八年级数学上学期第二次月考·拔尖卷（浙教版2024，举一反三，测试范围：第1章 三角形～第4章 图形与坐标）

八年级数学上学期第二次月考·拔尖卷 【浙教版2024】 测试范围：第1章 三角形~第4章 图形与坐标 姓名：___________班级：___________考号：___________ 考卷信息： 本卷试题共24题，单选10题，填空6题，解答8题，满分120分，限时120分钟，本卷题型针对性较高，覆盖面广，选题有深度，可量化学生的掌握程度！ 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，满分30分） 1．（25-26八年级上·山东济宁·阶段练习）三根底端对齐的小棒中有一根被挡板遮住了，它们的长度如图所示．若三根小棒可以围成三角形，则第三根小棒的长度可以是（    ）． A．2 B．3或4 C．4或5 D．6 2．（25-26八年级上·山西大同·期中）的6个元素如图所示，下面甲、乙、丙三个三角形中和不全等的是（    ） A．甲 B．乙 C．丙 D．都不全等 3．已知关于的不等式的解集为，则关于的不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 4．（25-26六年级上·上海·期中）已知有理数a、b，的差比a大，但比b小，则下列说法中正确的是（    ） A．a是正数，b是正数 B．a是正数，b是负数 C．a是负数，b是正数 D．a是负数，b是负数 5．（24-25八年级上·江苏南通·期末）如果m表示大于1的整数，设，，，，其中任选三个数能构成勾股数的为（   ）． A．a，b，c B．a，b，d C．a，c，d D．b，c，d 6．（25-26八年级上·河北·阶段练习）如图，在方格纸中，为的平分线，从，，，四个点中找出符合条件的点，则点有（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 7．（2025·北京石景山·模拟预测）当一个三角形的三边长是连续偶数，则对这样的三角形描述正确的是（） A．只有1个钝角三角形 B．只有2个钝角三角形 C．只有1个锐角三角形 D．只有2个锐角三角形 8．若关于x的一元一次不等式组恰好有3个整数解，且关于y的分式方程有非负整数解，则符合条件的所有整数a的和为（    ） A．6 B．9 C． D．2 9．（25-26八年级上·江苏南京·阶段练习）如图，在中，D是的中点，过点D作，垂足为E，的垂直平分线分别交，于点F，G，且．若，，则的长为（    ） A．1 B．2 C．2.5 D．3 10．（25-26八年级上·贵州贵阳·期中）如图，一动点按图中箭头所示方向运动，第1次从原点运动到点，第2次运动到点，第3次运动到点，……，按这样的运动规律，则第2025次运动到点（   ） A． B． C． D． 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，满分18分） 11．（25-26八年级上·陕西西安·阶段练习）已知点，若点的坐标为，且直线轴，则点的坐标为 ． 12．写出一个关于x的不等式，使，2都是它的解，这个不等式可以为 13．（25-26八年级上·陕西汉中·月考）如图，在中，，点、分别在边、上，连接，将沿直线折叠，点恰好落在边上的点处，且，若，则线段的长为 ． 14．（25-26八年级上·浙江宁波·期中）如图，在中 ， 为 边上的中线，已知，，，将 沿着 翻折得到，连接，，则 的面积为 ． 15．（25-26八年级上·江苏徐州·期中）如图，，平分，且．若点M，N分别在、上，且为等边三角形，则满足上述条件的有 ． 16．（24-25九年级上·安徽合肥·月考）如图，在中，，将绕边的中点O逆时针旋转得到，顶点E落在边上，边交边于点G． （1）的长为 ； （2）连接，则的面积为 ． 三、解答题（本大题共8小题，满分72分） 17．（6分）（24-25七年级下·安徽合肥·阶段练习）已知关于的不等式组的所有解都是正数； (1)求的取值范围； (2)化简：； (3)在（1）的条件下，所有的整数解中只有一个整数解是关于的不等式的解，求的取值范围． 18．（6分）（25-26八年级上·陕西西安·期中）如图，在中，过点作于点，已知，，． (1)求的长； (2)试判断线段与之间的位置关系，并说明理由． 19．（8分）（25-26八年级上·重庆·月考）如图1，在平面直角坐标系中，点，点B在x轴正半轴上，连接、，． (1)直接写出点A、点B的坐标； (2)动点P从点C出发，以每秒2个单位的速度沿的方向运动．设运动时间为t，是否存在某一时刻，若存在，请求出时间t，并说明理由． 20．（8分）如图，在锐角中，，且点，在线段上，且． (1)求证； (2)若，，求． 21．（10分）（25-26八年级上·河北石家庄·月考）乡村振兴战略实施以来，广大乡村地区开辟了众多文旅消费场景，越来越多的游客选择自驾电动汽车前往乡村旅游，完善的充电桩设施能提升乡村旅游的接待能力和服务品质．某乡政府计划购置如图所示的单枪、双枪两款新能源充电桩，来满足游客中新能源汽车车主日益增长的充电需求，购置充电桩的相关信息如表： 单枪充电桩 双枪充电桩 花费：40000元 花费：30000元 单价：x元 单价：元 (1)若本次购买单枪充电桩的数量比双枪充电桩的数量多4个，求单枪、双枪两款新能源充电桩的单价； (2)在的条件下，根据游客需求，政府决定再次购进单枪、双枪两款新能源充电桩共6个，已知单枪新能源充电桩的单价比上次购买时提高了，双枪新能源充电桩的单价比上次购买时降低了，如果此次加购政府预备支出不超过35500元，求政府最少需要购买单枪新能源充电桩的数量． 22．（10分）已知是等边三角形，点是边上一点，点是边上一点，且满足 ，连接、交于点． (1)①如图1，直接写出的度数； ②如图2，过点作于点，当时，求证：； (2)如图3，当时，求的度数． 23．（12分）（25-26八年级上·河南平顶山·阶段练习）（1）如图1，长方体的长为，宽为，高为．求该长方体中能放入木棒的最大长度； （2）如图1，现有一只蚂蚁从点处沿长方体的表面爬到点处，求它爬行的最短路程．小明沿长方体的棱剪开（如图2），求得最短距离为，请你判断是否正确，并说明理由； （3）如图3，若将题中的长方体换成透明圆柱形容器（容器厚度忽略不计），容器的高为，底面周长为，在容器内壁离底部的点处有一饭粒，此时一只蚂蚁正好在容器外壁且离容器上沿与饭粒相对的点处．此时蚂蚁吃到饭粒需要爬行的最短路程是___________． 24．（12分）（24-25八年级上·河北唐山·期中）如图1，图2，已知在中，，，，为的平分线，且，是边上一动点（点不与点重合），连接，过点作于点，交射线于点． (1)当点在点的左侧运动时（如图1所示），求证：； (2)若，，求的长； (3)当点的位置如图2所示时，过点分别作，，且，点在的延长线上，连接，与交于点，写出，与之间的数量关系． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $ 八年级数学上学期第二次月考·拔尖卷 【浙教版2024】 参考答案与试题解析 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，满分30分） 1．（25-26八年级上·山东济宁·阶段练习）三根底端对齐的小棒中有一根被挡板遮住了，它们的长度如图所示．若三根小棒可以围成三角形，则第三根小棒的长度可以是（    ）． A．2 B．3或4 C．4或5 D．6 【答案】C 【分析】本题主要考查了三角形三边关系，掌握三角形的三边满足两边之和大于第三边、两边之差小于第三边是解题的关键． 设第三根小棒的长度是x，由三角形的三边关系可得，再由图中挡板高度进一步确定，然后结合选项即可解答． 【详解】解：由图可知，一根小棒的长度为10，一根小棒的长度为7， 设第三根小棒的长度是x， 若三根小棒可以围成三角形，则由三角形三边关系可知，即， 由图中挡板高度为5，则， 结合四个选项可知，第三根小棒的长度可以是4或5，即C选项符合题意． 故选：C． 2．（25-26八年级上·山西大同·期中）的6个元素如图所示，下面甲、乙、丙三个三角形中和不全等的是（    ） A．甲 B．乙 C．丙 D．都不全等 【答案】A 【分析】本题考查了全等三角形的判定，灵活运用全等三角形的判定是本题的关键．由全等三角形的判定可求解． 【详解】解：由“”可证图乙和全等，由“”可证图丙和全等，根据已知条件无法证明图甲和全等． 故选：A． 3．已知关于的不等式的解集为，则关于的不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了不等式的解集以及不等式的基本性质．熟练掌握根据不等式的解集确定相关参数的关系，以及不等式两边同时除以一个负数时不等号方向改变这一性质是解题的关键．本题可先根据已知不等式的解集得出关于、的关系，进而确定与的大小关系，再求解不等式．解题思路为：由不等式的解集求出与的关系，判断的正负，最后代入不等式求解． 【详解】解：由得． ∵其解集为， ∴，且． ∴， 将代入，可得 ∴． 把代入不等式，可得， ， ∵， ∴． 故选：C． 4．（25-26六年级上·上海·期中）已知有理数a、b，的差比a大，但比b小，则下列说法中正确的是（    ） A．a是正数，b是正数 B．a是正数，b是负数 C．a是负数，b是正数 D．a是负数，b是负数 【答案】D 【分析】本题主要考查了正负数的判定，不等式的性质，根据条件的差比a大，但比b小，列出不等式 和 ，通过代数推导得出a和b的符号均为负． 【详解】解：∵， ∴，即； ∵， ∴； 又∵， ∴， ∴，即． 因此，a和b均为负数， 故选：D． 5．（24-25八年级上·江苏南通·期末）如果m表示大于1的整数，设，，，，其中任选三个数能构成勾股数的为（   ）． A．a，b，c B．a，b，d C．a，c，d D．b，c，d 【答案】B 【分析】本题考查勾股定理、勾股数，解题的关键是掌握勾股定理的逆定理． 根据勾股定理的逆定理逐项判断即可． 【详解】解：∵，，，， ∴；； ； ． A．，因为（当时，），，，所以，，不能构成勾股数，故本选项不符合题意； B．，所以，，能构成勾股数，故本选项符合题意； C． ，，，所以，，不能构成勾股数，故本选项不符合题意； D．，，，所以，，不能构成勾股数，故本选项不符合题意； 故选：B． 6．（25-26八年级上·河北·阶段练习）如图，在方格纸中，为的平分线，从，，，四个点中找出符合条件的点，则点有（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】A 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，网格与勾股定理，角平分线的判定，，，利用勾股定理求出，证明得到从而得出结论． 【详解】解：如图，连接，， 设每个方格的长度为1， ，，，， ， 又， ， ，即为的平分线， 点符合题意，，，不符合题意， 故选：A． 7．（2025·北京石景山·模拟预测）当一个三角形的三边长是连续偶数，则对这样的三角形描述正确的是（） A．只有1个钝角三角形 B．只有2个钝角三角形 C．只有1个锐角三角形 D．只有2个锐角三角形 【答案】A 【分析】本题考查了三角形三边关系，完全平方公式，整式的加减，勾股定理的逆定理及应用，理解三角形的两条较小的边的平方和大于最大边的平方时为锐角三角形，反之则为钝角三角形． 由三角形的三边长是连续偶数，分三边为2，4，6；4，6，8；6，8，10；8，10，12；逐一判断，再当三角形的最小边不小于8时，设三角形的三边分别为，再根据三角形的两条较小的边的平方和大于最大边的平方时为锐角三角形，反之则为钝角三角形进行判断即可． 【详解】解：由三角形的三边长是连续偶数， 当三边为2，4，6时， ∵， ∴2，4，6不能组成三角形； 当三边为4，6，8时， ∵， ∴最大角为钝角，则三边为4，6，8时三角形是钝角三角形； 当三边为6，8，10， ∵， ∴三边为6，8，10时三角形是直角三角形； 当三边为8，10，12， ∵， ∴三边为8，10，12时，三角形是锐角三角形（最大角为锐角）； 当三角形的最小边不小于8时，设三角形的三边分别为，有 ，解得， ∵， ∴最小边为8且三边长是连续偶数的三角形都是锐角三角形； 综上，只有1个钝角三角形． 故选A． 8．若关于x的一元一次不等式组恰好有3个整数解，且关于y的分式方程有非负整数解，则符合条件的所有整数a的和为（    ） A．6 B．9 C． D．2 【答案】A 【分析】本题考查了分式方程的解，一元一次不等式组的整数解，熟练掌握解一元一次不等式组，解分式方程是解题的关键．先解一元一次不等式组，根据不等式组的解集恰好有3个负整数解，求出的范围，再解分式方程，根据分式方程有非负整数解，确定的值即可． 【详解】解：， 解不等式①得：， 解不等式②得：， 原不等式组的解集为：， 不等式组的解集恰好有3个整数解， ， ， ， ， 解得：， 分式方程有非负整数解， ，为整数且， 符合条件的所有整数的值为：，7， 符合条件的所有整数的和为：6， 故选：A． 9．（25-26八年级上·江苏南京·阶段练习）如图，在中，D是的中点，过点D作，垂足为E，的垂直平分线分别交，于点F，G，且．若，，则的长为（    ） A．1 B．2 C．2.5 D．3 【答案】D 【分析】本题考查了垂直平分线的性质，全等三角形的性质与判定，等腰直角三角形的性质与判定．先倍长中线法证明得出，，进而得出，证明是等腰直角三角形，得出，，进而根据线段的和差关系，即可求解． 【详解】解：如图，延长至，使得，连接， ∵是的中点， ∴， 又∵， ∴， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∵垂直平分，， ∴，，， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∴， ∴是等腰直角三角形， 又∵， ∴， ∴， ∴，， ∵， ∴， 故选：D． 10．（25-26八年级上·贵州贵阳·期中）如图，一动点按图中箭头所示方向运动，第1次从原点运动到点，第2次运动到点，第3次运动到点，……，按这样的运动规律，则第2025次运动到点（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了规律型中的点的坐标，列出部分点的坐标，根据点的坐标变化找出规律“”，根据该规律即可得出结论． 【详解】解：观察，发现动点每4次为一个循环，点的坐标依次为“”， ∵， ∴第2025次运动是第507次循环的第1次运动， ∴第2025次运动的点的坐标是． 故选：A． 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，满分18分） 11．（25-26八年级上·陕西西安·阶段练习）已知点，若点的坐标为，且直线轴，则点的坐标为 ． 【答案】 【分析】本题考查点的坐标，平行于y轴直线上的点的特征；平行于y轴直线上的点的横坐标都相等，据此解答即可. 【详解】解：∵直线轴 ∴P、Q两点的横坐标相等 ∴ 解得 ∴ ∴P点坐标为. 12．写出一个关于x的不等式，使，2都是它的解，这个不等式可以为 【答案】（答案不唯一） 【分析】由，2均小于3可得，在此基础上求解即可． 【详解】解：由，2均小于2可得， 所以符合条件的不等式可以是， 故答案为：（答案不唯一）． 【点睛】本题主要考查不等式的解集，解题的关键是掌握使不等式成立的未知数的值叫做不等式的解． 13．（25-26八年级上·陕西汉中·月考）如图，在中，，点、分别在边、上，连接，将沿直线折叠，点恰好落在边上的点处，且，若，则线段的长为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了勾股定理，折叠的性质，先由勾股定理求出的长，进而求出的长，由折叠的性质可得，设，则，由勾股定理得，解方程即可得到答案． 【详解】解：∵在中，，， ∴， ∴， 由折叠的性质可得， 设，则， 在中，由勾股定理得， ∴， 解得， ∴， 故答案为：． 14．（25-26八年级上·浙江宁波·期中）如图，在中 ， 为 边上的中线，已知，，，将 沿着 翻折得到，连接，，则 的面积为 ． 【答案】 【分析】延长交于点，由折叠可知垂直平分线段，，，利用勾股定理解和可求出，进而求出，再证是直角三角形，利用勾股定理求出，最后利用三角形面积公式即可求解． 【详解】解：如图，延长交于点， ∵为边上的中线，， ∴， ∵沿着翻折得到， ∴，， ∴垂直平分线段， ∴，， 在中，， 在中，， ∴， 解得， ∴， ∴， ∵， ∴，， 又∵， ∴， ∴是直角三角形， ∴， ∵，， ∴， ∴点到的距离等于的长， ∴， 故答案为：． 【点睛】本题考查了折叠的性质，勾股定理，直角三角形的判定，线段垂直平分线的判定与性质，平行线间的距离，等腰三角形的性质等，熟练掌握以上知识点的应用是解题的关键． 15．（25-26八年级上·江苏徐州·期中）如图，，平分，且．若点M，N分别在、上，且为等边三角形，则满足上述条件的有 ． 【答案】无数个 【分析】本题主要考查角平分线的性质、等边三角形的判定、全等三角形的判定与性质，熟练掌握角平分线的性质、等边三角形的判定是解决本题的关键． 如图，过点P作于M，于N．根据角平分线的性质，由平分，于M，于N，得，，那么．此时，是等边三角形．然后再进行分类讨论． 【详解】解：如图，过点P作于M，于N，    ∵平分， ∴，， ∴， 此时，是等边三角形． 当M向方向移动，N向方向移动，且， ∴， 在和中， ， ∴， ∴． ∴是等边三角形， 即当M向方向移动，N向方向移动，且， ∴是等边三角形． 同理：当M向方向移动，N向方向移动，都有是等边三角形． 综上：满足条件的有无数个． 故答案为：无数个． 16．（24-25九年级上·安徽合肥·月考）如图，在中，，将绕边的中点O逆时针旋转得到，顶点E落在边上，边交边于点G． （1）的长为 ； （2）连接，则的面积为 ． 【答案】 【分析】（1）利用勾股定理的逆定理推出，根据旋转的性质和中点的定义得到，根据旋转的性质和等腰三角形的性质得到，得出，再利用直角三角形的性质推出，得出，再利用直角三角形的性质即可求出的长； （2）连接、，由（1）得，，，推出四边形是矩形，则有，，利用等面积法求出的长，利用勾股定理求出的长，进而得出的长，再利用三角形的面积公式即可求出的面积． 【详解】解：（1）， ， ， 将绕边的中点O逆时针旋转得到， ，，，，， 点O是边的中点， ， ， ， ， ， ， ，， ， ， ， ， ． 故答案为：． （2）如图，连接、， 由（1）得，，， 四边形是矩形， ，， 是的高， ， ， ，， ， ， 的面积为． 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了旋转的性质、勾股定理及其逆定理、直角三角形的性质、矩形的判定与性质，熟练掌握相关知识点是解题的关键．本题属于几何综合题，需要较强的几何推理论证能力，适合有能力解决几何难题的学生． 三、解答题（本大题共8小题，满分72分） 17．（6分）（24-25七年级下·安徽合肥·阶段练习）已知关于的不等式组的所有解都是正数； (1)求的取值范围； (2)化简：； (3)在（1）的条件下，所有的整数解中只有一个整数解是关于的不等式的解，求的取值范围． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查了解一元一次不等式组，化简绝对值，无理数的估算，不等式组的整数解，熟练掌握以上知识点是解题的关键． （1）先解不等式组，可知，结合不等式的所有解都是正数，可知，从而解得的范围； （2）由（1）的范围，可知，，然后化简绝对值即可； （3）由（1）的范围，可知可以是5，6，解不等式可知，所有的整数解中只有一个整数解是关于的不等式的解，那么，从而解得答案． 【详解】（1）解：， 解①得， ， 解②得，， ， 关于的不等式组的所有解都是正数， ， ； （2）解：， ，， ； （3）解： ， ，， ， ， 可以是5，6， ， 所有的整数解中只有一个整数解是关于的不等式的解， ， ． 18．（6分）（25-26八年级上·陕西西安·期中）如图，在中，过点作于点，已知，，． (1)求的长； (2)试判断线段与之间的位置关系，并说明理由． 【答案】(1) (2)，理由见解析 【分析】本题考查了勾股定理及其逆定理，熟练掌握以上知识点是解题的关键． （1）根据勾股定理解题即可； （2）根据勾股定理的逆定理证明． 【详解】（1）解：由题意可知， 在中，， ∴， ∴在中，； （2）解：，理由如下： ，，， ∴， 是直角三角形，， ∴． 19．（8分）（25-26八年级上·重庆·月考）如图1，在平面直角坐标系中，点，点B在x轴正半轴上，连接、，． (1)直接写出点A、点B的坐标； (2)动点P从点C出发，以每秒2个单位的速度沿的方向运动．设运动时间为t，是否存在某一时刻，若存在，请求出时间t，并说明理由． 【答案】(1)， (2)秒或秒，理由见解析 【分析】（）根据，，求出的长即可得点、点的坐标； （2）先求出，即有，分点在和上两种情况，分别用表示出的长，利用面积法求出中边的高，根据列方程求出，即可得答案． 本题考查坐标与图形、几何图形的动点问题及三角形面积的应用，掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】（1）解：∵，， ∴，， ∵点在轴负半轴上，点在轴正半轴上， ∴，； （2）解：如图，当时，点在上，过点作于， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵从点出发，以每秒个单位的速度沿的方向运动， ∴， ∴， 解得； 如图，当时，点在线段上， 则， ∴， 解得， 综上，的值为秒或秒． 20．（8分）如图，在锐角中，，且点，在线段上，且． (1)求证； (2)若，，求． 【答案】(1)见解析 (2)21 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定与性质、三角形外角的定义和性质等知识，证明是解题关键． （1）根据各角之间的关系得出，再利用“”证明，即可证明； （2）由全等三角形的性质可得，进而可得的值，然后根据求解即可． 【详解】（1）解：∵， ∴，即， ∵， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴； （2）由（1）得， ∴， ∴， ∵， ∴． 21．（10分）（25-26八年级上·河北石家庄·月考）乡村振兴战略实施以来，广大乡村地区开辟了众多文旅消费场景，越来越多的游客选择自驾电动汽车前往乡村旅游，完善的充电桩设施能提升乡村旅游的接待能力和服务品质．某乡政府计划购置如图所示的单枪、双枪两款新能源充电桩，来满足游客中新能源汽车车主日益增长的充电需求，购置充电桩的相关信息如表： 单枪充电桩 双枪充电桩 花费：40000元 花费：30000元 单价：x元 单价：元 (1)若本次购买单枪充电桩的数量比双枪充电桩的数量多4个，求单枪、双枪两款新能源充电桩的单价； (2)在的条件下，根据游客需求，政府决定再次购进单枪、双枪两款新能源充电桩共6个，已知单枪新能源充电桩的单价比上次购买时提高了，双枪新能源充电桩的单价比上次购买时降低了，如果此次加购政府预备支出不超过35500元，求政府最少需要购买单枪新能源充电桩的数量． 【答案】(1)单枪新能源充电桩的单价是5000元，双枪新能源充电桩的单价是7500元； (2)政府最少需要购买4个单枪新能源充电桩 【分析】（1）利用数量=总价单价，结合本次购买单枪新能源充电桩的数量比双枪新能源充电桩的数量多4个，列出关于x的分式方程，解方程即可； （2）设政府需要购买y个单枪新能源充电桩，则需要购买个双枪新能源充电桩，利用总价=单价数量，结合总价不超过35500元，列出关于y的一元一次不等式，解之取其中的最小整数值即可． 本题考查了分式方程的应用以及一元一次不等式的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出分式方程；（2）找准数量关系，正确列出一元一次不等式． 【详解】（1）解：根据题意得：， 解得：， 经检验，是所列方程的解，且符合题意， ， 答：单枪新能源充电桩的单价是5000元，双枪新能源充电桩的单价是7500元； （2）设政府需要购买y个单枪新能源充电桩，则需要购买个双枪新能源充电桩， 根据题意得：， 解得：， 的最小值为 答：政府最少需要购买4个单枪新能源充电桩． 22．（10分）已知是等边三角形，点是边上一点，点是边上一点，且满足 ，连接、交于点． (1)①如图1，直接写出的度数； ②如图2，过点作于点，当时，求证：； (2)如图3，当时，求的度数． 【答案】(1)①②见详解 (2) 【分析】（1）①通过证明，得，即可知道； ②把绕着点A顺时针旋转60°，与重合，点M的对应点为点N，连接，先证明，然后得到是等边三角形，进行等边代换，即可得证； （2）先得到，过点G作交于点H，交于点M，通过“”证明，得，，然后连接，再通“”证明，进行角的等量代换以及角和和差关系，即可作答． 【详解】（1）解：因为是等边三角形， 所以，， 因为， 所以， 则， 那么； ②把绕着点A顺时针旋转60°，与重合，点M的对应点为点N，连接，如图所示： 易得，，， 因为， 所以 故 即 因为，， 所以 则， 所以， 因为 所以 即是等边三角形， 所以 因为， 则； （2）解：过点E作， 因为， 所以 即 因为 所以， 则 过点作交于点，交于点，则， 设，则， ∴，， 在中，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， 连接，如图， ∵ ∴ 又∵， ∴， 在和中， ∴ ∴， ∴， ∴， ∴． 即． 【点睛】本题考查了全等三角形的综合，等边三角形的性质，三角形的外角性质，三角形的内角和，作辅助线（作垂线）以及一系列的辅助线，难度大，综合强，对学生具备较强的作辅助线能力有较高要求，正确掌握相关性质内容是解题的关键． 23．（12分）（25-26八年级上·河南平顶山·阶段练习）（1）如图1，长方体的长为，宽为，高为．求该长方体中能放入木棒的最大长度； （2）如图1，现有一只蚂蚁从点处沿长方体的表面爬到点处，求它爬行的最短路程．小明沿长方体的棱剪开（如图2），求得最短距离为，请你判断是否正确，并说明理由； （3）如图3，若将题中的长方体换成透明圆柱形容器（容器厚度忽略不计），容器的高为，底面周长为，在容器内壁离底部的点处有一饭粒，此时一只蚂蚁正好在容器外壁且离容器上沿与饭粒相对的点处．此时蚂蚁吃到饭粒需要爬行的最短路程是___________． 【答案】（1）该长方体中能放入木棒的最大长度是（2）不正确，见解析（3）10 【分析】本题考查了平面展开—最短路径问题，将图形展开，利用轴对称的性质和勾股定理进行计算是解题的关键． （1）利用勾股定理直接求出木棒的最大长度即可． （2）将长方体展开，利用勾股定理解答即可； （3）将容器侧面展开，建立关于的对称点，根据两点之间线段最短可知的长度即为所求． 【详解】解：（1）由题意得：如图，该长方体中能放入木棒的最大长度是： ； （2）不正确，理由如下： ①如图，， ②如图，， ③如图，， ， ∴最短路程为； （3）∵高为，底面周长为，在容器内壁离容器底部的点处有一饭粒，此时蚂蚁正好在容器外壁，离容器上沿与饭粒相对的点处， 将容器沿侧面展开，作点关于的对称点， ， 连接，则即为最短距离， ∴ 故答案为：10． 24．（12分）（24-25八年级上·河北唐山·期中）如图1，图2，已知在中，，，，为的平分线，且，是边上一动点（点不与点重合），连接，过点作于点，交射线于点． (1)当点在点的左侧运动时（如图1所示），求证：； (2)若，，求的长； (3)当点的位置如图2所示时，过点分别作，，且，点在的延长线上，连接，与交于点，写出，与之间的数量关系． 【答案】(1)见详解 (2)1或7 (3) 【分析】（1）首先证明，，然后利用“”证明即可； （2）分点在点的左侧和点在点的右侧两种情况，结合求解即可； （3）首先证明，由全等三角形的性质可得，，再证明，易得，进而可得，即可证明结论． 【详解】（1）证明：∵，， ∴， ∴， ∵，为的平分线， ∴， 在和中， ， ∴； （2）解：当点在点的左侧时，如下图， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴； 当点在点的右侧时，如下图， ∵，，为的平分线， ∴，，， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， 综上所述，的长为1或7； （3），理由如下： ∵， ∴， 又∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴， ∴． 【点睛】本题主要考查了全等三角形的判定与性质、等腰三角形的性质等知识，熟练掌握全等三角形的性质与判定定理是解题关键． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $