抓分练7 角的平分线与等腰三角形-【追梦之旅·期末真题篇】2025-2026学年八年级数学上册（沪科版·新教材）安徽专版

基础知识抓分练7角的平分线与等腰三角形 一、选择题（每小题4分，满分20分） 二、填空题（每小题5分，满分15分） 1.等腰三角形的一个内角为50°，它的顶角的 6.如图，在△ABC中，AB=6,AC=7,BD、CD分 度数是() 别平分∠ABC、∠ACB,过点D作直线EF平 A.65° B.80° 行于BC,交AB、AC于E、F,则△AEF的周 C.65°或80° D.50°或80° 长为 2.根据下列条件，不能得到等边三角形 的是() A.有两个角是60°的三角形 B.有一个角是60°的等腰三角形 第6题图 第7题图 C.有两个角相等的等腰三角形 7.如图，在由边长为1的小正方形组成的5×5 D.腰长和底边长相等的等腰三角形 的网格中，点A,B在小方格的顶点上，要在 3.如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠BCD= 小方格的顶点确定一点C,连接AC和BC, 30°，CD是△ABC的高，且BD=2,则AD的 使△ABC是等腰三角形.则方格图中满足 长为( 条件的点C的个数有 个 A.6 B.7 C.8 D.9 8.如图，△ABC是等边三角形，点D是BC延长 B C 线上一点，DE⊥AB于点E,EF⊥BC于点F. 第3题图 第4题图 4.如图，点E为∠BAC平分线AP上一点，AB (1)∠D= =5,△ABE的面积为15，则点E到直线AC (2)若CD=3AE,CF=6,则AC的 的距离为( 长为 A.5 B.6 C.7 D.8 三、解答题（共40分） 5.新定义定义：过△ABC的一个顶点作一条 9.(9分)如图，在△ABC中，AB=AC,F是BC 直线m,若直线m能将△ABC恰好分成两 上一点，∠AFC=60°，BC=8,BF=2,求AF 个等腰三角形，则称△ABC为“奇妙三角 的长 形”.如图，下列标有度数的四个三角形中， 不是“奇妙三角形”的是( 36 108 36 人72 50 40 20 追梦之旅真题·课本回头练·ZBK·八年级数学第13页 10.尺规作图(9分)如图，△ABC是等腰三 12.（12分)如图，在△ABC中，AB=AC=2, 角形，AD是BC边上的高 ∠B=40°，点D在线段BC上运动(D不与 (1)尺规作图：作△ABC的角平分线BE, B、C重合)，连接AD,作∠ADE=40°，DE 交AD于点F;(不写作法，保留作图痕迹) 交线段AC于E. (2)若∠ABF=35°，求∠AFB的度数， (1)当∠BDA=115时，∠BAD= 点D从B向C运动时，∠BDA逐渐 变 (填“大”或“小”)； (2)当DC=2时，求证：△ABD≌△DCE; (3)在点D的运动过程中，△ADE的形状 也在改变，判断当∠BDA等于多少度时， △ADE是等腰三角形 11.(10分)在△ABC中，AB=AC,以BC为边 在同侧作等边△BDC,连接AD. (1)如图1，则∠ADB的度数是 (2)如图2，作∠ABM=60°，在BM上截取 BE,使BE=BA,连接CE,判断CE与AD的 数量关系，并说明理由. 图1 图2 追梦之旅真题·课本回头练·ZBK·八年级数学第14页.△AGF≌△EDC(ASA),.AF=CE: 10.(1)证明：·AC是BD的垂直平分线，.AB=AD,CB= (2)解：.△AGF≌△EDC,.∴.AG=ED=BD-BE=58-20= (AB=AD 38(米)，∴.AB=AG+GB=39米，答：单元楼AB的高为39 CD,在△ABC和△ADC中，{CB=CD,..△ABC≌△ADC 米 LAC=AC 10.解.(1)90 (SSS).·.∠ABC=∠ADC: (2)①a+B=180°.证明：∠BAD+∠DAC=&,∠DAC+ (2)解：由(1)得AB=AD=13,.DF=6,..AF=AD-DF ∠CAE=Q,∴.∠BAD=∠CAE,在△BAD和△CAE中， =7,.△ABC≌△ADC,.∴.∠BAC=∠DAC,.OE⊥AB, AB=AC OF⊥AD,∴.∠AE0=∠AFO=90°，在△AE0和△AFO ∠BAD=∠CAE,.∴.△BAD≌△CAE(SAS),∴.∠ACE= (∠AEO=∠AFO AD-AE 中，∠EA0=∠FA0,.△AE0≌△AF0(AAS),AE= ∠B,:∠B+∠ACB=180°-&，∴.∠DCE=∠ACE+∠ACB (A0=A0 =180°-ax=B,∴.a+B=180°： AF=7. ②补全图形如图所示，a=B. 11.解：(1)：DM,EN分别垂直平分边AC和边BC,.MC= MA,NC=NB,∴.△CMN的周长=CM+CN+MN=MA+MW +NB=AB=7: (2)连接CF,:DM,EN分别垂直平分边AC和边BC ∴.∠CDF=∠CEF=90°，.∠MFN=72°，∴.∠ACB=2× 180°-90°-90°-72°=108°，∠A+∠B=180°-108°= 72°，.MC=MA,NC=NB,∴.∠MCA=∠A,∠NCB=∠B. 【解析】：∠BAD+∠BAE=a,∠BAE+∠CAE=, ∴.∠ACM+∠BCN=∠A+∠B=72°，.∠MCN=108°- ∠BAD= ∠CAE,在△BAD和△CAE中 72°=36° (AB=AC 12.证明：(1).1是AB的垂直平分线，.DA=DB,.·DB= ∠BAD=∠CAE,∴.△BAD≌△CAE(SAS),.∴.∠AEC= DC,∴.DA=DC,∴.∠CAD=∠ACD; AD-AE (2)AC=AB,.∠ABC=∠ACB,DB=DC,.∠DCB ∠ADB,.:∠ADE+∠AED+a=180°，∠CDE+∠CED+B= =∠DBC,∴.∠ACD=∠ABD,在△ACD和△ABD中. 180°，∠CED=∠AEC+∠AED,.a=B. (DC=DB 基础知识抓分练6 ∠ACD=∠ABD,.△ACD≌△ABD(SAS),∴.∠CDA= 1.A AC=AB 2.A【解析】由题可得1+m=-3,1-n=2,.m=-4,n=-1, ∠BDA,.∠CDF=∠BDE.CD=BD,DF=DF, .∴.m+n=-4+(-1)=-5.故选A. △CDF≌△BDF(SAS),.CF=BF,.F是BC的中点. 【概念回顾】点(x,y)关于x轴对称的点的坐标为(x, 基础知识抓分练7 -y);点(x,y)关于y轴对称的点的坐标为(-x,y) 1.D2.C 3.D【解析】：点M为△ABC三边垂直平分线的交点， 3.A【解析】.·∠ACB=90°，∠BDC=90°，∴.∠BCD=∠A MA=MB=MC,∴.∠MCA=∠MAC,∠MBC=∠MCB, =30°，BD=2,∴.BC=4,.AB=8,.AD=AB-BD=6.故 选A. ∠MAB=∠MBA,:∠MBC+∠ACM=75°，.∠MAC+ ∠MCA+∠MCB+∠MBC=150°，.∴.∠MAB=∠MBA= 4.B【解析】过，点E作EM LAC,EN LAB,垂足分别为M, N,.E为∠BAC平分线AP上一点，.EM=EN,,·AB= 2×(180°-150)=150.故选D. 5,△ABE的面积为15,2 ABXEN=15,.EN=6,.EM 4.C 5.A【解析】根据作图可知，MN垂直平分AC,.AD=CD, =6,即，点E到直线AC的距离为6.故选B. ∴.∠DAC=∠C=34°，.·∠BAC=180°-∠B-∠C=84° 5.C ∠BAD=∠BAC-∠DAC=84-34°=50°.故选A. 6.13【解析】：EF∥BC,.∠EDB=∠DBC,∠FDC= 6.100 ∠DCB,·∠ABC和∠ACB的平分线相交于点D, 7.360 ∠EBD=∠DBC,∠FCD=∠DCB,∴.∠EDB=∠EBD 【解析】设∠B'FG=,∠1=B,则∠2=B,由折叠得： ∠FDC=∠FCD,∴.ED=EB,FD=FC,.'AB=6,AC=7,. 7 △AEF的周长=AE+EF+AF=AE+ED+FD+AF=AE+EB+ ∠GFB'=∠B'FG=,∠B'=∠GB'F=∠B'C'B'=90° FC+AF=AB+AC=6+7=13. .∠1+∠CB'G=∠C'B'G+∠FB'E=90°，.∠FB'E= 7.6 ∠1=B,.CE∥B'F,∴.∠B'FB'=∠FB'E,.B=2a,. 8.(1)30°(2)10【解析】(1)由题意得∠B=60°，·DE CD∥AB,.·.∠CEF=∠AFE=a+B=∠C'EF,在△FEB' ⊥AB,∴.∠D=90°-∠B=30°；(2)设AC与DE相交于点 中，∠FEB'+∠EFB'+∠FB'E=180°，∴.a+B+B+B= G,DE⊥AB,∠A=60°，∴.∠AGE=∠CGD=30°，.·∠D 180° 7,∠1=B=2a= 360° 180°，∴.7a=180°，∴.a= =30°，∴.CG=CD,设AE=x,则CD=CG=3x,在Rt△AEG 7· 中，AG=2AE=2x,.AB=BC=AC=AG+CC=5x,.BE= 8.(1)90°(2)30°【解析】(1)由折叠知∠A0C= 4x,BF=5x-6,在Rt△BEF中，BE=2BF,即4x=2(5x ∠A'OC,∠BOD=∠B'OD,∴.∠AOA'=2∠AOC,∠BOB'= 6),解得x=2,∴.AC=10. 2LB0D,点B'落在0A'上，.∠AOA'+∠B0B=180° 9.解：过点A作AE⊥BC,垂足为E,AE⊥BC,AB=AC, ∴.2∠AOC+2∠BOD=180°，∴.∠AOC+∠B0D=90°，即 ∠COD=90°；(2)由折叠知∠AOA'=2∠AOC,∠B0B'= ∠AEF=90,BE= -BC=4,∴.EF=BE-BF=2,在 2∠B0D,.∠A0C=44°，∠B0D=61°，.∠AOA'= Rt△AEF中，EF=2,∠AFE=60°，：∠FAE=30°，AF= 2∠AOC=88°，∠B0B'=2∠B0D=122°，.∠A'OB'= 2EF=4,即AF=4. ∠AOA'+∠BOB'-180°=30° 10.解：(1)如图所示，线段BE、点F即为所求； 9.解：(1)如图所示，△A,B,C,即为所求； (2)如图所示，点P即为所求 BDC (2):BE平分∠ABC,∠ABF=35°，.∠FBD=∠ABF= 35°..AD是BC边上的高，∴.AD⊥BC,∴.∠BDF=90°， ,∴.∠AFB=∠BDF+∠FBD=90°+35°=125°. 追梦之旅·初中期末真题篇·安徽专版ZBK·八年级数学上第4页 11.解：(1)150 ∠AFE,.∠AEF=∠GFE,∴.FG∥AC,∠C=30°，∴ (2)CE=AD.理由如下：△BDC为等边三角形，.BC ∠CGF=180°-∠C=150°. =BD,∠DBC=60°..·∠ABE=∠DBC=60°，.∠ABE 6.解：(1)方案一：y=3×36+18(x-3)=18x+54(x≥3)；方 ∠DBM=∠DBC-∠DBM,·.∠ABD=∠EBC,在△ABD (AB=EB 案二：y=(3x36+18)×80%=72x+432 x≥3)： 和△EBC中，了∠ABD=∠EBC,·△ABD≌△EBC 5 72432 BD=BC (2)当18x+54> 5 时，解得x>9;当18r+54=72 (SAS),∴.AD=CE. 12.（1)解：25°小 (2)证明：，·∠EDC+∠ADE=∠DAB+∠B,∠B=∠EDA 时，解得=9当18+54+时解得9，又 5 =40°，∴.∠EDC=∠DAB,,AB=AC,∴.∠B=∠C,在 x≥3,3≤x<9..当x>9时，选择方案二购票师生门票 T∠DAB=∠EDC 总费用较少：当x=9时，选择方案一或方案二购票师生 △ABD和△DCE中. AB=DC ,.△ABD≌ 门票总费用一样多：当3≤x<9选择方案一购票师生门 ∠B=∠C 票总费用较少 △DCE(ASA): 7.解：(1)设生产甲种零件的个数y与工作时间x的函数 (3)解：.：AB=AC,∴.∠B=∠C=40°，①当AE=AD时 关系式为y=k,x(k,为常数，且k,≠0).将x=6,y=360 ∠ADE=∠AED=40°，：∠AED>∠C,.此时不符合题 代入y=k1x,得6k,=360,解得k,=60,.y=60x; 意；②当AD=DE时，即∠DAE=∠DEA=,×(I80° (2)新技术培训前的生产效率是100 50(件/天)，新技 40°)=70°，·.·∠BAC=180°-∠B-∠C=180°-40°-409 术培训后的生产效率是50×2=100（件/天）， 60-100 =100°，.·.∠BAD=∠BAC-∠DAE=100°-70°=30°... ∠BDA=180°-30°-40°=110°；③当EA=ED时，∠ADE 100 =∠DAE=40°，∴.∠BAD=∠BAC-∠DAE=100°-40°= 2.6(天)，3+2.6=5.6（天）.设新技术培训后生产乙种零 60°，·.∠BDA=180°-∠BAD-∠B=180°-60°-40°= 件的个数y与工作时间x的函数关系式为y=k2x+b(k2 80°；综上所述，当∠BDA=110°或80时，△ADE是等腰 b为常数，且k2≠0).将x=3,y=100和x=5.6,y=360代 三角形： 追梦专项一大题抢分练 56,+6=360解得么=100 入y=点+6，得36,6=100 (b=-200y=100x 1.解：(1)·一次函数y=hx-3的图象经过点M(-2,1), -200(x≥3)； -2h-3=1,解得=-2，∴.这个一次函数表达式为y=-2 (3)前7天生产甲种零件的利润为60×7×260=109200 -3: (元)，生产乙种零件的利润为100×(7-3)×150+100× (2)当x=2时，y=-2×2-3=-7,.∴.点(2，-7)在该函数的 150=75000(元).109200+75000=184200（元），.该工 图象上 前7天的总利润是184200元. 2.解：(1)把A(m,2)代人y=x得m=2,则点A的坐标为 8.解：(1)，∠ABE=162°，∠DBC=30°，∴.∠ABD+∠CBE= (2,2),把A(2,2)代入y=kx-k得2h-k=2,解得k=2,∴ 132°，.△ABC≌△DBE,∴.∠ABC=∠DBE,.∴.∠ABD= m=2,k=2: ∠CBE=132°÷2=66°： (2)由(1)得一次函数解析式为y=2x-2.令y=0,则2x (2).△ABC≌△DBE,.DE=AC=AD+DC=5,BE=BC= 2=0,解得x=1,.C点坐标为(1,0)，.0C=1,∴.S△o 4,·.△CDP与△BEP的周长和=DC+DP+PC+BP+PE+ 2×I×2=1.设直线DE的解析式为y='x+b,由平移， BE=DC+DE+BC+BE=2.5+5+4+4=15.5. 9.解：(1)AC⊥AB,DB⊥AB,∠A=∠B=90°.又：P为 得点D的坐标为(3,0)，'=2，把D(3,0)代入y='x+b, AB的中点，.AP=BP,·AC=BD,.△ACP≌△BDP 得0=2×3+b,∴b=-6,.直线DE解析式为y=2x-6.解 (SAS): 方程组y二2x-6得x二6， 6E点坐标为(6,6)，S6m= (2):CA⊥AB,DB⊥AB,..∠A=∠B=90°..：∠ACP= Y=x 180°-∠A-∠CPA=90°-∠CPA,∠BPQ=180°-∠CPQ 2×3x6=9,四边形ACDE的面积=SA0-SA=9-1 ∠CPA=90°-∠CPA,.·.∠ACP=∠BPO.又.·CP=PO,. △ACP≌△BPQ(AAS),·.AC=BP,AP=BQ,∴.AB=AP+ =8. BP=BO+AC: (3)自变量x的取值范围是x<2 (3)不会改变：理由：.∠ACP=180°-∠A-∠CPA=180° 3.解：(1)如图，△A,B,C,为所作： --∠CPA,∠BPQ=180°-∠CPQ-∠CPA=180°-ax (2)如图，△AB2C2为所作. ∠CPA,.∠ACP=∠BPO.又.CP=PO,∠A=∠B,. △ACP≌△BPQ(AAS),.AC=BP,AP=BQ,∴.AB=AP+ PB=BO+AC,即(2)中的数量关系不会改变 10.证明：：△ABC是等边三角形，.∠A=∠B=∠C=60° AB=BC=AC,.·AD=BE=CF,.BD=CE=AF,在△ADE (AD=BE Y■TN B C. 和△BED中，{∠A=∠B,∴.△ADF≌△BED(SAS), AF=BD 4.解：(1)如图所示，线段CD即为所求： DF=DE,同理DE=EF,.DE=DF=EF,.△DEF是等 边三角形 11.解：(1)AB=AC,.∠ABC=∠ACB=65°，∴.∠A=180 -∠ABC-∠ACB=180°-65°-650=50°，.·MN是AB的 B 垂直平分线，.AN=BN,.∠ABN=∠A=50°，.∠BNC (2).∠A=60°，∠B=40°，..∠ACB=180°-60°-40°= =∠ABN+∠A=100°： 80°，CD平分∠ACB,∴.∠ACD=∠BCD=40°，∴.∠ADC (2)由(1)知AN=BW,.∴.BN+CN=AN+CN=AC,.AB= =180°-60°-40°=80°. AC=8cm,.BV+CV=8cm,△BCW的周长是12cm,即 5.解：(1)证明：·BE平分∠ABC,.∠ABE=∠CBE,又. BN+CN+BC=12cm,.'.BC=12-8=4(cm). ∠C=∠BAD,..∠ABF+∠BAD=∠CBE+∠C..·∠AFE= 12.解：(1)120 ∠ABF+∠BAD,∠AEF=∠CBE+∠C,∴.∠AEF=∠AFE; (2)AF=BO.理由：.△FCO,△ACB都是等边三角形 (2):FE平分∠AFG,∴.∠AFE=∠GFE,:∠AEF= ..CF=CO,CA=CB,∠FCO=∠ACB=60°，..∠FCA= 追梦之旅·初中期末真题篇·安徽专版ZBK·八年级数学上第5页