=30°. ∴∠OPA=∠OP'A=30°, ∠OPB=∠OP″B=30°. ∴∠APB=30°+30°=60°. 7.D　解析:根据垂线段最短,得出MN是河的宽时,MN最短,即MN⊥直线a(或直线b), 只要AM+BN最短即可, 即过A作河岸a的垂线AH,垂足为H,在直线AH上取点I,使AI等于河宽,连结IB交河岸b于N,作MN垂直于河岸交河岸a于M点,所得MN即为所求. 故选D. 8.解:如图所示,MN、EF即为造桥的位置. 学科网（北京）股份有限公司 $$